On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics
We present a survey of the most important scientific results of Yu. A. Mitropol’skii in the fields of nonlinear differential equations, mathematical physics,and the theory of nonlinear oscil.
Gespeichert in:
| Datum: | 1997 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1997
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4982 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860511172431708160 |
|---|---|
| author | Kolomiyets, V. G. Samoilenko, A. M. Коломієць, В. Г. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Kolomiyets, V. G. Samoilenko, A. M. Коломієць, В. Г. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Kolomiyets, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T21:22:11Z |
| description | We present a survey of the most important scientific results of Yu. A. Mitropol’skii in the fields of nonlinear differential equations, mathematical physics,and the theory of nonlinear oscil. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:08:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А . М . С а м о й л е н к о , В . Г . К о л о м і є ц ь (Ін-т математики HAH України, Київ)
ПРО ВНЕСОК Ю. О. МИТРОПОЛЬСЬКОГО У РОЗВИТОК
АСИМПТОТИЧНИХ МЕТОДІВ НЕЛІНІЙНОЇ МЕХАНІКИ
We give а survey of fundamental scientific results of Yu. A. Mitropol'skii in the fields of nonlinear dif-
ferential equaüons, mathematical physics, and the theory of nonlinear oscillations.
Наведено огляд фундаментальних наукових досліджень академіка Ю. О. Митропольського в
області нелінійних диференціальних рівнянь, математичної фізики і теорії нелінійних коливань.
У світі сучасної науки і техніки одне з центральних місць займають галузі, в
яких досліджуються і використовуються коливання і хвилі різної природи.
Сюди відносяться елекіро- і радіотехніка, радіофізика, оптика, механіка, аеро-
і гідромеханіка та ін., де враховуються пружні коливання конструкцій, коли-
вання і хвилі в рідинах, газах, твердих середовищах, теорія автоматичного керу-
вання тощо. Ще в кінці 20-х і на початку 30-х років виникла необхідність у
створенні математично обгрунтованої теорії нелінійних коливань. Асимптотич-
ну теорію було створено М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим у багатьох їхніх
роботах, серед яких особливе місце займає фундаментальна монографія „Вве-
дение в нелинейную механику". Вони розробили новий метод дослідження не-
лінійних коливань у вигляді побудови асимптотичних розкладів.
Свою наукову діяльність Ю. О. Митропольський почав у 1946 р. під керів-
ництвом М. М. Боголюбова. Асимптотичні методи нелінійної механіки, дослі-
дження нелінійних диференціальних рівнянь займають центральне місце в пра-
цях ученого. їм були присвячені його кандидатська і докторська дисертації.
На основі асимптотичних методів Крилова — Боголюбова він розробив метод до-
слідження нестаціонарних коливних процесів. Як відомо, однією з найважли-
віших задач дослідження нестаціонарних коливань є задача про проходження
через резонанс. За короткий час Ю. О. Митропольський створив і математично
обгрунтував алгоритми побудови асимптотичних розв'язків нелінійних дифе-
ренціальних рівнянь, які описують нестаціонарні коливні процеси. За допомо-
гою розвинутих ним методів дав строге пояснення ряду раніше мало вивчених
явищ в нелінійних коливних системах.
Починаючи з 1932 р., в Києві М. М. Крилов і М. М. Боголюбов почали роз-
вивати новий підхід до вивчення нелінійних коливань, який базується на побу-
дові асимптотичних розкладів. Вони розповсюдили методи теорії збурень на
загальні неконсервативні системи і створили нові асимптотичні методи для до-
слідження нелінійних коливних систем. При розробці асимптотичних методів
їх авторам вдалося створити формальний метод побудови наближених розв'яз-
ків диференціальних рівнянь з малим параметром. Розроблений формалізм по-
будови асимптотичних розкладів дозволяє одержати розв'язок не тільки в пер-
шому наближенні, а й вищі наближення, наближено дослідити коливні процеси
як періодичні, так і квазіперіодичні.
При розробці цих методів особлива увага зверталася на побудову простих і
ефективних наближених формул. Асимптотичні методи Крилова - Боголюбо-
ва Ю. О. Митропольському вдалося розповсюдити для дослідження нестаціо-'
нарних явищ, що виникають при зміні частот і інших параметрів нелінійних ко-
ливних систем. При цьому розроблено і математично строго обгрунтовано ефе-
ктивний метод дослідження широкого класу коливних процесів і розв'язано
низку нових задач, а також пояснено цікаві фізичні явища. Так він детально
проаналізував коливання маятника в нелінійній постановці при наявності змін-
ної довжини, вивчив коливання нелінійного осцилятора, що знаходиться під
дією зовнішньої періодичної сили зі змінною частотою, відкрив і пояснив спе-
цифічні особливості зміни амплітуди і фази при різних режимах проходження
© А. М. САМОЙЛЕНКО, В. Г. КОЛОМІЄЦЬ, 1997
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49. № І 5
6 A. M. САМОЙЛЕНКО, В. Г. КОЛОМІЄЦЬ
через резонанс, цікаві явища затягування амплітуди в резонансній зоні при дії
зовнішньої періодичної сили з вібруючою частотою та ін. М. М. Крилов,
М. М. Боголюбов і Ю. О. Митропольський створили цілу область математичної
фізики — нелінійну механіку, основна увага в якій зосереджена на методах ана-
лізу коливних систем. Ці дослідження ввійшли до монографії „Асимптотичес-
кие методы в теории нелинейных колебаний". Ця монографія стала настіль-
ною книгою з нелінійної механіки, витримала чотири видання, перевидана в
США, Франції, Німеччині, Японії та КНР.
Про значення нелінійної механіки для розвитку сучасної науки і техніки
свідчать проведені в Києві під керівництвом Ю. О. Митропольського три міжна-
родні конференції з нелінійних коливань. Про їх популярність досить сказати,
що в IX конференції взяли участь біля 600 вчених із ЗО країн світу. Тепер ці
конференції перетворились у європейські. Результати Ю. О. Митропольського
з дослідження систем з повільно змінними параметрами ввійшли до його фун-
даментальної монографії „Проблемы, асимптотической теории нестационарных
колебаний". Ці розробки та результата Крилова - Боголюбова з асимптотич-
них методів одержали світове визнання як асимптотичні методи Крилова - Бо-
голюбова - Митропольського (метод КБМ). Проведено розробку різних варі-
антів асимптотичних методів і їх математичне обгрунтування та застосування
для різних типів нелінійних диференціальних рівнянь. Ю. О. Митропольський
разом з А. М. Самойленком на основі аналізу основних варіантів асимптотичних
методів встановили основні закономірності асимптотичних методів і запропо-
нували загальну схему побудови асимптотичних розкладів. Ю. О. Митропо-
льський провів якісний аналіз складних явищ і провів розрахункові схеми, які
знайшли застосування в багатьох прикладних задачах. Так, було детально вив-
чено явище проходження через резонанс. До появи робіт Ю. О. Митропольсь-
кого розрахунок коливань при проходженні через резонанс можна було довести
до числа і графіка тільки у випадку лінійної системи з одним ступенем віль-
ності. Виконання цих розрахунків у випадку коливних систем з одним і багать-
ма ступенями вільності з урахуванням нелінійностей стало можливим завдяки
методу, розробленому Ю. О. Митропольським. За допомогою методу
Ю. О. Митропольського було розраховано резонансну і шумову розкачки синх-
ронних .коливань при проектуванні спорудження синхрофазотрона на 10 Бев,
запущеного в 1957 р. в Об'єднаному інституті ядерних досліджень, а також ви-
конано розрахунки коливань при проходженні через резонанс у роторах турбо-
машин, центрифугах, гіроскопічних системах тощо. Важко собі уявити важли-
ву проблему нелінійної механіки, в яку б не вніс Ю. О. Митропольський ваго-
мий внесок. Вони стосуються розвитку асимптотичних методів нелінійної ме-
ханіки для дослідження систем з повільно змінними параметрами, розвитку од-
ночастотного методу, методу усереднення, методу інтегральних многовидів,
методу прискореної збіжності, теоретико-групового методу, багаточастотного
методу, градієнтно-голономного методу тощо.
До найбільш значних результатів слід віднести розвиток математичної теорії
багаточастотних коливань, розвиток теоретико-групового підходу в теорії ме-
тоду усереднення, застосування методу інтегральних многовидів, подальший
розвиток і застосування асимптотичних методів до функціонально-диференці-
альних рівнянь, стохастичних диференціальних рівнянь, рівнянь з імпульсною
дією, інтегровності динамічних систем.
Важливі результати Ю. О. Митропольський одержав у розвитку асимпто-
тичних методів нелінійної механіки дослідження коливних процесів у системах
з розподіленими параметрами. Разом зі своїми учнями він створив і обгрунтував
метод, який враховує специфіку розподілених систем і дозволяє будувати асим-
птотичні наближення при наявності нелінійностей, повільно змінних парамет-
рів, випадкових збурень, запізнень, а також нелінійностей в крайових умовах.
Основні результати в цьому напрямку ввійшли до монографії „Асимптотичес-
кие решения уравнений в частных производных" (спільно з Б. І. Мосеєнковим), а
також „Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной ме-
ханики" (спільно з Г. П. Хомою) та „Асимптотические методы исследования
квазилинейных упавнений гиперболического типа" (спільно з Г. П. Хомою і
М. I. Гром'яком).
/55/^ 0041-6053. Укр. мат. жури.. 1997, т. 49. № 1
ПРО ВНЕСОК Ю. О. МИТРОПОЛЬСЬКОГО У РОЗВИТОК . 7
Важливий внесок у розвиток асимптотичних методів нелінійної механіки
зробив Ю. О. Митропольський у роботах, присвячених дослідженню впливу на
коливання в нелінійних системах випадкових сил. Цей напрямок продовжував
робота М. М. Боголюбова, який приділяв багато уваги вивченню асимптотичної
поведінки динамічних систем під впливом випадкових збурень. Випадкові ко-
ливання описуються стохастачними диференціальними рівняннями, розв'язка-
ми яких є дифузійні марковські процеси. Використовуючи асимптотичні мето-
ди і методи теорії марковських процесів, Ю. О. Митропольський спільно з
В. Г. Коломійцем, Нгуєн Донг Анем, Нгуєн Тієм Кхіємом дослідили вплив біло-
го шуму на автономні і неавтономні квазілінійні коливні системи, що опису-
ються різними класами диференціальних рівнянь, Ю. О. Митропольським побу-
довані вищі наближення розв'язків рівняння Фоккера - Планка - Колмогорова
за допомогою методу усереднення. Результати цих та деяких інших дослі-
джень ввійшли до монографії „Нелинейные колебания в системах произволь-
ного порядка" (спільно з Нгуєн Ван Дао і Нгуєн Донг Анем).
Однією з актуальних задач теорії коливань є задача дослідження коливних
процесів в системах диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом. До до-
слідження цієї проблеми приводять багато фізичних і прикладних задач, в яких
сили залежать не тільки від положення і швидкості в фіксований момент часу,
а й від моменту часу, що передує заданому.
Ю. О. Митропольський спільно з В. І. Фодчуком та Д. І. Мартишоком розви-
нули та обгрунтували асимптотичні методи і метод усереднення для дослі-
дження нелінійних диференціально-функціональних рівнянь, у тому числі з
малими параметрами при старшій похідній. Були детально досліджені інтегра-
льні многовиди,.періодичні і квазіперіодичні коливання та їх стійкість. Резу-
льтати Ю. О. Митропольського у цьому напрямку досліджень викладені в мо-
нографіях „Периодические и квазипериодические колебания систем с запазды-
ванием" (спільно з Д. І. Мартишоком), „Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно периодическими коэффициентами" (спільно з
А. М. Самойленком і Д. І. Мартишоком) та в англійському перекладі останньої.
Як відомо, при дослідженні коливних систем з багатьма ступенями вільності
досить ефективно застосовується одночастотний метод, який полягає в побудо-
ві наближеної сім'ї розв'язків, залежної від двох довільних постійних.
Природним розвитком асимптотичних методів дослідження коливних сис-
тем виявився одночастотний метод, запропонований М. М. Боголюбовим для
автономної системи з багатьма ступенями вільності. Ю. О. Митропольський
розповсюдив цей метод для дослідження нестаціонарних коливних систем з ба-
гатьма ступенями вільності. Запропонований ним метод базується на ідеї мето-
ду усереднення і дозволяє будувати асимптотичні розклади розв'язків системи з
багатьма ступенями вільності аналогічно коливній системі з одним ступенем
вільності. При дослідженні таких систем зручно розглядати одночастотний ре-
жим, тобто такі коливання, при яких всі точки системи коливаються з однією і
тією ж частотою.
Одночастотний метод одержав строге математичне обгрунтування в дослі-
дженнях Ю. О. Митропольського. Це обгрунтування зводиться до встановлен-
ня оцінки точності одержаних наближених розв'язків і дослідження стійкості
двопараметричної сім'ї частинних розв'язків. Для зручності застосування цього
методу Ю. О. Митропольський розробив різні схеми побудови системи рівнянь
для амплітуди і фази коливань.
Перспективним виявився запропонований Ю. О. Митропольським метод ене-
ргетичної інтерпретації, згідно з яким у першому й другому наближеннях мо-
жна побудувати рівняння для амплітуди і фази, виходячи з виразів для вірту-
альної роботи, а також кінетичної і потенціальної енергії, не розглядаючи точ-
них рівнянь руху. Метод енергетичної інтерпретації дав можливість розповсю-
дити одночастотний метод на системи з розподіленими параметрами, що дозво-
лило розглянути низку практично важливих задач нестаціонарних коливань
стержнів, пластан, балок, лопаток турбін тощо.
Ю. О. Митропольський розвинув одночастотний метод для побудови асимп-
тотичних розкладів для систем з гіроскопічними членами в нестаціонарному
режимі, а також метод дослідження нестаціонарних коливань у системах, що
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997. т. 49, №-1
8 A. M. САМОЙЛЕНКО, В. Г. КОЛОМІЄЦЬ
описуються рівняннями в символічній формі. Цей метод виявився зручним при
дослідженні механічних систем типу валів, систем передач, систем керування,
вивченні електричних ланцюгів та ін.
У роботах ІО. О. Митропольського одиочастотний метод застосований та-
кож для дослідження коливань в нелінійних системах з запізненням та випад-
ковими збуреннями. У 1995 р. ці результати опубліковані в монографії „Нели-
нейная механика. Асимптотические методы".
Поряд з асимптотичним і одночастотиим методом одним з основних методів
аналізу нелінійних систем у працях Ю. О. Митропольського є метод усеред-
нення. Як відомо, строга теорія методу усереднення належить М. М. Боголю-
бову, який показав, що метод усереднення органічно пов'язаний з існуванням
деякої заміни змінних, що дозволяє виключити час г із правих частин стан-
дартних рівнянь з довільними степенями точності відносно малого параметра.
Він також дав строге математичне обгрунтування методу усереднення і запро-
понував схему побудови вищих наближень.
ІО. О. Митропольський розвинув метод усереднення для дослідження бага-
тьох класів нелінійних диференціальних рівнянь з малим і великим параметра-
ми. Так, він самостійно і разом з багатьма своїми учнями розповсюдив і об-
грунтував метод усереднення на нелінійні диференціальні рівняння з повільно
змінними параметрами, на рівняння, близькі до точно інтегровних, на рівняння
в функціональних просторах, на інтегро-диференціальні і стохастичні дифе-
ренціальні рівняння, на функціонально-диференціальні і диференціальні рів-
няння з частинними похідними тощо. Результати в цьому напрямку викладено
в фундаментальних монографіях „Метод усреднения в нелинейной механике"
та „Метод усреднения в исследованиях резонансных систем" (спільно з
Є. О. Гребениковим). Спільно з А. М. Самойленком Ю. О. Митропольський
розробив аксіоматичну теорію методу усереднення. Вони встановили оцінку
близькості точного розв'язку і його л-го наближень. Розвитком методу усе-
реднення стали результати Ю. О. Митропольського, одержані разом з О. К. Ло-
патіним. Вони запропонували алгоритм перетворення збуреної системи до спе-
ціально побудованої системи порівняння. У літературі цей алгоритм названо
методом асимптотичної декомпозиції. Він базується на використанні рядів Лі і
теоретико-групових методів дослідження. Розглянуто широкий клас звичай-
них диференціальних рівнянь і рівнянь з частинними похідними.
Суть методу декомпозиції полягає в заміні розв'язання системи диференці-
альних рівнянь високого порядку розв'язанням систем меншої розмірності.
Проведено обгрунтування методу асимптотичної декомпозиції, встановлено
асимптотичний характер наближеного розв'язку. Як відомо, ці проблеми зво-
дяться до проблеми збурення векторних полів. Найбільш важливі результати
відносяться до розробки техніки нормалізації на групах Лі. Вони реалізують
класичний метод теорії нормальних форм. Розроблена техніка нормалізація ті-
сно пов'язана з методом усереднення. Вона називається асимптотичною деком-
позицією. Розглянуто питання інтерпретації та розвитку методу усереднення
відносно систем у стандартній формі та систем зі швидкими змінними. Новий
метод інтерпретує централізовану систему як прямий аналог усередненої за Бо-
голюбовим. Операція усереднення інтерпретується як проектор Боголюбова
для побудови проекції будь-якого оператора на алгебру централізатора. Серед-
нє значення в цих задачах розуміємо як середнє значення на групі. Таким чи-
ном, описаний підхід суттєво узагальнює метод усереднення М. М. Боголюбова.
Ці результати ввійшли до монографії „Теоретико-групповой подход в асимпто-
тических методах нелинейной механики" та до розширеного перекладу англій-
ською мовою „Нелінійна механіка. Групи і симетрія".
Розглянуто і обгрунтовано метод часткового усереднення. Досліджено усе-
реднення для диференціальних рівнянь з розривними правими частинами і ім-
пульсними впливами. Розглянуто також деякі схеми усереднення для інтегро-
диференціальних рівнянь. Широкий розвиток метод усереднення одержав при
дослідженні стохастичних диференціальних рівнянь, диференціально-функці-
ональних та сингулярно збурених диференціальних рівнянь.
Проблема вивчення інтегральних многовидів виникла при дослідженні ко-
ливань у системах з багатьма ступенями вільності. Вона зводиться до виділен-
/55/^ 0041-6053. Укр. мат. жури.. 1997, т. 49. № 1
ПРО ВНЕСОК Ю. О. МИТРОПОЛЬСЬКОГО У РОЗВИТОК . 9
ня з сукупності розв'язків систем нелінійних диференціальних рівнянь много-
видів розв'язків розмірності, меншої за порядок системи. Перші результати з
досліджень інтегральних многовидів одержані в 1945 р. М. М. Боголіобовим.
Він встановив ознаки існування асимптотично стійкого однопараметричного ін-
тегрального многовиду рівняння в стандартній формі, виходячи з рівняння пер-
шого наближення усередненого рівняння і дослідив структуру цього много-
виду. Ці результати стали основою для створення нового напряму в якісній
теорії диференціальних рівнянь, який одержав назву методу інтегральних мно-
говидів.
У подальшому значення методу інтегральних' многовидів показано в роботах
М. М. Боголюбова і Ю. О. Митропольського. Особливо потрібно відзначити їх
доповідь на Міжнародному симпозіумі з нелінійних коливань, що проходив у
Києві в 1961 р., в якій викладно основні їхні досягнення у цьому напрямку. Во-
ни показали актуальність застосування методу інтегральних многовидів у до-
слідженні багатовимірних динамічних систем. Наявність у системи інтеграль-
ного многовиду дозволяє зводити якісне дослідження системи високого поряд-
ку на миоговиді до якісного дослідження системи більш низького порядку. Ця
ідея зведення особливо важлива в прикладних дослідженнях. Метод інте-
гральних многовидів одержав подальший розвиток у працях Ю. О. Митрополь-
ського та його учнів.
Ю. О. Митропольський розглянув інтегральні многовиди диференціальних
рівнянь з повільно змінними параметрами, рівнянь зі змінними коефіцієнтами в
гільбертовому просторі. Суттєво розвинули дослідження інтегральних много-
видів Ю. О. Митропольський, А. М. Самойленко, О. Б. Ликова і В. І. Фодчук.
Вони встановили теореми існування інтегральних многовидів для різних класів
диференціальних рівнянь, запропонували методи їх побудови, а також досліди-
ли властивості розв'язків в околі многовидів і на самих многовидах. Було до-
сліджено інтегральні многовиди нелінійних звичайних диференціальних рів-
нянь, рівнянь, близьких до точно інтегровиих, рівнянь зі швидкими і повільними
змінними, рівнянь з запізненням, сингулярно збурених рівнянь, їх застосування
до задач стійкості тощо. Дослідження Ю. О. Митропольського з теорії інте-
гральних многовидів викладено в сумісній з М. М. Боголіобовим монографії
„Метод интегральных многообразий в нелинейной механике" і в сумісних з
О. Б. Ликовою монографіях „Лекции по методу интегральных многообразий" і
„Интегральные многообразия в нелинейной механике". Слід відзначити, що ме-
тод інтегральних многовидів знайшов подальший розвиток також у роботах ма-
тематиків США.
У 1963 р. М. М. Боголюбов розробив новий варіант методу послідовних замін
змінних, який об'єднав метод прискореної збіжності з методом інтегральних
многовидів. У подальших роботах Ю. О. Митропольського за допомогою цього
методу розв'язано широке коло задач нелінійної механіки. Побудовано загаль-
ний розв'язок нелінійних диференціальних рівнянь на торі. У сумісних роботах
з А. М. Самой ленком за допомогою методу прискореної збіжності досліджено
задачі про звідність лінійної системи з квазіперіодичними коефіцієнтами до
системи з постійними коефіцієнтами. Вони довели, що майже кожну систему з
квазіперіодичними коефіцієнтами, які досить мало відрізняються від постійних,
можна звести до системи з постійними коефіцієнтами. У дослідженнях
М. М. Боголюбова, ІО. О. Митропольського і А. М. Самойленка розвинутий ме-
тод послідовних замін з прискореною збіжністю названо методом прискореної
збіжності. Результати цих досліджень викладено в їхній сумісній монографії
„Метод ускоренной сходимости в задачах нелинейной механики" та монографії
Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, В. Г. Кулика „Исследование дихо-
томии нелинейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций
Ляпунова".
У 70-80 рр. у нелінійній механіці одержано значні результата в дослідженні
багаточастотних коливань. Це викликано розробкою алгоритмів асимптотич-
ного інтегрування і дослідження коливних систем з багатьма ступенями віль-
ності. Ю. О. Митропольський разом з А. М. Самойлеиком розвинули теорію ба-
гаточастотних коливань, розробили схеми асимптотичного інтегрування систем
нелінійних диференціальних рівнянь, які описують багаточастотаі коливання.
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997. т. 49, №-1
10 A. M. САМОЙЛЕНКО, В. Г. КОЛОМІЄЦЬ
Одержано нові фундаментальні теореми з обгрунтування асимптотичних мето-
дів дослідження багаточастотних коливань. Проведено аналіз коливань систем,
які описуються п диференціальними рівняннями другого порядку в резонанс-
ному і нерезонансному випадках, одержано формули асимптотичних на-
ближень.
У 1983 р. було запропоновано алгоритм дослідження повної інтегровності
нелінійних динамічних систем вигляду
т -dt
де векторне поле К[и] є гладким за Фреше і визначено на відповідному функ-
ціональному многовиді. Він пізніше отримав назву градієнтно-голономного ал-
горитму. Завдяки зусиллям Ю. О. Митропольського, М. Боголюбова (мол.) та
їхніх учнів В. Г. Самойленка та А. К. Прикарпатського цей алгоритм розвинуто
та застосовано для дослідження широкого класу нелінійних диференціальних
рівнянь з частинними похідними. Проведемо дослідження загальних закономір-
ностей градієнтно-голономного алгоритму та його узагальнення для дослі-
дження багатовимірних динамічних систем.
Підводячи підсумок основним результатам Ю. О. Митропольського та його
математичної школи в області нелінійної механіки і математичної фізики, слід
особливо підкреслити, що завдяки глибокому теоретичному доробку і широким
практичним застосуванням методи нелінійної механіки стали широко відомими
не тільки в нашій країні, а й в усьому світі. Вони збагатили науку новими до-
сягненнями як в області математики, так і в області застосувань у механіці,
фізиці і техніці. З повною впевненістю можна стверджувати, що асимптотичні
методи нелінійної механіки — одні з найбільш ефективних методів досліджен-
ня різних задач природознавства, пов'язаних з коливними процесами.
Список монографій Ю. О. Митропольського за останні десять років*
1. Митропольскиіі 10. А., Симоіілепко А. М. Математические проблемы нелинейной механи-
ки. - К.: Вища шк., 1987. - 72 с.
2. Митропольскиіі 10. А., Боголюбов H. Н. (мол.), Прикарпатский /4. К., Самоіілепко В. Г. Ин-
тегрируемые динамические системы: Спектральные и дифференциально-геометрические
аспекты. - К.: Наук, думка, 1987. - 296 с.
3. Митропольскиіі 10. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповой подход в асимптотических ме-
тодах нелинейной механики. - К.: Наук, думка, 1988.-272 с.
4. Митропольскиіі /О. А., Самоіілепко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных
систем дифференциальных уравнений. - К.: Наук, думка, 1990. - 290 с.
5. Митропольскиіі 10. А.. Хома Г. П., Громлк И. И. Асимптотические методы исследования
квазиволповых уравнений гиперболического типа. - К.: Наук, думка, 1991.-231 с.
6. Митропольскиіі /О. А., Гребепиков Е. О. Метод усреднения в исследованиях резонансных
систем. - М . : Наука, 1992.-221 с.
7. Митропольскиіі 10. A., Htyen В. Д., Нгуен Д. А. Нелинейные колебания в системах произво-
льного порядка. - К.: Наук, думка, 1992. - 344 с.
8. Miiropol'sky Yu. A., Samoilenko A. M., Martinyuk D. I. Evolution équations with periodic and
guasiperiodic coefficients. - Kluwer Acad. PubI*, 1993. - 279 p.
9. Mitropol'sky Yu. A., NguenV. D. Melhods in nonlinear oscillations. - Hanoi, 1994. -412 p.
10. Mitropol'sky Yu. A., Lopatin A. K. Nonlinear mechanics groups and symmetry. - Kluwer Acad.
Publ., 1995. - 388 p.
11. Митропольскиіі /О. A. Нелинейная механика. Асимптотические методы. — Киев: Ин-т ма-
тематики НАН Украины, 1995.-396 с.
Одержано 05.06.96
Біог рафічні та бібліографічні відомості про Ю. О. Митропольського див. у журналах:
Диффереиц. уравнения. - 1967. - 3. - №' 1; 1977. - 13. - № 1; 1987. - 23. - № 1; Успехи мат.
н а у к . - 1 9 7 7 . - 3 2 . - В ы п . 1; 1987 . -43 . -Вып. 4; Укр.мат. жури. - 1967. - 1 8 . - № 1; 1977. -28 .
— № 1; 1987. - 3 8 . - № 1.
/55/^ 0041-6053. Укр. мат. жури.. 1997, т. 49. № 1
|
| id | umjimathkievua-article-4982 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:08:40Z |
| publishDate | 1997 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/79e212411b4882cb810212e5def12ab4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-49822020-03-18T21:22:11Z On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics Про внесок Ю. О. Митропольського у розвиток асимптотичних методів нелінійної механіки Kolomiyets, V. G. Samoilenko, A. M. Коломієць, В. Г. Самойленко, А. М. We present a survey of the most important scientific results of Yu. A. Mitropol’skii in the fields of nonlinear differential equations, mathematical physics,and the theory of nonlinear oscil. Наведено огляд фундаментальних наукових досліджень академіка Ю. О. Митропольського в області нелінійних диференціальних рівнянь, математичної фізики і теорії нелінійних коливань. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1997-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4982 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 49 No. 1 (1997); 5–10 Український математичний журнал; Том 49 № 1 (1997); 5–10 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4982/6663 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4982/6664 Copyright (c) 1997 Kolomiyets V. G.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Kolomiyets, V. G. Samoilenko, A. M. Коломієць, В. Г. Самойленко, А. М. On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title | On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title_alt | Про внесок Ю. О. Митропольського у розвиток
асимптотичних методів нелінійної механіки |
| title_full | On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title_fullStr | On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title_full_unstemmed | On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title_short | On the contribution of Yu. A. Mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| title_sort | on the contribution of yu. a. mitropol’skii to the development of asymptotic methods in nonlinear mechanics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4982 |
| work_keys_str_mv | AT kolomiyetsvg onthecontributionofyuamitropolskiitothedevelopmentofasymptoticmethodsinnonlinearmechanics AT samoilenkoam onthecontributionofyuamitropolskiitothedevelopmentofasymptoticmethodsinnonlinearmechanics AT kolomíêcʹvg onthecontributionofyuamitropolskiitothedevelopmentofasymptoticmethodsinnonlinearmechanics AT samojlenkoam onthecontributionofyuamitropolskiitothedevelopmentofasymptoticmethodsinnonlinearmechanics AT kolomiyetsvg provnesokûomitropolʹsʹkogourozvitokasimptotičnihmetodívnelíníjnoímehaníki AT samoilenkoam provnesokûomitropolʹsʹkogourozvitokasimptotičnihmetodívnelíníjnoímehaníki AT kolomíêcʹvg provnesokûomitropolʹsʹkogourozvitokasimptotičnihmetodívnelíníjnoímehaníki AT samojlenkoam provnesokûomitropolʹsʹkogourozvitokasimptotičnihmetodívnelíníjnoímehaníki |