Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative
UDC 517.9 We found constructive necessary and sufficient solvability conditions as well as a scheme of construction of solutions for a nonlinear boundary-value problem that is not solved with respect to the derivative.  We also suggested concurrent iterative schemes for fin...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5986 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512208238149632 |
|---|---|
| author | Samoilenko, A. M. Chuiko, S. M. Nesmelova, O. V. Самойленко, Анатолій Чуйко, Сергей Немелова, Ольга Самойленко, А. М. Чуйко, С. М. Нєсмєлова, О. В. |
| author_facet | Samoilenko, A. M. Chuiko, S. M. Nesmelova, O. V. Самойленко, Анатолій Чуйко, Сергей Немелова, Ольга Самойленко, А. М. Чуйко, С. М. Нєсмєлова, О. В. |
| author_sort | Samoilenko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:02:00Z |
| description | UDC 517.9
We found constructive necessary and sufficient solvability conditions as well as a scheme of construction of solutions for a nonlinear boundary-value problem that is not solved with respect to the derivative.  We also suggested concurrent iterative schemes for finding approximations of solutions of this problem.  As an example of application of the constructed iterative scheme, we found approximations of solutions of periodic boundary-value problems for a Rayleigh-type equation not solved with respect to the derivative, in particular, in the case of a periodic problem for the equation that determines the satellite motion in an elliptical orbit. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i8.5986 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i8.5986
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ)
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ*
We found constructive necessary and sufficient solvability conditions as well as a scheme of construction of solutions
for a nonlinear boundary-value problem that is not solved with respect to the derivative. We also suggested concurrent
iterative schemes for finding approximations of solutions of this problem. As an example of application of the constructed
iterative scheme, we found approximations of solutions of periodic boundary-value problems for a Rayleigh-type equation
not solved with respect to the derivative, in particular, in the case of a periodic problem for the equation that determines
the satellite motion in an elliptical orbit.
Знайдено конструктивнi необхiднi та достатнi умови розв’язностi, а також схему побудови розв’язкiв нелiнiйної
крайової задачi, не розв’язаної вiдносно похiдної. Побудовано збiжнi iтерацiйнi схеми для знаходження наближень
до розв’язкiв зазначеної задачi. Як приклад застосування побудованої iтерацiйної схеми знайдено наближення до
розв’язкiв перiодичних крайових задач для рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно похiдної, зокрема, у
випадку перiодичної задачi для рiвняння, яке визначає рух супутника на елiптичнiй орбiтi.
1. Постановка задачi. Будемо дослiджувати задачу про побудову розв’язкiв
z(t, \varepsilon ) : z(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC 1[a, b], z(t, \cdot ) \in \BbbC [0, \varepsilon 0],
крайової задачi [1 – 3]
dz
dt
= A(t)z + f(t) + \varepsilon Z(z, z\prime , t, \varepsilon ), (1)
\ell z(\cdot , \varepsilon ) = \alpha + \varepsilon J
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
(2)
у малому околi розв’язку породжуючої нетерової (m \not = n) крайової задачi
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), \ell z0(\cdot ) = \alpha , \alpha \in \BbbR m. (3)
Тут A(t) — (n \times n)-вимiрна матриця i f(t) — n-вимiрний вектор-стовпець, елементи яких є
неперервними на вiдрiзку [a, b] дiйсними функцiями, \ell z(\cdot ) — лiнiйний обмежений векторний
функцiонал \ell z(\cdot ) : \BbbC [a, b] \rightarrow \BbbR m. Нелiнiйностi Z(z, z\prime , t, \varepsilon ) i J(z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon ) задачi (1), (2)
припускаємо неперервно диференцiйовними за невiдомою z та її похiдною z\prime у малому околi
породжуючого розв’язку i його похiдної, а також за малим параметром \varepsilon у малому додатно-
му околi нуля. Крiм того, вважаємо нелiнiйну вектор-функцiю Z(z, z\prime , t, \varepsilon ) неперервною за
незалежною змiнною t на вiдрiзку [a, b].
Актуальнiсть вивчення неавтономної крайової задачi (1), (2), не розв’язаної вiдносно по-
хiдної, пов’язана з тим фактом, що дослiдження традицiйної задачi [1], розв’язаної вiдносно
похiдної, iнодi ускладнюється, наприклад у випадку нелiнiйностей, не iнтегровних в елементар-
них функцiях. Приклад подiбної ситуацiї наведено у статтях [2, 4]. Крiм того, прикладом може
бути також автономна крайова задача, не розв’язана вiдносно похiдної, зокрема перiодична
задача для рiвняння Лотки – Вольтерра [3].
* Виконано за фiнансової пiдтримки Мiнiстерства освiти i науки України (р/н 0118U003390).
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА, 2020
1106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1107
Будемо дослiджувати критичний випадок (PQ\ast \not = 0), причому припускаємо виконаною
умову
PQ\ast
d
\bigl\{
\alpha - \ell K
\bigl[
f(s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0. (4)
У цьому випадку породжуюча задача (3) має сiм’ю розв’язкiв
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f(s);\alpha ](t), r := n - n1, cr \in \BbbR r.
Тут X(t) — нормальна (X(a) = In) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (3),
Q = \ell X(\cdot ) — (m \times n)-матриця, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} Q = n1, Xr(t) = X(t)PQr , PQr — (n \times r)-матриця,
утворена з r лiнiйно незалежних стовпцiв (n \times n)-матрицi-ортопроектора PQ : \BbbR n \rightarrow \BbbN (Q),
PQ\ast
d
— (d\times m)-матриця, утворена з (d := m - n1) лiнiйно незалежних рядкiв (m\times m)-матрицi-
ортопроектора PQ\ast : \BbbR m \rightarrow \BbbN (Q\ast ),
G[f(s);\alpha ](t) = K
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) +X(t)Q+
\bigl\{
\alpha - \ell K
\bigl[
f(s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
— узагальнений оператор Грiна крайової задачi (3),
K
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) = X(t)
t\int
a
X - 1(s)f(s) ds
— оператор Грiна задачi Кошi для системи (3), Q+ — псевдообернена матриця за Муром –
Пенроузом [1].
2. Умови розв’язностi. Необхiднi умови iснування розв’язку
z(t, \varepsilon ) = z0(t, cr) + x(t, \varepsilon )
задачi (1), (2) у критичному випадку визначає наступна лема. Доведення леми аналогiчне
[1, 3, 5, 6].
Лема. Припустимо, що для крайової задачi (1), (2) має мiсце критичний (PQ\ast \not = 0) випадок
i виконується умова (4) розв’язностi породжуючої задачi (3). Припустимо також, що задача
(1), (2) має розв’язок, який при \varepsilon = 0 перетворюється на породжуючий z0(t, c
\ast
r). Тодi вектор
c\ast r \in \BbbR r задовольняє рiвняння
F (cr) := PQ\ast
d
\{ J(z0(\cdot , cr), z\prime 0(\cdot , cr), 0) - \ell K[Z(z0(s, cr), z
\prime
0(s, cr), s, 0)](\cdot )\} = 0. (5)
По аналогiї з слабконелiнiйними крайовими задачами у критичному випадку [1], рiвнян-
ня (5) будемо називати рiвнянням для породжуючих констант крайової задачi (1), (2), не
розв’язаної вiдносно похiдної. Припустимо, що рiвняння (5) має дiйснi коренi та не пере-
творюється на тотожнiсть [7, 8]. Фiксуючи один iз розв’язкiв c\ast r \in \BbbR r рiвняння (5), приходимо
до задачi про знаходження розв’язкiв
x(t, \varepsilon ) : x(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC 1[a, b], x(t, \cdot ) \in \BbbC [0, \varepsilon 0],
крайової задачi
dx
dt
= A(t)x+ \varepsilon Z(z0 + x, z\prime 0 + x\prime , t, \varepsilon ), (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1108 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
\ell x(\cdot , \varepsilon ) = \varepsilon J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
. (7)
У критичному випадку (PQ\ast \not = 0) за умови (4) крайова задача (6), (7) розв’язна за умови
PQ\ast
d
\Bigl\{
J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
Z(z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon ), z\prime 0(t, c
\ast
r) + x\prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
= 0.
У малому околi породжуючого розв’язку z0(t, c
\ast
r) має мiсце розвинення
Z
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon ), z\prime 0(t, c
\ast
r) + x\prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
= Z
\bigl(
z0(t, c
\ast
r), z
\prime
0(t, c
\ast
r), t, 0
\bigr)
+
+A1(t)x(t, \varepsilon ) +A2(t)x
\prime (t, \varepsilon ) + \varepsilon A3(t) +R1
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon ), z\prime 0(t, c
\ast
r) + x\prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
.
Тут
A1(t) :=
\partial Z(z, z\prime , t, \varepsilon )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
, A2(t) :=
\partial Z(z, z\prime , t, \varepsilon )
\partial z\prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
,
A3(t) :=
\partial Z(z, z\prime , t, \varepsilon )
\partial \varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
.
Залишок R1
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon ), z\prime 0(t, c
\ast
r) + x\prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
має бiльш високий порядок мализни по
x, x\prime та \varepsilon в околi точок x = 0, x\prime = 0 й \varepsilon = 0, нiж першi чотири члени розвинення, тому
R1(z, z
\prime , t, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
\equiv 0,
\partial R1(z, z
\prime , t, \varepsilon )
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
\equiv 0,
\partial R1(z, z
\prime , t, \varepsilon )
\partial z\prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
\equiv 0,
\partial R1(z, t, \varepsilon )
\partial \varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
\equiv 0.
Використовуючи неперервну диференцiйовнiсть (у сенсi Фреше) за першими трьома аргу-
ментами векторного функцiонала J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
, видiляємо лiнiйнi
\ell 1x(\cdot , \varepsilon ), \ell 1x\prime (\cdot , \varepsilon ) i \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
частини цього функцiонала та член J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r), z\prime 0(\cdot , c\ast r), 0
\bigr)
=
= J
\bigl(
z(\cdot , 0), z\prime (\cdot , 0), 0
\bigr)
нульового порядку по \varepsilon в околi точок x = 0, x\prime = 0 й \varepsilon = 0 :
J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
= J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r), z\prime 0(\cdot , c\ast r), 0
\bigr)
+ \ell 1x(\cdot , \varepsilon )+
+\ell 2x
\prime (\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+ J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
.
Залишок J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
має бiльш високий порядок мализни по x,
x\prime i \varepsilon в малому околi точок x = 0, x\prime = 0 i \varepsilon = 0, нiж першi три члени розвинення, тому
J1
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
= 0,
\partial J1
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
\partial z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1109
\partial J1
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
\partial z\prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
= 0,
\partial J1
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
\partial \varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z=z0(t,c\ast r)
z\prime =z\prime 0(t,c
\ast
r)
\varepsilon =0
= 0.
Нехай
B0 := PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1Xr(\cdot ) + \ell 2X
\prime
r(\cdot ) - \ell K
\bigl[
A1(s)Xr(s) +A2(s)X
\prime
r(s)
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
— (d \times r)-вимiрна матриця. Враховуючи отриманi розвинення та рiвняння для породжуючих
констант, приходимо до операторної системи, рiвнозначної до задачi знаходження розв’язкiв
системи (6), якi задовольняють крайову умову (7):
x(t, \varepsilon ) = Xr(t)cr + x(1)(t, \varepsilon ), x(2)(t, \varepsilon ) :=
\bigl(
x(1)(t, \varepsilon )
\bigr) \prime
,
B0 cr = - PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1x
(1)(\cdot , \varepsilon ) + \ell 2x
(2)(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+
+J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
A1(s)x
(1)(s, \varepsilon ) +A2(s)x
(2)(s, \varepsilon ) + \varepsilon A3(s)+
+R1(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
, (8)
x(1)(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\bigl[
Z(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon );
J(z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon )
\bigr]
(t).
За умови PB\ast
0
PQ\ast
d
= 0 принаймнi один розв’язок другого рiвняння операторної системи (8)
набирає вигляду
cr = - B+
0 PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1x
(1)(\cdot , \varepsilon ) + \ell 2x
(2)(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+
+J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
A1(s)x
(1)(s, \varepsilon ) +A2(s)x
(2)(s, \varepsilon ) + \varepsilon A3(s)+
+R1(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
.
Тут PB\ast
0
— (d \times d)-вимiрна матриця-ортопроектор: \BbbR d \rightarrow \BbbN (B\ast
0). Таким чином, за умови
PB\ast
0
PQ\ast
d
= 0 принаймнi один розв’язок крайової задачi (6), (7) визначає операторна система
x(t, \varepsilon ) = Xr(t)cr + x(1)(t, \varepsilon ), x(2)(t, \varepsilon ) :=
\bigl(
x(1)(t, \varepsilon )
\bigr) \prime
,
cr = - B+
0 PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1x
(1)(\cdot , \varepsilon ) + \ell 2x
(2)(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+
+J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
A1(s)x
(1)(s, \varepsilon ) +A2(s)x
(2)(s, \varepsilon ) + \varepsilon A3(s)+
+R1(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1110 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
x(1)(t, \varepsilon ) = \varepsilon G
\Bigl[
Z(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon );
J(z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon )
\Bigr]
(t).
Операторна система (9) вiдрiзняється вiд аналогiчної операторної системи [1, 9] урахуванням
похiдних A2(s), A3(s) та \ell 2
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
, \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
нелiнiйностей крайової задачi (6), (7) i, в
свою чергу, в критичному випадку еквiвалентна операторнiй системi [10]
x(t, \varepsilon ) = \Phi
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon )
\bigr)
. (10)
Для побудови розв’язкiв цiєї операторної системи традицiйно [1, 9, 11] застосовується iтера-
цiйна схема
xk+1(t, \varepsilon ) = \Phi
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + xk(t, \varepsilon )
\bigr)
, x0(t, \varepsilon ) \equiv 0, k = 0, 1, . . . , (11)
яка вiдповiдає методу простих iтерацiй. Тут
\Phi
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon )
\bigr)
:=
:= - Xr(t)B
+
0 PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1x
(1)(\cdot , \varepsilon ) + \ell 2x
(2)(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+
+J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
A1(s)x
(1)(s, \varepsilon ) +A2(s)x
(2)(s, \varepsilon ) + \varepsilon A3(s)+
+R1(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
+
+\varepsilon G
\Bigl[
Z(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon );
J(z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon )
\Bigr]
(t).
Достатньою умовою збiжностi iтерацiйної схеми (11) є умова [12, c. 639]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \in [0;\varepsilon 0]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi
\bigl(
z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon )
\bigr)
\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \lambda < 1, (12)
де x(t, \varepsilon ) — вектор-функцiя з малого околу нуля. Достатня умова збiжностi iтерацiйної про-
цедури (11) безпосередньо випливає з означення оператора стиснення та теореми про середнє
значення \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \bigl( z0(t, c\ast r) + x(t, \varepsilon )
\bigr)
- \Phi
\biggl(
z0(t, c
\ast
r) + y(t, \varepsilon )
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi \xi (t, \varepsilon )\partial x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| x(t, \varepsilon ) - y(t, \varepsilon )\| .
Тут \xi (t, \varepsilon ) — точка вiдрiзка, який сполучає точки z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon ) i z0(t, c
\ast
r) + y(t, \varepsilon ). Для
оператора \Phi (z0(t, c
\ast
r) + x(t, \varepsilon )) умова (12) набирає вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1111
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \in [0;\varepsilon 0]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon G
\Biggl\{ \biggl[
\partial Z(z(s, \varepsilon ), z\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\partial x
;
\partial Z(z(s, \varepsilon ), z\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\partial x\prime
\biggr]
;
\biggl[
\partial J
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
\partial x
;
\partial J
\bigl(
z(\cdot , \varepsilon ), z\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
\partial x\prime
\biggr] \Biggr\}
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \lambda < 1.
Таким чином, доведено таку теорему.
Теорема. Припустимо, що для крайової задачi (1), (2), не розв’язаної вiдносно похiдної,
має мiсце критичний (PQ\ast \not = 0) випадок i виконується умова (4) розв’язностi породжуючої
задачi (3). Припустимо, що рiвняння (5) не перетворюється на тотожнiсть та має дiйснi
розв’язки. Тодi для кожного кореня c\ast r \in \BbbR r рiвняння (5) за умов (12) i
PB\ast
0
PQ\ast
d
= 0 (13)
крайова задача (1), (2), не розв’язана вiдносно похiдної , має принаймнi один розв’язок
z(t, \varepsilon ) : z(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC 1[a, b], z(t, \cdot ) \in \BbbC [0, \varepsilon 0],
який при \varepsilon = 0 перетворюється на породжуючий
z0(t, c
\ast
r) = Xr(t)c
\ast
r +G[f(s);\alpha ](t).
Цей розв’язок можна визначити за допомогою збiжного для \varepsilon \in [0, \varepsilon \ast ] iтерацiйного проце-
су (11).
Матриця B0, ключова в дослiдженнi резонансних слабконелiнiйних крайових задач, може
бути знайдена безпосередньо з рiвняння (5), як похiдна
B0 =
\partial F (cr)
\partial cr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
cr=c\ast r
. (14)
Дiйсно,
\partial F (c\ast r)
\partial cr
=
\partial
\partial cr
PQ\ast
d
\Bigl\{
J
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r), z\prime 0(\cdot , c\ast r), 0
\bigr)
+ \ell 1x(\cdot , \varepsilon )+
+\ell 2x
\prime (\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon \ell 3
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r)
\bigr)
+ J1
\bigl(
z0(\cdot , c\ast r) + x(\cdot , \varepsilon ), z\prime 0(\cdot , c\ast r) + x\prime (\cdot , \varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
-
- \ell K
\bigl[
Z(z0(s, c
\ast
r), z
\prime
0(s, c
\ast
r), t, 0) +A1(s)x(s, \varepsilon ) +A2(s)x
\prime (s, \varepsilon ) + \varepsilon A3(s)+
+R1(z0(s, c
\ast
r) + x(s, \varepsilon ), z\prime 0(s, c
\ast
r) + x\prime (s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm|
\varepsilon =0
=
= PQ\ast
d
\Bigl\{
\ell 1Xr(\cdot ) + \ell 2X
\prime
r(\cdot ) - \ell K
\bigl[
A1(s)Xr(s) +A2(s)X
\prime
r(s)
\bigr]
(\cdot )
\Bigr\}
:= B0.
У випадку m = n, наприклад для перiодичних крайових задач, матриця B0 стає квадратною,
при цьому умова (13) перетворюється на вiдому [1, 9, 13] вимогу невиродженостi матрицi B0.
Умова (13) є узагальненням традицiйної достатньої умови розв’язностi нелiнiйних крайових
задач у критичному випадку, зокрема вимоги простоти коренiв рiвняння для породжуючих
амплiтуд [7, 13], а також аналогiчної вимоги для нелiнiйних крайових задач, розв’язаних вiднос-
но похiдної, з нетеровою лiнiйною частиною [1]. За умови (13) будемо казати, що для крайової
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1112 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
задачi (1), (2), не розв’язаної вiдносно похiдної, має мiсце критичний випадок першого порядку.
У випадку PB\ast
0
PQ\ast
d
\not = 0 для крайової задачi (1), (2), не розв’язаної вiдносно похiдної, може
мати мiсце критичний випадок другого або бiльш високого порядку [1, 9, 14]. Доведена теорема
узагальнює результати [1, 2, 5] на випадок нелiнiйної крайової задачi, не розв’язаної вiдносно
похiдної.
3. Перiодична задача для рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно похiдної.
Послiдовнiсть наближень, утворена схемою (11), лише на межi перетворюється в розв’язок
крайової задачi (1), (2); iнакше кажучи, у частковому випадку у задачi вiдшукання перiодичних
розв’язкiв системи (1) послiдовнiсть наближень, утворена схемою (11), взагалi кажучи, не є
перiодичною, а лише на межi перетворюється на перiодичний розв’язок крайової задачi (1), (2).
Крiм того, схема (11) вiдповiдає методу простих iтерацiй, отже, має лiнiйну збiжнiсть, тому
природно поставити задачу про прискорення цих iтерацiй. Продемонструємо схему побудови
iтерацiйної схеми методом Ньютона – Канторовича [12, 15, 16] на прикладi T -перiодичної
задачi для рiвняння типу Релея, не розв’язаного вiдносно старшої похiдної [17, c. 177],
y\prime \prime = f(t) + \varepsilon Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ). (15)
Тут Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ) — нелiнiйна скалярна функцiя, двiчi неперервно диференцiйовна за невiдо-
мою y та її похiдними y\prime , а також y\prime \prime в малому околi розв’язку породжуючої задачi, неперервна
по t на вiдрiзку [a, b] i неперервно диференцiйовна за малим параметром \varepsilon на вiдрiзку [0, \varepsilon 0].
Породжуюча T -перiодична задача
y\prime \prime 0 = f(t), y(0) - y(T ) = 0, y\prime (0) - y\prime (T ) = 0
є критичною:
X(t) =
\Biggl(
1 t
0 1
\Biggr)
, Q =
\Biggl(
0 - 2\pi
0 0
\Biggr)
, Xr(t) =
\Biggl(
1
0
\Biggr)
.
Припустимо, що породжуюча T -перiодична задача розв’язна; для цього необхiдно i достатньо
виконується рiвнiсть
T\int
0
f(t) dt = 0.
Якщо ця вимога виконується, то розв’язок породжуючої задачi має вигляд
y0(t, c0) = c0 + g
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t), c0 \in \BbbR 1,
де
g
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) := k
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) - t
T
T\int
0
(T - s)f(s) ds
— оператор Грiна породжуючої T -перiодичної задачi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1113
k
\bigl[
f(s)
\bigr]
(t) :=
t\int
0
(t - s)f(s) ds
— оператор Грiна задачi Кошi. Перiодичнi розв’язки рiвняння типу Релея
y(t, \varepsilon ) = y0(t, c0) + x(t, \varepsilon )
шукатимемо в околi розв’язку y0(t, c0) лiнiйної частини цього рiвняння. Для знаходження
збурення
x(t, \varepsilon ) \in \BbbC 1[0;T ]
отримуємо T -перiодичну задачу для рiвняння
x\prime \prime = \varepsilon Y
\bigl(
y0(t, c0) + x(t, \varepsilon ), y\prime 0(t, c0) + x\prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
,
розв’язну тодi й тiльки тодi, коли
F (c0) :=
T\int
0
Y
\bigl(
y(t, \varepsilon ), y\prime (t, \varepsilon ), y\prime \prime (t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
dt = 0. (16)
Припустимо, що рiвняння для породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної задачi для
рiвняння типу Релея
F0(c0) :=
T\int
0
Y
\bigl(
y0(t, c0), y
\prime
0(t, c0), y
\prime \prime
0(t, c0), t, 0
\bigr)
dt = 0
має простий
B0 := F \prime (c\ast 0) \not = 0
дiйсний корiнь c\ast 0 \in \BbbR 1. Для знаходження перiодичного розв’язку рiвняння типу Релея можна
скористатися методом Ляпунова – Пуанкаре [7], але бiльш ефективним, саме для знаходжен-
ня розв’язку c(\varepsilon ) \in \BbbR r рiвняння (16), є метод Ньютона – Канторовича [12, 15, 16]. Згiдно з
прийнятим позначенням, функцiя F (c(\varepsilon )) двiчi неперевно диференцiйовна за невiдомою c(\varepsilon )
у малому околi точки c\ast 0. Припустимо, що для рiвняння (16) при
0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0
мають мiсце нерiвностi \bigm\| \bigm\| \scrJ +
j (\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq \sigma 1(j), j = 0, 1, 2, . . . ,\bigm\| \bigm\| d2F (\zeta j(\varepsilon ) ; c(\varepsilon ) - cj(\varepsilon ))
\bigm\| \bigm\| \leq \sigma 2(j)\| c(\varepsilon ) - cj(\varepsilon )\|
та iснує константа
\theta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j\in N
\biggl\{
\sigma 1(j)\sigma 2(j)
2
\biggr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1114 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
Тодi, згiдно з результатами [12], за умов
\scrJ j \not = 0, \theta \cdot
\bigm\| \bigm\| c(\varepsilon ) - cj(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| < 1 (17)
для знаходження розв’язку c(\varepsilon ) рiвняння (16) застосовною є iтерацiйна схема
cj+1(\varepsilon ) = cj(\varepsilon ) - \scrJ - 1
j F (cj(\varepsilon )), j = 0, 1, 2, . . . . (18)
При цьому швидкiсть збiжностi послiдовностi
\bigl\{
cj(\varepsilon )
\bigr\}
до розв’язку c(\varepsilon ) рiвняння (16) є квад-
ратичною [12, 15, 16]. Тут
\scrJ j(\varepsilon ) := F \prime (cj(\varepsilon )) \in \BbbR 1
— якобiан перетворення
F (c(\varepsilon )) : \BbbR 1 \rightarrow \BbbR 1, j = 0, 1, 2, . . . ,
у точцi cj(\varepsilon ). Крiм того, P\scrJ \ast
j
: \BbbR d \rightarrow \BbbN (\scrJ \ast
j ) — ортопроектор матрицi \scrJ \ast
j . Шуканий розв’язок
початкової T -перiодичної задачi для рiвняння типу Релея (15) визначає iтерацiйна схема
yk+1(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + xk+1(t, \varepsilon ), k = 0, 1, 2, . . . ,
xk+1(t, \varepsilon ) = \xi k+1(\varepsilon ) + x
(1)
k+1(t, \varepsilon ),
(19)
x
(1)
k+1(t, \varepsilon ) = \varepsilon g
\bigl[
Y (yk(s, \varepsilon ), y
\prime
k(s, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(t),
ck+1(\varepsilon ) = c\ast 0 + \xi k+1(\varepsilon ), F (ck+1(\varepsilon )) = 0.
Таким чином, доведено таке твердження.
Наслiдок. Припустимо, що для T -перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея (15),
не розв’язаного вiдносно похiдної , виконується умова розв’язностi (16) породжуючої задачi.
Припустимо також, що рiвняння породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної крайової
задачi для рiвняння типу Релея (15) не перетворюється на тотожнiсть та має дiйсний
розв’язок c\ast 0 \in \BbbR 1. Припустимо також, що для рiвняння (16) виконується умова (17). Тодi для
кореня c\ast 0 \in \BbbR 1 рiвняння породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної крайової задачi для
рiвняння типу Релея (15) в околi породжуючого розв’язку y0(t, c
\ast
0) для знаходження принаймнi
одного розв’язку T -перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея (15) застосовною є
iтерацiйна схема (19).
Промiжок \varepsilon \in [0, \varepsilon 0], 0 \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0, збiжностi iтерацiйної схеми (19) до розв’язку T -
перiодичної крайової задачi для рiвняння типу Релея (15), не розв’язаного вiдносно похiдної,
можна знайти з умов (12) та (17). Застосуємо знайденi умови розв’язностi T -перiодичної крайо-
вої задачi для рiвняння типу Релея (15), не розв’язаного вiдносно похiдної, для 2\pi -перiодичної
крайової задачi для рiвняння, яке визначає рух супутника [2].
Приклад. Умови доведеної теореми справджуються у випадку 2\pi -перiодичної крайової
задачi для рiвняння, яке визначає рух супутника на елiптичнiй орбiтi
y\prime \prime = \varepsilon Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ), (20)
де, зокрема,
Y (y, y\prime , y\prime \prime , t, \varepsilon ) := 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} y + 2 y\prime \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t - y\prime \prime \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1115
Рiвняння породжуючих амплiтуд у випадку T -перiодичної крайової задачi для рiвняння
типу Релея (15), не розв’язаного вiдносно похiдної, має простий,
B0 = - 2\pi \not = 0,
дiйсний корiнь c\ast 0 = 0. Перiодичнi розв’язки рiвняння типу Релея (20), не розв’язаного вiдносно
похiдної,
y(t, \varepsilon ) = y0(t, c0) + x(t, \varepsilon )
будемо шукати в околi розв’язку y0(t, c0) \equiv 0 лiнiйної частини цього рiвняння. Перiодична
задача для рiвняння першого наближення розв’язна внаслiдок рiвностi F0(c
\ast
0) = 0, при цьому
x1(t, \varepsilon ) = c1 - 4 \varepsilon \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t.
Рiвняння (16) у випадку 2\pi -перiодичної задачi для рiвняння (20) типу Релея має дiйсний корiнь
c1 = 0, при цьому
x2(t, \varepsilon ) = c2 + x
(1)
2 (t, \varepsilon ),
де
x
(1)
2 (t, 0, 1) \approx - 97 945 284 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
223 005 689
+
3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t
200
-
- 229 674 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 3t
7 829 478 409
- 9 171 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 5t
432 784 095 812
, c2 = 0,
а також
x
(1)
2 (t, 0,01) \approx - 11393739 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
282 023 801
+
3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t
20 000
- 2 676 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 3t
903 240 320 419
.
Умовою збiжностi iтерацiйної схеми (19) є умова стиснення\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon g\prime x\bigl[ Y (yk(s, \varepsilon ), y
\prime
k(s, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(s, \varepsilon ))
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\leq \lambda < 1
для k = 0, 1, 2, . . . . Суттєвою особливiстю останньої вимоги стиснення є залежнiсть оператора
\Phi
\bigl[
yk(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(t) := \varepsilon g
\Bigl[
Y (yk(s, \varepsilon ), y
\prime
k(s, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\Bigr]
(t)
вiд похiдних y\prime k(s, \varepsilon ) та y\prime \prime k(s, \varepsilon ). Оскiльки в околi
\Omega :
\bigm\| \bigm\| y(t, \varepsilon ) - y0(t, c
\ast
0)
\bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\leq q, 0 < \varepsilon \leq \varepsilon \ast \leq \varepsilon 0,
породжуючого розв’язку y0(t, c
\ast
0) та точки \varepsilon = 0 мають мiсце розвинення
Y
\bigl(
yk(t, \varepsilon ), y
\prime
k(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
=
= Y
\bigl(
y0(t, \varepsilon ), y
\prime
0(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
0(t, \varepsilon ), t, 0
\bigr)
+A1(t)x(t, \varepsilon ) +A2(t)x
\prime (t, \varepsilon )+
+A3(t)x
\prime \prime (t, \varepsilon ) + \varepsilon A4(t) +R
\bigl(
yk(t, \varepsilon ), y
\prime
k(t, \varepsilon ), y
\prime \prime
k(t, \varepsilon ), t, \varepsilon
\bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1116 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
в околi \Omega породжуючого розв’язку y0(t, c
\ast
0) та точки \varepsilon = 0 має мiсце рiвнiсть
\Phi \prime
xk
\bigl[
yk(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(t) = \varepsilon
\bigl(
g
\bigl[
A1(s)
\bigr]
(t) g
\bigl[
A2(s)
\bigr]
(t) g
\bigl[
A3(s)
\bigr]
(t)
\bigr)
,
де
A1(t) := Y \prime
xk
(y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0),
A2(t) := Y \prime
x\prime
k
(y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0),
A3(t) := Y \prime
x\prime \prime
k
(y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0),
A4(t) := Y \prime
\varepsilon (y0(t, c
\ast
0), y
\prime
0(t, c
\ast
0), y
\prime \prime
0(t, c
\ast
0), t, 0).
Таким чином, умовою збiжностi iтерацiйної схеми (19) є умова стиснення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
yk,\varepsilon \in \Omega
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varepsilon \Phi \prime
xk
\bigl[
yk(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\leq \lambda < 1. (21)
Покладемо \varepsilon \ast = 0,073, при цьому виконуються нерiвностi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \prime
x1
\bigl[
y1(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\approx 0,999 773 < 1,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \prime
x2
\bigl[
y2(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\approx 1,00 963 > 1.
Водночас для \varepsilon \ast = 0,01 мають мiсце нерiвностi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \prime
x1
\bigl[
y1(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\approx 0,138 307 \ll 1,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \prime
x2
\bigl[
y2(s, \varepsilon ), s, \varepsilon )
\bigr]
(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC 2[0;2\pi ]
\approx 0,138 306 \ll 1.
Зауважимо, що умови (17) не впливають на оцiнку величини \varepsilon \ast , оскiльки
\theta 0 = \theta 1 = \theta 2 = 0.
Точнiсть наближень до розв’язку перiодичної задачi для рiвняння типу Релея (20), не розв’язного
вiдносно старшої похiдної, знайдених за допомогою iтерацiйної схеми (19), характеризують
нев’язки \Delta k(\varepsilon ). Зокрема,
\Delta 0(0,1) \approx 0,4, \Delta 1(0, 1) \approx 0,000 892 783,
\Delta 2(0, 1) \approx 0,0149 468,
а також
\Delta 0(0,01) \approx 0,04, \Delta 1(0,01) \approx 0,000 897 698,
\Delta 2(0,01) \approx 0,0000 152 203.
Порiвняємо знайденi нульове та першi два наближення до перiодичного розв’язку рiвняння
типу Релея (20) з нульовим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI, НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ 1117
y0p(t, c
\ast
0) = y0(t, c
\ast
0) = 0
та першими двома наближеннями до перiодичного розв’язку рiвняння типу Релея (20), знайде-
ними за допомогою методу Пуанкаре
y1p(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + \varepsilon u1(t), u1(t) = - 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t,
y2p(t, \varepsilon ) = y0(t, c
\ast
0) + \varepsilon u1(t) + \varepsilon 2 u2(t),
де
u2(t) = 4 + 8 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t - 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+
1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2t.
Знайденi за допомогою методу Пуанкаре нульове та першi два наближення до перiодичного
розв’язку рiвняння типу Релея (20) характеризують нев’язки
\delta kp(\varepsilon ) =
\bigm\| \bigm\| y\prime \prime kp(t) - \varepsilon Y (ykp, y
\prime
kp, y
\prime \prime
kp, t, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
\BbbC [0;2\pi ], k = 1, 2.
Зокрема, при \varepsilon = 0,1 маємо
\delta 0p(0,1) \approx 0,4, \delta 1p(0,1) \approx 0,107 069, \delta 2p(0,1) \approx 0,0233 128.
Таким чином, знайденi нульове та першi два наближення до перiодичного розв’язку рiвняння
типу Релея (20) за допомогою iтерацiйної схеми (19) точнiшi, нiж першi два наближення до
перiодичного розв’язку рiвняння типу Релея (20), знайденi за допомогою методу Пуанкаре.
Запропонована у статтi схема дослiдження нелiнiйних крайових задач, не розв’язаних
вiдносно похiдної, аналогiчно [18 – 21] може бути перенесена на нелiнiйнi диференцiально-
алгебраїчнi крайовi задачi, не розв’язанi вiдносно похiдної.
Лiтература
1. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2th ed.,
De Gruyter, Berlin; Boston (2016).
2. Ю. Д. Шлапак, О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка, не разрешенных относи-
тельно старшей производной, Укр. мат. журн, 26, № 6, 850 – 854 (1974).
3. S. M. Chuiko, O. V. Starkova, Autonomous Noether boundary-value problems not solved with respect to the derivative,
J. Math. Sci., 232, № 5, 783 – 799 (2018).
4. А. П. Торжевский, Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите,
Косм. исслед., 2, № 5, 667 – 678 (1964).
5. С. М. Чуйко, О. В. Старкова, О. Е. Пирус, Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относи-
тельно производной, Динам. системы, 2(30), № 1-2, 169 – 186 (2012).
6. С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, О. В. Старкова, Периодическая задача для уравнения Льенара, не разрешенного
относительно производной в критическом случае, Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины,
29, 157 – 171 (2015).
7. И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва (1956).
8. S. M. Chuiko, A weakly nonlinear boundary-value problem in a particular critical case, Ukr. Math. Zh., 61, № 4,
548 – 562 (2009).
9. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Нормально-разрешимые краевые задачи, Наук. думка, Киев
(2019).
10. А. С. Чуйко, Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи, Нелiнiйнi
коливання, 8, № 2, 278 – 288 (2005).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1118 А. М. САМОЙЛЕНКО, С. М. ЧУЙКО, О. В. НЄСМЄЛОВА
11. Д. К. Лика, Ю. А. Рябов, Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных
колебаний, Штиинца, Кишинев (1974).
12. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
13. Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов, Конструктивные методы анализа нелинейных систем, Наука, Москва (1979).
14. О. Б. Лыкова, А. А. Бойчук, Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях,
Укр. мат. журн., 40, № 1, 62 – 69 (1988).
15. S. M. Chuiko, To the generalization of the Newton – Kantorovich theorem, Visnyk V. N. Karazin Kharkiv Nat. Univ.
Ser. mat., prykl. mat. i mech., 85, № 1, 62 – 68 (2017).
16. С. М. Чуйко, Про узагальнення теореми Ньютона – Канторовича у банаховому просторi, Доп. НАН України,
№ 6, 22 – 31 (2018).
17. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям,
Факториал, Москва (1997).
18. S. L. Campbell, Singular systems of differential equations, Pitman Adv. Publ. Program, San Francisco etc. (1980).
19. А. М. Самойленко, М. I. Шкiль, В. П. Яковець, Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженням,
Вища шк., Київ (2000).
20. A. A. Boichuk, L. M. Shehda, Degenerate nonlinear boundary-value problems, Ukr. Math. J., 61, № 9, 1387 – 1403
(2009).
21. S. M. Chuiko, On a reduction of the order in a differential-algebraic system, J. Math. Sci., 235, № 1, 2 – 18 (2018).
Одержано 23.03.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-5986 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:08Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/5faa1877fe0e4ac76ef549df07d95201.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-59862022-03-26T11:02:00Z Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative Нелинейные краевые задачи, не разрешенные относительно производной Нелінійні крайові задачі, не розв'язані відносно похідної Samoilenko, A. M. Chuiko, S. M. Nesmelova, O. V. Самойленко, Анатолій Чуйко, Сергей Немелова, Ольга Самойленко, А. М. Чуйко, С. М. Нєсмєлова, О. В. UDC 517.9 We found constructive necessary and sufficient solvability conditions as well as a scheme of construction of solutions for a nonlinear boundary-value problem that is not solved with respect to the derivative.&nbsp;&nbsp;We also suggested concurrent iterative schemes for finding approximations of solutions of this problem.&nbsp;&nbsp;As an example of application of the constructed iterative scheme, we found approximations of solutions of periodic boundary-value problems for a Rayleigh-type equation not solved with respect to the derivative, in particular, in the case of a periodic problem for the equation that determines the satellite motion in an elliptical orbit. Найдены конструктивные необходимые и достаточные условия разрешимости и схему построения решений нелинейной краевой задачи, не разрешенной относительно производной. Построены сходящиеся итерационные схемы для нахождения приближений к решениям нелинейной краевой задачи, не разрешенной относительно производной. В качестве примеров применения построенной итерационной схемы, найдены приближения к решениям периодических краевых задач для уравнений типа Рэлея, не разрешенного относительно производной, а именно, в случае периодической задачи для уравнения, которое определяет движение спутника на эллиптической орбите. УДК 517.9 Знайдено конструктивні необхідні та достатні умови розв'язності, а також схему побудови розв'язків нелінійної крайової задачі, не розв'язаної відносно похідної.&nbsp;&nbsp;Побудовано збіжні ітераційні схеми для знаходження наближень до розв'язків зазначеної задачі.&nbsp;&nbsp;Як приклад застосування побудованої ітераційної схеми знайдено наближення до розв'язків періодичних крайових задач для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної, зокрема, у випадку періодичної задачі для рівняння, яке визначає рух супутника на еліптичній орбіті. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5986 10.37863/umzh.v72i8.5986 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 8 (2020); 1106-1118 Український математичний журнал; Том 72 № 8 (2020); 1106-1118 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5986/8742 Copyright (c) 2020 Ольга Нєсмєлова |
| spellingShingle | Samoilenko, A. M. Chuiko, S. M. Nesmelova, O. V. Самойленко, Анатолій Чуйко, Сергей Немелова, Ольга Самойленко, А. М. Чуйко, С. М. Нєсмєлова, О. В. Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title | Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title_alt | Нелинейные краевые задачи, не разрешенные относительно производной Нелінійні крайові задачі, не розв'язані відносно похідної |
| title_full | Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title_fullStr | Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title_full_unstemmed | Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title_short | Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| title_sort | nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/5986 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT chuikosm nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT nesmelovaov nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT samojlenkoanatolíj nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT čujkosergej nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT nemelovaolʹga nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT samojlenkoam nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT čujkosm nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT nêsmêlovaov nonlinearboundaryvalueproblemsunsolvedwithrespecttothederivative AT samoilenkoam nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT chuikosm nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT nesmelovaov nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT samojlenkoanatolíj nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT čujkosergej nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT nemelovaolʹga nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT samojlenkoam nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT čujkosm nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT nêsmêlovaov nelinejnyekraevyezadačinerazrešennyeotnositelʹnoproizvodnoj AT samoilenkoam nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT chuikosm nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT nesmelovaov nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT samojlenkoanatolíj nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT čujkosergej nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT nemelovaolʹga nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT samojlenkoam nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT čujkosm nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí AT nêsmêlovaov nelíníjníkrajovízadačínerozv039âzanívídnosnopohídnoí |