Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence
UDC 517.537.72 We study the growth of a Dirichlet series $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f_n\exp\{s\lambda_n\}$ with zero abscissa of absolute convergence with respect to the entire Dirichlet series $G(s)=\sum _{n=1}^{\infty}g_n\exp\{s\lambda_n\}$ by using the generalized quantities of order $\varrho^0_{\...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6168 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512283410563072 |
|---|---|
| author | Mulyava, O. M. Sheremeta , M. M. Мулява, Оксана Мулява, О. М. Шеремета, М. М. |
| author_facet | Mulyava, O. M. Sheremeta , M. M. Мулява, Оксана Мулява, О. М. Шеремета, М. М. |
| author_sort | Mulyava, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.537.72
We study the growth of a Dirichlet series $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f_n\exp\{s\lambda_n\}$ with zero abscissa of absolute convergence with respect to the entire Dirichlet series $G(s)=\sum _{n=1}^{\infty}g_n\exp\{s\lambda_n\}$ by using the generalized quantities of order $\varrho^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varlimsup\nolimits_{\sigma\uparrow 0}\dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)}$ and lower order $\lambda^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varliminf_{\sigma\uparrow 0} \dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)},$ where $M_F(\sigma)=\sup\{|F(\sigma+it)|\colon t\in{\Bbb R}\},$ $M^{-1}_G(x)$ is the function inverse to $M_G(\sigma),$ and $\beta$ is a positive increasing function growing to $+\infty.$
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.6168 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.6168
УДК 517.537.72
О. М. Мулява (Київ нац. ун-т харч. технологiй),
М. М. Шеремета (Львiв нац. ун-т iм. I. Франка)
ВIДНОСНЕ ЗРОСТАННЯ РЯДIВ ДIРIХЛЕ
З РIЗНИМИ АБСЦИСАМИ АБСОЛЮТНОЇ ЗБIЖНОСТI
We study the growth of a Dirichlet series F (s) =
\sum \infty
n=1
fn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} with zero abscissa of absolute convergence with
respect to the entire Dirichlet series G(s) =
\sum \infty
n=1
gn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} by using the generalized quantities of order \varrho 0\beta ,\beta [F ]G =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | ) and lower order \lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | ) , where MF (\sigma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | F (\sigma +it)| :
t \in \BbbR \} , M - 1
G (x) is the function inverse to MG(\sigma ), and \beta is a positive increasing function growing to +\infty .
Вивчається зростання ряду Дiрiхле F (s) =
\sum \infty
n=1
fn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} з нульовою абсцисою абсолютної збiжностi
вiдносно цiлого ряду Дiрiхле G(s) =
\sum \infty
n=1
gn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} за допомогою узагальнених порядку \varrho 0\beta ,\beta [F ]G =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | ) i нижнього порядку \lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | ) , де MF (\sigma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | F (\sigma +
+ it)| : t \in \BbbR \} , M - 1
G (x) — функцiя, обернена до MG(\sigma ), i \beta — додатна зростаюча до +\infty функцiя.
1. Вступ. Нехай f i g — цiлi трансцендентнi функцiї i Mf (r) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(z)| : | z| = r\} .
Для вивчення вiдносного зростання функцiй f i g Х. Рой [1] використав порядок \varrho g[f ] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} M - 1
g (Mf (r))
\mathrm{l}\mathrm{n} r
i нижнiй порядок \lambda g[f ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} M - 1
g (Mf (r))
\mathrm{l}\mathrm{n} r
функцiї f
вiдносно функцiї g. Дослiдження вiдносного зростання цiлих функцiй продовжили iншi ма-
тематики (див., наприклад, [2 – 5]) в термiнах максимальних членiв, неванлiннових характери-
стик, k-логарифмiчних порядкiв. У статтi [6] вивчається вiдносне зростання цiлих функцiй двох
комплексних змiнних, а в [7] — вiдносне зростання цiлих рядiв Дiрiхле в термiнах R-порядкiв.
Припустимо, що \Lambda = (\lambda n) — зростаюча до +\infty послiдовнiсть невiд’ємних чисел, i через
S(\Lambda , A) позначимо клас рядiв Дiрiхле
F (s) =
\infty \sum
n=1
fn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} , s = \sigma + it, (1)
з абсцисою абсолютної збiжностi \sigma a = A \in ( - \infty , \infty ]. Для \sigma < A приймемо MF (\sigma ) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | F (\sigma + it)| : t \in \BbbR \} .
Нехай L — клас неперервних невiд’ємних на ( - \infty , +\infty ) функцiй \alpha таких, що \alpha (x) =
= \alpha (x0) \geq 0 для x \leq x0 i \alpha (x) \uparrow +\infty при x0 \leq x \rightarrow +\infty . Будемо говорити, що \alpha \in L0,
якщо \alpha \in L i \alpha ((1 + o(1))x) = (1 + o(1))\alpha (x) при x \rightarrow +\infty . Нарештi, \alpha \in Lsi, якщо \alpha \in L i
\alpha (cx) = (1+ o(1))\alpha (x) при x \rightarrow +\infty для кожного c \in (0, +\infty ), тобто \alpha — повiльно зростаюча
функцiя. Зрозумiло, що Lsi \subset L0.
Якщо \alpha \in L, \beta \in L i F \in S(\Lambda , +\infty ), то величини
\varrho \alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (\sigma )
, \lambda \alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (\sigma )
(2)
називаються [8] узагальненим (\alpha , \beta )-порядком i узагальненим нижнiм (\alpha , \beta )-порядком функцiї
F вiдповiдно. Будемо говорити, що F має узагальнене регулярне (\alpha , \beta )-зростання, якщо 0 <
< \lambda \alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [F ] < +\infty .
c\bigcirc О. М. МУЛЯВА, М. М. ШЕРЕМЕТА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11 1535
1536 О. М. МУЛЯВА, М. М. ШЕРЕМЕТА
Як i в [9], означимо узагальнений (\beta , \beta )-порядок \varrho \beta ,\beta [F ]G i узагальнений нижнiй (\beta , \beta )-
порядок \lambda \beta ,\beta [F ]G функцiї F \in S(\Lambda , +\infty ) вiдносно функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ), заданої рядом
Дiрiхле
G(s) =
\infty \sum
n=1
gn \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ s\lambda n\} , (3)
таким чином:
\varrho \beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (\sigma )
, \lambda \beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (\sigma )
. (4)
Справедливими є двi такi теореми.
Теорема А [9]. Нехай \alpha \in L i \beta \in L. За винятком випадкiв, коли \varrho \alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] =
= 0 або \varrho \alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] = +\infty , виконується нерiвнiсть \varrho \beta ,\beta [F ]G \geq \varrho \alpha ,\beta [F ]/\varrho \alpha ,\beta [G], i за
умови узагальненого регулярного (\alpha , \beta )-зростання функцiї G ця нерiвнiсть перетворюється в
рiвнiсть.
За винятком випадкiв, коли \lambda \alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = 0 або \lambda \alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = +\infty , вико-
нується нерiвнiсть \lambda \beta ,\beta [F ]G \leq \lambda \alpha ,\beta [F ]/\lambda \alpha ,\beta [G], i за умови узагальненого регулярного (\alpha , \beta )-
зростання функцiї G ця нерiвнiсть перетворюється в рiвнiсть.
Теорема Б [9]. Нехай 0 < p < +\infty i виконується одна з умов:
a) \alpha \in L0, \beta (\mathrm{l}\mathrm{n} x) \in L0,
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
\rightarrow 1
p
(x \rightarrow +\infty ) для кожного c \in (0,+\infty ) i
\mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\lambda n) (n \rightarrow \infty );
b) \alpha \in Lsi, \beta \in L0, \varrho \alpha ,\beta [F ] < +\infty ,
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
= O(1) (x \rightarrow +\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} n =
= o(\lambda n\beta
- 1(c\alpha (\lambda n))) (n \rightarrow \infty ) для кожного c \in (0,+\infty ).
Припустимо, що \alpha (\lambda n+1/p) = (1 + o(1))\alpha (\lambda n/p) при n \rightarrow \infty .
Якщо функцiя G має узагальнене регулярне (\alpha , \beta )-зростання i
\kappa n[G] :=
\mathrm{l}\mathrm{n} | gn| - \mathrm{l}\mathrm{n} | gn+1|
\lambda n+1 - \lambda n
\nearrow +\infty , n0 \leq n \rightarrow \infty ,
то
\varrho \beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
p
+
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) \Big/
\beta
\biggl(
1
p
+
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| fn|
\biggr)
,
за винятком випадкiв, коли \varrho \alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] = 0 або \varrho \alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] = +\infty .
Якщо, крiм цього, \kappa n[F ] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\lambda \beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
p
+
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) \Big/
\beta
\biggl(
1
p
+
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| fn|
\biggr)
,
за винятком випадкiв, коли \lambda \alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = 0 або \lambda \alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = +\infty .
У термiнах R-типiв подiбнi результати отримано в [10].
У наведених результатах ряди Дiрiхле (1) i (3) мають одну i ту ж абсцису абсолютної
збiжностi. Тут ми вивчимо (\beta , \beta )-зростання функцiї F \in S(\Lambda , 0) вiдносно функцiї G \in
\in S(\Lambda , +\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ВIДНОСНЕ ЗРОСТАННЯ РЯДIВ ДIРIХЛЕ З РIЗНИМИ АБСЦИСАМИ . . . 1537
2. Аналоги теореми А. Для \alpha \in L, \beta \in L i F \in S(\Lambda , 0) величини
\varrho 0\alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (1/| \sigma | )
, \lambda 0
\alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (1/| \sigma | )
(5)
називаються [11] узагальненим порядком i узагальненим нижнiм порядком функцiї F вiдпо-
вiдно.
Припустимо, що F \in S(\Lambda , 0) i G \in S(\Lambda , +\infty ). Тодi функцiя MG(\sigma ) є неперервною
i зростаючою до +\infty на ( - \infty , +\infty ) i, отже, iснує обернена до MG(\sigma ) функцiя M - 1
G (x),
зростаюча до +\infty на [x0, +\infty ). Функцiя MF (\sigma ) може бути обмеженою на ( - \infty , 0), але якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty | fn| = +\infty , то MF (\sigma ) є неперервною i зростаючою до +\infty на ( - \infty , 0) i, отже, iснує
обернена до MF (\sigma ) функцiя M - 1
F (x), зростаюча до 0 на [x0, +\infty ). Далi будемо вважати,
що умова \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty | fn| = +\infty виконується. Подiбно до (4) означимо узагальнений порядок i
узагальнений нижнiй порядок функцiї F вiдносно функцiї G формулами
\varrho 0\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | )
, \lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\beta (M - 1
G (MF (\sigma )))
\beta (1/| \sigma | )
.
Теорема 1. Якщо \alpha \in L, \beta \in L, F \in S(\Lambda , 0) i G \in S(\Lambda , +\infty ), то:
1) нерiвнiсть \varrho 0\beta ,\beta [F ]G \geq \varrho 0\alpha ,\beta [F ]/\varrho \alpha ,\beta [G] є правильною за винятком випадкiв, коли
\varrho 0\alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] = 0 або \varrho 0\alpha ,\beta [F ] = \varrho \alpha ,\beta [G] = +\infty , а за умови узагальненого регулярного
(\alpha , \beta )-зростання функцiї G ця нерiвнiсть перетворюється в рiвнiсть;
2) нерiвнiсть \lambda 0
\beta ,\beta [F ]G \leq \lambda 0
\alpha ,\beta [F ]/\lambda \alpha ,\beta [G] є правильною за винятком випадкiв, коли
\lambda 0
\alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = 0 або \lambda 0
\alpha ,\beta [F ] = \lambda \alpha ,\beta [G] = +\infty , а за умови узагальненого регулярно-
го (\alpha , \beta )-зростання функцiї G ця нерiвнiсть перетворюється в рiвнiсть.
Доведення. Справдi,
\varrho 0\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (x))
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (1/| \sigma | )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\beta (\sigma )
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MG(\sigma ))
=
\varrho 0\alpha ,\beta [F ]
\varrho \alpha ,\beta [G]
i
\varrho 0\beta ,\beta [F ]G \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ))
\beta (1/| \sigma | )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\beta (\sigma )
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} MG(\sigma ))
=
\varrho 0\alpha ,\beta [F ]
\lambda \alpha ,\beta [G]
.
Звiдси випливає перша частина теореми 1.
Доведення другої частини подiбне. Справдi,
\lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1538 О. М. МУЛЯВА, М. М. ШЕРЕМЕТА
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
=
\lambda 0
\alpha ,\beta [F ]
\lambda \alpha ,\beta [G]
i
\lambda 0
\beta ,\beta [F ]G \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
\beta (1/| M - 1
F (x)| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\beta (M - 1
G (x))
\alpha (\mathrm{l}\mathrm{n} x)
=
\lambda 0
\alpha ,\beta [F ]
\varrho \alpha ,\beta [G]
,
звiдки випливає друга частина теореми 1.
Якщо виберемо \alpha (x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x i \beta (x) = x для x \geq 3, то з (2) отримаємо означення R-порядку
\varrho R[G] i нижнього R-порядку \lambda R[G], введених Ж. Рiттом [12] для функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ),
а з (5) — означення R-порядку \varrho 0R[F ] i нижнього R-порядку \lambda 0
R[F ], введених А.М. Гайсi-
ним [13] для функцiї F \in S(\Lambda , 0). Величини \varrho 0R[F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | M - 1
G (MF (\sigma )) i \lambda 0
R[F ]G =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | M
- 1
G (MF (\sigma )) назвемо вiдповiдно R-порядком i нижнiм R-порядком функцiї F \in
\in S(\Lambda , 0) вiдносно функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ).
З теореми 1 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Якщо 0 < \lambda R[G] \leq \varrho R[G] < +\infty , то виконуються нерiвностi \varrho 0R[F ]G \geq
\geq \varrho 0R[F ]/\varrho R[G] i \lambda 0
R[F ]G \leq \lambda 0
R[F ]/\lambda R[G], а за умови регулярного зростання функцiї G (а саме
0 < \lambda R[G] = \varrho R[G] < +\infty ) цi нерiвностi перетворюються в рiвностi.
Якщо виберемо \alpha (x) = \beta (x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x для x \geq 3, то з (2) отримаємо означення логарифмiчних
порядку \varrho l[G] i нижнього порядку \lambda l[G] для функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ), а з (5) — означення
логарифмiчних порядку \varrho 0l [F ] i нижнього порядку \lambda 0
l [F ] для функцiї F \in S(\Lambda , 0). Величини
\varrho 0l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} M - 1
G (MF (\sigma ))
\mathrm{l}\mathrm{n} (1/| \sigma | )
i \lambda 0
l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} M - 1
G (MF (\sigma ))
\mathrm{l}\mathrm{n} (1/| \sigma | )
назвемо логарифмiчними
порядком i нижнiм порядком функцiї F \in S(\Lambda , 0) вiдносно функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ) вiдповiдно.
Зауважимо, що \lambda l[G] \geq 1 для кожного G \in S(\Lambda , +\infty ). Тому з теореми 1 випливає також таке
твердження.
Наслiдок 2. Якщо \varrho l[G] < +\infty , то \varrho 0l [F ]G \geq \varrho 0l [F ]/\varrho l[G] i \lambda 0
l [F ]G \leq \lambda 0
l [F ]/\lambda l[G], а за
умови регулярного логарифмiчного зростання функцiї G (а саме \lambda l[G] = \varrho l[G] < +\infty ) цi
нерiвностi перетворюються в рiвностi.
Для детальнiшого опису зростання рядiв Дiрiхле скiнченного ненульового R-порядку ви-
користовують поняття R-типу. Для функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ) R-порядку \varrho R[G] \in (0, +\infty ) вели-
чини TR[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \rightarrow +\infty \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \sigma \varrho R[G]\} \mathrm{l}\mathrm{n} MG(\sigma ) i tR[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \rightarrow +\infty \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \sigma \varrho R[G]\} \mathrm{l}\mathrm{n} MG(\sigma )
називаються R-типом i нижнiм R-типом. Аналогiчно T 0
R[F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \varrho 0R[F ]/| \sigma | \} \mathrm{l}\mathrm{n}MF (\sigma )
i t0R[F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \varrho 0R[F ]/| \sigma | \} \mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ) для функцiї F \in S(\Lambda , 0) R-порядку \varrho 0R[F ] \in
\in (0, +\infty ). Нарештi, нехай T 0
R[F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \varrho 0R[F ]G/| \sigma | \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ M - 1
G (MF (\sigma ))\} i t0R[F ]G =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - \varrho 0R[F ]G/| \sigma | \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ M - 1
G (MF (\sigma ))\} — вiдповiдно R-тип i нижнiй R-тип функцiї
F \in S(\Lambda , 0) вiдносно функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ).
З означення TR[G] i T 0
R[F ] видно, що з теореми 1 не можна отримати вiдповiдний наслiдок
для T 0
R[F ]G. Проте правильним є такий аналог теореми А.
Твердження 1. Припустимо, що функцiя G має регулярне зростання i 0 < tR[G] \leq
\leq TR[G] < \infty . Тодi T 0
R[F ]G \geq (T 0
R[F ]/TR[G])1/\varrho R[G] i t0R[F ]G \leq (t0R[F ]/tR[G])1/\varrho R[G], а за
умови сильно регулярного зростання функцiї G (а саме 0 < tR[G] = TR[G] < \infty ) цi нерiвностi
перетворюються в рiвностi.
Доведення. Оскiльки G має регулярне зростання, за наслiдком 1 \varrho 0R[F ]G = \varrho 0R[F ]/\varrho R[G].
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ВIДНОСНЕ ЗРОСТАННЯ РЯДIВ ДIРIХЛЕ З РIЗНИМИ АБСЦИСАМИ . . . 1539
T 0
R[F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ M - 1
G (MF (\sigma ))\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]G/| \sigma | \}
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\Biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (MF (\sigma ))\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]/| \sigma | \}
\Biggr) 1/\varrho R[G]
,
тобто
(T 0
R[F ]G)
\varrho R[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (x)\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]/| M - 1
F (x)| \}
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (x)\}
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]G/| M - 1
F (x)| \}
\geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]/| M - 1
F (x)| \}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (x)\}
\mathrm{l}\mathrm{n} x
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]/| \sigma | \}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]\sigma \}
\mathrm{l}\mathrm{n} MG(\sigma )
=
T 0
R[F ]
TR[G]
i
(T 0
R[F ]G)
\varrho R[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (x)\}
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]G/| M - 1
F (x)| \}
\leq
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho 0R[F ]/| M - 1
F (x)| \}
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho R[G]M - 1
G (x)\}
\mathrm{l}\mathrm{n} x
=
T 0
R[F ]
tR[G]
,
звiдки випливає перша частина твердження 1. Друга частина доводиться аналогiчно.
Для функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ) логарифмiчного порядку \varrho l[G] \in (1, +\infty ) величини Tl[G] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \rightarrow +\infty \sigma - \varrho l[G] \mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ) i tl[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \rightarrow +\infty \sigma - \varrho l[G] \mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ) називаються вiдповiдно ло-
гарифмiчним типом i нижнiм логарифмiчним типом. Аналогiчно T 0
l [F ] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | \varrho
0
l [F ] \mathrm{l}\mathrm{n}MF (\sigma ) i t0l [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | \varrho
0
l [F ] \mathrm{l}\mathrm{n} MF (\sigma ) для функцiї F \in S(\Lambda , 0) лога-
рифмiчного порядку \varrho 0l [F ] \in (0, +\infty ). Нехай також T 0
l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | \varrho
0
l [F ]GM - 1(MF (\sigma )) i
t0l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0 | \sigma | \varrho
0
l [F ]GM - 1(MF (\sigma )) — вiдповiдно логарифмiчний тип i нижнiй логарифмiч-
ний тип функцiї F \in S(\Lambda , 0) вiдносно функцiї G \in S(\Lambda , +\infty ).
Доведення наступного твердження подiбне до доведення твердження 1, i ми його не наво-
димо.
Твердження 2. Припустимо, що функцiя G має регулярне логарифмiчне зростання i 0 <
< tl[G] \leq Tl[G] < \infty . Тодi T 0
l [F ]G \geq (T 0
l [F ]/Tl[G])1/\varrho l[G] i t0l [F ]G \leq (t0l [F ]/tl[G])1/\varrho l[G], а за
умови сильно регулярного логарифмiчного зростання функцiї G (а саме 0 < tl[G] = Tl[G] < \infty )
цi нерiвностi перетворюються в рiвностi.
3. Аналоги теореми Б. Нам потрiбнi такi леми.
Лема 1 [9, 14]. Нехай \alpha \in Lsi, \beta \in Lsi i
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
= O(1) при x \rightarrow +\infty для кожного
c \in (0,+\infty ). Якщо G \in S(\Lambda ,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\lambda n\beta
- 1(c\alpha (\lambda n))) при n \rightarrow \infty для кожного
c \in (0,+\infty ), то
\varrho \alpha ,\beta [G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)/\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
. (6)
Якщо, крiм цього, \alpha (\lambda n+1) \sim \alpha (\lambda n) i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\lambda \alpha ,\beta [G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)/\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1540 О. М. МУЛЯВА, М. М. ШЕРЕМЕТА
Лема 2 [15]. Нехай \alpha \in Lsi, \beta \in Lsi, x/\beta - 1(c\alpha (x)) \uparrow +\infty i \alpha
\bigl(
x/\beta - 1(c\alpha (x))
\bigr)
= (1 +
+o(1))\alpha (x) при x \rightarrow +\infty для кожного c \in (0,+\infty ). Якщо F \in S(\Lambda , 0) i \alpha (\lambda n)=o (\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} n))
при n \rightarrow \infty , то
\varrho 0\alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
. (7)
Якщо, крiм цього, \alpha (\lambda n+1) \sim \alpha (\lambda n) i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\lambda 0
\alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
.
Основним результатом статтi є така теорема.
Теорема 2. Нехай \alpha (ex) \in L0, \beta \in Lsi i
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
= O(1) при x \rightarrow +\infty для кожного
c \in (0,+\infty ). Припустимо, що \alpha (\lambda n) = o(\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} n)) при n \rightarrow \infty . Якщо функцiя G має
регулярне узагальнене (\alpha , \beta )-зростання i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\varrho 0\beta ,\beta [F ]G = P\beta := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) \Big/
\beta
\biggl(
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\biggr)
. (8)
Якщо, крiм цього, \alpha (\lambda n+1) \sim \alpha (\lambda n) i \kappa n[F ] \nearrow +0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = p\beta := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) \Big/
\beta
\biggl(
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\biggr)
. (9)
Доведення. З огляду на умову
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
= O(1) при x \rightarrow +\infty маємо
(\mathrm{l}\mathrm{n} x - \mathrm{l}\mathrm{n} \beta - 1(c\alpha (x)))\prime =
1
x
- 1
\beta - 1(c\alpha (x))
d\beta - 1(c\alpha (x))
dx
=
=
1
x
\biggl(
1 - 1
\beta - 1(c\alpha (x))
d\beta - 1(c\alpha (x))
d \mathrm{l}\mathrm{n} x
\biggr)
=
1
x
\biggl(
1 - O(1)
\beta - 1(c\alpha (x))
\biggr)
=
1 + o(1)
x
> 0
при x \rightarrow +\infty , звiдки випливає, що x/\beta - 1(c\alpha (x)) \uparrow +\infty при x \rightarrow +\infty .
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{n} \beta - 1(c\alpha (x))/ \mathrm{l}\mathrm{n} x \rightarrow 0 при x \rightarrow +\infty i \alpha (ex) \in L0, маємо
\alpha
\bigl(
x/\beta - 1(c\alpha (x))
\bigr)
= \alpha (\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \mathrm{l}\mathrm{n} x - \mathrm{l}\mathrm{n} \beta - 1(c\alpha (x))\} ) =
= \alpha (e(1+o(1)) ln x) = (1 + o(1))\alpha (eln x) = (1 + o(1))\alpha (x), x \rightarrow +\infty .
Зауважимо також, що якщо \alpha (ex) \in L0, то \alpha \in Lsi.
З умови \alpha (\lambda n) = o (\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} n)) при n \rightarrow \infty випливає, що \alpha (\lambda n) \leq \beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} n) для n \geq
\geq n0, i тому \mathrm{l}\mathrm{n} n \leq \lambda n/\beta
- 1(\alpha (\lambda n)) = o(\lambda n\beta
- 1(c\alpha (\lambda n))) при n \rightarrow \infty для кожного c \in (0,+\infty ).
Отже, функцiї \alpha , \beta i послiдовнiсть (\lambda n) задовольняють умови лем 1 i 2.
Оскiльки G має регулярне (\alpha , \beta )-зростання, за теоремою 1 \varrho 0\beta ,\beta [F ]G = \varrho 0\alpha ,\beta [F ]/\varrho \alpha ,\beta [G] i
\lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \lambda 0
\alpha ,\beta [F ]/\lambda \alpha ,\beta [G]. Тому з (6) i (7) отримуємо
\varrho 0\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
\alpha (\lambda n)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
= P\beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ВIДНОСНЕ ЗРОСТАННЯ РЯДIВ ДIРIХЛЕ З РIЗНИМИ АБСЦИСАМИ . . . 1541
З iншого боку, якщо P\beta > 0, то для кожного \varepsilon \in (0, P\beta ) iснує така зростаюча до +\infty
послiдовнiсть (nk) натуральних чисел, що \beta
\biggl(
1
\lambda nk
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gnk
|
\biggr)
> (P\beta - \varepsilon )\beta
\biggl(
\lambda nk
\mathrm{l}\mathrm{n} | fnk
|
\biggr)
i, отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta
\biggl(
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\biggr) > (P\beta - \varepsilon ) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) .
Оскiльки \varrho \alpha ,\beta [G] = \lambda \alpha ,\beta [G], звiдси з огляду на лему 1 отримуємо нерiвнiсть \varrho 0\alpha ,\beta [F ] \geq (P\beta -
- \varepsilon )\varrho \alpha ,\beta [G], тобто внаслiдок довiльностi \varepsilon маємо \varrho 0\beta ,\beta [F ]G = \varrho 0\alpha ,\beta [F ]/\varrho \alpha ,\beta [G] \leq P\beta . Для P\beta = 0
ця нерiвнiсть очевидна. Рiвнiсть (8) доведено.
Для доведення рiвностi (9) зауважимо, що оскiльки G має регулярне узагальнене (\alpha , \beta )-
зростання, за теоремою 1 i лемами 1 та 2
\lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
\alpha (\lambda n)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr)
\beta (\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )
= p\beta .
З iншого боку, якщо p\beta < +\infty , то для кожного \varepsilon > 0 iснує така зростаюча до +\infty
послiдовнiсть (nk) натуральних чисел, що \beta
\biggl(
1
\lambda nk
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gnk
|
\biggr)
< (p\beta + \varepsilon )\beta
\biggl(
1
\lambda nk
\mathrm{l}\mathrm{n} | fnk
|
\biggr)
, тобто
\lambda 0
\alpha ,\beta [F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta
\biggl(
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\biggr) \leq (p\beta + \varepsilon ) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\alpha (\lambda n)
\beta
\biggl(
1
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr) =
= (p\beta + \varepsilon )\varrho \alpha ,\beta [G] = (p\beta + \varepsilon )\lambda \alpha ,\beta [G].
Звiдси отримуємо нерiвнiсть \lambda 0
\beta ,\beta [F ]G = \lambda 0
\alpha ,\beta [F ]/\lambda \alpha ,\beta [G] \leq p\beta . Для p\beta = +\infty ця нерiвнiсть є
очевидною. Рiвнiсть (9), а отже, i теорему 2 доведено.
Для рядiв скiнченного R-порядку правильним є таке твердження.
Твердження 3. Нехай \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\lambda n/\lambda n) при n \rightarrow \infty . Якщо функцiя G має регулярне зрос-
тання i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то \varrho 0R[F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda - 2
n \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ). Якщо,
крiм цього, \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n+1 \sim \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow +0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то \lambda 0
R[F ]G =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda - 2
n \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ).
Формули для \varrho 0R[F ]G i \lambda 0
R[F ]G випливають з формул (8) i (9), якщо вибрати \alpha (x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x
i \beta (x) = x для x \geq 3, але твердження 3 не випливає з теореми 2, тому що \beta (x) = x \not \in Lsi.
Проте можна легко довести твердження 3, використавши наслiдок 1 i такi леми.
Лема 3 [12, 16, 17]. Якщо \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\lambda n \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty i G \in S(\Lambda ,+\infty ), то \varrho R[G] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda n \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ). Якщо, крiм цього, \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n+1) \sim \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq
\leq n \rightarrow \infty , то \lambda R[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda n \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ).
Лема 4 [13]. Якщо \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty i F \in S(\Lambda , 0), то \varrho 0R[F ] =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty (\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )/\lambda n. Якщо, крiм цього, \alpha (\lambda n+1) \sim \alpha (\lambda n) i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty ,
то \lambda 0
R[F ] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty (\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )/\lambda n.
Для логарифмiчних порядкiв в [14] доведено, що якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} n/ \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n \leq 1 i G \in
\in S(\Lambda ,+\infty ), то (\varrho l[G] - 1)/\varrho l[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ), а якщо, крiм цього, \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n+1) \sim
\sim \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то (\lambda l[G] - 1)/\lambda l[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n/ \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1542 О. М. МУЛЯВА, М. М. ШЕРЕМЕТА
З iншого боку [18], якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} n/ \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n = 0 i F \in S(\Lambda , 0), то \varrho l[F ]/(\varrho l[F ] + 1) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| / \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n, а якщо, крiм цього, \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n+1 \sim \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty ,
то \lambda l[F ]/(\lambda l[F ] + 1) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| / \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n.
Використовуючи цi результати i наслiдок 2, можна довести таке твердження.
Твердження 4. Нехай \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty . Якщо функцiя G має регулярне
логарифмiчне зростання i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\varrho 0l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| ) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| )
.
Якщо, крiм цього, \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n+1 \sim \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
\lambda 0
l [F ]G = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n - \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} | fn| ) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| )
.
Перейдемо до логарифмiчних типiв. У [14] доведено, що якщо G \in S(\Lambda ,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} n =
= o
\bigl(
\lambda
\varrho l[G]/(\varrho l[G] - 1)
n
\bigr)
при n \rightarrow \infty , то Tl[G] = A(\varrho l[G]) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda
\varrho l[G]
n \mathrm{l}\mathrm{n}1 - \varrho l[G] (1/| gn| ), де A(\varrho ) =
= (\varrho - 1)\varrho - 1\varrho \varrho , а якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim \lambda n i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
tl[G] = A(\varrho l[G]) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda
\varrho l[G]
n \mathrm{l}\mathrm{n}1 - \varrho l[F ] (1/| gn| ).
З iншого боку [18], якщо F \in S(\Lambda , 0) i \mathrm{l}\mathrm{n} n = o
\bigl(
\lambda
\varrho 0l [G]/(\varrho 0l [G]+1)
n
\bigr)
при n \rightarrow \infty , то T 0
l [F ] =
= B(\varrho 0l [F ]) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda
- \varrho 0l [G]
n \mathrm{l}\mathrm{n}1+\varrho 0l [G] | fn| , де B(\varrho ) = (\varrho + 1)\varrho +1\varrho \varrho , а якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim
\sim \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то t0l [F ] = B(\varrho 0l [F ]) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \lambda
- \varrho 0l [G]
n \mathrm{l}\mathrm{n}1+\varrho 0l [G] | fn| .
Зрозумiло, що якщо \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty , то \mathrm{l}\mathrm{n} n = o (\lambda p
n) при n \rightarrow \infty для кожного
p > 0. Тому на пiдставi цих результатiв i твердження 2 звичним методом доводиться таке
твердження.
Твердження 5. Нехай \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} n = o(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty . Якщо функцiя G має строго регу-
лярне логарифмiчне зростання i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
(T 0
l [F ]G)
\varrho l[G] =
B(\varrho 0l [F ])
A(\varrho l[F ])
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(\mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| )\varrho l[G] - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )\varrho
0
l [F ]+1
\lambda
\varrho l[G]+\varrho 0l [F ]
n
.
Якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
(t0l [F ]G)
\varrho l[G] =
B(\varrho 0l [F ])
A(\varrho l[F ])
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(\mathrm{l}\mathrm{n} (1/| gn| )\varrho l[G] - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} | fn| )\varrho
0
l [F ]+1
\lambda
\varrho l[G]+\varrho 0l [F ]
n
.
Насамкiнець розглянемо R-типи. В [12, 14] доведено, що якщо G \in S(\Lambda ,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} n =
= o(\lambda n) при n \rightarrow \infty , то TR[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\lambda n
e\varrho R[G]
| gn| \varrho R[G]/\lambda n , а якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim \lambda n i
\kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то tR[G] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\lambda n
e\varrho R[G]
| gn| \varrho R[G]/\lambda n .
З iншого боку [19], якщо F \in S(\Lambda , 0) i \mathrm{l}\mathrm{n} n = O(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty , то
T 0
R[F ] =
\varrho 0R[F ]
e
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{ \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}2 \lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\varrho 0R[F ]\lambda n
- 1
\biggr)
\lambda n
\biggr\}
,
а якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ВIДНОСНЕ ЗРОСТАННЯ РЯДIВ ДIРIХЛЕ З РIЗНИМИ АБСЦИСАМИ . . . 1543
t0R[F ] =
\varrho 0R[F ]
e
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{ \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}2 \lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\varrho 0R[F ]\lambda n
- 1
\biggr)
\lambda n
\biggr\}
.
Використовуючи цi результати i твердження 1, можемо довести таке твердження.
Твердження 6. Нехай \mathrm{l}\mathrm{n} n = O(\mathrm{l}\mathrm{n} \lambda n) при n \rightarrow \infty . Якщо функцiя G має строго регулярне
зростання i \kappa n[G] \nearrow +\infty при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
(T 0
R[F ]G)
\varrho R[G] =
\varrho R[G]\varrho 0R[F ]
\lambda ne\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}2 \lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\varrho 0R[F ]
+
\varrho R[G]
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr\}
.
Якщо, крiм цього, \lambda n+1 \sim \lambda n i \kappa n[F ] \nearrow 0 при n0 \leq n \rightarrow \infty , то
(t0R[F ]G)
\varrho R[G] =
\varrho R[G]\varrho 0R[F ]
\lambda ne\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{n}
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}2 \lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n} | fn|
\varrho 0R[F ]
+
\varrho R[G]
\lambda n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| gn|
\biggr\}
.
Лiтература
1. Ch. Roy, On the relative order and lower order of an entire functiion, Bull. Calcutta Math. Soc., 102, № 1, 17 – 26
(2010).
2. S. K. Data, A. R. Maji, Relative order of entire functions in terms of their maximum terms, Int. J. Math. and Anal.,
5, № 43, 2119 – 2126 (2011).
3. S. K. Data, T. Biswas, Ch. Ghosh, Growth analysis of entire functions concerning generalized relative type and
generalized relative weak type, Facta Univ. Ser. Math. and Inform., 30, № 3, 295 – 324 (2015).
4. S. K. Data, T. Biswas, A. Hoque, Some results on the growth analysis of entire function using their maximum terms
and relative L\ast -order, J. Math. Ext., 10, № 2, 59 – 73 (2016).
5. S. K. Data, T. Biswas, P. Das, Some results on generalized relative order of meromorohic functions, Ufa Math. J., 8,
№ 2, 92 – 103 (2016).
6. S. K. Data, T. Biswas, Growth analysis of entire functions of two complex variables, Sahad Commun. Math. Anal.,
3, Issue 2, 13 – 22 (2016).
7. S. K. Data, T. Biswas, Some growth analysis of entire functions in the form of vector valued Dirichlet series on
the basis on their relative Ritt L\ast -order and relative Ritt L\ast -lower order, New Trends Math. Sci., 5, № 2, 97 – 103
(2017).
8. Я. Д. Пьяныло, М. Н. Шеремета, О росте целых функций, представленных рядами Дирихле, Изв. вузов.
Математика, № 10, 91 – 93 (1975).
9. O. M. Mulyava, M. M. Sheremeta, Relative growth of Dirichlet series, Mat. Stud., 49, № 2, 158 – 164 (2018).
10. O. M. Mulyava, M. M. Sheremeta, Remarks to relative growth of entire Dirichlet series, Visnyk Lviv Univ. Ser.
Mech., Math., № 87, 73 – 81 (2019).
11. Ю. М. Галь, М. Н. Шеремета, О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле,
Докл. АН УССР, сер. А, № 12, 1065 – 1067 (1978).
12. J. F. Ritt, On certain points in the theory of Dirichlet series, Amer. J. Math., 50, 73 – 83 (1928).
13. А. М. Гайсин, Оценки роста функций, представленных рядами Дирихле в полуплоскости, Мат. сб., 117, № 3,
412 – 424 (1982).
14. М. М. Шеремета, Асимптотическое поведение целых функций, заданных степенными рядами и рядами Дирих-
ле, Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук, Kиев (1987).
15. Ю. М. Галь, О росте аналитических функций, заданных абсолютно сходящимися в полуплоскости рядами
Дирихле, Дрогобыч (1980), 30 с., Деп. в ВИНИТИ, № 4080-80Деп.
16. A. G. Azpeitia, A remark on the Ritt order of entire functions defined by Dirichlet series, Proc. Amer. Math. Soc.,
12, 722 – 723 (1961).
17. A. G. Azpeitia, On the lower linear type of entire functions defined by Dirichlet series, Bull. Unione Mat. Ital. A, 15,
№ 3, 635 – 638 (1978).
18. В. С. Бойчук, О росте рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в полуплоскости, Мат. сб., Наук. думка, Kиев
(1976), p. 238 – 240.
19. М. М. Шеремета, С. И. Федыняк, О производной ряда Дирихле, Сиб. мат. журн., 39, № 1, 206 – 223 (1998).
Одержано 17.06.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6168 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:19Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/3a8ccaee89a22356ec384c312f9b8c78.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61682025-03-31T08:49:35Z Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence Относительный рост рядов Дирихле с различными абсциссами абсолютной сходимости Відносне зростання рядів Діріхле з різними абсцисами абсолютної збіжності Mulyava, O. M. Sheremeta , M. M. Мулява, Оксана Мулява, О. М. Шеремета, М. М. UDC 517.537.72 We study the growth of a Dirichlet series $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f_n\exp\{s\lambda_n\}$ with zero abscissa of absolute convergence with respect to the entire Dirichlet series $G(s)=\sum _{n=1}^{\infty}g_n\exp\{s\lambda_n\}$ by using the generalized quantities of order $\varrho^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varlimsup\nolimits_{\sigma\uparrow 0}\dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)}$ and lower order $\lambda^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varliminf_{\sigma\uparrow 0} \dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)},$ where $M_F(\sigma)=\sup\{|F(\sigma+it)|\colon t\in{\Bbb R}\},$ $M^{-1}_G(x)$ is the function inverse to $M_G(\sigma),$ and $\beta$ is a positive increasing function growing to $+\infty.$ &nbsp; Изучается рост целого ряда Дирихле $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f_n\exp\{s\lambda_n\}$ относительно ряда Дирихле$G(s)=\sum _{n=1}^{\infty}g_n\exp\{s\lambda_n\}$ с нулевой абсциссой абсолютной сходимости при помощи обобщенных порядка$\varrho^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varlimsup\limits_{\sigma\uparrow 0}\frac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma))}{\beta(1/|\sigma|)}$и нижнего порядка $\lambda^0_{\beta,\beta}[F]_G=\break=\varliminf\limits_{\sigma\uparrow 0} \frac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma))}{\beta(1/|\sigma|)}$,где $M_F(\sigma)=\sup\{|F(\sigma+it)|:\,t\in{\Bbb R}\}$, $M^{-1}_G(x)$ - функция, обратная к $M_G(\sigma)$, и $\beta$ - положительная возрастающая к $+\infty$ функция. УДК 517.537.72 We study the growth of a Dirichlet series $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f_n\exp\{s\lambda_n\}$ with zero abscissa of absolute convergence with respect to the entire Dirichlet series $G(s)=\sum _{n=1}^{\infty}g_n\exp\{s\lambda_n\}$ by using the generalized quantities of order&nbsp;$\varrho^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varlimsup\nolimits_{\sigma\uparrow 0}\dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)}$ and lower order&nbsp;$\lambda^0_{\beta,\beta}[F]_G=\varliminf_{\sigma\uparrow 0} \dfrac{\beta(M^{-1}_G(M_F(\sigma)))}{\beta(1/|\sigma|)},$ where $M_F(\sigma)=\sup\{|F(\sigma+it)|\colon t\in{\Bbb R}\},$&nbsp;$M^{-1}_G(x)$ is the function inverse to $M_G(\sigma),$ and $\beta$ is a positive increasing function growing to $+\infty.$ &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-13 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6168 10.37863/umzh.v72i11.6168 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1535-1543 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1535-1543 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6168/8782 Copyright (c) 2020 М. М. Шеремета, О. М. Мулява |
| spellingShingle | Mulyava, O. M. Sheremeta , M. M. Мулява, Оксана Мулява, О. М. Шеремета, М. М. Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title | Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title_alt | Относительный рост рядов Дирихле с различными абсциссами абсолютной сходимости Відносне зростання рядів Діріхле з різними абсцисами абсолютної збіжності |
| title_full | Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title_fullStr | Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title_full_unstemmed | Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title_short | Relative growth of Dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| title_sort | relative growth of dirichlet series with different abscissas of absolute convergence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6168 |
| work_keys_str_mv | AT mulyavaom relativegrowthofdirichletserieswithdifferentabscissasofabsoluteconvergence AT sheremetamm relativegrowthofdirichletserieswithdifferentabscissasofabsoluteconvergence AT mulâvaoksana relativegrowthofdirichletserieswithdifferentabscissasofabsoluteconvergence AT mulâvaom relativegrowthofdirichletserieswithdifferentabscissasofabsoluteconvergence AT šeremetamm relativegrowthofdirichletserieswithdifferentabscissasofabsoluteconvergence AT mulyavaom otnositelʹnyjrostrâdovdirihlesrazličnymiabscissamiabsolûtnojshodimosti AT sheremetamm otnositelʹnyjrostrâdovdirihlesrazličnymiabscissamiabsolûtnojshodimosti AT mulâvaoksana otnositelʹnyjrostrâdovdirihlesrazličnymiabscissamiabsolûtnojshodimosti AT mulâvaom otnositelʹnyjrostrâdovdirihlesrazličnymiabscissamiabsolûtnojshodimosti AT šeremetamm otnositelʹnyjrostrâdovdirihlesrazličnymiabscissamiabsolûtnojshodimosti AT mulyavaom vídnosnezrostannârâdívdíríhlezríznimiabscisamiabsolûtnoízbížností AT sheremetamm vídnosnezrostannârâdívdíríhlezríznimiabscisamiabsolûtnoízbížností AT mulâvaoksana vídnosnezrostannârâdívdíríhlezríznimiabscisamiabsolûtnoízbížností AT mulâvaom vídnosnezrostannârâdívdíríhlezríznimiabscisamiabsolûtnoízbížností AT šeremetamm vídnosnezrostannârâdívdíríhlezríznimiabscisamiabsolûtnoízbížností |