Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields
UDC 517.937, 519.21 We construct the Holtsmark distributions of non-stationary fluctuations of local interaction of moving objects in a system where the gravitational influence is governed by a power law. We find a pseudodifferential equation with a Riesz operator of fractional differentiation corre...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6113 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512270918877184 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | UDC 517.937, 519.21
We construct the Holtsmark distributions of non-stationary fluctuations of local interaction of moving objects in a system where the gravitational influence is governed by a power law. We find a pseudodifferential equation with a Riesz operator of fractional differentiation corresponding to this process. We also elucidate the general nature of stable symmetric random Levy processes. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.6113 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.6113
УДК 517.937, 519.21
В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ФЛУКТУАЦIЇ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦIОНАРНИХ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ
We construct the Holtsmark distributions of non-stationary fluctuations of local interaction of moving objects in a system
where the gravitational influence is governed by a power law. We find a pseudodifferential equation with a Riesz operator
of fractional differentiation corresponding to this process. We also elucidate the general nature of stable symmetric random
Levy processes.
Побудовано розподiли Хольцмарка нестацiонарних флуктуацiй локальної взаємодiї рухомих об’єктiв системи iз
гравiтацiйним впливом, що пiдпорядкований степеневому закону. Знайдено псевдодиференцiальне рiвняння з опе-
ратором Рiсса дробового диференцiювання, яке вiдповiдає цьому процесу. З’ясовано загальну природу симетричних
стiйких випадкових процесiв Левi.
1. Вступ. Однiєю з основних проблем небесної механiки є аналiз природи сили взаємодiї
мiж об’єктами в тiй чи iншiй зiрковiй системi. Сила \scrF , що дiє на конкретну зiрку системи,
має двi складовi: перша K — це вплив усiєї системи в цiлому i друга F — локальний вплив
безпосереднього оточення: \scrF = K + F.
Вплив усiєї системи можна описати за допомогою гравiтацiйного потенцiалу \scrR (r; t) [1],
одержаного традицiйно iнтегруванням зваженої густини n(r;m; t), яка характеризує середнiй
просторовий розподiл зiрок рiзної маси m у момент часу t. Така сила K, вiднесена до одиницi
маси, що дiє на розглядувану зiрку Z(0) з боку системи (як цiлого), визначається формулою
K(r; t) = - \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\scrR (r; t).
Сила K(r; t) — функцiя з повiльною змiною у просторi й часi, оскiльки вiдповiдний по-
тенцiал \scrR (r; t) характеризує „згладжений” розподiл матерiї в зiрковiй системi. Iнша ж сила
F (t), вiднесена до одиницi маси, має вiдносно швидкi, рiзкi змiни, спричиненi миттєвими змi-
нами локального розподiлу зiрок з оточення Z у момент часу t. Величина F (t) пiддається
флуктуацiям, тому можна говорити лише про її ймовiрнiснi значення.
Дослiдженням статистичних властивостей F (t) займався Ж. Хольцмарк [1, 2]. Його до-
слiдження ґрунтуються на класичному гравiтацiйному законi Ньютона „обернених квадратiв”,
згiдно з яким
F (t) =
N(t)\sum
j=1
Fj = G
N(t)\sum
j=1
mj
| rj | 2
r\circ j ,
де G — гравiтацiйна стала, mj — маса типової зiрки „поля”, rj — радiус-вектор її положення
вiдносно розглядуваної зiрки Z, розмiщеної у початку координат, r\circ j := rj/| rj | — орт вектора
rj , а N(t) — кiлькiсть зiрок, що на момент t формують локальне оточення Z. Припустивши
сталiсть середньої густини n(r;m; t) \equiv n просторового розподiлу зiрок, а також виконання
рiвностi
N =
4
3
\pi R3n (\forall R > 0),
c\bigcirc В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1 69
70 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Хольцмарк класичними засобами теорiї ймовiрностей у поєднаннi з iнтегральним численням
знайшов стацiонарний розподiл W (F ) величини F у виглядi
W (F ) =
1
(2\pi )3
\int
\BbbR 3
e - i(\xi ,F ) - a| \xi | 3/2d\xi \equiv \BbbF - 1[e - a| \xi | 3/2 ](F ).
Тут (\cdot , \cdot ) — скалярний добуток у \BbbR 3, | x| := (x, x)1/2, x \in \BbbR 3; a :=
4
15
(2\pi G)3/2n\langle m3/2\rangle —
коефiцiєнт флуктуацiй, в якому \langle m3/2\rangle — середнє значення величини m3/2, що вiдповiдає
розглядуваному закону розподiлу зiрок у зiрковiй системi, а \BbbF — оператор перетворення Фур’є.
Даний розподiл Хольцмарка вiдноситься до класу розподiлiв П. Левi
\scrL \alpha (x) = \BbbF - 1[e - b| \xi | \alpha ](x), x \in \BbbR 3,
симетричних стiйких випадкових процесiв [3]. Те, що \scrL \alpha (\cdot ) лише при \alpha \in (0; 2] є функцiєю
розподiлу ймовiрностей, було остаточно встановлено П. Левi в [4].
Яскравими представниками цього класу є також класичнi розподiли Гаусса (\alpha = 2) i Кошi
(\alpha = 1). У сучаснiй лiтературi наведено багато прикладiв реальних застосувань розподiлiв
Хольцмарка, Кошi, Гаусса та Парето в астрономiї, ядернiй фiзицi, економiцi, соцiологiї, в про-
мисловiй та вiйськовiй галузях тощо [5 – 10]. Кожне з цих застосувань характеризує стохастичнi
особливостi розподiлiв Левi при тому чи iншому значеннi \alpha .
Однак, крiм iндивiдуальних характеристик, симетричнi стiйкi випадковi процеси Левi ма-
ють спiльну природу. У данiй роботi встановлено, що кожен такий процес Левi при \alpha \in (0; 2)
можна трактувати як процес локального впливу рухомих об’єктiв у системi, в якiй взаємодiя
мiж масами вiдбувається згiдно з певним степеневим законом (\cdot ) - \beta . Зокрема, класичному про-
цесу Хольцмарка (\alpha = 3/2) вiдповiдає взаємодiя з \beta = 2 (випадок ньютонiвської гравiтацiї),
а процесу Кошi — взаємодiя з показником \beta = 3. Тут також розглянуто задачу Хольцмар-
ка в загальнiй постановцi та одержано псевдодиференцiальне рiвняння (ПДР) з оператором
Рiсса дробового диференцiювання, функцiєю Грiна задачi Кошi для якого є вiдповiдний неста-
цiонарний розподiл Хольцмарка. Наявнiсть цього рiвняння вiдкриває широкi можливостi для
дослiдження процесiв Хольцмарка в областях з краями засобами теорiї крайових задач для
ПДР.
2. Фрактальнi розподiли Хольцмарка. Розглянемо зiркову систему, в якiй взаємодiя мiж
масами пiдпорядкована потенцiалу М. Рiсса [11], тобто гравiтацiйний вплив мiж її двома до-
вiльними зiрками маси M i m описується законом
F = G
Mm
| r| \beta
r\circ , \beta > 0, (1)
де G — вiдповiдна гравiтацiйна стала, а r — вектор вiдстанi мiж цими зiрками. Розвиваючи iдею
Хольцмарка, знайдемо нестацiонарний розподiл W\beta (F (t)) для сили F (t), яка дiє на одиницю
маси зiрки Z у момент часу t внаслiдок гравiтацiї, спричиненої зiрками з її близького оточення.
Припустимо також, що розподiл зiрок в околi Z пiддається флуктуацiям i зiрки рiзної маси
m зустрiчаються у зiрковiй системi згiдно з деяким цiлком визначеним, емпiрично встановле-
ним законом. При цьому в кожен момент часу t флуктуацiї густини зiрок пiдпорядкованi умовi
сталостi їхньої середньої густини на одиницю об’єму:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ФЛУКТУАЦIЇ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦIОНАРНИХ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ 71
n(r;m; t) \equiv n(t).
Нехай розглядувана зiрка Z знаходиться у початку координат системи, а її сферичний окiл
радiуса R у момент часу t мiстить N(t) зiрок. Тодi, згiдно з зазначеним вище,
F (t) = G
N(t)\sum
j=1
mj
| rj | \beta +1
rj \equiv
N(t)\sum
j=1
Fj
i
N(t) =
4
3
\pi R3n(t). (2)
Cпочатку для фiксованого t розглянемо розподiл W\beta ,N(t)
\bigl(
F (t)
\bigr)
у центрi сферичного околу
радiуса R, який охоплює N(t) зiрок системи, i знайдемо ймовiрнiсть W\beta ,N(t)
\bigl(
F\circ (t)
\bigr)
dF\circ (t)
того, що величина F (t) потрапляє в куб [F\circ (t);F\circ (t) + dF\circ (t)] \subset \BbbR 3. Застосувавши вiдомий
метод характеристичних функцiй, одержимо
W\beta ,N(t)
\bigl(
F\circ (t)
\bigr)
=
1
(2\pi )3
\int
\BbbR 3
e - i(\xi ,F\circ (t))AN(t)(\xi )d\xi ,
де
AN(t)(\xi ) :=
N(t)\prod
j=1
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbK R(0)
ei(\xi ,Fj)\tau j(rj ;mj ; t)drj
\right) dmj .
Тут \BbbK R(0) — куля радiуса R з центром у початку координат, а \tau j(rj ;mj ; t) — розподiл ймовiр-
ностi того, що в момент часу t j -та зiрка має масу mj i знаходиться у положеннi rj . Якщо тепер
зважити на те, що мають мiсце лише флуктуацiї, сумiснi з просторовою сталiстю середньої
густини, то
\tau j(rj ;mj ; t) =
3\tau (m; t)
4\pi R3
,
де \tau (m; t) — частота, з якою зустрiчаються зiрки рiзної маси в момент часу t.
Звiдси приходимо до зображення
AN(t)(\xi ) =
\left( 3
4\pi R3
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbK R(0)
ei(\xi ,\eta )\tau (m; t)dr
\right) dm
\right)
N(t)
,
в якому
\eta := Gmr/| r| \beta +1. (3)
Спрямувавши тепер R \rightarrow +\infty i N(t) \rightarrow +\infty , згiдно з (2) дiстанемо
W\beta (F (t)) =
1
(2\pi )3
\int
\BbbR 3
e - i(\xi ,F (t))A(\xi ; t)d\xi , (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
72 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
де
A(\xi ; t) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
\left[ 3
4\pi R3
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbK R(0)
ei(\xi ,\eta )\tau (m; t)dr
\right) dm
\right]
4\pi R3n(t)/3
.
Оскiльки для кожного t
3
4\pi R3
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbK R(0)
\tau (m; t)dr
\right) dm = 1,
то
A(\xi ; t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
\left[ 1 - 3
4\pi R3
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbK R(0)
(1 - ei(\xi ,\eta ))\tau (m; t)dr
\right) dm
\right]
4\pi R3n(t)/3
. (5)
Далi, з огляду на абсолютну збiжнiсть у (5) iнтеграла зi змiнною iнтегрування r в усьому
просторi \BbbR 3 при \beta >
3
2
рiвнiсть (5) можна записати у виглядi
A(\xi ; t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow \infty
\left[ 1 - 3
4\pi R3
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbR 3
(1 - ei(\xi ,\eta ))\tau (m; t)dr
\right) dm
\right] 4\pi R3n(t)/3
й одержати зображення
A(\xi ; t) = e - n(t)B\beta (\xi ; t), (6)
в якому
B\beta (\xi ; t) :=
+\infty \int
0
\left( \int
\BbbR 3
(1 - ei(\xi ,\eta ))\tau (m; t)dr
\right) dm.
Перейшовши у внутрiшньому iнтегралi виразу з попередньої рiвностi вiд змiнної iнтегру-
вання r до змiнної \eta згiдно з правилом (3), а вiдтак до сферичної системи координат з вiссю
аплiкат, спрямованою в напрямку вектора \xi , знайдемо
B\beta (\xi ; t) =
4\pi (G| \xi | )3/\beta \langle m3/\beta \rangle
\beta
+\infty \int
0
(\rho - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \rho )\rho - 2 - 3/\beta d\rho .
Зазначимо, що iнтеграл з останньої рiвностi збiгається лише при \beta >
3
2
. Зiнтегрувавши його
частинами, прийдемо до зображення
B\beta (\xi ; t) =
4\beta \pi \mathrm{I}(\beta )
3(\beta + 3)
(G| \xi | )3/\beta \langle m3/\beta \rangle , t \geq 0, \xi \in \BbbR 3, \beta > 3/2, (7)
в якому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ФЛУКТУАЦIЇ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦIОНАРНИХ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ 73
\mathrm{I}(\beta ) :=
\left\{
\beta
3 - \beta
\Gamma (2 - 3/\beta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
(2 - 3/\beta )\pi
2
,
3
2
< \beta < 3,
\pi
2
, \beta = 3,
\Gamma (1 - 3/\beta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
(1 - 3/\beta )\pi
2
, \beta > 3
(тут \Gamma (\cdot ) — гамма-функцiя Ейлера).
Об’єднавши рiвностi (4), (6) i (7), остаточно знайдемо
W\beta (F (t)) =
1
(2\pi )3
\int
\BbbR 3
e - i(\xi ,F (t))e - a\beta (t)| \xi | 3/\beta d\xi ,
де
a\beta (t) :=
4\beta \pi \mathrm{I}(\beta )
3(\beta + 3)
G3/\beta n(t)\langle m3/\beta \rangle .
Отже, правильним є таке твердження.
Теорема 1. При ранiше зазначених припущеннях для кожного \beta > 3/2 функцiя
W\beta (F (t)) = \BbbF - 1
\Bigl[
e - a\beta (t)| \xi | 3/\beta
\Bigr]
(F ; t) (8)
є розподiлом iмовiрностей сили F (t) локального впливу рухомих об’єктiв у системi з взаємодi-
єю, що вiдбувається згiдно зi степеневим законом (1).
Позначимо \scrH \gamma (F ; t) := W\beta (F (t)), де \gamma := 2/\beta . Функцiю \scrH \gamma (\cdot ; \cdot ) назвемо розподiлом
Хольцмарка порядку \gamma флуктуацiй нестацiонарних гравiтацiйних полiв. Класичнiй ситуацiї,
розглянутiй Хольцмарком, вiдповiдає \beta = 2; у цьому випадку порядок розподiлу \gamma = 1. З
огляду на спiввiдношення \beta > 3/2 це єдиний випадок цiлого порядку \gamma , решта можливих
значень \gamma мають ненульову дробову частину: \gamma \in (0; 4/3).
3. Зв’язок з ПДР. Дослiдження флуктуацiй локальної взаємодiї рухомих об’єктiв, особливо
в обмеженому середовищi з тими чи iншими умовами на межi, хотiлося б проводити шляхом
зведення до розв’язування вiдповiдних крайових задач для диференцiальних чи псевдодиферен-
цiальних рiвнянь. Це дозволило б задiяти розвинений обчислювальний апарат теорiї крайових
задач i скористатися вiдомими її результатами. У зв’язку з цим виникає потреба в одержан-
нi вiдповiдного диференцiального рiвняння, яке адекватно вiдображає дослiджуваний процес.
Спробуємо за певних умов вивести це рiвняння, „вiдштовхуючись” вiд функцiї розподiлу \scrH \gamma .
Для цього попередньо з’ясуємо властивостi цiєї функцiї.
Припускатимемо тут, що коефiцiєнт a\beta (\cdot ) — додатна, неперервно диференцiйовна функцiя
на промiжку (0;T ]. Безпосередньо з [12, 13] випливає, що для всiх \gamma \in (0; 4/3) функцiя
\scrH \gamma (x; t) на множинi \BbbR 3\times (0;T ] диференцiйовна по t i нескiнченно диференцiйовна за змiнною
x, причому для її похiдних виконуються оцiнки
| \partial k
x\scrH \gamma (x; t)| \leq c1t(t
2
3\gamma + | x| ) - (3+| k| + 3\gamma
2
),
| \partial t\partial k
x\scrH \gamma (x; t)| \leq c2t
2
\gamma
- 1
(t
2
3\gamma + | x| ) - (3+| k| + 3\gamma
2
)
(9)
з деякими додатними сталими c1 i c2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
74 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Оцiнка (9) забезпечує належнiсть \scrH \gamma (\cdot ; t) до L1(\BbbR 3) при кожному фiксованому t \in (0;T ],
що в свою чергу гарантує iснування перетворення Фур’є функцiї \scrH \gamma (\cdot ; t) та виконання рiвностi
\BbbF [\scrH \gamma (x; t)](\xi ; t) = e - a\beta (t)| \xi |
3\gamma
2 , t \in (0;T ], \xi \in \BbbR 3. (10)
Класичними засобами переконуємось у правильностi рiвностi
\partial t\scrH \gamma (x; t) = -
a\prime \beta (t)
(2\pi )3
\int
\BbbR 3
| \xi |
3\gamma
2 e - i(x,\xi ) - a\beta (t)| \xi |
3\gamma
2 d\xi , t \in (0;T ], \xi \in \BbbR 3,
з якої, враховуючи (10), знаходимо
\partial t\scrH \gamma (x; t) = - a\prime \beta (t)\BbbF - 1
\bigl[
| \xi |
3\gamma
2 \BbbF [\scrH \gamma ](\xi ; t)
\bigr]
(x; t), t \in (0;T ], \xi \in \BbbR 3.
Отже, розподiл Хольцмарка \scrH \gamma є розв’язком рiвняння
\partial tu(x; t) + a\prime \beta (t)A\nu u(\xi ; t) = 0, t \in (0;T ], \xi \in \BbbR 3, (11)
з оператором Рiсса A\nu дробового диференцiювання порядку \nu :=
3\gamma
2
[14].
З’ясуємо питання iснування граничного значення розподiлу \scrH \gamma (\cdot ; t) у точцi t = 0.
Спочатку розглянемо випадок a\beta (0) \not = 0. Згiдно з рiвнiстю (10) та вiдомою формулою
перетворення Фур’є згортки елементiв класу Лебега L1(\BbbR 3) одержуємо
\scrH \gamma (x; t) =
\bigl(
G\nu \ast \^\scrH \gamma
\bigr)
(x; t), t \in (0;T ], \xi \in \BbbR 3,
де \^\scrH \gamma (\cdot ) := \scrH \gamma (\cdot ; 0) — вiдповiдний стацiонарний розподiл Хольцмарка, а
G\nu (\cdot ; t) := \BbbF - 1
\biggl[
e -
\int t
0 a\prime \beta (\tau )d\tau | \xi |
\nu
\biggr]
(\cdot ; t).
Для кожної неперервної обмеженої на \BbbR 3 функцiї \varphi (\cdot ) виконується граничне спiввiдношен-
ня [13] \bigl(
G\nu \ast \varphi
\bigr)
(\cdot ; t) \rightarrow
t\rightarrow +0
\varphi (\cdot ). (12)
Звiдси, враховуючи нескiнченну диференцiйовнiсть та обмеженiсть на \BbbR 3 функцiї \^\scrH \gamma (\cdot ), при-
ходимо до виконання спiввiдношення
\scrH \gamma (\cdot ; t) \rightarrow
t\rightarrow +0
\^\scrH \gamma (\cdot ). (13)
Таким чином, розподiл \scrH \gamma (x; t) — класичний розв’язок задачi Кошi (11), (13).
Нехай тепер a\beta (0) = 0, тодi безпосередньо з (10) випливає рiвнiсть
\scrH \gamma (\cdot ; t) = G\nu (\cdot ; t), t \in (0;T ]. (14)
Зазначимо, що спiввiдношення (12) характеризує властивiсть „\delta -подiбностi” функцiї G\nu (\cdot ; t)
у просторi S\prime розподiлiв Шварца [15]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ФЛУКТУАЦIЇ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦIОНАРНИХ ГРАВIТАЦIЙНИХ ПОЛIВ 75
G\nu (\cdot ; t) \rightarrow
t\rightarrow +0
\delta (\cdot ) (15)
(тут \delta (\cdot ) — дельта-функцiя Дiрака). Тому при a\beta (0) = 0 розподiл Хольцмарка \scrH \gamma (\cdot ; t) — розв’я-
зок задачi Кошi (11), (15), який у звичайному розумiннi задовольняє рiвняння (11), а початкову
умову (15) — у сенсi слабкої збiжностi у просторi S\prime . Такий розв’язок G\nu називають функцiєю
Грiна задачi Кошi для рiвняння (11).
Пiдсумуємо вищезазначене у виглядi такого твердження.
Теорема 2. Нехай \beta > 3/2 i a\beta (\cdot ) — додатна, неперервно диференцiйовна функцiя на
промiжку (0;T ]. Тодi при a\beta (0) \not = 0 вiдповiдний розподiл Хольцмарка \scrH 2/\beta (\cdot ; t) на множинi
\BbbR 3 \times (0;T ] є класичним розв’язком задачi Кошi (11), (13). У випадку a\beta (0) = 0 \scrH 2/\beta (\cdot ; t) —
функцiя Грiна цiєї задачi.
Зауваження . Рiвнiсть (14) розкриває змiст функцiї Грiна задачi Кошi для рiвняння (11):
G\nu — первинний розподiл Хольцмарка локального впливу на розглядуваний об’єкт з боку його
рухомого оточення, який характеризує цей процес iз самого початку його зародження, тобто з
тiєї митi, коли в оточеннi об’єкта вперше з’явилися елементи локального впливу.
Дослiдження функцiї Грiна задачi Кошi для ПДР вигляду (11) були започаткованi С. Д. Ей-
дельманом i Я. М. Дрiнем на початку 80-х рокiв минулого столiття [16, 17]. Вони запропонували
метод побудови й дослiдження функцiї G\nu , який ґрунтується на перетвореннi Фур’є, та одер-
жали такi оцiнки:
| \partial k
xG\nu (x; t)| \leq c1t(t
1/\nu + | x| ) - (n+| k| +[\nu ]), k \in \BbbZ n
+, t \in (0;T ], x \in \BbbR n (16)
(тут [\cdot ] — цiла частина числа). Проте цей метод накладає обмеження на порядок \nu ПДР: \nu > 1.
Точну асимптотичну поведiнку функцiї Грiна G\nu (\cdot ; t) в околi нескiнченно вiддалених точок
встановив М. В. Федорюк у [18]:
G\nu (\cdot ; t) \sim | \cdot | - n - \nu , t > 0. (17)
Згодом W. R. Schneider [19], ефективно використавши перетворення Меллiна, виразив функцiю
G\nu (\cdot ; t) через спецiальнi H -функцiї Фокса i, як наслiдок, одержав асимптотику (17). Зазначимо,
що задовго до появи статтi [18] асимптотику (17) для ПДР (11) при a\beta (t) = t i \nu \in (0; 1] описали
R. M. Blumenthal i R. K. Getoor у роботi [20].
Новий пiдхiд до дослiдження властивостей функцiї G\nu (\cdot ; t), який базується на використан-
нi елементiв теорiї узагальнених функцiй i гармонiчного аналiзу, застосував А. Н. Кочубей
[21]. Вiн уперше одержав оцiнки (16), в яких [\nu ] замiнено на \nu , у випадку, коли розмiрнiсть
просторової змiнної бiльша за одиницю i \nu \geq 1.
У працях [12, 13] автор, розвиваючи iдею з [21], поширив оцiнки (16) на випадок \nu > 0.
Лiтература
1. S. Chandrasekhar, Stohastic problems in physics and astronomy, Rev. Modern Phys., 15, № 1, 1 – 89 (1943).
2. J. Holtsmark, Über die Verbreiterung von Spektrallinier, Ann. Phys., 58, 577 – 630 (1919).
3. В. М. Золотарeв, Одномерные устойчивые распределения, Наука, Москва (1983).
4. P. Levy, Calcul des probabilities, Gauthier-Villars, Paris (1925).
5. B. Mandelbrot, The Pareto – Levy law and the distribution of income, Int. Econ. Rev., 1, 79 – 106 (1960).
6. И. И. Собельман, Введение в теорию атомных спектров, Физматгиз, Москва (1963).
7. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, Москва (1965).
8. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. Т. 2, Мир, Москва (1984).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
76 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
9. А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, В. Б. Уваров, Квантово-статистические модели высокотемпературной
плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния, Физматлит, Москва (2000).
10. Т. А. Агекян, Теория вероятностей для астрономов и физиков, Наука, Москва (1974).
11. M. Riesz, Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green, C. R. Congr. Intern. Math. Oslo, 2, 62 – 63 (1936).
12. В. А. Лiтовченко, Задача Кошi з оператором Рiсса дробового диференцiювання, Укр. мат. журн., 57, № 12,
1653 – 1667 (2005).
13. В. А. Литовченко, Задача Коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с неглад-
кими символами, Сиб. мат. журн., 49, № 2, 375 – 394 (2008).
14. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения, Наука и техника, Минск (1987).
15. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, Москва (1958).
16. С. Д. Эйдельман, Я. М. Дринь, Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для
параболических псевдодифференциальных уравнений, Приближенные методы математического анализа, 60 – 69
(1974).
17. Я. М. Дрiнь, Вивчення одного класу параболiчних псевдодиференцiальних операторiв у просторах гельдерових
функцiй, Доп. АН УРСР, сер. А, № 1, 19 – 21 (1974).
18. М. В. Федорюк, Асимптотика функции Грина псевдодифференциального параболического уравнения, Диффе-
ренц. уравнения, 14, № 7, 1296 – 1301 (1978).
19. W. R. Schneider, Stable distributions: Fox function representation and generalization, Lect. Notes Phys., 262,
497 – 511 (1986).
20. R. M. Blumenthal, R. K. Getoor, Some theorems on stable processes, Trans. Amer. Math. Soc., 95, 263 – 273 (1960).
21. А. Н. Кочубей, Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы и марков-
ские процессы, Изв. АН СССР, сер. мат., 52, № 5, 909 – 934 (1988).
Одержано 10.05.20,
пiсля доопрацювання — 07.09.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6113 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:08Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/8c2293b696f33037fa1d4d7f8aa5060f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61132025-03-31T08:49:21Z Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields ФЛУКТУАЦИИ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ Флуктуації Хольцмарка нестаціонарних гравітаційних полів Litovchenko, V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. UDC 517.937, 519.21 We construct the Holtsmark distributions of non-stationary fluctuations of local interaction of moving objects in a system where the gravitational influence is governed by a power law. We find a pseudodifferential equation with a Riesz operator of fractional differentiation corresponding to this process. We also elucidate the general nature of stable symmetric random Levy processes. The Holtsmark distributions of non-stationary fluctuations of local interaction of moving objects of a system in which the gravitational influence is subject to a power law is constructed. A pseudodifferential equation with a Riesse operator of the fractional differential is found which corresponds to this process. The general nature of symmetric stable random Levy processes is elucidated. УДК 517.937, 519.21 Побудовано розподіли Хольцмарка нестаціонарних флуктуацій локальної взаємодії рухомих об'єктів системи із гравітаційним впливом, що підпорядкований степеневому закону. Знайдено псевдодиференціальне рівняння з оператором Рісса дробового диференціювання, яке відповідає цьому процесу.З'ясовано загальну природу симетричних стійких випадкових процесів Леві. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6113 10.37863/umzh.v73i1.6113 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 69 - 76 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 69 - 76 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6113/8897 Copyright (c) 2021 Владислав Антонович Літовченко |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Літовченко, Владислав Антонович Літовченко, В. А. Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title | Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title_alt | ФЛУКТУАЦИИ ХОЛЬЦМАРКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ Флуктуації Хольцмарка нестаціонарних гравітаційних полів |
| title_full | Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title_fullStr | Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title_full_unstemmed | Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title_short | Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| title_sort | holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6113 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova holtsmarkfluctuationsofnonstationarygravitationalfields AT lítovčenkovladislavantonovič holtsmarkfluctuationsofnonstationarygravitationalfields AT lítovčenkova holtsmarkfluctuationsofnonstationarygravitationalfields AT litovchenkova fluktuaciiholʹcmarkanestacionarnyhgravitacionnyhpolej AT lítovčenkovladislavantonovič fluktuaciiholʹcmarkanestacionarnyhgravitacionnyhpolej AT lítovčenkova fluktuaciiholʹcmarkanestacionarnyhgravitacionnyhpolej AT litovchenkova fluktuacííholʹcmarkanestacíonarnihgravítacíjnihpolív AT lítovčenkovladislavantonovič fluktuacííholʹcmarkanestacíonarnihgravítacíjnihpolív AT lítovčenkova fluktuacííholʹcmarkanestacíonarnihgravítacíjnihpolív |