Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$
UDC 517.5 We describe asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth with zeros on a finite system of rays in the metric of $L^q[0, 2\pi].$
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/500 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507031630249984 |
|---|---|
| author | Khats', R. V. Хаць, Р. В. Хаць, Р. В. |
| author_facet | Khats', R. V. Хаць, Р. В. Хаць, Р. В. |
| author_sort | Khats', R. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:33Z |
| description | UDC 517.5
We describe asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth with zeros on a finite system of rays in the metric of $L^q[0, 2\pi].$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.500 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.500
УДК 517.5
Р. В. Хаць (Дрогобиц. держ. пед. ун-т iм. I. Франка, Iн-т фiзики, математики, економiки
та iнновацiйних технологiй)
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛОГАРИФМIВ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ
ПОКРАЩЕНОГО РЕГУЛЯРНОГО ЗРОСТАННЯ В \bfitL \bfitq [\bfzero , \bftwo \bfitpi ]-МЕТРИЦI
We describe asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth with zeros on a finite
system of rays in the metric of Lq[0, 2\pi ].
Описано асимптотичну поведiнку логарифмiв цiлих функцiй покращеного регулярного зростання з нулями на
скiнченнiй системi променiв у Lq[0, 2\pi ]-метрицi.
1. Вступ та формулювання основних результатiв. Однiєю з центральних задач теорiї цiлих
функцiй є вивчення зв’язку мiж регулярнiстю зростання функцiї та розподiлом її нулiв. До-
слiдження цiєї задачi привели Б. Левiна та А. Пфлюгера [1] (див. також [2, 3]) до створення
наприкiнцi 30-х рокiв минулого столiття теорiї цiлих функцiй цiлком регулярного зростання.
Функцiї, якi є об’єктами вивчення в цiй теорiї, характеризуються регулярною поведiнкою не
лише свого модуля, а й аргументу. Важливим є отримання рiзних критерiїв належностi цiлих
функцiй до класу цiлком регулярного зростання. Iснує багато умов, якi є необхiдними та до-
статнiми для наявностi цiлком регулярного зростання у цiлих функцiй додатного порядку (див.
[2, 3]). Зокрема, В. С. Азарiн [5] отримав критерiй цiєї регулярностi в термiнах коефiцiєнтiв
Фур’є, а А. А. Кондратюк [6, с. 78] — в термiнах q-норми простору Lq[0, 2\pi ] логарифма модуля
цiлої функцiї.
Важливу роль у розвитку теорiї цiлих функцiй цiлком регулярного зростання вiдiграв метод
рядiв Фур’є, систематичне застосовування якого розпочалось в роботах Л. Рубела та Б. Тейлора
(див. [4]). Зокрема, А. А. Кондратюк [6, с. 78; 7] i Я. В. Василькiв [8, 9], використовуючи
цей метод, дали опис цiлком регулярного зростання логарифма модуля та аргументу цiлих i
мероморфних функцiй додатного порядку в Lq[0, 2\pi ]-метрицi. Для цiлих функцiй нульового
порядку подiбнi результати одержано в [10, 11].
У роботах [12, 13] введено поняття цiлої функцiї покращеного регулярного зростання i
знайдено критерiї для цiєї регулярностi в термiнах розподiлу нулiв за умови, коли останнi роз-
мiщенi на скiнченнiй системi променiв. У роботi [14] це поняття поширено на субгармонiчнi
функцiї. У статтi [15] встановлено критерiй покращеного регулярного зростання цiлих функ-
цiй додатного порядку з нулями на скiнченнiй системi променiв у термiнах їхнiх коефiцiєнтiв
Фур’є. В роботi [16] описано покращену регулярнiсть зростання логарифма модуля цiлих функ-
цiй додатного порядку з нулями на скiнченнiй системi променiв у Lq[0, 2\pi ]-метрицi. У працях
[14, 17 – 19] дослiджено асимптотичну поведiнку цiлих функцiй покращеного регулярного зро-
стання в загальному випадку (з довiльним розподiлом нулiв). Проте поведiнку аргументiв цiлих
функцiй покращеного регулярного зростання не було дослiджено.
Цiла функцiя f називається функцiєю покращеного регулярного зростання [12, 13], якщо
для деяких \rho \in (0,+\infty ), \rho 1 \in (0, \rho ) i 2\pi -перiодичної \rho -тригонометрично опуклої функцiї
c\bigcirc Р. В. ХАЦЬ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4 557
558 Р. В. ХАЦЬ
h \not \equiv - \infty iснує множина U \subset \BbbC , яка мiститься в об’єднаннi кругiв iз скiнченною сумою
радiусiв, така, що
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f(z)| = | z| \rho h(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z) + o(| z| \rho 1), U \not \ni z = rei\varphi \rightarrow \infty .
Якщо цiла функцiя f є функцiєю покращеного регулярного зростання, то [12] вона має порядок
\rho i iндикатор h(\varphi ). Функцiя h(\varphi ) [6, с. 93, 94, 110; 9, с. 138] (див. також [1, с. 76 – 78, 199])
скрiзь має праву похiдну, яка неперервна, за винятком щонайбiльше злiченної множини.
Нехай f — цiла функцiя, f(0) = 1 i (\lambda n) — послiдовнiсть її нулiв. Далi вважатимемо
функцiю
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(z) =
z\int
0
f \prime (\zeta )
f(\zeta )
d\zeta
визначеною в комплекснiй площинi з радiальними розрiзами вiд нулiв цiлої функцiї f до
нескiнченностi. Функцiя \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(z) є однозначною гiлкою багатозначної функцiї \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g} f(z) =
= \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f(z)| + i\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g} f(z) такою, що \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(0) = 0. Нехай
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | ) =
1
2\pi
2\pi \int
0
e - ik\varphi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f(rei\varphi )| d\varphi , k \in \BbbZ , r > 0,
— коефiцiєнти Фур’є функцiї \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f(rei\varphi )| i n(t, \psi ; f) =
\sum
| \lambda n| \leq t, arg \lambda n=\psi
1.
Вiдомо, що згiдно з теоремою Адамара – Бореля [1, с. 38; 4, 6, 12, 13] цiла функцiя f,
f(0) = 1, порядку \rho \in (0,+\infty ) має вигляд
f(z) = eQ(z)
\infty \prod
n=1
E
\biggl(
z
\lambda n
, p
\biggr)
,
де \lambda n \not = 0 — нулi функцiї f(z), Q(z) =
\sum \nu
k=1
Qkz
k — полiном степеня \nu \leq \rho , p \leq \rho —
найменше цiле невiд’ємне число, для якого
\sum
n\in \BbbN
| \lambda n| - p - 1 < +\infty i E(w, p) = (1 - w) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(w+
+ w2/2 + . . .+ wp/p) — первинний множник Вейєрштрасса роду p.
Наступна теорема вказує на необхiднi та достатнi умови для покращеного регулярного
зростання цiлих функцiй додатного порядку з нулями на скiнченнiй системi променiв.
Теорема А. Нехай f — цiла функцiя порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi
променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi . Тодi еквiвалентними
є такi твердження:
1) для деякого \rho 2 \in (0, \rho ) i кожного j \in \{ 1, . . . ,m\} виконується
n(t, \psi j ; f) = \Delta jt
\rho + o(t\rho 2), t\rightarrow +\infty , \Delta j \in [0,+\infty ), (1)
i, крiм того, у випадку цiлого \rho для деяких \rho 3 \in (0, \rho ) i \delta f \in \BbbC \sum
0<| \lambda n| \leq r
\lambda - \rho n = \delta f + o(r\rho 3 - \rho ), r \rightarrow +\infty ; (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛОГАРИФМIВ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 559
2) f є функцiєю покращеного регулярного зростання з iндикатором h(\varphi ), причому, якщо
\rho — нецiле число, то
h(\varphi ) =
m\sum
j=1
hj(\varphi ), (3)
де hj(\varphi ) — 2\pi -перiодична функцiя, визначена на промiжку [\psi j , \psi j + 2\pi ) рiвнiстю hj(\varphi ) =
=
\pi \Delta j
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi \rho
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho (\varphi - \psi j - \pi ); для \rho \in \BbbN маємо
h(\varphi ) =
\left\{ \tau f \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\rho \varphi + \theta f ) +
\sum m
j=1
hj(\varphi ), \rho = p,
Q\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho \varphi , \rho = p+ 1,
(4)
де \tau f = | \delta f/\rho + Q\rho | , \theta f = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(\delta f/\rho + Q\rho ) i hj(\varphi ) — 2\pi -перiодична функцiя, визначена на
промiжку [\psi j , \psi j + 2\pi ) рiвнiстю hj(\varphi ) = \Delta j(\pi - \varphi + \psi j) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \rho (\varphi - \psi j) -
\Delta j
\rho
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \rho (\varphi - \psi j);
3) для деяких \rho 4 \in (0, \rho ), k0 \in \BbbZ i кожного k \in \{ k0, k0 + 1, . . . , k0 +m - 1\}
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | ) = ckr
\rho + o(r\rho 4), r \rightarrow +\infty , ck :=
1
2\pi
2\pi \int
0
e - ik\varphi h(\varphi ) d\varphi ;
4) для деякого \rho 5 \in (0, \rho ) i кожного q \in [1,+\infty ) виконується\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f(rei\varphi )| r\rho
- h(\varphi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q d\varphi
\right\}
1/q
= o(r\rho 5 - \rho ), r \rightarrow +\infty .
Доведення еквiвалентностi першого i другого тверджень мiститься в роботах [12, 13]. Еквi-
валентнiсть другого i третього тверджень встановлено у статтi [15], а еквiвалентнiсть другого
i четвертого тверджень доведено в [16].
Актуальним є встановлення нових критерiїв покращеного регулярного зростання цiлих
функцiй додатного порядку. Метою цiєї статтi є дослiдження асимптотичної поведiнки лога-
рифмiв цiлих функцiй покращеного регулярного зростання з нулями на скiнченнiй системi
променiв у метрицi просторiв Lq[0, 2\pi ], q \in [1,+\infty ).
Теорема 1. Нехай f — цiла функцiя порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi
променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi . Для того щоб
функцiя f була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i достатньо, щоб для
деякого \rho 6 \in (0, \rho ) i кожного q \in [1,+\infty ) виконувалось\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\varphi )r\rho
+
h\prime (\varphi )
\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q d\varphi
\right\}
1/q
= o(r\rho 6 - \rho ), r \rightarrow +\infty , (5)
де h(\varphi ) — iндикатор f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
560 Р. В. ХАЦЬ
Наслiдок 1. Нехай f — цiла функцiя порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi
променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi . Для того щоб
функцiя f була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i достатньо, щоб для
деякого \rho 7 \in (0, \rho ) i кожного q \in [1,+\infty ) виконувалось\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(rei\varphi )r\rho
- \widetilde h(\varphi )\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q d\varphi
\right\}
1/q
= o(r\rho 7 - \rho ), r \rightarrow +\infty ,
де \widetilde h(\varphi ) = h(\varphi ) - i
h\prime (\varphi )
\rho
.
2. Допомiжнi твердження. Нехай f — цiла функцiя, f(0) = 1 i (\lambda n) — послiдовнiсть її
нулiв. Позначимо для k \in \BbbZ i r > 0
N(r, \psi ; f) =
r\int
0
n(t, \psi ; f)
t
dt, N\ast (r, \psi ; f) =
r\int
0
N(t, \psi ; f)
t
dt,
ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) =
1
2\pi
2\pi \int
0
e - ik\varphi \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\varphi ) d\varphi ,
nk(r, f) =
\sum
| \lambda n| \leq r
e - ik arg \lambda n , Nk(r, f) =
r\int
0
nk(t, f)
t
dt, N\ast
k (r, f) =
r\int
0
Nk(t, f)
t
dt.
Лема 1. Якщо цiла функцiя f порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi променiв
\{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi , є функцiєю покращеного
регулярного зростання, то для деякого \rho 8 \in (0, \rho ) рiвномiрно по k \in \BbbZ
ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) = - ikck
r\rho
\rho
+
k
k2 + 1
o(r\rho 8), r \rightarrow +\infty , (6)
де
ck =
1
2\pi
2\pi \int
0
e - ik\varphi h(\varphi ) d\varphi =
\rho
\rho 2 - k2
m\sum
j=1
\Delta je
- ik\psi j , \Delta j \in [0,+\infty ), (7)
якщо \rho — нецiле число, i для \rho \in \BbbN
ck =
\left\{
\rho
\rho 2 - k2
\sum m
j=1
\Delta je
- ik\psi j , | k| \not = \rho = p,
\tau fe
i\theta f
2
- 1
4\rho
\sum m
j=1
\Delta je
- i\rho \psi j , k = \rho = p,
0, | k| \not = \rho = p+ 1,
Q\rho
2
, k = \rho = p+ 1.
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛОГАРИФМIВ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 561
Доведення. Якщо виконуються умови леми 1, то [20, с. 10] (лема 1) (див. також [16]) для
деякого \rho 8 \in (0, \rho ) рiвномiрно по k \in \BbbZ виконується спiввiдношення
ck(r, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | ) = ckr
\rho +
o(r\rho 8)
k2 + 1
, r \rightarrow +\infty ,
де ck визначенi формулами (7) i (8). Оскiльки [8, с. 43]
ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) = - ik
r\int
0
ck(t, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | )
t
dt, k \in \BbbZ ,
то з останнього спiввiдношення отримуємо (6).
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай f — цiла функцiя порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi
променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi , i для деякого
\rho 6 \in (0, \rho ) та кожного q \in [1,+\infty ) виконується асимптотична рiвнiсть (5) iз функцiєю h(\varphi ),
визначеною формулами (3) i (4). Тодi для всiх k \in \BbbZ \setminus \{ 0\}
ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) = - ikck
r\rho
\rho
+ o(r\rho 6), r \rightarrow +\infty , (9)
N\ast
k (r, f) = ck
\biggl(
1 - k2
\rho 2
\biggr)
r\rho
\rho
+ o(r\rho 6), r \rightarrow +\infty , (10)
де ck визначенi формулами (7) i (8).
Доведення. За умов леми 2 для всiх k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f)r\rho
+
ik
\rho
ck
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\varphi )r\rho
+
h\prime (\varphi )
\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\varphi \leq
\leq
\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\varphi )r\rho
+
h\prime (\varphi )
\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q d\varphi
\right\}
1/q
= o(r\rho 6 - \rho ), r \rightarrow +\infty .
Отже, для деякого \rho 6 \in (0, \rho ) i кожного k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} виконується спiввiдношення (9) з ck,
визначеними формулами (7) i (8). Оскiльки [8, с. 43]
N\ast
k (r, f) =
i
k
ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) - ik
r\int
0
dt
t
t\int
0
ck(u, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f)
u
du, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , r > 0,
то на пiдставi (9) для всiх k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} отримуємо
N\ast
k (r, f) = ck
r\rho
\rho
+ o(r\rho 6) - ik
r\int
0
dt
t
t\int
0
\biggl(
- ik
\rho
cku
\rho - 1 + o(u\rho 6 - 1)
\biggr)
du =
= ck
\biggl(
1 - k2
\rho 2
\biggr)
r\rho
\rho
+ o(r\rho 6), r \rightarrow +\infty .
Таким чином, виконується також рiвнiсть (10).
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
562 Р. В. ХАЦЬ
Лема 3. Нехай f — цiла функцiя порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на скiнченнiй системi
променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi . Для того щоб для
деякого \rho 6 \in (0, \rho ) i кожного j \in \{ 1, . . . ,m\} виконувалась рiвнiсть
N\ast (r, \psi j ; f) =
\Delta j
\rho 2
r\rho + o(r\rho 6), r \rightarrow +\infty , \Delta j \in [0,+\infty ), (11)
необхiдно i достатньо, щоб для деяких \rho 6 \in (0, \rho ), k0 \in \BbbZ \setminus \{ 0\} i кожного k \in \{ k0, k0 +
+ 1, . . . , k0 + m - 1\} виконувалось (10) iз ck, визначеними формулами (7) i (8). При цьому\sum m
j=1
\Delta je
- i\rho \psi j = 0, якщо \rho \in \BbbN .
Лема 3 доводиться на основi рiвностей N\ast
k (r, f) =
\sum m
j=1
e - ik\psi jN\ast (r, \psi j ; f), k \in \BbbZ , анало-
гiчно лемi 5 з [15, с. 1720].
Лема 4. Нехай \rho \in (0,+\infty ). Для того щоб для деякого \rho 2 \in (0, \rho ) i кожного j \in
\in \{ 1, . . . ,m\} виконувалась рiвнiсть (1), необхiдно i достатньо, щоб для деякого \rho 6 \in (0, \rho ) i
кожного j \in \{ 1, . . . ,m\} виконувалось (11).
Доведення леми 4 мiститься в доведеннi леми 3 з [22, с. 143] (див. також [12, 13, 15]).
Лема 5. Якщо цiла функцiя f порядку \rho \in \BbbN задовольняє умови леми 2, то для деякого
\rho 3 \in (0, \rho ) виконується умова (2) з \delta f = \rho
\bigl(
\tau fe
i\theta f - Q\rho
\bigr)
.
Доведення. З огляду на лему 2 для деякого \rho 6 \in (0, \rho ) i кожного k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} виконуються
спiввiдношення (9) i (10) з ck, визначеними формулами (7) i (8). При цьому за лемами 3 i 4 для
деякого \rho 2 \in (0, \rho ) та кожного j \in \{ 1, . . . ,m\} виконується рiвнiсть (1) i
\sum m
j=1
\Delta je
- i\rho \psi j = 0.
Оскiльки [8, с. 43]
ick(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) = ck(r, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | ) +
1
k
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\biggl(
\lambda n
r
\biggr) k
- nk(r, f)
k
, k \in \BbbN ,
i [13, с. 21; 21]
c\rho (r, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} | f | ) =
1
2
Q\rho r
\rho +
1
2\rho
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\Biggl( \biggl(
r
\lambda n
\biggr) \rho
-
\biggl(
\lambda n
r
\biggr) \rho \Biggr)
, k = \rho = p,
то
ic\rho (r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) =
1
2
Q\rho r
\rho +
1
2\rho
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\biggl(
r
\lambda n
\biggr) \rho
+
1
2\rho
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\biggl(
\lambda n
r
\biggr) \rho
- n\rho (r, f)
\rho
,
де n\rho (r, f) =
\sum m
j=1
e - i\rho \psi jn(r, \psi j ; f). Звiдси з урахуванням спiввiдношень (1) i (9) переконує-
мося, що iснує таке \rho 3 \in (0, \rho ), що при r \rightarrow +\infty
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\lambda - \rho n = 2i\rho r - \rho c\rho (r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) - \rho Q\rho - r - \rho
\sum
0<| \lambda n| \leq r
\biggl(
\lambda n
r
\biggr) \rho
+ 2r - \rho n\rho (r, f) =
= 2i\rho r - \rho c\rho (r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) -
- \rho Q\rho - r - 2\rho
m\sum
j=1
e - i\rho \psi j
r\int
0
t\rho dn(t, \psi j ; f) + 2r - \rho
m\sum
j=1
e - i\rho \psi jn(r, \psi j ; f) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛОГАРИФМIВ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 563
= 2i\rho r - \rho c\rho (r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) - \rho Q\rho + r - \rho
m\sum
j=1
e - i\rho \psi jn(r, \psi j ; f)+
+\rho r - 2\rho
m\sum
j=1
e - i\rho \psi j
r\int
0
t\rho - 1n(t, \psi j ; f) dt =
= \rho (\tau fe
i\theta f - Q\rho ) +
m\sum
j=1
\Delta je
- i\rho \psi j + o(r\rho 3 - \rho ) =
= \delta f + o(r\rho 3 - \rho ).
Залишилось зауважити, що у випадку \rho = p+ 1 умова (2) випливає [13, c. 23] з умови (1).
Лему 5 доведено.
3. Доведення теореми 1 i наслiдку 1. Спочатку доведемо теорему 1. Необхiднiсть. Нехай
f — цiла функцiя покращеного регулярного зростання порядку \rho \in (0,+\infty ) з нулями на
скiнченнiй системi променiв \{ z : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z = \psi j\} , j \in \{ 1, . . . ,m\} , 0 \leq \psi 1 < \psi 2 < . . . < \psi m < 2\pi ,
i h(\varphi ) — її iндикатор, визначений формулами (3) i (4). За лемою 1 для деякої сталої C > 0 i
кожного r > r0 маємо \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f)r\rho
+
ik
\rho
ck
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C
k
k2 + 1
, k \in \BbbZ , (12)
а отже, послiдовнiсть
\biggl(
r - \rho ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f) +
ik
\rho
ck
\biggr)
k\in \BbbZ
належить до простору l\widetilde q для всiх \widetilde q > 1 i
r > r0. Тодi, застосувавши теорему Гаусдорфа – Юнга [6, с. 5, 6] для q \geq 2, q - 1 + \widetilde q - 1 = 1,
одержимо\left\{ 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f(rei\varphi )r\rho
+
h\prime (\varphi )
\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q d\varphi
\right\}
1/q
\leq
\Biggl\{ \sum
k\in \BbbZ
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ck(r, \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} f)r\rho
+
ik
\rho
ck
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde q
\Biggr\} 1/\widetilde q
.
Отриманий ряд завдяки (12) є рiвномiрно збiжним для всiх r > r0. Виконавши у ньому гра-
ничний перехiд при r \rightarrow +\infty , з урахуванням леми 1 отримуємо (5) для q \geq 2. Звiдси та з
нерiвностi Гельдера отримуємо спiввiдношення (5) i для 1 \leq q < 2.
Достатнiсть випливає з лем 2 – 5 та еквiвалентностi першого i другого тверджень теоре-
ми А.
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1 безпосередньо випливає з теореми 1 та еквiвалентностi другого та четвертого
тверджень теореми А.
Лiтература
1. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций, Гостехиздат, Москва (1956).
2. А. А. Гольдберг, Б. Я. Левин — создатель теории целых функций вполне регулярного роста, Мат. физика,
анализ, геометрия, 1, № 2, 186 – 192 (1994).
3. А. А. Гольдберг, Б. Я. Левин, И. В. Островский, Целые и мероморфные функции, Итоги науки и техники.
Соврем. пробл. математики. Фундам. направления, 85, 5 – 186 (1991).
4. L. A. Rubel, Entire and meromorphic functions, Springer, New York (1996).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
564 Р. В. ХАЦЬ
5. В. С. Азарин, О регулярности роста коэффициентов Фурье логарифма модуля целой функции, Теория функ-
ций, функцион. анализ и их прил., вып. 27, 9 – 21 (1977).
6. А. А. Кондратюк, Ряды Фурье и мероморфные функции, Вища шк., Львов (1988).
7. Р. З. Калинець, А. А. Кондратюк, Про регулярнiсть зростання модуля i аргумента цiлої функцiї в Lp[0, 2\pi ]-
метрицi, Укр. мат. журн., 50, № 7, 889 – 896 (1998).
8. Я. В. Василькiв, Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних функцiй
цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2\pi ]-метрицi, ч. 1, Мат. студ., 12, № 1, 37 – 58 (1999).
9. Я. В. Василькiв, Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних функцiй
цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2\pi ]-метрицi, ч. 2, Мат. студ., 12, № 2, 135 – 144 (1999).
10. О. В. Боднар, М. В. Заболоцький, Критерiї регулярностi зростання логарифма модуля та аргументу цiлої
функцiї, Укр. мат. журн., 62, № 7, 885 – 893 (2010).
11. Н. В. Заболоцкий, О. В. Костюк, Регулярный рост различных характеристик целых функций нулевого порядка,
Мат. заметки, 100, № 3, 363 – 374 (2016).
12. Б. В. Винницький, Р. В. Хаць, Про регулярнiсть зростання цiлої функцiї нецiлого порядку з нулями на скiнченнiй
системi променiв, Мат. студ., 24, № 1, 31 – 38 (2005).
13. R. V. Khats’, On entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite system of rays,
Mat. Stud., 26, № 1, 17 – 24 (2006).
14. Гiрник М. О., Субгармонiчнi функцiї покращеного регулярного зростання, Доп. НАН України, № 4, 13 – 18
(2009).
15. Р. В. Хаць, Регулярнiсть зростання коефiцiєнтiв Фур’є цiлих функцiй покращеного регулярного зростання,
Укр. мат. журн., 63, № 12, 1717 – 1723 (2011).
16. R. V. Khats’, Asymptotic behavior of entire functions of improved regular growth in the metric of Lp[0, 2\pi ], Carpathian
Math. Publ., 5, № 2, 341 – 344 (2013).
17. B. V. Vynnyts’kyi, R. V. Khats’, On asymptotic properties of entire functions, similar to the entire functions of
completely regular growth, Visn. Nats. Univ. L’viv. Politekh., Fiz.-Mat. Nauky, 718, № 718, 5 – 9 (2011).
18. R. V. Khats’, Asymptotic behavior of averaging of entire functions of improved regular growth, Carpathian Math.
Publ., 5, № 1, 129 – 133 (2013).
19. I. E. Chyzhykov, Pfluger-type theorem for functions of refined regular growth, Mat. Stud., 47, № 2, 169 – 178 (2017).
20. R. V. Khats’, Averaging of entire functions of improved regular growth with zeros on a finite system of rays, Visn.
Nats. Univ. L’viv. Politekh., Fiz.-Mat. Nauky, 718, № 718, 10 – 14 (2011).
21. Р. В. Хаць, Про коефiцiєнти Фур’є одного класу цiлих функцiй, Мат. студ., 23, № 1, 99 – 102 (2005).
22. Б. В. Винницький, Р. В. Хаць, Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку, Мат. студ., 21,
№ 2, 140 – 150 (2004).
Одержано 16.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-500 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:02:51Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a6/a5b7a50d759bf4807f51f6ffafd70ba6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-5002022-03-26T11:01:33Z Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ Асимптотична поведінка логарифмів цілих функцій покращеного регулярного зростання в $L^q[0,2\pi]$-метриці Khats', R. V. Хаць, Р. В. Хаць, Р. В. UDC 517.5 We describe asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth with zeros on a finite system of rays in the metric of $L^q[0, 2\pi].$ УДК 517.5 Описано асимптотичну поведінку логарифмів цілих функцій покращеного регулярного зростання з нулями на скінченній системі променів у $L^q[0, 2\pi]$-метриці. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/500 10.37863/umzh.v72i4.500 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 557-564 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 557-564 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/500/8707 |
| spellingShingle | Khats', R. V. Хаць, Р. В. Хаць, Р. В. Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title | Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title_alt | Асимптотична поведінка логарифмів цілих функцій покращеного регулярного зростання в $L^q[0,2\pi]$-метриці |
| title_full | Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title_short | Asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^q[0,2\pi]$ |
| title_sort | asymptotic behavior of the logarithms of entire functions of improved regular growth in the metric of $l^q[0,2\pi]$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/500 |
| work_keys_str_mv | AT khats039rv asymptoticbehaviorofthelogarithmsofentirefunctionsofimprovedregulargrowthinthemetricoflq02pi AT hacʹrv asymptoticbehaviorofthelogarithmsofentirefunctionsofimprovedregulargrowthinthemetricoflq02pi AT hacʹrv asymptoticbehaviorofthelogarithmsofentirefunctionsofimprovedregulargrowthinthemetricoflq02pi AT khats039rv asimptotičnapovedínkalogarifmívcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâvlq02pimetricí AT hacʹrv asimptotičnapovedínkalogarifmívcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâvlq02pimetricí AT hacʹrv asimptotičnapovedínkalogarifmívcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâvlq02pimetricí |