One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain
UDC 517.958 We consider the integro-differential heat equation with a time convolution integral on the right-hand side. The direct problem is an initial-boundary problem for the integro–differential equation. We study two inverse problems for this direct problem, which consist in finding the kernel...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6060 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512257743519744 |
|---|---|
| author | Durdiev, D. K. Zhumaev , Zh. Zh. Дурдiєв, Д. К. Жумаєв, Ж. Ж. |
| author_facet | Durdiev, D. K. Zhumaev , Zh. Zh. Дурдiєв, Д. К. Жумаєв, Ж. Ж. |
| author_sort | Durdiev, D. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.958
We consider the integro-differential heat equation with a time convolution integral on the right-hand side. The direct problem is an initial-boundary problem for the integro–differential equation. We study two inverse problems for this direct problem, which consist in finding the kernel of the integral term provided that two additional conditions on the solution of the direct problem are given. These problems are replaced with equivalent systems of integral equations with respect to unknown functions and, using the contraction mapping principle, we prove the unique solvability of the inverse problems. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.6060 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.6060
УДК 517.958
Д. К. Дурдiєв (Бухар. вiд-ня Iн-ту математики АН Республiки Узбекистан),
Ж. Ж. Жумаєв (Бухар. держ. ун-т, Узбекистан)
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА
IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
В ОБМЕЖЕНIЙ ОБЛАСТI
We consider the integro-differential heat equation with a time convolution integral on the right-hand side. The direct
problem is an initial-boundary problem for the this equation. We study two inverse problems for this direct problem, which
consist in finding the kernel of the integral term provided that two additional conditions on the solution of the direct problem
are given. These problems are replaced with equivalent systems of integral equations with respect to unknown functions
and, using the contraction mapping principle, we prove the unique solvability of the inverse problems.
Розглянуто iнтегро-диференцiальне рiвняння теплопровiдностi з iнтегралом згортки за часом у правiй частинi.
Пряма задача є початково-крайовою задачею для цього рiвняння. Для прямої задачi вивчаються двi оберненi задачi,
що полягають у визначеннi ядра iнтегрального члена за заданими двома додатковими умовами щодо розв’язку
прямої задачi. Задачi замiнено еквiвалентними системами iнтегральних рiвнянь щодо невiдомих функцiй, i на
основi стискаючого вiдображення доведено однозначну розв’язнiсть обернених задач.
1. Вступ. Задачi визначення коефiцiєнтiв, правих частин або iнших фiзичних параметрiв у
диференцiальних та iнтегро-диференцiальних рiвняннях за заданою додатковою „експеримен-
тальною” iнформацiєю про їхнi розв’язки досить часто виникають у рiзних застосуваннях. Цi
задачi є оберненими до „прямих” задач, в яких задано диференцiальнi рiвняння, початковi та
граничнi данi [1].
Оберненi задачi для параболiчних i гiперболiчних рiвнянь з частинними похiдними природ-
но виникають в геофiзицi, при пошуку нафти, в конструкцiї оптичних пристроїв i в багатьох
iнших областях, де внутрiшня будова об’єкта може вiдображатися шляхом вимiрювання полiв у
доступних областях. Задачi знаходження ядер пам’ятi в таких рiвняннях iнтенсивно вивчаються
з кiнця минулого столiття (див. [2 – 5]).
У даний час вивченню обернених задач для параболiчних iнтегро-диференцiальних рiвнянь
присвячено велику кiлькiсть дослiджень (див., наприклад, [6 – 10]).
Розглянемо початково-крайову задачу визначення функцiї u(x, t), x \in (0, l), t \in (0, T ], з
рiвнянь
ut - a2uxx =
t\int
0
k(\tau )u(x, t - \tau )d\tau + h(x, t), x \in (0, l), 0 < t \leq T, (1.1)
u| t=0 = \varphi (x), x \in [0, l], (1.2)
u| x=0 = \mu 1(t), u| x=l = \mu 2(t), 0 \leq t \leq T, \varphi (0) = \mu 1(0), \varphi (l) = \mu 2(0), (1.3)
де a — додатна стала, l i T — довiльнi додатнi числа. При заданих функцiях k(t), h(x, t), \varphi (x),
\mu 1(t) i \mu 2(t) ця задача називається прямою задачею.
В оберненiй задачi припускається, що ядро k(t), t > 0, iнтегрального члена в (1.1) є
невiдомим, i вимагається визначити його, використовуючи додаткову iнформацiю про розв’язок
c\bigcirc Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ, 2021
1492 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1493
прямої задачi
l\int
0
u(x, t)dx = f(t), t \in (0, T ], (1.4)
або
u(x0, t) = f(t), x0 \in (0, l), t \in (0, T ]. (1.5)
У цьому випадку \varphi (x), x \in [0, l], \mu 1(t), \mu 2(t), t \in [0, T ], — заданi функцiї. В подальшому
будемо називати задачу знаходження функцiй u(x, t), k(t), x \in (0, l), t \in (0, T ], з рiвнянь (1.1) –
(1.4) оберненою задачею 1, а знаходження цих функцiй з рiвнянь (1.1) – (1.3), (1.5) оберненою
задачею 2.
Для простоти позначимо через \vargamma функцiю ut, тобто ut = \vargamma . Диференцiюючи рiвняння (1.1)
по t i використовуючи умову (1.2), отримуємо
\vargamma t - a2\vargamma xx = k(t)\varphi (x) +
t\int
0
k(\tau )\vargamma (x, t - \tau )d\tau + ht(x, t). (1.6)
Покладаючи t = 0 у рiвняннi (1.1) i використовуючи рiвнiсть (1.2), знаходимо початкову умову
для \vargamma :
\vargamma | t=0 = a2\varphi \prime \prime (x) + h(x, 0). (1.7)
Щоб отримати граничнi умови для функцiї \vargamma , здиференцiюємо умови (1.3) по t:
\vargamma | x=0 = \mu \prime 1(t), \vargamma | x=l = \mu \prime 2(t), 0 < t \leq T,
a2\varphi \prime \prime (0) + h(0, 0) = \mu \prime 1(0), a2\varphi \prime \prime (l) + h(l, 0) = \mu \prime 2(0).
(1.8)
Диференцiюючи додатковi умови (1.4) i (1.5) щодо t, отримуємо цi умови для функцiї \vargamma в
оберненiй задачi 1:
l\int
0
\vargamma (x, t)dx = f \prime (t), t \in (0, T ], (1.9)
i в оберненiй задачi 2:
\vargamma (x0, t) = f \prime (t), x0 \in (0, l), t \in (0, T ]. (1.10)
Замiнимо початково-крайову задачу (1.6) – (1.8) на еквiвалентне iнтегральне рiвняння типу
Вольтерри. Для цього з рiвнянь (1.6) – (1.8) виводимо для \vargamma (x, t) рiвняння (див. [11, с. 180 –
219]):
\vargamma (x, t) = \psi (x, t) +
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\left[ k(\tau )\varphi (\xi ) + \tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha
\right] d\xi d\tau , (1.11)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1494 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
\psi (x, t) =
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )h\tau (\xi , \tau )d\xi d\tau +
\infty \sum
n=1
\left[ 2
l
l\int
0
(a2\varphi \prime \prime (x) + h(x, 0)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi n
l
xdx +
+
2\pi a2n
l2
t\int
0
(\mu \prime 1(\tau ) - ( - 1)n\mu \prime 2(\tau ))e
(\pi an
l
)2\tau d\tau
\right] e - (\pi an
l
)2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi n
l
x,
G(x, \xi , t - \tau ) =
2
l
\infty \sum
n=1
e - (\pi an
l
)2(t - \tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi an
l
\xi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi an
l
x
— функцiя Грiна першої початково-крайової задачi для одновимiрного рiвняння теплопровiд-
ностi.
Наведемо двi властивостi функцiї Грiна [11, с. 200 – 221], необхiднi для подальшого викладу.
Зауваження 1. Iнтеграл функцiї Грiна не перевищує 1:
l\int
0
G(x, \xi , t)d\xi \leq 1, x \in (0, l), t \in (0, T ].
Зауваження 2. Функцiя G(x, \xi , t) нескiнченно неперервно диференцiйовна по x, \xi , t i
Gt(x, \xi , t) є обмеженою функцiєю для 0 < x < l, 0 < \xi < l, 0 < t \leq T, тобто\bigm| \bigm| Gt(x, \xi , t - \tau )
\bigm| \bigm| \leq 2
l
.
2. Пряма задача.
Лема 1. Нехай
(\varphi (x), \varphi \prime (x), \varphi \prime \prime (x)) \in C(0, l), (h(x, t), ht(x, t)) \in C(DlT ),
(\mu 1(t), \mu
\prime
1(t), \mu 2(t), \mu
\prime
2(t)) \in C(0, T ), k(t) \in C(0, T )
i виконано умови погоджень у (1.3), (1.8). Тодi iснує єдиний класичний розв’язок задачi \vargamma (x, t)
(1.6) – (1.8), що належить класу C2,1(DlT ) (C
2,1(DlT ) — клас двiчi неперервно диференцiйовних
по x i неперервно диференцiйовних по t в областi DlT функцiй, DlT = \{ 0 < x < l, 0 < t \leq T\} ).
У подальшому ми також будемо використовувати звичайний клас C(DlT ) неперервних в
областi DlT функцiй.
Для доведення леми 1 запишемо рiвняння (1.11) у виглядi
\vargamma (x, t) =
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )h\tau (\xi , \tau )d\xi d\tau +
+
\infty \sum
n=1
\left[ 2
l
l\int
0
(a2\varphi \prime \prime (x) + h(x, 0)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi n
l
xdx +
+
2\pi a2n
l2
t\int
0
(\mu \prime 1(\tau ) - ( - 1)n\mu \prime 2(\tau ))e
(\pi an
l
)2\tau d\tau
\right] e - (\pi an
l
)2t \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi n
l
x +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1495
+
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )k(\tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau +
+
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau (2.1)
i, позначивши суму перших трьох доданкiв у правiй частинi (2.1) через \Phi (x, t), для цього
рiвняння в областi DlT розглянемо послiдовнiсть функцiй
\vargamma n(x, t) = \Phi (x, t) +
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma n - 1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau , n = 1, 2, . . . , (2.2)
де \vargamma 0(x, t) = 0 для (x, t) \in DlT . При виконаннi умов леми 1 \Phi (x, t) \in C2,1 (DlT ) . Тодi з (2.2)
випливає, що всi \vargamma n(x, t) в областi DlT мають такi властивостi.
Позначимо Zn(x, t) := \vargamma n(x, t) - \vargamma n - 1(x, t) i \Phi 0 = \| \Phi \| C(DlT ). У вiдповiдностi з форму-
лою (2.2) оцiнимо Zn(x, t) в областi DlT :
| Z1(x, t)| \leq \Phi 0,
| Z2(x, t)| \leq
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
| k(\alpha )| | Z1(\xi , \tau - \alpha )| d\alpha d\xi d\tau \leq \Phi 0k0
t2
2!
,
k0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| k(t)| ,
| Z3(x, t)| \leq
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
| k(\alpha )| | Z2(\xi , \tau - \alpha )| d\alpha d\xi d\tau \leq \Phi 0k
2
0
t4
4!
.
Таким чином, для довiльного n = k маємо
| Zk(x, t)| \leq \Phi 0k
k - 1
0
t2(k - 1)
(2k - 2)!
.
Iз наведених вище оцiнок випливає, що ряд
\infty \sum
n=1
[\vargamma n(x, t) - \vargamma n - 1(x, t)]
збiгається рiвномiрно в DlT , а його сума u(x, t) належить функцiональному простору C2,1 (DT ) .
Отже, функцiональна послiдовнiсть \vargamma n(x, t), визначена за допомогою рiвностi (2.2), збiгається
до \vargamma (x, t) рiвномiрно в DlT . Тодi \vargamma (x, t) є розв’язком рiвняння (1.11).
Тепер покажемо, що цей розв’язок є єдиним. Припустимо, що iснують два розв’язки рiв-
няння (1.11): \vargamma 1(x, t) i \vargamma 2(x, t) з одними i тими вхiдними даними. Тодi їхня рiзниця Z(x, t) =
= \vargamma 2(x, t) - \vargamma 1(x, t) є розв’язком рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1496 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
Z(x, t) =
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )Z(\xi , \alpha )d\alpha d\xi d\tau .
Нехай \~Z(t) — супремум модуля Z(x, t) для x \in [0, l] при кожному фiксованому t \in (0, T ]. Тодi
\~Z(t) \leq k0T
t\int
0
\~Z(\tau )d\tau , t \in [0, T ].
Застосовуючи тут нерiвнiсть Гронуолла, отримуємо \~Z(t) = 0 при t \in [0, T ]. Це означає, що
Z(x, t) = 0 у DlT , тобто \vargamma 1(x, t) = \vargamma 2(x, t) у DlT . Отже, рiвняння (1.11) має єдиний розв’язок
в областi DlT .
Лему доведено.
3. Обернена задача 1. Використовуючи додаткову умову (1.9) для оберненої задачi 1, iз
(1.11) знаходимо
f \prime (t) =
l\int
0
\psi (x, t)dx+
l\int
0
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )k(\tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx +
+
l\int
0
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx.
Диференцiюючи цю рiвнiсть по t, отримуємо рiвняння
f \prime \prime (t) =
l\int
0
\psi t(x, t)dx+
l\int
0
l\int
0
G(x, \xi , 0)k(t)\varphi (\xi )d\xi dx+
+
l\int
0
t\int
0
k(\tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx +
+
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx+
+
l\int
0
l\int
0
G(x, \xi , 0)
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , t - \alpha )d\alpha d\xi dx.
Оскiльки G(x, \xi , 0) = \delta (x - \xi ), де \delta (\cdot ) — дельта-функцiя Дiрака, враховуючи спiввiдношення
l\int
0
g(\xi )\delta (x - \xi )d\xi = g(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1497
l\int
0
G(x, \xi , 0)
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , t - \alpha )d\alpha d\xi =
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (x, t - \alpha )d\alpha ,
записуємо останнє рiвняння у виглядi
f \prime \prime (t) =
l\int
0
\psi t(x, t)dx+ k(t)
l\int
0
\varphi (x)dx+
+
l\int
0
t\int
0
k(\tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx +
+
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx+
+
l\int
0
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (x, t - \alpha )d\alpha dx. (3.1)
Введемо позначення
\varphi 0 =
l\int
0
\varphi (x)dx.
Тепер рiвняння (3.1) запишемо як iнтегральне рiвняння другого роду щодо невiдомої функцiї
k(t):
k(t) =
1
\varphi 0
\left[ f \prime \prime (t) - l\int
0
\psi t(x, t)dx -
l\int
0
t\int
0
k(\tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx -
-
l\int
0
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (x, t - \alpha )d\alpha dx -
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\right] . (3.2)
Запишемо систему рiвнянь (1.11), (3.2) у виглядi операторного рiвняння
Ag = g, (3.3)
де g = (g1, g2) = (\vargamma (x, t), k(t)) — вектор-функцiя i A = (A1, A2) визначено за допомогою
правих частин iнтегральних рiвнянь (1.11) i (3.2):
A1g = g01(x, t) +
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\left[ g2(\tau )\varphi (\xi ) + \tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha
\right] d\xi d\tau , (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1498 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
A2g = g02(t) -
1
\varphi 0
\left[ l\int
0
t\int
0
g2(\tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx -
-
l\int
0
t\int
0
g2(\alpha )g1(x, t - \alpha )d\alpha dx -
-
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\right] . (3.5)
У рiвностях (3.4) i (3.5) введено такi позначення:
g0(x, t) = (g01(x, t), g02(t)) =
\left( \psi (x, t), 1
\varphi 0
\left[ f \prime \prime (t) - l\int
0
\psi t(x, t)dx
\right] \right) .
Теорема 1. Припустимо, що f(t) \in C2[0, T ], \varphi 0 \not = 0 i всi умови леми 1 виконано. Тодi
для будь-яких фiксованих l > 0 i T > 0 операторне рiвняння (3.3) має єдиний розв’язок в
областi DlT .
Доведення. Визначимо для невiдомої вектор-функцiї g(x, t) \in C(DlT ) вагову норму
\| g\| \sigma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DT
\bigm| \bigm| g1(x, t)e - \sigma t
\bigm| \bigm| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| g2(t)e - \sigma t
\bigm| \bigm| \Biggr\} =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \| g1\| \sigma , \| g2\| \sigma \} , \sigma \geq 0.
При \sigma = 0 ця норма збiгається зi звичайною нормою
\| g\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DT
| g1(x, t)| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
| g2(t)|
\Biggr\}
.
Число \sigma \geq 0 виберемо пiзнiше. Позначимо через B(g0, \rho ) кулю радiуса \rho > 0 з центром у
точцi g0 простору C(DlT ), тобто B(g0, \rho ) = \{ g \in C(DlT ) : \| g - g0\| \sigma \leq \rho \} . Число \rho > 0 буде
визначено пiзнiше.
Очевидно, \| g\| \leq \rho +\| g0\| для g(x, t) \in B(g0, \rho ). Ми покажемо, що оператор A є стискаючим
у банаховому просторi C(DlT ) з уведеною вище ваговою нормою, якщо числа \sigma i \rho вибрано
вiдповiдним чином. Нагадаємо, що оператор A є стискаючим, якщо виконано такi умови:
1) якщо g(x, t) \in B(g0, \rho ), то Ag \in B(g0, \rho );
2) якщо g1, g2 — будь-якi два елементи з B(g0, \rho ), то нерiвнiсть \| Ag1 - Ag2\| \sigma \leq \mu \| g1 - g2\| \sigma
виконується з \mu \in (0, 1).
Зауважимо, що вагова норма \| \cdot \| \sigma еквiвалентна звичайнiй нормi \| \cdot \| :
\| \cdot \| \sigma \leq \| \cdot \| \leq e\sigma T \| \cdot \| \sigma , \sigma > 0. (3.6)
Оператор згортки є комутативним й iнварiантним щодо множення на e - \sigma t :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1499
(h1 \ast h2) (t) =
t\int
0
h1(t - s)h2(s)ds =
t\int
0
h1(s)h2(t - s)ds = (h2 \ast h1) (t), (3.7)
e - \sigma t (h1 \ast h2) (t) = (e - \sigma th1(t)) \ast (e - \sigma th2(t)). (3.8)
З останньої формули випливає оцiнка
\| h1 \ast h2\| \sigma \leq \| h1\| \sigma \| h2\| \sigma T. (3.9)
I навiть бiльше, оскiльки
t\int
0
e - \sigma sds =
t\int
0
e - \sigma (t - s)ds \leq 1
\sigma
, \sigma > 0, (3.10)
використовуючи (3.6) i результати роботи [10], отримуємо нерiвностi
\| h1 \ast h2\| \sigma \leq 1
\sigma
\| h1\| \| h2\| \sigma \leq 1
\sigma
\| h1\| \| h2\| , \sigma > 0. (3.11)
Спочатку перевiримо виконання першої умови стискаючого вiдображення. Для простоти
позначимо \varphi 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [0,l] | \varphi (x)| . Нехай g(x, t) — елемент кулi B(g0, \rho ), тобто g \in B(g0, \rho ).
Тодi для (x, t) \in DlT маємо
\| A1g - g01\| \sigma = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
| (A1g - g01)e
- \sigma t| =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
e - \sigma t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )g2(\tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau +
+
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )g2(\tau )e
- \sigma \tau \varphi (\xi )e - \sigma (t - \tau )d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )e
- \sigma \alpha g1(\xi , \tau - \alpha )e - \sigma (\tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \rho + \| g0\|
\sigma
(\varphi 1 + (\rho + \| g0\| )T ).
Якщо ми виберемо \sigma як
\sigma \geq \sigma 1 =
\rho
(\rho + g0)(\varphi 1 + (\rho + \| g0\| )T )
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1500 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
то \| A1g - g01\| \sigma \leq \rho , тобто перша умова стискаючого вiдображення для оператора A1 викону-
ється.
Тепер знайдемо оцiнку для A2 :
\| A2g - g02\| \sigma = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
| (A2g - g02)e
- \sigma t| =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
e - \sigma t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
g2(\tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx+
l\int
0
t\int
0
g2(\alpha )g1(x, t - \alpha )d\alpha dx +
+
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
g2(\tau )e
- \sigma \tau e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
g2(\alpha )e
- \sigma \alpha g1(x, t - \alpha )e - \sigma (t - \alpha )d\alpha dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )e
- \sigma \alpha g1(\xi , \tau - \alpha )e - \sigma (\tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Позначивши доданки в останнiй формулi через Ii, i = 1, 2, 3, оцiнимо кожен iз них. Для I1
отримуємо
I1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
g2(\tau )e
- \sigma \tau e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \varphi 1
\varphi 0
\| g2\| \sigma \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2l\varphi 1(\rho + \| g0\| )
\varphi 0
1
\sigma
.
З урахуванням спiввiдношень (3.6) – (3.11) оцiнюємо I2 таким чином:
I2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
g2(\alpha )g1(x, t - \alpha )e - \sigma td\alpha dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
(g2 \ast g1)(t)e - \sigma tdx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
\varphi 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
\Bigl\{
[(g2 - g02) \ast (g1 - g01)] (t) + (g2 \ast g01) (t)+
+ (g1 \ast g02) (t) - (g02 \ast g01) (t)
\Bigr\}
e - \sigma tdx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1501
\leq 1
\varphi 0
l\int
0
\biggl(
\| g2 - g02\| \sigma \| g1 - g01\| \sigma T +
1
\sigma
\| g2\| \sigma \| g01\| +
1
\sigma
\| g1\| \sigma \| g01\| +
1
\sigma
\| g01\| \sigma \| g02
\biggr)
dx \leq
\leq l
\varphi 0
\biggl(
\rho 2T +
2
\sigma
(\rho + \| g0\| )\| g0\| +
1
\sigma
\| g0\| 2
\biggr)
.
Як i у випадку I1, для I3 маємо
I3= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )e
- \sigma \alpha g1(\xi , \tau - \alpha )e - \sigma (\tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\varphi 0
\| g1\| \sigma \| g2\| \sigma \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2lT (\rho + \| g0\| )2
\varphi 0
1
\sigma
.
Вiдповiдно отримуємо
\| A2g - g02\| \sigma \leq I1 + I2 + I3 \leq
2l\varphi 1(\rho + \| g0\| )
\varphi 0
1
\sigma
+
\rho 2lT
\varphi 0
+
2l(\rho + \| g0\| )\| g0\|
\varphi 0
1
\sigma
+
+
l\| g0\| 2
\varphi 0
1
\sigma
+
2lT (\rho + \| g0\| )2
\varphi 0
1
\sigma
. (3.12)
Тепер ми можемо вибрати \rho i \sigma так, щоб виконувались нерiвностi
\rho 2lT
\varphi 0
<
1
3
\rho ,
l\| g0\| 2
\varphi 0\sigma
<
1
3
\rho ,
2l(\rho + \| g0\| )(\varphi 1 + \| g0\| + T (\rho + \| g0\| ))
\varphi 0\sigma
<
1
3
\rho .
Iз цих спiввiдношень випливають нерiвностi
\rho <
\varphi 0
3T l
=: \rho 1,
\beta 1 :=
9l2\| g0\| 2T
\varphi 2
0
< \sigma ,
\beta 2 :=
18T l2
\varphi 2
0
\Bigl( \varphi 0
3T l
+ \| g0\|
\Bigr) \Bigl(
\varphi 1 + \| g0\| + T
\Bigl( \varphi 0
3T l
+ \| g0\|
\Bigr) \Bigr)
< \sigma ,
тодi A2g \in B(g0, \rho ).
Таким чином, якщо
\sigma > \sigma 2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \beta 1, \beta 2\} (3.13)
i \rho \in (0, \rho 1), то оператор A2 вiдображає B(g0, \rho ) в себе, тобто A2g \in B(g0, \rho ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1502 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
Отже, якщо \sigma , \rho задовольняють умови \sigma > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \sigma 1, \sigma 2\} , \rho \in (0, \rho 1), то оператор A
вiдображає B(g0, \rho ) в себе, тобто Ag \in B(g0, \rho ).
Перевiримо виконання другої умови стискаючого вiдображення. У вiдповiдностi з (3.4) для
першої компоненти оператора A отримуємо
\| (Ag1 - Ag2)1\| \sigma \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )[g12(\tau ) - g22(\tau )]\varphi (\xi )d\xi d\tau e
- \sigma t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in DlT
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
\bigl[
g12(\alpha )g
1
1(\xi , \tau - \alpha ) - g22(\alpha )g
2
1(\xi , \tau - \alpha )
\bigr]
d\alpha d\xi d\tau e - \sigma t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Пiдiнтегральну функцiю в останньому iнтегралi можна оцiнити таким чином:\bigm\| \bigm\| g12g11 - g22g
2
1
\bigm\| \bigm\|
\sigma
=
\bigm\| \bigm\| (g12 - g22)g
1
1 + g22(g
1
1 - g21)
\bigm\| \bigm\|
\sigma
\leq
\leq 2
\bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl( \bigm\| \bigm\| g11\bigm\| \bigm\| \sigma ,\bigm\| \bigm\| g22\bigm\| \bigm\| \sigma \bigr) \leq 2(\| g0\| + \rho )
\bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
.
Отже,
\| (Ag1 - Ag2)1\| \sigma \leq 1
\sigma
(\varphi 1 + 2(\rho + \| g0\| )T ) \| g1 - g2\| \sigma .
Зрозумiло, що якщо ми виберемо \sigma як \sigma > \sigma 3 = \varphi 1 + 2(\rho + \| g0\| ), то \| (Ag1 - Ag2)1\| \sigma \leq
\leq \sigma 3
\sigma
\bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
, тобто виконується друга умова стискаючого вiдображення для A1.
Для другої компоненти оператора A аналогiчнi оцiнки можна отримати у виглядi
\| (Ag1 - Ag2)2\| \sigma = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
\bigl[
g12 - g22
\bigr]
(\tau ) \times
\times
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dxe - \sigma t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
\bigl[
g12g
1
1 - g22g
2
1
\bigr]
e - \sigma td\alpha dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
\bigl[
g12g
1
1 - g22g
2
1
\bigr]
e - \sigma td\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Позначимо доданки в цiй рiвностi через J1, J2, J3 й оцiнимо кожен iз них. Для J1 одер-
жуємо
J1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
\bigl[
g12 - g22
\bigr]
(\tau )e - \sigma \tau e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )\varphi (\xi )d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
\sigma
2l\varphi 1
\varphi 0
\| g1 - g2\| \sigma .
Враховуючи, що
g12 \ast g11 - g22 \ast g21 =
\bigl(
g21 - g22
\bigr)
\ast
\bigl(
g11 - g01
\bigr)
+
\bigl(
g11 - g21
\bigr)
\ast
\bigl(
g22 - g02
\bigr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1503
+g01 \ast
\bigl(
g12 - g22
\bigr)
+ g02 \ast
\bigl(
g11 - g21
\bigr)
,
оцiнюємо J2 i J3 таким чином:
J2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
\bigl[
g12g
1
1 - g22g
2
1
\bigr]
e - \sigma td\alpha dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
\bigl[
g12 \ast g11 - g22 \ast g21
\bigr]
e - \sigma tdx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq l
\varphi 0
\Bigl[ \bigm\| \bigm\| g21 - g22
\bigm\| \bigm\|
\sigma
\bigm\| \bigm\| g11 - g01
\bigm\| \bigm\|
\sigma
T +
\bigm\| \bigm\| g11 - g21
\bigm\| \bigm\|
\sigma
\bigm\| \bigm\| g22 - g02
\bigm\| \bigm\|
\sigma
T + \| g01\| \sigma
\bigm\| \bigm\| g12 - g22
\bigm\| \bigm\|
\sigma
+
+ \| g02\| \sigma
\bigm\| \bigm\| g11 - g21
\bigm\| \bigm\|
\sigma
\Bigr]
\leq 2l
\varphi 0
\biggl(
\rho T +
1
\sigma
\| g0\|
\biggr) \bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
,
J3 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
\bigl( \bigl(
g12 - g22
\bigr)
g11 +
\bigl(
g11 - g21
\bigr)
g22
\bigr)
e - \rho td\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
\bigl(
g12 - g22
\bigr)
e - \sigma \alpha g11e
- \sigma (\tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
t\int
0
e - \sigma (t - \tau )
l\int
0
Gt(x, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
\bigl(
g11 - g21
\bigr)
e - \sigma \alpha g22e
- \sigma (\tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\sigma
4(\rho + \| g0\| )lT
\varphi 0
\| g1 - g2\| \sigma .
Пiдсумовуючи отриманi оцiнки для Ji, i = 1, 2, 3, маємо
\| (Ag1 - Ag2)2\| \sigma \leq J1 + J2 + J3 \leq
2l
\varphi 0
\biggl(
\rho T +
\varphi 1
\sigma
+
\| g0\|
\sigma
+
2(\rho + \| g0\| )T
\sigma
\biggr) \bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
.
Виберемо тепер числа \sigma , \rho так, щоб вираз при
\bigm\| \bigm\| g1 - g2
\bigm\| \bigm\|
\sigma
став меншим за 1, тобто щоб
нерiвнiсть
2l
\varphi 0
\biggl(
\varphi 1
\sigma
+ \rho T +
\| g0\|
\sigma
+
2(\rho + \| g0\| )T
\sigma
\biggr)
< 1
виконувалась. Ця нерiвнiсть виконується, якщо числа \sigma i \rho вибрано з умов
2\rho T l
\varphi 0
<
1
3
,
2l
\varphi 0\sigma
(\varphi 1 + \| g0\| ) <
1
3
,
4lT
\varphi 0\sigma
(\rho + \| g0\| ) <
1
3
.
Розв’язуючи цi нерiвностi щодо \sigma i \rho , знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1504 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
\rho <
\varphi 0
6T l
= \rho 2,
\sigma 4 =
6l
\varphi 0
(\varphi 1 + \| g0\| ) < \sigma ,
\sigma 5 =
2\varphi 0 + 12lT\| g0\|
\varphi 0
< \sigma .
Iз цих оцiнок зрозумiло, що якщо \sigma i \rho вибрано з умов \sigma > \sigma 4 i \rho < (0, \rho 2), то оператор A2
задовольняє другу умову стискаючого вiдображення.
Таким чином, ми робимо висновок, що якщо для \sigma i \rho виконуються умови \sigma > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\sigma 1, \sigma 2,
\sigma 3, \sigma 4, \sigma 5) i \rho \in (0,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\rho 1, \rho 2)) = (0, \rho 2) , то оператор A здiйснює стиснене вiдображення кулi
B(g0, \rho ) в себе i, згiдно з теоремою Банаха [12, с. 87 – 97], у цiй кулi має єдину нерухому точку,
тобто iснує єдиний розв’язок операторного рiвняння (3.3).
Теорему 1 доведено.
4. Обернена задача 2. У першому пунктi обернену задачу 2 було зведено до задачi ви-
значення ядра k(t), t \in (0, T ), з рiвнянь (1.6) – (1.8) i (1.10). У цьому випадку для отримання
iнтегрального рiвняння щодо ядра k(t) ми використовуємо рiвняння (1.11) для розв’язання
прямої задачi та додаткову умову (1.10). В результатi маємо
k(t) =
1
\varphi (x0)
(f \prime \prime (t) - \psi \prime
t(x0, t)) -
1
\varphi (x0)
l\int
0
G(x0, \xi , 0)
t\int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , t - \alpha )d\alpha d\xi -
- 1
\varphi (x0)
t\int
0
l\int
0
Gt(x0, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
k(\alpha )\vargamma (\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau . (4.1)
Запишемо систему iнтегральних рiвнянь (1.11) i (4.1) у виглядi операторного рiвняння
Ag = g, (4.2)
де g = (g1 g2) = (\vargamma (x, t), k(t)) — невiдома вектор-функцiя, A = (A1, A2) визначається правими
частинами рiвнянь (1.11) i (4.1).
Теорема 2. Припустимо, що f(t) \in C2[0, T ], \varphi (x0) \not = 0 i всi умови леми 1 виконано.
Тодi для будь-яких фiксованих l > i T > 0 операторне рiвняння (4.2) має єдиний розв’язок в
областi DlT .
Доведення. Введемо вектор-функцiю за допомогою формули
g0(x, t) = (g01, g02) (x, t) =
\biggl(
\psi (x, t),
1
\varphi (x0)
\bigl(
f \prime \prime (t) - \psi \prime
t(x0, t)
\bigr) \biggr)
.
Тодi у вiдповiдностi з рiвностями (1.11) i (4.1) компоненти оператора A мають вигляд
Ag1 = \psi (x, t) +
t\int
0
l\int
0
G(x, \xi , t - \tau )
\left[ g2(\tau )\varphi (\xi ) + \tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha
\right] d\xi d\tau ,
Ag2 =
1
\varphi (x0)
\bigl(
f \prime \prime (t) - \psi \prime
t(x0, t)
\bigr)
- 1
\varphi (x0)
l\int
0
G(x0, \xi , 0)
t\int
0
g2(\alpha )g1(\xi , t - \alpha )d\alpha d\xi -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ОДНОВИМIРНI ОБЕРНЕНI ЗАДАЧI ВИЗНАЧЕННЯ ЯДРА IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ. . . 1505
- 1
\varphi (x0)
t\int
0
l\int
0
Gt(x0, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )d\alpha d\xi d\tau .
Умови стисливостi для оператора A1 отримано в попередньому пунктi. Тут достатньо зна-
йти умови стисливостi для A2. Нехай g(x, t) \in B(DlT ). Тодi виконуються такi спiввiдношення:
\| A2g - g02\| \sigma \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi (x0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
G(x0, \xi , 0)
t\int
0
g2(\alpha )g1(\xi , t - \alpha )e - \sigma td\alpha d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
1
\varphi (x0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
Gt(x0, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )e - \sigma td\alpha d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = P1 + P2,
P1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T )
1
\varphi (x0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
l\int
0
G(x0, \xi , 0)(g2 \ast g1)(t)e - \sigma td\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 1
\varphi 0
\biggl(
\rho 2T +
2
\sigma
(\rho + \| g0\| )\| g0\| +
1
\sigma
\| g0\| 2
\biggr)
,
P2 =
1
\varphi (x0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
l\int
0
Gt(x0, \xi , t - \tau )
\tau \int
0
g2(\alpha )g1(\xi , \tau - \alpha )e - \sigma td\alpha d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 2T (\rho + \| g0\| )2
\sigma \varphi (x0)
,
\| A2g - g02\| \sigma \leq 1
\varphi (x0)
\biggl(
\rho 2T +
2
\sigma
(\rho + \| g0\| )\| g0\| +
1
\sigma
\| g0\| 2
\biggr)
+
2T (\rho + \| g0\| )2
\sigma \varphi (x0)
.
Нехай
\rho <
\varphi (x0)
3T
= \kappa 3,
\theta 1 =
6T
\varphi 2(x0)
\biggl(
\varphi (x0)
3T
+ \| g0\|
\biggr) \biggl(
\| g0\| + T
\biggl(
\varphi (x0)
3T
+ \| g0\|
\biggr) \biggr)
< \sigma ,
\theta 2 =
9T\| g0\| 2
\varphi 2(x0)
< \sigma .
Тодi якщо \sigma > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} (\theta 1, \theta 2) = \beta 5, \rho < \kappa 3, то A2g \in B(g0, \rho ).
Отже, якщо нерiвнiсть \sigma > \sigma 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\beta 0, \beta 5) виконується, то оператор A вiдображає кулю
B(g0, \rho ) в себе.
Тепер перевiримо виконання другої умови стискаючого вiдображення. Маємо
\| (Ag1 - Ag2)1\| \sigma \leq 1
\sigma
(\varphi 1 + 2(\rho + \| g0\| )T )\| g1 - g2\| \sigma .
Другу компоненту оператора Ag можна оцiнити аналогiчно:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1506 Д. К. ДУРДIЄВ, Ж. Ж. ЖУМАЄВ
\| (Ag1 - Ag2)2\| \sigma
\biggl(
2\rho T
\varphi (x0)
+
2\| g0\|
\sigma \varphi (x0)
+
4T (\rho + \| g0\| )
\varphi (x0)\sigma
\biggr)
\| g1 - g2\| \sigma .
Нехай справджуються такi спiввiдношення:
\rho <
\varphi (x0)
6T
= \kappa 4,
\theta 3 =
6\| g0\|
\varphi (x0)
< \sigma ,
\theta 4 =
2(\varphi (x0) + 6T\| g0\| )
\varphi (x0)
< \sigma ,
\theta 5 = 2\varphi 1 < \sigma ,
\theta 6 =
2
3
\varphi (x0) + 4\| g0\| T < \sigma .
Звiдси випливає, що якщо \sigma , \rho вибрано з умов \sigma > \sigma 2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\theta 3, \theta 4, \theta 5, \theta 6), \rho < \kappa 4, то оператор
A на множинi B(g0, \rho ) є стискаючим вiдображенням.
Таким чином, якщо числа \sigma , \rho задовольняють умови \sigma > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\sigma 1, \sigma 2), \rho < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} (\kappa 3, \kappa 4),
то згiдно з принципом стискаючих вiдображень оператор A на множинi B(g0, \rho ) має єдину
нерухому точку.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. В. Г. Романов, Обратные задачи математической физики, Наука, Москва (1984).
2. A. Lorenzi, E. Sinestrari, An inverse problem in the theory of materials with memory, Nonlinear Anal., 12, 411 – 423
(1988).
3. D. K. Durdiev, An inverse problem for a three-dimensional wave equation in the medium with memory, Math. Anal.
and Discrete Math., 19 – 26 (1989) (in Russian).
4. D. K. Durdiev, Question of well-posedness of a certain inverse problem for a hyperbolic integro-differential equation,
Sib. Mat. Zh., 33, № 3, 427 – 433 (1992) (in Russian).
5. C. Cavaterra, M. Grasselli, Identifying memory kernels in linear thermoviscoelasticity of Boltzmann type, Math.
Models and Methods Appl. Sci., 4, № 6, 807 – 842 (1994).
6. K. Karuppiah, J. K. Kim, K. Balachandran, Parameter identification of an integro-differential equation, Nonlinear
Funct. Anal. and Appl., 20, № 2, 169 – 185 (2015).
7. D. K. Durdiev, Zh. Zh. Zhumaev, Problem of determining a multidimensional thermal memory in a heat conductivity
equation, Methods Funct. Anal. and Topology, 25, № 3, 219 – 226 (2019).
8. Д. К. Дурдиев, А. С. Рашидов, Обратная задача определения ядра в одном интегро-дифференциальном
уравнении параболического типа, Дифференц. уравнения, 50, № 1, 110 – 116 (2014).
9. Д. К. Дурдиев, О единственности определения ядра интегро-дифференциального уравнения параболического
типа, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19, № 4, 658 – 666 (2015).
10. J. Janno, L. V. Wolfersdorf, Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, Ill-Posed Problems,
4, № 1, 39 – 66 (1996).
11. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, Москва (1977).
12. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва (1972).
Одержано 04.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6060 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:55Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e0/04cc840c09293b7f7096113293d2b3e0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60602025-03-31T08:46:33Z One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain Одновимірні обернені задачі визначення ядра інтегро-диференціального рівняння теплопровідності в обмеженій області Durdiev, D. K. Zhumaev , Zh. Zh. Дурдiєв, Д. К. Жумаєв, Ж. Ж. : integro-differential equation inverse problem kernel resolvent contraction mapping principle : integro-differential equation inverse problem kernel resolvent contraction mapping principle UDC 517.958 We consider the integro-differential heat equation with a time convolution integral on the right-hand side. The direct problem is an initial-boundary problem for the integro–differential equation. We study two inverse problems for this direct problem, which consist in finding the kernel of the integral term provided that two additional conditions on the solution of the direct problem are given. These problems are replaced with equivalent systems of integral equations with respect to unknown functions and, using the contraction mapping principle, we prove the unique solvability of the inverse problems. УДК 517.958 Розглянуто iнтегро-диференцiальне рiвняння теплопровiдностi з iнтегралом згортки за часом у правiй частинi. Пряма задача є початково-крайовою задачею для цього рiвняння. Для прямої задачi вивчаються двi оберненi задачi, що полягають у визначеннi ядра iнтегрального члена за заданими двома додатковими умовами щодо розв’язку прямої задачi. Задачi замiнено еквiвалентними системами iнтегральних рiвнянь щодо невiдомих функцiй, i на основi стискаючого вiдображення доведено однозначну розв’язнiсть обернених задач. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6060 10.37863/umzh.v73i11.6060 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1492 - 1506 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1492 - 1506 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6060/9147 Copyright (c) 2021 Durdimurod Durdiev |
| spellingShingle | Durdiev, D. K. Zhumaev , Zh. Zh. Дурдiєв, Д. К. Жумаєв, Ж. Ж. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title | One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title_alt | Одновимірні обернені задачі визначення ядра інтегро-диференціального рівняння теплопровідності в обмеженій області |
| title_full | One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title_fullStr | One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title_full_unstemmed | One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title_short | One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| title_sort | one-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain |
| topic_facet | : integro-differential equation inverse problem kernel resolvent contraction mapping principle : integro-differential equation inverse problem kernel resolvent contraction mapping principle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6060 |
| work_keys_str_mv | AT durdievdk onedimensionalinverseproblemsoffindingthekerneloftheintegrodifferentialheatequationinaboundeddomain AT zhumaevzhzh onedimensionalinverseproblemsoffindingthekerneloftheintegrodifferentialheatequationinaboundeddomain AT durdiêvdk onedimensionalinverseproblemsoffindingthekerneloftheintegrodifferentialheatequationinaboundeddomain AT žumaêvžž onedimensionalinverseproblemsoffindingthekerneloftheintegrodifferentialheatequationinaboundeddomain AT durdievdk odnovimírníobernenízadačíviznačennââdraíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâteploprovídnostívobmeženíjoblastí AT zhumaevzhzh odnovimírníobernenízadačíviznačennââdraíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâteploprovídnostívobmeženíjoblastí AT durdiêvdk odnovimírníobernenízadačíviznačennââdraíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâteploprovídnostívobmeženíjoblastí AT žumaêvžž odnovimírníobernenízadačíviznačennââdraíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâteploprovídnostívobmeženíjoblastí |