On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term
UDC 517.957 In this paper, the method of the inverse spectral problem is applied to finding a solution to the Cauchy problem for the modified Korteweg–de Vries equation (mKdV) in the class of periodic infinite-gap functions. A simple derivation of the Dubrovin system of differential equations is pro...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6073 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512260879810560 |
|---|---|
| author | Khasanov , A. B. Allanazarova , T. Zh. Hasanov, Aknazar Хасанов, А. Б. Алланазарова, Т. Ж. |
| author_facet | Khasanov , A. B. Allanazarova , T. Zh. Hasanov, Aknazar Хасанов, А. Б. Алланазарова, Т. Ж. |
| author_sort | Khasanov , A. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.957
In this paper, the method of the inverse spectral problem is applied to finding a solution to the Cauchy problem for the modified Korteweg–de Vries equation (mKdV) in the class of periodic infinite-gap functions. A simple derivation of the Dubrovin system of differential equations is proposed. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of five times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly converging functional series constructed from the solutions of the infinite system of Dubrovin equations and the formulas for the first trace do indeed satisfy the mKdV equation. Moreover, it was proved that:
1) if the initial function is a real $ \pi $-periodic analytic function, then the solution of the Cauchy problem for the mKdV equation with a loaded term is also a real analytic function with respect to the variable $x;$
2) if the number $ \dfrac {\pi} {2} $ is the period (antiperiod) of the original function, then $ \dfrac {\pi} {2} $ is also the period (antiperiod) in the variable $x$ of the solution to the Cauchy problem for the mKdV equation with a loaded term. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.6073 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:25:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.6073
УДК 517.957
А. Б. Хасанов (Самарканд. держ. ун-т, Узбекистан),
Т. Ж. Алланазарова (Каракалпак. держ. ун-т iм. Бердаха, Нукус, Узбекистан)
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ
In this paper, the method of the inverse spectral problem is applied to finding a solution to the Cauchy problem for the
modified Korteweg – de Vries equation (mKdV) in the class of periodic infinite-gap functions. A simple derivation of
the Dubrovin system of differential equations is proposed. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system
of Dubrovin differential equations in the class of five times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is
proved. It is shown that the sum of a uniformly converging functional series constructed from the solutions of the infinite
system of Dubrovin equations and the formulas for the first trace do indeed satisfy the mKdV equation. Moreover, it was
proved that:
1) if the initial function is a real \pi -periodic analytic function, then the solution of the Cauchy problem for the mKdV
equation with a loaded term is also a real analytic function with respect to the variable x;
2) if the number
\pi
2
is the period (antiperiod) of the original function, then
\pi
2
is also the period (antiperiod) in the
variable x of the solution to the Cauchy problem for the mKdV equation with a loaded term.
У цiй роботi метод оберненої спектральної задачi застосовано до розв’язання задачi Кошi для модифiкованого рiв-
няння Кортевега – де Фрiза (мКдФ) у класi перiодичних нескiнченнозонних функцiй. Запропоновано простий вивiд
системи диференцiальних рiвнянь Дубровiна. Доведено розв’язнiсть задачi Кошi для нескiнченної системи дифе-
ренцiальних рiвнянь Дубровiна у класi п’ятикратно неперервно диференцiйовних перiодичних нескiнченнозонних
функцiй. Показано, що сума рiвномiрно збiжного функцiонального ряду, побудованого з розв’язкiв нескiнченної
системи рiвнянь Дубровiна, i формули для першого слiду задовольняють рiвняння мКдФ. I навiть бiльше, було
доведено, що:
1) якщо початкова функцiя є дiйсною \pi -перiодичною аналiтичною функцiєю, то розв’язок задачi Кошi для
рiвняння мКдФ з навантаженим членом також є дiйсною аналiтичною функцiєю за змiнною x;
2) якщо число
\pi
2
є перiодом (антиперiодом) вихiдної функцiї, то
\pi
2
також є перiодом (антиперiодом) за змiнною
x розв’язку задачi Кошi для рiвняння мКдФ з навантаженим членом.
1. Вступ. Оберненi спектральнi задачi вiдiграють значну роль при iнтегруваннi деяких важ-
ливих еволюцiйних рiвнянь математичної фiзики. Значний прорив було зроблено в 1967 р. з
появою статтi [1], де показано, що рiвняння Кортевега – де Фрiза (КдФ)
qt = 6qqx - qxxx, q(x, 0) = q0(x), x \in \BbbR , t > 0,
можна подати як умову сумiсностi двох лiнiйних диференцiальних рiвнянь, одне з яких вияви-
лося рiвнянням Штурма – Лiувiлля
H\psi \equiv - \psi \prime \prime (x, k, t) + q(x, t)\psi (x, k, t) = k2\psi (x, k, t), x \in \BbbR .
Було зазначено, що якщо потенцiал у цьому рiвняннi змiнюється за часом згiдно з КдФ, то \psi
задовольняє ще одне лiнiйне рiвняння, а саме
\.\psi t = - 4\psi \prime \prime \prime
xxx + 6q\psi \prime
x + 3qx\psi .
Використовуючи цю обставину, в [1] запропоновано процедуру побудови точних розв’язкiв рiв-
няння КдФ зведенням її до оберненої задачi теорiї розсiяння. Обернену задачу теорiї розсiяння
для оператора Штурма – Лiувiлля на всiй прямiй вивчали в роботах [2 – 4]. У статтi [5] показано
c\bigcirc А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11 1541
1542 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
унiверсальнiсть методу оберненої задачi розсiяння (МОЗР) й узагальнено рiвняння КДФ, вводя-
чи поняття вищого рiвняння КДФ. У цьому напрямку наступний важливий результат отримано
у статтi [6], в якiй авторам вдалося iнтегрувати нелiнiйне рiвняння Шредiнгера (НРШ):
iut \pm 2u| u| 2 + uxx = 0.
Незабаром у статтi [7] на основi iдей роботи [6] було запропоновано метод розв’язання моди-
фiкованого рiвняння КдФ (мКдФ):
ut \pm 6u2ux + uxxx = 0.
У статтях [8, 9] показано, що МОЗР також можна застосувати i до розв’язання рiвняння синус-
Гордона
uxt = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u.
Застосування МОЗР до рiвнянь НРШ, мКдФ i синус-Гордона спирається на задачу розсiяння
для оператора Дiрака на всiй осi:
L = i
\left( d
dx
- q(x)
r(x) - d
dx
\right) , x \in \BbbR .
Обернена задача розсiяння для оператора Дiрака на всiй осi вивчалась у багатьох робо-
тах (див., наприклад, [6, 10 – 12]). Вiдомо, що оператор L не є самоспряженим, у випадку
„швидкого спадання” має скiнченне число кратних комплексних власних значень i може мати
спектральнi особливостi, якi лежать у неперервному спектрi. Данi розсiяння несамоспряже-
ного оператора Дiрака, крiм характеристик неперервного спектра, мiстять дискретний спектр
i спектральнi особливостi. У роботах [6 – 9, 13 – 16] у випадку, коли всi власнi значення вiд-
повiдного оператора Дiрака L простi, а спектральних особливостей немає, було зiнтегровано
такi нелiнiйнi еволюцiйнi рiвняння, як НРШ, мКдФ i рiвняння синус-Гордона. У зв’язку з цим
актуальним є пошук розв’язку задачi Кошi для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь без джерела i
з самоузгодженим джерелом, вiдповiдним до кратних власних значень оператора Дiрака. Цим
задачам присвячено роботи [17 – 21].
Вiдомо, що знаходження явної формули для розв’язку нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь
КдФ, мКдФ, НРШ i синус-Гордона у класi перiодичних функцiй iстотно залежить вiд кiлькостi
нетривiальних лакун у спектрi перiодичного оператора Штурма – Лiувiлля i Дiрака.
За допомогою методу оберненої задачi для оператора Штурма – Лiувiлля з перiодичним по-
тенцiалом у випадку, коли в спектрi є тiльки скiнченне число нетривiальних лакун, у роботах
[22, 23] доведено повну iнтегровнiсть рiвняння КдФ у класi скiнченнозонних перiодичних i ква-
зiперiодичних функцiй. У основнiй частинi цих робiт розв’язання оберненої задачi для випадку
скiнченнозонних потенцiалiв було зведено до проблеми обернення Якобi абелевих iнтегралiв
на дволистiй компактнiй рiмановiй поверхнi зi скiнченним числом дiйсних точок розгалуження.
Крiм того, для скiнченнозонних потенцiалiв (тобто для розв’язку рiвняння КдФ) було виведено
явну формулу за допомогою тета-функцiї Рiмана. У роботах [25, 26] за допомогою МОЗР для
оператора Дiрака встановлено повну iнтегровнiсть НРШ i рiвняння мКдФ у класi скiнченно-
зонних функцiй. Бiльш детально про цю теорiю викладено в монографiях [3, 4, 27 – 29].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1543
Вiдомо (див. [30]), що якщо q(x) = 2a \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2x, a \not = 0, то всi нетривiальнi лакуни в спектрi
оператора Ly \equiv - y\prime \prime + q(x)y = \lambda y, x \in \BbbR , вiдкритi, iншими словами, q(x) — скiнченнозонний
перiодичний потенцiал. Аналогiчнi приклади наведено в статтi [31] для перiодичного оператора
Дiрака. У зв’язку з цим ми вивчаємо задачу Кошi для нелiнiйного рiвняння мКдФ iз додатковим
членом у класi перiодичних нескiнченнозонних функцiй.
У цьому випадку розв’язання оберненої задачi за спектральними даними для перiодично-
го оператора Дiрака, коли нескiнченне число нетривiальних лакун вiдкритi, можна звести до
проблеми обернення абелевих iнтегралiв на дволистiй некомпактнiй рiмановiй поверхнi з не-
скiнченним числом дiйсних точок розгалуження. Для такої задачi нам не вдалося знайти ана-
логiв формули Iтса – Матвєєва. Проте до цiєї задачi можна застосувати метод статтi [32]. При
цьому розв’язок задачi Кошi для нелiнiйного рiвняння мКдФ одержуємо у виглядi рiвномiрно
збiжного функцiонального ряду. Слiд зауважити, що розв’язки в класi перiодичних функцiй
для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь iз джерелом, а також iз додатковим членом вивчалися в
роботах [33 – 41] у рiзних постановках.
У цiй роботi розглядається рiвняння мКдФ з навантаженим членом вигляду
ut = a (t, u (x0, t))
\bigl[
6u2ux - uxxx
\bigr]
, x \in \BbbR , t > 0, (1)
з початковою умовою
u(x, t)| t=0 = q0(x), q0(x+ \pi ) = q0(x) \in C5(\BbbR ), (2)
у класi дiйсних нескiнченнозонних \pi -перiодичних по x функцiй:
u(x+ \pi , t) = u(x, t) \in C3
x(t > 0) \cap C1
t (t > 0) \cap C(t \geq 0). (3)
Тут дiйсна функцiя a(t, y) є заданою, неперервною по t i диференцiйовною по y, а x0 \in \BbbR —
задане число.
Мета цiєї роботи — описати процедуру побудови розв’язку задачi (1) – (3) у рамках оберненої
спектральної задачi для перiодичного оператора Дiрака:
L(t)y = By\prime +\Omega (x, t)y = \lambda y, x \in \BbbR , t > 0, (4)
B =
\Biggl(
0 1
- 1 0
\Biggr)
, \Omega (x, t) =
\Biggl(
0 u(x, t)
u(x, t) 0
\Biggr)
, y =
\Biggl(
y1
y2
\Biggr)
.
Зауваження 1. Нехай q(x, t) — розв’язок задачi (1) – (3) у випадку звичайного рiвняння
мКдФ, тобто при a(t, y) \equiv 1. Тодi розв’язок u(x, t) задачi (1) – (3) подамо у виглядi
u(x, t) = q(x, b(t)), (5)
де функцiя b(t) є розв’язком iнтегрального рiвняння
b(t) =
t\int
0
a(\tau , q(x0, b(\tau ))d\tau . (6)
Доведення безпосередньо випливає з того, що з (5), (6) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1544 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
db(t)
dt
= a(t, u(x0, t)).
Диференцiюючи по t рiвнiсть (5), приходимо до рiвняння (1). Неважко бачити, що спектр
оператора (4) з потенцiалом (5) збiгається зi спектром оператора (4) з потенцiалом q(x, 0) =
= u(x, 0) = q0(x).
Таким чином, розв’язання задачi Кошi (1) – (3) у класi перiодичних нескiнченнозонних
потенцiалiв зводиться до розв’язання задачi Кошi для звичайного рiвняння мКдФ (тобто при
a(t, y) \equiv 1) у класi перiодичних нескiнченнозонних функцiй.
2. Необхiднi вiдомостi про пряму та обернену спектральнi задачi. У цьому пунктi для
повноти викладу ми наведемо деякi основнi вiдомостi, що стосуються оберненої спектраль-
ної задачi для оператора Дiрака з перiодичними коефiцiєнтами [42 – 45]. Розглянемо систему
рiвнянь Дiрака на всiй прямiй
Ly \equiv
\biggl(
0 1
- 1 0
\biggr) \biggl(
y\prime 1
y\prime 2
\biggr)
+
\Biggl(
p(x) q(x)
q(x) - p(x)
\Biggr) \Biggl(
y1
y2
\Biggr)
= \lambda
\Biggl(
y1
y2
\Biggr)
, x \in \BbbR , (7)
де p(x) i q(x) — дiйснi \pi -перiодичнi функцiї з класу C1(\BbbR ), а \lambda — комплексний параметр.
Позначимо через c(x, \lambda ) = (c1(x, \lambda ), c2(x, \lambda ))
T i s(x, \lambda ) = (s1(x, \lambda ), s2(x, \lambda ))
T розв’язки
рiвняння (7) з початковими умовами c(0, \lambda ) = (1, 0)T i s(0, \lambda ) = (0, 1)T . Вектор-функцiї c(x, \lambda )
i s(x, \lambda ) є цiлими функцiями щодо \lambda при фiксованих x, складають фундаментальну систему
розв’язкiв рiвняння (7) i задовольняють тотожнiсть
W \{ c(x, \lambda ), s(x, \lambda )\} \equiv c1(x, \lambda )s2(x, \lambda ) - c2(x, \lambda )s1(x, \lambda ) = 1.
Крiм того, розв’язки c(x, \lambda ) i s(x, \lambda ) при великих | \lambda | задовольняють такi асимптотичнi фор-
мули:
c(x, \lambda ) =
\Biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda x
\Biggr)
+O
\Biggl(
e| Im\lambda | x
\lambda
\Biggr)
, | \lambda | \rightarrow \infty ,
s(x, \lambda ) =
\Biggl(
- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda x
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda x
\Biggr)
+O
\Biggl(
e| Im\lambda | x
\lambda
\Biggr)
, | \lambda | \rightarrow \infty .
(8)
Означення 1. Функцiя \Delta (\lambda ) = c1(\pi , \lambda ) + s2(\pi , \lambda ) називається функцiєю Ляпунова для
оператора Дiрака (7).
Iз асимптотики (8) при дiйсних \lambda отримаємо таку асимптотичну формулу для функцiї
Ляпунова:
\Delta (\lambda ) = 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi +O
\biggl(
1
\lambda
\biggr)
, | \lambda | \rightarrow \infty .
Вектор-функцiя
\psi \pm (x, \lambda ) =
\Biggl(
\psi 1\pm (x, \lambda )
\psi 2\pm (x, \lambda )
\Biggr)
= c(x, \lambda ) +m\pm (\lambda )s(x, \lambda )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1545
називається розв’язком Флоке рiвняння (7). Функцiя Вейля – Тiтчмарша визначається форму-
лами
m\pm (\lambda ) =
s2(\pi , \lambda ) - c1(\pi , \lambda )\mp
\sqrt{}
\Delta 2(\lambda ) - 4
2s1(\pi , \lambda )
.
Спектр оператора L повнiстю неперервний i складається з множини
\sigma (L) \equiv E = \{ \lambda \in \BbbR : | \Delta (\lambda )| \leq 2\} = \BbbR \setminus
\Biggl(
n=\infty \bigcup
n= - \infty
(\lambda 2n - 1, \lambda 2n)
\Biggr)
,
при цьому iнтервали (\lambda 2n - 1, \lambda 2n), n \in \BbbZ , називаються лакунами, де \lambda 4k - 1, \lambda 4k — власнi
значення перiодичної задачi (y(0) = y(\pi )), а \lambda 4k+1, \lambda 4k+2 — власнi значення антиперiодичної
задачi (y(0) = - y(\pi )) для рiвняння (7).
Коренi рiвняння s1(\pi , \lambda ) = 0 позначимо через \xi n, n \in \BbbZ . Вони збiгаються iз власними
значеннями задачi Дiрiхле для системи рiвнянь (7) iз граничними умовами y1(0) = 0, y1(\pi ) = 0,
при цьому \xi n \in [\lambda 2n - 1, \lambda 2n] , n \in \BbbZ .
Означення 2. Числа \xi n, n \in \BbbZ , разом зi знаками
\sigma n = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl\{
s2(\pi , \xi n) - c1(\pi , \xi n)
\bigr\}
, n \in \BbbZ ,
називаються спектральними параметрами оператора L.
Зауваження 2. Якщо \xi n = \lambda 2n - 1 або \xi n = \lambda 2n, то s2(\pi , \xi n) - c1(\pi , \xi n) = 0. У цьому
випадку для визначеностi покладемо \sigma n = 1, n \in \BbbZ .
Означення 3. Спектральнi параметри \xi n, \sigma n, n \in \BbbZ , i межi спектра \lambda n, n \in \BbbZ , назива-
ються спектральними даними оператора L.
Задача знаходження спектральних даних оператора L становить пряму задачу, а вiдновлен-
ня коефiцiєнтiв p(x) i q(x) за спектральними даними — обернену. Коефiцiєнти p(x) i q(x)
оператора L визначаються однозначно за спектральними даними \{ \lambda n, \xi n, \sigma n = \pm 1, n \in \BbbZ \}
(див. [43, 45]).
Якщо в системi диференцiальних рiвнянь (7) замiсть p(x), q(x) розглядати p(x+\tau ), q(x+\tau ),
\tau \in \BbbR , то спектр одержуваного оператора
L(\tau )y \equiv
\Biggl(
0 1
- 1 0
\Biggr) \Biggl(
y\prime 1
y\prime 2
\Biggr)
+
\Biggl(
p(x+ \tau ) q(x+ \tau )
q(x+ \tau ) - p(x+ \tau )
\Biggr) \Biggl(
y1
y2
\Biggr)
= \lambda
\Biggl(
y1
y2
\Biggr)
(9)
не залежатиме вiд параметра \tau , тобто \lambda n(\tau ) \equiv \lambda n, n \in \BbbZ , а спектральнi параметри залежа-
тимуть вiд параметра \tau , \xi n = \xi n(\tau ), \sigma n = \sigma n(\tau ), n \in \BbbZ , i будуть перiодичними функцiями
\xi n(\tau + \pi ) = \xi n(\tau ), \sigma n(\tau + \pi ) = \sigma n(\tau ), n \in \BbbZ . Цi спектральнi параметри задовольняють аналог
системи рiвнянь Дубровiна
d\xi n
d\tau
= ( - 1)n\sigma n(\tau )hn(\xi )
\biggl\{
2\xi n(\tau ) +
\infty \sum
k= - \infty
\bigl(
\lambda 2k - 1 + \lambda 2k - 2\xi k(\tau )
\bigr) \biggr\}
, n \in \BbbZ , (10)
i початковi умови
\xi n(\tau )| \tau =0 = \xi n(0), \sigma n(\tau )| \tau =0 = \sigma n(0), n \in \BbbZ , (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1546 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
де
hn(\xi ) =
\sqrt{}
(\xi n(\tau ) - \lambda 2n - 1)(\lambda 2n - \xi n(\tau ))
\sqrt{} \infty \prod
k= - \infty ,k \not =n
(\lambda 2k - 1 - \xi n(\tau ))(\lambda 2k - \xi n(\tau ))
(\xi k(\tau ) - \xi n(\tau ))2
.
Знак \sigma n(\tau ) змiнюється на протилежний при кожному зiткненнi значення \xi n(\tau ) з межами своєї
лакуни [\lambda 2n - 1, \lambda 2n] .
З метою подальшого дослiдження системи рiвнянь Дубровiна виконаємо замiну змiнних
\xi n(\tau ) = \lambda 2n - 1 + (\lambda 2n - \lambda 2n - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 xn(\tau ), n \in \BbbZ .
Тодi вона набере вигляду
dxn(\tau )
d\tau
= Hn(. . . , x - 1(\tau ), x0(\tau ), x1(\tau ), . . .), n \in \BbbZ , (12)
xn(0) = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\sqrt{}
\xi n(0) - \lambda 2n - 1
\lambda 2n - \lambda 2n - 1
, n \in \BbbZ , (13)
де
Hn(x(\tau )) =
1
2
( - 1)n - 1\sigma n(0)hn(. . . , \xi - 1(\tau ), \xi 0(\tau ), \xi 1(\tau ), . . .), n \in \BbbZ .
Введемо банаховий простiр
\bfK =
\biggl\{
x = (. . . , x - 1(\tau ), x0(\tau ), x1(\tau ), . . .) : \| x\| =
\infty \sum
n= - \infty
(\lambda 2n - \lambda 2n - 1)| xn| <\infty
\biggr\}
.
Запишемо систему (12), (13) у виглядi одного рiвняння в банаховому просторi \bfK :
dx(\tau )
d\tau
= H(x(\tau )), x(\tau )| \tau =0 = x0.
У роботi [43] показано, що при всiх x, y \in \bfK виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| H(x(\tau )) - H(y(\tau ))
\bigm\| \bigm\| \leq C \| x(\tau ) - y(\tau )\| ,
де
C =
1
2
\infty \sum
n= - \infty
| n| (\lambda 2n - \lambda 2n - 1) <\infty . (14)
Ряд (14) збiгається, якщо перiодичний потенцiал задовольняє умови p(x+ \pi ) = p(x) \in C2(\BbbR ),
q(x + \pi ) = q(x) \in C2(\BbbR ). Тому нескiнченна система рiвнянь (10), (11) має єдиний розв’язок
при будь-яких початкових даних. Отже, система рiвнянь Дубровiна, а також формули слiдiв
p(\tau ) =
\infty \sum
k= - \infty
\biggl(
\lambda 2k - 1 + \lambda 2k
2
- \xi k(\tau )
\biggr)
, q(\tau ) =
\infty \sum
k= - \infty
( - 1)n\sigma n(\tau )hn(\xi ),
q2(\tau ) + q\prime (\tau ) =
\infty \sum
k= - \infty
\Biggl(
\lambda 22k - 1 + \lambda 22k
2
- \xi 2k(\tau )
\Biggr) (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1547
приводять до методу розв’язання оберненої задачi. Тут \xi k(\tau ), k \in \BbbZ , — власнi значення задачi
Дiрiхле (y1(0) = 0, y1(\pi ) = 0) для системи Дiрака (9).
У роботi [43] показано, що нескiнченна система рiвнянь (10), (11) має єдиний розв’язок
при будь-яких початкових даних i розв’язок iснує для всiх \tau \in \BbbR . Крiм того, в цiй же роботi
за допомогою системи рiвнянь Дубровiна (10) i формул слiдiв (15) вивчається зв’язок довжини
лакун iз аналiтичнiстю коефiцiєнтiв p(x) i q(x) системи рiвнянь Дiрака.
Теорема 1. Якщо p(x), q(x) — \pi -перiодичнi дiйснi функцiї з класу C2(\BbbR ) i довжини лакун
\lambda 2n - \lambda 2n - 1 оператора Дiрака (7) експоненцiально спадають, тобто якщо iснують сталi числа
a > 0, b > 0, для яких \lambda 2n - \lambda 2n - 1 < ae - b| n| при будь-яких цiлих n, то p(x) i q(x) є дiйсними
аналiтичними функцiями на всiй прямiй.
Теорема 2. Якщо p(x) i q(x) — дiйснi аналiтичнi \pi -перiодичнi функцiї , то довжини лакун
\lambda 2n - \lambda 2n - 1 оператора Дiрака (7) спадають експоненцiально.
Слiд зазначити, що цi теореми для оператора Хiлла вперше довiв Трубовiц [47].
У роботах [44, 49] для оператора Дiрака було доведено такий аналог оберненої теореми
Борга [48].
Теорема 3. Для того щоб число
\pi
2
було перiодом (антиперiодом) коефiцiєнтiв p(x) i q(x)
системи рiвнянь (7), необхiдно i достатньо двократностi всiх власних значень антиперiодич-
ної (перiодичної ) задачi.
Наведемо деякi найпростiшi властивостi розв’язку системи Дiрака у випадку p(x) \equiv 0.
Теорема 4. Якщо число \lambda є власним значенням граничної задачi Дiрiхле\Biggl(
0 1
- 1 0
\Biggr) \Biggl(
y\prime 1
y\prime 2
\Biggr)
+
\Biggl(
0 q(x)
q(x) 0
\Biggr) \Biggl(
y1
y2
\Biggr)
= \lambda
\Biggl(
y1
y2
\Biggr)
, x \in (0, \pi ), (16)
y1(0) = 0, y1(\pi ) = 0, (17)
де q(x) \in C [0, \pi ] , i йому вiдповiдає власна вектор-функцiя (y1(x), y2(x))
T , то ( - \lambda ) теж є
власним значенням цiєї задачi, i йому вiдповiдає власна вектор-функцiя (y1(x), - y2(x))T .
Зауваження 3. Ця теорема справедлива й при iнших граничних умовах, наприклад при
граничних умовах Неймана y2(0) = 0, y2(\pi ) = 0, при перiодичних i антиперiодичних гранич-
них умовах y(0) = \pm y(\pi ).
Легко помiтити, що з теореми єдиностi розв’язку задачi Кошi випливає
(c1 (x, - \lambda ), - c2 (x, - \lambda ))T = (c1(x, \lambda ), c2(x, \lambda ))
T ,
( - s1 (x, - \lambda ), s2 (x, - \lambda ))T = (s1(x, \lambda ), s2(x, \lambda ))
T .
Звiдси, зокрема, маємо
\Delta ( - \lambda ) = c1 (\pi , - \lambda ) + s2 (\pi , - \lambda ) = c1(\pi , \lambda ) + s2(\pi , \lambda ) = \Delta (\lambda ).
Зауваження 4. Позначимо через \xi n, n \in \BbbZ , всi власнi значення граничної задачi Дiрiхле
(16), (17). Оскiльки вони розташованi симетрично вiдносно нуля, ми можемо нумерувати їх
таким чином: \xi - n = - \xi n, n > 0. Крiм того, \xi = 0 завжди є власним значенням i йому
вiдповiдає власна вектор-функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1548 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА\left( 0, \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
x\int
0
q(t)dt
\right\}
\right) T
,
а також виконується рiвнiсть
\sigma - n = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \{ s2 (\pi , \xi - n) - c1 (\pi , \xi - n)\} = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \{ s2 (\pi , - \xi n) - c1 (\pi , - \xi n)\} =
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \{ s2(\pi , \xi n) - c1(\pi , \xi n)\} = \sigma n.
Зауваження 5. Розглянемо рiвняння (16) з граничною умовою Неймана y2(0) = 0, y2(\pi ) =
= 0. Позначимо через \eta n, n \in \BbbZ , всi власнi значення цiєї задачi. Оскiльки вони розташованi
симетрично вiдносно нуля, ми можемо їх нумерувати таким чином: \eta - n = - \eta n, n > 0. Крiм
того, \eta 0 = 0 завжди є власним значенням i йому вiдповiдає власна вектор-функцiя\left( \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
x\int
0
q(t)dt
\right\} , 0
\right) T
.
Теорема 5. Якщо в рiвняннi (16) коефiцiєнт q(x) \in C1[0, \pi ] є дiйсною неперервно диферен-
цiйовною функцiєю, то компоненти розв’язку (y1(x), y2(x))
T задовольняють рiвняння
- y\prime \prime 1 +
\bigl[
q2(x) + q\prime (x)
\bigr]
y1 = \lambda 2y1, - y\prime \prime 2 +
\bigl[
q2(x) - q\prime (x)
\bigr]
y2 = \lambda 2y2.
Наслiдок 1. Якщо (yn,1(x), yn,2(x))
T є власною вектор-функцiєю граничної задачi (16),
(17), що вiдповiдає власному значенню \xi n, \xi n \not = 0, то yn,1(x) є власною функцiєю крайової
задачi
- y\prime \prime n,1 +
\bigl[
q2(x) + q\prime (x)
\bigr]
yn,1 = \xi 2nyn,1, yn,1(0) = 0, yn,1(\pi ) = 0.
Наслiдок 2. Якщо (yn,1(x), yn,2(x))
T є власною вектор-функцiєю граничної задачi Нейма-
на для рiвняння (16), що вiдповiдає власному значенню \eta n, \eta n \not = 0, то yn,2(x) є власною
функцiєю крайової задачi
- y\prime \prime n,2 +
\bigl[
q2(x) - q\prime (x)
\bigr]
yn,2 = \eta 2nyn,2, yn,2(0) = 0, yn,2(\pi ) = 0.
Наслiдок 3. Якщо
\int \pi
0
q(x)dx = 0, то \lambda = 0 є двократним власним значенням перiодичної
граничної задачi (y(0) = y(\pi )) для рiвняння (16), i навпаки, якщо число \lambda = 0 є двократним
власним значенням перiодичної граничної задачi, то
\int \pi
0
q(x)dx = 0.
Зауваження 6. Число \lambda = 0 не є власним значенням антиперiодичної граничної задачi
(y(0) = - y(\pi )) для рiвняння (16).
Наслiдок 4. Якщо (yn,1(x), yn,2(x))
T є власною вектор-функцiєю перiодичної задачi для
рiвняння (16), що вiдповiдає власному значенню \nu n \not = 0, то yn,1(x) i yn,2(x) є власними
функцiями крайових задач
- y\prime \prime n,1 +
\bigl[
q2(x) + q\prime (x)
\bigr]
yn,1 = \nu 2nyn,1, yn,1(0) = yn,1(\pi ), y\prime n,1(0) = y\prime n,1(\pi ),
- y\prime \prime n,2 +
\bigl[
q2(x) - q\prime (x)
\bigr]
yn,2 = \nu 2nyn,2, yn,2(0) = yn,2(\pi ), y\prime n,2(0) = y\prime n,2(\pi ).
Для антиперiодичної крайової задачi для рiвняння (16) також справедливим є такий на-
слiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1549
3. Еволюцiя спектральних параметрiв. Розглянемо задачу Кошi для рiвняння мКдФ
qt = 6q2qx - qxxx, x \in \BbbR , t > 0, (18)
з початковою умовою
q(x, t)| t=0 = q0(x), q0(x+ \pi ) = q0(x) \in C5(\BbbR ) (19)
у класi дiйсних нескiнченнозонних \pi -перiодичних по x функцiй:
q(x+ \pi , t) = q(x, t) \in C3
x(t > 0) \cap C1
t (t > 0) \cap C(t \geq 0). (20)
Основним результатом цiєї роботи є така теорема.
Теорема 6. Нехай q(x, t) — розв’язок задачi (18) – (20). Тодi межi спектра \lambda n(\tau , t), n \in \BbbZ ,
оператора Дiрака
L(\tau , t)y \equiv By\prime +\Omega (x+ \tau , t)y = \lambda y, x \in \BbbR , t > 0, (21)
де
B =
\Biggl(
0 1
- 1 0
\Biggr)
, \Omega (x, t) =
\Biggl(
0 q(x, t)
q(x, t) 0
\Biggr)
, y =
\Biggl(
y1
y2
\Biggr)
,
не залежать вiд параметрiв \tau i t, тобто \lambda n(\tau , t) = \lambda n, n \in \BbbZ , а спектральнi параметри
\xi n(\tau , t), \sigma n(\tau , t), n \in \BbbZ , задовольняють аналог системи рiвнянь Дубровiна
\partial \xi n
\partial t
= 2( - 1)n\sigma n(\tau , t)hn(\xi )
\bigl\{
- 2\xi n
\bigl[
q2(\tau , t) + q\tau (\tau , t)
\bigr]
- 4\xi 3n
\bigr\}
, n \in \BbbZ . (22)
Тут знак \sigma n(\tau , t) змiнюється на протилежний при кожному зiткненнi точки \xi n(\tau , t), n \in \BbbZ ,
з межами своєї лакуни [\lambda 2n - 1, \lambda 2n] . Крiм того, виконуються початковi умови
\xi n(\tau , t)| t=0 = \xi 0n(\tau ), \sigma n(\tau , t)| t=0 = \sigma 0n(\tau ), n \in \BbbZ , (23)
де \xi 0n(\tau ), \sigma
0
n(\tau ), n \in \BbbZ , — спектральнi параметри оператора Дiрака L(\tau , 0) з коефiцiєнтом
q0(x+ \tau ).
4. Доведення. Доведення теореми 6. Позначимо через \xi n = \xi n(\tau , t), n \in \BbbZ , власнi
значення задачi Дiрiхле
y1(0, \tau , t) = 0, y1(\pi , \tau , t) = 0 (24)
для рiвняння (21). Нехай yn(x, \tau , t) =
\bigl(
yn,1(x, \tau , t), yn,2(x, \tau , t)
\bigr) T
, n \in \BbbZ , — ортонормованi
власнi вектор-функцiї задачi Дiрiхле (21), (24), що вiдповiдають власним значенням \xi n =
= \xi n(\tau , t), n \in \BbbZ .
Диференцiюючи по t рiвняння
\xi n(\tau , t) =
\bigl(
L(\tau , t)yn, yn
\bigr)
, n \in \BbbZ ,
i використовуючи симетричнiсть оператора L(\tau , t), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1550 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
\partial \xi n
\partial t
=
\Bigl(
\.\Omega (x+ \tau , t)yn, yn
\Bigr)
, n \in \BbbZ . (25)
Використовуючи явний вигляд скалярного добутку
(y, z) =
\pi \int
0
\Bigl[
y1(x)z1(x) + y2(x)z2(x)
\Bigr]
dx, y =
\Biggl(
y1(x)
y2(x)
\Biggr)
, z =
\Biggl(
z1(x)
z2(x)
\Biggr)
,
рiвнiсть (25) записуємо у виглядi
\partial \xi n
\partial t
= 2
\pi \int
0
yn,1(x, \tau , t)yn,2(x, \tau , t)qt(x+ \tau , t)dx. (26)
Пiдставляючи рiвняння (18) у (26), знаходимо
\partial \xi n
\partial t
= J1 + J2, (27)
де
J1 = 4
\pi \int
0
yn,1yn,2d
\bigl(
q3(x+ \tau , t)
\bigr)
, J2 = - 2
\pi \int
0
yn,1yn,2d (qxx(x+ \tau , t)) .
З рiвняння (21) випливають рiвностi
y\prime n,1 + \xi nyn,2 = q(x+ \tau , t)yn,1,
- y\prime n,2 + \xi nyn,1 = q(x+ \tau , t)yn,2.
Використовуючи цi тотожностi та iнтегруючи частинами iнтеграл J1, маємо
J1 = - 2\xi nq
2(\tau , t)
\bigl[
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t)
\bigr]
+ 2\xi n
\pi \int
0
\bigl[
y2n,1 + y2n,2
\bigr]
d
\bigl(
q2(x+ \tau , t)
\bigr)
. (28)
Тепер обчислюємо iнтеграл J2 :
J2 =
\bigl[
- 2\xi nq\tau (\tau , t) - 4\xi 3n
\bigr] \bigl[
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t)
\bigr]
- 2\xi n
\pi \int
0
\bigl[
y2n,1 + y2n,2
\bigr]
d
\bigl(
q2(x+ \tau , t)
\bigr)
.
(29)
З (27) – (29) отримуємо
\partial \xi n
\partial t
=
\bigl[
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t)
\bigr] \bigl[
- 2\xi n
\bigl(
q2(\tau , t) + q\tau (\tau , t)
\bigr)
- 4\xi 3n
\bigr]
. (30)
Позначимо через c(x, \lambda , \tau , t) =
\bigl(
c1(x, \lambda , \tau , t), c2(x, \lambda , \tau , t)
\bigr) T
i s(x, \lambda , \tau , t) =
\bigl(
s1(x, \lambda , \tau , t),
s2(x, \lambda , \tau , t)
\bigr) T
розв’язки рiвняння (21) з початковими умовами c(0, \lambda , \tau , t) = (1, 0)T i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1551
s(0, \lambda , \tau , t) = (0, 1)T . Функцiя \Delta (\lambda ) = c1(\pi , \lambda , \tau , t) + s2(\pi , \lambda , \tau , t) називається функцiєю Ляпу-
нова для рiвняння (21).
Iз рiвностi
\pi \int
0
\bigl[
s21 (x, \lambda , \tau , t) + s22 (x, \lambda , \tau , t)
\bigr]
dx = s1 (\pi , \lambda , \tau , t)
\partial s2 (\pi , \lambda , \tau , t)
\partial \lambda
- s2 (\pi , \lambda , \tau , t)
\partial s1 (\pi , \lambda , \tau , t)
\partial \lambda
отримуємо зображення для норми власної вектор-функцiї s(x, \xi n, \tau , t), що вiдповiдає власному
значенню \xi n = \xi n(\tau , t), n \in \BbbZ , задачi Дiрiхле (21), (24):
c2n(\tau , t) =
\pi \int
0
\bigl[
s21 (x, \xi n, \tau , t) + s22 (x, \xi n, \tau , t)
\bigr]
dx = - s2 (\pi , \xi n, \tau , t)
\partial s1 (\pi , \xi n, \tau , t)
\partial \lambda
. (31)
Використовуючи рiвностi
yn(x, \tau , t) =
1
cn(\tau , t)
s (x, \xi n, \tau , t)
i (31), маємо
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t) =
s22 (\pi , \xi n, \tau , t) - 1
c2n(\tau , t)
= - s2 (\pi , \xi n, \tau , t) - s - 1
2 (\pi , \xi n, \tau , t)
\partial s1 (\pi , \xi n, \tau , t) /\partial \lambda
. (32)
Пiдставляючи значення x = \pi i \lambda = \xi n(\tau , t) у тотожнiсть
c1 (x, \lambda , \tau , t) s2 (x, \lambda , \tau , t) - c2 (x, \lambda , \tau , t) s1 (x, \lambda , \tau , t) = 1,
знаходимо
c1 (\pi , \xi n, \tau , t) =
1
s2 (\pi , \xi n, \tau , t)
. (33)
Враховуючи рiвнiсть (33) i тотожнiсть
[c1 (\pi , \lambda , \tau , t) - s2 (\pi , \lambda , \tau , t)]
2 =
\bigl(
\Delta 2(\lambda ) - 4
\bigr)
- 4c2 (\pi , \lambda , \tau , t) s1 (\pi , \lambda , \tau , t),
одержуємо
s2 (\pi , \xi n, \tau , t) -
1
s2 (\pi , \xi n, \tau , t)
= \sigma n(\tau , t)
\sqrt{}
\Delta 2 (\xi n) - 4,
де
\sigma n(\tau , t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl\{
s2 (\pi , \xi n, \tau , t) - c1 (\pi , \xi n, \tau , t)
\bigr\}
.
Тому рiвнiсть (32) набере вигляду
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t) = -
\sigma n(\tau , t)
\sqrt{}
\Delta 2 (\xi n) - 4
\partial s1 (\pi , \xi n, \tau , t) /\partial \lambda
. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1552 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
Використовуючи розклади
\Delta 2(\lambda ) - 4 = - 4\pi 2
\infty \prod
k= - \infty
(\lambda - \lambda 2k - 1) (\lambda - \lambda 2k)
a2k
,
s1 (\pi , \lambda , \tau , t) = \pi
\infty \prod
k= - \infty
\xi k(\tau , t) - \lambda
ak
,
де a0 = 1 i ak = k при k \not = 0, рiвнiсть (34) можемо записати у виглядi
y2n,2(\pi , \tau , t) - y2n,2(0, \tau , t) = 2( - 1)n\sigma n(\tau , t)hn(\xi ). (35)
Пiдставляючи вираз (35) у тотожнiсть (30), отримуємо систему (22).
Якщо замiнити граничнi умови Дiрiхле перiодичними (y(0, \tau , t) = y(\pi , \tau , t)) або антиперiо-
дичними (y(0, \tau , t) = - y(\pi , \tau , t)) граничними умовами, то замiсть рiвняння (30) будемо мати
\partial \lambda n(\tau , t)
\partial t
= 0, n \in \BbbZ .
Таким чином, \lambda n(\tau , t) = \lambda n (\tau , 0), n \in \BbbZ . Тепер у рiвняннi (21) покладемо t = 0. Оскiльки
власнi значення \lambda n(\tau ) = \lambda n(\tau , 0), n \in \BbbZ , перiодичної або антиперiодичної задачi для рiвняння
L(\tau , 0)y = \lambda y не залежать вiд параметра \tau , маємо \lambda n(\tau , t) = \lambda n(\tau , 0) = \lambda n, n \in \BbbZ .
Теорему доведено.
Зауваження 7. Використовуючи формули слiдiв
q2(\tau , t) + q\tau (\tau , t) =
\infty \sum
k= - \infty
\Biggl(
\lambda 22k - 1 + \lambda 22k
2
- \xi 2k(\tau , t)
\Biggr)
, (36)
q(\tau , t) =
\infty \sum
k= - \infty
( - 1)k - 1\sigma k(\tau , t)hk(\xi (\tau , t)), (37)
систему диференцiальних рiвнянь (22) можна записати в замкненiй формi
\partial \xi n(\tau , t)
\partial t
= 2( - 1)n\sigma n(\tau , t)hn(\xi (\tau , t))\times
\times
\Biggl\{
- \xi n(\tau , t)
\infty \sum
k= - \infty
\bigl(
\lambda 22k - 1 + \lambda 22k - 2\xi 2k(\tau , t)
\bigr)
- 4\xi 3n(\tau , t)
\Biggr\}
. (38)
Зауваження 8. Покажемо, що нескiнченна система рiвнянь Дубровiна (22), (23) має єдиний
розв’язок при будь-яких початкових даних.
Розглянемо систему Дубровiна у виглядi
\partial \xi n(\tau , t)
\partial t
= 2( - 1)n\sigma n(\tau , t)
\sqrt{}
(\xi n(\tau , t) - \lambda 2n - 1)(\lambda 2n - \xi n(\tau , t))gn(\xi (\tau , t))fn(\xi (\tau , t)), n \in \BbbZ ,
(39)
з початковими умовами
\xi n(t)| t=0 = \xi 0n(\tau ), \sigma n(t)| t=0 = \sigma 0n(\tau ), n \in \BbbZ , (40)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1553
де \{ \lambda n, \xi 0n(\tau ), \sigma 0n(\tau )\} — спектральнi данi оператора Дiрака з коефiцiєнтами q0(x+ \tau ), x, \tau \in \BbbR ,
gn(\xi (\tau , t)) = - \xi n(\tau , t)
\infty \sum
k= - \infty
\bigl(
\lambda 22k - 1 + \lambda 22k - 2\xi 2k(\tau , t)
\bigr)
- 4\xi 3n(\tau , t),
fn(\xi (\tau , t)) =
\sqrt{} \infty \prod
k= - \infty , k \not =n
(\lambda 2k - 1 - \xi n(\tau , t))(\lambda 2k - \xi n(\tau , t))
(\xi n(\tau , t) - \xi k(\tau , t))2
.
З метою подальшого дослiдження системи рiвнянь Дубровiна (39), (40) виконаємо замiну
змiнних
\xi n(\tau , t) = \lambda 2n - 1 + (\lambda 2n - \lambda 2n - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 xn(\tau , t), n \in \BbbZ .
Тодi вона набере вигляду
dxn(\tau , t)
dt
= Hn(. . . , x - 1(\tau , t), x0(\tau , t), x1(\tau , t), . . . , ), n \in \BbbZ , (41)
xn(\tau , t)| t=0 = x0n(\tau ) = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\sqrt{}
\xi 0n(\tau ) - \lambda 2n - 1
\lambda 2n - \lambda 2n - 1
, n \in \BbbZ , (42)
де
Hn(x(\tau , t)) =
= ( - 1)n\sigma n(0)gn(. . . , \xi - 1(\tau , t), \xi 0(\tau , t), \xi 1(\tau , t), . . .)fn(. . . , \xi - 1(\tau , t), \xi 0(\tau , t), \xi 1(\tau , t), . . .),
\sigma n(\tau , t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}xn(\tau , t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}xn(\tau , t)\} = \sigma 0n(\tau ).
Для вивчення задачi Кошi (41), (42) введемо банаховий простiр
\bfK =
\Biggl\{
x = (. . . , x - 1, x0, x1, . . .) : \| x\| =
\infty \sum
n= - \infty
(1 + | n| )(\lambda 2n - \lambda 2n - 1)| xn| <\infty
\Biggr\}
.
Запишемо систему (41), (42) у виглядi одного рiвняння в банаховому просторi \bfK :
dx(\tau , t)
dt
= H(x(\tau , t)), x(\tau , t)| t=0 = x0(\tau ), x0(\tau ) \in \bfK . (43)
Для того щоб задача Кошi (43) у банаховому просторi \bfK мала єдиний розв’язок, достатньо
виконання умови Лiпшиця для функцiї H(x(t)), тобто\bigm\| \bigm\| H(x(\tau , t)) - H(y(\tau , t))
\bigm\| \bigm\| \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| x(\tau , t) - y(\tau , t)
\bigm\| \bigm\| \forall x(\tau , t), y(\tau , t) \in \bfK .
З умови q0(x) \in C5(\BbbR ), q0(x+ \pi ) = q0(x) i асимптотики (див. [45, с. 98]) власних значень
перiодичної й антиперiодичної задач для системи рiвнянь Дiрака отримаємо такi оцiнки:
\lambda 2k, \lambda 2k - 1 = k +
6\sum
j=1
cjk
- j \pm 2 - 5| k| - 5| q52k| + | k| - 6\varepsilon \pm k , (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1554 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
\gamma k \equiv \lambda 2k - \lambda 2k - 1 =
1
24
| q52k|
| k| 5
+
\delta k
| k| 6
, \delta k = \varepsilon +k - \varepsilon - k , (45)
q52k \equiv - 1
\pi
\pi \int
0
q
(5)
0 (t)e - 2iktdt,
\infty \sum
k= - \infty
(\varepsilon \pm k )
2 <\infty ,
\infty \sum
k= - \infty
\delta 2k <\infty . (46)
Звiдси, враховуючи, що \xi n \in [\lambda 2n - 1, \lambda 2n], одержуємо \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}k \not =n | \xi n - \xi k| \geq a > 0. Тепер, викори-
ставши цю нерiвнiсть i (44), оцiнимо функцiї | fn(\xi )| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| i | gn(\xi )| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial gn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Лема 1. Справедливi такi оцiнки:
c1 \leq | fn(\xi )| \leq c2,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c3,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c4, (47)
| gn(\xi )| \leq c5| n| 3,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial gn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c6| m| | n| ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial gn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c7| n| 2, (48)
де cj > 0, j = 1, 7, i не залежать вiд n i m.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть
f2n =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
(\lambda 2k - 1 - \xi n)(\lambda 2k - \xi n)
(\xi k - \xi n)2
=
=
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\biggl(
1 +
\lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\biggr) \biggl(
1 +
\lambda 2k - \xi k
\xi k - \xi n
\biggr)
i оцiнимо її зверху:
f2n =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + \lambda 2k - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\biggl(
1 +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) \biggl( 1 + \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) \leq
\leq
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\biggl(
1 +
\lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
\biggr) 2
\leq
\infty \prod
k= - \infty
\biggl(
1 +
\lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
\biggr) 2
\equiv C2
2 ,
де стала C2 > 0 не залежить вiд n.
Тепер оцiнимо
\bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm| знизу. Для цього введемо множину iндексiв
M =
\biggl\{
k \in \BbbZ :
\lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
\geq 1
\biggr\}
.
Ця множина має скiнченне число елементiв. Розглянемо нескiнченнi добутки
An =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
, Bn =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\lambda 2k - \xi n
\xi k - \xi n
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1555
Зрозумiло, що f2n = AnBn. Запишемо An у виглядi An = An,1An,2An,3, де
An,1 =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
k/\in M
\lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
, An,2 =
n - 1\prod
k= - \infty , k\in M
\lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
,
An,3 =
\infty \prod
k=n+1, k\in M
\lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
.
Якщо k \not = n i k /\in M, то маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
< 1,
-
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq - \lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
> - 1,
1 -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq 1 - \lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
> 0.
Звiдси отримуємо
| An,1| =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
k/\in M
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \infty \prod
k= - \infty , k \not =n
k/\in M
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq
\geq
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
k/\in M
\biggl(
1 -
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi k
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) \geq
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
k/\in M
\biggl(
1 - \lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
\biggr)
>
>
\infty \prod
k= - \infty , k /\in M
\biggl(
1 - \lambda 2k - \lambda 2k - 1
a
\biggr)
= C \prime
1.
Якщо k \leq n - 1 i k \in M, то
| An,2| =
n - 1\prod
k= - \infty , k\in M
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = n - 1\prod
k= - \infty , k\in M
\xi n - \lambda 2k - 1
\xi n - \xi k
=
=
n - 1\prod
k= - \infty , k\in M
\biggl(
1 +
\xi k - \lambda 2k - 1
\xi n - \xi k
\biggr)
> 1.
Тепер розглянемо випадок k \geq n + 1 i k \in M. Введемо позначення \Delta = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}k\in \BbbZ (\lambda 2k -
- \lambda 2k - 1) i розглянемо два випадки.
Випадок 1. Нехай k \geq n+ 1, k \in M, | \xi k - \xi n| \leq 2\Delta . Тодi
\infty \prod
k=n+1, k\in M\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \infty \prod
k=n+1, k\in M\ast
\lambda 2k - 1 - \lambda \prime 2k - 1
2\Delta
\geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1556 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
\geq
\infty \prod
k= - \infty , k\in M
\lambda 2k - 1 - \lambda \prime 2k - 1
2\Delta
.
Тут M\ast =
\bigl\{
k \in M : | \xi k - \xi n| < 2\Delta
\bigr\}
, число \lambda \prime 2k - 1 вибрано з умов
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\lambda 2k - 2, \lambda 2k - 1 - 2\Delta
\bigr\}
< \lambda \prime 2k - 1 < \lambda 2k - 1.
Випадок 2. Нехай k \geq n+ 1, k \in M, | \xi k - \xi n| > 2\Delta . Тодi, оскiльки
\xi k - \lambda 2k - 1
\xi k - \xi n
<
\xi k - \lambda 2k - 1
2\Delta
<
\lambda 2k - \lambda 2k - 1
2\Delta
<
1
2
,
- \xi k - \lambda 2k - 1
\xi k - \xi n
> - 1
2
, 1 - \xi k - \lambda 2k - 1
\xi k - \xi n
>
1
2
,
\lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
>
1
2
,
отримуємо оцiнку
\infty \prod
k=n+1, k\in M\ast \ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \infty \prod
k=n+1, k\in M\ast \ast
1
2
>
\infty \prod
k= - \infty , k\in M
1
2
,
де M\ast \ast =
\bigl\{
k \in M : | \xi k - \xi n| > 2\Delta
\bigr\}
.
Отже,
| An,3| =
\infty \prod
k=n+1, k\in M
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2k - 1 - \xi n
\xi k - \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > \infty \prod
k= - \infty , k\in M
\lambda 2k - 1 - \lambda \prime 2k - 1
4\Delta
= C \prime \prime
1 .
Використовуючи отриманi нерiвностi, виводимо оцiнку
| An| = | An,1| | An,2| | An,3| > C \prime
1C
\prime \prime
1 = C1,1.
Аналогiчним чином одержуємо оцiнку
| Bn| > C1,2.
Перемножаючи цi оцiнки i добуваючи квадратний корiнь, отримуємо нерiвнiсть C1 \leq
\bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm| ,
де C1 =
\sqrt{}
C1,1C1,2 > 0.
Тепер доведемо другу нерiвнiсть iз (47).
Якщо m \not = n, то
f2n =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
(\lambda 2k - 1 - \xi n)(\lambda 2k - \xi n)
(\xi k - \xi n)2
,
2fn
\partial fn
\partial \xi m
=
\partial f2n
\partial \xi m
= - 2
(\lambda 2m - 1 - \xi n)(\lambda 2m - \xi n)
(\xi m - \xi n)3
\times
\times
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n,m
(\lambda 2k - 1 - \xi n)(\lambda 2k - \xi n)
(\xi k - \xi n)2
=
2f2n
\xi n - \xi m
,
тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1557
\partial fn
\partial \xi m
=
fn
\xi n - \xi m
.
Звiдси у випадку m \not = n одержуємо оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm|
| \xi n - \xi m|
\leq C2
a
.
Тепер оцiнимо функцiю
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . Для цього використаємо рiвнiсть f2n = AnBn, де
An =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\xi n - \lambda 2k - 1
\xi n - \xi k
, Bn =
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\xi n - \lambda 2k
\xi n - \xi k
.
Диференцiюючи тотожнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n}An = \mathrm{l}\mathrm{n}
\infty \prod
k= - \infty , k \not =n
\biggl(
1 +
\xi k - \lambda 2k - 1
\xi n - \xi k
\biggr)
=
\infty \sum
k= - \infty , k \not =n
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 +
\xi k - \lambda 2k - 1
\xi n - \xi k
\biggr)
,
отримуємо рiвнiсть
\partial An
\partial \xi n
= An
\infty \sum
k= - \infty , k \not =n
\lambda 2k - 1 - \xi k
(\xi n - \lambda 2k - 1)(\xi n - \xi k)
.
Iз цiєї рiвностi, враховуючи нерiвнiсть | An| \leq C2, виводимо оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial An
\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | An|
\infty \sum
k= - \infty , k \not =n
| \lambda 2k - 1 - \xi k|
| \xi n - \lambda 2k - 1| | \xi n - \xi k|
\leq
\leq C2
\infty \sum
k= - \infty , k \not =n
\lambda 2k - \lambda 2k - 1
a2
\leq \~C1.
Аналогiчним чином, використовуючи нерiвнiсть | Bn| \leq C2, одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial Bn
\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \~C1.
Iз отриманих нерiвностей випливає оцiнка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial f2n\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial An
\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | Bn| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial Bn
\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | An| \leq \~C2.
Звiдси маємо \bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \~C3.
Використовуючи оцiнку C1 \leq
\bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm| , виводимо нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1558 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
C1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| fn(\xi )\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \~C3,
тобто \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \~C3
C1
.
Аналогiчним чином можна довести оцiнки (48).
Використовуючи лему 1, оцiнюємо похiдну функцiї Fn(\xi ) = gn(\xi )fn(\xi ):\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial Fn(\xi )
\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial gn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | fn(\xi )| + \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fn(\xi )\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | gn(\xi )| \leq c8(| m| + 1)| n| 3,
де стала c8 не залежить вiд n i m.
Лема 2. Якщо q0(x + \pi ) = q0(x) \in C5(\BbbR ), то вектор-функцiя H(x(\tau , t)) задовольняє
умову Лiпшиця в банаховому просторi \bfK , тобто iснує стала L = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0 така, що для
довiльних елементiв x, y \in \bfK виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| H(x(\tau , t)) - H(y(\tau , t))
\bigm\| \bigm\| \leq L
\bigm\| \bigm\| x(\tau , t) - y(\tau , t)
\bigm\| \bigm\| .
Доведення. Використовуючи вираз Hn(x(\tau , t)) = ( - 1)n\sigma 0n(\tau )Fn(\xi (\tau , t)), отримуємо рiв-
нiсть
\bigm| \bigm| Hn(x(\tau , t)) - Hn(y(\tau , t))
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| Fn(\xi (\tau , t)) - Fn(\eta (\tau , t))
\bigm| \bigm| . Тепер застосуємо теорему Ла-
гранжа про скiнченний прирiст до функцiї \varphi (t) = Fn(\xi + t(\eta - \xi )) на вiдрiзку t \in [0, 1]. Тодi
одержимо рiвнiсть \varphi (1) - \varphi (0) = \varphi \prime (t\ast ), тобто
Fn(\xi (\tau , t)) - Fn(\eta (\tau , t)) =
\infty \sum
m= - \infty
\partial Fn(\theta )
\partial \xi m
(\xi m(\tau , t) - \eta m(\tau , t)),
де \theta = \xi + t\ast (\eta - \xi ). Звiдси випливає, що\bigm| \bigm| Hn(x(\tau , t)) - Hn(y(\tau , t))
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| Fn(\xi (\tau , t)) - Fn(\eta (\tau , t))
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
m= - \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial Fn(\theta )
\partial \xi m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | \xi m(\tau , t) - \eta m(\tau , t)| \leq
\leq
\infty \sum
m= - \infty
c8(| m| + 1)| n| 3| \lambda 2m - \lambda 2m - 1|
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 xm(\tau , t) - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 ym(\tau , t)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c8| n| 3
\infty \sum
m= - \infty
(| m| + 1)| \lambda 2m - \lambda 2m - 1|
\bigm| \bigm| xm(\tau , t) - ym(\tau , t)
\bigm| \bigm| =
= c8| n| 3
\infty \sum
m= - \infty
(| m| + 1)\gamma m
\bigm| \bigm| xm(\tau , t) - ym(\tau , t)
\bigm| \bigm| = c8| n| 3
\bigm\| \bigm\| x(\tau , t) - y(\tau , t)
\bigm\| \bigm\| .
Тут використано рiвностi
\xi k(\tau , t) = \lambda 2k - 1 + (\lambda 2k - \lambda 2k - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 xk(\tau , t), \eta k(\tau , t) = \lambda 2k - 1 + (\lambda 2k - \lambda 2k - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 yk(\tau , t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1559
Тепер оцiнимо норму
\bigm\| \bigm\| H(x(\tau , t)) - H(y(\tau , t))
\bigm\| \bigm\| :
\bigm\| \bigm\| H(x(\tau , t)) - H(y(\tau , t))
\bigm\| \bigm\| =
\infty \sum
k= - \infty
(| k| + 1)(\lambda 2k - \lambda 2k - 1)
\bigm| \bigm| Hk(x(\tau , t)) - Hk(y(\tau , t))
\bigm| \bigm| \leq
\leq c6
\infty \sum
k= - \infty
(| k| + 1)| k| 3(\lambda 2k - \lambda 2k - 1)
\bigm\| \bigm\| x(\tau , t) - y(\tau , t)
\bigm\| \bigm\| = L
\bigm\| \bigm\| x(\tau , t) - y(\tau , t)
\bigm\| \bigm\| ,
де
L = c6
\infty \sum
k= - \infty
(| k| + 1)| k| 3\gamma k <\infty ,
тобто умова Лiпшиця виконується. Тому розв’язок задачi Кошi (22), (23) для всiх t > 0 i \tau \in \BbbR
iснує й єдиний.
Наслiдок 5. Теорема 6 визначає метод розв’язання задачi (18) – (20). Для цього спочат-
ку знайдемо спектральнi данi \lambda n, \xi 0n(\tau ), \sigma
0
n(\tau ), n \in \BbbZ , оператора L(\tau , 0), що вiдповiдають
коефiцiєнту q0(x + \tau ). Позначимо спектральнi данi оператора L(\tau , t) через \lambda n, \xi n(\tau , t),
\sigma n(\tau , t) = \pm 1, n \in \BbbZ . Тепер, розв’язуючи задачу Кошi (38), (23) при довiльному значеннi \tau ,
знаходимо \xi n(\tau , t), \sigma n(\tau , t), n \in \BbbZ . Iз формул слiдiв (37) одержуємо q(\tau , t), тобто розв’язок
задачi (18) – (20). Отже, з (5), (6) отримуємо u(x, t), тобто розв’язок задачi (1) – (3).
До цього ми припускали, що задача Кошi (18) – (20) має розв’язок. Цього припущення
неважко позбутися, безпосередньо переконавшись, що отримана таким чином функцiя q(\tau , t)
задовольняє рiвняння (18).
Зауваження 9. Покажемо, що функцiя q(\tau , t), побудована за допомогою системи рiвнянь
Дубровiна (22) i формули слiдiв (37), задовольняє рiвняння мКдФ вигляду (18). При цьому ми
також будемо використовувати систему рiвнянь Дубровiна вигляду
\partial \xi n(\tau , t)
\partial \tau
= ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)2\xi nhn (\xi (\tau , t)) (49)
i формулу слiдiв (36), а також
\infty \sum
k= - \infty
\biggl(
\lambda 2k - 1 + \lambda 2k
2
- \xi k(\tau , t)
\biggr)
= p(\tau , t) = 0. (50)
Диференцiюючи формулу слiдiв (37) по t, маємо
qt(\tau , t) =
\infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\Biggl( \infty \sum
m= - \infty
\partial hn(\xi )
\partial \xi m
\partial \xi m
\partial t
\Biggr)
. (51)
Iз рiвностей (22) i (49) знаходимо
\partial \xi n(\tau , t)
\partial t
= 2
\bigl[
q2(\tau , t) + q\tau (\tau , t)
\bigr] \partial \xi n(\tau , t)
\partial \tau
+ 4\xi 2n(\tau , t)
\partial \xi n(\tau , t)
\partial \tau
.
Пiдставляючи цей вираз у рiвнiсть (51), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1560 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
qt(\tau , t) = 2
\bigl[
q2(\tau , t) + q\tau (\tau , t)
\bigr] \infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\infty \sum
m= - \infty
\partial hn(\xi )
\partial \xi m(\tau , t)
\partial \xi m
\partial \tau
+
+4
\infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\Biggl( \infty \sum
m= - \infty
\partial hn(\xi )
\partial \xi m
\xi 2m(\tau , t)
\partial \xi m(\tau , t)
\partial \tau
\Biggr)
. (52)
Враховуючи рiвнiсть
q\tau (\tau , t) =
\infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\partial hn(\xi )
\partial \tau
,
отриману диференцiюванням формули слiдiв (37) по \tau , рiвнiсть (52) записуємо у виглядi
qt = 2q2(\tau , t)q\tau (\tau , t) + 2q2\tau (\tau , t) +
+ 4
\infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\Biggl( \infty \sum
m= - \infty
\partial hn
\partial \xi m
\xi 2m
\partial \xi m
\partial \tau
\Biggr)
. (53)
Тепер, диференцiюючи по \tau формулу слiдiв (36), маємо
2qq\tau + q\tau \tau = - 2
\infty \sum
n= - \infty
\xi n
\partial \xi n
\partial \tau
.
Якщо пiдставити в останню рiвнiсть вираз (49), то вона набере вигляду
2qq\tau + q\tau \tau = - 4
\infty \sum
n= - \infty
( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)\xi
2
nhn(\xi ).
Диференцiюючи ще раз по \tau одержану тотожнiсть, отримуємо
2q2\tau + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau = - 4
\infty \sum
n= - \infty
\Biggl\{
4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)\xi
2
n
\Biggl( \infty \sum
m= - \infty
\partial hn(\xi )
\partial \xi m
\partial \xi m
\partial \tau
\Biggr) \Biggr\}
. (54)
Додаючи рiвностi (53) i (54), знаходимо
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau =
= 2q2q\tau + 4
\infty \sum
n= - \infty
\left\{ - 4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\left( \infty \sum
m= - \infty ,m \not =n
\partial hn(\xi )
\partial \xi m
(\xi 2m - \xi 2n)
\partial \xi m
\partial \tau
\right) \right\} .
(55)
Пiдставляючи вираз
\partial hn(\xi )
\partial \xi m
=
hn(\xi )
\xi n - \xi m
, m \not = n,
у рiвнiсть (55), виводимо
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1561
= 2q2q\tau + 4
\infty \sum
n= - \infty
\left\{ - 4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\left( \infty \sum
m= - \infty ,m \not =n
hn(\xi )
\xi n - \xi m
(\xi 2m - \xi 2n)
\partial \xi m
\partial \tau
\right) \right\} ,
тобто
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau =
= 2q2q\tau - 4
\infty \sum
n= - \infty
\left\{ 4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)
\left( \infty \sum
m= - \infty ,m \not =n
hn(\xi )(\xi n + \xi m)
\partial \xi m
\partial \tau
\right) \right\} .
Запишемо останню рiвнiсть у виглядi
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau = 2q2q\tau -
- 4
\infty \sum
n= - \infty
\left\{ 4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)hn(\xi )
\left( \infty \sum
m= - \infty
\xi m
\partial \xi m
\partial \tau
- \xi n
\partial \xi n
\partial \tau
+ \xi n
\infty \sum
m= - \infty ,m \not =n
\partial \xi m
\partial \tau
\right) \right\} .
(56)
Використовуючи формули слiдiв (36) i (50), виводимо тотожностi
- 2
\infty \sum
n= - \infty
\xi n
\partial \xi n
\partial \tau
= 2qq\tau + q\tau \tau , (57)
\infty \sum
m= - \infty ,m \not =n
\partial \xi m
\partial \tau
= - \partial \xi n
\partial \tau
. (58)
Якщо враховувати формули (57) i (58), то рiвнiсть (56) набере вигляду
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau =
= 2q2q\tau - 4
\infty \sum
n= - \infty
\biggl\{
4\xi 2nh
2
n(\xi ) + ( - 1)n - 1\sigma n(\tau , t)hn(\xi )
\biggl[
- 1
2
(2qq\tau + q\tau \tau ) - 2\xi n
\partial \xi n
\partial \tau
\biggr] \biggr\}
,
тобто
qt + 2qq\tau \tau + q\tau \tau \tau = 2q2q\tau - 4
\biggl\{
- 1
2
(2qq\tau + q\tau \tau )q
\biggr\}
.
Отже, справджується тотожнiсть
qt = 6q2q\tau - q\tau \tau \tau .
Зауваження 10. Рiвномiрна збiжнiсть рядiв у наведених вище формулах випливає з (45) i
оцiнки | hk| \leq c\gamma k, k \geq 0, c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Отже, ми довели таку теорему.
Теорема 7. Якщо початкова функцiя q0(x) задовольняє умову q0(x+ \pi ) = q0(x) \in C5(\BbbR ),
то iснує єдиний розв’язок q(x, t) задачi (18), (19), який визначається сумою ряду (37) i нале-
жить до класу C3
x(t > 0)
\bigcap
C1
t (t > 0)
\bigcap
C(t \geq 0).
Ця теорема справедлива i для розв’язку u(x, t) задачi (1) – (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1562 А. Б. ХАСАНОВ, Т. Ж. АЛЛАНАЗАРОВА
Наслiдок 6. Використовуючи теореми 1 i 2, виводимо, що якщо початкова функцiя q0(x)
є дiйсною \pi -перiодичною аналiтичною функцiєю, то розв’язок q(x, t) задачi Кошi (18) – (20)
також є дiйсною аналiтичною функцiєю по x. Отже, з рiвностi (5) випливає, що розв’язок
u(x, t) задачi Кошi (1) – (3) також є дiйсною аналiтичною функцiєю по x.
Наслiдок 7. Якщо число
\pi
2
є перiодом (антиперiодом) для початкової функцiї q0(x), то
все коренi рiвняння \Delta (\lambda ) + 2 = 0 (\Delta (\lambda ) - 2 = 0) є двократними. Оскiльки функцiя Ляпунова,
що вiдповiдає коефiцiєнту q(x, t), збiгається з \Delta (\lambda ), то згiдно з теоремою 3 число
\pi
2
також є
перiодом (антиперiодом) для розв’язку q(x, t) за змiнною x. Отже, з рiвностi (5) випливає, що
число
\pi
2
також є перiодом (антиперiодом) для розв’язку u(x, t) задачi (1) – (3) за змiнною x.
Лiтература
1. C. Gardner, I. Green, M. Kruskal, R. Miura, A method for solving the Korteweg – de Vries equation, Phys. Rev. Lett.,
19, 1095 – 1098 (1967).
2. Л. Д. Фаддеев, Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 73,
314 – 336 (1964).
3. В. А. Марченко, Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения, Наук. думка, Киев (1977).
4. Б. М. Левитан, Обратные задачи Штурма – Лиувилля, Наука, Москва (1984).
5. P. D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Commun. Pure and Appl. Math., 21,
467 – 490 (1968).
6. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции волн в
нелинейных средах, Журн. эксперим. и теор. физики, 61, № 1, 118 – 134 (1971).
7. M. Wadati, The exact solution of the modified Korteweg – de Vries equation, J. Phys. Soc. Jаpаn, 32, № 6, 44 – 47
(1972).
8. В. Е. Захаров, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Полное описание решений „sin-Gordon” уравнения, Докл. АН
СССР, 219, № 6, 1334 – 1337 (1974).
9. M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur, Method for solving the sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett.,
30, № 25, 1262 – 1264 (1973).
10. И. С. Фролов, Обратная задача для системы Дирака на всей оси, Докл. АН СССР, 207, № 1, 44 – 47 (1972).
11. Л. П. Нижник, Фам Лой Ву, Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной
матрицей, Укр. мат. журн., 26, № 4, 469 – 485 (1974).
12. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, Москва (1986).
13. V. K. Mel’nikov, Integration of the nonlinear Schrödinger equation with a source, Inverse Problems, 8, 133 – 147
(1992).
14. V. K. Mel’nikov, Integration of the nonlinear Schrödinger equation with a self-consistent source, Commun. Math.
Phys., 137, 359 – 381 (1991).
15. Y. Shao, Y. Zeng, The solutions of the NLS equations with self-consistent sources, J. Phys. A: Math. and Gen., 38,
2441 – 2467 (2005).
16. Y. Zeng, W. Ma, R. Lin, Integration of the soliton hierarchy with self-consistent sources, J. Math. Phys., 41, № 8,
5453 – 5489 (2000).
17. А. Б. Хасанов, Г. У. Уразбоев, Об уравнении sine-Гордон с самосогласованным источником, соответствующим
кратным собственным значениям, Дифференц. уравнения, 43, № 4, 544 – 552 (2007).
18. А. Б. Хасанов, Г. У. Уразбоев, Об интегрировании уравнения sine-Гордон с самосогласованным источником
интегрального типа в случае кратных собственных значений, Изв. вузов. Математика, № 3, 55 – 66 (2009).
19. А. Б. Хасанов, Г. У. Уразбоев, Об интегрировании уравнения sine-Гордон с самосогласованным источником,
Мат. труды, 11, № 1, 153 – 166 (2008).
20. А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, Об интегрировании уравнения Кортевега – де Фриза в классе быстроубыва-
ющих комплекснозначных функций, Изв. вузов. Математика, № 3, 79 – 90 (2018).
21. А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега – де Фриза с
интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций, Изв. вузов. Математика,
№ 7, 52 – 66 (2021).
22. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения
уравнения Кортевега – де Фриза, Теор. и мат. физика, 23, № 1, 51 – 68 (1975).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
ПРО МОДИФIКОВАНЕ РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА З НАВАНТАЖЕНИМ ЧЛЕНОМ 1563
23. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений
уравнения Кортевега – де Фриза, Журн. эксперим. и теор. физики, 67, № 12, 2131 – 2143 (1974).
24. P. D. Lax, Periodic solutions of the KdV equations, Commun. Pure and Appl. Math., 28, 141 – 188 (1975).
25. А. Р. Итс, В. П. Котляров, Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шредингера, Докл. АН УССР.
Сер. А, № 11, 965 – 968 (1976).
26. А. О. Смирнов, Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения
Кортевега – де Фриза, Мат. сб., 185, № 8, 103 – 114 (1994).
27. Ю. А. Митропольский, Н. Н. Боголюбов (мл.), А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко, Интегрируемые дина-
мические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты, Наук. думка, Киев (1987).
28. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория солитонов: метод обратной задачи,
Наука, Москва (1980).
29. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, Москва (1986).
30. E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover, New York (1956).
31. П. Б. Джаков, Б. С. Митягин, Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и
Дирака, Успехи мат. наук, 61, № 4, 77 – 182 (2006).
32. Б. А. Дубровин, Периодическая задача для уравнения Кортевега – де Фриза в классе конечнозонных потенци-
алов, Функцион. анализ и его прил., 9, вып. 3, 41 – 51 (1975).
33. P. G. Grinevich, I. A. Taimanov, Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type,
Geometry, Topology and Mathematical Physics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, AMS, Providence, RI, 125 – 138
(2008).
34. А. Б. Хасанов, А. Б. Яхшимуратов, Об уравнении Кортевега – де Фриза с самосогласованным источником в
классе периодических функций, Теор. и мат. физика, 164, № 2, 214 – 221 (2010).
35. А. Б. Хасанов, М. М. Матякубов, Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега – де Фриза с дополни-
тельным членом, Теор. и мат. физика, 203, № 2, 192 – 204 (2020).
36. H. McKean, E. Trubowitz, Hill’s operator and hyperelliptic function theory in the presense of infinitely many
branch-points, Commun. Pure and Appl. Math., 29, 143 – 226 (1976).
37. H. McKean, E. Trubowitz, Hill’s surfaces and their theta functions, Amer. Math. Soc., 84, № 9, 1052 – 1085 (1978).
38. M. U. Schmidt, Integrable systems and Riemann surfaces of infinite genus, Mem. Amer. Math. Soc., 122, № 581,
(1996).
39. P. Lax, Almost periodic solutions of the KdV equation, SIAM Rev., 18, № 3, 351 – 375 (1976).
40. А. В. Домрин, Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений, Изв. РАН. Сер. мат., 74, вып. 3,
23 – 44 (2010).
41. А. Б. Хасанов, М. М. Хасанов, Интегрирование нелинейного уравнения Шредингера с дополнительным членом
в классе периодических функций, Теор. и мат. физика, 199, № 1, 60 – 68 (2019).
42. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Операторы Штурма – Лиувилля и Дирака, Наука, Москва (1988).
43. А. Б. Хасанов, А. М. Ибрагимов, Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом,
Узб. мат. журн., № 3-4, 48 – 55 (2001).
44. А. Б. Хасанов, А. Б. Яхшимуратов, Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака, Узб. мат. журн.,
№ 3-4, 40 – 46 (2000).
45. Т. В. Мисюра, Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых
операцией Дирака, I, II, Теория функций, функцион. анализ и их прил., вып. 30, 90 – 101 (1978); вып. 31,
102 – 109 (1979).
46. Л. В. Станкевич, Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла, Докл. АН СССР, 192, № 1,
34 – 37 (1970).
47. E. Trubowitz, The inverse problem for periodic potentials, Commun. Pure and Appl. Math., 30, 321 – 337 (1977).
48. G. Borg, Eine Umkehrung der Sturm – Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Bestimmung der Differentialgleichung durch
die Eigenwerte, Acta Math., 78, 1 – 96 (1946).
49. S. Currie, T. Roth, B. Watson, Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials,
Proc. Edinburgh Math. Soc., 60, № 3, 615 – 633 (2017).
50. Н. И. Ахиезер, Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов, Докл. АН СССР,
141, № 2, 262 – 266 (1961).
51. H. Flashka, On the inverse problem for Hill’s operator, Arch. Ration. Mech. and Anal., 59, № 4, 293 – 309 (1975).
52. H. Hochstadt, A generalization of Borg’s inverse theorem for Hill’s equation, J. Math. Anal. and Appl., 102, 599 – 605
(1984).
Одержано 16.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6073 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:25:58Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/7f2f4092f76dbfa0098149413f942402.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60732025-03-31T08:46:33Z On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term / Про модифіковане рівняння Кортевега – де Фріза з навантаженим членом Khasanov , A. B. Allanazarova , T. Zh. Hasanov, Aknazar Хасанов, А. Б. Алланазарова, Т. Ж. inverse spectral problem inverse spectral problem UDC 517.957 In this paper, the method of the inverse spectral problem is applied to finding a solution to the Cauchy problem for the modified Korteweg–de Vries equation (mKdV) in the class of periodic infinite-gap functions. A simple derivation of the Dubrovin system of differential equations is proposed. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of five times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly converging functional series constructed from the solutions of the infinite system of Dubrovin equations and the formulas for the first trace do indeed satisfy the mKdV equation. Moreover, it was proved that: 1) if the initial function is a real $ \pi $-periodic analytic function, then the solution of the Cauchy problem for the mKdV equation with a loaded term is also a real analytic function with respect to the variable $x;$ 2) if the number $ \dfrac {\pi} {2} $ is the period (antiperiod) of the original function, then $ \dfrac {\pi} {2} $ is also the period (antiperiod) in the variable $x$ of the solution to the Cauchy problem for the mKdV equation with a loaded term. УДК 517.957У цій роботі метод оберненої спектральної задачі застосовано до розв'язання задачі Коші для модифікованого рівняння Кортевега–де Фріза (мКдФ) у класі періодичних нескінченнозонних функцій. Запропоновано простий вивід системи диференціальних рівнянь Дубровіна. Доведено розв'язність задачі Коші для нескінченної системи диференціальних рівнянь Дубровіна у класі п'ятикратно неперервно диференційовних періодичних нескінченнозонних функцій. Показано, що сума рівномірно збіжного функціонального ряду, побудованого з розв'язків нескінченної системи рівнянь Дубровіна, і формули для першого сліду задовольняють рівняння мКдФ. І навіть більше, було доведено, що: 1) якщо початкова функція є дійсною $\pi$-періодичною аналітичною функцією, то розв'язок задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом також є дійсною аналітичною функцією за змінною $x;$ 2) якщо число $ \dfrac {\pi}{2} $ є періодом (антиперіодом) вихідної функції, то $ \dfrac {\pi}{2}$ також є періодом (антиперіодом) за змінною $x$ розв'язку задачі Коші для рівняння мКдФ з навантаженим членом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6073 10.37863/umzh.v73i11.6073 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1541 - 1563 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1541 - 1563 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6073/9152 Copyright (c) 2021 Aknazar Hasanov |
| spellingShingle | Khasanov , A. B. Allanazarova , T. Zh. Hasanov, Aknazar Хасанов, А. Б. Алланазарова, Т. Ж. On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title | On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title_alt | / Про модифіковане рівняння Кортевега – де Фріза з навантаженим членом |
| title_full | On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title_fullStr | On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title_full_unstemmed | On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title_short | On modified Korteweg – de Vries equation with a loaded term |
| title_sort | on modified korteweg – de vries equation with a loaded term |
| topic_facet | inverse spectral problem inverse spectral problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6073 |
| work_keys_str_mv | AT khasanovab onmodifiedkortewegdevriesequationwithaloadedterm AT allanazarovatzh onmodifiedkortewegdevriesequationwithaloadedterm AT hasanovaknazar onmodifiedkortewegdevriesequationwithaloadedterm AT hasanovab onmodifiedkortewegdevriesequationwithaloadedterm AT allanazarovatž onmodifiedkortewegdevriesequationwithaloadedterm AT khasanovab promodifíkovanerívnânnâkortevegadefrízaznavantaženimčlenom AT allanazarovatzh promodifíkovanerívnânnâkortevegadefrízaznavantaženimčlenom AT hasanovaknazar promodifíkovanerívnânnâkortevegadefrízaznavantaženimčlenom AT hasanovab promodifíkovanerívnânnâkortevegadefrízaznavantaženimčlenom AT allanazarovatž promodifíkovanerívnânnâkortevegadefrízaznavantaženimčlenom |