Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set
UDC 519.1 Topologies on a finite set are described by a nondecreasing sequence of nonnegative integers (the vector of topologies). We study $T_0$ -topologies on the $n$-element set that induce topologies with $k > 2^{n - 1} $ on the $(n - 1)$-element set (these induced topologies are call...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6174 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512286125326336 |
|---|---|
| author | Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Стєганцева, П. Г. Скрябіна, А. В. |
| author_facet | Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Стєганцева, П. Г. Скрябіна, А. В. |
| author_sort | Stegantseva, P. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:28Z |
| description | UDC 519.1
Topologies on a finite set are described by a nondecreasing sequence of nonnegative integers (the vector of topologies). We study $T_0$ -topologies on the $n$-element set that induce topologies with $k > 2^{n - 1} $ on the $(n - 1)$-element set (these induced topologies are called close to the discrete topology). Let $k$ denote the number of open sets in a topology. We obtain the form of the vector of $T_0$ -topologies with $k \geq 5 \cdot 2^{n - 4}$, which are described in works by Stanley and Kolli, and find the values $k \in [5 \cdot 2^{n - 4}, 2^{n - 1}]$, for which $T_0$ -topologies with k open sets do not exist. We describe all labeled $T_0$-topologies and indicate their number for each $k \geq 13 \cdot 2^{n - 5}$ . It is shown that there exist values $k \in (2^{n - 2}, 5 \cdot 2^{n - 4})$ such that any $T_0$ -topology with k open sets can not induce a topology close to the discrete one on an $(n - 1)$-element subset. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i2.6174 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i2.6174
УДК 519.1
П. Г. Стєганцева, А. В. Скрябiна (Запорiз. нац. ун-т)
ТОПОЛОГIЇ НА \bfitn -ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI
З ТОПОЛОГIЯМИ БЛИЗЬКИМИ ДО ДИСКРЕТНИХ
НА (\bfitn - \bfone )-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI
Topologies on a finite set are described by a nondecreasing sequence of nonnegative integers (the vector of topologies). We
study T0 -topologies on the n-element set that induce topologies with k > 2n - 1 on the (n - 1)-element set (these induced
topologies are called close to the discrete topology). Let k denote the number of open sets in a topology. We obtain the
form of the vector of T0 -topologies with k \geq 5 \cdot 2n - 4 , which are described in works by Stanley and Kolli, and find the
values k \in [5 \cdot 2n - 4, 2n - 1], for which T0 -topologies with k open sets do not exist. We describe all labeled T0 -topologies
and indicate their number for each k \geq 13 \cdot 2n - 5 . It is shown that there exist values k \in (2n - 2, 5 \cdot 2n - 4) such that any
T0 -topology with k open sets can not induce a topology close to the discrete one on an (n - 1)-element subset.
В роботi топологiї на скiнченнiй множинi описуються неспадною послiдовнiстю невiд’ємних цiлих чисел (вектором
топологiї). Дослiджуються T0 -топологiї на n-елементнiй множинi, якi iндукують на (n - 1)-елементнiй множинi
топологiї з k > 2n - 1 (цi iндукованi топологiї називають близькими до дискретної). Символом k позначено кiлькiсть
вiдкритих множин у топологiї. Знайдено вигляд вектора T0 -топологiй з k \geq 5 \cdot 2n - 4, якi описано в роботах Stanley
i Kolli, i значення k \in [5 \cdot 2n - 4, 2n - 1], для яких не iснують T0 -топологiї з k вiдкритими множинами. Описано
всi помiченi T0 -топологiї i знайдено їхню кiлькiсть для кожного k \geq 13 \cdot 2n - 5. Показано iснування таких значень
k \in (2n - 2, 5 \cdot 2n - 4), що жодна T0 -топологiя з k вiдкритими множинами не iндукує на (n - 1)-елементнiй множинi
близьку до дискретної топологiю.
1. Вступ. Для вивчення топологiй на скiнченнiй множинi використовувались рiзнi об’єкти
(графи, вiдношення, булевi функцiї та iн.). Прийнято говорити, що топологiя на n-елементнiй
множинi вiдноситься до k-класу (або має вагу k), якщо вона мiстить k елементiв (вiдкритих
множин). Очевидно, що k = 2, 3, . . . , 2n. Для числа всiх топологiй k-класу використовують
позначення T (n, k). Першi результати дослiдження топологiй на скiнченних множинах було
отримано в 60 – 70-х роках двадцятого столiття (див. [1, 6]). У цих роботах топологiї на скiн-
ченних множинах було розбито на класи за числом елементiв i дослiджено в кожному класi
окремо. В роботi [1] доведено формулу T (n) =
\sum n
m=1
S (n,m) \~T (m) , де T (n) — число всiх
топологiй на n-елементнiй множинi, \~T (m) — числа всiх T0-топологiй на m-елементних мно-
жинах i S (n,m) — числа Стiрлiнга другого роду, з якої випливає, що задача пiдрахунку всiх
топологiй зводиться до задачi пiдрахунку всiх T0-топологiй на n-елементнiй множинi.
Одним iз способiв пiдрахунку топологiй є їхнiй вiдбiр iз усiх можливих наборiв пiдмножин
даної скiнченної множини за допомогою ЕОМ. Очевидно, такий спосiб є неефективним для
множин з достатньо великою кiлькiстю елементiв, але цi результати важливi для тестування
отриманих iншими методами результатiв. На сьогоднi онлайн-енциклопедiя цiлочислових по-
слiдовностей дає число всiх топологiй на n-елементнiй множинi для n = 0, 18, а також число
топологiй iз точнiстю до гомеоморфiзмiв на n-елементнiй множинi для n = 0, 16 [12].
У 1966 р. H. Sharp (Jr.) [5] i у 1968 р. D. Stephen [8] показали, що для будь-якої не дискретної
топологiї на n-елементнiй множинi кiлькiсть k вiдкритих множин задовольняє умову k \leq
\leq 3 \cdot 2n - 2. У 1971 р. R. Stanley [7] опублiкував результат про число T0-топологiй на n-
елементнiй множинi з k \geq 7 \cdot 2n - 4 вiдкритими множинами, в роботi M. Kolli [2] знайдено
c\bigcirc П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА, 2021
238 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ТОПОЛОГIЇ НА n-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI З ТОПОЛОГIЯМИ . . . 239
число всiх топологiй з вагою k \geq 3 \cdot 2n - 3, а в роботi [3] — кiлькостi всiх T0-топологiй iз вагою
k \geq 5 \cdot 2n - 4. В роботi [4] V. Krishnamurthy пiдрахував кiлькiсть усiх негомеоморфних топологiй
на n-елементнiй множинi при n = 2, 3, 4, 5 за допомогою непомiчених транзитивних орграфiв.
За допомогою графiв спецiального вигляду у 2008 р. в роботi [9] отримано класифiкацiю
топологiй на скiнченних множинах. З. I. Боревич для зображення i пiдрахунку числа всiх
топологiй на n-елементнiй множинi для n \leq 10 використав (0, 1)-матрицi спецiального вигляду
[10]. У роботi [11] було перераховано i описано всi T0-топологiї з 2n - 1 < k \leq 2n вiдкритими
множинами (близькi до дискретної топологiї). Для цього було введено поняття вектора топологiї
як неспадної послiдовностi невiд’ємних цiлих чисел iз певними властивостями.
В цiй роботi вектор топологiї використовується для вивчення T0-топологiй з вагою 2n - 2 <
< k \leq 2n - 1. Метою роботи є опис T0-топологiй на n-елементнiй множинi, узгоджених iз
близькими до дискретної T0-топологiями на (n - 1)-елементнiй множинi; знаходження векторiв
T0-топологiй з k \geq 5\cdot 2n - 4 елементами, пiдрахунок їх числа та порiвняння з результатами Kolli;
опис деяких T0-топологiй з 2n - 2 < k < 5 \cdot 2n - 4 вiдкритими множинами.
2. Необхiднi поняття та твердження. Для обґрунтування результатiв нам потрiбно навести
означення деяких понять та сформулювати необхiднi теореми. Означення 1 – 4 та твердження
1, 2 взято з роботи [11].
Означення 1. Нехай X = \{ x1, x2, . . . , xn\} — упорядкована множина i \tau X — топологiя на
X. Мiнiмальним околом Ma елемента a \in X називається перетин усiх околiв цього елемента.
Означення 2. Iндексом елемента a \in X вiдносно топологiї \tau називається число \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\tau (a),
яке дорiвнює кiлькостi вiдмiнних вiд a елементiв в його мiнiмальному околi Ma.
Означення 3. Неспадну послiдовнiсть iндексiв усiх елементiв з X будемо називати век-
тором топологiї. Вектор топологiї \tau будемо позначати \nu (\tau ) = (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n).
Зауважимо, що вектор топологiї по самiй топологiї визначається однозначно, але одному й
тому ж вектору топологiї можуть вiдповiдати рiзнi топологiї.
Твердження 1. Послiдовнiсть невiд’ємних цiлих чисел (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n) є вектором деякої
T0-топологiї на n-елементнiй множинi тодi i лише тодi, коли вона задовольняє такi умови:
1) \alpha i \leq \alpha i+1, i = 1, n - 1,
2) \alpha i \leq i - 1, i = 1, n.
Кожному вектору, що має вказанi в твердженнi властивостi, обов’язково вiдповiдає деяка
T0-топологiя. Крiм того, достатньо легко описати таку топологiю, тому що вектор топологiї
визначає її базу.
Означення 4. Нехай X — скiнченна множина i \tau X — топологiя на нiй. Множина A з \tau X
називається максимальною в \tau X , якщо A не мiститься нi в якiй iншiй множинi з \tau X , окрiм
самої множини X. Множина X у цьому випадку називається охопною.
Нехай задано множини A, X, A \subset X, i топологiю \tau A. Будемо вiдновлювати всi такi
топологiї на множинi X, в яких множина A є максимальною i якi iндукують на множинi A
топологiю \tau A (в цьому випадку топологiю \tau A i вiдповiднi топологiї на X будемо називати
узгодженими).
Твердження 2. Якщо на множинi A задано топологiю \tau A, то будь-яка топологiя на
охопнiй множинi X (узгоджена з топологiєю \tau A) отримується таким чином. Вибираємо
будь-яку вiдкриту множину L \in \tau A i кожен елемент з \tau A, який мiстить L, об’єднуємо з
B = X \setminus A. До отриманої системи множин додаємо всi елементи \tau A.
Зауваження 1. У випадку T0-топологiй множина B завжди буде одноелементною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
240 П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА
Означення 5. Нехай топологiя \tau на n-елементнiй множинi X узгоджена з топологiєю
\tau A на (n - 1)-елементнiй множинi A \subset X. Рiзницю \tau \setminus \tau A множин елементiв цих топологiй
будемо називати рiвнем топологiї \tau .
Означення 6. Топологiї \tau i C\tau , де C\tau — сукупнiсть доповнень до елементiв топологiї \tau ,
будемо називати взаємно двоїстими.
Означення 7. Вагою топологiї \tau називається кiлькiсть вiдкритих множин в цiй топологiї.
Будемо позначати вагу символом | \tau | .
Очевидно, що взаємно двоїстi топологiї мають однакову вагу.
Твердження 3. Для топологiї з вектором (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n - 1, \alpha n) iснує бiльш сильна топо-
логiя з вектором (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n - 1, \alpha n - 1) (в останньому записi при необхiдностi потрiбно
змiнити порядок чисел для виконання умови впорядкування) [11].
Означення 8. Глибиною вiдкритої множини M \in \tau назвемо число g(M), яке дорiвнює
кiлькостi елементiв iз \tau , що мiстять множину M в якостi пiдмножини (власної або невласної )
[11].
Наприклад, глибина k-елементної пiдмножини в дискретнiй топологiї на n-елементнiй мно-
жинi дорiвнює 2n - k.
Твердження 4. Якщо T0-топологiя \tau на множинi X має вектор (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n), то на
множинi X \setminus \{ xn\} iндукована топологiя \tau \prime має вектор (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha n - 1). При цьому | \tau | =
= | \tau \prime | + g(M), де M \in \tau \prime i | M | = \alpha n, тобто множина M вибирається як Mn \setminus \{ xn\} , де Mn
— мiнiмальний окiл xn [11].
Формулювання наступної теореми 1 з роботи [11] ми наводимо з використанням поняття
двоїстої топологiї. Це жодним чином не змiнює її змiсту, але зручнiше для цiєї роботи.
Теорема 1. На n-елементнiй множинi X при n \geq 4 топологiя \tau є близькою до дискретної
(тобто має вагу | \tau | > 2n - 1) тодi i лише тодi, коли:
1) вектор топологiї має вигляд \nu (\tau ) = (0, . . . , 0, \alpha n), 1 \leq \alpha n \leq n - 1 або топологiя є
двоїстою до топологiї з таким вектором; у кожному випадку | \tau | = 2n - 1 + 2n - 1 - \alpha n ;
2) вектор топологiї має вигляд \nu (\tau ) = (0, . . . , 0, 1, 1), де Mn - 1 \cap Mn = \varnothing ; при цьому
| \tau | = 2n - 1 + 2n - 4.
В роботi [11] доведено також таку лему.
Лема 1. Топологiя \tau з вектором (0, . . . , 0, 1, 2) має вагу | \tau | \leq 2n - 1.
Всi близькi до дискретної топологiї є T0-топологiями, причому в кожному класi таких
топологiй є принаймнi одна топологiя з вектором (0, . . . , 0, \alpha n), де 1 \leq \alpha n \leq n - 1. По-
слiдовнiсть для ваги близьких до дискретних топологiй на n-елементнiй множинi має вигляд
(2n - 1+20), (2n - 1+21), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (2n - 1+22), . . . , 5\cdot 2n - 3, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 3 - 1
, 3\cdot 2n - 2, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 2 - 1
, 2n, де пiд фiгурними
дужками вказано кiлькiсть класiв, в яких немає жодної топологiї.
Означення 9. Будемо називати T0-топологiєю iндексу \alpha n близьку до дискретної тополо-
гiю на n-елементнiй множинi з вектором (0, . . . , 0, \alpha n), де 1 \leq \alpha n \leq n - 1.
У пунктi 3 показано, що T0-топологiї, узгодженi з T0- топологiями iндексу 1 на (n - 1)-
елементнiй множинi, — це тi ж самi T0-топологiї з k > 3 \cdot 2n - 3 вiдкритими множинами,
якi дослiджувались у роботах [2, 7]. У пунктi 4 показано, що T0-топологiї, узгодженi з T0-
топологiями iндексу 2 на (n - 1)-елементнiй множинi, мають k \geq 5 \cdot 2n - 4 вiдкритих множин i
є T0-топологiями з роботи [3]. В пунктi 5 розглянуто T0-топологiї, узгодженi з T0-топологiями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ТОПОЛОГIЇ НА n-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI З ТОПОЛОГIЯМИ . . . 241
довiльного iндексу на (n - 1)-елементнiй множинi, i отримано загальнi формули для знаходжен-
ня ваги таких T0-топологiй. У пунктi 6 знайдено такi значення k \in (2n - 2, 5 \cdot 2n - 4), для яких
не iснує жодної T0-топологiї з вагою k, узгодженої з T0-топологiєю деякого iндексу \alpha n.
3. \bfitT \bfzero -топологiї, узгодженi з \bfitT \bfzero -топологiями iндексу 1 на (\bfitn - \bfone )-елементнiй множинi.
Будемо розглядати T0-топологiї з векторами (0, . . . , 0, 1, \alpha n), 2 \leq \alpha n \leq n - 1, на впорядкованiй
множинi X = \{ x1, . . . , xn\} . Вага кожної такої топологiї належить множинi (2n - 2, 2n - 1]. Обме-
ження знизу очевидне, оскiльки iндукована на (n - 2)-елементнiй пiдмножинi \{ x1, . . . , xn - 2\}
топологiя є дискретною. Верхня оцiнка випливає з леми 1 з урахуванням твердження 3. Крiм
того, всi T0-топологiї з векторами (0, . . . , 0, 1, \alpha n) узгодженi з T0-топологiями iндексу 1 на
(n - 1)-елементнiй множинi \{ x1, . . . , xn - 1\} , якi на цiй множинi є близькими до дискретної, а
отже, мають вагу 2n - 1 + 2n - 3 згiдно з теоремою 1.
Розкриємо змiст поняття рiвнiв топологiї для способу опису топологiї вектором, ґрун-
туючись на твердженнi 2. Кожна T0-топологiя \tau на n-елементнiй множинi X узгоджена з
деякою T0-топологiю \tau A2 на (n - 1)-елементнiй множинi A2 = \{ x1, . . . , xn - 1\} \subset X, яка в
свою чергу узгоджена з деякою T0-топологiю \tau A1 на (n - 2)-елементнiй множинi A1 \subset A2,
i так далi, поки не отримаємо T0-топологiю, узгоджену з деякою дискретною топологiєю.
За означенням 5 рiзниця кожної пари послiдовних топологiй визначає рiвень топологiї. Пер-
шим рiвнем T0-топологiї \tau на n-елементнiй множинi X будемо називати елементи дискретної
топологiї. Якщо T0-топологiя \tau задається вектором, то її перший рiвень визначається елемен-
тами нульового iндексу. Наприклад, T0-топологiя \tau з вектором (0, . . . , 0, \alpha n - 1, \alpha n) має 3 рiвнi.
Перший рiвень мiстить елементи дискретної топологiї \tau A1 на (n - 2)-елементнiй множинi
A1 = \{ x1, . . . , xn - 2\} \subset X. Позначимо символом \tau A2 узгоджену з \tau A1 топологiю на (n - 1)-
елементнiй множинi A2 \supset A1, вона має вектор (0, . . . , 0, \alpha n - 1). Рiзниця \tau A2 \setminus \tau A1 визначає
другий рiвень топологiї \tau . Аналогiчно, рiзниця \tau \setminus \tau A2 визначає третiй рiвень топологiї \tau .
Приклад . Розглянемо T0-топологiю \tau з вектором (0, . . . , 0, 1, 3). Iндуковану нею T0-топо-
логiю з вектором (0, . . . , 0, 1) позначимо символом \tau \prime . Покажемо, що вага топологiї \tau бiльша
за 3 \cdot 2n - 3. Будемо для визначеностi вважати, що мiнiмальний окiл елемента xn - 1 в топологiї
\tau \prime має вигляд Mn - 1 = \{ x1, xn - 1\} . Мiнiмальний окiл елемента xn в топологiї \tau мiстить чотири
елементи. При n \geq 5 можливi два випадки:
1) Mn = \{ x1, xn - 1, xj , xn\} , j = 2, n - 2, тобто Mn - 1 \subset Mn. У цьому випадку вiдкритi
множини, якi мiстять пiдмножину \{ x1, xn - 1, xj\} , належать лише другому рiвню топологiї \tau \prime .
2) Mn = \{ x1, xj , xk, xn\} , де j, k = 2, n - 2 i j \not = k, тобто Mn - 1 \cap Mn = \{ x1\} , причому
вiдкритi множини в топологiї \tau \prime , якi мiстять пiдмножину \{ x1, xj , xk\} , належать як першому
рiвню, так i другому.
Якщо ж n \geq 6, то стає можливим ще один вигляд мiнiмального околу елемента xn :
3) Mn = \{ xj , xk, xm, xn\} , де j, k,m = 2, n - 2 i j \not = k \not = m, тобто Mn - 1 \cap Mn = \varnothing ,
причому вiдкритi множини в топологiї \tau \prime , якi мiстять пiдмножину \{ xj , xk, xm\} , належать як
першому рiвню, так i другому.
У першому випадку для ваги | \tau | топологiї \tau отримаємо | \tau | = 2n - 2+2n - 3+g (\{ x1, xn - 1, xj\} ) .
Глибина g (\{ x1, xn - 1, xj\} ) множини \{ x1, xn - 1, xj\} у топологiї \tau \prime дорiвнює числу 2n - 4 вiдкри-
тих множин у другому рiвнi, що мiстять двоелементну пiдмножину \{ x1, xj\} у першому рiвнi.
Отже, | \tau | = 2n - 2 + 2n - 3 + 2n - 4 = 14 \cdot 2n - 5 > 3 \cdot 2n - 3.
У другому випадку маємо | \tau | = 2n - 2+2n - 3+g (\{ x1, xj , xk\} ) . Кiлькiсть вiдкритих множин в
топологiї \tau \prime , якi мiстять трьохелементну пiдмножину \{ x1, xj , xk\} , дорiвнює сумi двох доданкiв:
числа 2n - 5 вiдкритих множин у першому рiвнi, якi мiстять \{ x1, xj , xk\} , i числа 2n - 5 вiдкритих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
242 П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА
множин у другому рiвнi, якi мiстять \{ x1, xn - 1, xj , xk\} . Таким чином, | \tau | = 2n - 2+2n - 3+2n - 5+
+ 2n - 5 = 14 \cdot 2n - 5.
У третьому випадку потрiбно обчислити g (\{ xj , xk, xm\} ) , причому цей випадок можливий
для n \geq 6. В дискретнiй топологiї на \{ x1, . . . , xn - 2\} рiвно 2n - 5 елементiв мiстять пiдмножину
\{ xj , xk, xm\} . Крiм цього, в топологiї \tau \prime у другому рiвнi ще 2n - 6 вiдкритих множин мiстять
пiдмножину \{ x1, xj , xk, xm, xn - 1\} , тому що така ж кiлькiсть вiдкритих множин мiстять чоти-
рьохелементну пiдмножину \{ x1, xj , xk, xm\} у першому рiвнi. Загальна кiлькiсть елементiв у
топологiї \tau становить | \tau | = 2n - 2 + 2n - 3 + 2n - 5 + 2n - 6 = 27 \cdot 2n - 6 > 3 \cdot 2n - 3.
Наведений приклад легко узагальнюється на випадок будь-якої топологiї з вектором (0, . . .
. . . , 0, 1, \alpha n). Сформулюємо вiдповiдну теорему.
Теорема 2. Топологiї на n-елементнiй множинi з векторами (0, . . . , 0, 1, \alpha n), де 2 \leq \alpha n \leq
\leq n - 1, або вектором (0, . . . , 0, 2, 2) при n \geq 5 мають вагу | \tau | > 3 \cdot 2n - 3.
Доведення. Достатньо повторити наведенi в попередньому прикладi мiркування з тiєю вiд-
мiннiстю, що замiсть глибини трьохелементної множини нас цiкавитиме глибина \alpha n-елементної
множини. При цьому при будь-якому n \geq 5 випадок Mn - 1 \subset Mn можливий для кожного
2 \leq \alpha n \leq n - 1, а випадок Mn - 1\cap Mn = \{ xi\} — для кожного 2 \leq \alpha n \leq n - 2. В обох випадках
отримаємо топологiї з вагою
| \tau | = 3 \cdot 2n - 3 + 2n - 1 - \alpha n . (1)
При будь-якому n \geq 6 можливий також випадок Mn - 1 \cap Mn = \varnothing для кожного 2 \leq \alpha n \leq
\leq n - 3, а для ваги отримуємо формулу
| \tau | = 3 \cdot (2n - 3 + 2n - 3 - \alpha n). (2)
Знайдемо вагу топологiї з вектором (0, . . . , 0, 2, 2). Вага iндукованої на множинi \{ x1, x2, . . .
. . . , xn - 1\} топологiї \tau \prime з вектором (0, . . . , 0, 2) дорiвнює 2n - 2 + 2n - 4. Розглянемо узгодженi
з нею топологiї з вектором (0, . . . , 0, 2, 2) на множинi \{ x1, x2, . . . , xn - 1, xn\} . Можливi три
випадки:
1) Mn - 1 = \{ x1, x2, xn - 1\} ,Mn = \{ x1, x2, xn\} ;
2) Mn - 1 = \{ x1, x2, xn - 1\} , Mn = \{ x1, x3, xn\} ;
3) Mn - 1 = \{ x1, x2, xn - 1\} , Mn = \{ x3, x4, xn\} .
У першому випадку глибина g (\{ x1, x2\} ) дорiвнює 2\cdot 2n - 4, тому | \tau | = 2n - 2+2n - 4+2\cdot 2n - 4 =
= 14 \cdot 2n - 5. У другому випадку маємо | \tau | = 2n - 2+2n - 4+ g (\{ x1, x3\} ) = 2n - 2+2n - 4+2n - 4+
+2n - 5 = 13\cdot 2n - 5. У третьому випадку, що можливий для n \geq 6, глибина g (\{ x3, x4\} ) дорiвнює
2n - 4 + 2n - 6, тому | \tau | = 2n - 2 + 2n - 4 + 2n - 4 + 2n - 6 = 25 \cdot 2n - 6.
Твердження теореми перевiряється безпосередньо з використанням знайдених значень ваги.
Теорему доведено.
З теореми випливає, що вектори (0, . . . , 0, 1, \alpha n), 2 \leq \alpha n \leq n - 1 i (0, . . . , 0, 2, 2) визначають
всi класи T0-топологiй з вагою | \tau | > 3 \cdot 2n - 3, якi знайдено в роботах [2, 7].
Послiдовнiсть для ваги T0-топологiй iз векторами (0, . . . , 0, 1, \alpha n), 2 \leq \alpha n \leq n - 1 i
(0, . . . , 0, 2, 2) при n \geq 5 має вигляд
(3 \cdot 2n - 3 + 20), (3 \cdot 2n - 3 + 21), (3 \cdot 2n - 3 + 3 \cdot 20),
(3 \cdot 2n - 3 + 22), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (3 \cdot 2n - 3 + 3 \cdot 21), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (3 \cdot 2n - 3 + 23), . . .\underbrace{} \underbrace{}
22 - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ТОПОЛОГIЇ НА n-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI З ТОПОЛОГIЯМИ . . . 243
. . .\underbrace{} \underbrace{}
22 - 1
, (3 \cdot 2n - 3 + 3 \cdot 22), . . .\underbrace{} \underbrace{}
22 - 1
, (3 \cdot 2n - 3 + 24), . . . , 49 \cdot 2n - 7, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
. . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
, 99 \cdot 2n - 8, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
, 25 \cdot 2n - 6, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 7 - 1
, 51 \cdot 2n - 7, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 7 - 1
, 13 \cdot 2n - 5, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 6 - 1
. . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 6 - 1
, 27 \cdot 2n - 6, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 6 - 1
, 14 \cdot 2n - 5, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 5 - 1
, 15 \cdot 2n - 5, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 5 - 1
, 2n - 1,
де пiд фiгурними дужками вказано кiлькiсть класiв, в яких немає жодної топологiї.
4. \bfitT \bfzero -топологiї з вагою | \bfittau | \geq \bffive \cdot \bftwo \bfitn - \bffour . В цьому пунктi розглянемо двi теореми про вигляд
векторiв T0-топологiй, якi визначають класи T0-топологiй, розглянутi в роботi [3]. Вага цих
топологiй належить множинi [5 \cdot 2n - 4, 3 \cdot 2n - 3].
Теорема 3. При n \geq 5 топологiї на n-елементнiй множинi з векторами (0, . . . , 0, 2, \alpha n),
3 \leq \alpha n \leq n - 1, або вектором (0, . . . , 0, 3, 3) мають вагу 5 \cdot 2n - 4 < | \tau | \leq 3 \cdot 2n - 3.
Доведення зводиться до пiдрахунку ваги топологiї, як i у випадку топологiї з вектором
(0, . . . , 0, 1, 3), а також у теоремi 2. Вiдмiннiсть полягає в тому, що iндукованою є топологiя
iндексу 2 на (n - 1)-елементнiй множинi, тому її вага дорiвнює 2n - 2 + 2n - 4. Наведемо лише
результати.
Нехай вектор топологiї має вигляд (0, . . . , 0, 2, \alpha n). При n \geq 5 для кожного 3 \leq \alpha n \leq n - 1
при умовi Mn - 1 \subset Mn i для кожного 3 \leq \alpha n \leq n - 2 при умовi Mn - 1 \cap Mn = \{ xi, xj\} вага
| \tau | = 5 \cdot 2n - 4 + 2n - 1 - \alpha n . (3)
При n \geq 6 для кожного 3 \leq \alpha n \leq n - 3 при умовi Mn - 1 \cap Mn = \{ xi\} вага
| \tau | = 5 \cdot 2n - 4 + 3 \cdot 2n - 3 - \alpha n , (4)
при n \geq 7 для кожного 3 \leq \alpha n \leq n - 4 при умовi Mn - 1 \cap Mn = \varnothing вага
| \tau | = 5 \cdot (2n - 4 + 2n - 4 - \alpha n). (5)
Вага топологiї з вектором (0, . . . , 0, 3, 3) дорiвнює 11 \cdot 2n - 5 при n \geq 5, 21 \cdot 2n - 6 при n \geq 6,
41 \cdot 2n - 7 при n \geq 7, 81 \cdot 2n - 8 при n \geq 8.
Безпосереднє порiвняння знайдених чисел iз межами вказаного в теоремi промiжку завер-
шує її доведення.
Аналогiчним чином можна довести таку теорему.
Теорема 4. Топологiя з вектором (0, . . . , 0, 3, 4) на n-елементнiй множинi при n \geq 5 має
вагу | \tau | = 5 \cdot 2n - 4, якщо Mn - 1 \subset Mn або Mn - 1 \cap Mn = \{ xi, xj , xk\} , i, j, k = 1, n - 2.
Зауваження 2. Для топологiй iз вектором (0, . . . , 0, 3, 4) можливi ще три випадки для мi-
нiмальних околiв Mn - 1 i Mn : Mn - 1 \cap Mn = \{ xi, xj\} , Mn - 1 \cap Mn = \{ xi\} , Mn - 1 \cap Mn = \varnothing ,
але в кожному з них топологiя має вагу | \tau | < 5 \cdot 2n - 4.
З теорем 3 i 4 випливає, що вектори (0, . . . , 0, 2, \alpha n), 3 \leq \alpha n \leq n - 1, (0, . . . , 0, 3, 3) i
(0, . . . , 0, 3, 4) визначають всi класи T0-топологiй iз вагою | \tau | \geq 5 \cdot 2n - 4, якi знайдено в робо-
тi [3].
Послiдовнiсть для ваги T0-топологiй iз векторами (0, . . . , 0, 2, \alpha n), 3 \leq \alpha n \leq n - 1,
(0, . . . , 0, 3, 3) i (0, . . . , 0, 3, 4) (останнiй для випадкiв Mn - 1 \subset Mn i Mn - 1 \cap Mn = \{ xi, xj , xk\} )
має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
244 П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА
5 \cdot 2n - 4, (5 \cdot 2n - 4 + 20), (5 \cdot 2n - 4 + 21), (5 \cdot 2n - 4 + 21 + 20),
(5 \cdot 2n - 4 + 22), (5 \cdot 2n - 4 + 22 + 20), (5 \cdot 2n - 4 + 22 + 21), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
. . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (5 \cdot 2n - 4 + 23), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (5 \cdot 2n - 4 + 23 + 21), . . .\underbrace{} \underbrace{}
21 - 1
, (5 \cdot 2n - 4 + 23 + 22), . . .
. . . , 83 \cdot 2n - 8, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
, 21 \cdot 2n - 6, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
, 85 \cdot 2n - 8, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
. . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 8 - 1
, 43 \cdot 2n - 7, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 7 - 1
, 11 \cdot 2n - 5, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 7 - 1
, 45 \cdot 2n - 7, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 7 - 1
, 23 \cdot 2n - 6, . . .\underbrace{} \underbrace{}
2n - 6 - 1
, 12 \cdot 2n - 5,
де пiд фiгурними дужками вказано кiлькiсть класiв, в яких немає жодної топологiї.
5. \bfitT \bfzero -топологiї, узгодженi з \bfitT \bfzero -топологiями довiльного iндексу на (\bfitn - \bfone )-елементнiй
множинi. Зображення топологiй векторами дозволяє продовжити опис i тих топологiй, яких не
було у вказаних публiкацiях Stanley i Kolli. В цьому пунктi розглянемо T0-топологiї з векторами
(0, . . . , 0, \alpha n - 1, \alpha n), 1 \leq \alpha n - 1 \leq n - 2, 2 \leq \alpha n \leq n - 1. Вага кожної такої топологiї належить
множинi (2n - 2, 2n - 1].
Теорема 5. При n \geq 5 топологiї на n-елементнiй множинi з векторами (0, . . . , 0, \alpha n - 1,
\alpha n), 3 \leq \alpha n - 1 \leq n - 2, 4 \leq \alpha n \leq n - 1, мають вагу 2n - 2 < | \tau | < 5 \cdot 2n - 4. При цьому для
\alpha n - 1 = 3 i \alpha n = 4 розглядаються лише випадки, зазначенi в зауваженнi 2.
Доведення. Згiдно з теоремою 1 T0-топологiї iндексу \alpha n - 1 на (n - 1)-елементнiй мно-
жинi M = \{ x1, . . . , xn - 1\} мають вагу 2n - 2 + 2n - 2 - \alpha n - 1 . Позначимо \alpha n - 1 = s i \alpha n = k,
причому s < k. Нехай для визначеностi мiнiмальний окiл елемента xn - 1 дорiвнює Mn - 1 =
= \{ x1, x2, . . . , xs, xn - 1\} . Розглянемо всi можливi випадки перетину мiнiмальних околiв еле-
ментiв xn - 1 i xn.
Випадок Mn - 1 \subset Mn можливий при будь-якому 2 \leq \alpha n \leq n - 1. Мiнiмальний окiл елемен-
та xn має вигляд Mn = \{ x1, x2, . . . , xs - 1, xs, xs+1, . . . , xk - 1, xn - 1, xn\} . У першому рiвнi немає
вiдкритих множин, якi мiстять k-елементну пiдмножину \{ x1, x2, . . . , xs - 1, xs, xs+1, . . . , xk - 1,
xn - 1\} . У другому рiвнi глибина g (\{ x1, x2, . . . , xs - 1, xs, xs+1, . . . , xk - 1, xn - 1\} ) дорiвнює
2n - 2 - (k - 1) = 2n - 1 - k. Отже,
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 2 - \alpha n - 1 + 2n - 1 - \alpha n . (6)
Можливi ще s + 1 випадок, в яких | Mn - 1 \cap Mn| може бути числом вiд 0 до s. На-
приклад, якщо | Mn - 1 \cap Mn| = s - 1, тобто Mn - 1 \cap Mn = \{ x1, x2, . . . , xs - 1\} (це можли-
во при будь-якому 2 \leq \alpha n \leq n - 3), то мiнiмальний окiл елемента xn дорiвнює Mn =
= \{ x1, x2, . . . , xs - 1, xs+1, . . . , xk, xk+1, xn\} . У першому рiвнi кiлькiсть вiдкритих множин, якi
мiстять k-елементну пiдмножину \{ x1, x2, . . . , xs - 1, xs+1, . . . , xk, xk+1\} , дорiвнює 2n - 2 - k, у
другому рiвнi таких вiдкритих множин 2n - 2 - (k+1) = 2n - 3 - k. Глибина g(\{ x1, x2, . . . , xs - 1,
xs+1, . . . , xk, xk+1\} ) дорiвнює 2n - 2 - k + 2n - 3 - k. Отже,
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 2 - \alpha n - 1 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 3 - \alpha n . (7)
Виконаємо пiдрахунок в загальному випадку, коли | Mn - 1 \cap Mn| = s - p, де p = 0, s.
Мiнiмальний окiл елемента xn дорiвнює Mn = \{ x1, . . . , xs - p, xs+1, . . . , xk+p, xn\} . Глибина k-
елементної пiдмножини g (\{ x1, . . . , xs - p, xs+1, . . . , xk+p\} ) дорiвнює 2n - 2 - k+2n - 2 - (k+p). Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ТОПОЛОГIЇ НА n-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI З ТОПОЛОГIЯМИ . . . 245
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 2 - \alpha n - 1 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 2 - \alpha n - p. (8)
Обмеження | \tau | > 2n - 2 для формули (8) є очевидним, оскiльки iндукована на (n - 2)-
елементнiй пiдмножинi \{ x1, . . . , xn - 2\} топологiя має 2n - 2 вiдкритих множин, а в топологiях
з вектором (0, . . . , 0, \alpha n - 1, \alpha n) їх принаймнi ще двi. Перевiримо обмеження | \tau | < 5 \cdot 2n - 4.
Для цього оцiнимо рiзницю \delta 1 = 2n - 2 + 2n - 2 - \alpha n - 1 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 2 - \alpha n - p - 5 \cdot 2n - 4 =
= 2n - 4 \cdot (22 - \alpha n - 1 + 22 - \alpha n + 22 - \alpha n - p - 1). Найбiльше значення ваги для цих топологiй буде
при \alpha n - 1 = 3, \alpha n = 4 i p = 1, оскiльки при таких же \alpha n - 1, \alpha n i p = 0 маємо умови теореми
4. Таким чином, \delta 1 \leq 2n - 4 \cdot (22 - 3 + 22 - 4 + 22 - 4 - 1 - 1) < 0, що i потрiбно було довести.
Аналогiчно перевiряються обмеження для формули (6).
Теорему доведено.
6. \bfitT \bfzero -топологiї, узгодженi з \bfitT \bfzero -топологiями з вектором (\bfzero , . . . , \bfzero , \bfone , \bfone ) на (\bfitn - \bfone )-
елементнiй множинi. Всi класи близьких до дискретної топологiй на n-елементнiй множинi
визначаються топологiями з вектором (0, . . . , 0, \alpha n), де 1 \leq \alpha n \leq n - 1. Бiльш того, кожен
клас близьких до дискретної топологiй, за винятком 9 \cdot 2n - 4-класу, має 2 (з точнiстю до го-
меоморфiзму) топологiї: топологiю з вектором (0, . . . , 0, \alpha n) i двоїсту до неї. До 9 \cdot 2n - 4-класу
входять не лише вказанi топологiї, а й топологiя з вектором (0, . . . , 0, 1, 1), де Mn - 1\cap Mn = \varnothing .
Розглянемо топологiю з таким вектором на (n - 1)-елементнiй множинi i всi узгодженi з нею
T0-топологiї на n-елементнiй множинi.
Теорема 6. Топологiї на n-елементнiй множинi з векторами (0, . . . , 0, 1, 1, \alpha n), де Mn - 2\cap
\cap Mn - 1 = \varnothing i 1 \leq \alpha n \leq n - 1, мають вагу 9 \cdot 2n - 5 < | \tau | < 2n - 1. Топологiї з такими векторами
потрапляють у класи, якi визначаються топологiями, узгодженими з близькими до дискретних
iндексу не бiльше трьох.
Доведення. Згiдно з теоремою 1 T0-топологiї з вектором (0, . . . , 0, 1, 1), де Mn - 2\cap Mn - 1 =
= \varnothing , на (n - 1)-елементнiй множинi M = \{ x1, . . . , xn - 1\} мають вагу 2n - 2+2n - 5. Нехай \alpha n = k
i для визначеностi мiнiмальнi околи елементiв xn - 2 i xn - 1 дорiвнюють Mn - 2 = \{ x1, xn - 2\} i
Mn - 1 = \{ x2, xn - 1\} . Розглянемо всi можливi випадки перетину мiнiмальних околiв елементiв
xn - 2, xn - 1 i xn. Повторюючи мiркування з доведення теореми 5, знаходимо вагу топологiї для
кожного з випадкiв.
Перший випадок: Mn - 1 \cap Mn = \varnothing i Mn - 2 \cap Mn = \varnothing , можливий для 1 \leq \alpha n \leq n - 5,
n \geq 6. Мiнiмальний окiл елемента xn має вигляд Mn = \{ x3, x4, . . . , xk+2, xn\} . Вага топологiї
в цьому випадку
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 5 - \alpha n . (9)
Порiвняємо формулу (9) з формулами з попереднiх теорем. При \alpha n = 1 вага | \tau | = 27 \cdot 2n - 6.
Цей результат збiгається з формулою (2) при \alpha n = 3. Таким чином, топологiї з вектором
(0, . . . , 0, 1, 1, 1) при умовi Mn - 1\cap Mn = \varnothing i Mn - 2\cap Mn = \varnothing потрапляють у той же клас, що i
топологiї з вектором (0, . . . , 0, 1, 3). При \alpha n = 2 формула (9) дає | \tau | = 45 \cdot 2n - 7, що збiгається з
формулою (5) при \alpha n = 3. При \alpha n = 3 вага дорiвнює | \tau | = 81 \cdot 2n - 8, що збiгається з формулою
(3) при \alpha n = 7. При \alpha n \geq 4 формула (9) збiгається з формулою (8), якщо в нiй \alpha n - 1 = 3 i
p = 3.
Другий випадок: Mn - 1 \cap Mn = \{ x2\} i Mn - 2 \cap Mn = \varnothing , можливий для 1 \leq \alpha n \leq n - 4,
n \geq 5. Мiнiмальний окiл Mn = \{ x2, x3, . . . , xk+1, xn\} . Вага топологiї
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 3 - \alpha n . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
246 П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА
При \alpha n = 1 формула (10) дає | \tau | = 15 \cdot 2n - 5, що збiгається з формулою (2) при \alpha n = 2.
При \alpha n = 2 вага | \tau | = 3 \cdot 2n - 3 збiгається з формулою (3) при \alpha n = 3. При \alpha n = 3 маємо
| \tau | = 21 \cdot 2n - 6, що збiгається з формулою (3) при \alpha n = 5. При \alpha n \geq 4 формула (10) збiгається
з формулою (7) при \alpha n - 1 = 3.
Третiй випадок: Mn - 1 \cap Mn = \{ x2\} i Mn - 2 \cap Mn = \{ x1\} , можливий для 2 \leq \alpha n \leq n - 3,
n \geq 5, де Mn = \{ x1, x2, . . . , xk, xn\} . Вага топологiї
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 1 - \alpha n . (11)
Порiвнюючи формулу (11) з формулами з попереднiх теорем, переконуємося, що при \alpha n = 2
вага | \tau | = 13\cdot 2n - 5 збiгається з формулою (1) при \alpha n = 4; при \alpha n = 3 отримуємо | \tau | = 11\cdot 2n - 5,
що збiгається з формулою (3) при \alpha n = 4; при \alpha n \geq 4 формула (11) збiгається з формулою (6)
при \alpha n - 1 = 3.
Четвертий випадок: Mn - 1 \cap Mn = \{ x2, xn - 1\} i Mn - 2 \cap Mn = \varnothing , можливий для 2 \leq \alpha n \leq
\leq n - 3, n \geq 5 i мiнiмального околу Mn = \{ x2, x3, . . . , xk, xn - 1, xn\} . Вага топологiї
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 3 - \alpha n . (12)
П’ятий випадок: Mn - 1 \cap Mn = \{ x2, xn - 1\} i Mn - 2 \cap Mn = \{ x1\} , можливий для 3 \leq \alpha n \leq
\leq n - 2, n \geq 5. Мiнiмальний окiл елемента xn має вигляд Mn = \{ x1, x2, . . . , xk - 1, xn - 1, xn\} .
Вага топологiї в даному випадку
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 1 - \alpha n . (13)
Формула (12) збiгається з формулою (10), а формула (13) — з формулою (11), проте обме-
ження на \alpha n в цих формулах рiзнi.
Шостий випадок: Mn - 1 \cap Mn = \{ x2, xn - 1\} i Mn - 2 \cap Mn = \{ x1, xn - 2\} , можливий для
4 \leq \alpha n \leq n - 1, n \geq 5. Мiнiмальний окiл елемента xn можна вибрати у виглядi Mn =
= \{ x1, x2, . . . , xk - 2, xn - 2, xn - 1, xn\} . Вага топологiї
| \tau | = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 1 - \alpha n . (14)
Формула (14) збiгається з формулами (11) i (13). При \alpha n \geq 4 формула (14) збiгається з
формулою (6) при \alpha n - 1 = 3.
Оскiльки мiнiмальнi околи елементiв xn - 2 i xn - 1 є двоелементними, то зрозумiло, що крiм
розглянутих iнших випадкiв немає. Ми отримали, що топологiї з векторами (0, . . . , 0, 1, 1, \alpha n)
при умовi Mn - 2 \cap Mn - 1 = \varnothing не утворюють нових класiв топологiй, всi вони входять до
розглянутих вище класiв топологiй, узгоджених з T0-топологiями iндексу не бiльше трьох.
Перевiримо обмеження | \tau | > 9 \cdot 2n - 5. Оскiльки, формула (9) дає мiнiмальне значення для
ваги топологiї в порiвняннi з iншими отриманими в цiй теоремi формулами, то достатньо
оцiнити рiзницю \delta 2 = 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 2 - \alpha n + 2n - 5 - \alpha n - 9 \cdot 2n - 5 = 2n - 2 - \alpha n + 2n - 5 - \alpha n .
Враховуючи обмеження 1 \leq \alpha n \leq n - 5, одержуємо \delta 2 > 0, що i потрiбно було довести.
Для перевiрки обмеження | \tau | < 2n - 1 достатньо розглянути формулу (11), яка дає макси-
мальне значення для ваги розглянутих топологiй. Враховуючи обмеження 2 \leq \alpha n \leq n - 3,
отримуємо, що рiзниця 2n - 2 + 2n - 5 + 2n - 1 - \alpha n - 2n - 1 = 2n - 5 \cdot (24 - \alpha n - 7) < 0.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ТОПОЛОГIЇ НА n-ЕЛЕМЕНТНIЙ МНОЖИНI, УЗГОДЖЕНI З ТОПОЛОГIЯМИ . . . 247
Теорема 7. У класах топологiй з вагою | \tau | \in [13 \cdot 2n - 5, 2n - 1], за винятком T0-топологiй,
узгоджених iз близькими до дискретних та двоїстих до них, iнших топологiй немає. Iснують
класи топологiй iз вагою | \tau | \in [5 \cdot 2n - 4, 13 \cdot 2n - 5), якi не вичерпуються T0-топологiями,
узгодженими з близькими до дискретних та двоїстими до них. Iснують класи топологiй
iз вагою | \tau | \in (2n - 2, 5 \cdot 2n - 4), в яких немає топологiй iз векторами (0, . . . , 0, \alpha n - 1, \alpha n) i
(0, . . . , 0, 1, 1, \alpha n) при умовi Mn - 2 \cap Mn - 1 = \varnothing .
Доведення. Розглянемо, наприклад, топологiї з вагою | \tau | = 7 \cdot 2n - 4. За теоремою 2 вони
мають вектори: 1) (0, . . . , 0, 1, 3) у випадку Mn - 1 \subset Mn; 2) (0, . . . , 0, 1, 3) у випадку Mn - 1 \cap
\cap Mn = \{ xi\} ; 3) (0, . . . , 0, 2, 2) у випадку Mn - 1 \cap Mn = \{ xi, xj\} . Для знаходження кiлькостi
всiх помiчених T0-топологiй зручно перейти вiд вектора топологiї до набору мiнiмальних
околiв усiх елементiв. Тодi у першому випадку отримаємо число Cn - 2
n \cdot C1
n - 2 \cdot 2 \cdot C1
n - 3 = (n)4,
де (n)m = n(n - 1) . . . (n - m + 1) — символ Похгамера, i стiльки ж двоїстих до них. У
другому випадку маємо
1
2
\cdot (n)5 топологiй i стiльки ж двоїстих до них. Кiлькiсть топологiй у
третьому випадку дорiвнює
1
4
\cdot (n)4. Загальна кiлькiсть топологiй у класi 7 \cdot 2n - 4 дорiвнює
2 \cdot (n)4+2 \cdot 1
2
\cdot (n)5+
1
4
\cdot (n)4 =
9
4
\cdot (n)4+(n)5. Оскiльки це число збiгається з числом, наведеним
у статтi [2], то можна зробити висновок, що в даному класi iнших топологiй немає. Такий же
висновок отримаємо для класiв 13 \cdot 2n - 5, 27 \cdot 2n - 6, 15 \cdot 2n - 5 та 2n - 1.
Для доведення другого твердження теореми достатньо навести приклад класу з вказаною
властивiстю. Розглянемо клас топологiй iз вагою | \tau | = 25 \cdot 2n - 6. За теоремою 2 вiн можливий
при n \geq 6 i мiстить топологiї з векторами: 1) (0, . . . , 0, 1, 5), коли Mn - 1 \subset Mn; 2) (0, . . . , 0, 1, 5),
коли Mn - 1 \cap Mn = \{ xi\} ; 3) (0, . . . , 0, 2, 2), коли Mn - 1 \cap Mn = \varnothing . Кiлькiсть помiчених T0-
топологiй у першому випадку дорiвнює
1
6
\cdot (n)6 i така ж кiлькiсть двоїстих до них. У другому
випадку отримаємо
1
24
\cdot (n)7 топологiй i таку ж кiлькiсть двоїстих до них. Кiлькiсть топологiй
у третьому випадку дорiвнює
1
8
\cdot (n)6 i така ж кiлькiсть двоїстих до них. Тобто разом кiлькiсть
T0-топологiй з вагою 25 \cdot 2n - 6 дорiвнює
7
12
\cdot (n)6 +
1
12
\cdot (n)7. Але в роботi [2] показано,
що кiлькiсть топологiй iз такою вагою дорiвнює
n+ 14
24
\cdot (n)6 +
1
24
\cdot (n)7. Оцiнимо рiзницю
n+ 14
24
\cdot (n)6 +
1
24
\cdot (n)7 -
7
12
\cdot (n)6 -
1
12
\cdot (n)7. В результатi отримуємо
1
4
\cdot (n)6 > 0. Таким
чином, у даному класi є ще й iншi топологiї, що й потрiбно було показати.
Покажемо, що iснують i класи T0-топологiй iз вагою з промiжку (2n - 2, 5 \cdot 2n - 4), в яких
немає жодної топологiї, узгодженої з близькою до дискретної топологiєю. Розглянемо клас
T0-топологiй при n = 5 з вагою 9. За теоремами 5 i 6 жодна T0-топологiя з векторами
(0, . . . , 0, \alpha n - 1, \alpha n) при 1 \leq \alpha n - 1 \leq 3, 2 \leq \alpha n \leq 4 i (0, . . . , 0, 1, 1, \alpha n), де Mn - 2 \cap Mn - 1 = \varnothing i
1 \leq \alpha n \leq 4, не має ваги | \tau | = 9. Ми показали, що T0-топологiї в цьому класi мають вектори
(0, 1, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 2, 4), (0, 0, 2, 2, 3) i (0, 0, 1, 3, 3).
Теорему доведено.
Лiтература
1. J. W. Evans, F. Harary, M. S. Lynn, On the computer enumeration of finite topologies, Commun. ACM, 10, № 5,
295 – 297 (1967).
2. M. Kolli, Direct and elementary approach to enumerate topologies on a finite set, J. Integer Seq., 10, 1 – 11 (2007).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
248 П. Г. СТЄГАНЦЕВА, А. В. СКРЯБIНА
3. M. Kolli, On the cardinality of the T0 -topologies on a finite set, Int. J. Combin., 214, Article ID 798074 (2014), 7 p.
4. V. Krishnamurthy, On the enumeration of homeomorphism classes of finite topologies, J. Austr. Math. Soc. Ser. A,
24, 320 – 338 (1977).
5. H. Sharp (Jr.), Quasi-orderings and topologies on finite sets, Proc. Amer. Math. Soc., 17, 1344 – 1349 (1966).
6. H. Sharp (Jr.), Cardinality of finite topologies, J. Combin. Theory, 5, 82 – 86 (1968).
7. R. P. Stanley, On the number of open sets of finite topologies, J. Combin. Theory, 10, 74 – 79 (1971).
8. D. Stephen, Topology on finite sets, Amer. Math. Monthly, 75, 739 – 741 (1968).
9. Н. П. Адаменко, И. Г. Величко, Классификация топологий на конечных множествах с помощью графов, Укр.
мат. журн., 60, № 7, 992 – 996 (2008).
10. З. И. Боревич, К вопросу перечисления конечных топологий, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 71, 47 – 65 (1977).
11. И. Г. Величко, П. Г. Стеганцева, Н. П. Башова, Перечисление топологий близких к дискретной на конечных
множествах, Изв. вузов. Математика, № 11, 23 – 31 (2015).
12. Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, URL: https://oeis.org/?language =russian.
Одержано 19.06.20,
пiсля доопрацювання — 29.09.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6174 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:22Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/ceb1b1c3023b4f3dce30bddcf936d793.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61742025-03-31T08:48:28Z Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set Топології на $n$-елементній множині, узгоджені з топологіями близькими до дискретних на $(n −1)$-елементній множині Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Стєганцева, П. Г. Скрябіна, А. В. UDC 519.1 Topologies on a finite set are described by a nondecreasing sequence of nonnegative integers (the vector of topologies). We study $T_0$ -topologies on the $n$-element set that induce topologies with $k &gt; 2^{n - 1} $ on the $(n - 1)$-element set (these induced topologies are called close to the discrete topology). Let $k$ denote the number of open sets in a topology. We obtain the form of the vector of $T_0$ -topologies with $k \geq 5 \cdot 2^{n - 4}$, which are described in works by Stanley and Kolli, and find the values $k \in [5 \cdot 2^{n - 4}, 2^{n - 1}]$, for which $T_0$ -topologies with k open sets do not exist. We describe all labeled $T_0$-topologies and indicate their number for each $k \geq 13 \cdot 2^{n - 5}$ . It is shown that there exist values $k \in (2^{n - 2}, 5 \cdot 2^{n - 4})$ such that any $T_0$ -topology with k open sets can not induce a topology close to the discrete one on an $(n - 1)$-element subset. В работе топологии на конечном множестве описываются неубывающей последовательностью неотрицательных целых чисел (вектором топологии). Исследуются T_0-топологии на n-элементном множестве, которые индуцируют на (n-1)-элементном множестве близкие к дискретной топологии. Найден вид вектора T_0-топологии с k≥5∙2^(n-4) открытыми множествами, которые описаны в работах Stanley и Kolli, и значения k∈[5∙2^(n-4) ,2^(n-1)], для которых не существуют T_0-топологии с k открытыми множествами. Описаны все помеченные T_0-топологии и найдено их количество для каждого k≥13∙2^(n-5). Показано, что существуют такие значения k∈(2^(n-2) ,5∙2^(n-4)), что ни одна T_0-топология с k открытыми множествами не индуцирует на (n-1)-элементном множестве близкую к дискретной топологию. УДК 519.1 В роботi топологiї на скiнченнiй множинi описуються неспадною послiдовнiстю невiд’ємних цiлих чисел (вектором топологiї). Дослiджуються $T_0$ -топологiї на $n$-елементнiй множинi, якi iндукують на $(n - 1)$-елементнiй множинi топологiї з $k &gt; 2^{n - 1} $ (цi iндукованi топологiї називають близькими до дискретної). Символом $k$ позначено кiлькiсть вiдкритих множин у топологiї. Знайдено вигляд вектора $T_0$ -топологiй з $k \geq 5 \cdot 2^{n - 4}$, якi описано в роботах Stanley i Kolli, i значення $k \in [5 \cdot 2^{n - 4}, 2^{n - 1}]$, для яких не iснують $T_0$-топологiї з $k$ вiдкритими множинами. Описано всi помiченi $T_0$-топологiї i знайдено їхню кiлькiсть для кожного $k \geq 13 \cdot 2^{n - 5}$. Показано iснування таких значень $k \in (2^{n - 2}, 5 \cdot 2^{n - 4})$, що жодна $T_0$ -топологiя з $k$ вiдкритими множинами не iндукує на $(n - 1)$-елементнiй множинi близьку до дискретної топологiю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-02-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6174 10.37863/umzh.v73i2.6174 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 2 (2021); 238 - 248 Український математичний журнал; Том 73 № 2 (2021); 238 - 248 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6174/8942 Copyright (c) 2021 Анна Скрябіна, Поліна Стєганцева |
| spellingShingle | Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Stegantseva, P. G. Skryabina, A. V. Стєганцева, П. Г. Скрябіна, А. В. Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title_alt | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set Топології на $n$-елементній множині, узгоджені з топологіями близькими до дискретних на $(n −1)$-елементній множині |
| title_full | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title_fullStr | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title_full_unstemmed | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title_short | Topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| title_sort | topologies on the $n$-element set that consistent with close to the discrete topologies on $(n −1)$-element set |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6174 |
| work_keys_str_mv | AT stegantsevapg topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT skryabinaav topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT stegantsevapg topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT skryabinaav topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT stêgancevapg topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT skrâbínaav topologiesonthenelementsetthatconsistentwithclosetothediscretetopologiesonn1elementset AT stegantsevapg topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní AT skryabinaav topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní AT stegantsevapg topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní AT skryabinaav topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní AT stêgancevapg topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní AT skrâbínaav topologíínanelementníjmnožiníuzgodženíztopologíâmiblizʹkimidodiskretnihnan1elementníjmnožiní |