The unity of physical theory and its mathematical formalism
The relation between the physical theory and its mathematical formalism is shown.
Gespeichert in:
| Datum: | 1997 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1997
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5163 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860511365795414016 |
|---|---|
| author | Akhiezer, N. I. Ахиезер, Н. И. Ахиезер, Н. И. |
| author_facet | Akhiezer, N. I. Ахиезер, Н. И. Ахиезер, Н. И. |
| author_sort | Akhiezer, N. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T21:26:15Z |
| description | The relation between the physical theory and its mathematical formalism is shown. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:11:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 51.001
А. И. Ахиезер
(Национальный науч. центр „Харьков, физ.-техи. ин-т", Харьков)
ЕДИНСТВО ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
The relation of the physical theory to its mathematical formalism is shown.
Показано зв'язок фізичної теорії з її математичним формалізмом.
Математический символизм был введен в физическую науку Ньютоном, со-
здавшим новую математику — дифференциальное и интегральное исчисления.
Она понадобилась ему, чтобы сформулировать созданную им же первую физи-
ческую теорию — механику. Вместе с развитием механики происходило и раз-
витие математики. Появилась теория дифференциальных уравнений, без кото-
рой не могли решаться проблемы классической механики. Однако в дальней-
шем математика обогнала физику, получив от нее первоначальный импульс для
своего развития. Математика все дальше отдалялась от физики, подчиняясь
собственным законам развития. Она все больше становилась абстрактной нау-
кой, занимающейся исследованием проблем, имеющих самостоятельный, чисто
математический 'интерес. В результате математика стала царицей наук. И само
ее название „матезис", что означает „наука", как бы подчеркивает тождествен-
ность науки и математики.
Здесь уместно вспомнить вдохновенные слова крупнейшего математика на-
шего столетия Германа Вейля: „Подобно мифам, языку и музыке, математи-
зация принадлежит к числу первичных видов человеческой деятельности, в ко-
торых бурлит глубочайшая человечность, живет стремление к созиданию
форм духа и выражается мировая гармония".
Каждая физическая теория не отделима от математического формализма
теории. Без него невозможна сама формулировка физической теории. Именно
поэтому Бор говорил, что математика — это больше чем наука, это язык.
В этом можно убедиться на каждом этапе развития физической картины
мира. Проследим связь между различными физическими теориями и их мате-
матическими аппаратами.
На базе классической механики была создана статистическая механика.
Формулировка основ этой теории невозможна без теории вероятности, понятия
которой широко используются в статистической механике. Кинетическое урав-
нение Больцмана, лежащее в основе кинетической теории газов, базируется на
теории интегральных уравнений. В этих примерах речь идет об использовании
уже существовавших математических теорий, но подчеркнем еще раз, что и ста-
тистическая механика, и кинетическая теория не отделимы от соответствую-
щих им математических аппаратов.
Перейдем от классической механики Ньютона ко второй великой физичес-
кой теории — классической электродинамике Максвелла. Она формулируется
в виде дифференциальных уравнений в частных производных по координатам и
времени. Но можно ли „оторвать" физическую теорию электромагнетизма от
ее математической формулировки в виде уравнений Максвелла. По этому по-
воду крупнейший физик XIX в. Генрих Герц, первым подтвердивший опытным
путем уравнения электромагнетизма Максвелла, доказав существование радио-
волн, говорил: Невозможно избавиться от ощущения, что эти математиче-
ские формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разу-
мом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем
из них больше, чем первоначально было заложено".
После этих слов становятся понятными слова Больцмана об уравнениях
Максвелла: „Уж не Боги ли начертали эти знаки".
Сейчас курьезом представляется та дискуссия о природе электрического то-
© А. И. АХИЕЗЕР, 1997
1594 ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1997, т. 49, № 12
ЕДИНСТВО ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 1595
ка, которая происходила в тридцатые годы в Ленинграде. На ней известные в то
время люди пытались „оторвать" физику Фарадея от математики Максвелла и
оперировали силовыми магнитными линиями как некоторой материальной суб-
станцией. В свое время существовала даже крылатая фраза: „Материя исчез-
ла, а остались одни уравнения". Сейчас мы вспоминаем обо всем этом как о бес-
смысленной нелепости.
После максвелловой электродинамики возникла специальная, а затем общая
теория относительности Эйнштейна. Специальная теория относительности от-
вергла представления об абсолютном характере времени и пространства. Физи-
ка подошла здесь впервые к ревизии понятий геометрии и к вопросу о том, абсо-
лютный ли смысл имеют теоремы евклидовой геометрии. В связи с этой про-
блемой Эйнштейн в своей работе „Геометрия и опыт" писал:
,Дз всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее
теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в изве-
стной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми
открытиями. Однако исследователю, работающему в какой-либо другой об-
ласти науки, не приходится завидовать математику, так как положения ма-
тематики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах
нашего воображения. В самом деле, нет.ничего удивительного в том, что мож-
но прийти к логически согласованным выводам, если сначала пришли к соглаше-
нию относительно основных положений (аксиом), а также относительно тех
приемов, при помощи которых из этих основных положений выводятся другие
теоремы. В то же время это глубокое уважение к математике имеет и другое
основание, а именно: математика является тем, что дает точным наукам из-
вестную меру уверенности; без математики они ее не могли бы достичь.
В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех
времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с
реальными предметами, если сама она является произведением только челове-
ческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум
без всякого опыта путем только одного размышления понять свойства реаль-
ных вещей.
На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: если теоремы мате-
матики прилагаются к отражению реального мира, они не точны; они точны
до тех пор, пока не ссылаются на действительность".
Последняя фраза Эйнштейна нуждается в комментарии. Эйнштейн здесь
фактически полемизирует с Пуанкаре. Последний считал геометрию Евклида
простейшей и из-за ее простоты пришел к выводу об универсальности ее приме-
нения. Эйнштейн же, учитывая сокращения измерительных стержней при их
движении, уже в специальной теории относительности пришел к выводу о необ-
ходимости различать абстрактную, или аксиоматическую, геометрию от гео-
метрии практической, или. физической. Удивительно то, что Эйнштейн пони-
мал необходимость аксиоматизации геометрии и вообще математики.
После эйнштейновской теории относительности и нам становится теперь по-
нятным огромное значение построения аксиоматики геометрии, проблемы, ре-
шенной крупнейшим математиком нашего времени Давидом Гильбертом. Мы
не можем останавливаться здесь подробнее и на этой проблеме, и на труднос-
тях, возникающих при аксиоматизации математики, нашедших свое выражение
в известной теореме Геделя о том, что можно высказать такие утверждения (в
рамках заданной аксиоматики), которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Великий математик Гильберт, говоривший, что „физика слишком сложна для
физиков", хотел даже аксиоматизировать и физику, но из этой затеи, естест-
венно, ничего не вышло, поскольку физическая теория мира все время эволю-
ционирует и не может существовать окончательной физической картины мира.
Но если вернуться к теории относительности, то она не может быть сформу-
лирована без римановой геометрии, так что и здесь мы воочию убеждаемся в не-
отделимости теории относительности от римановой геометрии.
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, № 12
1598 А. И. АХИЕЗЕР
Связь физической теории с ее математическим формализмом достигает апо-
гея в квантовой механике, в которой физические величины, т. е. наблюдаемые,
неразрывно связываются с эрмитовскими операторами.
В. А. Фок для иллюстрации связи между квантовой теорией и ее математи-
ческим аппаратом составил целый словарь для перевода с математического
языка на физический [1].
Математика
Линейный оператор Ь
Собственные значения X'
(характеристические числа)
Собственная (фундаментальная)
функция для собственного
значения (характеристического
числа) X'
Коммутативность операторов
Квадрат модуля | \\г \2
Нормировка | |\|/|2А: = 1
Переход к собственным диффе-
ренциалам в сплошном спектре
Ортогональность | ф*ф = О
Замкнутость системы функций
Интеграл j ср * Ьф Л
Квадрат модуля коэффициента
разложения ф(х) по X')
Физика
Физическая величина X
Наблюдаемые значения физической
величины
Состояние механической системы, в
котором X = X'
Одновременная наблюдаемость
физических величин
Плотность вероятности
Сумма вероятностей равна 1
Конечная вероятность неравенства
X' < X < X' + АХ
Состояния ф и несовместимы
Значения X', X" и т. д. единствен-
но возможны
Математическое ожидание величины
X в состоянии ф
Вероятность равенства X = X' в со-
стоянии ф
Синтез требований квантовой теории и теории относительности привел Ди-
рака к построению релятивистской квантовой механики электронов. При этом
в теорию пришлось ввести наряду с известными Четырехмерными векторами и
тензорами новые величины — спиноры и биспиноры, которые преобразуются
при преобразованиях Лоренца иначе, чем тензорные величины.
Переходя к миру элементарных частиц, мы приходим к необходимости ис-
пользования новой математической дисциплины — теории групп. Мы исходим
из того, что частицы обладают некоторыми внутренними свойствами симмет-
рии. Но наличие симметрий находит в математике свое отражение в новом ма-
тематическом объекте — группе симметрии, а теория представлений групп сим-
метрии может быть связана с классификацией частиц. Каждое представление
соответствует отдельной частице и, таким образом, в физике возникает так на-
зываемый восьмеричный путь или БЩЗ) симметрия.
После введения понятия цвета кварка и введения соответствующей трем
цветам цветовой 8И (3) произошло расширение этой симметрии с глобального
до локального уровня, при котором параметры глобальной 811 (3) симметрии
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N' 12
ЕДИНСТВО ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 1595
становятся функциями координат и времени. Так возникла динамическая цве-
товая группа симметрии с новыми физическими полями — полями глюонов,
обмен которыми обеспечивает взаимодействие между кварками.
До сих пор мы говорили о тесной связи или единстве физической теории и
соответствующего ей математического формализма. Но кроме этой связи нуж-
но иметь в виду, что математический формализм обладает, если можно так вы-
разиться, собственной жизнью и поэтому приводит к совершенно новым физи-
ческим предсказаниям, которые не содержались в исходных положениях физи-
ческой теории. Иными словами, математический аппарат теории обладает пред-
сказательной силой.
Проследим эту предсказательную силу на разных этапах развития физичес-
кой картины мира.
Если начать с ньютоновской механики, то здесь мы должны напомнить о
предсказанном небесной механикой существовании новой планеты Солнечной
системы — Нептуна. Нужно упомянуть также предсказанный А. Н. Колмого-
ровым спектр турбулентных колебаний жидкости.
В классической электродинамике из уравнений Максвелла вытекала воз-
можность существования электромагнитных волн, распространяющихся в ва-
кууме с универсальной скоростью, не зависящей от длины волны.
Специальная теория относительности Эйнштейна предсказала изменение
хода часов, изменение длин отрезков, существование частиц с нулевой массой и
установила эквивалентность массы и энергии. Последнее предсказание позво-
лило понять, что такое энергия связи ядра, и позволило определить ту энер-
гию, которая выделяется при делении тяжелых ядер и при цепной ядерной ре-
акции.
Общая теория относительности со своим математическим аппаратом приве-
ла к открытию красного смещения, открытию отклонения луча света вблизи
Солнца и Звезд, к предсказанию гравитационных волн и реликтового излуче-
ния, т. е. фотонов, сохранившихся после Большого взрыва.
Квантовая механика предсказала туннельный эффект при прохождении
частиц через потенциальный барьер. Это дало возможность Гамову объяснить
а-распад ядер.
Релятивистская квантовая механика электрона, построенная Дираком, пред-
сказала существование позитрона, т. е. антиэлектрона, а отсюда далее было
предсказано существование других античастиц.
Наконец, в теории Дирака автоматически возникал спин электрона, который
до этого вводился феноменологически.
Квантовая электродинамика, представляющая собой синтез электромагнит-
ной теории Максвелла и теории Дирака, привела к предсказанию целого ряда
замечательных явлений. Прежде всего отметим превращения фотонов в элек-
троино-позитронные пары, аннигиляции электронно-позитронных пар в фото-
ны, рассеяния света светом и ряда других эффектов, показывающих, что ваку-
ум полей обладает реальными физическими свойствами.
В теории сильного взаимодействия на основании SU(3) симметрии была
математически получена формула, определяющая массы барионов и на основа-
нии этой формулы предсказано существование новой частицы — гиперона.
Вера в закон сохранения энергии позволила Паули предсказать существова-
ние новой частицы — нейтрино, а развитая на основе этого предсказания теория
Ферми ß -распада ядер дала возможность объяснить непрерывный характер
энергетического спектра электронов при ß -распаде.
Единая теория электрослабого взаимодействия, развитая Вайнбергом, пред-
сказала существование W1- и Z-бозонов, переносящих слабое взаимодействие.
Как бы подытоживая все эти замечательные предсказания теоретической
физики, Дирак говорил: ,JIpupode присуща та фундаментальная особенность, что самые основные
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, № 12
1598 А. И. АХИЕЗЕР
физические законы описываются математической теорией, аппарат которой
обладает необыкновенной силой и красотой" [2].
Свою веру в огромную предсказательную силу математического формализма
физической теории Дирак формулирует следующим образом [2]:
„Наши жалкие математические усилия позволяют пока понять во Вселен-
ной лишь немногое. Но развивая все более совершенные математические мето-
ды, мы можем надеяться на лучшее понимание Вселенной. Математические ис-
следования дают надежду угадать, каким будет аппарат будущей теоретичес-
кой физики.
Рано или поздно появится новый Гейзенберг, способный уловить существен-
ные особенности новой информации и открыть метод ее использования, подоб-
но тому, как ранее экспериментальные данные по спектрам были использованы
Гейзенбергом для построения матричногй механики".
Наконец, роль математики в развитии физической теории анализирует из-
вестный физик-теоретик Ф. Дж. Дайсон:
,Дри всех отклонениях и поворотах в развитии физики неизменным остает-
ся один фактор — исключительная роль математического воображения. В
каждом столетии отдавалось предпочтение какому-то своему направлению в
науке и вырабатывался свой стиль в математике. Математика для физика
это не только инструмент, с помощью которого он может количественно опи-
сать любое явление, но и главный источник представлений и принципов, на
основе которых зарождаются новые теории.
Способность математики отображать поведение физической вселенной
беспрестанно удивляла физиков всех времен. Великий астроном XVII в.
Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет, выразил свое изумление,
прибегнув к богословским понятиям: вот сам Господь, который был слиш-
ком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы, посылая знаки
своего подобия в мир. Поэтому я и осмеливаюсь думать, что вся природа и
благословенное небо записаны на языке искусства геометрии".
В связи с этими рассуждениями естественно возникает вопрос, как вообще
возникает физическая теория. Достаточно ли для этого одного математичес-
кого формализма или достаточно самого по себе эксперимента для создания
новой фундаментальной физической теории?
Ньютон давал на этот вопрос следующий ответ: ,JTunome3 не строю", т. е.
он считал, что все в его механической теории взято из элементарного опыта.
Образно выражаясь, величайший физик и математик, говоря так, выступал в
роли некоего библейского законодателя, которому Природа ниспослала свои
законы и позволила запечатлеть их на скрижалях его „Начал".
Легко, однако, видеть, что элементарного опыта самого по себе недостаточ-
но для логического построения теории.
Действительно, разве можно говорить о логическом выводе закона гравита-
ции Ньютона из законов Кеплера, если ошибка при этом достигала нескольких
процентов.
Нельзя говорить также о логическом выводе уравнений Максвелла из опы-
тов Фарадея, ибо в них не содержалась идея о токе смещения.
Широко распространено мнение, что опыт Майкельсона сыграл решающую
роль в создании специальной теории относительности, однако в опубликован-
ном письме Эйнштейна это категорически отрицается [3].
Все это свидетельствует о том, что правильной является не концепция Нью-
тона „гипотез не строю", а концепция-Эйнштейна, согласно которой „любая по-
пытка чисто логического вывода основных понятий и принципов механики (то
есть физической теории) из отдельных опытов обречена на неудачу" [4]. Ины-
ми словами, нет однозначного логического пути от фактов опыта к теоретичес-
ким системам физики.
И действительно, создание физической теории, т. е. построение физической
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, N' 12
ЕДИНСТВО ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 1595
картины мира, связано не только с данными опыта, но еще с образованием ряда
понятий и введением ряда абстракций.
Новые понятия и концепции необходимы нам потому, что мы хотим иметь не
безжизненный набор никак не связанных между собой опытных данных, а жи-
вую физическую теорию, охватывающую основное и главное и позволяющую с
помощью необходимых для этого понятий и концепций предсказывать новые
явления и факты.
Схватывание главного и возможность отбрасывания несущественного и вто-
ростепенного означает, по сути, не что иное, как создание модели. Мы всегда
хотим иметь простую модель сложной вещи. Но сложные вещи не допускают
простых моделей. Например, Максвелл хотел создать механическую модель
электромагнитного поля, используя для этого набор зубчатых колес и шесте-
ренок, но такая модель оказалась слишком примитивной, поэтому и была от-
брошена.
Чтобы разъяснить волновой характер света, была придумана модель мирово-
го эфира, т. е. некоторой пронизывающей все тела среды, механические колеба-
ния которой эквивалентны электромагнитным колебаниям, связанным со све-
том. Однако и эта механическая модель оказалась слишком примитивной и бы-
ла отброшена. После этого для объяснения свойств электромагнитного поля
остались только одни уравнения Максвелла — математическая модель
электромагнитного поля. Мы намеренно употребляем здесь слово модель по-
тому, что в действительности уравнения Максвелла не охватывают всех свойств
электромагнитного поля, -например, различных нелинейных эффектов (таких
как рассеяние света светом), а также превращения электромагнитного поля в
электроны и позитроны.
Е. Вингер писал: „Окружающий нас физический мир допускает сложные ма-
тематические модели, использующие абстрактные понятия и концепции для
отображения его свойств. Такова природа вещей" [5]. Простые механические
модели электромагнитного поля, как и более сложные электромагнитные мо-
дели ядерной и субъядерной материи, оказываются слишком примитивными и
не отображают адекватно основных свойств окружающего нас мира, поэтому
они отбрасываются в мусорный ящик истории.
Усиление роли абстракций, необходимость введения новых понятий и кон-
цепций, столь характерные для современной физики, объясняют особое значе-
ние математики в физике, которая по своей сущности естественно приспособле-
на для этой цели, тем более что новые понятия, как правило, не допускают на-
глядной интерпретации. Мы не видим, например, в окружающем нас мире
гильбертова пространства, без введения которого невозможна формулировка
квантовой механики. В окружающем нас мире мы не видим также эрмитовых
операторов, которые должны сопоставляться различным физическим величи-
нам, но все эти понятия были хорошо известны в математике задолго до того,
как введение их стало необходимостью для физики.
Так математический аппарат становится неотъемлемой частью физической
теории, без которой невозможна сама формулировка физической теории.
Физическая теория становится неотделимой от своей математической фор-
мы, адекватной ее содержанию.
Модельность теории находится в тесной связи с ее феномеиологичностыо.
Часто противопоставляют теории феноменологические теориям микроскопи-
ческим. В действительности это различие между теориями условное, ибо лю-
бая микроскопическая теория никогда не может быть избавлена от феномено-
логических элементов. Например, классическая термодинамика считается сто-
процентной феноменологической теорией. Это означает, что хотя она и уста-
навливает два фундаментальных закона Природы — первое и второе начала
термодинамики, конкретного содержания в эти законы не вкладывается, ибо
только статистическая механика позволяет определить энергию и энтропию
системы как функции ее состояния.
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури., 1997, т. 49, № 12
1600 А. И. АХИЕЗЕР
Квантовая же механика считается стопроцентной микроскопической тео-
рией, ибо она позволяет определить энергетические уровни отдельных атомов и
молекул. Но ведь она только связывает их с универсальными константами —
зарядом и массой электрона и с постоянной Планка, „смысла" же этих кон-
стант не раскрывает, и они вводятся в теорию чисто феноменологически. Но
главное заключается в том, что об основе основ квантовой механики — стати-
стической закономерности в поведении микрообъектов — мы говорим: такова
природа вещей, т. е. фактически статистическую закономерность вводим фено-
менологически.
Все физические теории содержат элементы феноменологии, одни больше,
другие меньше, и „примесь" феноменологии неизбежна, ибо это следствие мо-
дельности или, если угодно, плата за модельность.
Усиление роли абстракций в физической теории привело к разделению фи-
зики на две науки — физику экспериментальную, которая с помощью экспери-
ментальных устройств исследует закономерности существующих в окружаю-
щем нас мире форм материи и создает новые формы материи, не существующие
непосредственно в земных условиях, и физику теоретическую, которая матема-
тически отображает закономерности различных форм материи, т. е. создает ма-
тематические модели различных форм движения материи и с помощью них
предсказывает новые явления. Эти две науки оплодотворяют друг друга и не
могут существовать одна без другой, образуя единое целое.
Усиление роли абстракций в современной физике и всевозрастающая мате-
матизация теоретической физики несомненно затрудняют освоение физики.
Это приводит к тому, что часто ищут сокровенную физическую сущность и
противопоставляют ее математической форме теории. Но такое противопо-
ставление не имеет под собой почвы. Действительно, каков смысл утвержде-
ния, что определенная физическая теория объясняет определенный круг явле-
ний. Смысл этого утверждения заключается в том, что все связи между рас-
сматриваемыми явлениями могут быть отражены с помощью понятий и концеп-
ций данной теории и что для этого не требуется введения никаких добавочных
понятий и концепций. Именно таков смысл слова „объясняет" в физике. „Объ-
яснить" можно только в терминах данной теории.
В этой связи полезно напомнить ответ Ньютона на заданный ему вопрос о
теории гравитации: „Ведь она ничего не объясняет".
Ньютон ответил: „Она говорит, как движутся тела. Этого должно быть
достаточно. Я сказал Вам, как они движутся, а не почему".
Какими же средствами располагает человечество для создания новой физи-
ческой теории, т. е. теории, объясняющей явления, относящиеся к ядерной и
субъядерной материи?
Несомненно, для этого необходима новая информация о свойствах субъ-
ядерной материи, которая будет получена с помощью как старых, так и новых
мощных ускорителей заряженных частиц.
Но теория — это отражение закономерностей Природы. Может ли в резуль-
тате синтеза эксперимента и математики появиться окончательная физическая
теория, после которой уже не будут нужны новые теории?
Эйнштейн давал на этот вопрос отрицательный ответ, считая, что „наши
представления о физической реальности никогда не могут быть окончательны-
ми" и что „вера в существование внешнего мира независимо от воспринимаю-
щего субъекта есть основа всего естественного" [б].
1. Фок В. А. Начала квантовой механики.-М., 197б.-92с.
2. Дирак П. Эволюция физической картины мира // Над чем думают физики. - М., 1965. -
Вып. 3.
3. Письмо Эйнштейна //Успехи физ. наук. - 1971. -104, № 2. - С. 298.
4. Эйнштейн А. Физика и реальность. - М., 1965. - С. 76.
5. Вингер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Этюды о
симметрии. - М.: Мир, 1971.
6. Эйнштейновский сборник. - М., 1966. - С. 7.
Получено 30.06.97
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1997, т. 49, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-5163 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:11:44Z |
| publishDate | 1997 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f5/26fb9aa8114ace3c91ed34ea57a8b7f5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-51632020-03-18T21:26:15Z The unity of physical theory and its mathematical formalism Единство физической теории и ее математического формализма Akhiezer, N. I. Ахиезер, Н. И. Ахиезер, Н. И. The relation between the physical theory and its mathematical formalism is shown. Показано зв'язок фізичної теорії з її математичним формалізмом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1997-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5163 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 49 No. 12 (1997); 1594–1600 Український математичний журнал; Том 49 № 12 (1997); 1594–1600 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5163/7022 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5163/7023 Copyright (c) 1997 Akhiezer N. I. |
| spellingShingle | Akhiezer, N. I. Ахиезер, Н. И. Ахиезер, Н. И. The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title | The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title_alt | Единство физической теории и ее математического формализма |
| title_full | The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title_fullStr | The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title_full_unstemmed | The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title_short | The unity of physical theory and its mathematical formalism |
| title_sort | unity of physical theory and its mathematical formalism |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5163 |
| work_keys_str_mv | AT akhiezerni theunityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism AT ahiezerni theunityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism AT ahiezerni theunityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism AT akhiezerni edinstvofizičeskojteoriiieematematičeskogoformalizma AT ahiezerni edinstvofizičeskojteoriiieematematičeskogoformalizma AT ahiezerni edinstvofizičeskojteoriiieematematičeskogoformalizma AT akhiezerni unityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism AT ahiezerni unityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism AT ahiezerni unityofphysicaltheoryanditsmathematicalformalism |