Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients
UDC 517.929.2 We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with jumps of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space.
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6058 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512257982595072 |
|---|---|
| author | Horodnii , M. F. Kravets , V. P. Городній, М. Ф. Городній, М. Ф. Кравець, В. П. |
| author_facet | Horodnii , M. F. Kravets , V. P. Городній, М. Ф. Городній, М. Ф. Кравець, В. П. |
| author_sort | Horodnii , M. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:21Z |
| description | UDC 517.929.2
We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with jumps of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i3.6058 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i3.6058
УДК 517.929.2
М. Ф. Городнiй, В. П. Кравець (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
ЗI СТРИБКАМИ ОПЕРАТОРНИХ КОЕФIЦIЄНТIВ
We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with jumps
of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space.
Дослiджується питання про iснування єдиного обмеженого розв’язку лiнiйного рiзницевого рiвняння другого по-
рядку зi стрибками операторних коефiцiєнтiв у скiнченновимiрному банаховому просторi.
Нехай X — m-вимiрний комплексний банахiв простiр iз нормою \| \cdot \| i нульовим елементом \=0;
I й O — одиничний i нульовий оператори в X; A1, A2, B1, B2 — фiксованi лiнiйнi оператори
в X.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = A1xn +A2xn - 1 + yn, n \geq 1,
xn+1 = B1xn +B2xn - 1 + yn, n \leq 0,
(1)
в якому послiдовнiсть \{ yn, n \in \BbbZ \} є заданою, а \{ xn, n \in \BbbZ \} — шуканою послiдовнiстю еле-
ментiв простору X.
Мета цiєї статтi — отримати необхiднi i достатнi умови на оператори A1, A2, B1, B2 з деяких
спецiальних класiв, за яких виконується така умова.
Умова обмеженостi. Для довiльної обмеженої в X послiдовностi \{ yn, n \in \BbbZ \} рiвняння (1)
має єдиний обмежений розв’язок \{ xn, n \in \BbbZ \} у просторi X.
Аналогiчне питання для рiзницевого рiвняння першого порядку зi стрибком операторного
коефiцiєнта дослiджено в [1] для скiнченновимiрного, а в [2, 3] для нескiнченновимiрного
простору X. Випадок, коли A2 = B2 = - I, дослiджено в [4, 5]. Про дослiдження лiнiйних
неавтономних рiзницевих рiвнянь першого порядку у загальному випадку див. [6], а рiзницевих
рiвнянь другого порядку зi сталими операторними коефiцiєнтами — [7, с. 17; 8] i наведену там
бiблiографiю.
Допомiжнi твердження. Покладемо X2 =
\biggl\{
x =
\biggl(
x(1)
x(2)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x(1), x(2) \in X
\biggr\}
. Тодi X2 — 2m-
вимiрний комплексний банахiв простiр iз покоординатним додаванням, множенням на скаляр
i нормою \| x\| \ast = \| x(1)\| + \| x(2)\| , x =
\biggl(
x(1)
x(2)
\biggr)
\in X2. Якщо E, F, G, H — лiнiйнi оператори
в X, то, як i для випадку числових матриць, T =
\biggl(
E F
G H
\biggr)
задає лiнiйний оператор в X2 за
правилом Tx =
\biggl(
Ex(1) + Fx(2)
Gx(1) +Hx(2)
\biggr)
, x =
\biggl(
x(1)
x(2)
\biggr)
\in X2.
Нехай TA =
\biggl(
A1 A2
I O
\biggr)
, TB =
\biggl(
B1 B2
I O
\biggr)
, \sigma (TA) — набiр власних чисел оператора TA,
S = \{ z \in \BbbC | | z| = 1\} . У подальшому будемо використовувати такi твердження.
c\bigcirc М. Ф. ГОРОДНIЙ, В. П. КРАВЕЦЬ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3 335
336 М. Ф. ГОРОДНIЙ, В. П. КРАВЕЦЬ
Лема 1. Для того щоб умова обмеженостi виконувалась для рiвняння (1), необхiдно i
достатньо, щоб ця умова виконувалась у просторi X2 для рiзницевого рiвняння
xn+1 = TAxn + yn, n \geq 1,
xn+1 = TBxn + yn, n \leq 0.
(2)
Лема 2. Число \lambda \in \BbbC є власним числом оператора TA, що вiдповiдає власному век-
тору
\biggl(
\lambda u
u
\biggr)
, де u — деякий ненульовий елемент простору X, тодi i тiльки тодi, коли (\lambda 2I -
- A1\lambda - A2)u = 0.
Доведення лем 1, 2 стандартнi, тому ми їх не наводимо.
Лема 3. Припустимо, що операторне рiвняння
\Lambda 2 - A1\Lambda - A2 = O (3)
має коренi \Lambda 1,\Lambda 2, причому iснує обернений оператор (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1 до оператора \Lambda 1 - \Lambda 2.
Покладемо
U =
\Biggl(
\Lambda 1 \Lambda 2
I I
\Biggr)
, U - 1 =
\Biggl(
(\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1 - (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1\Lambda 2
- (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1 (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1\Lambda 1
\Biggr)
.
Тодi U - 1 — обернений оператор до U, а також
U - 1TAU =
\Biggl(
\Lambda 1 O
O \Lambda 2
\Biggr)
. (4)
Лема 3 є частковим випадком теореми 2 роботи [8].
Як звичайно, лiнiйнi оператори G : X \rightarrow X i \widetilde G : X \rightarrow X будемо називати подiбними,
якщо iснує такий лiнiйний оборотний оператор V : X \rightarrow X, що \widetilde G = V - 1GV.
Наступнi леми мiстять потрiбнi в подальшому властивостi подiбних операторiв.
Лема 4. Нехай лiнiйнi оператори G, \widetilde G подiбнi i \widetilde G = V - 1GV. Тодi:
1) матрицi операторiв G i \widetilde G мають одну i ту ж жорданову нормальну форму;
2) оператор \widetilde G має ланцюг iз власного i приєднаних векторiв ek \rightarrow ek - 1 \rightarrow . . . \rightarrow e1 \rightarrow e,
що вiдповiдає власному числу z (див. [9, с.189]), тодi i тiльки тодi, коли оператор G має
ланцюг V ek \rightarrow V ek - 1 \rightarrow . . . \rightarrow V e1 \rightarrow V e, що вiдповiдає власному числу z.
Лема 4 є безпосереднiм наслiдком означення подiбних операторiв i скiнченної вимiрностi
банахового простору X.
Лема 5. Якщо \Lambda 1, \Lambda 2 — коренi операторного рiвняння (3) i \Lambda 1 +\Lambda 2 = A1, то оператори
\Lambda 1, \Lambda 2 комутують.
Доведення. Оскiльки A1 = \Lambda 1 + \Lambda 2, то, пiдставивши \Lambda 1 у рiвняння (3), отримаємо
\Lambda 2
1 - (\Lambda 1 + \Lambda 2)\Lambda 1 - A2 = O. Звiдси \Lambda 2\Lambda 1 = - A2. Аналогiчно \Lambda 1\Lambda 2 = - A2, а отже, \Lambda 1\Lambda 2 =
= \Lambda 2\Lambda 1.
Лема 6. Нехай виконується умова леми 3. Тодi оператори \Lambda 1, \Lambda 2 комутують у тому i
тiльки у тому випадку, коли \Lambda 1 + \Lambda 2 = A1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 337
Доведення. Необхiднiсть. Оскiльки \Lambda 1, \Lambda 2 — коренi рiвняння (3), то \Lambda 2
k - A1\Lambda k - A2 = O,
k = 1, 2, звiдки
\Lambda 2
1 - \Lambda 2
2 = A1(\Lambda 1 - \Lambda 2). (5)
Також внаслiдок комутовностi \Lambda 1, \Lambda 2
\Lambda 2
1 - \Lambda 2
2 = (\Lambda 1 + \Lambda 2)(\Lambda 1 - \Lambda 2). (6)
Iз (5), (6) i оборотностi оператора \Lambda 1 - \Lambda 2 випливає, що \Lambda 1 + \Lambda 2 = A1.
Достатнiсть випливає з леми 5.
Наступнi приклади показують, що умови лем 3 i 5 незалежнi.
Приклад 1. Нехай X = \BbbC 2 — арифметичний двовимiрний комплексний простiр. Зафiксуємо
деяку норму в X i будемо ототожнювати оператори, що дiють з X в X, з їхнiми матрицями у
базисi e1 =
\biggl(
1
0
\biggr)
, e2 =
\biggl(
0
1
\biggr)
.
Операторне рiвняння \Lambda 2 -
\biggl(
5 0
0 5
\biggr)
\Lambda +
\biggl(
6 0
0 6
\biggr)
= O має, зокрема, коренi \Lambda 1 =
\biggl(
2 0
0 2
\biggr)
,
\Lambda 2 =
\biggl(
3 0
0 3
\biggr)
, \Lambda 3 =
\biggl(
3 1
0 2
\biggr)
, \Lambda 4 =
\biggl(
2 0
0 3
\biggr)
. При цьому \Lambda 1+\Lambda 2 = A1 й iснує (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1;
\Lambda 1 + \Lambda 3 \not = A1 i не iснує (\Lambda 1 - \Lambda 3)
- 1; \Lambda 3 + \Lambda 4 \not = A1 й iснує (\Lambda 3 - \Lambda 4)
- 1.
Приклад 2. Операторне рiвняння \Lambda 2 -
\biggl(
5 0
0 0
\biggr)
\Lambda +
\biggl(
6 0
0 0
\biggr)
= O має коренi \Lambda 1 =
=
\biggl(
3 0
0 0
\biggr)
, \Lambda 2 =
\biggl(
2 0
0 0
\biggr)
, причому \Lambda 1 + \Lambda 2 = A1 i не iснує (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1.
Нехай T — такий лiнiйний оператор в X2, що його спектр \sigma (T ) не перетинається з оди-
ничним колом S. Визначимо лiнiйнi пiдпростори X2
- (T ), X2
+(T ) у просторi X2 за таким
правилом. Якщо \sigma (T ) лежить всерединi кола S, то X2
- (T ) = X2, X2
+(T ) =
\biggl\{ \biggl(
0
0
\biggr) \biggr\}
. Якщо
\sigma (T ) лежить зовнi S, то X2
- (T ) =
\biggl\{ \biggl(
0
0
\biggr) \biggr\}
, X2
+(T ) = X2. Якщо ж \sigma (T ) має непорожнi пере-
тини з множинами S - = \{ z \in \BbbC | | z| < 1\} i S+ = \{ z \in \BbbC | | z| > 1\} , то зафiксуємо такий базис
e1, e2, . . . , ei, f i+1, f i+2, . . . , f2m у просторi X2, в якому матриця оператора T має жорданову
нормальну форму, причому e1, e2, . . . , ei вiдповiдають клiтинi Жордана з власними числами iз
S - , а f i+1, f i+2, . . . , f2m — клiтинi Жордана з власними числами iз S+. Тодi X2
- (T ), X
2
+(T )
— лiнiйнi оболонки векторiв e1, e2, . . . , ei й f i+1, f i+2, . . . , f2m вiдповiдно.
Внаслiдок леми 1 i теореми 1 роботи [1] справджується таке твердження.
Теорема 1. Для рiзницевого рiвняння (1) умова обмеженостi виконується тодi i тiльки
тодi, коли виконуються такi умови:
a1) \sigma (TA) \cap S = \varnothing , \sigma (TB) \cap S = \varnothing ;
a2) X2 = X2
- (TA) \.+X2
+(TB), тобто X2 є прямою сумою пiдпросторiв X2
- (TA) i X2
+(TB).
Основнi результати. У загальному випадку перевiрка умов a1), a2) теореми 1 є нетривiаль-
ною задачею. Нижче розглядаються два випадки, коли ця перевiрка суттєво спрощується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
338 М. Ф. ГОРОДНIЙ, В. П. КРАВЕЦЬ
Теорема 2. Припустимо, що операторнi рiвняння
\Lambda 2 - A1\Lambda - A2 = O, \Phi 2 - B1\Phi - B2 = O (7)
мають такi коренi \Lambda 1, \Lambda 2 i \Phi 1, \Phi 2 вiдповiдно, що iснують оператори (\Lambda 1 - \Lambda 2)
- 1, (\Phi 1 -
- \Phi 2)
- 1. Для рiзницевого рiвняння (1) умова обмеженостi виконується тодi i тiльки тодi,
коли виконуються такi умови:
b1) (\sigma (\Lambda 1) \cup \sigma (\Lambda 2)) \cap S = \varnothing , (\sigma (\Phi 1) \cup \sigma (\Phi 2)) \cap S = \varnothing ;
b2) якщо при k = 1, 2 матриця оператора \Lambda k має жорданову нормальну форму, в якiй
рiвно pk клiтин Жордана вiдповiдають власним числам z(k, 1), z(k, 2), . . . , z(k, pk), що ле-
жать всерединi S, причому z(k, i) вiдповiдає клiтина, що будується за ланцюгом iз власного
i приєднаних векторiв ul(k,i)(k, i) \rightarrow ul(k,i) - 1(k, i) \rightarrow . . . \rightarrow u1(k, i), a матриця оператора \Phi k
має жорданову нормальну форму, в якiй рiвно qk клiтин Жордана вiдповiдають власним чис-
лам \lambda (k, 1), \lambda (k, 2), . . . , \lambda (k, qk), що лежать зовнi S, причому \lambda (k, j) вiдповiдає клiтина, що
будується за ланцюгом vn(k,j)(k, j) \rightarrow vn(k,j) - 1(k, j) \rightarrow . . . \rightarrow v1(k, j), то вектори-стовпчики\Biggl(
z(k, i)u1(k, i)
u1(k, i)
\Biggr)
,
\Biggl(
z(k, i)u2(k, i) + u1(k, i)
u2(k, i)
\Biggr)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)\Biggl(
z(k, i)ul(k,i)(k, i) + ul(k,i) - 1(k, i)
ul(k,i)(k, i)
\Biggr)
, 1 \leq i \leq pk, k = 1, 2;
\Biggl(
\lambda (k, j)v1(k, j)
v1(k, j)
\Biggr)
,
\Biggl(
\lambda (k, j)v2(k, j) + v1(k, j)
v2(k, j)
\Biggr)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)\Biggl(
\lambda (k, j)vn(k,j)(k, j) + vn(k,j) - 1(k, j)
vn(k,j)(k, j)
\Biggr)
, 1 \leq j \leq qk, k = 1, 2,
утворюють базис в X2.
Доведення. За лемою 3 оператори TA, TB подiбнi до операторiв
\widetilde TA =
\Biggl(
\Lambda 1 O
O \Lambda 2
\Biggr)
, \widetilde TB =
\Biggl(
\Phi 1 O
O \Phi 2
\Biggr)
.
Оскiльки \sigma ( \widetilde TA) = \sigma (\Lambda 1) \cup \sigma (\Lambda 2), \sigma ( \widetilde TB) = \sigma (\Phi 1) \cup \sigma (\Phi 2), то з огляду на лему 4 робимо
висновок, що умови a1) теореми 1 та b1) теореми 2 виконуються одночасно.
Iз умови b2) i структури оператора \widetilde TA випливає, що пiдпростiр X2
- ( \widetilde TA) є лiнiйною обо-
лонкою векторiв, якi утворюють такi ланцюги iз власних i приєднаних векторiв оператора \widetilde TA :\Biggl(
ul(1,i)(1, i)
0
\Biggr)
\rightarrow
\Biggl(
ul(1,i) - 1(1, i)
0
\Biggr)
\rightarrow . . . \rightarrow
\Biggl(
u1(1, i)
0
\Biggr)
, 1 \leq i \leq p1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 339\Biggl(
0
ul(2,i)(2, i)
\Biggr)
\rightarrow
\Biggl(
0
ul(2,i) - 1(2, i)
\Biggr)
\rightarrow . . . \rightarrow
\Biggl(
0
u2(2, i)
\Biggr)
, 1 \leq i \leq p2.
Тому внаслiдок рiвностi (4) i леми 4 пiдпростiр X2
- (TA) є лiнiйною оболонкою векторiв (8).
Аналогiчно X2
+(TB) є лiнiйною оболонкою векторiв (9). Таким чином, за умов теореми 2
умови a2) теореми 1 та b2) теореми 2 теж рiвносильнi.
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Припустимо, що операторнi рiвняння (7) мають коренi \Lambda 1, \Lambda 2 i \Phi 1,\Phi 2 вiд-
повiдно, якi зводяться до дiагонального вигляду в одному i тому ж базисi, тобто iснує такий
базис u1, u2, . . . , um у просторi X, що для кожного 1 \leq i \leq m i k = 1, 2 iснують такi z(k, i),
\lambda (k, i) \in \BbbC , що
\Lambda kui = z(k, i)ui, \Phi kui = \lambda (k, i)ui, (10)
а також
\Lambda 1 + \Lambda 2 = A1, \Phi 1 +\Phi 2 = B1. (11)
Для рiзницевого рiвняння (1) умова обмеженостi виконується тодi i тiльки тодi, коли викону-
ються такi умови:
c1) | z(k, i)| \not = 1, | \lambda (k, i)| \not = 1 для k = 1, 2, 1 \leq i \leq m;
c2) якщо серед чисел z(1, i), z(2, i) рiвно pi лежать всерединi кола S, а серед чисел \lambda (1, i),
\lambda (2, i) рiвно qi — зовнi S, то pi + qi = 2 для кожного 1 \leq i \leq m.
Доведення. Внаслiдок (10), (11) умова обмеженостi для рiзницевого рiвняння (1) викону-
ється у тому i тiльки у тому випадку, коли умова обмеженостi виконується для кожного з таких
m числових рiзницевих рiвнянь:
\alpha n+1 = (z(1, i) + z(2, i))\alpha n - z(1, i)z(2, i)\alpha n - 1 + \beta n, n \geq 1,
\alpha n+1 = (\lambda (1, i) + \lambda (2, i))\alpha n - \lambda (1, i)\lambda (2, i)\alpha n - 1 + \beta n, n \leq 0.
(12)
Тут \{ \beta n, n \in \BbbZ \} — задана, а \{ \alpha n, n \in \BbbZ \} — шукана обмеженi послiдовностi комплексних чисел.
Застосовуючи при фiксованому 1 \leq i \leq m до рiвняння (12) лему 1 i теорему 1, робимо
висновок, що для (12) умова обмеженостi виконується тодi i тiльки тодi, коли оператори в \BbbC 2,
якi задаються матрицями
TA,i =
\Biggl(
z(1, i) + z(2, i) - z(1, i)z(2, i)
1 0
\Biggr)
, TB,i =
\Biggl(
\lambda (1, i) + \lambda (2, i) - \lambda (1, i)\lambda (2, i)
1 0
\Biggr)
,
задовольняють умови a1), a2) при X2 = \BbbC 2.
Неважко переконатися, що z(1, i), z(2, i) — власнi числа оператора TA,i, а також при
z(1, i) \not = z(2, i) їм вiдповiдають власнi вектори
\biggl(
z(1, i)
1
\biggr)
,
\biggl(
z(2, i)
1
\biggr)
, а при z(1, i) = z(2, i) —
власний
\biggl(
z(1, i)
1
\biggr)
i приєднаний
\biggl(
1
0
\biggr)
вектори. Тому при | z(1, i)| \not = 1, | z(2, i)| \not = 1 пiдпростори
\BbbC 2
- (TA,i), \BbbC 2
+(TA,i) для цього оператора будуються за таким правилом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
340 М. Ф. ГОРОДНIЙ, В. П. КРАВЕЦЬ
якщо z(1, i), z(2, i) лежать всерединi кола S, то \BbbC 2
- (TA,i) = \BbbC 2 , \BbbC 2
+(TA,i) =
\biggl\{ \biggl(
0
0
\biggr) \biggr\}
;
якщо z(1, i), z(2, i) лежать зовнi S, то \BbbC 2
- (TA,i) =
\biggl\{ \biggl(
0
0
\biggr) \biggr\}
, \BbbC 2
+(TA,i) = \BbbC 2;
якщо z(1, i) лежать всерединi, а z(2, i) — зовнi S, то
\BbbC 2
- (TA,i) = л.о.
\Biggl\{ \Biggl(
z(1, i)
1
\Biggr) \Biggr\}
, \BbbC 2
+(TA,i) = л.о.
\Biggl\{ \Biggl(
z(2, i)
1
\Biggr) \Biggr\}
,
де л.о.
\biggl\{ \biggl(
u
v
\biggr) \biggr\}
позначає лiнiйну оболонку в \BbbC 2 вектора
\biggl(
u
v
\biggr)
.
Аналогiчно будуються пiдпростори \BbbC 2
- (TB,i) i \BbbC 2
+(TB,i). Тому для еквiвалентностi умов a2)
теореми 1 i c2) теореми 3 для рiзницевого рiвняння (12) достатньо зауважити, що \BbbC 2 є прямою
сумою л.о.
\biggl\{ \biggl(
z
1
\biggr) \biggr\}
i л.о.
\biggl\{ \biggl(
\lambda
1
\biggr) \biggr\}
для довiльних z, \lambda \in \BbbC , z \not = \lambda .
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, Про обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння зi змiнним операторним коефiцi-
єнтом, Доп. НАН України, № 12, 12 – 16 (2016).
2. В. Ю. Слюсарчук, Необхiднi i достатнi умови оборотностi кусково-автономних рiзницевих операторiв у
просторi обмежених двостороннiх послiдовностей, Нелiнiйнi коливання, 23, № 1, 90 – 111 ( 2020).
3. В. Ю. Слюсарчук, Експоненцiально дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з кусково-сталими операторними коефi-
цiєнтами, Укр. мат. журн., 72, № 6, 822 – 841 (2020).
4. М. Ф. Городнiй, В. П. Кравець, Обмеженi розв’язки рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибком опера-
торного коефiцiєнта, Доп. НАН України, № 2, 12 – 16 ( 2019).
5. М. Ф. Городнiй, В. П. Кравець, Про обмеженi розв’язки одного рiзницевого рiвняння другого порядку, Нелiнiйнi
коливання, 22, № 2, 196 – 201 (2019).
6. В. E. Слюсарчук, Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем, Укр. мат. журн., 35, № 1,
109 – 115 (1983).
7. А. Я. Дороговцев, Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохас-
тических динамических систем, Вища шк., Киев (1992).
8. Л. Ю. Кабанцова, Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом прoстранстве и расщепление
операторов, Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика, 17, вып. 3, 285 – 293 (2017).
9. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, Наука, Москва (1971).
Одержано 02.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6058 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:55Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f5/cb8b64cd84e4e8162c0793c282fefbf5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60582025-03-31T08:48:21Z Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients Обмежені розв’язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибками операторних коефіцієнтів Horodnii , M. F. Kravets , V. P. Городній, М. Ф. Городній, М. Ф. Кравець, В. П. UDC 517.929.2 We study the problem of existence of the unique bounded solution of a linear second-order difference equation with jumps of operator coefficients in a finite-dimensional Banach space. Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения линейного разностного уравнения второго порядка со скачками операторных коэффициентов в конечномерном банаховом пространстве. УДК 517.929.2 Дослiджується питання про iснування єдиного обмеженого розв’язку лiнiйного рiзницевого рiвняння другого порядку зi стрибками операторних коефiцiєнтiв у скiнченновимiрному банаховому просторi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-03-11 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6058 10.37863/umzh.v73i3.6058 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 3 (2021); 335 - 340 Український математичний журнал; Том 73 № 3 (2021); 335 - 340 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6058/8978 Copyright (c) 2021 Михайло Городній, Вікторія Кравець |
| spellingShingle | Horodnii , M. F. Kravets , V. P. Городній, М. Ф. Городній, М. Ф. Кравець, В. П. Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title | Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title_alt | Обмежені розв’язки різницевого рівняння другого порядку зі стрибками операторних коефіцієнтів |
| title_full | Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title_fullStr | Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title_full_unstemmed | Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title_short | Bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| title_sort | bounded solutions of a second-order difference equation with jumps of operator coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6058 |
| work_keys_str_mv | AT horodniimf boundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithjumpsofoperatorcoefficients AT kravetsvp boundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithjumpsofoperatorcoefficients AT gorodníjmf boundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithjumpsofoperatorcoefficients AT gorodníjmf boundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithjumpsofoperatorcoefficients AT kravecʹvp boundedsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithjumpsofoperatorcoefficients AT horodniimf obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkamioperatornihkoefícíêntív AT kravetsvp obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkamioperatornihkoefícíêntív AT gorodníjmf obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkamioperatornihkoefícíêntív AT gorodníjmf obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkamioperatornihkoefícíêntív AT kravecʹvp obmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâdrugogoporâdkuzístribkamioperatornihkoefícíêntív |