Differential convergence criteria for operator improper integrals and series
UDC 517.382+517.52+517.521.2We obtain differential convergence criteria for operator improper integrals and series.
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6093 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512265853206528 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:40Z |
| description | UDC 517.382+517.52+517.521.2We obtain differential convergence criteria for operator improper integrals and series. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i9.6093 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i9.6093
УДК 517.382+517.52+517.521.2
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI
ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ
We obtain differential convergence criteria for operator improper integrals and series.
Отримано диференцiальнi ознаки збiжностi операторних невласних iнтегралiв i рядiв.
1. Вступ. Будемо використовувати в статтi множини \BbbR , \BbbC i \BbbN всiх дiйсних, комплексних i
натуральних чисел вiдповiдно та функцiї
t, \mathrm{l}\mathrm{n} t, \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t, \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t, . . . , \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} . . . \mathrm{l}\mathrm{n}\underbrace{} \underbrace{}
m разiв
t, . . . ,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(t), \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(t)), \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(t))
\bigr)
, . . . , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(. . . \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\underbrace{} \underbrace{}
m разiв
(t) . . .)
\bigr)
, . . . ,
якi позначатимемо через
l0(t), l1(t), l2(t), l3(t), . . . , lm(t), . . . ,
l - 1(t), l - 2(t), l - 3(t), . . . , l - m(t), . . .
вiдповiдно, i
Пm(t) =
m\prod
k=0
lk(t). (1)
Легко перевiрити, що
lm
\bigl(
l - m(t)
\bigr)
= t,
l - m
\bigl(
lm(t)
\bigr)
= t,
d lm(t)
dt
=
1
Пm - 1(t)
(2)
i
dПm(t))
dt
1
Пm(t)
=
m\sum
k=0
1
Пk(t)
(3)
для всiх точок t \in \BbbR , в яких визначено вiдповiднi функцiї, i m \in \BbbN .
Розглянемо невласний iнтеграл
+\infty \int
1
f(t) dt, (4)
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9 1245
1246 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
де f : [1,+\infty ) \rightarrow (0,+\infty ) — неперервно диференцiйовна функцiя, числовий ряд
+\infty \sum
n=1
an, (5)
де an > 0, n \geq 1, i функцiї
s1(t) = - t
d \mathrm{l}\mathrm{n} f(t)
dt
,
s2(t) = l1(t) (s1(t) - 1),
(6)
s3(t) = l2(t) (s2(t) - 1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sn+1(t) = ln(t) (sn(t) - 1).
В [1, 2] автором встановлено два твердження про умови збiжностi та розбiжностi невласного
iнтеграла (4) i числового ряду (5) з використанням функцiй (6).
Теорема 1. Нехай для деякого p \in \BbbN iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
sp(t) = sp. (7)
Тодi:
1) якщо sp > 1, то iнтеграл (4) збiгається;
2) якщо sp < 1, то iнтеграл (4) розбiгається.
Теорема 2. Нехай функцiя f(t) є монотонно спадною на [1,+\infty ), f(n) = an для всiх
n \in \BbbN i для деякого p \in \BbbN iснує границя (7). Тодi:
1) якщо sp > 1, то ряд (5) збiгається;
2) якщо sp < 1, то ряд (5) розбiгається.
Зазначимо, що для дослiдження збiжностi широких класiв невласних iнтегралiв i числових
рядiв теореми 1 i 2 є зручнiшими для використання, нiж вiдомi ознаки збiжностi рядiв та
iнтегралiв (див., наприклад, [2, 3]).
Важливим для математичного аналiзу є встановлення аналогiв наведених тверджень для
операторних невласних iнтегралiв i рядiв.
2. Основнi об’єкт дослiджень i твердження. Нехай E — комплексний банаховий простiр
iз нормою \| \cdot \| E , L(E,E) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A : E \rightarrow E з
нормою
\| A\| L(E,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| E=1
\| Ax\| E
та одиничним оператором I i \sigma (A) — спектр оператора A.
Розглянемо операторнi невласний iнтеграл
+\infty \int
1
F (t) dt, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1247
де F : [1,+\infty ) \rightarrow L(E,E) — неперервно диференцiйовна функцiя, для якої для кожного зафiк-
сованого t \in [1,+\infty ) оператор F (t) : E \rightarrow E має неперервний обернений оператор (F (t)) - 1,
ряд
+\infty \sum
n=1
An, (9)
де An \in L(E,E), n \in \BbbN , i функцiї
S1(t) = - t
dF (t)
dt
(F (t)) - 1,
S2(t) = l1(t) (S1(t) - I),
(10)
S3(t) = l2(t) (S2(t) - I),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sn+1(t) = ln(t) (Sn(t) - I),
що аналогiчнi функцiям (6).
Основним об’єктом дослiджень у статтi є встановлення для невласного iнтеграла (8) i ря-
ду (9) тверджень, аналогiчних теоремам 1 i 2.
Справедливими є такi теореми.
Теорема 3. Нехай для деякого p \in \BbbN iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
Sp(t) = Sp. (11)
Тодi:
1) якщо
\sigma (Sp) \subset
\bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1
\bigr\}
, (12)
то iнтеграл (8) збiгається;
2) якщо
\sigma (Sp) \subset
\bigl\{
z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z < 1
\bigr\}
, (13)
то iнтеграл (8) розбiгається.
Теорема 4. Нехай збiгається невласний iнтеграл
+\infty \int
1
(F (t) - F ([t])) dt, (14)
де [t] — цiла частина числа t, F (n) = An для всiх n \in \BbbN i для деякого p \in \BbbN iснує границя (11).
Тодi:
1) якщо виконується спiввiдношення (12), то ряд (9) збiгається;
2) якщо виконується спiввiдношення (13), то ряд (9) розбiгається.
Обґрунтування цих теорем наведено в п. 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1248 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
3. Допомiжнi твердження. При доведеннi теорем 3 i 4 будемо використовувати iнтеграль-
ну ознаку збiжностi операторних рядiв (теореми 5 i 6). Цю ознаку ми використаємо i для
дослiдження збiжностi невласного iнтеграла
+\infty \int
l - m(1)
1
Пm - 1(t)
(lm(t)) - B dt (15)
та ряду \sum
n>l - m(1)
1
Пm - 1(n)
(lm(n)) - B, (16)
де m \in \BbbN i B \in L(E,E), що є окремими випадками iнтеграла (8) i ряду (9).
Також при доведеннi теорем 3 i 4 будемо використовувати оцiнки норм операторної експо-
ненти та розв’язкiв лiнiйних операторних диференцiальних рiвнянь iз коефiцiєнтами, близьки-
ми до сталих.
Завдяки тому, що в iнтегралi (15) i рядi (16) B — довiльний оператор, знаходження умов
їхньої збiжностi не є тривiальним (див. пп. 3.2).
3.1. Загальна iнтегральна ознака збiжностi рядiв. Важливими для подальшого є такi двi
теореми.
Теорема 5. Нехай:
1) An \in L(E,E), n \geq 1;
2) F : [1,+\infty ) \rightarrow L(E,E) — неперервне вiдображення i F (n) = An, n \geq 1;
3) невласний iнтеграл
\int +\infty
1
\bigl(
F (t) - F ([t])
\bigr)
dt збiгається.
Тодi операторний ряд
\sum \infty
n=1
An i невласний iнтеграл
\int +\infty
1
F (t) dt одночасно збiгаються
або розбiгаються.
Теорема 6. Для кожного ряду
\sum \infty
n=1
An, де An \in L(E,E), iснує неперервне вiдображення
F : [1,+\infty ) \rightarrow L(E,E), для якого F (n) = An, n \in \BbbN , i невласний iнтеграл
\int +\infty
1
\bigl(
F (t) -
- F ([t])
\bigr)
dt збiгається.
Цi твердження встановлено автором в [4, 5] для довiльних векторних рядiв.
Зазначимо, що на пiдставi теореми 6 iнтегральна ознака (теорема 5) застосовна до довiльних
операторних рядiв.
3.2. Умови збiжностi невласного iнтеграла (15) i ряду (16). Очевидно, що iнтеграл (15) i
ряд (16) є загальними членами операторних послiдовностей
+\infty \int
e
1
t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t) - Bdt,
+\infty \int
ee
1
t \mathrm{l}\mathrm{n} t
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t) - Bdt,
+\infty \int
l - 3(1)
1
t \mathrm{l}\mathrm{n} t \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t) - Bdt, . . . (17)
i \sum
n>e
1
n
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - B,
\sum
n>ee
1
n \mathrm{l}\mathrm{n}n
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n) - B,
\sum
n>l - 3(1)
1
n \mathrm{l}\mathrm{n}n \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n) - B, . . . (18)
вiдповiдно.
Справджується така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1249
Теорема 7. Члени послiдовностей (17) i (18) збiгаються лише у випадку
\sigma (B) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1\} . (19)
Доведення. Зафiксуємо довiльне число m \in \BbbN . Розглянемо операторну функцiю
Fm(t) =
1
Пm - 1(t)
(lm(t)) - B.
Ця функцiя є диференцiйовною на
\bigl[
l - m(1),+\infty
\bigr)
i
dFm(t)
dt
= - 1
П2
m - 1(t)
dПm - 1(t)
dt
(lm(t)) - B - 1
Пm - 1(t)
dlm(t)
dt
(lm(t)) - B - IB
для всiх t \geq l - m(1). Тому на пiдставi (1) – (3) та оцiнки для норми функцiї (lm(t)) - B :\bigm\| \bigm\| (lm(t)) - B
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq (lm(t))\| B\| L(E,E , t \geq l - m(1),
для деякого числа \gamma m > 0 виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dFm(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq \gamma m
t3/2
, t \geq l - m(1).
Завдяки цьому спiввiдношенню та теоремi про скiнченний прирiст (див. [6, с. 81]) для кожного
t \geq l - m(1)
\bigm\| \bigm\| Fm(t) - Fm([t])
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[t]\leq \theta \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dFm(\theta )
d\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
(t - [t]) \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[t]\leq \theta \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dFm(\theta )
d\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq \gamma m
[t]3/2
.
Звiдси з урахуванням збiжностi невласних iнтегралiв
+\infty \int
l - m(1)
\gamma m
[t]3/2
dt, m \in \BbbN ,
отримуємо збiжнiсть невласних iнтегралiв
+\infty \int
l - m(1)
\bigl(
Fm(t) - Fm([t])
\bigr)
dt, m \in \BbbN . (20)
Отже, за теоремою 5 поведiнка операторних невласного iнтеграла (15) i ряду (16) (у сенсi
збiжностi) однакова для кожного m \in \BbbN .
Розглянемо ряд \sum
n>e
1
n
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - B, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1250 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
що є першим членом послiдовностi (18). У [7] показано, що цей ряд збiгається лише у випадку
виконання спiввiдношення (19). Завдяки збiжностi iнтеграла (20) при m = 1 та теоремi 5
невласний iнтеграл
+\infty \int
e
1
t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t) - Bdt, (22)
що є першим членом послiдовностi (17), також є збiжним лише у випадку виконання спiввiд-
ношення (19).
Покажемо, що невласний iнтеграл (15) при m \geq 2 також збiгається лише у випадку виконан-
ня спiввiдношення (19). У цьому iнтегралi замiнимо змiнну iнтегрування t з використанням
спiввiдношення
lm(t) = \mathrm{l}\mathrm{n} \tau , (23)
де \tau — нова змiнна iнтегрування. Враховуючи, що
dt
Пm - 1(t)
=
d\tau
\tau
(на пiдставi (23)) i
lm(l - m(1)) = 1,
отримуємо рiвностi
l - m(lnT )\int
l - m(1)
1
Пm - 1(t)
(lm(t)) - B dt =
T\int
e
1
\tau
(\mathrm{l}\mathrm{n} \tau ) - Bd\tau , T \geq e.
Iз цих рiвностей випливає, що якщо для деякого оператора B \in L(E,E) iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow +\infty
l - m(lnT )\int
l - m(1)
1
Пm - 1(t)
(lm(t)) - B dt,
тобто iнтеграл (15) збiгається, то iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
T\rightarrow +\infty
T\int
e
1
\tau
(\mathrm{l}\mathrm{n} \tau ) - Bd\tau ,
тобто iнтеграл (22) збiгається, i навпаки.
Звiдси та з того, що ряд (21) збiгається лише у випадку виконання спiввiдношення (19),
отримуємо, що всi члени послiдовностi (17) також є збiжними лише у випадку виконання
спiввiдношення (19).
Згiдно з теоремою 5 та збiжнiстю iнтегралiв (20) всi члени послiдовностi (18) також є
збiжними лише у випадку виконання спiввiдношення (19).
Теорему 7 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1251
3.3. Оцiнка норми операторної експоненти.
Теорема 8 [8, с. 43]. Нехай A \in L(E,E). Для кожного числа \alpha \in \BbbR , для якого
\sigma (A) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z < \alpha \} ,
iснує таке число M \geq 1, що справджується спiввiдношення
\| etA\| L(E,E) \leq Me\alpha t, t \geq 0.
3.4. Оцiнки норм розв’язкiв лiнiйних операторних диференцiальних рiвнянь iз коефiцiєн-
тами, близькими до сталих. Розглянемо операторне диференцiальне рiвняння
dU(t)
dt
= - (S +H(t))U(t), t \geq 0, (24)
де S \in L(E,E), H(t) — неперервна на [0,+\infty ) функцiя зi значеннями в L(E,E) i
U(0) = I. (25)
Важливими для подальшого є наступнi два твердження.
Теорема 9. Нехай
\sigma (S) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > \alpha \} , \alpha > 1,
M — таке додатне число, що \bigm\| \bigm\| e - tS
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me - \alpha t, t \geq 0, (26)
\varepsilon — довiльне додатне число, для якого
\alpha - M\varepsilon > 1, (27)
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
\| H(t)\| L(E,E) < \varepsilon . (28)
Тодi для розв’язку U(t) рiвняння (24), що задовольняє (25), виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me - (\alpha - M\varepsilon )t, t \geq 0. (29)
У теоремi 9 число M, для якого виконується спiввiдношення (26), iснує за теоремою 8.
Доведення теореми 9. Згiдно з [8, с. 147] розв’язок U(t) рiвняння (24), що задовольняє (25),
є розв’язком iнтегрального рiвняння
U(t) = e - tS -
t\int
0
e - (t - \tau )SpH(\tau )U(\tau ) d\tau , t \geq 0.
Тому з урахуванням (26) i (28) (число \varepsilon вибрано так, щоб справджувалась нерiвнiсть (27)) для
всiх t \geq 0 \bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq
\bigm\| \bigm\| e - tS
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1252 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e - (t - \tau )S
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\bigm\| \bigm\| H(\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\bigm\| \bigm\| U(\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau \leq
\leq Me - \alpha t +
t\int
0
Me - \alpha (t - \tau )\varepsilon
\bigm\| \bigm\| U(\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau ,
тобто \bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me - \alpha t +Me - \alpha t\varepsilon
t\int
0
e\alpha \tau \| U(\tau )\| L(E,E) d\tau , t \geq 0,
i
e\alpha t
\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq M +M\varepsilon
t\int
0
e\alpha \tau
\bigm\| \bigm\| U(\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau , t \geq 0.
Звiдси на пiдставi нерiвностi Гронуолла [9, c. 11] отримуємо спiввiдношення
e\alpha t
\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq MeM\varepsilon t, t \geq 0,
рiвносильне (29).
Теорему 9 доведено.
Теорема 10. Нехай
\sigma (S) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z < \beta \} ,
\beta \in (0, 1), M — таке додатне число, що\bigm\| \bigm\| etS\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me\beta t, t \geq 0, (30)
\delta — довiльне додатне число, для якого
\beta +M\delta < 1, (31)
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
\| H(t)\| L(E,E < \delta . (32)
Тодi для розв’язку U(t) рiвняння (24), що задовольняє (25), виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\geq 1
M
e - (\beta +M\delta )t, t \geq 0. (33)
Доведення теореми 10. Використаємо союзне рiвняння для рiвняння (24) [8, с. 146]:
dV (t)
dt
= V (t)(S +H(t)), t \geq 0. (34)
Вважатимемо, що
V (0) = I. (35)
У [8, с. 146] показано, що для розв’язкiв задач (24), (25) i (34), (35) справджується тотожнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1253
U(t) \equiv (V (t)) - 1.
Тому для всiх t \geq 0\bigm\| \bigm\| U(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| E=1
\| U(t)x\| E \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| E=1
\| U(t)x\| E =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\| x\| E=1
\bigm\| \bigm\| (V (t)) - 1x
\bigm\| \bigm\|
E
=
1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| E=1
\| V (t)x\| E
=
1
\| V (t)\| L(E,E)
. (36)
Оцiнимо зверху
\bigm\| \bigm\| V (t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
.
Оскiльки розв’язок задачi (34), (35) є розв’язком iнтегрального рiвняння
V (t) = etS +
t\int
0
V (\tau )H(\tau ) e(t - \tau )S d\tau , t \geq 0
(див. [8, с. 151]), то на пiдставi (30) i (32) (число \delta вибрано так, щоб справджувалась нерiв-
нiсть (31)) для всiх t \geq 0
\| V (t)\| L(E,E) \leq
\bigm\| \bigm\| etS\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
+
t\int
0
\bigm\| \bigm\| V (\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\| H(\tau )\| L(E,E)
\bigm\| \bigm\| e(t - \tau )S
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau \leq
\leq Me\beta t +M\delta
t\int
0
e\beta (t - \tau )
\bigm\| \bigm\| V (\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau , t \geq 0,
тобто
\| V (t)\| L(E,E) \leq Me\beta t +Me\beta t\delta
t\int
0
e - \beta \tau
\bigm\| \bigm\| V (\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau , t \geq 0,
i
e - \beta t\| V (t)\| L(E,E) \leq M +M\delta
t\int
0
e - \beta \tau
\bigm\| \bigm\| V (\tau )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
d\tau , t \geq 0.
Звiдси на пiдставi нерiвностi Гронуолла отримуємо спiввiдношення
e - \beta t\| V (t)\| L(E,E) \leq MeM\delta t, t \geq 0,
з якого випливає, що
\| V (t)\| L(E,E) \leq Me(\beta +M\delta )t, t \geq 0.
Iз цього спiввiдношення та (36) отримуємо (33).
Теорему 10 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1254 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
4. Обґрунтування теорем 3 i 4. Доведення теореми 3. Оскiльки операторна функцiя
Sp(t) при t \rightarrow +\infty має границю Sp \in L(E,E), то для деякої неперервної на [l - p(1),+\infty )
операторної функцiї Hp(t) зi значеннями в L(E,E)
Sp(t) = Sp +Hp(t), t \geq l - p(1),
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
\| Hp(t)\| L(E,E) = 0. (37)
Тому завдяки (2), (3) i (10) для операторної функцiї F (t) при t \geq l - p(1) виконується спiввiд-
ношення
F \prime (t) =
\left\{
- dl1(t)
dt
(S1 +H1(t))F (t), якщо p = 1,
-
\biggl(
dПp - 2(t)
dt
1
Пp - 2(t)
I +
dlp(t)
dt
\bigl(
Sp +Hp(t)
\bigr) \biggr)
F (t), якщо p \geq 2.
(38)
При p \geq 2 функцiю F (t) запишемо у виглядi
F (t) =
1
Пp - 2(t)
Vp(t), (39)
де Vp(t) — неперервно диференцiйовна операторна функцiя, для якої виконується спiввiдно-
шення
dVp(t)
dt
= - dlp(t)
dt
\bigl(
Sp +Hp(t)
\bigr)
Vp(t), t \geq l - p(1). (40)
Отже, для функцiї Vp(t) при p \geq 2 виконується спiввiдношення, аналогiчне спiввiдношенню
для функцiї F (t) при p = 1.
Використаємо спiввiдношення (38) – (40) для оцiнки норми функцiї F (t). Будемо вважа-
ти, що виконується спiввiдношення (12). Запишемо (40) у зручному для подальшого виглядi,
використавши новi змiнну
s = lp(t) (41)
та функцiю
Wp(s) = Vp(t). (42)
Оскiльки
dVp(t)
dt
=
ds
dt
dWp(s)
ds
=
dlp(t)
dt
dWp(s)
ds
,
то на пiдставi (40)
dWp(s)
ds
= -
\Bigl(
Sp +H
\bigl(
l - p(s)
\bigr) \Bigr)
Wp(s), s \geq 1. (43)
Далi покажемо правильнiсть першої частини твердження теореми 3, використавши теорему
9. Нехай виконується спiввiдношення (12). Розглянемо довiльнi числа \alpha > 1 i M \geq 1, для яких
\sigma (Sp) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > \alpha \}
i \bigm\| \bigm\| e - sSp
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me - \alpha s, s \geq 0. (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1255
Спiввiдношення (44) аналогiчне (26). Зафiксуємо довiльне число \varepsilon > 0, для якого виконується
нерiвнiсть (27). Вiзьмемо таке число s\ast > 1, щоб\bigm\| \bigm\| H(l - p(s))
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
< \varepsilon , s \geq s\ast .
Таке число iснує завдяки (37). Тодi на пiдставi теореми 9 для функцiї Wp(s), що задоволь-
няє (43), виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| Wp(s)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me - (\alpha - M\varepsilon )(s - s\ast )
\bigm\| \bigm\| Wp(s\ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
, s \geq s\ast ,
аналогiчне (29).
Звiдси та з (41), (42) випливає, що
\bigm\| \bigm\| Vp(t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq M
\biggl(
lp - 1(t\ast )
lp - 1(t)
\biggr) \alpha - M\varepsilon \bigm\| \bigm\| Vp(t\ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
, t \geq t\ast , (45)
де t\ast — число, для якого lp(t\ast ) = s\ast .
Отже, на пiдставi (39) i (45) для функцiї F (t) при p \geq 2 виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| F (t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq M (lp - 1(t\ast ))
\alpha - M\varepsilon 1
Пp - 2(t)(lp - 1(t))\alpha - M\varepsilon
\bigm\| \bigm\| Vp(t\ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
, t \geq t\ast . (46)
Оскiльки невласний iнтеграл
+\infty \int
t\ast
1
Пp - 2(t)(lp - 1(t))\alpha - M\varepsilon
dt,
в якому \alpha - M\varepsilon > 1, збiгається (за теоремою 7), то на пiдставi (46) збiгається операторний
невласний iнтеграл
+\infty \int
t\ast
F (t) dt.
Збiжностi цього iнтеграла достатньо для збiжностi iнтеграла (8) (у випадку p \geq 2).
Збiжнiсть iнтеграла (8) у випадку p = 1 встановлюється аналогiчним чином.
Далi покажемо правильнiсть другої частини твердження теореми 3. Будемо вважати, що
виконується спiввiдношення (13). Використаємо (40) i теорему 10.
Розглянемо довiльне число \beta \in (0, 1), для якого
\sigma (Sp) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z < \beta \} .
Нехай M — таке додатне число, що\bigm\| \bigm\| esSp
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq Me\beta s, s \geq 0.
Це спiввiдношення аналогiчне (26). Зафiксуємо довiльне число \varepsilon > 0, для якого виконуються
нерiвностi (27) i \bigm\| \bigm\| H(l - p(s))
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
< \varepsilon , s \geq s\ast \ast ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1256 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
де s\ast \ast — достатньо велике додатне число. Таке число iснує завдяки (37). Тодi на пiдставi
теореми 9 для функцiї Wp(s), що задовольняє (43), виконується спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| Wp(s)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\geq 1
M
e - (\beta +M\delta )(s - s\ast \ast )
\bigm\| \bigm\| Wp(s\ast \ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
, s \geq s\ast \ast , (47)
аналогiчне (33).
Зазначимо, що
\| Wp(s\ast \ast )\| L(E,E) \not = 0, (48)
оскiльки для кожного зафiксованого t \geq 1 оператор F (t) має обернений неперервний оператор
(F (t)) - 1 .
Iз (47), (41) i (42) випливає, що
\| Vp(t)\| L(E,E) \geq
1
M
\biggl(
lp - 1(t\ast \ast )
lp - 1(t)
\biggr) \beta +M\delta
\| Vp(t\ast \ast )\| L(E,E), t \geq t\ast \ast ,
де t\ast \ast — число, для якого lp(t\ast \ast ) = s\ast \ast .
Отже, на пiдставi (39) i (45) для функцiї F (t) при p \geq 2 виконується спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| F (t)
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\geq M
\bigl(
lp - 1(t\ast \ast )
\bigr) \beta +M\delta 1
Пp - 2(t)(lp - 1(t))\beta +M\delta
\bigm\| \bigm\| Vp(t\ast \ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
, t \geq t\ast \ast , (49)
до того ж на пiдставi (48) \bigm\| \bigm\| Vp(t\ast \ast )
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\not = 0. (50)
Оскiльки невласний iнтеграл
+\infty \int
t\ast \ast
1
Пp - 2(t)(lp - 1(t))\beta +M\delta
dt,
в якому \beta + M\delta < 1, розбiгається (за теоремою 7), то на пiдставi (49) i (50) розбiгається
операторний невласний iнтеграл
+\infty \int
t\ast \ast
F (t) dt.
Розбiжностi цього iнтеграла достатньо для розбiжностi iнтеграла (8) (у випадку p \geq 2).
Розбiжнiсть iнтеграла (8) у випадку p = 1 встановлюється аналогiчним чином.
Теорему 3 доведено.
Доведення теореми 4. Завдяки спiввiдношенню (12) та теоремi 3 невласний iнтеграл (8)
збiгається. Оскiльки також збiгається невласний iнтеграл (14), то за теоремою 5 збiгається
операторний ряд (9).
Аналогiчно, завдяки спiввiдношенню (13) та теоремi 3 невласний iнтеграл (8) розбiгається.
Оскiльки невласний iнтеграл (14) збiгається, то за теоремою 5 операторний ряд (9) розбiгається.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1257
5. Приклади застосування теорем 3 i 4.
Приклад 1. Дослiдимо на збiжнiсть невласний iнтеграл
+\infty \int
1
t - A dt, (51)
де A \in L(E,E).
Для цього iнтеграла, що є окремим випадком iнтеграла (8), F (t) = t - A i для кожного зафiк-
сованого t > 1 оператор F (t) має обернений неперервний оператор (F (t)) - 1 = tA . Виконання
умови про оборотнiсть F (t) є необхiдною для того, щоб можна було використовувати теорему 3
для дослiдження збiжностi iнтеграла (51).
Оскiльки
dF (t)
dt
= - At - A - I , t > 1, (52)
то згiдно з (10)
S1(t) = - t
dF (t)
dt
(F (t)) - 1 = - t
\bigl(
- At - A - I
\bigr)
tA = tt - IA = A, t > 1,
i, отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
S1(t) = A.
За теоремою 3 для збiжностi iнтеграла (51) достатньо виконання спiввiдношення
\sigma (A) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1\} . (53)
Це спiввiдношення також є необхiдним для збiжностi iнтеграла (51). Справдi, використаємо
невласний iнтеграл
+\infty \int
e
1
t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t) - Adt, (54)
що за теоремою 7 збiгається лише у випадку виконання спiввiдношення (53). Оскiльки
T\int
e
1
t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t) - Adt =
lnT\int
1
t - Adt
для кожного T \geq e, то iнтеграл (51) є збiжним тодi i тiльки тодi, коли збiжним є iнтеграл (54).
Отже, iнтеграл (51) є збiжним лише у випадку виконання спiввiдношення (53).
Приклад 2. Дослiдимо на збiжнiсть операторний ряд
\infty \sum
n=1
n - A, (55)
де A — такий оператор, як i в iнтегралi (51).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1258 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Вважатимемо, що для A виконується спiввiдношення (53).
Покажемо, що ряд (55) є збiжним.
Оскiльки множина \sigma (A) обмежена i замкнена, а множина \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1\} вiдкрита, то
завдяки (51) для деякого \alpha > 1 виконується спiввiдношення
\sigma (A) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} z > \alpha \} .
Тодi за теоремою Данфорда про вiдображення спектра [10, с. 609]
\sigma ( - A) \subset \{ z \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} < - \alpha \} . (56)
Використаємо функцiю F (t), що розглядалась у прикладi 1. Оскiльки згiдно з (52), (56) i
теоремою 8 для деякого числа M \geq 1 i всiх t > 1 справджуються спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dF (t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq \| A\| L(E,E)
\bigm\| \bigm\| t - A - I
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
= \| A\| L(E,E)
\bigm\| \bigm\| t - A
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
t - 1 =
= \| A\| L(E,E)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e(ln t)( - A)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
t - 1 \leq \| A\| L(E,E)Me(ln t)( - \alpha )t - 1 =
=
\| A\| L(E,E)M
t1+\alpha
\leq
\| A\| L(E,E)M
t2
,
то на пiдставi теореми про скiнченний прирiст для всiх t \geq 2\bigm\| \bigm\| F (t) - F ([t])
\bigm\| \bigm\|
L(E,E)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[t]\leq \theta \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dF (\theta )
d\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(E,E)
(t - [t]) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[t]\leq \theta \leq t
\| A\| L(E,E)M
\theta 2
\leq
\| A\| L(E,E)M
(t - 1)2
.
Звiдси з урахуванням збiжностi iнтеграла
+\infty \int
2
dt
t2
випливає збiжнiсть iнтеграла
+\infty \int
2
(F (t) - F ([t]))dt.
Тому на пiдставi теореми 4 у випадку виконання спiввiдношення (53) ряд (55) збiгається.
Зазначимо, що виконання спiввiдношення (53) є не лише достатнiм, а i необхiдним (див. [11])
для збiжностi ряду (55).
6. Додатковi зауваження та лiтературнi посилання. Наведенi в статтi результати про
збiжнiсть операторних невласних iнтегралiв i рядiв є новими.
Теореми 3 i 4 залишаються правильними, якщо в (10) операторну функцiю
S1(t) = - t
dF (t)
dt
(F (t)) - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ОПЕРАТОРНИХ НЕВЛАСНИХ IНТЕГРАЛIВ I РЯДIВ 1259
замiнити функцiєю
S1(t) = - t (F (t)) - 1 dF (t)
dt
.
Iнтегральна ознака Маклорена – Кошi [3] є окремим випадком теореми 5.
Твердження статтi є правильними й у випадку дiйсного простору E . Щоб у цьому пере-
конатися, потрiбно використати комплексифiкацiю цього простору та комплексне розширення
вiдповiдних операторiв (див., наприклад, [12, с. 477; 13, с. 19 – 22]).
Ряд (55) у випадку E = \BbbR (тодi A \in \BbbR ), вiдомий як узагальнений гармонiчний ряд, збiгається
лише при A > 1 (див. [3, c. 263, 264]), що узгоджується з прикладом 2. Для збiжностi цього ряду
у випадку E = \BbbC (тодi A \in \BbbC ) необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{R}\mathrm{e}A > 1, що також узгоджується з
прикладом 2.
Збiжнiсть операторних рядiв дослiджувалась автором також у [14 – 16].
Лiтература
1. В. Е. Слюсарчук, Некоторые признаки сходимости числовых рядов, Математика сегодня ’90, вып. 6, 94 – 105
(1990).
2. В. Ю. Слюсарчук, Загальнi теореми про збiжнiсть числових рядiв, Вид-во Рiвнен. техн. ун-ту, Рiвне (2001).
3. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, Наука, Москва (1966).
4. В. Ю. Слюсарчук, Нова iнтегральна ознака збiжностi рядiв, Мат. студ., 41, № 2, 198 – 200 (2014).
5. В. Ю. Слюсарчук, Iнтегральнi ознаки збiжностi рядiв, Буков. мат. журн., 2, № 2-3, 208 – 213 (2014).
6. В. А. Зорич, Математический анализ, ч. II, Наука, Москва (1984).
7. В. Ю. Слюсарчук, Операторний аналог ознаки Бертрана, Мат. студ., 35, № 2, 181 – 195 (2011).
8. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространс-
тве, Наука, Москва (1970).
9. В. Лакшмикантам, С. Лила, А. А. Мартынюк, Устойчивость движения: метод сравнения, Наук. думка, Киев
(1991).
10. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, т. I, Изд-во иностр. лит., Москва (1962).
11. В. Ю. Слюсарчук, Умови збiжностi операторного ряду
\sum
n=1,\infty n - A
, Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика,
вип. 485, 113 – 117 (2009).
12. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
13. В. Ю. Слюсарчук, Диференцiальнi рiвняння в банаховому просторi, Вид-во Нац. ун-ту вод. госп-ва та приро-
докористування, Рiвне (2006).
14. В. Е. Слюсарчук, Операторный аналог признака д’Аламбера, Математика сьогоднi ’09, вип. 15, 101 – 115
(2009).
15. В. Ю. Слюсарчук, Операторний аналог ознаки Кошi, Мат. студ., 33, № 1, 97 – 100 (2010).
16. В. Ю. Слюсарчук, Узагальнення ознак Абеля та Дiрiхле, Укр. мат. журн., 72, № 4, 527 – 539 (2020).
Одержано 30.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-6093 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:03Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/20/a78bc09df17529999afcaad3c9806e20.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-60932025-03-31T08:46:40Z Differential convergence criteria for operator improper integrals and series Дифференциальные признаки сходимости операторных несобственных интегралов и рядов Диференціальні ознаки збіжності операторних невласних інтегралів та рядів Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. диференціальні ознаки збіжності операторних невласних інтегралів та рядів, загальна інтегральна ознака збіжності рядів differential signs of convergence of improper integrals and series, general integral criterion for convergence of series differential signs of convergence of improper integrals and series, general integral criterion for convergence of series UDC 517.382+517.52+517.521.2We obtain differential convergence criteria for operator improper integrals and series. Получены дифференциальные признаки сходимости операторных несобственных интегралов и рядов. УДК 517.382+517.52+517.521.2Отримано диференцiальнi ознаки збiжностi операторних невласних iнтегралiв i рядiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-09-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6093 10.37863/umzh.v73i9.6093 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 9 (2021); 1245 - 1259 Український математичний журнал; Том 73 № 9 (2021); 1245 - 1259 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6093/9108 Copyright (c) 2021 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title | Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title_alt | Дифференциальные признаки сходимости операторных несобственных интегралов и рядов Диференціальні ознаки збіжності операторних невласних інтегралів та рядів |
| title_full | Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title_fullStr | Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title_full_unstemmed | Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title_short | Differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| title_sort | differential convergence criteria for operator improper integrals and series |
| topic_facet | диференціальні ознаки збіжності операторних невласних інтегралів та рядів загальна інтегральна ознака збіжності рядів differential signs of convergence of improper integrals and series general integral criterion for convergence of series differential signs of convergence of improper integrals and series general integral criterion for convergence of series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6093 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu differentialconvergencecriteriaforoperatorimproperintegralsandseries AT slyusarchukv differentialconvergencecriteriaforoperatorimproperintegralsandseries AT slûsarčukvû differentialconvergencecriteriaforoperatorimproperintegralsandseries AT slyusarchukvyu differencialʹnyepriznakishodimostioperatornyhnesobstvennyhintegralovirâdov AT slyusarchukv differencialʹnyepriznakishodimostioperatornyhnesobstvennyhintegralovirâdov AT slûsarčukvû differencialʹnyepriznakishodimostioperatornyhnesobstvennyhintegralovirâdov AT slyusarchukvyu diferencíalʹníoznakizbížnostíoperatornihnevlasnihíntegralívtarâdív AT slyusarchukv diferencíalʹníoznakizbížnostíoperatornihnevlasnihíntegralívtarâdív AT slûsarčukvû diferencíalʹníoznakizbížnostíoperatornihnevlasnihíntegralívtarâdív |