The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains
UDC 517.54We consider a quite general problem from the geometric theory of functions on finding a maximal value of the product of the inner radii of $n$ non-overlapping domains, which contain points of the unit circle and are symmetric with respect to the unit circle, and the $\gamma$-powered inner...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6064 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512260047241216 |
|---|---|
| author | Zabolotnii , Ya. V. Заболотний, Я. В. |
| author_facet | Zabolotnii , Ya. V. Заболотний, Я. В. |
| author_sort | Zabolotnii , Ya. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.54We consider a quite general problem from the geometric theory of functions on finding a maximal value of the product of the inner radii of $n$ non-overlapping domains, which contain points of the unit circle and are symmetric with respect to the unit circle, and the $\gamma$-powered inner radius of a domain containing the origin. In this paper, we solve this problem for $n\geq 20$ and $1<\gamma\leq n^{\frac{2}{3}-q(n)}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.6064 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.6064
УДК 517.54
Я. В. Заболотний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРОБЛЕМА В. М. ДУБIНIНА ДЛЯ СИМЕТРИЧНИХ
БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ
We consider a quite general problem from the geometric theory of functions on finding a maximal value of the product of
the inner radii of n non-overlapping domains, which contain points of the unit circle and are symmetric with respect to
the unit circle, and the \gamma -powered inner radius of a domain containing the origin. In this paper, we solve this problem for
n \geq 20 and 1 < \gamma \leq n
2
3
- q(n).
Розглянуто достатньо загальну задачу геометричної теорiї функцiй про знаходження максимуму добутку внутрiшнiх
радiусiв n неперетинних областей, якi мiстять точки одиничного кола i симетричнi вiдносно даного кола, i степеня
\gamma внутрiшнього радiуса областi, яка мiстить точку нуль, та знайдено її розв’язок для n \geq 20 i 1 < \gamma \leq n
2
3
- q(n).
Вступ. Задачi про екстремальне розбиття комплексної площини займають значне мiсце в гео-
метричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної (див., наприклад, [1 – 7]). Початок даної тематики
покладено в роботi [1], де було поставлено i розв’язано задачу про добуток конформних радiу-
сiв двох неперетинних однозв’язних областей, якi мiстять вiдповiдно двi заданi точки. Пiзнiше
цю задачу було узагальнено в багатьох напрямках, зокрема в роботi [2] поставлено задачу про
добуток конформних радiусiв n неперетинних областей для довiльного натурального n \geq 3 i
розв’язано її для випадку n = 3. Аналогiчнi задачi розглядалися для багатозв’язних областей,
для областей спецiального вигляду (наприклад, для областей, симетричних вiдносно одинично-
го кола), а також у випадку, коли точки, якi повиннi мiститися в областях, не були фiксованими
вiд початку, а мали деяку свободу (див., наприклад, [4]). Однiй iз таких задач i присвячено дану
роботу.
1. Постановка задачi. Нехай \BbbN i \BbbR — множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно,
\BbbC — комплексна площина i \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — розширена комплексна площина, \BbbR + = (0,\infty ). На
розширенiй комплекснiй площинi розглянемо систему довiльних неперетинних багатозв’язних
областей \{ Bk\} nk=0, до того ж n областей \{ Bk\} nk=1 симетричнi вiдносно одиничного кола, i
нехай r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B \subset \BbbC вiдносно точки a \in B (див., наприклад, [5,
с. 14; 7, с. 71]).
Зауважимо, що екстремальнi конфiгурацiї областей зручно записувати за допомогою квад-
ратичних диференцiалiв. Основнi факти теорiї квадратичних диференцiалiв див., наприклад, у
[8, с. 48 – 82].
Розглянемо таку екстремальну задачу.
Задача. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2 i \gamma \in \BbbR +. Для довiльної системи точок ak i областей Bk,
k = 0, n, таких, що a0 = 0, | a1| = . . . = | an| = 1, ak \in Bk \subset \BbbC , де Bi
\bigcap
Bj = \varnothing для
0 \leq i, j \leq n, i \not = j, i областi B1, . . . , Bn симетричнi вiдносно одиничного кола, знайти точну
верхню оцiнку для функцiонала
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak). (1.1)
c\bigcirc Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, 2020
1502 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ПРОБЛЕМА В. М. ДУБIНIНА ДЛЯ СИМЕТРИЧНИХ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1503
Iншими словами, суть задачi полягає в тому, щоб для кожної пари (n, \gamma ), де n \in \BbbN , n \geq 2,
\gamma \in \BbbR +, знайти максимум функцiонала (1.1), якщо цей максимум iснує, i вказати конфiгурацiю
областей, де вiн досягається.
Вперше в 1984 р. аналогiчну задачу з вiльними полюсами для симетричних однозв’язних
областей розглянула Г. П. Бахтiна в роботi [9]. В 1994 р. дану задачу поставив В. М. Дубiнiн
в роботi [5] як нерозв’язану проблему. В 2000 р. для \gamma = 1 i всiх n \geq 2 цю задачу розв’язав
Л. В. Ковальов [10, 11]. В роботi [12] задачу було розв’язано для довiльного n \geq 2 i 0 < \gamma < 1.
В [13] було знайдено розв’язок даної задачi для довiльного n \geq 2 i довiльного \gamma \in (0, \gamma n), де
\gamma 2 = 1, 49, \gamma 3 = 3, 01 i \gamma n = 0, 25n2 для n \geq 4, але з деякими обмеженнями на центральний
кут мiж сусiднiми точками ak. В данiй роботi задачу розв’язано для довiльного натурального
n \geq n0 i 1 < \gamma \leq n
2
3
- q(n), але без додаткових умов на точки ak.
2. Основний результат. Нехай для конкретностi
0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 < . . . < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an < 2\pi .
Позначимо
\alpha 1 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1) , \alpha 2 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a3 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2) , . . . , \alpha n :=
1
\pi
(2\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an).
Нехай \alpha 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}k \alpha k, k = 1, n. Введемо позначення Pk = \{ w : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}w < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak+1\} .
Справедливою є така теорема.
Теорема 2.1. Нехай n \in \BbbN , n \geq n0, де n0 \geq 20 — деяке фiксоване натуральне число,
i \gamma \in \BbbR , 1 < \gamma \leq n
2
3
- q(n), де q(n) =
2
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
p(n0)
\mathrm{l}\mathrm{n}(n)
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}(n)
, p(n0) — деяка стала, причому
можна взяти n0 = 20 i p(20) =
1
2
\surd
2
. Тодi для довiльного набору точок ak таких, що a0 = 0,
a1 = 1, | ak| = 1, k = 1, n, i довiльного набору взаємно неперетинних областей Bk таких, що
ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, причому областi Bk, k = 1, n, симетричнi вiдносно одиничного кола
| w| = 1, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\biggl(
1 - 2\gamma
n2
\biggr) n
2
+ \gamma
n
\left( 1 -
\surd
2\gamma
n
1 +
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
. (2.1)
Знак рiвностi в цiй нерiвностi досягається, зокрема, у випадку, коли ak i Bk, k = 0, n, є
вiдповiдно полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = -
\gamma w2n + 2
\bigl(
n2 - \gamma
\bigr)
wn + \gamma
w2 (wn - 1)2
dw2. (2.2)
Доведення ґрунтується на методах i iдеях робiт [7, 10, 11].
Проведемо доведення саме для випадку n0 = 20 i p(20) =
1
2
\surd
2
. Для кожного натурального
n, що задовольняє умови теореми, позначимо через a0k i B0
k, k = 0, n, вiдповiдно полюси i
круговi областi квадратичного диференцiала (2.2). Позначимо також
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1504 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
I0n(\gamma ) = r\gamma
\bigl(
B0
0 , 0
\bigr) n\prod
k=1
r
\bigl(
B0
k, a
0
k
\bigr)
. (2.3)
Розглянемо два випадки.
1. Нехай \alpha 0 <
2\surd
2\gamma
.
Покажемо, що для цього випадку виконується нерiвнiсть (2.1). Для цього використаємо
метод вiдокремлюючого перетворення, який детально описано, наприклад, у роботi [5].
Розглянемо систему функцiй \{ \pi k(w)\} nk=1 = - i
\bigl(
e - i arg\alpha kw
\bigr) 1
\alpha k .
Позначимо через D
(1)
k , k = 1, n, область площини \BbbC \zeta , отриману в результатi об’єднан-
ня зв’язної компоненти множини \pi k
\bigl(
Bk
\bigcap
P k
\bigr)
, яка мiстить точку \pi k(ak), з її симетричним
вiдображенням вiдносно уявної осi. З iншого боку, через D
(2)
k , k = 1, n, позначимо область
множини \BbbC \zeta , отриману в результатi об’єднання зв’язної компоненти множини \pi k
\bigl(
Bk+1
\bigcap
P k
\bigr)
,
яка мiстить точку \pi k(ak+1), з її симетричним вiдображенням вiдносно уявної осi, Bn+1 := B1,
\pi n(an+1) := \pi n(a1). Також позначимо через D
(0)
k область множини \BbbC \zeta , отриману в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини \pi k
\bigl(
B0
\bigcap
P k
\bigr)
, що мiстить точку \zeta = 0, з її власним
симетричним вiдображенням вiдносно уявної осi. Зауважимо, що для \alpha 0 <
2\surd
2\gamma
вiдповiднi
образи областей не перетинаються.
Далi, повторюючи мiркування й оцiнки з робiт [11 – 13], отримуємо рiвнiсть
I0n(\gamma ) =
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\biggl(
1 - 2\gamma
n2
\biggr) n
2
+ \gamma
n
\left( 1 -
\surd
2\gamma
n
1 +
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
, (2.4)
а також переконуємося, що для \alpha 0 <
2\surd
2\gamma
виконується нерiвнiсть In(\gamma ) \leq I0n(\gamma ), а отже, i
нерiвнiсть (2.1).
2. Нехай тепер \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
.
Покажемо, що при цiй умовi значення функцiонала (1.1) задовольняє спiввiдношення (2.1).
Доведемо такi леми.
Лема 2.1. Для довiльного n \in \BbbN , довiльного набору точок ak таких, що | ak| = 1, k = 1, n,
\alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
, i довiльного набору взаємно неперетинних областей Bk, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, n,
виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq
4n\surd
2\gamma
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - 1
(n - 1) - (n - 1). (2.5)
Доведення. Згiдно з теоремою 5.1.1 [7], справедливою є оцiнка
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq 2n
n\prod
k=1
\alpha k. (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ПРОБЛЕМА В. М. ДУБIНIНА ДЛЯ СИМЕТРИЧНИХ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1505
Далi, враховуючи те, що
\sum n
k=1
\alpha k = 2, i використовуючи нерiвнiсть мiж середнiм геометрич-
ним i середнiм арифметичним, отримуємо
2n
n\prod
k=1
\alpha k \leq 2n\alpha 0
\biggl(
2 - \alpha 0
n - 1
\biggr) n - 1
= 2n\alpha 0(2 - \alpha 0)
n - 1(n - 1) - (n - 1).
А оскiльки \alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
, використовуючи елементарнi дослiдження функцiї на максимум, одер-
жуємо
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq 2n
2\surd
2\gamma
\biggl(
2 - 2\surd
2\gamma
\biggr) n - 1
(n - 1) - (n - 1) =
=
4n\surd
2\gamma
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - 1
(n - 1) - (n - 1).
Лему 2.1 доведено.
Позначимо an+1 := a1, an+2 := a2, \alpha n+1 = \alpha 1, Bn+1 := B1, Bn+2 := B2.
Лема 2.2. Нехай точки ak i областi Bk, k = 0, n, задовольняють всi умови теореми 2.1.
Тодi при умовi \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
(r (B0, 0) r (Bk, ak) r (Bk+1, ak+1) r (Bk+2, ak+2)) \leq
\leq
\biggl(
9\pi 2
4
4
3
\biggr) n\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) 6n - 8
3
\biggl(
1
n - 1
\biggr) 6n - 4
3
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4
3
. (2.7)
Доведення. Згiдно з нерiвнiстю з теореми 2 [3], маємо
4\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq
9
4
8
3
\prod
1\leq k<l\leq 4
| al - ak|
2
3 ,
а тому
r (B0, 0) r (Bk, ak) r (Bk+1, ak+1) r (Bk+2, ak+2) \leq
\leq 9
4
8
3
(| ak+1 - ak| | ak+2 - ak+1| | ak+2 - ak+1| )
2
3 =
=
9
4
5
3
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi \alpha k
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi \alpha k+1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha k + \alpha k+1)
2
\biggr) 2
3
.
Далi отримуємо
n\prod
k=1
(r (B0, 0) r (Bk, ak) r (Bk+1, ak+1) r (Bk+2, ak+2)) \leq
\leq
\biggl(
9
4
5
3
\biggr) n n\prod
k=1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi \alpha k
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi \alpha k+1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha k + \alpha k+1)
2
\biggr) 2
3
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1506 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
=
\biggl(
9
4
5
3
\biggr) n n\prod
k=1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\pi \alpha k
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha k + \alpha k+1)
2
\biggr) 2
3
.
Нехай для конкретностi \alpha 0 = \alpha n. Дослiджуючи останнiй вираз при умовi \alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
,
приходимо до висновку, що його максимум досягається при \alpha n =
2\surd
2\gamma
, а всi iншi \alpha k =
=
1
n - 1
\biggl(
2 - 2\surd
2\gamma
\biggr)
при k = 1, n - 1. Враховуючи також нерiвнiсть \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x < x при x > 0,
одержуємо \biggl(
9
4
5
3
\biggr) n n\prod
k=1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\pi \alpha k
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha k + \alpha k+1)
2
\biggr) 2
3
\leq
\leq
\biggl(
9\pi 2
4
5
3
\biggr) n\biggl(
1
n - 1
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) \biggr) 4n - 4
3
\biggl(
2
n - 1
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) \biggr) 2n - 4
3
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
2\gamma (n - 1)
\biggr) 4
3
=
=
\biggl(
9\pi 2
4
4
3
\biggr) n\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) 6n - 8
3
\biggl(
1
n - 1
\biggr) 6n - 4
3
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4
3
.
Звiдси i випливає нерiвнiсть (2.7).
Лему 2.2 доведено.
Лема 2.3. Нехай точки ak i областi Bk, k = 0, n, задовольняють всi умови теореми 2.1.
Тодi при умовi \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
виконується нерiвнiсть
J(n, \gamma ) =
In(\gamma )
I0n(\gamma )
\leq n\gamma +1 - 5\gamma
3n
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - \gamma - 1+ \gamma
3n
\biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) \gamma
P (n, \gamma ), (2.8)
де
P (n, \gamma ) =
\biggl(
n
n - 1
\biggr) n - \gamma - 1+ 5\gamma
3n \Bigl( \sqrt{}
2\gamma
\Bigr) 3\gamma
n
- 1
\times
\times
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4\gamma
3n
\biggl(
1 - 2\gamma
n2
\biggr) n
2
+ \gamma
n
\left( 1 +
\surd
2\gamma
n
1 -
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
.
Доведення. Спочатку оцiнимо вираз In(\gamma ), використавши нерiвностi (2.5) i (2.7):
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r (Bk, ak) =
=
\Biggl(
n\prod
k=1
r (B0, 0) r (Bk, ak) r (Bk+1, ak+1) r (Bk+2, ak+2)
\Biggr) \gamma
n
\Biggl(
n\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) 1 - 3\gamma
n
\leq
\leq
\biggl(
9\pi 2
4
4
3
\biggr) \gamma \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - \gamma - 1+ \gamma
3n
\biggl(
1
n - 1
\biggr) n - \gamma - 1+ 5\gamma
3n
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ПРОБЛЕМА В. М. ДУБIНIНА ДЛЯ СИМЕТРИЧНИХ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1507
\times 4n - 3\gamma \bigl( \surd
2\gamma
\bigr) 1 - 3\gamma
n
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4\gamma
3n
.
Використовуючи отриману нерiвнiсть i рiвнiсть (2.4), отримуємо оцiнку
J(n, \gamma ) \leq
\biggl(
9\pi 2
4
4
3
\biggr) \gamma \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - \gamma - 1+ \gamma
3n
\biggl(
1
n - 1
\biggr) n - \gamma - 1+ 5\gamma
3n 4n - 3\gamma \bigl( \surd
2\gamma
\bigr) 1 - 3\gamma
n
\times
\times
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4\gamma
3n \Bigl( n
4
\Bigr) n\biggl( 2\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\biggl(
1 - 2\gamma
n2
\biggr) n
2
+ \gamma
n
\left( 1 +
\surd
2\gamma
n
1 -
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
=
= n\gamma +1 - 5\gamma
3n
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - \gamma - 1+ \gamma
3n
\biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) \gamma
P (n, \gamma ). (2.9)
Лему 2.3 доведено.
Для завершення доведення теореми 2.1 достатньо показати, що вираз у правiй частинi
нерiвностi (2.8) при умовах теореми менший за одиницю.
Оцiнимо вираз P (n, \gamma ), причому випадок 1 < \gamma \leq 2 розглянемо окремо. Так,\biggl(
n
n - 1
\biggr) n - \gamma - 1+ 5\gamma
3n
=
\biggl(
1 +
1
n - 1
\biggr) (n - 1)
\Bigl(
1 - 3n\gamma - 5\gamma
3n(n - 1)
\Bigr)
< e.
Далi,
\bigl( \surd
2\gamma
\bigr) 3\gamma
n
- 1
< 1, 16
\Biggl(
для 1 < \gamma \leq 2 отримаємо
\bigl( \surd
2\gamma
\bigr) 3\gamma
n
- 1
< 0, 75
\Biggr)
, а
\biggl( \surd
2\gamma + n - 2
4\gamma
\biggr) 4\gamma
3n
<
< 1,15. Вираз
\biggl(
1 - 2\gamma
n2
\biggr) n
2
+ \gamma
n
< 1, а вираз
\left( 1 +
\surd
2\gamma
n
1 -
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
< 4,45
\Biggl(
для 1 < \gamma \leq 2 отримає-
мо
\left( 1 +
\surd
2\gamma
n
1 -
\surd
2\gamma
n
\right)
\surd
2\gamma
< 1, 5
\Biggr)
. Враховуючи це, одержуємо P (n, \gamma ) < 6e (P (n, \gamma ) < 1,29e для
1 < \gamma \leq 2).
Виконаємо такi перетворення:
n\gamma +1 - 5\gamma
3n
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) n - \gamma - 1+ \gamma
3n
\biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) \gamma
=
=
\biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) \gamma
n\gamma +1 - 5\gamma
3n
\Biggl( \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr) \surd
2\gamma
\Biggr) n - \gamma - 1+
\gamma
3n\surd
2\gamma
<
<
\left( n
\biggl(
1
e
\biggr) n - \gamma - 1+
\gamma
3n\surd
2\gamma (\gamma +1 - 5\gamma
3n )
\right) \gamma +1 - 5\gamma
3n \biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) \gamma
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1508 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Оцiнимо при даних n i \gamma вираз
n
\biggl(
1
e
\biggr) n - \gamma - 1+
\gamma
3n\surd
2\gamma (\gamma +1 - 5\gamma
3n) =
n
el
,
де l =
n
\Bigl(
1 - n - 1 - \gamma
n
+
\gamma
3n2
\Bigr)
\surd
2\gamma
3
2
(1+\gamma - 1 - 5n - 1)
. Зауважимо також, что для даних n i \gamma маємо
p(n, \gamma ) :=
\Bigl(
1 - n - 1 - \gamma
n
+
\gamma
3n2
\Bigr)
\surd
2
\biggl(
1 + \gamma - 1 - 5
3
n - 1
\biggr) > p(20) =
1
2
\surd
2
,
а отже,
n
el
<
n
e
p(n,\gamma ) n
\gamma
3
2
<
n
e
p(20) n
n
3
2( 2
3 - q(n))
=
n
e p(20)n
ln
\biggl(
1
p(20)
ln(n)
\biggr)
ln(n)
= 1.
Таким чином, при 1 < \gamma \leq 2 нерiвнiсть (2.9) набирає вигляду
J(n, \gamma ) \leq 1,29e
9\pi 2
4
13
3
< 0,77 < 1,
а при 2 < \gamma
J(n, \gamma ) \leq 6e
\biggl(
9\pi 2
4
13
3
\biggr) 2
< 0,8 < 1.
Оскiльки J(n, \gamma ) =
In(\gamma )
I0n(\gamma )
, то при n \geq 20, 1 < \gamma \leq n
2
3
- q(n) i \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
виконується нерiв-
нiсть In(\gamma ) < I0n(\gamma ), а тому, враховуючи (2.4), для даного випадку нерiвнiсть (2.1) встановлено.
Таким чином, нерiвнiсть (2.1) встановлено i для \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
, i для \alpha 0 <
2\surd
2\gamma
.
Теорему 2.1 доведено.
Зауважимо, що, поклавши в теоремi 2.1n0 > 20, ми можемо уточнити вираз p(n0), а отже,
й записати екстремальнi конфiгурацiї для бiльших \gamma при тому ж натуральному n.
Автор виражає подяку професору Бахтiну О. К. за постановку задачi, цiннi поради i комен-
тарi.
Лiтература
1. М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений, Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР, 5, 159 – 245 (1934).
2. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
3. Г. В. Кузьмина, К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей, Зап. науч.
сем. ЛОМИ, 131 – 145 (1980).
4. П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Изв.
АН СССР, сер. мат., 32, № 5, 1033 – 1043 (1968).
5. В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи
мат. наук, 49, № 1(295), 3 – 76 (1994).
6. В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении, Зап. науч. сем.
ЛОМИ, 168, 48 – 66 (1988).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ПРОБЛЕМА В. М. ДУБIНIНА ДЛЯ СИМЕТРИЧНИХ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 1509
7. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе, Працi Iн-ту математики НАН України, 73 (2008).
8. Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, Изд-во иностр. лит., Москва (1962).
9. Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих областей, Современные вопросы ве-
щественного и комплексного анализа, 149, 21 – 27 (1984).
10. Л. В. Ковалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей, Изв. вузов. Математика, 6,
80 – 81 (2000).
11. Л. В. Ковалев, О трех непересекающихся областях, Дальневост. мат. журн., 1, № 1, 3 – 7 (2000).
12. Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская, О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных облас-
тей, Укр. мат. вiсн., 14, № 3, 440 – 451 (2017).
13. А. К. Бахтин, Л. В. Выговская, И. В. Денега, Неравенства для внутренних радиусов симметричных неналега-
ющих областей, Укр. мат. журн., 70, № 9, 1282 – 1288 (2018).
Одержано 12.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6064 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:57Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/b25dc46aa1c12371e5b9f4808944b63d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60642025-03-31T08:49:35Z The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains Проблема В.Н. Дубинина для симметрических многосвязных областей Проблема В. М. Дубініна для симетричних багатозв’язних областей Zabolotnii , Ya. V. Заболотний, Я. В. UDC 517.54We consider a quite general problem from the geometric theory of functions on finding a maximal value of the product of the inner radii of $n$ non-overlapping domains, which contain points of the unit circle and are symmetric with respect to the unit circle, and the $\gamma$-powered inner radius of a domain containing the origin. In this paper, we solve this problem for $n\geq 20$ and $1&lt;\gamma\leq n^{\frac{2}{3}-q(n)}.$ В данной работе рассматривается одна достаточно общая проблемагеометрической теории функций о нахождении максимума произведениявнутренних радиусов n неналегающих областей, которые содержатточки единичной окружности и которые симметричные относительноданной окружности, и степени $\gamma$ внутреннего радиуса области,который содержит точку ноль, и найдено ее решение при $n\geq 20$ и$1&lt;\gamma\leq n^{\frac{2}{3}-q(n)}$. УДК 517.54 Розглянуто достатньо загальну задачу геометричної теорії функцій про знаходження максимуму добутку внутрішніх радіусів $n$ неперетинних областей, які містять точки одиничного кола і симетричні відносно даного кола, і степеня $\gamma$ внутрішнього радіуса області, яка містить точку нуль, та знайдено її розв'язок для $n\geq 20$ і $1&lt;\gamma\leq n^{\frac{2}{3}-q(n)}.$ &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6064 10.37863/umzh.v72i11.6064 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1502-1509 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1502-1509 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6064/8779 Copyright (c) 2020 Ярослав Володимирович Заболотний |
| spellingShingle | Zabolotnii , Ya. V. Заболотний, Я. В. The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title | The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title_alt | Проблема В.Н. Дубинина для симметрических многосвязных областей Проблема В. М. Дубініна для симетричних багатозв’язних областей |
| title_full | The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title_fullStr | The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title_full_unstemmed | The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title_short | The problem of V. N. Dubinin for symmetric multiconnected domains |
| title_sort | problem of v. n. dubinin for symmetric multiconnected domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6064 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotniiyav theproblemofvndubininforsymmetricmulticonnecteddomains AT zabolotnijâv theproblemofvndubininforsymmetricmulticonnecteddomains AT zabolotniiyav problemavndubininadlâsimmetričeskihmnogosvâznyhoblastej AT zabolotnijâv problemavndubininadlâsimmetričeskihmnogosvâznyhoblastej AT zabolotniiyav problemavmdubínínadlâsimetričnihbagatozvâznihoblastej AT zabolotnijâv problemavmdubínínadlâsimetričnihbagatozvâznihoblastej AT zabolotniiyav problemofvndubininforsymmetricmulticonnecteddomains AT zabolotnijâv problemofvndubininforsymmetricmulticonnecteddomains |