Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory”
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2000
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4506 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860510636715278336 |
|---|---|
| author | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. |
| author_facet | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. |
| author_sort | Korolyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:30:18Z |
| first_indexed | 2026-03-24T03:00:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. С. Королюк (1н-т математики НАН України, Київ)
КОМЕНТАРІ ДО СТАТТІ
„ТВОРЧИЙ ВНЕСОК В. С. КОРОЛЮКА
В РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ"
1. Асимптотичні розклади для критеріїв згоди Колмогорова та Сміриова
спочатку були побудовані без урахування впливу примежового шару [4—7].
Згодом, коли з'явились результати китайського математика Чжан Лі-цяня,
який, користуючись точними формулами для розподілів Колмогорова та Смір-
иова, побудував перші три члени асимптотичного розкладу, я зрозумів, що
треба шукати додаткові члени асимптотики, пов'язані з впливом ефекту пере-
стрибу через границі.
Важко тепер пояснити, чому саме роботи М. І. Вішика, Л. А. Люстерника
привернули мою увагу, адже в цих роботах виродження граничних умов означа-
ло лише втрату додаткових значень старших похідних. Проте основна ідея
необхідності побудови примежових шарів була незаперечною. Основна пробле-
ма полягала в тому, як побудувати розщеплення вихідного оператора Р на
функціях в околі границі області. Тут в пригоді стали результати М. Г. Крейна
з теорії інтегральних рівнянь типу згортки на півосі. Факторизація символу
різницевого оператора Р у вигляді Р(Х) = Х~Р+(Х)Р_(Х), де символи Р±(Х)
визначають різницеві оператори на півосі, дала можливість побудувати рівняння
типу згортки на півосі для примежових шарів з додатковими умовами на від'єм-
ній півосі (див. [3]). При цьому мені довелось уточнити схему розв'язку інте-
гральних рівнянь на півосі з урахуванням наявності нулів символу оператора.
Так було створено метод послідовного вичерпування иев'язок в асимптотич-
ному аналізі граничних задач для випадкових блукань спочатку в схемі Бернул-
лі [8], а потім і для процесів з незалежними приростами [15, 16].
2. Метод потенціалу в граничних задачах для складного пуассоиівсь-
кого процесу був створений при побудові математичної моделі електронної ак-
тивності нейронів головного мозку. Відомий фізіолог П. Г. Костюк разом зі
своїми учнями звернувся до мене з пропозицією: створити математичну модель,
яка б пояснювала особливості частотної активності нейронів у різних фізичних
станах.
В результаті спільних обговорень було запропоновано більш-менш очевидну
модель, згідно з якою електронна активність нейронів описується складним
пуассонівським процесом з додатними стрибками (імпульсами заряду) та нега-
тивним лінійним зсувом (поступовим розрядом). Істотною особливістю моделі
були граничні умови: нейрон випромінює імпульс, коли його заряд досягає
певного значения Т, та додаткова очевидна умова — заряд нейрона не може
бути від'ємним.
Так виникла математична задача знаходження розподілу ймовірності момен-
ту досягнення додатного рівня Т складним пуассонівським процесом з нега-
тивним зсувом при наявності затримуючого екрана на нульовому рівні.
Перші спроби розв'язання такої задачі були невдалими. Шуканий розподіл
визначався ітераційно, що було недоцільно для якісного та й кількісного ана-
лізу. Спроби асимптотичного аналізу також були невдалими.
Тепер важко пояснити, чому я вирішив використати факторизацію символу
відповідного оператора (8) для побудови точного розв'язку рівняння (7).
Мабуть попередній досвід в асимптотичному аналізі випадкових блукань підка-
зував можливість ефективного розв'язку і більш складної задачі (9), (10).
Успіх був вражаючим. Потенціал визначається перетворенням Лапласа
© В. С. КОРОЛЮК, 2000
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 2000, т. 52, № 8 1031
1032 В. С. КОРОЛЮК
R(s) = K~l(s), Res>0,
аналітичним продовженням символу на додатну півплощину.
І досі мені не зрозуміло, чому АГ 1 ( j ) , Re^ = 0, є символом оберненого опе-
ратора L~1 на всій осі, а К~1 (s), Re j > 0, є символом оберненого оператора
L+1 на додатній півосі?
Відповідь на це питання міститься в напівлокальності оператора L. А може
існує більш чітке пояснення?
Так чи інакше, та побудова потенціалу і резольвенти породжуючого опера-
тора напівнеперервних процесів з незалежними просторами виявилась ефек-
тивним методом побудови точних зображень для граничних функціоналів [25,
27 - 29].
Особливо мені подобається гранична теорема 2 [25] (§3.8), в якій поведінка
часу досягнення віддаленого рівня Т —> повністю описується в трьох мож-
ливих випадках. Мені здається, що результат цієї теореми можна трактувати
як біологічний закон поведінки нейронів. При інтенсивному заряді (позитивна
течія) нейрон випромінює імпульс з відповідною частотою, що означає передачу
певної інформації. При незначних зарядах (негативна течія) нейрон випромінює
імпульс з показниковим розподілом інтервалів, що означає „я — живий".
Нарешті, існує ще перехідний режим (нульова течія), в якому нейрон випро-
мінює заряди в хаотичному режимі, що відповідає поведінці вінерового процесу
із затримуючим екраном.
Якщо хочете, це можна узагальнити інтерпретацією цієї теореми до філо-
софського рівня:„Від порядку до непередбаченості через хаос і vice versa".
3. Подальше розвинення методу потенціалу привело до вивчення гранич-
них задач для напівмарковських блукань. На жаль, в цій більш загальній
схемі можливості методу побудови розв'язків рівняння (17) досить обмежені.
Проте виявляється, що метод фазового укрупнення застосовний в асимптотич-
ному аналізі для напівмарковських блукань. Залишається поки що загадковим
найбільш цікавий випадок — „від'ємної течії", коли граничний розподіл момен-
ту досягнення віддаленого рівня буде показниковим. Але ж з яким параметром
інтенсивності? На це питання відповіді немає.
4. Наукова співдружність з Ю. В. Боровських, учнем Ю. В. Линніка, зай-
має особливе місце в моїй творчій біографії. Результат 20-річної співдружності
— 8 монографій з математичної статистики, з яких 3 видані англійською мо-
вою. Тільки одна з них — „Теорія £/-статистик" — була перевидана англійсь-
кою, інші дві фактично заново написані англійською. Найбільш цікавою є істо-
рія з появою монографії „Случайные перманенты" (Київ: Ін-т математики НАН
України, 1993).
По дорозі в Швецію у 1991 р., мою першу особисту подорож у капіталістич-
ну державу, я зустрівся в Ленінграді з Юрієм Васильовичем, і ми обговорили
перспективи принципово нового підходу в аналізі /У-стати стик, як спеціального
типу симетричних статистик, які в загальній формі описуються у вигляді
перманентів матриць з випадковими елементами. Процес підготовки монографії
ускладнювався тим, що Юрій Васильович намагався втиснути якомога більше
результатів, а я відстоював найпростішу схему з мінімальними ускладненнями.
В результаті монографія має лише 135 сторінок замість трьохсот. Англійський
варіант книги значно розширений.
Мені здається, що увага до цієї книги ще недостатня. В ній закладені аналі-
тичні основи аналізу симетричних статистик, які ще знайдуть нові застосу-
вання. Я можу послатись на нашу останню спільну монографію „Martingale
approximation" (VSP, 1997), в якій розглядається пуассонівська апроксимація
випадкових перманентів, що має цікаві застосування в задачах фінансової мате-
матики.
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 2000, т. 52, № 8
КОМЕНТАРІ ДО СТАТТІ „ТВОРЧИЙ ВНЕСОК В. С. КОРОЛЮКА В РОЗВИТОК..." 1033
Інтуїція мені підказує, що узагальнення випадкових перманентів з елемен-
тами, що набувають значень у функціональному просторі з імовірнісною мірою,
може бути ефективним інструментом наближення стохастичних функціоналів,
що є об'єктами вивчення у сучасній статистичній фізиці. Проте від евристич-
них тверджень до строгих висновків — дистанція часом довга і складна.
5. Теорія випадкових еволюцій та її застосування, що розвивалась у від-
ділі теорії ймовірностей Інституту математики НАН України останні 20 років,
потребує окремого аналізу, який я планую викласти в своїй науковій біографії.
Ця тематика невичерпна. Зараз я працюю над проблемою пуассонівської апро-
ксимації марковських адитивних семімартингалів з напівмарковськими пере-
миканнями, що може бути застосовано в сучасних проблемах фінансової та
актуарної математики.
Попередні результати надихають мене на оптимістичний лад. На жаль, я не
маю зараз молодих учнів в Україні. Та, як кажуть в народі: „І буде день, і буде
сонце, і буде хліб на столі".
Одержано 17.04.2000
JSSN 0041-6053. Укр. мат. жури.. 2000, т. 52, N- 8
|
| id | umjimathkievua-article-4506 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:00:09Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/30/388b891e7e8d518fb584e79bbc44b530.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-45062020-03-18T20:30:18Z Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” Коментарі до етапі „Творчий внесок В. С. Королюка в розвиток теорії ймовірностей" Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2000-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4506 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 52 No. 8 (2000); 1031-1033 Український математичний журнал; Том 52 № 8 (2000); 1031-1033 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4506/5716 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4506/5717 Copyright (c) 2000 Korolyuk V. S. |
| spellingShingle | Korolyuk, V. S. Королюк, В. С. Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title | Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title_alt | Коментарі до етапі „Творчий внесок В. С. Королюка в розвиток теорії
ймовірностей" |
| title_full | Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title_fullStr | Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title_full_unstemmed | Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title_short | Some Remarks on the Article “On the Creative Contribution of V. S. Korolyuk to the Development of Probability Theory” |
| title_sort | some remarks on the article “on the creative contribution of v. s. korolyuk to the development of probability theory” |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4506 |
| work_keys_str_mv | AT korolyukvs someremarksonthearticleonthecreativecontributionofvskorolyuktothedevelopmentofprobabilitytheory AT korolûkvs someremarksonthearticleonthecreativecontributionofvskorolyuktothedevelopmentofprobabilitytheory AT korolyukvs komentarídoetapítvorčijvnesokvskorolûkavrozvitokteorííjmovírnostejquot AT korolûkvs komentarídoetapítvorčijvnesokvskorolûkavrozvitokteorííjmovírnostejquot |