Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$
UDK 512+517.98 The condition of strict differentiability is a strengthening of the concept of differentiability, which is naturally applicable to the class of $p$-adic functions. In this article, we study the strict differentiability of finite-state isometries of the ring $Z_2.$  
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6106 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512269686800384 |
|---|---|
| author | Morozov, D. I. Морозов, Д. I. |
| author_facet | Morozov, D. I. Морозов, Д. I. |
| author_sort | Morozov, D. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:40Z |
| description | UDK 512+517.98
The condition of strict differentiability is a strengthening of the concept of differentiability, which is naturally applicable to the class of $p$-adic functions. In this article, we study the strict differentiability of finite-state isometries of the ring $Z_2.$
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i9.6106 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
DOI: 10.37863/umzh.v73i9.6106
УДК 512+517.98
Д. I. Морозов (Нац. ун-т „Києво-Могилянська академiя”)
ОПИС КЛАСУ СТРОГО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ
СКIНЧЕННОСТАНОВИХ IЗОМЕТРIЙ КIЛЬЦЯ \bfitZ \bftwo
The condition of strict differentiability is a strengthening of the concept of differentiability, which is naturally applicable
to the class of p-adic functions. In this article, we study the strict differentiability of finite-state isometries of the ring Z2.
Умова строгої диференцiйовностi є посиленням поняття диференцiйовностi, природним для застосування до класу
p-адичних функцiй. Дану статтю присвячено дослiдженню строгої диференцiйовностi скiнченностанових iзометрiй
кiльця Z2.
Дослiдження групових автоматiв є технiчно достатньо складною задачею [1, 2]. Вiдображен-
ня групових автоматiв 2-адичними функцiями надає зручну технiку для роботи з ними [4, 5].
Оскiльки на даний момент iснує багато нерозв’язаних проблем, пов’язаних iз групою скiн-
ченностанових автоматних пiдстановок, то є природним видiлення множини функцiй у класi
2-адичних iзометрiй з певними властивостями, що вiдповiдають скiнченностановим автоматам.
Однiєю з таких властивостей є строга диференцiйовнiсть функцiй кiльця Z2 [3, 6]. Cтрога
диференцiйовнiсть є природним посиленням диференцiйовностi для p-адичних функцiй.
Умова строгої диференцiйовностi накладає певнi обмеження на поведiнку функцiї в порiв-
няннi зi звичайною диференцiйовнiстю. Особливостi даних обмежень були використанi при
доведеннi теореми 1.
Метою даної роботи є опис класу скiнченностанових строго диференцiйовних функцiй
кiльця Z2.
Означення 1. Нехай Z2 — кiльце цiлих 2-адичних чисел. На цьому кiльцi задано неархiмедiв
метричний простiр з ультраметрикою \rho (x, y) =
\biggl(
1
2ord2(x,y)
\biggr)
, де \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}2(x, y) — максимальна
довжина спiльного початку 2-адичного запису чисел x та y кiльця Z2.
Означення 2. Нехай f — iзометрiя кiльця Z2. Запишемо x \in Z2 у виглядi суми x =
= x(n) \ast 2n + x(n), де x(n) = x \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n — 2-кове невiд’ємне цiле число довжиною не бiльше
за n.
Оскiльки f — iзометрiя, а отже для неї
(f(x
(n)
1 \ast 2n + x(n)) - f(x
(n)
2 \ast 2n + x(n)))
... 2n,
то для кожного x(n) функцiю f єдиним чином можна записати у виглядi
f(x) = fx(n)
(x(n)) \ast 2n + \alpha id(f
[n]
x(n)
(x(n))),
де
fx(n)
: Z2 \rightarrow Z2,
c\bigcirc Д. I. МОРОЗОВ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9 1285
1286 Д. I. МОРОЗОВ
f [n]
x(n)
: \BbbZ 2n \rightarrow \BbbZ 2n ,
\alpha id : \BbbZ 2n \rightarrow Z2, \alpha id(x) = x.
Iзометрiю fx(n)
назвемо станом n-го рiвня функцiї f.
Означення 3. Означимо для iзометрiї f кiльця Z2 множину станiв Sf таким чином:
Sf = \{ fx| x \in \BbbZ +\} .
Будемо називати iзометрiю f кiльця Z2 скiнченностановою, якщо її множина станiв Sf
є скiнченною:
| Sf | < \infty .
Природним є питання про те, якi зi строго диференцiйовних [6] iзометрiй є скiнченноста-
новими, а отже скiнченноавтоматними.
Означення 4. Означимо проєкцiю iзометрiї a кiльця Z2 на кулю B
\biggl(
x,
1
2n
\biggr)
для x \in Z2,
n \in \BbbZ + таким чином:
\pi x,n[a] = axn ,
де xn = x \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n i axn — стан n-го рiвня функцiї a.
Означення 5. Нехай a — iзометрiя кiльця Z2. Означимо множину Fa \subseteq Z2 для t \in Z2
таким чином:
Fa =
\biggl\{
a(x) - a(y)
x - y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x, y \in Z2, x \not = y
\biggr\}
.
Означення 6. Нехай a — iзометрiя кiльця Z2. Означимо множину Fa[n](t) \subseteq Z2 для
n \in \BbbN , t \in \BbbZ 2n таким чином:
Fa[n](t) =
\biggl\{
a(x \ast 2n + t) - a(y \ast 2n + t)
(x \ast 2n + t) - (y \ast 2n + t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x, y \in Z2, x \not = y
\biggr\}
.
Очевидно, що для n \in \BbbN , t \in \BbbZ 2n має мiсце рiвнiсть
Fa[n](t) = Fat .
Теорема 1. Скiнченностанова iзометрiя кiльця Z2 є строго диференцiйовною в точцi
простору Z2 тодi i лише тодi, коли її проєкцiя на певний окiл даної точки є лiнiйною функцiєю.
Доведення. Нехай a — iзометрiя кiльця Z2. Запишемо x \in Z2 у виглядi суми x = x(n) \ast
\ast 2n + x(n), де x(n) = x \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n — 2-кове невiд’ємне цiле число довжини n.
Означимо
Fa(x, y) =
a(x) - a(y)
x - y
.
Строга диференцiйовнiсть iзометрiї a в точцi z \in Z2 рiвносильна iснуванню границi в
ультраметрицi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (z,z)
Fa(x, y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
ОПИС КЛАСУ СТРОГО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ СКIНЧЕННОСТАНОВИХ IЗОМЕТРIЙ КIЛЬЦЯ Z2 1287
Оскiльки a — скiнченностанова iзометрiя, то послiдовнiсть станiв \{ ax(i)
| i = 0, 1, 2, 3, . . . \}
мiстить скiнченну кiлькiсть рiзних елементiв. Отже, в цiй послiдовностi знайдеться стан b, що
зустрiчається нескiнченну кiлькiсть разiв.
Означимо зростаючу нескiнченну послiдовнiсть номерiв \{ ti\} , для яких ati = b. Означимо
послiдовнiсть \=x таким чином:
\=xn = x(tn).
Оскiльки a — iзометрiя, то мають мiсце рiвностi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (z,z)
Fa(x, y) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
(x,y)\rightarrow (\=xn,\=xn)
Fb(x, y) \forall n \in \BbbN (1)
або обидвi границi не iснують. Отже, для iснування границi (1) необхiдне виконання рiвностi
| Fb| = 1.
Множина Fb складається з єдиного елемента тодi i тiльки тодi, коли b є лiнiйною функцiєю.
Справдi, нехай
b(x) - b(y)
x - y
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}1 \forall x, y \in Z2, x \not = y.
Тодi
b(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}1 \ast x+ (b(y) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}1 \ast y).
Оскiльки b(x) не залежить вiд y, то
b(y) - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}1 \ast y = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}2.
Остаточно маємо
b(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}1 \ast x+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}2 \forall x \in Z2.
Теорему доведено.
Лема 1. Якщо скiнченностанова iзометрiя кiльця Z2 є строго диференцiйовною в певнiй
точцi, то вона є строго диференцiйовною в кожнiй точцi деякого її околу.
Доведення. Справдi, функцiя з лiнiйною проєкцiєю на певний окiл є строго диференцiйов-
ною в кожнiй точцi цього околу.
Означення 7. Назвемо iзометрiю f : Z2 \rightarrow Z2 кусково-лiнiйною, якщо Z2 розбивається
на скiнченну кiлькiсть околiв, проєкцiя на кожний з яких для функцiї f є лiнiйною функцiєю.
Теорема 2. Скiнченностанова iзометрiя f кiльця Z2 є строго диференцiйовною тодi i
лише тодi, коли вона є кусково-лiнiйною функцiєю.
Доведення. Оскiльки ультраметричний простiр Z2 є компактним, то з покриття околами з
теореми 1 можна видiлити скiнченне пiдпокриття. Оскiльки простiр є ультраметричним, то з
цього пiдпокриття можна видiлити пiдпокриття, що складається з куль, якi не перетинаються.
На кожнiй такiй кулi проєкцiя iзометрiї f є лiнiйною функцiєю, отже, f — кусково-лiнiйна
функцiя.
Теорема 3. Скiнченностанова iзометрiя кiльця Z2 не є строго диференцiйовною в жоднiй
точцi тодi i лише тодi, коли вона не мiстить лiнiйних станiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1288 Д. I. МОРОЗОВ
Доведення. Якщо скiнченностанова iзометрiя f не мiстить лiнiйних станiв, то згiдно з
теоремою 2 вона не є строго диференцiйовною в кожнiй точцi кiльця Z2.
Теорема 2 повнiстю описує клас строго диференцiйовних функцiй, що є скiнченностанови-
ми груповими автоматами над двiйковим алфавiтом.
Теорема 3 дозволяє будувати приклади функцiй кiльця Z2, що не є строго диференцiйов-
ними в жоднiй точцi.
Напрямком подальшого дослiдження є розширення отриманих в умовах строгої диферен-
цiйовностi результатiв на клас диференцiйовних функцiй.
Лiтература
1. L. Bartholdi, Z. Sunik, Some solvable automaton groups, Contemp. Math., 394, 11 – 29 (2006).
2. R. I. Grigorchuk, V. V. Nekrashevich, V. I. Sushchanskii, Automata, dynamical systems, and groups, Proc. Steklov
Inst. Math., 231, 128 – 203 (2000).
3. Н. Коблиц, p-Адические числа, p-адический анализ и дзета-функции, Мир, Москва (1982).
4. Д. I. Морозов, Iзометрiї та стискаючi функцiї кiльця Z2 , Вiсн. Запорiз. нац. ун-ту, № 1, 90 – 97 (2014).
5. Д. I. Морозов, Iзометричнiсть полiномiв над кiльцем цiлих 2-адичних чисел, Наук. зап. НаУКМА. Фiз.-мат.
науки, 113, 13 – 15 (2011).
6. C. Weisman, On p-adic differentiability, J. Number Theory, 9, 79 – 86 (1977).
Одержано 05.05.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-6106 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:06Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a4/86aaad985c4a44ab3fb4a8bcb9b873a4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61062025-03-31T08:46:40Z Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ Описание класса строго дифференцируемых конечно-становых изометрий кольца Z2 Опис класу строго диференційовних скінченностанових ізометрій кільця $Z_2$ Morozov, D. I. Морозов, Д. I. скінчено-становість, p-адичні числа, строга диференційованість UDK 512+517.98 The condition of strict differentiability is a strengthening of the concept of differentiability, which is naturally applicable to the class of $p$-adic functions. In this article, we study the strict differentiability of finite-state isometries of the ring $Z_2.$ &nbsp; Условие строгой дифференцируемости является усилением понятия дифференцируемости, естественным для применения к классу р-адических функций. Данная статья посвящена исследованию строгой дифференцируемости конечно-становых изометрий кольца Z2. &nbsp; УДК 512+517.98 Умова строгої диференційовності є посиленням поняття диференційовності, природним для застосування до класу $p$-адичних функцій. Дану статтю присвячено дослідженню строгої диференційовності скінченностанових ізометрій кільця $Z_2.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-09-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6106 10.37863/umzh.v73i9.6106 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 9 (2021); 1285 - 1288 Український математичний журнал; Том 73 № 9 (2021); 1285 - 1288 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6106/9111 Copyright (c) 2021 Денис Морозов |
| spellingShingle | Morozov, D. I. Морозов, Д. I. Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title | Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title_alt | Описание класса строго дифференцируемых конечно-становых изометрий кольца Z2 Опис класу строго диференційовних скінченностанових ізометрій кільця $Z_2$ |
| title_full | Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title_fullStr | Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title_full_unstemmed | Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title_short | Description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $Z_2$ |
| title_sort | description of the class of strictly differentiable finite-state isometries of the ring $z_2$ |
| topic_facet | скінчено-становість p-адичні числа строга диференційованість |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6106 |
| work_keys_str_mv | AT morozovdi descriptionoftheclassofstrictlydifferentiablefinitestateisometriesoftheringz2 AT morozovdi descriptionoftheclassofstrictlydifferentiablefinitestateisometriesoftheringz2 AT morozovdi opisanieklassastrogodifferenciruemyhkonečnostanovyhizometrijkolʹcaz2 AT morozovdi opisanieklassastrogodifferenciruemyhkonečnostanovyhizometrijkolʹcaz2 AT morozovdi opisklasustrogodiferencíjovnihskínčennostanovihízometríjkílʹcâz2 AT morozovdi opisklasustrogodiferencíjovnihskínčennostanovihízometríjkílʹcâz2 |