Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I
УДК 517.9 The relationship between the classical moment problem and the spectral theory of Jacobi matrices is generalized. We present the solution of the two-dimensional half-strong moment problem and suggest an analog of Jacobi-type matrices associated with the two-dimensional half-str...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6062 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512258823553024 |
|---|---|
| author | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова , О. Ю. |
| author_facet | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова , О. Ю. |
| author_sort | Dudkin , M. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:02:03Z |
| description | УДК 517.9
The relationship between the classical moment problem and the spectral theory of Jacobi matrices is generalized. We present the solution of the two-dimensional half-strong moment problem and suggest an analog of Jacobi-type matrices associated with the two-dimensional half-strong moment problem and the corresponding system of polynomials orthogonal with respect to a measure with compact support in the real plane. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i8.6062 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i8.6062
УДК 517.9
М. Є. Дудкiн, О. Ю. Дюженкова (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ
ТА ВIДПОВIДНI БЛОЧНI МАТРИЦI. I
The relationship between the classical moment problem and the spectral theory of Jacobi matrices is generalized. We
present the solution of the two-dimensional half-strong moment problem and suggest an analog of Jacobi-type matrices
associated with the two-dimensional half-strong moment problem and the corresponding system of polynomials orthogonal
with respect to a measure with compact support in the real plane.
Узагальнено зв’язок класичної проблеми моментiв iз спектральною теорiєю матриць Якобi. Наведено розв’язок
двовимiрної напiвсильної проблеми моментiв i запропоновано аналог матриць типу Якобi, що вiдповiдає двовимiр-
нiй напiвсильнiй проблемi моментiв, та вiдповiдну систему полiномiв, ортогональних вiдносно мiри iз компактним
носiєм на дiйснiй площинi.
1. Вступ. Цю статю присвячено 95-рiччю вiд дня народження Ю. М. Березанського
(08.05.1925 – 07.06.2019). Робота складається iз двох частин. У вступi наведено основну iдею на
прикладi класичної проблеми моментiв Гамбургера [2, 6] та основний результат роботи, а саме,
класичний випадок порiвнюється з новим. У п. 2 для повноти огляду та зручностi подальшого
викладу наведено розв’язок загального варiанту напiвсильної двовимiрної дiйсної проблеми
моментiв.
Друга частина роботи мiстить пряму i обернену спектральнi задачi, що вiдповiдають напiв-
сильнiй двовимiрнiй дiйснiй проблемi моментiв. Цi задачi є узагальненням зв’язку класичної
проблеми моментiв Гамбургера, матрицi Якобi i вiдповiдних ортогональних полiномiв на випа-
док напiвсильної двовимiрної дiйсної проблеми моментiв, трьох блочних матриць типу Якобi i
вiдповiдних ортогональних полiномiв (за двома змiнними) на дiйснiй площинi.
Робота є продовженням попереднiх дослiджень [7 – 9, 17 – 20], якi зiбрано в [10]. Зауважимо,
що в роботах [21, 26] у стислiй формi наведено пряму й обернену спектральнi задачi, що
вiдповiдають сильнiй (за обома змiнними) двовимiрнiй дiйснiй проблемi моментiв.
Основний пiдхiд роботи традицiйно базується на розкладi Ю. М. Березанського [7] за уза-
гальненими власними векторами для сiм’ї комутуючих самоспряжених операторiв. Цей пiдхiд
бере початок у роботах М. Г. Крейна [29, 30].
Розгляд напiвсильної двовимiрної дiйсної проблеми моментiв веде до дослiдження трьох
комутуючих самоспряжених операторiв, серед яких два є взаємно оберненими. Нагадаємо, що
при дослiдженнi сильної двовимiрної дiйсної проблеми моментiв виникають чотири комутуючi
самоспряженi оператори, серед яких кожнi два є взаємно оберненими, а не сильної — тiльки
два комутуючi самоспряженi оператори.
Взагалi двовимiрна проблема моментiв [20, 24] тiсно пов’язана з багатовимiрними [1, 2, 4,
11, 12, 15, 16, 27, 28, 35, 38 – 43].
Для кращого розумiння результатiв пп. 3, 4 нагадаємо [1, 2] основнi положення прямої
й оберненої спектральних задач для класичної матрицi Якобi та вiдповiдних ортогональних
полiномiв на дiйснiй осi \BbbR . У класичному випадку вивчається симетрична матриця з умовами
c\bigcirc М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8 1047
1048 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
на коефiцiєнти:
J =
\left[
b0 a0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
a0 b1 a1 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 a1 b2 a2 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
...
. . .
\right] , bn \in \BbbR , an > 0, n \in \BbbN 0 = \{ 0, 1, 2, . . .\} . (1)
На фiнiтних послiдовностях f \in lfin \subset l2 ця матриця визначає оператор, який також по-
значимо через J. Як вiдомо, цей оператор є ермiтовим з iндексами дефекту (0, 0) або (1, 1) i
завжди має самоспряжене розширення в l2. За певних умов на коефiцiєнти матрицi J замикання
оператора J є самоспряженим оператором в l2. Далi вважатимемо, що J є самоспряженим.
Опишемо пряму спектральну задачу, тобто розклад за узагальненими власними векторами
для J. Потрiбно отримати послiдовнiсть полiномiв P (x) = (Pn(x))
\infty
n=0 \forall x \in \BbbR , як покроковий
розв’язок рiвняння JP (x) = xP (x), де за початкову умову взято P0(x) = 1, тобто
an - 1Pn - 1(x) + bnPn(x) + anPn+1(x) = xPn(x) \forall n \in \BbbN 0,
P0(x) := 1, P - 1(x) = 0, a - 1 := 0,
(2)
де коефiцiєнти взято з матрицi (1) iз вiдповiдними умовами.
Послiдовнiсть полiномiв P (x), значення яких при всiх x \in \BbbR належать до дiйсної частини
l = \BbbC \infty , є узагальненими власними векторами оператора J iз власними значеннями x (у
сенсi деякого, певним чином побудованого, оснащення l2). Використовуючи цi власнi вектори,
вiдповiдне перетворення Фур’є, позначене знаком \wedge , записуємо у виглядi
l2 \supset lfin \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x) =
\infty \sum
n=0
fnPn(x) \in L2(\BbbR , d\rho (x)) =: L2. (3)
Пiсля замикання цей вираз визначає унiтарний оператор з усього простору l2 у весь простiр
L2. Образом J при цьому вiдображеннi є оператор множення на x у просторi L2. Полiноми
Pn(x) є ортогональними у просторi L2 вiдносно мiри d\rho (x).
Пiд оберненою спектральною задачею у класичному випадку розумiємо наступне. Нехай
на \BbbR задано ймовiрнiсну мiру Бореля d\rho (x), яка має всi моменти:
sn =
\int
\BbbR
xn d\rho (x), n \in \BbbN 0. (4)
Припускається, що носiй d\rho (x) мiстить вiдкритий iнтервал (тобто мiра не є чисто атомарною).
Тодi виникає питання: чи можна знайти таку матрицю Якобi J, щоб вiдповiдна мiра d\rho (x)
була однозначно визначеною за J ? Вiдповiдь отримуємо за такою схемою. До системи лiнiйно
незалежних вiдносно d\rho (x) функцiй, яка є тотальною в L2 :
1, x, x2, . . . (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1049
застосовуємо класичну процедуру ортогоналiзацiї за Шмiдтом. Як результат отримуємо послi-
довнiсть полiномiв P0(x) = 1, P1(x), P2(x), . . . , якi утворюють ортонормований базис в L2.
Коефiцiєнти матрицi J вiдновлюються за формулами
an =
\int
\BbbR
xPn(x)Pn+1(x) d\rho (x), bn =
\int
\BbbR
x(Pn(x))
2 d\rho (x), n \in \BbbN 0. (6)
Зазначений зв’язок матриць Якобi i класичної проблеми моментiв та ортогональних полi-
номiв є плiдним при дослiдженнi й iнших об’єктiв (див., наприклад, роботи [1, 2, 30]).
Мета подальших дослiджень полягає в тому, щоб вияснити який вигляд має узагальнення
викладеної вище теорiї у випадку, коли замiсть класичної проблеми моментiв розглядати дiй-
сну напiвсильну двовимiрну проблему моментiв. При цьому замiсть одного самоспряженого
оператора в l2 розглядаються три комутуючi самоспряженi оператори у просторi типу l2, серед
яких два є взаємно оберненими. Точнiше, замiсть дiйсної частини простору l2 = \BbbC \oplus \BbbC \oplus . . .
пропонується простiр
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , де \scrH n = \BbbC 2n+1, n \in \BbbN 0, (7)
i замiсть скалярної матрицi (1) розглядаються три блочнi матрицi типу Якобi. (Насправдi, з \bfl 2
теж розглядається тiльки дiйсна частина.)
Перша матриця має елементи an, bn i cn, якi у свою чергу є скiнченновимiрними матриця-
ми, що дiють мiж вiдповiдними просторами \scrH n з (7), тобто
JA =
\left[
b0 c0 0 0 \cdot \cdot \cdot
a0 b1 c1 0 \cdot \cdot \cdot
0 a1 b2 c2 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right] ,
an : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
bn : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
cn : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(8)
Матриця (8) звичайним чином визначає дiю оператора (позначимо його A) на фiнiтних
векторах \bfl fin \subset \bfl 2 в \bfl 2. Для простоти викладу припустимо, що норми всiх матриць an, bn i cn
обмеженi однiєю величиною i, отже, оператор A є обмеженим в \bfl 2. Матрицi an, bn i cn та їхнi
коефiцiєнти задовольняють такi умови:
an =
\left[
an;0,0 \ast . . . \ast \ast
0 an;1,1 . . . \ast \ast
0 0 . . . \ast \ast
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 0 an;n,n
0 0 . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . 0 0\underbrace{} \underbrace{}
n+1
\ast . . . \ast
\ast . . . \ast
\ast . . . \ast
...
. . .
...
\ast . . . \ast
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0\underbrace{} \underbrace{}
n
\right]
\right\} n+1
\right\} n+2
, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1050 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
cn =
\left[
cn;0,0 0 . . . 0 0
\ast cn;1,1 . . . 0 0
\ast \ast . . . 0 0
...
...
. . .
...
...
\ast \ast . . . \ast cn;n,n
\ast \ast . . . \ast \ast
...
...
. . .
...
...
\ast \ast . . . \ast \ast \underbrace{} \underbrace{}
n+1
0 . . . 0
0 . . . 0
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0\underbrace{} \underbrace{}
n+2
\right]
\right\} n+1
\right\} n
, (10)
an;0,0, an;1,1, . . . , an;n,n > 0, cn;0,0, cn;1,1, . . . , cn;n,n > 0,
an;i,j = cn;j,i, i = 0, 1, . . . , 2n, j = 0, 1, . . . , 2n+ 2, n \in \BbbN 0.
(11)
Матрицi bn можуть мати довiльну внутрiшню структуру, але таку, щоб JA була ермiтовою. Тут
i далi \ast позначає ненульовi елементи матриць.
Друга матриця має елементи un, wn i vn, якi також є скiнченновимiрними операторами
(матрицями), що дiють мiж вiдповiдними просторами \scrH n з (7), тобто
JA - 1 =
\left[
w0 v0 0 0 \cdot \cdot \cdot
u0 w1 v1 0 \cdot \cdot \cdot
0 u1 w2 v2 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right] ,
un : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
wn : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
vn : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(12)
Матриця (12) породжує у звичайний спосiб оператор на фiнiтних векторах \bfl fin \subset \bfl 2 у
просторi \bfl 2. Норми всiх операторiв un, wn i vn обмеженi однiєю величиною i, отже, оператор
також є обмеженим в \bfl 2. Оскiльки матриця JA - 1 є оберненою до JA, то i вiдповiдний до неї
оператор позначено A - 1. Елементи un, wn i vn задовольняють такi умови:
un =
\left[
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
0 . . . 0\underbrace{} \underbrace{}
n
\ast . . . \ast \ast
...
. . . \ast
...
\ast . . . \ast \ast
un;n+2,n . . . \ast \ast
...
. . .
...
...
0 . . . un;2n+1,2n - 1 \ast
0 . . . 0 un;2n+2,2n\underbrace{} \underbrace{}
n+1
\right]
\right\} n+2\right\} n+1
, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1051
vn =
\left[
0 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0
\ast . . . \ast
...
. . .
...
\ast . . . \ast
\ast . . . \ast
\ast . . . \ast \underbrace{} \underbrace{}
n+2
0 . . . 0 0
...
. . .
...
...
0 . . . 0 0
vn;n,n+2 . . . 0 0
...
. . .
...
...
\ast . . . 0 0
\ast . . . vn;2n - 1,2n+1 0
\ast . . . \ast vn;2n,2n+2\underbrace{} \underbrace{}
n+1
\right]
\right\} n\right\}
n+1
, (14)
un;n+2,n, . . . , un;2n+1,2n - 1, un;2n+2,2n > 0, vn;n,n+2, . . . , vn;2n - 1,2n+1, vn;2n,2n+2 > 0,
un;i,j = vn;j,i, i = 0, 1, . . . , 2n, j = 0, 1, . . . , 2n+ 2, n \in \BbbN 0.
(15)
Матрицi wn можуть мати довiльну внутрiшню структуру, але таку, щоб JA - 1 була симетричною
й алгебраїчно оберненою до JA на фiнiтних векторах з \bfl 2.
Третя матриця має елементи pn, qn i rn, якi є скiнченновимiрними операторами (матрицями)
i дiють мiж вiдповiдними просторами \scrH n з (7), тобто
JB =
\left[
q0 r0 0 0 \cdot \cdot \cdot
p0 q1 r1 0 \cdot \cdot \cdot
0 p1 q2 r2 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right] ,
pn : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
qn : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
rn : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(16)
Матриця (16) визначає природним чином ермiтiв оператор (позначений B) на фiнiтних
векторах \bfl fin \subset \bfl 2 в \bfl 2. Також для простоти викладу вважаємо, що всi матрицi, як оператори
pn, qn i rn, обмеженi однiєю величиною, а отже, оператор B є обмеженим i самоспряженим в
\bfl 2. Елементи pn, qn i rn задовольняють такi умови:
pn =
\left[
\ast \ast \ast . . . \ast
pn;1,0 \ast \ast . . . \ast
0 pn;2,1 \ast . . . \ast
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . pn;2n+1,2n
0 0 0 . . . 0\underbrace{} \underbrace{}
2n+1
\right]
\right\}
2n+3, (17)
rn =
\left[
\ast rn;0,1 0 . . . 0 0 0
\ast \ast rn;1,2 . . . 0 0 0
...
...
...
. . .
...
...
...
\ast \ast \ast . . . \ast rn;2n,2n+1 0\underbrace{} \underbrace{}
2n+3
\right]
\right\} 2n+1, (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1052 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
pn;1,0, pn;2,1, . . . , pn;2n+1,2n > 0, rn;0,1, rn;1,2, . . . , rn;2n,2n+1 > 0,
pn;i,j = rn;j,i, i = 0, 1, . . . , 2n, j = 0, 1, . . . , 2n+ 2, n \in \BbbN 0.
(19)
Матрицi qn можуть мати довiльну внутрiшню структуру, але таку, щоб матриця JB була ермi-
товою i комутувала iз JA (а отже, i з JA - 1 ) на фiнiтних векторах з \bfl 2.
На завершення дослiджень наведено приклад з умовами на коефiцiєнти an, bn, cn, un, wn,
vn i pn, qn, rn, n \in \BbbN 0, за яких матрицi JA i JA - 1 є взаємно оберненими i комутують iз JB.
Нехай x \in \BbbR та y \in \BbbR належать узагальненому спектру операторiв A, (A - 1) та B i
P (x, y) = (Pt,j(x, y)), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , \{ x, y\} \in \BbbR 2, — їхнi вiдповiднi узагальненi власнi вектори.
Тут Pn(x, y) \in \scrH n — векторнозначнi полiноми змiнних x, x - 1 та y, тобто їхнi складовi є
комбiнацiями ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . Згiдно з теоремою про розклад за узагальненими власними
векторами Ю. М. Березанського, цi полiноми є розв’язками системи трьох рiвнянь типу (2) (але
з матричними коефiцiєнтами)
AP (x, y) = xP (x, y), A - 1P (x, y) = x - 1P (x, y), BP (x, y) = yP (x, y).
Тепер вiдповiдне перетворення Фур’є типу (3) для операторiв A, A - 1 i B має вигляд
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x, y) =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
(ft,j , Pt,j(x, y))\scrH n \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) =: L2, (20)
де d\rho (x, y) — спектральна мiра A, A - 1 i B на дiйснiй площинi \BbbR . Перетворення (20) є пiсля
замикання унiтарним оператором, який дiє з усього простору \bfl 2 у весь простiр L2. Полiно-
ми Pt,j(x, y) ортогональнi вiдносно мiри d\rho (x, y) i утворюють базис простору L2. Останнiй
факт у такому виглядi сформульовано у виглядi теореми 1 у другiй частинi роботи, але далi
перепозначимо полiноми таким чином:
Pn(x, y) = (Pn;0(x, y), Pn;1(x, y), . . . , Pn;2n(x, y)) = (Qn;0(x, y), Qn;1(x, y), . . . , Qn;2n(x, y)).
Описаний вище результат називають прямою спектральною задачею для A (8) з властиво-
стями (9) – (11), A - 1 (12) з властивостями (13) – (15) i B (16) з властивостями (17) – (19).
Обернена спектральна задача тепер має такий вигляд. Нехай задано борелiвську мiру
d\rho (x, y) з компактним носiєм на \BbbR 2. Припускається, що мiра має всi моменти
ct,j =
\int
\BbbR 2
ytxjd\rho (x, y), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , (21)
а носiй d\rho (x, y) такий, що всi функцiї вигляду ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , лiнiйно незалежнi i утво-
рюють тотальну множину в L2 (наприклад, носiй d\rho (x, y) мiстить деяку вiдкриту пiдмножину
з \BbbR 2).
Задача полягає у побудовi блочних матриць типу Якобi (8), (12) i (16) iз властивостями
вiдповiдно (9) – (11), (13) – (15), (17) – (19) таких, щоб спектральна мiра вiдповiдних комутуючих
самоспряжених операторiв A, (A - 1) i B вiдповiдала початковiй (заданiй) мiрi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1053
Для розв’язання цiєї задачi, як i у класичному випадку, необхiдно застосувати до послiдов-
ностi функцiй
ytxj \in L2, t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ (22)
(замiсть (5)) процедуру ортогоналiзацiї Шмiдта. Враховуючи те, що послiдовнiсть (22) є двох-
iндексною i, бiльш того, один iндекс набуває i додатних, i вiд’ємних значень, потрiбно вибрати
для (22) деякий оптимально зручний порядок ортогоналiзацiї. Як результат ортогоналiзацiї
отримуємо послiдовнiсть полiномiв
Pn(x, y) = (Pn;0(x, y), Pn;1(x, y), . . . , Pn;2n(x, y)), n \in \BbbN 0,
а коефiцiєнти матриць (8), (12) i (16) iз властивостями (9) – (11), (13) – (15) i (17) – (19) вiдповiдно
вiдновлюються за формулами типу (6).
Спочатку наведемо деякий розв’язок напiвсильної проблеми моментiв. Пiд напiвсильною
розумiється проблема знаходження умов на задану послiдовнiсть \{ ct,j\} , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , дiйсних
чисел ct,j \in \BbbR , яка породжує додатну мiру Бореля d\rho (x, y) на дiйснiй площинi \BbbR 2, для якої
має мiсце зображення
ct,j =
\infty \int
p
\infty \int
q
ytxj d\rho (x, y), - \infty \leq p < \infty , - \infty \leq q < \infty , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . (23)
Проблема розв’язується за умови, що множина ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , є щiльною i лiнiйно
незалежною в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)). Так сформульована проблема є сильною за змiнною x i не
сильною (звичайною) за змiнною y. Звичайну проблему сформульовано в (4). Пiд сильною
проблемою розумiють пошук умов на задану послiдовнiсть дiйсних чисел sn \in \BbbR , за яких
iснує така мiра d\rho (x) на дiйснiй осi \BbbR , що
sn =
\infty \int
p
xn d\rho (x), n \in \BbbZ .
Якщо p = 0, то цю проблему називають проблемою Стiльтьєса. Достатньо вичерпно її роз-
глянуто в роботi [25]. У зв’язку з вивченням ортогональних полiномiв, що вiдповiдають цiй
проблемi, вiдзначимо роботи [22, 23]. Сильна проблема моментiв та вiдповiднi полiноми також
мають узагальнення на випадок матричної проблеми [36, 37].
Зауважимо, що, не зважаючи на близькiсть, дiйсна двовимiрна проблема, розглянута в [20],
i сформульована в (23) мають вiдмiнностi.
У роботi пiдхiд до розв’язання проблеми базується на методi з [2], який узагальнює [29, 30].
Розв’язок наведено для випадку (23) iз p = q = - \infty . Використовуючи задану послiдовнiсть
дiйсних чисел \{ ct,j\} , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , будуємо (квазi)скалярний добуток
(f, g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1054 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
для фiнiтних послiдовностей f = (ft,j) i g = (gq,k), t, q \in \BbbN 0, j, k \in \BbbZ , ft,j , gq,n \in \BbbC , де
вимагається умова (f, f)C \geq 0 для довiльної фiнiтної послiдовностi f = (ft,j). У гiльбертовому
просторi, породженому скалярним добутком (\cdot , \cdot )C , розглядаються оператори A, A - 1 i B, якi
дiють на фiнiтних послiдовностях за правилом
(Af)t,j = ft,j - 1, (A - 1f)t,j = ft,j+1, (Bf)t,j = ft - 1,j , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , (24)
де покладається f - 1,j = 0. Неважко переконатися, що у такому визначеннi оператор A є
симетричним, A - 1 — оберненим до A i B — симетричним, а A, A - 1 i B комутують на
фiнiтних векторах.
Потiм до цих операторiв (точнiше, до самоспряженого розширення операторiв A i B, якi
комутують у сильному резольвентному сенсi, тобто комутують їхнi резольвенти, що еквiва-
лентно комутуванню в сенсi розкладiв одиницi цих операторiв) застосовується теорiя розкладу
за узагальненими власними векторами [2, 3, 5, 6]. Так побудованi узагальненi власнi вектори,
вiдповiднi до (24), iз двопараметричними власними значеннями \{ x, y\} \in \BbbR 2 мають вигляд
полiномiв P (x, y) за змiнними ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . Отже, вiдповiдна рiвнiсть Парсеваля, отри-
мана завдяки виразу (24), для довiльних f i g в термiнах їхнiх „коефiцiєнтiв Фур’є” приводить
безпосередньо до зображення (23).
У питаннi єдиностi мiри d\rho (x, y), яка дає зображення (23), важливу роль вiдiграє квазiана-
лiтичний критерiй самоспряженостi.
У наступному пунктi наведено варiант вiдповiдної проєкцiйної спектральної теореми.
Нагадаємо, що теорiю блочних матриць типу Якобi повно викладено в [10]. Серед викла-
деного в [10] — блочнi матрицi, що вiдповiдають проблемам моментiв у рiзних постановках:
дiйснiй двовимiрнiй (не сильнiй), комплекснiй, зокрема в експоненцiальнiй формi, однови-
мiрнiй дiйснiй (сильнiй), як частинний випадок та iз загальної точки зору, тригонометричнiй
(CMV-матрицi). Принципову можливiсть розв’язання прямої та оберненої спектральних задач,
пов’язаних iз вiдповiдними матрицями, висловлено в роботах [41, 42]. Випадок ермiтового або
самоспряженого оператора у просторi l2(\scrH ) = \scrH \oplus \scrH \oplus . . . , де \scrH — довiльний гiльбертовий
простiр \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrH \leq \infty , дослiджено в [2].
Було б цiкаво розвинути теорiю блочних матриць типу (8), (12), (16) у просторi \bfl 2 (7) у
випадку необмежених комутуючих ермiтових операторiв A або A - 1 та B (тут A - 1 розумiється
як щiльно визначений). Якi умови повиннi задовольняти елементи матриць JA або JA - 1 та JB,
якi б гарантували їхню iстотну самоспряженiсть? У яких термiнах можна було б описати
самоспряженi розширення A або A - 1 та B, якi б комутували?
1. Попереднi вiдомостi. Нехай \scrH — сепарабельний гiльбертiв простiр зi скалярним добут-
ком (\cdot , \cdot ) i нормою \| \cdot \| =
\sqrt{}
(\cdot , \cdot ), A i B — самоспряженi оператори iз областями визначення
\frakD (A) i \frakD (B) в \scrH такi, що iснує обернений A - 1 (можливо, необмежений i щiльно визначений)
i оператори комутують у сильному резольвентному сенсi. Розглянемо таке оснащення прос-
тору \scrH :
\scrH - \supset \scrH \supset \scrH + \supset \scrD , (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1055
де \scrH + — гiльбертiв простiр, топологiчно i квазiядерно вкладений в \scrH (пiд топологiчнiстю
вкладення розумiється щiльнiсть i неперервнiсть, а пiд квазiядернiстю — що оператор вкладення
є оператором Гiльберта – Шмiдта), \scrH - — дуальний до \scrH + простiр вiдносно \scrH , \scrD — лiнiйна
множина, яка є топологiчним простором, топологiчно вкладеним в \scrH +.
Оператори A, A - 1 i B називаються стандартно пов’язаними iз ланцюжком (25), якщо
\scrD \subset \frakD (A), \scrD \subset \frakD (A - 1), \scrD \subset \frakD (B) i звуження A \upharpoonright \scrD , A - 1 \upharpoonright \scrD , B \upharpoonright \scrD дiють неперервно з \scrD
в \scrH +.
Нагадаємо, що вектор \omega 0 \in \scrD є сильно циклiчним для операторiв A, A - 1 i B, якщо для
t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ маємо \omega 0 \in \frakD (Aj) \cap \frakD (Bt) i BtAj\omega 0 \in \scrD та множина всiх таких векторiв
разом iз \omega 0 є тотальною в \scrH + (а отже, i в \scrH ). Зауважимо, що сильна циклiчнiсть вiд звичайної
вiдрiзняється належнiстю вiдповiдних векторiв не до простору, а до множини \scrD .
Припускаючи, що сильно циклiчний вектор iснує, сформулюємо спрощений варiант про-
єкцiйної спектральної теореми. Повний варiант теореми наведено, наприклад, у [4], роздiл 3,
теорема 2.7, або [2], роздiл 5, [5], роздiл 15.
Теорема 1. Для самоспряжених комутуючих у сильному резольвентному сенсi операторiв
A, A - 1 i B, що мають сильно циклiчний вектор у сепарабельному гiльбертовому просторi \scrH ,
iснує невiд’ємна мiра Бореля d\rho (x, y) така, що для кожної пари змiнних \{ x, y\} \in \BbbR 2 \rho -майже
скрiзь iснує узагальнений спiльний власний вектор \xi x,y \in \scrH - , тобто
(\xi x,y, Af)\scrH = x(\xi x,y, f)\scrH ,
(\xi x,y, A
- 1f)\scrH = x - 1(\xi x,y, f)\scrH ,
(\xi x,y, Bf)\scrH = y(\xi x,y, f)\scrH , f \in \scrD , \xi x,y \not = 0,
де \{ x, y\} — двопараметричне власне значення, (\cdot , \cdot )\scrH — дуальний скалярний добуток (спарення
мiж просторами \scrH + i \scrH - в сенсi (25)).
Вiдповiдне перетворення Фур’є F має вигляд
\scrH \supset \scrH + \ni f \mapsto \rightarrow (Ff)(x, y) = \^f(x, y) = (f, \xi x,y)\scrH \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y))
i пiсля замикання є унiтарним оператором, що дiє з \scrH в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)). Образами опера-
торiв A, A - 1 i B при перетвореннi F є оператори множення на x, x - 1 i y вiдповiдно в
L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)).
Нагадаємо також, що для самоспряженого оператора \scrA , визначеного на \frakD (\scrA ) в \scrH , вектор
f \in
\bigcap \infty
n=0
\frakD (An) називається квазiаналiтичним [33, 34], якщо клас \mathrm{C}\{ mn\} , де mn = \| \scrA nf\| \scrH ,
є квазiаналiтичним. Нагадаємо, що це клас функцiй на [a, b] \subset \BbbR 1, визначений виразом
\mathrm{C}\{ mn\} = \{ f \in C\infty ([a, b]) \exists K = Kf > 0, | f (n)(t)| \leq Knmn, t \in [a, b], n \in \BbbN 0\} ,
тобто
\infty \sum
n=1
\| \scrA nf\| - 1/n
\scrH = \infty . (26)
Квазiаналiтичнiсть використовується в критерiї самоспряженостi i комутативностi [2, 3, 5, 33,
34]. В п. 2 iстотно використовуються такi теореми [3], роздiл 5, § 1 або [5], роздiл 13, § 9 i [32].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1056 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Теорема 2. Замкнений ермiтiв оператор \scrA в гiльбертовому просторi \scrH є самоспряженим
тодi i тiльки тодi, коли в \scrH iснує тотальна множина квазiаналiтичних векторiв.
Теорема з [32] дає корисний критерiй комутативностi необмежених самоспряжених опера-
торiв.
Теорема 3. Нехай A i B — симетричнi оператори, визначенi на \frakD (A) i \frakD (B) у гiльберто-
вому просторi \scrH , i щiльна в \scrH лiнiйна множина \scrD мiститься в областi визначення операторiв
A, B, A2, AB, BA i B2, так що ABf = BAf для всiх f \in \scrD .
Якщо звуження A2+B2 на \scrD є iстотно самоспряженим оператором, то A i B комутують
у сильному резольвентному сенсi.
2. Двовимiрна дiйсна напiвсильна проблема моментiв. Розв’язок двовимiрної напiвсиль-
ної проблеми моментiв має такий вигляд.
Теорема 4. Якщо двохiндексна послiдовнiсть дiйсних чисел \{ ct,j\} , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , має
зображення (23) з p = q = - \infty , тобто
ct,j =
\int
\BbbR 2
ytxjd\rho (x, y), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , (27)
то \sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j \=fq,kct+q,j+k \geq 0 (28)
для всiх фiнiтних послiдовностей чисел f = (ft,j), ft,j \in \BbbC , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ .
Якщо для двохiндексної послiдовностi дiйсних чисел \{ ct,j\} , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , виконується (28)
i
\infty \sum
p=1
\Biggl(
p\sum
k=0
Ck
p
\sqrt{}
c(4p - 4k),\varepsilon 4k
\Biggr) - 1/p
= \infty , (29)
де \varepsilon = 1 або (\varepsilon = - 1), то зображення (27) iснує i є єдиним.
Доведення. Необхiднiсть умови (28) є майже очевидною. Дiйсно, якщо послiдовнiсть \{ ct,j\} ,
t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , має зображення (23), то для довiльної фiнiтної послiдовностi f = (ft,j), ft,j \in \BbbC ,
виконується \sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j \=fq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j \=fq,k
\int
\BbbR 2
yt+qxj+kd\rho (x, y) =
=
\int
\BbbR 2
\left( \sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
ft,jy
txj
\right)
\left( \sum
q\in \BbbN 0
k\in \BbbZ
fq,kyqxk
\right) d\rho (x, y) \geq 0,
тобто отримуємо (28).
Позначимо через l лiнiйний простiр послiдовностей (ft,j)
\infty ,\infty
t=0,j= - \infty з елементами ft,j \in \BbbC ,
а через lfin його лiнiйну пiдмножину, яка мiстить фiнiтнi послiдовностi f, тобто такi послi-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1057
довностi, що ft,j \not = 0 лише для скiнченних номерiв t i j. Нехай \delta t,j , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , — така
\delta -послiдовнiсть, що кожний f \in lfin має зображення f =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
ft,j\delta t,j .
Розглянемо лiнiйнi оператори, визначенi на lfin :
(Af)t,j = ft,j - 1, (A - 1f)t,j = ft,j+1, (Bf)t,j = ft - 1,j , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , (30)
де f - 1,j \equiv 0. Для \delta -послiдовностi маємо
A\delta t,j = \delta t,j+1, A - 1\delta t,j = \delta t,j - 1, B\delta t,j = \delta t+1,j , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . (31)
Оператор A, його обернений A - 1 i B є ермiтовими вiдносно (квазi)скалярного добутку
(f, g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0,
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k, f, g \in lfin. (32)
Дiйсно, для будь-яких f, g \in lfin
(Af, g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
(Af)t,j\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j - 1\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k+1,
(f,Ag)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j(Ag)q,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,k - 1ct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k+1.
Отже, (Af, g) = (f,Ag), f, g \in lfin. Аналогiчно для будь-яких f, g \in lfin
(A - 1f, g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
(A - 1f)t,j\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j+1\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k - 1,
(f,A - 1g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j(A - 1g)q,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,k+1ct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q,j+k - 1.
Отже, (A - 1f, g) = (f,A - 1g), f, g \in lfin. Також для будь-яких f, g \in lfin
(Bf, g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
(Bf)t,j\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft - 1,j\=gq,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q+1,j+k,
(f,Bg)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j(Bg)q,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq - 1,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j\=gq,kct+q+1,j+k.
Отже, (Bf, g) = (f,Bg), f, g \in lfin. Зокрема, для будь-яких f, g \in lfin
(Af,A - 1g)C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
(Af)t,j(A - 1f)q,kct+q,j+k =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j - 1
\=fq,k+1ct+q,j+k = (f, g)C .
Нехай C — гiльбертiв простiр, отриманий як поповнення фактор-простору
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1058 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
\.lfin := lfin/\{ h \in lfin | (h, h)C = 0\} .
Елементи f iз C є представниками класу \.f еквiвалентних елементiв \.lfin. Отже, оператори \.A,
\.A - 1 i \.B коректно визначенi в C :
\.A \.f = (Af)\cdot , f \in \frakD ( \.A) = \.lfin,
\.A - 1 \.f = (A - 1f)\cdot , f \in \frakD ( \.A - 1) = \.lfin,
\.B \.f = (Bf)\cdot , f \in \frakD ( \.B) = \.lfin.
Позначимо через A, A - 1 i B також замикання \.A, \.A - 1 i \.B в C. Цей факт у випадку одного
самоспряженого оператора описано в [2], роздiл 8, § 1, п. 4 i [3], роздiл 5, § 5, п. 2.
Очевидно, що оператори A, A - 1 i B комутують мiж собою на G := lfin, тобто ABg = BAg,
A - 1Bg = BA - 1g, A - 1Ag = AA - 1g, g \in G.
У подальшому дослiдженнi використовується теорема 1. Для простоти викладу припустимо,
що моментна послiдовнiсть \{ ct,j\} не є виродженою, тобто якщо (f, f)C = 0 для f \in lfin, то
f = 0, i, отже, \.f = f, \.A = A, \.B = B. Дослiдження у загальному випадку є бiльш складними
i громiздкими (див., наприклад, [2], роздiл 8, § 1, п. 4 або [3], роздiл 5, § 5, пп. 1 – 3).
Припустимо, що оператори B i A є iстотно самоспряженими i комутують у сильному
резольвентному сенсi. Нижче буде доведено, що B є iстотно самоспряженим i комутує з A (або
A - 1) у сильному резольвентному сенсi, якщо виконується умова (29) з \varepsilon = 1 (або \varepsilon = - 1).
Розглянемо оснащення
(l2(p)) - ,C \supset C \supset l2(p) \supset lfin, (33)
де l2(p) — зважений l2-простiр з вагою p = (pt,j), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , pt,j \geq 1. Норма в l2(p), задана
формулою \| f\| 2l2(p) =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
| ft,j | 2pt,j , (l2(p)) - ,C = \scrH - , є негативним простором вiдносно
позитивного l2(p) = \scrH + i нульового C = \scrH просторiв.
Лема 1. Послiдовнiсть pt,j завжди можна вибрати настiльки швидко спадною, щоб вкла-
дення l2(p) \lhook \rightarrow C було квазiядерним.
Доведення. Нерiвнiсть (28) означає, що мультиматриця (Kt,j;q,k)t,q\in \BbbN 0,j,k\in \BbbZ , де Kt,j;q,k =
= ct+q,j+k, є невiд’ємною i, бiльше того,
| ct+q,j+k| 2 = | Kt,j;q,k| 2 \leq Kt,j;t,jKq,k;q,k = c2t,2jc2q,2k, t, q \in \BbbN 0, j, k \in \BbbZ . (34)
Нехай (qt,j), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , qt,j \geq 1, є такою, що
\sum
t,j\in \BbbN 0,q,k\in \BbbZ
c2t,2jq
- 1
t,j < \infty . Тодi з (32) i (34)
випливає, що
\| f\| 2C =
\sum
t,q\in \BbbN 0
j,k\in \BbbZ
ft,j \=fq,kct+q,j+k \leq
\left( \sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
c2t,2j
qt,j
\right) \| f\| 2l2(q), f \in lfin.
Отже, вкладення l2(q) \lhook \rightarrow C є топологiчним. Якщо
\sum
t\in \BbbN 0,j\in \BbbZ
qt,jp
- 1
t,j < \infty , то вкладення
l2(p) \lhook \rightarrow l2(q) буде квазiядерним. Композицiя l2(p) \lhook \rightarrow C квазiядерного i топологiчного вкладень
є квазiядерним вкладенням.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1059
Далi використовується оснащення (33) для побудови узагальнених власних векторiв. Внут-
рiшня структура простору (l2(p)) - ,C є складною, тому що складною є структура простору C.
Отже, розглянемо допомiжне оснащення
l = (lfin)
\prime \supset (l2(p
- 1)) \supset l2 \supset l2(p) \supset lfin, (35)
де l2(p
- 1), p - 1 = (p - 1
t,j ), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , — негативний простiр по вiдношенню до позитивного
l2(p) i нульового l2. Ланцюги (33) i (35) мають однаковий позитивний простiр l2(p). Iзоморфiзм
мiж просторами (l2(p)) - ,C i l2(p - 1) встановлює така лема.
Лема 2. Припустимо, що задано два оснащення:
\scrH - \supset \scrH \supset \scrH +, \scrF - \supset \scrF \supset \scrF + = \scrH + (36)
iз однаковими позитивними просторами. Тодi iснує такий унiтарний оператор U : \scrH - \rightarrow \scrF - ,
U\scrH - = \scrF - , що
(U\xi , f)\scrF = (\xi , f)\scrH , \xi \in \scrH - , f \in \scrH + = \scrF +. (37)
Цей оператор задається виразом U = \BbbI - 1
\scrF \BbbI \scrH , де \BbbI \scrF i \BbbI \scrH — канонiчнi iзометричнi iзомор-
фiзми (iзоморфiзм Березанського) у ланцюжках вiдповiдно до \BbbI \scrF \scrF - = \scrF +, \BbbI \scrH \scrH - = \scrH +.
Доведення леми див., наприклад, у [10].
Замiсть ланцюгiв (36) використовуються (33) i (35). Нехай \xi x,y \in (l2(p)) - ,C — узагальнений
власний вектор операторiв A, A - 1 i B в термiнах оснащень (33). В цьому випадку на пiдставi
теореми 1 отримуємо
(\xi x,y, Af)C = x(\xi x,y, f)C , (\xi x,y, A
- 1f)C = x - 1(\xi x,y, f)C , (\xi x,y, Bf)C = y(\xi x,y, f)C ,
(38)
де \{ x, y\} \in \BbbR 2, f \in lfin.
Позначимо
P (x, y) = U\xi x,y \in l2(p
- 1) \subset l2, P (x, y) = (Pt,j(x, y)), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ .
Використовуючи (37), можна записати (38) у виглядi
(P (x, y), Af)l2 = x(P (x, y), f)l2 ,
(P (x, y), A - 1f)l2 = x - 1(P (x, y), f)l2 , (39)
(P (x, y), Bf)l2 = y(P (x, y), f)l2 , \{ x, y\} \in \BbbR 2, f \in lfin.
Вiдповiдне перетворення Фур’є має вигляд
C \supset lfin \ni f \rightarrow (Ff)(x, y) = \^f(x, y) = (f, P (x, y))l2 \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)). (40)
Обчислимо P (x, y). Використовуючи оператор A, визначений за правилом (30), (39), для
будь-якого f \in lfin маємо\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
xPt,j(x, y) \=ft,j = x(P (x, y), f)l2 = (P (x, y), Af)l2 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1060 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
= (AP (x, y), f)l2 =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
Pt,j+1(x, y) \=ft,j , (41)
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
x - 1Pt,j(x, y) \=ft,j = x - 1(P (x, y), f)l2 =
= (P (x, y), A - 1f)l2 = (A - 1P (x, y), f)l2 =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
Pt,j - 1(x, y) \=ft,j . (42)
Аналогiчно, використовуючи (39), для будь-якого f \in lfin отримуємо\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
yPt,j(x, y) \=ft,j = y(P (x, y), f)l2 =
= (P (x, y), Bf)l2 = (BP (x, y), f)l2 =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
Pt+1,j(\lambda ) \=ft,j . (43)
Отже,
xPt,j(x, y) = Pt,j+1(x, y),
x - 1Pt,j(x, y) = Pt,j - 1(x, y),
yPt,j(x, y) = Pt+1,j(x, y), t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ .
Без втрати загальностi можна покласти P0,0(x, y) = 1. Тодi з (41) i (43) одержимо
Pt,j(x, y) = ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . (44)
Отже, перетворення Фур’є (40) набирає вигляду
C \supset lfin \ni f \rightarrow (Ff)(x, y) = \^f(x, y) =
\sum
t\in \BbbN 0
j\in \BbbZ
ft,jy
txj \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)), (45)
а рiвнiсть Парсеваля —
(f, g)C =
\int
\BbbR 2
\^f(x, y)\^g(x, y)d\rho (x, y), f, g \in lfin. (46)
Для побудови перетворення Фур’є (40) i виконання формул (41) – (46) необхiдно переко-
натися, що для операторiв A, A - 1 i B вектор \Omega = \delta 0,0 \in lfin є сильно циклiчним у сенсi
оснащення (33). Але це дiйсно так, оскiльки з (30) випливає BtAj\Omega = BtAj\delta 0,0 = \delta t,j .
Рiвнiсть Парсеваля (46) приводить до зображення (23). Завдяки (44), (45) \^\delta t,j = ytxj . Отже,
з (32) маємо
ct,j = (\delta t,j , \delta 0,0)C = (\^\delta t,j , \^\delta 0,0)L2(\BbbR 2,d\rho (x,y)) =
\int
\BbbR 2
ytxjd\rho (x, y),
де t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , \{ x, y\} \in \BbbR 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1061
Iснування i однозначнiсть зображення (27) випливає з самоспряженостi i комутативностi
операторiв A i B у випадку \varepsilon = 1 (A - 1 i B у випадку \varepsilon = - 1). Отже, для завершення
доведення теореми 4 потрiбно перевiрити виконання того, що (29) дає самоспряженiсть та
комутативнiсть A i B. Далi використовуємо теорему 3 для випадку \varepsilon = 1. (Випадок \varepsilon = - 1
розглядається аналогiчно.) Для цього потрiбно перевiрити, що оператор \scrA = A2 + B2 має
тотальну множину \scrD квазiаналiтичних векторiв.
Завдяки (31) оператор \scrA = A2 +B2 дiє на \delta m,n \in \scrD за правилом
\scrA \delta m,n = (A2 +B2)\delta m,n = \delta m+2,n + \delta m,n+2. (47)
Очевидно, що \scrA \geq 0. Для p \geq 1 маємо
\scrA p\delta m,n =
p\sum
k=0
Ck
p \delta m+2(p - k),n+2k.
Згiдно з (32), маємо норму \| \cdot \| C =
\sqrt{}
(\cdot , \cdot )C в C. Отже, для будь-якого \delta m,n \in \scrD отримуємо
\| \scrA p\delta m,n\| S =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\sum
k=0
Ck
p \delta m+2(p - k),n+2k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
S
\leq
\leq
p\sum
k=0
Ck
p \| \delta m+2(p - k),n+2k\| =
p\sum
k=0
Ck
p
\sqrt{}
c2m+4(p - k),2n+4k. (48)
Оскiльки
\infty \sum
p=1
1
p\sqrt{} \| \scrA p\delta m,n\|
\geq
\infty \sum
p=1
1
p
\sqrt{} \sum p
k=0
Ck
p
\surd
c2m+4p - 4k,2n+4k
= \infty , m, n \in \BbbN 0,
то доводимо, що квазiаналiтичнiсть класу \mathrm{C}\{ \| \scrA p\delta m,n\| \} випливає з квазiаналiтичностi класу
\mathrm{C}
\Bigl\{ \sqrt{} \sum p
k=0
Ck
p
\surd
c2m+4p - 4k,2n+4k
\Bigr\}
завдяки властивостям iз [14, 31], що еквiвалентно квазi-
аналiтичностi класу \mathrm{C}
\Bigl\{ \sqrt{} \sum p
k=0
Ck
p
\surd
c4p - 4k,4k
\Bigr\}
. Але з квазiаналiтичностi з урахуванням (48)
випливає умова (29), що i завершує доведення теореми 4.
Зауважимо, що умова (29) не є найбiльш оптимальною iз можливих. Бiльш того, можна
стверджувати, що для p = q > - \infty або p = q > 1 умови теореми можуть спрощуватися.
Проте це не є метою роботи, тому що побудованi у подальшому матрицi не мають зовнiшнiх
вiдмiнностей залежно вiд таких варiантiв.
Висловлюємо щиру подяку професору Деркачу В. О. за ретельний перегляд рукопису та
вкрай важливi зауваження, якi покращили роботу.
Лiтература
1. Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, Физматгиз, Москва (1961).
2. Ю. М. Березанский, Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов, Наук. думка, Киев
(1965).
3. Ю. М. Бeрeзанский, Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных,
Наук. думка, Киев (1978).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1062 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
4. Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев, Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Наук. думка, Киев
(1988).
5. Ю. M. Бeрeзанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель, Функциональный анализ: Курс лекций, Вища шк., Київ (1990).
6. Yu. M. Berezansky, Some generalizations of the classical moment problem, Integr. Еquat. and Oper. Theory, 44,
255 – 289 (2002).
7. Yu. M. Berezansky, M. E. Dudkin, The complex moment problem in the exponential form, Methods Funct. Anal. and
Topology, 10, № 4, 1 – 10 (2004).
8. Yu. M. Berezansky, M. E. Dudkin, The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary
matrices, Methods Funct. Anal. and Topology, 11, № 4, 327 – 345 (2005).
9. Yu. M. Berezansky, M. E. Dudkin, On the complex moment problem, Math. Nachr., № 1-2, 60 – 73 (2007).
10. Ю. М. Березанський, М. Є. Дудкiн, Якобiєвi матрицi i проблема моментiв, Працi Iн-ту математики НАН
України, 105 (2019).
11. C. Berg, J. P. R. Christensen, C. U. Jessel, A remark on the multidimension moment problem, Math. Ann., 243,
163 – 169 (1979).
12. T. M. Bisgaard, On note on factoring of positive definite functions on semigroups, Math. Nachr., 236, 31 – 46 (2002).
13. M. J. Cantero, L. Moral, L. Velázquez, Five-diagonal matrices and zeros of orthogonal polynomials on the unit circle,
Linear Algebra and Appl., 362, 29 – 56 (2003).
14. T. Carleman, Les fonctions quasi analytiques, Paris (1926).
15. A. Devinatz, Integral representations of positive definite functions, II, Trans. Amer. Math. Soc., 77, 455 – 480 (1954).
16. A. Devinatz, Two parameter moment problems, Duke Math. J., 24, 481 – 498 (1957).
17. M. E. Dudkin, The exact inner structure of the block Jacobi type unitary matrices connected with the corresponding
direct and inverse spectral problems matrices, Methods Funct. Anal. and Topology, 14, № 2, 168 – 176 (2008).
18. M. E. Dudkin, The complex moment problem in the exponential form with direct and inverse spectral problems for
the block Jacobi type correspondence matrices, Methods Funct. Anal. and Topology, 18, № 2, 111 – 139 (2012).
19. M. E. Dudkin, The inner structure of the Jacobi – Laurent matrix related to the strong Hamburger moment problem,
Methods Funct. Anal. and Topology, 19, № 2, 97 – 107 (2013).
20. M. E. Dudkin, V. I. Kozak, Direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded symmetric
matrices related to the two dimensional moment problem, Methods Funct. Anal. and Topology, 20, № 3, 219 – 251
(2014).
21. М. Є. Дудкiн, В. I. Козак, Пряма спектральна задача з блочними матрицями типу Якобi, що вiдповiдають
сильнiй двовимiрнiй проблемi моментiв, Наук. зап. НаУКМА, Фiз.-мат. науки, 178, 16 – 22 (2016).
22. W. B. Jones, W. J. Thron, O. Njåstad, Orthogonal Laurent polynomials and strong Hamburger moment problem, J.
Math. Anal. and Appl., 98, № 2, 528 – 554 (1984).
23. W. B. Jones, O. Njåstad, Orthogonal Laurent polynomials and strong moment theory: a survey, Continued Fractions
and Geometric Function Theory (CONFUN) (Trondheim, 1997), J. Comput. and Appl. Math., 105, № 1-2, 51 – 91
(1999).
24. Р. Б. Зархина, О двумерной проблеме моментов, Докл. АН СССР, 124, № 4, 743 – 746 (1959).
25. И. С. Кац, А. А. Нудельман, Сильная проблема моментов Cтилтьеса, Алгебра и анализ, 8, № 6, 26 – 56 (1996).
26. В. I. Козак, Побудова блочних матриць типу Якобi, вiдповiдних сильнiй двовимiрнiй дiйснiй проблемi моментiв,
Наук. зап. НаУКМА, Фiз.-мат. науки, 165, 19 – 26 (2015).
27. А. Г. Костюченко, Б. С. Митягин, Многомерная проблема моментов, Докл. АН СССР, 131, № 6, 1249 – 1252
(1960).
28. А. Г. Костюченко, Б. С. Митягин, Положительно-определенные функционалы на ядерных пространствах, Тр.
Моск. мат. о-ва, 9, 283 – 316 (1960).
29. М. Г. Крейн, Об одном общем методе разложения положительно определенных ядер на элементарные
произведения, Докл. АН СССР, 53, № 1, 3 – 6 (1946).
30. М. Г. Крейн, Про ермiтовi оператори з напрямними функцiоналами, Зб. наук. пр. Iн-ту математики АН УРСР,
№ 10, 83 – 106 (1948).
31. S. Mandelbrojt, Séries Adhérentes. Régularisation des Suites, Applications, Gauthier-Villars, Paris (1952).
32. E. Nelson, Analytic vectors, Ann. Math., 70, 572 – 614 (1959).
33. A. E. Nussbaum, Quasi-analytic vectors, Ark. Math., 6, № 10, 179 – 191 (1965).
34. A. E. Nussbaum, A note on quasi-analytic vectors, Stud. Math., 33, 305 – 309 (1969).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1063
35. L. C. Petersen, On the relation between the multidimensional moment problem and the one-dimensional moment
problem, Math. Scand., 51, 361 – 366 (1982).
36. K. K. Simonov, Strong matrix moment problem of Hamburger, Methods Funct. Anal. and Topology, № 2, 183 – 196
(2006).
37. К. К. Симонов, Ортогональные матричные полиномы Лорана, Мат. заметки, 79, № 2, 316 – 320 (2006).
38. B. Fuglede, The multidimensional moment problem, Expo. Math., № 1, 47 – 65 (1983).
39. E. K. Haviland, On the moment problem for distribution functions in more than one dimension, Amer. J. Math., 57,
562 – 572 (1995).
40. E. K. Haviland, On the moment problem for distribution functions in more than one dimension II, Amer. J. Math.,
58, 164 – 168 (1996).
41. Y. Xu, On ortogonal polinomials in several variables, Amer. Math. Soc., 14, 247 – 270 (1997).
42. Y. Xu, Block Jacobi matrices and zeros of multivariate ortogonal polynomials, Amer. Math. Soc., 342, № 2, 855 – 866
(1994).
43. Г. И. Ескин, Достаточное условие разрешимости многомерной проблемы моментов, Докл. АН СССР, 133,
№ 3, 540 – 543 (1960).
Одержано 05.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6062 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:56Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/4d572a13a45193aaeceea83cc1b46bba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60622022-03-26T11:02:03Z Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I Двумерная действительная полусильная проблема моментов и соответствующие блочные матрицы Двовимірна дійсна напівсильна проблема моментів та відповідні блочні матриці. I Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова , О. Ю. moment problem, block Jaconi matrices УДК 517.9 The relationship between the classical moment problem and the spectral theory of Jacobi matrices is generalized.&nbsp;We present the solution of the two-dimensional half-strong moment problem and suggest an analog of Jacobi-type matrices associated with the two-dimensional half-strong moment problem and the corresponding system of polynomials orthogonal with respect to a measure with compact support in the real plane. УДК 517.9 В работе приведены обобщения связи классической проблемы моментовсо спектральной теории матриц Якоби.Предложено аналог матриц типа Якоби соответствующий двумерной полусильной&nbsp;проблемы моментов и системы полиномов ортогональных относительно меры с компактным носителемна действительной плоскости. В таком случае полученные три матрицы, которые имеют блочную три-диагональнуюструктуру и действуют в пространстве типа $l_2$ в качестве коммутирующих самоспряжених операторы, где два из которых являютсявзаимно обратными. Также приведен пример. УДК 517.9 Узагальнено зв’язок класичної проблеми моментiв iз спектральною теорiєю матриць Якобi. Наведено розв’язок двовимiрної напiвсильної проблеми моментiв та запропоновано аналог матриць типу Якобi, що вiдповiдає двовимiрнiй напiвсильнiй проблемi моментiв, та вiдповiдну систему полiномiв, ортогональних вiдносно мiри iз компактним носiєм на дiйснiй площинi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6062 10.37863/umzh.v72i8.6062 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 8 (2020); 1047-1063 Український математичний журнал; Том 72 № 8 (2020); 1047-1063 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6062/8738 Copyright (c) 2020 Микола Дудкін |
| spellingShingle | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова , О. Ю. Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title_alt | Двумерная действительная полусильная проблема моментов и соответствующие блочные матрицы Двовимірна дійсна напівсильна проблема моментів та відповідні блочні матриці. I |
| title_full | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title_fullStr | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title_short | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part I |
| title_sort | two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. part i |
| topic_facet | moment problem block Jaconi matrices |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6062 |
| work_keys_str_mv | AT dudkinme twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricesparti AT dyuzhenkovaoyu twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricesparti AT dudkínmê twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricesparti AT dûženkovaoû twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricesparti AT dudkinme dvumernaâdejstvitelʹnaâpolusilʹnaâproblemamomentovisootvetstvuûŝiebločnyematricy AT dyuzhenkovaoyu dvumernaâdejstvitelʹnaâpolusilʹnaâproblemamomentovisootvetstvuûŝiebločnyematricy AT dudkínmê dvumernaâdejstvitelʹnaâpolusilʹnaâproblemamomentovisootvetstvuûŝiebločnyematricy AT dûženkovaoû dvumernaâdejstvitelʹnaâpolusilʹnaâproblemamomentovisootvetstvuûŝiebločnyematricy AT dudkinme dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíi AT dyuzhenkovaoyu dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíi AT dudkínmê dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíi AT dûženkovaoû dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíi |