On Fischer subgroups of finite groups
UDC 512.542 Let $\mathscr{F}$ be a Fitting set of a group $G,$ $\pi$ be a nonempty set of primes, and $L\leq G.$In this case, $\mathscr{F}$ is called a Fischer $\pi$-set of $G$ if conditions $L\in\mathscr{F},$ $K\unlhd L,$ and $H/K$ is a $p$-subgroup of $L/K$ for a prime $p\in \pi$ imply necessarily...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6192 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512286210260992 |
|---|---|
| author | Mao , Yu. Ma, X. Vorob'ev, N. Т. Karaulova, T. B. Yu. X. N. Т. Караулова, Татьяна Мао, Ю. Ма, С. Воробйов, N. Т. Караулова, Т. Б. |
| author_facet | Mao , Yu. Ma, X. Vorob'ev, N. Т. Karaulova, T. B. Yu. X. N. Т. Караулова, Татьяна Мао, Ю. Ма, С. Воробйов, N. Т. Караулова, Т. Б. |
| author_sort | Mao , Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | UDC 512.542
Let $\mathscr{F}$ be a Fitting set of a group $G,$ $\pi$ be a nonempty set of primes, and $L\leq G.$In this case, $\mathscr{F}$ is called a Fischer $\pi$-set of $G$ if conditions $L\in\mathscr{F},$ $K\unlhd L,$ and $H/K$ is a $p$-subgroup of $L/K$ for a prime $p\in \pi$ imply necessarily that $H \in \mathscr{F}.$It is said that a subgroup $F$ of $G$ is a Fischer $\mathscr{F}$-subgroup of $G$if the following conditions hold:1) $F \in \mathscr{F};$2) if $L$ is an $\mathscr{F}$-subgroup of $G$ normalized by $F,$ then $L\leq F.$It is said that a Fitting set $\mathscr{F}$ of $G$ is $\pi$\emph{-saturated} if $\mathscr{F} = \{H \leq G : H/H_\mathscr{F} \in \mathfrak{E}_{\pi'} \},$ where $\mathfrak{E}_{\pi'}$ is the class of all $\pi'$-groups.
In this paper, under the condition that $\mathscr{F}$ is a $\pi$-saturated Fischer $\pi$-set of a $\pi$-soluble group $G,$we prove that a subgroup $V$ of $G$ is an $\mathscr{F}$-injector of $G$ if and only if $V$ is a Fischer $\mathscr{F}$-subgroup of $G$ containing a Hall $\pi'$-subgroup of $G.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6192 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6192
УДК 512.542
Ю. Мао*, С. Ма (Iн-т квантової iнформатики, Унiверситет Шаньси Датун, Китай),
М. Т. Воробйов**, Т. Б. Караулова** (Вiтеб. держ. ун-т iм. П. М. Машерова, Бiлорусь)
ПРО ПIДГРУПИ ФIШЕРА СКIНЧЕННИХ ГРУП
Let F be a Fitting set of a group G, \pi be a nonempty set of primes, and L \leq G. In this case, F is called a Fischer
\pi -set of G if conditions L \in F , K \unlhd L, and H/K is a p-subgroup of L/K for a prime p \in \pi imply necessarily that
H \in F . It is said that a subgroup F of G is a Fischer F -subgroup of G if the following conditions hold: 1) F \in F ;
2) if L is an F -subgroup of G normalized by F, then L \leq F. It is said that a Fitting set F of G is \pi -saturated if
F = \{ H \leq G : H/HF \in \frakE \pi \prime \} , where \frakE \pi \prime is the class of all \pi \prime -groups.
In this paper, under the condition that F is a \pi -saturated Fischer \pi -set of a \pi -soluble group G, we prove that a
subgroup V of G is an F -injector of G if and only if V is a Fischer F -subgroup of G containing a Hall \pi \prime -subgroup
of G.
Нехай F — множина Фiттiнга групи G, \pi — деяка непорожня множина простих чисел i L \leq G. F називається
\pi -множиною Фiшера G, якщо з того, що L \in F , K \unlhd L i H/K є p-пiдгрупою L/K для деякого p \in \pi , завжди
випливає H \in F . Пiдгрупа F групи G називається F-пiдгрупою Фiшера G, якщо справджуються такi твердження:
1) F \in F ; 2) якщо L є F -пiдгрупою G, нормалiзовною F, то L \leq F.
Множина Фiттiнга F групи G називається \pi -насиченою, якщо F = \{ H \leq G : H/HF \in \frakE \pi \prime \} , де \frakE \pi \prime — клас
усiх \pi \prime -груп. У данiй статтi доведено, що якщо F є \pi -насиченою \pi -множиною Фiшера \pi -розв’язної групи G, то
пiдгрупа V групи G є F-iн’єктором G тодi й тiльки тодi, коли V є F-пiдгрупою Фiшера G, яка мiстить холлiвську
\pi \prime -пiдгрупу G.
1. Вступ. Усi розглядуванi групи вважатимемо скiнченними, G позначає скiнченну групу. Ми
будемо дотримуватися позначень i термiнологiї [3].
Нагадаємо, що клас \frakF груп називається: формацiєю, якщо вiн замкнений вiдносно взяття
гомоморфних образiв i пiдпрямих добуткiв; класом Фiттiнга, якщо вiн замкнений вiдносно
нормальних пiдгруп i добуткiв нормальних \frakF -пiдгруп. Для класу \frakF пiдгрупа V групи G нази-
вається \frakF -максимальною в G, якщо V \in \frakF i U = V за умови, що V \leq U \leq G i U \in \frakF .
Очевидно, що для непорожньої формацiї \frakF кожна група G має найменшу нормальну пiдгру-
пу G\frakF таку, що G/G\frakF \in \frakF ; для непорожнього класу Фiттiнга \frakF кожна група G має найбiльшу
нормальну \frakF -пiдгрупу G\frakF . Ми називаємо G\frakF i G\frakF \frakF -корадикалом i \frakF -радикалом групи G
вiдповiдно.
Формацiєю Фiттiнга називається клас груп, який є одночасно формацiєю i класом Фiттiнга.
В теорiї формацiй розв’язних груп основоположним результатом є теорема Гашюца [7] про
iснування i спряженiсть \frakF -покривних пiдгруп у розв’язних групах для будь-якої насиченої
формацiї \frakF . Якщо \frakF є формацiєю, то пiдгрупа E групи G називається \frakF -покривною, якщо
виконуються такi умови: 1) E \in \frakF ; 2) якщо E \leq H \leq G i H/K \in \frakF , то H = EK.
У [5] Фiшер визначив поняття, двоїсте \frakF -покривним пiдгрупам для класу Фiттiнга \frakF , яке
в подальшому почали називати \frakF -пiдгрупою Фiшера (див. [3], IX. 3.1). Нехай \frakF — непорожнiй
клас Фiттiнга. Пiдгрупа F групи G називається \frakF -пiдгрупою Фiшера G, якщо F \in \frakF i мiстить
* Дослiдження пiдтримано НФСО Китаю (грант № 11901364) i науково-технiчним iнновацiйним проєктом ко-
леджiв i унiверситетiв у провiнцiї Шаньси Китаю (№ 2019Л0747).
** Дослiдження виконано за пiдтримки Державної програми наукових дослiджень Бiлорусi „Конвергенцiя”
(2016 – 2020).
c\bigcirc Ю. МАО, С. МА, М. Т. ВОРОБЙОВ, Т. Б. КАРАУЛОВА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7 913
914 Ю. МАО, С. МА, М. Т. ВОРОБЙОВ, Т. Б. КАРАУЛОВА
кожну \frakF -пiдгрупу групи G, яка нормалiзується F (див. [3], IX, теорема (4.7), i [8]). Очевидно,
якщо F є \frakF -пiдгрупою Фiшера G i F \leq H, то F — \frakF -пiдгрупа Фiшера H.
Пiдгрупа V групи G називається \frakF -iн’єктором G, якщо V \cap N є \frakF -максимальною пiдгру-
пою в N для кожної субнормальної пiдгрупи N групи G.
Фiшер, Гашюц i Хартлi [6] довели, що для будь-якого класу Фiттiнга \frakF у кожнiй розв’язнiй
групi G iснують \frakF -iн’єктори i будь-якi два з них є спряженими. Ця теорема є узагальненням
фундаментальних теорем Силова (для множини всiх розв’язних груп) i Холла.
Легко бачити, що у розв’язнiй групi G кожен \frakF -iн’єктор G є \frakF -пiдгрупою Фiшера G. Проте
iснують класи Фiттiнга \frakF i розв’язнi групи G такi, що \frakF -пiдгрупа Фiшера G не є \frakF -iн’єктором
G i \frakF -пiдгрупи Фiшера G не спряженi (див. [4] i [3], IX. 5.19).
Нагадаємо, що клас Фiттiнга \frakF називається класом Фiшера, якщо \frakF задовольняє такi умови:
якщо G \in \frakF , H \leq G i H мiстить нормальну пiдгрупу N групи G таку, що H/N є p-пiдгрупою
для деякого простого числа p, то H \in \frakF (див. [3, с. 601]).
Андерсон в [1] для розв’язних груп увiв поняття множини Фiттiнга групи G. Непорожня
множина F пiдгрупи G називається множиною Фiттiнга групи G, якщо виконуються такi
умови: 1) якщо S \in F i T — нормальна пiдгрупа S, то T \in F ; 2) якщо S, T \in F i S, T —
нормальнi пiдгрупи ST, то ST \in F ; 3) якщо S \in F i x \in G, то Sx \in F .
Поняття F-iн’єктора G для множини Фiттiнга групи G визначається, як i для класу Фiт-
тiнга.
Нехай \BbbP — множина всiх простих чисел, \varnothing \not = \pi \subseteq \BbbP , \pi \prime = \BbbP \setminus \pi i L \leq G. Множину Фiттiнга
F групи G назвемо \pi -множиною Фiшера G, якщо H \in F кожного разу, коли K \unlhd L \in F
i H/K є p-пiдгрупою L/K для деякого p \in \pi . Якщо \pi = \BbbP , то \pi -множина Фiшера G є
множиною Фiшера G (див. [3, с. 554]).
Наслiдуючи [11], для множини Фiттiнга F групи G i класу Фiттiнга \frakH ми назвемо множину
\{ H \leq G : H/HF \in \frakH \} добутком F i \frakH i позначимо F \circ \frakH .
\pi -Множина Фiшера групи G називається \pi -насиченою, якщо F \circ \frakE \pi \prime = F , де \frakE \pi \prime — клас
усiх \pi \prime -груп.
У теорiї класiв вiдомою є теорема Фiшера [5] (див. також [3], VIII, наслiдок (4.8)) про те,
що для класу Фiшера \frakF розв’язної групи G \frakF -пiдгрупи Фiшера G збiгаються з \frakF -iн’єкторами
G i утворюють єдиний клас спряжених пiдгруп.
У зв’язку з цим природним є таке питання: чи правильною є теорема Фiшера для \pi -
насиченої \pi -множини Фiшера \pi -розв’язної групи G?
Позитивну вiдповiдь на вказане питання дає доведена нами теорема.
Теорема 1.1. Нехай F — \pi -насичена \pi -множина Фiшера \pi -розв’язної групи G. Пiдгрупа
V групи G є F-iн’єктором G тодi i тiльки тодi, коли V є F-пiдгрупою Фiшера G, що мiстить
холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G.
Зауважимо, що якщо F — \pi -насичена множина Фiттiнга \pi -розв’язної групи G, то F-
iн’єктори спряженi в G (див. [11], теорема B (2)). Тому безпосередньо з теореми 1.1 випливають
такi наслiдки.
Наслiдок 1.1. Нехай F — \pi -насичена \pi -множина Фiшера \pi -розв’язної групи G. Тодi F-
пiдгрупи Фiшера, що мiстять холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G, спряженi в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО ПIДГРУПИ ФIШЕРА СКIНЧЕННИХ ГРУП 915
Наслiдок 1.2 (Фiшер [5], Хартлi [8], теорема 1). Нехай \frakF — розв’язний клас Фiшера. Тодi
кожна розв’язна група G має єдиний клас спряжених \frakF -пiдгруп Фiшера.
2. Попереднi вiдомостi. Нагадаємо, що група G називається \pi -розв’язною, якщо кожен
головний фактор групи G є або абелевою \pi -групою, або \pi \prime -групою. Пiдгрупа H групи G
називається холлiвською \pi -пiдгрупою G, якщо | H| є \pi -числом, а iндекс | G : H| — \pi \prime -числом.
Будемо позначати символом G\pi деяку холлiвську \pi -пiдгрупу групи G, а символом S\pi клас
усiх \pi -розв’язних груп.
Наведемо в якостi лем вiдомi твердження, якi ми будемо використовувати в доведеннi
теореми 1.1.
Лема 2.1 ([11], теорема A (2) i лема 4.2). Нехай G \in S\pi i F — \pi -насичена множина Фiт-
тiнга групи G. Тодi G має F-iн’єктор i будь-якi два з них спряженi, причому iндекс кожного
F-iн’єктора в G є \pi -числом.
Лема 2.2 (теорема Чунiхiна [2]). Нехай G \in S\pi . Тодi справджуються такi твердження:
1) G має холлiвськi \pi -пiдгрупи i будь-якi двi з них спряженi;
2) кожна \pi -пiдгрупа G мiститься в деякiй холлiвськiй \pi -пiдгрупi G.
Лема 2.3 ([10], лема 3.6). Нехай G \in S\pi , F — \pi -насичена множина Фiттiнга групи G i
V — F-iн’єктор G. Якщо V \leq H \leq G, то V — F-iн’єктор H.
Лема 2.4 ([9], лема 9). Нехай G \in S\pi i F — \pi -насичена множина Фiттiнга групи G.
Якщо K — нормальна пiдгрупа G i V — F-iн’єктор G, то NG(V \cap K)K = G.
Лема 2.5 ([10], лема 3.12). Нехай G \in S\pi , F — \pi -насичена множина Фiттiнга групи G
i N — нормальна пiдгрупа G. Якщо G = LN, L \in F i L \cap N є F-iн’єктором N, то L —
F-iн’єктор групи G.
Нехай H/K — секцiя групи G. Пiдгрупа A групи G покриває H/K, якщо H \leq KA, та
iзолює H/K, якщо A \cap H \leq K.
Означення 2.1 [4, с. 196]. Нехай F — множина Фiттiнга групи G. Якщо V — F-iн’єктор
G, то головний фактор H/K групи G називається \frakF -покривним, якщо V покриває H/K, i
\frakF -iзолюючим, якщо V iзолює H/K.
Лема 2.6 ([9], теорема 1). Якщо G \in S\pi i F — \pi -насичена множина Фiттiнга групи G,
то F-iн’єктор групи G або покриває, або iзолює кожен головний фактор G.
Нагадаємо, що пiдгрупа U групи G називається p-нормально вкладеною в G, якщо кожна
силовська p-пiдгрупа P з U є силовською p-пiдгрупою деякої нормальної пiдгрупи G. Пiдгрупу
U групи G назвемо \pi -нормально вкладеною в G, якщо U є p-нормально вкладеною в G для
будь-якого p \in \pi . Пiдгрупа A групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного
g \in G A i Ag спряженi в \langle A,Ag\rangle .
Лема 2.7 ([10], лема 3.15). Якщо G \in S\pi i F — \pi -насичена \pi -множина Фiшера групи G,
то F-iн’єктори G — \pi -нормально вкладенi пiдгрупи G.
Лема 2.8 ([10], лема 3.8). Нехай G \in S\pi , F — \pi -насичена множина Фiттiнга групи G i
N — нормальна пiдгрупа G. Тодi кожен F-iн’єктор V групи N є пронормальною пiдгрупою в G.
Лема 2.9 ([8], лема 5). Якщо V — пронормальна пiдгрупа G i H/K — головний фактор
групи G, що централiзується V, то N = NG(V ) покриває H/K.
Лема 2.10. Якщо G \in S\pi i F — \pi -насичена множина Фiттiнга G, то кожен головний
фактор G, що iзолюється F-iн’єктором G, є елементарною абелевою p-групою для деякого
p \in \pi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
916 Ю. МАО, С. МА, М. Т. ВОРОБЙОВ, Т. Б. КАРАУЛОВА
Доведення. Нехай V — F-iн’єктор G. За лемою 2.1 iндекс F-iн’єктора V в G є \pi -числом.
Отже, V мiстить деяку холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G\pi \prime групи G. Якщо H/K є холлiвською \pi \prime -
групою, то за лемою 2.2 H/K = H\pi \prime K/K = (G\pi \prime \cap H)K/K, i тому V K/K \geq G\pi \prime K/K \geq
\geq (G\pi \prime \cap H)K/K = H/K. Тодi H \leq V K. Це означає, що V покриває кожний \pi \prime -головний
фактор групи G. За лемою 2.6 F-iн’єктор групи G або покриває, або iзолює кожен головний
фактор групи G. Оскiльки G \in S\pi , то кожен головний фактор групи G є або елементарною
абелевою p-групою для деякого p \in \pi , або \pi \prime -групою. Таким чином, головнi фактори G, що
iзолюються, є елементарними абелевими \pi -групами.
З огляду на леми 2.7 i 2.10 наведемо таку модифiкацiю леми Хартлi (див. [8], лема 4).
Лема 2.11. Нехай \varnothing \not = \pi \subseteq \BbbP , G \in S\pi i F — \pi -насичена множина Фiшера групи G. Якщо
V — F-iн’єктор групи G i H/K — доповнюваний p-фактор групи G (p \in \pi ), що iзолюється
V, такий, що CG(H/K) \leq H, то кожне доповнення H/K у G мiстить пiдгрупи, спряженi
з V.
Якщо F — множина Фiттiнга групи G, то F g = \{ Hg : H \in F\} . Наступна лема випливає
безпосередньо з означення множини Фiттiнга групи G.
Лема 2.12. Нехай F — множина Фiттiнга групи G. Тодi F = F x для кожного x \in G.
Лема 2.13 ([3], властивiсть VIII.2.6). Нехай F — множина Фiттiнга групи G. Якщо K —
субнормальна пiдгрупа групи G i V — F-iн’єктор групи G, то пiдгрупа V \cap K є F-iн’єктором
групи K.
3. Доведення теореми 1.1. Оскiльки F — \pi -насичена \pi -множина Фiшера \pi -розв’язної
групи G, то за лемою 2.1 G має F-iн’єктор. Нехай V — F-iн’єктор групи G. Доведемо, що V
— F-пiдгрупа Фiшера G, що мiстить холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G.
Оскiльки iндекс | G : V | — \pi -число, то за лемою 2.1 V мiстить деяку холлiвську \pi \prime -пiдгрупу
G. Вiдомо, що V \in F . Нехай L \in F i V \leq NG(L). Доведемо, що L — пiдгрупа V.
Спочатку покажемо, що L\unlhd V L. Вiзьмемо довiльний елемент x = vl групи V L, де v \in V,
l \in L. Тодi (vl) - 1L(vl) = l - 1v - 1Lvl = l - 1Ll = L. Отже, пiдгрупа L нормальна в V L.
Тодi L \leq (V L)F . Оскiльки V \leq V L, то за лемою 2.3 V — F-iн’єктор групи V L. Отже,
L \leq (V L)F \leq V. Це показує, що V є F-пiдгрупою Фiшера групи G.
Доведемо зворотне твердження. Нехай F — F-пiдгрупа Фiшера групи G, яка мiстить
деяку холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G. Доведемо, що F є F-iн’єктором G. Доведення проведемо
iндукцiєю по порядку групи G. Якщо G = 1, то теорема є очевидною. Припустимо, що
теорема справджується для всiх груп, порядок яких менший нiж | G| .
Припустимо, що F не є F-iн’єктором G. Нехай GF — F-радикал групи G. Якщо GF — F-
iн’єктор групи G, то за означенням F-пiдгрупи Фiшера маємо GF \leq F. Проте F-iн’єктор GF
є F-максимальною пiдгрупою G, i тому F = GF . Отже, F є F-iн’єктором G. Ця суперечнiсть
показує, що GF не є F-iн’єктором групи G.
Нехай V — F-iн’єктор групи G. Виберемо пiдгрупу H групи G з такими властивостями:
а) GF \unlhd H \unlhd G;
б) H — найменша з пiдгруп, для якої має мiсце включення GF < V \cap H.
Нехай V0 = V \cap H i N = NG(V0). Тодi очевидно, що V \leq N < G i за лемою 2.4
G = NG(V0)H.
Доведення розiб’ємо на кiлька крокiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО ПIДГРУПИ ФIШЕРА СКIНЧЕННИХ ГРУП 917
(1) F \cap H не є F-iн’єктором H.
Припустимо, що пiдгрупа F \cap H є F-iн’єктором H. За лемою 2.1 F \cap H i V \cap H спряженi
в H. Отже, без обмеження загальностi можна вважати, що V0 = V \cap H = F \cap H. Тодi
F \leq NG(V0) < G. Оскiльки F є F-пiдгрупою Фiшера G, то очевидно, що F також є F-
пiдгрупою Фiшера N. Отже, за iндукцiєю F — F-iн’єктор N. Звiдси випливає, що F i V
спряженi в N = NG(V0), i тому F i V спряженi в G. Отже, F = V g для деякого g \in G i F є
F g -iн’єктором G. Оскiльки за лемою 2.12 F g = F , то F є F-iн’єктором G, що суперечить
нашому припущенню.
(2) Нехай H/K — такий головний фактор групи G, що GF \unlhd K \lhd H. Тодi H/K є елемен-
тарною абелевою p-групою для деякого p \in \pi i K — єдина максимальна пiдгрупа з множини
промiжних нормальних пiдгруп G мiж GF i H.
Оскiльки GF \leq K i GF \leq V, то GF \leq V \cap K. За лемою 2.13 V \cap K є F-iн’єктором K.
Отже, V \cap K \geq KF \geq GF . Тому V \cap K = GF внаслiдок вибору H.
Оскiльки G — \pi -розв’язна група, то H/K є або \pi \prime -групою, або елементарною абелевою
p-групою для p \in \pi .
Припустимо, що H/K — \pi \prime -група. Оскiльки F \supseteq G\pi \prime i H \unlhd G, то F \cap H мiстить деяку
холлiвську \pi \prime -пiдгрупу групи H. Звiдси H = (F \cap H)K. За iндукцiйним припущенням F \cap K
є F-iн’єктором K, i тому (F \cap H) \cap K = F \cap (H \cap K) = F \cap K = GF = V \cap K. Але тодi
за лемою 2.5 F \cap H є F-iн’єктором H, що суперечить твердженню (1). Таким чином, H/K є
елементарною абелевою p-групою для деякого p \in \pi .
Припустимо, що G має двi максимальнi нормальнi пiдгрупи K1, K2 iз множини нормальних
пiдгруп мiж GF i H. Тодi, за доведеним вище, H/Ki, i = 1, 2, є абелевою групою i V0(K1 \cap
\cap K2)/K1 \cap K2 \leq H/K1 \cap K2. Отже, H \leq NG(V0(K1 \cap K2)) i N \leq NG(V0(K1 \cap K2)). Це
означає, що V0(K1 \cap K2) є нормальною в HN = G. Оскiльки GF < V0 \leq V0(K1 \cap K2), то
H = V0(K1 \cap K2) внаслiдок вибору H. Тому Ki = Ki \cap H = Ki \cap (K1 \cap K2)V0 = (K1 \cap
\cap K2)GF = K1\cap K2. Звiдси випливає, що K1 = K2. Таким чином, K є єдиною максимальною
нормальною пiдгрупою G iз множини нормальних пiдгруп мiж GF i H.
(3) HF = G.
Якщо HF < G, то за iндукцiєю F є F-iн’єктором HF. Отже, F \cap H є F-iн’єктором H,
що суперечить твердженню (1).
(4) H/K — єдина мiнiмальна нормальна пiдгрупа G/K, де K — єдина максимальна нор-
мальна пiдгрупа G з множини нормальних пiдгруп мiж GF i H.
Припустимо, що твердження (4) не є правильним. Тодi G/K мiстить таку мiнiмальну
нормальну пiдгрупу R/K, що H1/K = R/K \times H/K. За твердженням (2) H1/K є абелевою
нормальною пiдгрупою G/K. За твердженням (3) HF = G, H1 = H1 \cap HF = H(F \cap H1).
Нехай H\ast = K(F \cap H1). Очевидно, що FK/K \leq NG(H
\ast /K). Оскiльки H1/K абелева, то
H/K \leq NG(H
\ast /K). Тодi H\ast /K \unlhd HF/K = G/K. Отже, H\ast нормальна в G.
Покажемо, що F \cap H\ast — F-iн’єктор H\ast . Зауважимо, що H\ast /K \not = 1. Справдi, якщо це не
так, то F \cap H1 \leq K, i тому H1 = H(F \cap H1) = H, що неможливо.
Оскiльки H\ast = K(F \cap H1), то F \cap H\ast = F \cap H1. Таким чином, H\ast = K(F \cap H\ast ). Отже,
(F \cap H\ast ) \cap K = F \cap (H \cap K) = F \cap K = GF = V \cap K, (F \cap H\ast ) \cap K = F \cap K — F-iн’єктор
K. Бiльш того, оскiльки F — множина Фiттiнга групи G i F \cap H\ast \unlhd F \in F , то F \cap H\ast \in F .
Отже, за лемою 2.5 F \cap H\ast є F-iн’єктором H\ast .
З iншого боку, V \cap H\ast також є F-iн’єктором H\ast , тому V \cap H\ast i F \cap H\ast спряженi в H\ast .
Тому без обмеження загальностi ми можемо припустити, що V \ast = V \cap H\ast = F \cap H\ast . Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
918 Ю. МАО, С. МА, М. Т. ВОРОБЙОВ, Т. Б. КАРАУЛОВА
V \ast = F\cap H\ast . Оскiльки H < H1 i GF = F\cap K \leq F\cap H \leq F\cap H1 = F\cap H\ast = V \ast , то отримуємо
N\ast := NG(V
\ast ) < G. Справдi, якщо NG(V
\ast ) = G, то V \ast \unlhd G. Оскiльки V \ast = F \cap H\ast \in F i
V \ast \unlhd G, то V \ast \leq GF , i тому V \ast = GF . Таким чином, V \ast = F \cap H1 = F \cap K \leq K \leq H. Отже,
H1 = H(F \cap H1) = H, що неможливо.
Оскiльки H\ast \unlhd G, то F i V — пiдгрупи N\ast . Очевидно, F є F-пiдгрупою Фiшера N\ast .
За iндукцiйним припущенням F — F-iн’єктор N\ast . Тому F i V спряженi в N\ast . Отже, F є
F-iн’єктором G. Прийшли до суперечностi.
(5) G = KN точно тодi, коли N покриває G/K.
З огляду на вибiр пiдгрупи H F-iн’єктор V не iзолює головний фактор H/K групи G.
Справдi, якщо припустити, що це не так, то H \cap V \subseteq K \cap V = GF . А це суперечить вибору
пiдгрупи H. Тодi за лемою 2.6 V покриває H/K, тобто (V \cap H)K = H. Отже, за лемою 2.4
G = NG(V \cap H)H = HN = (V \cap H)KN = KN.
(6) Iснує головний фактор G, який не покривається N. Зокрема, якщо A/B — такий
головний фактор iз пiдгрупою A максимального порядку, то A/B є елементарною абелевою
p-групою для деякого p \in \pi i BN — доповнення фактора A/B в G.
Справдi, оскiльки GF < N < G, то N покриває G/K i GF/1. Легко бачити, що iснують
головнi фактори групи G з множини нормальних пiдгруп мiж GF i K такi, якi N не покриває.
Нехай A/B — головний фактор iз пiдгрупою A максимального порядку.
Оскiльки G \pi -розв’язна, то A/B є або \pi \prime -групою, або елементарною абелевою p-групою
для деякого p \in \pi . Якщо A/B — \pi \prime -група, то (A/B)\pi \prime = A/B = A\pi \prime B/B = (G\pi \prime \cap A)B/B.
Оскiльки за лемою 2.1 iндекс кожного F-iн’єктора в G — \pi -число, то G\pi \prime \leq V, i тому A/B =
= (G\pi \prime \cap A)B/B \leq G\pi \prime B/B \leq V B/B. Таким чином, A \leq V B. Проте V \leq N i A \leq NB,
а це суперечить тому, що N не покриває фактор A/B. Таким чином, A/B є елементарною
абелевою p-групою.
Оскiльки A/B — головний фактор, який не покривається N, i A має максимальний порядок,
то G = KN = AN i B(A\cap N)\unlhd G. Крiм того, оскiльки N не покриває A/B, то A \not = B(A\cap N).
Отже, B(A \cap N) = B з огляду на вибiр A/B i A \cap N \leq B. Таким чином, G = AN = ABN i
A \cap BN = B(A \cap N) = B. Це означає, що BN є доповненням A/B в G.
(7) A = CG(A/B).
Нехай C = CG(A/B) така, що C \unlhd G. Якщо H \leq C, то V0 = V \cap H централiзує A/B. За
[1] (VIII, (2.6)) V0 — F-iн’єктор H i за лемою 2.8 V0 — пронормальна пiдгрупа G. Тодi за лемою
2.9 N = NG(V0) покриває A/B, що суперечить вибору пiдгрупи A/B. Тому C\cap H < H. Отже,
C \cap H є нормальною пiдгрупою G з множини нормальних пiдгруп мiж GF i H. Оскiльки K
є єдиною максимальною нормальною пiдгрупою G з множини нормальних пiдгруп мiж GF
i H, то C \cap H \leq K, i тому H/K \cap CK/K = 1. Проте за твердженням (4) H/K є єдиною
мiнiмальною нормальною пiдгрупою G/K. Отже, C \leq K.
Таким чином, GF \leq A \leq C \leq K. Нехай D = BN. Тодi D < G, тому що A \not = B(A \cap N) i
G = DA за твердженням (6). Покажемо, що C \cap D \unlhd G. Справдi, (C \cap D)G = (C \cap D)DA =
= (C \cap D)A. Нехай x \in C \cap D i a \in A. Оскiльки A \subseteq C, то xa \in C. Оскiльки група A/B
абелева i x - 1a - 1xa \in B, то xa \in xB \subseteq DB = NBB = NB = D. Тому xa \in C \cap D. Це
доводить, що C \cap D \unlhd G = DA. Отже, C/C \cap D — фактор ряду GF \leq A \leq C \leq K, що
iзолюється D i N. З огляду на вибiр A отримуємо A = C = CG(A/B).
(8) Фiнальна суперечнiсть.
Нехай L = KF. Оскiльки K \unlhd G i GF = F \cap K — F-iн’єктор K, за лемою 2.5 F — F-
iн’єктор L. За iндукцiйним припущенням L < G. Оскiльки L = L\cap G = L\cap AD = A(L\cap D) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО ПIДГРУПИ ФIШЕРА СКIНЧЕННИХ ГРУП 919
A/B \cap (D \cap L)B/B = 1, то D \cap L є доповненням A/B в L. За твердженнями (6), (7) i лемою
2.11 D \cap L мiстить F-iн’єктор L. Без обмеження загальностi припустимо, що F \leq D \cap L, i
тому F \leq D.
Оскiльки V \leq N \leq BN = D < G, то V є F-iн’єктором D за лемою 2.3 i F також є
F-iн’єктором D за iндукцiйним припущенням. Отже, V i F спряженi в D, а тому i в G. Проте
кожна пiдгрупа, спряжена з F-iн’єктором, є F-iн’єктором G. Отже, F — F-iн’єктор G. Ця
суперечнiсть показує, що кожна F-пiдгрупа Фiшера G, що мiстить холлiвську \pi \prime -пiдгрупу G,
є F-iн’єктором G.
Теорему доведено.
Лiтература
1. W. Anderson, Injectors in finite soluble groups, J. Algebra, 36, 333 – 338 (1975).
2. С. А. Чунихин, О \pi -отделимых группах, Докл. АН СССР, 59, 443 – 445 (1948).
3. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Walter de Gruyter, Berlin; New York (1992).
4. R. Dark, Some examples in the theory of injectors of finite soluble groups, Math. Z., 127, 145 – 156 (1972).
5. B. Fischer, Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen, Habilitationsschrift, Univ. Frankfurt
(1966).
6. B. Fischer, W. Gaschütz, B. Hartley, Injektoren endlicher auflösbarer Gruppen, Math. Z., 102, 337 – 339 (1967).
7. W. Gaschütz, Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen, Math. Z., 80, 300 – 305 (1963).
8. B. Hartley, On Fischer’s dualization of formation theory, Proc. London Math. Soc., 3, № 2, 193 – 207 (1969).
9. Т. Б. Караулова, Локальные множества Фиттинга и инъекторы конечной группы, Журн. Белорус. гос. ун-та.
Математика. Информатика, 3, 29 – 38 (2018).
10. М. Г. Семенов, Формула инъектора конечной \pi -разрешимой группы, Проблемы физики, математики и техники,
21, № 4, 77 – 88 (2014).
11. N. Yang, W. Guo, N. T. Vorob’ev, On F-injectors of Fitting set of a finite group, Commun. Algebra, 46, № 1,
217 – 229 (2018).
Одержано 27.06.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6192 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:22Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/a21be2fa7c0978690645e0c85cc04bac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61922025-03-31T08:47:53Z On Fischer subgroups of finite groups О подгруппах Фишера конечных групп Про підгрупи Фішера скінченних груп Mao , Yu. Ma, X. Vorob'ev, N. Т. Karaulova, T. B. Yu. X. N. Т. Караулова, Татьяна Мао, Ю. Ма, С. Воробйов, N. Т. Караулова, Т. Б. множина Фiттiнга, множина Фiшера, F-iн’єктор, F-пiдгруппа Фiшера G Fitting set, Fischer set, F-injector, Fischer F-subgroup of G. UDC 512.542 Let $\mathscr{F}$ be a Fitting set of a group $G,$ $\pi$ be a nonempty set of primes, and $L\leq G.$In this case, $\mathscr{F}$ is called a Fischer $\pi$-set of $G$ if conditions $L\in\mathscr{F},$ $K\unlhd L,$ and $H/K$ is a $p$-subgroup of $L/K$ for a prime $p\in \pi$ imply necessarily that $H \in \mathscr{F}.$It is said that a subgroup $F$ of $G$ is a Fischer $\mathscr{F}$-subgroup of $G$if the following conditions hold:1) $F \in \mathscr{F};$2) if $L$ is an $\mathscr{F}$-subgroup of $G$ normalized by $F,$ then $L\leq F.$It is said that a Fitting set $\mathscr{F}$ of $G$ is $\pi$\emph{-saturated} if $\mathscr{F} = \{H \leq G : H/H_\mathscr{F} \in \mathfrak{E}_{\pi'} \},$ where $\mathfrak{E}_{\pi'}$ is the class of all $\pi'$-groups. In this paper, under the condition that $\mathscr{F}$ is a $\pi$-saturated Fischer $\pi$-set of a $\pi$-soluble group $G,$we prove that a subgroup $V$ of $G$ is an $\mathscr{F}$-injector of $G$ if and only if $V$ is a Fischer $\mathscr{F}$-subgroup of $G$ containing a Hall $\pi'$-subgroup of $G.$ Пусть F — множество Фиттинга группы G, π — некоторое непустое множество простыхчисел и L ≤ G. Тогда F называется π-множеством Фишера G, если из того, что L 2 F, K ELи H=K является p-подгруппой L=K для некоторого p 2 π, всегда следует H 2 F. ПодгруппаF группы G называется F-подгруппой Фишера G, если справедливы следующие утверждения:(1) F 2 F; (2) если L является F-подгруппой G нормализуемой F, то L ≤ F:Множество Фиттинга F группы G называется π-насыщенным, если F = fH ≤ G : H=HF 2Eπ0g, где Eπ0 — класс всех π0-групп. В данной статье, доказано, что если F является π-насыщенным π-множеством Фишера π-разрешимой группы G, то подгруппа V группы G является F-инъектором G тогда и только тогда, когда V является F-подгруппой Фишера G, содержащей холлову π0-подгруппу G. УДК 512.542 Нехай $\mathscr{F}$ –&nbsp; множина Фіттінга групи $G,$ $\pi$ –&nbsp; деяка непорожня множина простих чисел і $L \leq G.$$\mathscr{F}$ називається $\pi$ - множиною Фішера $G,$ якщо з того, що$L \in \mathscr{F},$ $K \unlhd L$ і $H/K$ є $p$-підгрупою $L/K$ для деякого $p\in \pi,$завжди випливає $H \in \mathscr{F}.$Підгрупа $F$ групи $G$ називається $\mathscr{F}$-підгрупою Фішера $G,$якщо справджуються такі твердження:1) $F \in \mathscr{F};$2) якщо $L$ є $\mathscr{F}$ підгрупою $G,$ нормалiзовною $F,$ то $L\leq F.$ Множина Фiттiнга $\mathscr{F}$ групи $G$ називається $\pi$-насиченою, якщо $\mathscr{F} = \{H \leq G : H/H_\mathscr{F} \in \mathfrak{E}_{\pi'} \},$ де $\mathfrak{E}_{\pi'}$ – клас усіх $\pi'$-груп.У даній статті доведено, що якщо $\mathscr{F}$ є $\pi$-насиченою $\pi$-множиною Фішера $\pi$-розв'язної групи $G,$ то підгрупа $V$ групи $G$ є $\mathscr{F}$-ін'єктором $G$ тоді й тільки тоді, коли $V$ є $\mathscr{F}$-підгрупою Фішера $G,$ яка містить холлівську $\pi'$-підгрупу $G.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6192 10.37863/umzh.v73i7.6192 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 913 - 919 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 913 - 919 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6192/9065 Copyright (c) 2021 Татьяна Караулова |
| spellingShingle | Mao , Yu. Ma, X. Vorob'ev, N. Т. Karaulova, T. B. Yu. X. N. Т. Караулова, Татьяна Мао, Ю. Ма, С. Воробйов, N. Т. Караулова, Т. Б. On Fischer subgroups of finite groups |
| title | On Fischer subgroups of finite groups |
| title_alt | О подгруппах Фишера конечных групп Про підгрупи Фішера скінченних груп |
| title_full | On Fischer subgroups of finite groups |
| title_fullStr | On Fischer subgroups of finite groups |
| title_full_unstemmed | On Fischer subgroups of finite groups |
| title_short | On Fischer subgroups of finite groups |
| title_sort | on fischer subgroups of finite groups |
| topic_facet | множина Фiттiнга множина Фiшера F-iн’єктор F-пiдгруппа Фiшера G Fitting set Fischer set F-injector Fischer F-subgroup of G. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6192 |
| work_keys_str_mv | AT maoyu onfischersubgroupsoffinitegroups AT max onfischersubgroupsoffinitegroups AT vorob039evnt onfischersubgroupsoffinitegroups AT karaulovatb onfischersubgroupsoffinitegroups AT yu onfischersubgroupsoffinitegroups AT x onfischersubgroupsoffinitegroups AT nt onfischersubgroupsoffinitegroups AT karaulovatatʹâna onfischersubgroupsoffinitegroups AT maoû onfischersubgroupsoffinitegroups AT mas onfischersubgroupsoffinitegroups AT vorobjovnt onfischersubgroupsoffinitegroups AT karaulovatb onfischersubgroupsoffinitegroups AT maoyu opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT max opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT vorob039evnt opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT karaulovatb opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT yu opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT x opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT nt opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT karaulovatatʹâna opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT maoû opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT mas opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT vorobjovnt opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT karaulovatb opodgruppahfišerakonečnyhgrupp AT maoyu propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT max propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT vorob039evnt propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT karaulovatb propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT yu propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT x propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT nt propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT karaulovatatʹâna propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT maoû propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT mas propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT vorobjovnt propídgrupifíšeraskínčennihgrup AT karaulovatb propídgrupifíšeraskínčennihgrup |