On the Nth diameters of continua
We study an analog of the problem on then th diameters of continua in the complex plane.
Gespeichert in:
| Datum: | 1994 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
1994
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5595 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860511826859524096 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-19T09:14:13Z |
| description | We study an analog of the problem on then th diameters of continua in the complex plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T03:19:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
КОРОТКІ ПОВІДОМЛЕННЯ
УДК 517. 54
А. К. Бахтин, канд. физ.-мат. наук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОБ л-Х ДИАМЕТРАХ КОНТИНУУМОВ*
* Работа частично финансирована Государственным комитетом Украины по вопросам науки и
технологий.
© А. К. БАХТИН, 1994
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1994, т. 46, № 11
An analog of the problem on the л-th diameters of continua in the complex plane is considered.
Розглянуто аналог задачі про л-ті діаметри континуумів комплексної площини.
Пусть N * — множество натуральных чисел, п > 2, V — совокупность всех
континуумов комплексной плоскости, имеющих единичную логарифмическую
емкость. Величина
dn(K) = пе N\
называется /1-м диаметром континуума К, KeV.
П,ля всякого р > О и п е N* составим функционал* заданный на V:
пmax
Ясно, что при рО dn ^(К) dn(K).
Пусть
d„,p = max dn p(K).
Задача А. Для всякой пары уп, р), п є N*. р >0, найти значение dnp и
все экстремальные континуумы.
Существование экстремальных континуумов очевидно. Пусть KQ — произ
вольный экстремальный континуум и {с,0} — экстремальные точки, реализу
ющие величину dn р, а = {z: zne [0,4]}.
Справедливы следующие результаты.
Теорема 1. Произвольный экстремальный в задаче А континуум состо
ит из объединения конечного числа замыканий траекторий квадратичного диф
ференциала
где
Q(w)dw2 = - Z
1£< <к<п
Уік = 1+р|
1
{ср j — экстремальные точки на KQ.
1561
1562 А. К. БАХТИН
Теорема 2. При д = 3 любой экстремальный в задаче А континуум конгру
энтен континууму К$.
Сведения по теории квадратичных дифференциалов можно найти в моно
графии [1, с. 49].
Доказательство теоремы 1. Для изучения экстремального континуума
применим метод граничной вариации [2], согласно которому для любой точки
и’о. и’о Ф 0, экстремального континуума Кц є V существует функция
И’
1У*(и) = w + Ае2(и--и-0)»,0 + О(е3). (1)
однолистная и мероморфная во внешности континуума ЛГ0; | (1/е3)О(е3)| <
< const на каждом компакте, не содержащем и* = и>0.
Произведем необходимые вычисления, исходя из формулы (1):
+ О(Е3)
Де2
И’0Х<?” - И’о)
1 + р| с* - С*к I =
= 0W
X
1 - Re
♦ *
1 + p(q -q) 1 + p(g° - с*)
(2)
Из формул (2) стандартным путем получаем, что произвольный экстремаль
ный континуум состоит из замыканий конечного числа траекторий квадратич
ного дифференциала [2]
Q(w)dw2 = V л...2JL 7 0 v 0 \^w '
\^i<k^n (Ci - WXCk -
где
’■* = l+p|e?-c?|-
Доказательство теоремы 2. При д = 2 легко получить, что экстремаль
ный континуум есть прямолинейный отрезок длины 4.
Рассмотрим решение задачи при д = 3. Для удобства вычислений будем пи
сать ск вместо ср, А = 1. 2, ... , д. Тогда
Q(w)dw2 = (-—!_____________ !-----------
I 1 + р| q - с21 (<~! - и’Хс2 - и )
ISSN 0041-6053. Укр. мат. жури.. 1994. т. 46. №11
1563ОБ л-Х ДИАМЕТРАХ КОНТИНУУМОВ
где
1
" і + p|g _с* I
В силу инвариантности функционала относительно движений в плоскости
и’ получаем нормирующие условия
С1Ї2,3 + С2Ї1.3 + СЗЇ1.2 = °’ С1 > °-
Для нормированного квадратичного дифференциала будем иметь следую
щее выражение:
Q(w)dw2 =
ow
(Cl - W)(C2 - И'ХСв “ w)
dw2.
О = £ Yi*.
1£к*£3
1
На интервале (0, q) имеется точка такая, что Q (wq) > 0.
Применяя метод геометрических мест П. М. Тамразова, получаем, что
с2= с3.
В силу равноправности точек с2, с3 заключаем, что с точностью до ев
клидового движения экстремальным является континуум, состоящий из трех
прямолинейных отрезков равной длины, исходящих из начала координат под
углами 2л/3. При р = 0 получаются известные результаты для плоскости
[3].
1. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. - М.: Изд-во иностр,
лит., 1962. — 265 с.
2. Schifler М. A method of variations within the family of simple functions Ц Proc. London Math.
Soc. - 1938. -44. - P. 432-449.
3. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. - Л.: Наука,
1980.-240 с.
Получено 20.09.93
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 1994, т. 46, № 11
E:\Український математичний журнал\Archiv\Tom46_1994\11\Img\0129.tif
E:\Український математичний журнал\Archiv\Tom46_1994\11\Img\0130.tif
E:\Український математичний журнал\Archiv\Tom46_1994\11\Img\0131.tif
|
| id | umjimathkievua-article-5595 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:19:04Z |
| publishDate | 1994 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4e/32d84df3ee0930a8d306e72f472cdb4e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-55952020-03-19T09:14:13Z On the Nth diameters of continua Об $n$-х диаметрах континуумов Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. We study an analog of the problem on then th diameters of continua in the complex plane. Розглянуто аналог задачі про $n$-ті діаметри континуумів комплексної площини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 1994-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5595 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 46 No. 11 (1994); 1561–1563 Український математичний журнал; Том 46 № 11 (1994); 1561–1563 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5595/7875 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5595/7876 Copyright (c) 1994 Bakhtin A. K. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. On the Nth diameters of continua |
| title | On the Nth diameters of continua |
| title_alt | Об $n$-х диаметрах континуумов |
| title_full | On the Nth diameters of continua |
| title_fullStr | On the Nth diameters of continua |
| title_full_unstemmed | On the Nth diameters of continua |
| title_short | On the Nth diameters of continua |
| title_sort | on the nth diameters of continua |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5595 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak onthenthdiametersofcontinua AT bahtínok onthenthdiametersofcontinua AT bakhtinak obnhdiametrahkontinuumov AT bahtínok obnhdiametrahkontinuumov |