Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces
UDC 517.927 We consider the most general class of multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of an arbitrary order whose solutions belong to the given Sobolev space $W_p^{n+r},$ with $n\geq 0,$ $r\geq 1,$ and $1\leq p\leq \infty.$ &n...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6158 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512280316215296 |
|---|---|
| author | Atlasiuk , O. M. Атласюк, О. М. |
| author_facet | Atlasiuk , O. M. Атласюк, О. М. |
| author_sort | Atlasiuk , O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-23T08:33:20Z |
| description | UDC 517.927
We consider the most general class of multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of an arbitrary order whose solutions belong to the given Sobolev space $W_p^{n+r},$ with $n\geq 0,$ $r\geq 1,$ and $1\leq p\leq \infty.$  We establish constructive sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous with respect to the parameter $\varepsilon$ at $\varepsilon=0$ in the space $W_p^{n+r}.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i8.6158 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i8.6158
УДК 517.927
О. М. Атласюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ IЗ ПАРАМЕТРОМ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА
We consider the most general class of multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential
equations of an arbitrary order whose solutions belong to the given Sobolev space Wn+r
p , with n \geq 0, r \geq 1, and
1 \leq p \leq \infty . We establish constructive sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous
with respect to the parameter \varepsilon at \varepsilon = 0 in the space Wn+r
p .
Розглянуто найбiльш загальний клас багатоточкових крайових задач для систем лiнiйних звичайних диференцiаль-
них рiвнянь довiльного порядку, розв’язки яких належать заданому простору Соболєва Wn+r
p , де n \geq 0, r \geq 1 i
1 \leq p \leq \infty . Встановлено конструктивнi достатнi умови, за яких розв’язки цих задач неперервнi за параметром \varepsilon
при \varepsilon = 0 у просторi Wn+r
p .
1. Вступ. Класичним об’єктом вивчення в теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь є бага-
тоточковi крайовi задачi. Однiєю з їхнiх особливостей є те, що промiжнi точки, якi входять у
крайовi умови, породжують рiзноманiтнi проблеми. Питанням iснування, єдиностi i побудови
наближених методiв знаходження розв’язкiв багатоточкових крайових задач присвячено роботи
А. М. Самойленка [1, 2], I. Т. Кiгурадзе [3] i В. Д. Пономарьова [4]. Теореми про iснування, єди-
нiсть i неперервнiсть за параметром розв’язкiв загальних i найбiльш загальних крайових задач
у рiзних функцiональних банахових просторах та методика їхнiх доведень були застосованi до
дослiдження багатоточкових крайових задач В. А. Михайлецем та його учнями [5 – 9]. Метою
даної роботи є дослiдження найбiльш загального класу багатоточкових лiнiйних крайових задач
для систем звичайних диференцiальних рiвнянь довiльного порядку, розв’язки яких належать
простору Соболєва Wn+r
p , де n \geq 0, r \geq 1 i 1 \leq p \leq \infty . Ми розглянемо випадок, коли точки
замкненого iнтервалу [a, b], якi фiгурують у крайових умовах, не є фiксованими i залежать вiд
числового параметра, а також кiлькiсть точок може змiнюватися. Випадок p = \infty є особливим
i ранiше не вивчався.
2. Постановка задачi. Нехай задано скiнченний iнтервал (a, b) \subset \BbbR i параметри
\{ m, r,N\} \subset \BbbN , n \in \BbbN \cup \{ 0\} , 1 \leq p \leq \infty .
Виберемо довiльним чином N рiзних точок \{ t1, . . . , tN\} \subset [a, b].
Позначимо через Wn
p := Wn
p
\bigl(
[a, b];\BbbC
\bigr)
комплексний простiр Соболєва i покладемо W 0
p :=
:= Lp . Також позначимо через (Wn
p )
m := Wn
p ([a, b];\BbbC m) i (Wn
p )
m\times m := Wn
p ([a, b];\BbbC m\times m)
простори Соболєва вiдповiдно вектор-функцiй i матриць-функцiй, елементи яких належать
функцiональному простору Wn
p . Норми у цих просторах позначимо через \| \cdot \| n,p, вони є
сумами вiдповiдних норм у Wn
p всiх елементiв векторно- або матричнозначної функцiї. З
контексту завжди зрозумiло, про норму в якому саме просторi (скалярних, вектор- чи матриць-
функцiй) йде мова. Якщо m = 1, то всi цi простори збiгаються. Як вiдомо, простори Wn
p є
банаховими; вони сепарабельнi тодi i лише тодi, коли p < \infty .
c\bigcirc О. М. АТЛАСЮК, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8 1015
1016 О. М. АТЛАСЮК
Розглянемо багатоточкову крайову задачу
Ly(t) \equiv y(r)(t) +
r\sum
j=1
Ar - j(t)y
(r - j)(t) = f(t), t \in (a, b), (1)
By \equiv
n+r - 1\sum
l=0
N\sum
j=1
\beta
(l)
j y(l)(tj) = q. (2)
Тут невiдомою є вектор-функцiя y \in (Wn+r
p )m i довiльно задано матрицi-функцiї Ar - j \in
\in (Wn
p )
m\times m, вектор-функцiю f \in (Wn
p )
m, матрицi \beta (l)
j \in \BbbC rm\times m i вектор q \in \BbbC rm.
З огляду на неперервне вкладення
(Wn+r
p )m \lhook \rightarrow (Cn+r - 1)m (3)
лiва частина крайової умови (2) має сенс, i вiдображення y \lhook \rightarrow By, де y \in (Wn+r
p )m, є
неперервним оператором iз простору B : (Wn+r
p )m у простiр \BbbC rm. Зазначимо, що крайова
умова (2) не є класичною, тому що мiстить похiднi y(l) цiлого порядку l, де 0 < l \leq n+ r - 1.
Розглянемо (1), (2) як граничну крайову задачу при \varepsilon \rightarrow 0+ для такої багатоточкової
крайової задачi, залежної вiд параметра \varepsilon \in (0, \varepsilon 0):
L(\varepsilon )y(t, \varepsilon ) := y(r)(t, \varepsilon ) +
r\sum
j=1
Ar - j(t, \varepsilon )y
(r - j)(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in (a, b), (4)
B(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) =
N\sum
j=0
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)
\bigl(
tj,k(\varepsilon ), \varepsilon
\bigr)
= q(\varepsilon ). (5)
Тут при кожному фiксованому значеннi параметра \varepsilon невiдомою є вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) \in
\in (Wn+r
p )m i задано матрицi-функцiї Ar - j(\cdot , \varepsilon ) \in (Wn
p )
m\times m, вектор-функцiю f(\cdot , \varepsilon ) \in (Wn
p )
m,
вектори q(\varepsilon ) \in \BbbC rm та матрицi \beta (l)
j,k(\varepsilon ) \in \BbbC m\times m. У граничному випадку при \varepsilon = 0 на вiдрiзку
[a, b] вибрано N точок tj . У випадку, коли \varepsilon > 0, на вiдрiзку вибрано не менше нiж N точок
tj,k(\varepsilon ), якi поєднанi у N + 1 серiю таким чином: для кожного фiксованого j \in \{ 1, . . . , N\} усi
точки tj,k(\varepsilon ) повиннi мати спiльну межу tj при \varepsilon \rightarrow 0+, а для точок t0,k(\varepsilon ) така вимога не
висуватиметься. Зауважимо, що нульової серiї може i не бути.
Вектори i вектор-функцiї вважаємо записаними у виглядi стовпцiв. Пiд розв’язком крайової
задачi (4), (5) розумiємо вектор-функцiю y(\cdot , \varepsilon ) \in (Wn+r
p )m, яка задовольняє рiвняння (4)
(при n \geq 1 скрiзь, а при n = 0 майже скрiзь) на (a, b) та рiвнiсть (5), яка задає rm скалярних
крайових умов. Використання у крайовiй умовi (5) повторної суми за iндексами j i k зумовлено
подальшими припущеннями щодо поведiнки точок tj,k(\varepsilon ) при \varepsilon \rightarrow 0+ залежно вiд значень
параметра j.
У граничному випадку при \varepsilon = 0 розглядаємо крайову задачу
L(0)y(t, 0) = f(t, 0), t \in (a, b), (6)
B(0)y(\cdot , 0) =
N\sum
j=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j y(l)(tj , 0) = q(0), (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ IЗ ПАРАМЕТРОМ . . . 1017
де матрицi \beta (l)
j \in \BbbC m\times m, точки tj \in [a, b] та вектор q(0) \in \BbbC rm задано довiльно.
Для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) B(\varepsilon ) є лiнiйним неперервним оператором:
B(\varepsilon ) : (Wn+r
p )m \rightarrow \BbbC rm. (8)
Крайовiй задачi (4), (5) для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) вiдповiдає лiнiйний оператор\bigl(
L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr)
: (Wn+r
p )m \rightarrow (Wn
p )
m \times \BbbC rm. (9)
Згiдно з [10], (9) є обмеженим фредгольмовим оператором з iндексом нуль.
Основний результат даної статтi полягає у встановленнi явних достатнiх умов, за яких
розв’язок y = y(\cdot , \varepsilon ) багатоточкової крайової задачi (4), (5) є неперервним за параметром \varepsilon
у просторi Соболєва Wn+r
p , 1 \leq p \leq \infty , тобто розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) iснує, єдиний i задовольняє
граничне спiввiдношення\bigm\| \bigm\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
n+r,p
\rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (10)
Для того щоб дослiджувана задача мала сенс, далi будемо вважати, що виконується умо-
ва (0): однорiдна гранична крайова задача вигляду (6), (7) має лише тривiальний розв’язок,
тобто є невиродженою.
Звiдси випливає, що при \varepsilon = 0 фредгольмовий оператор (9) є iзоморфiзмом, тобто\bigl(
L(0), B(0)
\bigr)
: (Wn+r
p )m \updownarrow (Wn
p )
m \times \BbbC rm.
Тому крайова задача (6), (7) має єдиний розв’язок y(t, 0) \in (Wn+r
p )m i визначена однозначно
для довiльно вибраних правих частин f(t, 0) \in (Wn
p )
m i q(0) \in \BbbC rm.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати статтi у виглядi теорем 1 i 2.
Доведення цих теорем наведено в пп. 4, 5. Розглянемо:
граничнi умови при \varepsilon \rightarrow 0+:
(I) Ar - j(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow Ar - j(\cdot , 0) у (Wn
p )
m\times m для кожного j \in \{ 1, . . . , r\} ;
(II) B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y у \BbbC rm для кожного y \in (Wn+r
p )m,
припущення при \varepsilon \rightarrow 0+:
(\alpha ) tj,k(\varepsilon ) \rightarrow tj для всiх j \in \{ 1, . . . , N\} i k \in
\bigl\{
1, . . . , \omega j(\varepsilon )
\bigr\}
;
(\beta )
\sum \omega j(\varepsilon )
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) \rightarrow \beta
(l)
j для всiх j \in \{ 1, . . . , N\} i l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} ;
(\gamma )
\sum \omega j(\varepsilon )
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| tj,k(\varepsilon ) - tj
\bigm| \bigm| \rightarrow 0 для всiх j \in \{ 1, . . . , N\} , k \in \{ 1, . . . , \omega j(\varepsilon )\} i l \in
\in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} ;
(\delta )
\sum \omega 0(\varepsilon )
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 для всiх k \in \{ 1, . . . , \omega 0(\varepsilon )\} i l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} .
Зауважимо, що для крайової задачi (4), (5) не припускається, що коефiцiєнти Ar - j(\cdot , \varepsilon ),
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) чи точки tj,k(\varepsilon ) мають певну регулярнiсть за параметром \varepsilon при \varepsilon > 0. Будемо вимагати,
щоб для кожного фiксованого j \in \{ 1, . . . , N\} всi точки tj,k(\varepsilon ) мали спiльну границю при
\varepsilon \rightarrow 0+, проте для точок нульової серiї t0,k(\varepsilon ) така вимога не висуватиметься.
В умовах (\gamma ) та (\delta ) вираз \| \cdot \| є нормою комплексної числової матрицi; ця норма дорiвнює
сумi модулiв усiх елементiв матрицi. Припущення (\beta ) i (\gamma ) допускають, що норми коефiцiєнтiв\bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| можуть необмежено зростати при \varepsilon \rightarrow 0+, але не надто швидко. З умови (\delta ) випли-
ває, що не потрiбно вимагати збiжностi точок t0,j(\varepsilon ) при \varepsilon \rightarrow 0+ на вiдмiну вiд умови (\alpha ).
Сформулюємо граничну теорему для розв’язкiв багатоточкової крайової задачi (4), (5) у
випадку p = \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1018 О. М. АТЛАСЮК
Теорема 1. Нехай крайова задача (4), (5) при p = \infty задовольняє припущення (\alpha ), (\beta ),
(\gamma ), (\delta ). Тодi вона задовольняє граничну умову (II).
Якщо, крiм того, виконано умови (0) i (I), то для достатньо малих \varepsilon її розв’язок iснує, є
єдиним i задовольняє граничне спiввiдношення (10).
Перейдемо тепер до випадку 1 \leq p < \infty . Для цього розглянемо ще такi припущення при
\varepsilon \rightarrow 0+:
(\gamma p)
\sum \omega j(\varepsilon )
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (n+r - 1)
j,k (\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| | tj,k(\varepsilon ) - tj | 1/p
\prime
= O(1) для всiх j \in \{ 1, . . . , N\} i k \in
\bigl\{
1, . . .
. . . , \omega j(\varepsilon )
\bigr\}
, де 1/p+ 1/p\prime = 1;
(\gamma \prime )
\sum \omega j(\varepsilon )
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| | tj,k(\varepsilon ) - tj | \rightarrow 0 для всiх j \in \{ 1, . . . , N\} , k \in
\bigl\{
1, . . . , \omega j(\varepsilon )
\bigr\}
i
l \in \{ 0, . . . , n+ r - 2\} .
Зазначимо, що системи умов (\alpha ), (\beta ), (\gamma ), (\delta ) та (\alpha ), (\beta ), (\gamma p), (\gamma
\prime ), (\delta ) не гарантують
рiвномiрної збiжностi неперервних операторiв B(\varepsilon ) iз (Wn+r
p )m до B(0) в \BbbC rm при \varepsilon \rightarrow 0 + .
Тому теорема 1 не випливає iз загальних фактiв теорiї лiнiйних операторiв.
Сформулюємо граничну теорему для розв’язкiв багатоточкової крайової задачi (4), (5) у
випадку 1 \leq p < \infty .
Теорема 2. Нехай крайова задача (4), (5) при 1 \leq p < \infty задовольняє припущення (\alpha ),
(\beta ), (\gamma p), (\gamma
\prime ), (\delta ). Тодi вона задовольняє граничну умову (II).
Якщо, крiм того, виконано умови (0) i (I), то для достатньо малих \varepsilon її розв’язок iснує, є
єдиним i задовольняє граничне спiввiдношення (10).
Зазначимо, що для диференцiальних рiвнянь першого порядку (випадок r = 1) теореми 1
i 2 доведено у роботi [11]. У загальному ж випадку для диференцiальних рiвнянь довiльного
порядку доведення теорем 1 i 2 ґрунтуються на критерiю неперервностi найбiльш загальних
крайових задач, сформульованому у роботi [12].
Зауважимо, що в роботах Т. I. Кодлюк i В. А. Михайлеця [5, 6] дослiджено багатоточковi
крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку в просторах
Соболєва Wn
p , де 1 \leq p < \infty , але в цих роботах точки вiдрiзка [a, b], якi фiгурують у крайовiй
умовi, є фiксованими i не залежать вiд параметра. У роботi Є. В. Гнип i Т. I. Кодлюк [7]
дослiджено некласичнi багатоточковi крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних
рiвнянь довiльного порядку в просторах Соболєва Wn+r
p , де 1 \leq p < \infty , проте в цiй роботi
кiлькiсть точок у кожнiй серiї не залежить вiд параметра \varepsilon .
4. Доведення теореми 1. Запишемо оператор (8) у виглядi скiнченної суми N+1 доданкiв,
роздiлених за серiями:
B(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) = B0(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) +B1(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) + . . .+BN (\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ), (11)
де
B0(\varepsilon )y(t0,k(\varepsilon ), \varepsilon ) =
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
0,k(\varepsilon )y
(l)
\bigl(
t0,k(\varepsilon )
\bigr)
,
B1(\varepsilon )y(t1,k(\varepsilon ), \varepsilon ) =
\omega 1(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
1,k(\varepsilon )y
(l)
\bigl(
t1,k(\varepsilon )
\bigr)
,
(12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ IЗ ПАРАМЕТРОМ . . . 1019
BN (\varepsilon )y(tN,k(\varepsilon ), \varepsilon ) =
\omega N (\varepsilon )\sum
k=N
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
N,k(\varepsilon )y
(l)
\bigl(
tN,k(\varepsilon )
\bigr)
.
Тодi спiввiдношення
B0(\varepsilon )
s - \rightarrow 0, (13)
Bj(\varepsilon )
s - \rightarrow Bj(0), j \in \{ 1, . . . , N\} , (14)
гарантують виконання граничної умови (II).
Покажемо спочатку сильну збiжнiсть операторiв B0(\varepsilon ) до нуля, тобто виконання спiввiд-
ношення (13). Враховуючи умову (\delta ), отримуємо нерiвнiсть
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)\bigl( t0,k(\varepsilon )\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y\bigm\| \bigm\| n+r,\infty \rightarrow 0
для всiх допустимих значень iндексiв k i l. Цi та всi iншi границi у доведеннi розглядаємо за
умови, що \varepsilon \rightarrow 0 + .
Для довiльної вектор-функцiї y \in (Wn+r
\infty )m i достатньо малого значення параметра \varepsilon > 0
маємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Bj(\varepsilon )y - Bj(0)y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) -
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)\bigl( t0,k(\varepsilon )\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
+
n+r - 1\sum
l=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (15)
Дослiдимо другий доданок у правiй частинi формули (15). Для довiльних j \in \{ 1, . . . , N\}
та l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) -
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj) +
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )
\Bigl(
y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\right) y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| y\| n+r,\infty . (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1020 О. М. АТЛАСЮК
Тодi на пiдставi умови (\beta ) справджується збiжнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| y\| n+r,\infty \rightarrow 0. (17)
Зауважимо, що у просторi Wn+r
\infty для довiльних точок \{ \tau 1, \tau 2\} \subset [a, b] та y \in (Wn+r
\infty )m
виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| y(n+r - 2)(\tau 1) - y(n+r - 2)(\tau 2)
\bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau 2\int
\tau 1
y(n+r - 1)(s)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\tau 2\int
\tau 1
\bigm| \bigm| y(n+r - 1)(s)
\bigm| \bigm| ds = | \tau 2 - \tau 1| \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\leq \tau 1<\tau 2\leq b
\bigm| \bigm| y(n+r - 1)
\bigm| \bigm| . (18)
Крiм того, похiднi функцiй до порядку n + r - 3 iснують та є лiпшицевими, а похiдна по-
рядку n + r - 1 iснує майже скрiзь та є iстотно обмеженою. З наведених мiркувань та з
умови (18) випливає, що похiдна (n+ r - 2)-го порядку також є лiпшицевою. Тому має мiсце
спiввiдношення
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0. (19)
Справдi, якщо 0 \leq l \leq n+ r - 1, то це є безпосереднiм наслiдком умови (\gamma ) i того факту, що
вектор-функцiя y належить простору (Wn+r
\infty )m з вiдповiдно визначеною нормою
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(n+r - 1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| tj,k(\varepsilon ) - tj
\bigm| \bigm| \leq
\leq \| y\| n+r,\infty
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| tj,k(\varepsilon ) - tj
\bigm| \bigm| \rightarrow 0.
Iз формул (16), (17), (19) безпосередньо випливає збiжнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0. (20)
Збiжнiсть (20) обумовлює виконання умов (14). Тому, враховуючи формули (13) i (14),
робимо висновок, що \| B(\varepsilon )y - B(0)y\| \rightarrow 0. Нагадаємо, що вектор-функцiя y \in (Wn+r
\infty )m є
довiльною. Отже, гранична умова (II) справджується.
Перше твердження теореми 1 доведено. Друге твердження випливає з доведеного вище i
теореми 1 [12].
5. Доведення теореми 2. Як i ранiше, будемо вважати, що оператор (8) записано у вигля-
дi (11), де скiнченна сума N + 1 доданкiв роздiлена за серiями (12).
Згiдно з теоремою Банаха – Штейнгауза достатньо показати, що норма оператора B(\varepsilon ) :
(Wn+r
p )m \rightarrow \BbbC rm є обмеженою при 0 < \varepsilon \ll 1 i B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y при \varepsilon \rightarrow 0+ для кож-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ IЗ ПАРАМЕТРОМ . . . 1021
ної вектор-функцiї y, яка належить щiльнiй множинi (C\infty )m := C\infty \bigl(
[a, b],\BbbC rm
\bigr)
у просторi
(Wn+r
p )m.
Доведемо спочатку рiвномiрну по \varepsilon обмеженiсть норми оператора
B(\varepsilon ) =
N\sum
j=0
Bj(\varepsilon ).
Виберемо довiльну вектор-функцiю y \in (Wn+r
p )m i достатньо малий параметр \varepsilon > 0. Згiдно з
крайовою умовою (5) виконується нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Bj(\varepsilon )y - Bj(0)y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) -
n+r - 1\sum
l=0
\beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
n+r - 1\sum
l=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(t0,k(\varepsilon ))\bigm\| \bigm\| +
n+r - 1\sum
l=0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (21)
Покажемо обмеженiсть норми оператора, що вiдповiдає нульовiй серiї. Використовуючи
неперервнiсть вкладення (3), одержуємо нерiвнiсть
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(t0,k(\varepsilon ))\bigm\| \bigm\| \leq c0
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \| y\| n+r,p (22)
для всiх допустимих значень iндексiв l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} i k \in
\bigl\{
1, . . . , \omega 0(\varepsilon )
\bigr\}
, де c0 — норма
оператора вкладення (3). Цi та всi iншi границi у доведеннi розглядаємо за умови, що \varepsilon \rightarrow 0+ .
Крiм того, для будь-яких l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} i j \in \{ 1, . . . , N\} маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj,k(\varepsilon )) -
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj) +
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )y
(l)(tj) - \beta
(l)
j y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon )
\Bigl(
y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\right) y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| y\| n+r,p. (23)
Тут для l = n+ r - 1 i кожного k \in
\bigl\{
1, . . . , \omega j(\varepsilon )
\bigr\}
виконується нерiвнiсть
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (n+r - 1)
j,k (\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(n+r - 1)(tj,k(\varepsilon )) - y(n+r - 1)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1022 О. М. АТЛАСЮК
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (n+r - 1)
j,k (\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| c1 \| y\| n+r,p | tj,k(\varepsilon ) - tj | 1/p
\prime
, (24)
де c1 — норма неперервного оператора вкладення простору Соболєва Wn+r
p у комплексний
простiр Гельдера Cn+r - 1,1/p\prime
\bigl(
[a, b]
\bigr)
(див., наприклад, [13], теорема 4.6.1(e)). Якщо 1/p\prime = 0,
то останнiй простiр є Cn+r - 1 i нерiвнiсть (24) виконується при c1 := 2c0.
Крiм того, для кожного l \in \BbbZ , де 0 \leq l \leq n+ r - 2, за теоремою Лагранжа маємо
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
a\leq t\leq b
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l+1)(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| | tj,k(\varepsilon ) - tj | \leq
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| c0\| y\| n+r,p | tj,k(\varepsilon ) - tj | . (25)
Iз нерiвностей (21) – (25) та умов (\beta ), (\gamma p), (\gamma
\prime ), (\delta ) випливає, що\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y - B(0)y
\bigm\| \bigm\| \leq c \| y\| n+r,p,
де число c > 0 не залежить вiд y \in (Wn+r
p )m i достатньо малого \varepsilon > 0. Отже, норма оператора
B(\varepsilon ) обмежена при 0 < \varepsilon \ll 1.
Обґрунтуємо сильну збiжнiсть оператора B(\varepsilon ) до B(0). Враховуючи умову (\delta ) i нерiв-
нiсть (22), отримуємо
\omega 0(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
0,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(t0,k(\varepsilon ))\bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0. (26)
Крiм того, за умовою (\beta )
c0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\beta
(l)
j,k(\varepsilon ) - \beta
(l)
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| y\| n+r,p \rightarrow 0. (27)
Якщо y належить (C\infty )m, то
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l)(tj,k(\varepsilon )) - y(l)(tj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\omega j(\varepsilon )\sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta (l)
j,k(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
a\leq t\leq b
\bigm\| \bigm\| \bigm\| y(l+1)(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| tj,k(\varepsilon ) - tj
\bigm| \bigm| \rightarrow 0 (28)
для всiх l \in \{ 0, . . . , n+ r - 1\} з урахуванням умов (\alpha ) i (\beta ). Отже, з формул (21), (26) – (28)
маємо збiжнiсть B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y в \BbbC rm при \varepsilon \rightarrow 0+ для кожного y \in (C\infty )m.
Перше твердження теореми 2 доведено. Друге твердження випливає з доведеного вище i
теореми 4.2 [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ IЗ ПАРАМЕТРОМ . . . 1023
Лiтература
1. А. М. Самойленко, Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от
параметра, Укр. мат. журн., 14, № 3, 289 – 298 (1962).
2. А. М. Самойленко, Н. И. Ронто, Численно-аналитические методы исследования периодических решений, Вища
шк., Киев (1976).
3. И. Т. Кигурадзе, О краевых задачах для линейных дифференциальных систем с сингулярностями, Дифференц.
уравнения, 39, № 2, 198 – 209 (2003).
4. В. Д. Пономарев, Необходимые и достаточные условия разрешимости многоточечной краевой задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, Дифференц. уравнения, 14, № 5, 929 – 932 (1978).
5. Т. И. Кодлюк, Предельный переход в классе многоточечных краевых задач, Аналiз i застосування: Зб. праць
Iн-ту математики НАН України, 9, № 2, 203 – 216 (2012).
6. Т. И. Кодлюк, В. A. Михайлец, Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева,
Доп. НАН України, № 11, 15 – 19 (2012).
7. Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк, Неперервнiсть за параметром розв’язкiв некласичних багатоточкових крайових
задач на просторах Соболєва, Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України, 12, № 2, 101 – 112 (2015).
8. Г. О. Маслюк, Багатоточковi крайовi задачi з параметром для диференцiальних рiвнянь високого порядку на
просторах Гельдера, Диференц. рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України,
13, № 2, 193 – 203 (2016).
9. Г. О. Маслюк, В. О. Солдатов, Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач, тотальних щодо
просторiв C(n) , Диференц. рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 14,
№ 2, 185 – 197 (2017).
10. О. М. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, On the solvability of inhomogeneous boundary-value problems in Sobolev spaces
(in Ukrainian), Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki, № 11, 3 – 7 (2019).
11. O. M. Atlasiuk, Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems in Sobolev spaces, J. Math. Sci.,
247, № 2, 238 – 247 (2020).
12. О. М. Atlasiuk, V. A. Mikhailets, On Fredholm parameter-dependent boundary-value problems in Sobolev spaces,
Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki, № 6, 3 – 6 (2020).
13. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир,
Москва (1980).
14. Y. V. Hnyp, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in
Sobolev spaces, Electron. J. Different. Equat., № 81, 1 – 13 (2017).
Одержано 07.06.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6158 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:16Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e7/9b3ba9e2b99dcfdd09717f9353547de7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61582020-08-23T08:33:20Z Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces Граничні теореми для розв’язків багатоточкових крайових задач із параметром у просторах Соболєва Atlasiuk , O. M. Атласюк, О. М. багатоточкова крайова задача неперервність за параметром фредгольмовий оператор простір Соболєва multipoint boundary-value problem continuity in parameter Fredholm operator Sobolev space UDC 517.927 We consider the most general class of multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of an arbitrary order whose solutions belong to the given Sobolev space $W_p^{n+r},$ with $n\geq 0,$ $r\geq 1,$ and $1\leq p\leq \infty.$&nbsp;&nbsp;We establish constructive sufficient conditions under which the solutions of these problems are continuous with respect to the parameter $\varepsilon$ at $\varepsilon=0$ in the space $W_p^{n+r}.$ УДК 517.927 Розглянуто найбільш загальний клас багатоточкових крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку, розв'язки яких належать заданому простору Соболєва $W_p^{n+r}$, де $n\geq 0$, $r\geq 1$ і $1\leq p\leq \infty$. Встановлено конструктивні достатні умови, за яких розв'язки цих задач неперервні за параметром $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$ у просторі $W_p^{n+r}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6158 10.37863/umzh.v72i8.6158 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 8 (2020); 1015-1023 Український математичний журнал; Том 72 № 8 (2020); 1015-1023 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6158/8735 Copyright (c) 2020 Олена Миколаївна Атласюк |
| spellingShingle | Atlasiuk , O. M. Атласюк, О. М. Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title | Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title_alt | Граничні теореми для розв’язків багатоточкових крайових задач із параметром у просторах Соболєва |
| title_full | Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title_fullStr | Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title_short | Limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces |
| title_sort | limit theorems for solutions of multipoint boundary-value problems with a parameter in sobolev spaces |
| topic_facet | багатоточкова крайова задача неперервність за параметром фредгольмовий оператор простір Соболєва multipoint boundary-value problem continuity in parameter Fredholm operator Sobolev space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6158 |
| work_keys_str_mv | AT atlasiukom limittheoremsforsolutionsofmultipointboundaryvalueproblemswithaparameterinsobolevspaces AT atlasûkom limittheoremsforsolutionsofmultipointboundaryvalueproblemswithaparameterinsobolevspaces AT atlasiukom graničníteoremidlârozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadačízparametromuprostorahsobolêva AT atlasûkom graničníteoremidlârozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadačízparametromuprostorahsobolêva |