Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics
УДК 517.5, 539.3 Among all two-dimensional algebras of the second rank with a unit $e$ over the field of complex numbers $\mathbb{C},$ we found a semisimple algebra $\mathbb{B}_{0}:=\{c_1 e+c_2\omega\colon c_k\in\mathbb{C},k=1,2\},$ $\omega^2=e,$ containing bases $\{e_1,e_2\}$ such that $\mathbb{B}_...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6199 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512291108159488 |
|---|---|
| author | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. |
| author_facet | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. |
| author_sort | Gryshchuk , S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:15Z |
| description | УДК 517.5, 539.3
Among all two-dimensional algebras of the second rank with a unit $e$ over the field of complex numbers $\mathbb{C},$ we found a semisimple algebra $\mathbb{B}_{0}:=\{c_1 e+c_2\omega\colon c_k\in\mathbb{C},k=1,2\},$ $\omega^2=e,$ containing bases $\{e_1,e_2\}$ such that $\mathbb{B}_{0}$-valued ``analytic'' functions $\Phi(xe_1+ye_2),$ where $x, y$ are real variables, satisfy a homogeneous partial differential equation of the fourth order that has only simple nonzero characteristics.The set of pairs $(\{e_1,e_2\},\Phi)$ is described in an explicit form. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i4.6199 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i4.6199
УДК 517.5, 539.3
С. В. Грищук (Iн-т математики НАН України, Київ)
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ
КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ
ТА УЗАГАЛЬНЕНЕ БIГАРМОНIЧНЕ РIВНЯННЯ
З НЕНУЛЬОВИМИ ПРОСТИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ*
Among all two-dimensional algebras of the second rank with a unit e over the field of complex numbers \BbbC , we found
a semisimple algebra \BbbB 0 := \{ c1e + c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e, containing bases \{ e1, e2\} such that \BbbB 0 -valued
“analytic” functions \Phi (xe1 + ye2), where x, y are real variables, satisfy a homogeneous partial differential equation of
the fourth order that has only simple nonzero characteristics. The set of pairs (\{ e1, e2\} ,\Phi ) is described in an explicit form.
Серед двовимiрних алгебр другого рангу з одиницею e над полем комплексних чисел \BbbC знайдено напiвпросту
алгебру \BbbB 0 = \{ c1e + c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e, що мiстить базиси \{ e1, e2\} такi, що \BbbB 0 -значнi „аналiтичнi”
функцiї \Phi (xe1+ye2) (x, y — дiйснi змiннi) задовольняють однорiдне рiвняння з частинними похiдними четвертого
порядку, яке має лише простi ненульовi характеристики. Наведено повний опис множини пар (\{ e1, e2\} ,\Phi ).
1. Постановки задач. Розглянемо рiвняння
Lu(x, y) :=
\biggl(
b1
\partial 4
\partial y4
+ b2
\partial 4
\partial x\partial y3
+ b3
\partial 4
\partial x2\partial y2
+ b4
\partial 4
\partial x3\partial y
+ b5
\partial 4
\partial x4
\biggr)
u(x, y) = 0, (1)
в якому комплекснi коефiцiєнти bk \in \BbbC , k = 1, 5, b5 \not = 0, такi, що характеристичне рiвняння
l (s) := b1s
4 + b2s
3 + b3s
2 + b4s+ b5 = 0, s \in \BbbC , (2)
має чотири попарно рiзних коренi (кожен корiнь є простим):
\{ s1, s2, s3, s4\} := \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, (3)
де sk \in \BbbC \setminus \{ 0\} , sk \not = sm при k \not = m, k,m \in \{ 1, . . . , 4\} . Cпiввiдношення sk \not = 0, k = 1, 4,
еквiвалентнi заданiй умовi b5 \not = 0. Очевидно, що спiввiдношення b1 \not = 0 є наслiдком зазначеної
умови. Отже,
b1b5 \not = 0. (4)
Пiд розв’язком рiвняння (1) в областi D декартової площини xOy будемо розумiти дiйс-
нозначну функцiю u, що має неперервнi частиннi похiднi до четвертого порядку включно та
задовольняє дане рiвняння в D.
Оскiльки частинними випадками рiвняння (1) є елiптичнi рiвняння („близькi” до бiгармо-
нiчного рiвняння у сенсi пункту 4 роботи) для знаходження функцiї напружень, що вiдповi-
дають вiдповiдним плоским анiзотропним середовищам (див., наприклад, [2 – 4]), то рiвняння
(1) будемо називати узагальненим бiгармонiчним рiвнянням (даний термiн використовується,
наприклад, у [1, c. 67] для рiвняння функцiї напружень анiзотропного середовища).
* Частково пiдтримано грантом Мiнiстерства освiти i науки України (проект № 0116U001528).
c\bigcirc С. В. ГРИЩУК, 2021
474 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 475
Позначимо через \BbbB \ast асоцiативну, комутативну над полем комплексних чисел \BbbC алгебру
другого рангу з одиницею e. Нехай \{ e1, e2\} — базис \BbbB \ast такий, що задовольняє спiввiдношення
L(e1, e2) := b1(e2)
4 + b2e1(e2)
3 + b3(e1)
2(e2)
2 + b4(e1)
3e2 + b5(e1)
4 = 0. (5)
Поставимо задачу про вiдшукання всiх пар \BbbB \ast , \{ e1, e2\} (див. п. 2).
Дану задачу для бiгармонiчного рiвняння, а також її розв’язання наведено у роботi [5].
Для частинного випадку рiвняння (1) (b1 = b5 = 1, b2 = b4 = 0, b3 > 2) дану задачу було
сформульовано та розв’язано у [6].
Введемо позначення \mu e1,e2 := \{ xe1 + ye2 : x, y \in \BbbR \} (лiнiйна оболонка векторiв e1 i e2 над
полем дiйсних чисел \BbbR ), D\zeta := \{ \zeta = xe1 + ye2 : (x, y) \in D\} \subset \mu e1,e2 , \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta для
(x, y) \in D.
Нехай базис \{ e1, e2\} задовольняє крiм умови (5) ще й таку умову:
\scrM \scrB ) кожен ненульовий елемент h \in \mu e1,e2 є оборотним (тобто iснує обернений елемент
h - 1 \in \BbbB \ast такий, що hh - 1 = e).
Для кожного шуканого базису \{ e1, e2\} , що задовольняє умови (5) i \scrM \scrB одночасно, розгля-
даємо моногеннi в D\zeta функцiї, тобто функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB \ast вигляду
\Phi (\zeta ) = U1(x, y) e1 + U2(x, y) ie1 + U3(x, y) e2 + U4(x, y) ie2 \forall \zeta \in D\zeta , (6)
що мають класичну похiдну \Phi \prime (\zeta ) в кожнiй точцi \zeta з D\zeta :
\Phi \prime (\zeta ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0,h\in \mu e1,e2
\bigl(
\Phi (\zeta + h) - \Phi (\zeta )
\bigr)
h - 1.
Кожну компоненту Uk : D - \rightarrow \BbbR з (6) будемо позначати також через \mathrm{U}k[\Phi ], тобто \mathrm{U}k[\Phi (\zeta )] :=
:= Uk(x, y), k \in \{ 1, . . . , 4\} .
Якщо моногенна функцiя \Phi має неперервнi похiднi \Phi (k)(\zeta ) до k-го порядку включно, k \geq 4,
в областi D\zeta , то згiдно зi спiввiдношеннями L\Phi (\zeta ) = L(e1, e2)\Phi
(4)(\zeta ) \equiv 0 при кожному \zeta \in D\zeta
(якi одержуються аналогiчно вiдповiдним спiввiдношенням [6] (п. 6) для частинного випадку
оператора L у рiвняннi (1)), а також рiвнiстю (6), переконуємося, що компоненти Uk, k = 1, 4,
задовольняють рiвняння (1) в областi D.
Поставимо задачу про опис усiх моногенних функцiй, а також пiдмножини моногенних
функцiй \Phi , компоненти яких \mathrm{U}k[\Phi ] = Uk, k = 1, 4, є розв’язками рiвняння (1) (див. п. 3).
Нехай D — обмежена й однозв’язна область. Розглянемо задачу про iснування моногенних
функцiй \Phi таких, що \mathrm{U}1[\Phi ] = u, де u — довiльна функцiя з простору розв’язкiв рiвняння (1).
У випадку, коли рiвняння (1) є рiвнянням для знаходження функцiї напружень для плоского
анiзотропного середовища, розглянемо також задачу про зведення його до рiвнянь L(\widetilde u) = 0
вигляду (1), для яких шуканi моногеннi функцiї \Phi (якi задовольняють спiввiдношення \mathrm{U}1[\Phi ] =
= \widetilde u) можна знайти в явному виглядi. Цiй проблематицi присвячено пункт 4.
Зауважимо, що гiперкомплекснi „аналiтичнi” функцiї \Phi (xe1 + ye2) зi значеннями у скiн-
ченновимiрних алгебрах над полем дiйсних (розмiрностi чотири) або комплексних чисел (роз-
мiрностi два), компоненти яких задовольняють рiвняння вигляду (1), розглядались, зокрема,
у роботах [7 – 14]. Незважаючи на значне число робiт, повний опис зазначених трiйок \BbbB \ast ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
476 С. В. ГРИЩУК
\{ e1, e2\} , \Phi (або аналогiчних до них, для iнших означень „моногенностi”) залишався досi невi-
домим (базис \{ e1, e2\} задовольняє умови (5) i \scrM \scrB одночасно). Це пов’язано, зокрема, з тим,
що клас рiвнянь (1) є досить широким.
Усi наведенi задачi розв’язано в роботi у повному i явному виглядi.
2. Комутативнi й асоцiативнi алгебри другого рангу та їхнi базиси, асоцiйованi з рiвнян-
ням (1). Як вiдомо (див. [15]), iснують (з точнiстю до iзоморфiзму) двi асоцiативнi, комутативнi
над полем комплексних чисел \BbbC алгебри другого рангу з одиницею e:
\BbbB := \{ c1e+ c2\rho : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \rho 2 = 0, (7)
\BbbB 0 := \{ c1e+ c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , \omega 2 = e. (8)
Очевидно, що алгебра \BbbB 0 є напiвпростою (означення див., наприклад, у [16, c. 33]) i мiстить
базис з ортогональних iдемпотентiв \{ I1, I2\} , де
I1 =
1
2
(e+ \omega ), I2 =
1
2
(e - \omega ), I1I2 = 0, (Ik)
2 = Ik, k = 1, 2. (9)
Очевидно, що
I1 + I2 = e, I1 - I2 = \omega . (10)
Елемент w = c1I1+c2I2 з \BbbB 0 є оборотним тодi i тiльки тодi, коли ck \not = 0, k = 1, 2. У випадку
виконання цiєї умови справджується рiвнiсть для оберненого елемента (див. [17, c. 38]):
w - 1 =
1
c1
I1 +
1
c2
I2. (11)
Наступна теорема визначає опис усiх пар \BbbB \ast , \{ e1, e2\} , де базиси \{ e1, e2\} задовольняють
умову (5). Зокрема, встановлено, що \BbbB \ast = \BbbB 0.
Теорема 1. Aлгебра \BbbB не мiстить жодного базису \{ e1, e2\} , що задовольняє умову (5).
Усi пари базисних елементiв алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (5), мають вигляд
e1 = \alpha I1 + \beta I2, e2 = \widetilde s1\alpha I1 + \widetilde s2\beta I2, (12)
де \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такi, що \widetilde s1 \not = \widetilde s2, комплекснi числа \alpha \not = 0, \beta \not = 0 вибираються довiльним
чином.
Доведення. Шукаємо пари базисних елементiв \{ e1, e2\} вигляду
ek = \alpha ke+ \beta k\rho \in \BbbB , k = 1, 2, (13)
де невiдомi комплекснi коефiцiєнти \alpha k, \beta k, k = 1, 2, задовольняють спiввiдношення
\Delta e1e2 := \alpha 1\beta 2 - \alpha 2\beta 1 \not = 0. (14)
Легко одержити рiвностi
(em)k = (\alpha m)k - 1 (\alpha me+ k\beta m\rho ) , k = 1, 4, m = 1, 2. (15)
Пiдставляючи (13) у (5) i враховуючи при цьому (15), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 477
L(e1, e2) = b1\alpha
3
2 (\alpha 2e+ 4\beta 2\rho ) + b2 (\alpha 1e+ \beta 1\rho )\alpha
2
2 (\alpha 2e+ 3\beta 2\rho )+
+b3\alpha 1\alpha 2 (\alpha 1e+ 2\beta 1\rho ) (\alpha 2e+ 2\beta 2\rho ) + b4\alpha
2
1 (\alpha 1e+ 3\beta 1\rho ) (\alpha 2e+ \beta 2\rho )+
+b5\alpha
3
1 (\alpha 1e+ 4\beta 1\rho ) = Ae e+A\rho \rho , (16)
де
Ae := b1\alpha
4
2 + b2\alpha
3
2\alpha 1 + b3\alpha
2
2\alpha
2
1 + b4\alpha 2\alpha
3
1 + b5\alpha
4
1,
A\rho := (b2\beta 1 + 4b1\beta 2)\alpha
3
2 + (3b2\beta 2 + 2b3\beta 1)\alpha 1\alpha
2
2+
+(2b3\beta 2 + 3b4\beta 1)\alpha
2
1\alpha 2 + \alpha 3
1 (b4\beta 2 + 4b5\beta 1) .
Тому шуканi \alpha k, \beta k \in \BbbC , k = 1, 2, повиннi задовольняти систему
Ae = 0, A\rho = 0, \Delta e1e2 \not = 0. (17)
Розглянемо перше рiвняння в системi (17). Згiдно з (4) одержуємо, що \alpha 1 \not = 0 (в iншому
випадку \alpha 1 = \alpha 2 = 0, що суперечить третьому спiввiдношенню в (17)) i виконуються рiвностi
\alpha 2
\alpha 1
= s\ast \forall s\ast \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l. (18)
Виконуючи дiлення обох частин другого рiвняння з (17) на \alpha 3
1 i використовуючи (18),
отримуємо
- l0(s\ast )\beta 1 + l \prime (s\ast )\beta 2 = 0, (19)
де l0(s\ast ) := -
\bigl(
b2s
3
\ast + 2b3s
2
\ast + 3b4s\ast + 4b5
\bigr)
, а l \prime (s\ast ) — значення похiдної многочлена l(s) з
(2) при s = s\ast . Оскiльки s\ast є простим коренем рiвняння (2), то l \prime (s\ast ) \not = 0, а рiвняння (19)
еквiвалентне такому:
\beta 2 =
l0(s\ast )
l \prime (s\ast )
\beta 1. (20)
Iз знайдених пар \{ e1, e2\} потрiбно вiдiбрати тi, якi є лiнiйно незалежними. Для цього
потрiбно перевiрити на виконання третє спiввiдношення системи (17). Пiдставляючи (18) та
(20) у (14), одержуємо
\Delta e1e2 =
\biggl(
l0(s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast
\biggr)
\alpha 1\beta 1 \not = 0. (21)
Якщо \beta 1 = 0, то умова (21) не виконується, тому \beta 1 \not = 0, отже, i \beta 2 \not = 0 згiдно з (20).
Оскiльки за доведеним \alpha 1 \not = 0 i \beta 1 \not = 0, то \Delta e1e2 може дорiвнювати нулю лише за умови, що
l0(s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast = 0. Перевiримо, чи це можливо. Безпосередньою пiдстановкою переконуємося,
що
l0(s\ast )
l \prime (s\ast )
- s\ast = - 4
l \prime (s\ast )
l (s\ast ) \equiv 0.
В результатi приходимо до висновку, що шуканих базисiв в алгебрi \BbbB не iснує.
Знайдемо необхiднi базиси в алгебрi \BbbB 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
478 С. В. ГРИЩУК
Легко показати, що елементи ek = \alpha k I1 + \beta k I2, k = 1, 2, задовольняють рiвностi
enk = \alpha n
k I1 + \beta n
k I2, n = 1, 4, k = 1, 2. (22)
Позначимо (ek)
0 := 1, k = 1, 2, \lambda 0 := 1 при дiйсних \lambda . Тодi
L(e1, e2) =
5\sum
k=1
bk
\Bigl(
\alpha 5 - k
2 I1 + \beta 5 - k
2 I2
\Bigr) \Bigl(
\alpha k - 1
1 I1 + \beta k - 1
1 I2
\Bigr)
=
=
5\sum
k=1
bk
\Bigl(
\alpha 5 - k
2 \alpha k - 1
1 I1 + \beta 5 - k
2 \beta k - 1
1 I2
\Bigr)
.
Отже, шукана система для знаходження коефiцiєнтiв базисних елементiв ek = \alpha k I1+\beta k I2,
k = 1, 2, має вигляд
Ae \equiv
5\sum
k=1
bk\alpha
5 - k
2 \alpha k - 1
1 = 0,
5\sum
k=1
bk\beta
5 - k
2 \beta k - 1
1 = 0, \Delta e1e2 \equiv \alpha 1\beta 2 - \alpha 2\beta 1 \not = 0. (23)
Як i в (17), встановлюємо, що \alpha 1 \not = 0. Аналогiчним чином, розглядаючи друге рiвняння з
(23) i спiввiдношення \Delta e1e2 \not = 0, одержуємо, що \beta 1 \not = 0. Враховуючи додатково нерiвнiсть (4),
приходимо до висновку, що система (23) рiвносильна системi
l
\biggl(
\alpha 2
\alpha 1
\biggr)
= 0, l
\biggl(
\beta 2
\beta 1
\biggr)
= 0, \Delta e1e2 \not = 0. (24)
Розв’язки системи (24) мають вигляд
\alpha 2
\alpha 1
= \widetilde s1, \beta 2
\beta 1
= \widetilde s2 \forall \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, \widetilde s1 \not = \widetilde s2. (25)
Тому всi базиси алгебри \BbbB 0, що задовольняють умову (5), записуються у виглядi (12).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Частинний випадок теореми 1 (коли b1 = b5 = 1, b2 = b4 = 0, b3 > 2)
одержано у [6].
З урахуванням (9), розв’язуючи (12) вiдносно Ik, k = 1, 2, одержуємо
\alpha (\widetilde s2 - \widetilde s1) I1 = \widetilde s2e1 - e2, \beta (\widetilde s2 - \widetilde s1) I2 = - \widetilde s1e1 + e2. (26)
Беручи до уваги (9) i (26), встановлюємо таблицю множення для пар елементiв ek, k = 1, 2,
базисiв \{ e1, e2\} з (12):
e21 =
1\widetilde s2 - \widetilde s1 ((\widetilde s2\alpha - \widetilde s1\beta ) e1 + (\beta - \alpha )e2) , (27)
e22 =
1\widetilde s2 - \widetilde s1 \bigl( \widetilde s1\widetilde s2 (\widetilde s1\alpha - \widetilde s2\beta ) e1 + \bigl(
(\widetilde s2)2\beta - (\widetilde s1)2\alpha \bigr) e2\bigr) , (28)
e1e2 =
1\widetilde s2 - \widetilde s1 (\widetilde s1\widetilde s2(\alpha - \beta )e1 + (\widetilde s2\beta - \widetilde s1\alpha ) e2) . (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 479
3. Моногеннi функцiї, асоцiйованi з рiвнянням (1). З урахуванням (11) та умов \widetilde sk \not = 0,
k = 1, 2, легко переконуємось, що базиси (12) задовольняють, крiм умови (5), умову \scrM \scrB тодi
i тодi тодi, коли пари \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, що визначають вiдповiдний базис, задовольняють,
крiм умов теореми 1, умову
\mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \not = 0, k = 1, 2. (30)
Отже, далi будемо вважати, що множина коренiв рiвняння (2) мiстить хоча б два рiзних
коренi \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такi, що задовольняють умову (30), а у вiдповiдних базисах,
описаних у теоремi 1, пара \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, задовольняє дану умову.
Аналогiчно випадку, коли замiсть оператора L розглядається бiгармонiчний оператор (див.
[8, 18]), встановлюємо таку теорему.
Теорема 2. Функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\zeta тодi i тiльки тодi, коли її
компоненти Uk : D - \rightarrow \BbbR , k = 1, 4, з розкладу (6) диференцiйовнi в областi D i виконується
аналог умов Кошi – Рiмана
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
e1 -
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2 = 0 \forall \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta . (31)
Для кожної четвiрки \alpha , \beta , \widetilde s1, \widetilde s2 з (12) введемо позначення
A1 := \beta - \alpha , A2 :=
\alpha \widetilde s2 - \beta \widetilde s1 , B1 := \widetilde s2\beta - \widetilde s1\alpha , B2 :=
\widetilde s1\widetilde s2 \alpha - \widetilde s2\widetilde s1\beta ,
C1 :=
\alpha \widetilde s1 - \beta \widetilde s2 , C2 :=
\beta - \alpha \widetilde s1\widetilde s2 , D1 := - A1, D2 = D2 := - A2,
F \{ \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} [Un, Um] (x, y) :=
\widetilde s2 - \widetilde s1\widetilde s1\widetilde s2
\biggl(
\partial Un(x, y)
\partial y
e21+
+
\biggl(
\partial Um(x, y)
\partial y
- \partial Un(x, y)
\partial x
\biggr)
e1e2 -
\partial Um(x, y)
\partial x
e22
\biggr)
\forall (x, y) \in D, (32)
де n,m \in \{ 1, 2, 3, 4\} .
Пiдставляючи (27) – (29) у (32), отримуємо
F \{ \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} [Un, Um] (x, y) =
2\sum
k=1
\biggl(
Ak
\partial Un(x, y)
\partial x
+Bk
\partial Um(x, y)
\partial x
+
+ Ck
\partial Un(x, y)
\partial y
+Dk
\partial Um(x, y)
\partial y
\biggr)
ek \forall (x, y) \in D, n,m \in \{ 1, 2, 3, 4\} . (33)
Нехай fk, k = 1, 2, позначає одну з функцiй \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{R}\mathrm{e}, \mathrm{I}\mathrm{m}, - \mathrm{I}\mathrm{m}. Для кожного k \in \{ 1, 2\}
розглянемо дiйснозначнi функцiї, визначенi у кожнiй точцi (x, y) \in D, за допомогою формул
Qk \{ \Phi , f1, f2\} (x, y) :=
4\sum
j=1
\biggl(
ak,j\{ f1, f2\}
\partial Uj(x, y)
\partial x
+ bk,j\{ f1, f2\}
\partial Uj(x, y)
\partial y
\biggr)
,
де Uj := \mathrm{U}j [\Phi ], j = 1, 4, ak,1\{ f1, f2\} := f1(Ak), ak,2\{ f1, f2\} = f2(Ak), ak,3\{ f1, f2\} := f1(Bk),
ak,4\{ f1, f2\} := f2(Bk), bk,1\{ f1, f2\} := f1(Ck), bk,2\{ f1, f2\} := f2(Ck), bk,3\{ f1, f2\} := f1(Dk),
bk,4\{ f1, f2\} := f2(Dk).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
480 С. В. ГРИЩУК
Зауваження 2. Покомпонентно, у розширенiй формi, рiвнiсть (31) є системою чотирьох
рiвнянь вiдносно компонент Uk, k = 1, 4, функцiї (6). Для базисiв \{ e1, e2\} , що визначаються
формулою (12), ця система має вигляд
Qk\{ \Phi ,\mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} (x, y) = 0, Qk\{ \Phi , \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} (x, y) = 0 \forall (x, y) \in D, k = 1, 2. (34)
Справдi, оскiльки для кожного \zeta \in D\zeta має мiсце рiвнiсть
G \{ \Phi , \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} (x, y) := \widetilde s2 - \widetilde s1\widetilde s1\widetilde s2
\biggl(
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
e1 -
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2
\biggr)
=
= F \{ \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} [U1, U3](x, y) + iF \{ \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} [U2, U4](x, y), (35)
то, пiдставляючи (33) при n = 1, m = 3 та n = 2, m = 4 вiдповiдно у (35), одержуємо
G \{ \Phi , \widetilde s1, \widetilde s2, \alpha , \beta \} (x, y) = 2\sum
k=1
(Qk \{ \Phi ,\mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} (x, y) ek +
+ Qk \{ \Phi , \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} (x, y) iek) \forall (x, y) \in D,
що доводить необхiдне твердження.
Зауваження 3. Числовi коефiцiєнти у системi (34), що стоять перед
\partial Uj
\partial x
та
\partial Uj
\partial y
, j = 1, 4,
пов’язанi спiввiдношеннями
a1,1 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b1,3 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = a1,2 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} = - b1,4 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
a1,2 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b1,4 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - a1,1 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} = b1,3 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
a1,3 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = a1,4 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} , a1,4 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - a1,3 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
b1,1 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = b1,2 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} , b1,2 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b1,1 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
a2,1 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b2,3 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = a2,2 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} = - b2,4 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
a2,2 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b2,4 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - a2,1 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} = b2,3 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
a2,3 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = a2,4 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} , a2,4 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - a2,3 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} ,
b2,1 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = b2,2 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} , b2,2 \{ \mathrm{R}\mathrm{e}, - \mathrm{I}\mathrm{m}\} = - b2,1 \{ \mathrm{I}\mathrm{m},\mathrm{R}\mathrm{e}\} .
Позначимо через M4\{ D\zeta \} пiдклас моногенних функцiй \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0, що мають непе-
рервнi в D\zeta похiднi \Phi (k) до порядку k включно, де k \geq 4.
З використанням теореми 2 одержуємо критерiй належностi \Phi до M4\{ D\zeta \} , що є аналогом
вiдповiдного твердження для голоморфних функцiй F (z) комплексної змiнної z через спряжену
гармонiчнiсть компонент \mathrm{R}\mathrm{e}F (z) та \mathrm{I}\mathrm{m}F (z).
Лема 1. \Phi належить M4\{ D\zeta \} тодi i тiльки тодi, коли кожна функцiя Uk = \mathrm{U}k[\Phi ],
k = 1, 4, є розв’язком рiвняння (1) в областi D, а четвiрка функцiй (U1, U2, U3, U4) задовольняє
спiввiдношення (31).
Доведення. Достатнiсть. Оскiльки кожна функцiя Uk = \mathrm{U}k[\Phi ], k = 1, 4, є розв’язком
рiвняння (1), то Uk(x, y), k = 1, 4, має неперервнi похiднi в областi D до четвертого порядку
включно. З теореми 2 випливає, що \Phi є моногенною в D\zeta i має мiсце рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 481
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
= \Phi \prime (\zeta )e1 \forall \zeta \in D\zeta . (36)
де
\mathrm{U}k
\biggl[
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
\biggr]
=
\partial Uk(x, y)
\partial x
, Uk = \mathrm{U}k[\Phi ], k = 1, 4.
Застосовуючи до обох частин рiвностi (31) оператор (e1)
- 1 \partial
\partial x
i враховуючи (36), переко-
нуємося, що функцiя \Phi := \Phi \prime = (e1)
- 1 \partial \Phi
\partial x
задовольняє умову (31) i є моногенною в областi
D\zeta . Застосовуючи цю операцiю послiдовно до \Phi \prime та \Phi \prime \prime , приходимо до висновку, що функцiя
\Phi має похiднi \Phi (k), 1 \leq k \leq 4, до четвертого порядку включно, при цьому справджуються
рiвностi
\Phi (k)(\zeta ) =
\bigl(
(e1)
- 1
\bigr) k \partial k\Phi (\zeta )
\partial xk
\forall \zeta \in D\zeta , (37)
де
\mathrm{U}j
\biggl[
\partial k\Phi (\zeta )
\partial xk
\biggr]
=
\partial kUj(x, y)
\partial xk
, k = 1, 4, j = 1, 4.
Згiдно з (37) одержуємо, що \Phi має неперерiвнi похiднi до четвертого порядку включно в
областi D\zeta .
Необхiднiсть доводиться тривiальним чином з урахуванням теореми 2, а також того факту,
що кожна функцiя Uk, k \in \{ 1, 2, 3, 4\} , задовольняє рiвняння (1) на пiдставi рiвностей
L\Phi (\zeta ) = L(e1, e2)\Phi
(4)(\zeta ) \equiv 0, \mathrm{U}k [L\Phi (\zeta )] = L (\mathrm{U}k(x, y)) \forall \zeta \in D\zeta , k = 1, 4,
якi доводяться аналогiчно до схем доведення рiвностей (37).
Лему 1 доведено.
Введемо у розгляд комплекснi змiннi та областi їх визначення:
zk := x+ \widetilde sky, Dzk := \{ zk \in \BbbC : xe1 + ye2 \in D\zeta \} , k = 1, 2. (38)
Має мiсце зображення моногенної функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 через двi голоморфнi функцiї
комплексної змiнної z1, z2 вiдповiдно.
Теорема 3. Функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\zeta тодi i тiльки тодi, коли
справджується рiвнiсть
\Phi (\zeta ) = F1(z1)I1 + F2(z2)I2 \forall \zeta \in D\zeta , (39)
де Fk — деяка голоморфна функцiя комплексної змiнної zk в областi Dzk при k = 1, 2.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною, тодi потрiбно довести, що
iснують голоморфнi функцiї Fk : Dzk - \rightarrow \BbbC , k = 1, 2, такi, що виконується рiвнiсть (39).
Перетворюючи формулу (6) за допомогою пiдстановки в неї рiвностей (12), одержуємо
\Phi (\zeta ) = \alpha f1(z1)I1 + \beta f2(z2)I2 \forall \zeta \in D\zeta , (40)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
482 С. В. ГРИЩУК
fk(zk) := U1(x, y) + iU2(x, y) + \widetilde sk(U3(x, y) + iU4(x, y))
\forall zk = x+ \widetilde sky \in Dzk , k = 1, 2.
(41)
Доведемо, що функцiї (41) є голоморфними фукцiями своїх комплексних змiнних у областях
Dzk , k = 1, 2. Записуючи аналог умов Кошi – Рiмана (31) для функцiї (40), приходимо до
рiвностi
\alpha 2\mathrm{C}\widetilde s1f1(z1) I1 + \beta 2\mathrm{C}\widetilde s2f2(z2) I2 = 0 \forall (x, y) \in D, (42)
де
\mathrm{C}\widetilde sk :=
\partial
\partial y
- \widetilde sk \partial
\partial x
, k = 1, 2. (43)
Покомпонентно рiвнiсть (42) набирає вигляду
\mathrm{C}\widetilde skfk(zk) = 0 \forall zk \in Dzk , k = 1, 2. (44)
Видiляючи дiйснi та уявнi частини для змiнних zk, k = 1, 2, з (38), отримуємо рiвностi
zk = \xi k + i\eta k, \xi k := x+\mathrm{R}\mathrm{e} \widetilde sk y, \eta k := \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk y, k = 1, 2. (45)
Знаходимо частиннi похiднi функцiй (41) першого порядку в областi D:
\partial fk
\partial y
= \mathrm{R}\mathrm{e} \widetilde sk \partial fk
\partial \xi k
+ \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \partial fk
\partial \eta k
,
\partial fk
\partial x
=
\partial fk
\partial \xi k
, k = 1, 2. (46)
Пiдставляючи рiвностi (46) у (44), одержуємо
0 \equiv \mathrm{C}\widetilde skfk(zk) = \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \biggl( \partial
\partial \eta k
- i
\partial
\partial \xi k
\biggr)
fk(zk) \forall zk \in Dzk , k = 1, 2. (47)
Беручи до уваги, що \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \not = 0, k = 1, 2, приходимо до висновку, що (47) визначає умови
Кошi – Рiмана для комплекснозначних функцiй fk(zk), k = 1, 2:\biggl(
\partial
\partial \eta k
- i
\partial
\partial \xi k
\biggr)
fk(zk) \forall zk \in Dzk , k = 1, 2. (48)
З рiвностей (41) отримуємо
\mathrm{R}\mathrm{e} fk(zk) = U1(x, y) + \mathrm{R}\mathrm{e} \widetilde sk U3(x, y) - \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk U4(x, y), (49)
\mathrm{I}\mathrm{m} fk(zk) = U2(x, y) + \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk U3(x, y) + \mathrm{R}\mathrm{e} \widetilde sk U4(x, y). (50)
За теоремою 2 компоненти Uk, k = 1, 4, диференцiйовнi в областi D. Тому, беручи до уваги
формули (49) i (50), переконуємося, що функцiї \mathrm{R}\mathrm{e} fk(zk) i \mathrm{I}\mathrm{m} fk(zk), k = 1, 2, диференцiйовнi
в областi D\xi k,\eta k := \{ (\xi k, \eta k) : zk = \xi k + i\eta k \in Dzk\} , k = 1, 2.
Перепозначаючи \alpha f1(z1) через F1(z1), а \beta f2(z1) через F2(z2), записуємо формулу (40) у
виглядi (39). Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Потрiбно довести, що функцiя, що задається рiвнiстю (39) (Fk є голоморф-
ною в Dzk , k = 1, 2), є моногенною в D\zeta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 483
Використовуючи позначення (43), рiвностi (9) i (12), голоморфнiсть комплекснозначних
функцiй Fk(zk) : Dzk - \rightarrow \BbbC , k = 1, 2, переконуємося, що має мiсце ланцюжок рiвностей
\partial \Phi (\zeta )
\partial y
e1 -
\partial \Phi (\zeta )
\partial x
e2 = (\alpha I1\mathrm{C}\widetilde s1 - \beta I2\mathrm{C}\widetilde s2) (F1(z1)I1 + F2(z2)I2) =
= \alpha I1\mathrm{C}\widetilde s1 (F1(z1)) I1 - \beta I2\mathrm{C}\widetilde s2 (F2(z2)) I2 \equiv 0 \forall \zeta \in D\zeta .
Отже, функцiя (39) задовольняє аналог умов Кошi – Рiмана (31).
Пiдставляючи (26) у (39), одержуємо рiвнiсть
\Phi (\zeta ) =
1\widetilde s2 - \widetilde s1
\biggl( \biggl( \widetilde s2
\alpha
F1(z1) -
\widetilde s1
\beta
F2(z2)
\biggr)
e1 +
\biggl(
1
\beta
F2(z2) -
1
\alpha
F1(z1)
\biggr)
e2
\biggr)
\forall \zeta \in D\zeta . (51)
Очевидно, що функцiї Fk(zk), k = 1, 2, мають неперервнi частиннi похiднi першого порядку
в областi D за змiнними x та y вiдповiдно, тому ту ж властивiсть мають компоненти Uk =
= \mathrm{U}k[\Phi ] функцiї (51). Достатнiсть доведено.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 4. Випадки теореми 3 для моногенних функцiй \Phi (xe1+ye2), e1 = e, виплива-
ють також iз робiт [23, 24] (обґрунтування даного факту проводится аналогiчно до вiдповiдного
частинного випадку оператора L у [6], п. 3).
Зауваження 5. Випадки теореми 3 для моногенних функцiй, асоцiйованих з вiдповiдними
рiвняннями вигляду (1), одержано у [6, 19, 20].
Будемо казати, що D\zeta є обмеженою та має жорданову спрямлювану межу \partial D\zeta , якщо
область комплексної площини Dz = \{ x + iy : (x, y) \in D\} є обмеженою, а її межа \partial Dz є
об’єднанням скiнченного числа замкнених жорданових спрямлюваних кривих, обхiд уздовж
яких вибираємо таким чином, щоб область Dz залишалась злiва.
Наслiдок 1. Нехай обмежена область D\zeta має жорданову спрямлювану межу \partial D\zeta , функ-
цiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 є моногенною в областi D\zeta i неперервною у її замиканнi D\zeta \cup \partial D\zeta та
зображується при цьому формулою (39). Тодi мають мiсце рiвностi
\Phi (\zeta ) =
2\sum
k=1
Ik
1
2\pi i
\int
\partial Dzk
Fk(tk)
tk - zk
d tk \forall \zeta \in D\zeta ,
\int
\partial D\zeta
\Phi (\zeta ) d \zeta = 0, \Phi (\zeta ) =
1
2\pi i
\int
\partial D\zeta
\Phi (\vargamma ) (\vargamma - \zeta ) - 1 d \vargamma \forall \zeta \in D\zeta ,
де \zeta = xe1 + ye2 \in D\zeta , zk \in Dzk , k = 1, 2.
Наслiдок 2. Кожна моногенна функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 має неперервнi похiднi \Phi (n) довiль-
ного порядку n, n = 1, 2, . . . , в областi D\zeta . Компоненти Uk = \mathrm{U}k[\Phi ], k = 1, 4, є нескiнченно
неперервно диференцiйовними функцiями в областi D.
З наслiдку 2 та леми 1 випливає, що \Phi належить M4\{ D\zeta \} i кожна компонента Uk = \mathrm{U}k[\Phi ],
k = 1, 4, є частинним розв’язкoм рiвняння (1).
При доведеннi теореми 3 встановлено, що моногенна функцiя записується у виглядi
формули (51). Замiнюючи у нiй, без втрати загальностi,
\widetilde s2
(\widetilde s2 - \widetilde s1)\alpha F1(z1) на F1(z1), а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
484 С. В. ГРИЩУК
- \widetilde s1
(\widetilde s2 - \widetilde s1)\beta F2(z2) на F2(z2), одержуємо зображення моногенної функцiї \Phi у базисi \{ e1, e2\}
з (12):
\Phi (\zeta ) = (F1(z1) + F2(z2)) e1 -
\biggl(
F1(z1)\widetilde s2 +
F2(z2)\widetilde s1
\biggr)
e2 \forall \zeta \in D\zeta . (52)
Наслiдок 3. Нехай \Phi — довiльна моногенна функцiя \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0. Частинними розв’язками
рiвняння (1) є функцiї вигляду
u(x, y) =
4\sum
k=1
ak\mathrm{U}k[\Phi (\zeta )] \forall (x, y) \in D,
де ak — довiльнi дiйснi сталi, а \mathrm{U}k[\Phi (\zeta )] визначається з (52), k = 1, 4.
4. Випадок не менш нiж двох несамоспряжених комплексних характеристик. Нехай
множина коренiв рiвняння (2) мiстить хоча б два рiзних коренi \widetilde sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такi, що
задовольняють частинний випадок (30), а саме
\widetilde s2 \not = \widetilde s1, \mathrm{I}\mathrm{m} \widetilde sk \not = 0, k = 1, 2, (53)
де x+ iy := x - iy, x, y \in \BbbR .
Очевидно, що виконання умов (53) при bk \in \BbbR , k = 1, 5, у (1) еквiвалентне тому, що
множина \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l складається з чотирьох попарно рiзних комплексних чисел
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l \equiv \{ s1, s2, s1, s2\} , (54)
де sk, k = 1, 2, задовольняють умови (53) з \widetilde sk := sk, k = 1, 2.
У даному пунктi пiд \widetilde sk, k = 1, 2, будемо розумiти довiльну пару рiзних елементiв з \widetilde sk \in
\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, що задовольняють умови теореми 1 i спiввiдношення (53).
Якщо bk \in \BbbR , k = 1, 5, то з рiвностi (54) випливає, що iснують чотири пари даних елементiв\widetilde s1, \widetilde s2 : (s1, s2), (s1, s2) та тi, що одержуються переставленнями.
Нехай bk \in \BbbR , k = 1, 5, у (1), тодi формула загального розв’язку рiвняння (1) для випадку
(53) в обмеженiй однозв’язнiй областi D встановлюється так само (мiркування аналогiчнi [2,
с. 109, 110]), як i вiдповiдна формула (див., наприклад, [2, с. 136]) для випадку рiвняння (1), коли
останнє визначає рiвняння для знаходження функцiї напруження для плоского анiзотропного
плоского середовища:
u(x, y) = \mathrm{R}\mathrm{e} (F1(z1) + F2(z2)) \forall (x, y) \in D. (55)
Тут Fk : Dzk - \rightarrow \BbbC , — k = 1, 2, — довiльнi голоморфнi функцiї вiдповiдних комплексних
змiнних. Тодi рiвнiсть (55) можна записати у виглядi
u(x, y) = U1[\Phi u(\zeta )] \forall \zeta \in D\zeta ,
де \Phi u := \Phi визначається формулою (52) з тими ж Fk(zk), k = 1, 2, що й у (55).
Моногенна функцiя (52) задовольняє умови леми 1.
Позначимо через \Phi 0 моногенну функцiю \Phi 0 := \Phi з (6), де U1 \equiv 0. Отже, четвiрка її
компонент (U1, U2, U3, U4), Uk = \mathrm{U}k[\Phi 0], k = 1, 4, задовольняє систему (34), в якiй U1 \equiv 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 485
Теорема 4. Нехай u — деякий розв’язок рiвняння (1), де bk \in \BbbR , k = 1, 5, у обмеженiй
однозв’язнiй областi D, а базис \{ e1, e2\} алгебри \BbbB 0 визначається формулою (12). Усi моногеннi
функцiї \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB 0 такi, що \mathrm{U}1[\Phi ] \equiv u, мають вигляд
\Phi (\zeta ) = \Phi u(\zeta ) + \Phi 0(\zeta ) \forall \zeta \in D\zeta .
Розглянемо випадок, коли рiвняння (1) є рiвнянням для знаходження функцiї напружень
(див., наприклад, [2, c. 140], де a26 = a16 = 0, U \equiv 0, F := u для ортотропного середови-
ща та у випадку вiдсутностi об’ємних сил) для частинного випадку плоского анiзотропного
середовища — плоского ортотропного середовища (див., наприклад, [2, c. 33, 34]), а саме
L(x, y) \equiv a11
\partial 4u(x, y)
\partial y4
+ (2a12 + a66)
\partial 4u(x, y)
\partial x2\partial y2
+ a22
\partial 4u(x, y)
\partial x4
= 0. (56)
Тут коефiцiєнти задовольняють спiввiдношення (див., наприклад, [3, c. 56])
a11 > 0, a22 > 0, a66 > 0, -
\surd
a11a22 < a12 <
\surd
a11a22. (57)
Крiм того, числа, що утворюють коефiцiєнти рiвняння (56), є коефiцiєнтами рiвнянь узагаль-
неного закону Гука для ортотропного середовища (див., наприклад, [2, c. 34]) вигляду
\varepsilon x = a11\sigma x + a12\sigma y, \varepsilon y = a12\sigma x + a22\sigma y,
\gamma xy
2
= a66\tau xy,
де \varepsilon x,
\gamma xy
2
, \varepsilon y i \sigma x, \tau xy, \sigma y — компоненти тензора деформацiй [2, c. 16] i напружень [2, c. 15]
вiдповiдно.
Як вiдомо (див., наприклад, [2, c. 113], де a16 = a26 = 0), характеристичне рiвняння (2) для
рiвняння (56) не може мати дiйсних коренiв. Беручи до уваги, що коефiцiєнти рiвняння (56) є
дiйсними, приходимо до висновку, що умова простоти коренiв характеристичного рiвняння (2)
(для рiвняння (56)) рiвносильна iснуванню хоча б однiєї пари рiзних sk \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} l, k = 1, 2, такої,
що s2 \not = s1. Тому має мiсце (54).
З’ясуємо якому класу ортотропiй вiдповiдає випадок, коли рiвняння для функцiї напружень
(яке, у свою чергу, вiдповiдає умовi (54)) має вигляд (56). Як випливає з [22, c. 50] (або [3,
c. 53]), даний клас ортотропних плоских середовищ збiгається з класом загальних ортотропних
плоских середовищ, для яких рiвняння (56) не можна звести до бiгармонiчного рiвняння за
допомогою невиродженої замiни змiнних (перетворення вигляду X = X(x, y), Y = Y (x, y),
(x, y) \in D \times D, що має обернене).
Виконаємо замiну змiнних 4
\surd
a22x на X =: x та 4
\surd
a11y на Y =: y. Тодi рiвняння (56) набере
вигляду
Lp(x, y) := L(x, y) \equiv \partial 4u(x, y)
\partial y4
+ 2p
\partial 4u(x, y)
\partial x2\partial y2
+
\partial 4u(x, y)
\partial x4
= 0, (58)
де
p :=
2a12 + a66
2
\surd
a11a22
. (59)
З’ясуємо яких значень може набувати права частина (59). Беручи до уваги (57), одержуємо
спiввiдношення - 1 + \varepsilon < p < 1 + \varepsilon , \varepsilon :=
a66
2
\surd
a11a22
> 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
486 С. В. ГРИЩУК
Очевидно, що замiна змiнних, яку ми застосували для зведення рiвняння (56) до рiвняння
(58), є невиродженою. Якщо у рiвняннi (58) число p = 1, то воно перетворюється на бiгар-
монiчне рiвняння. Як вiдомо (див., наприклад, [22, c. 50]), необхiдною i достатньою умовою
iснування невиродженої замiни незалежних змiнних, що зводить рiвняння вигляду (56) (бiльше
того, рiвняння вигляду (2)) до бiгармонiчного рiвняння, є те, що характеристичне рiвняння
(для вiдповiдного рiвняння з (56)) має два попарно рiвних комплексних коренi, тобто коренi
вигляду Sk, \mathrm{I}\mathrm{m}Sk \not = 0, k = 1, 2, кратностi два. Але останнє неможливо за умовою внаслiдок
простоти коренiв характеристичного рiвняння. Тому p \not = 1 i можливi два випадки щодо p:
1) p \in ( - 1 + \varepsilon ; 1) \subset ( - 1; 1), 2) p \in (1; 1 + \varepsilon ) \subset (1;\infty ).
Випадок 1 розглянуто у роботах [19, 20], а випадок 2 — у [6, 21]. Зокрема, для оператора
L := Lp теорема 4 набирає замкненої форми у тому розумiннi, що функцiї \Phi 0 знайдено в
явному виглядi.
У випадку, коли рiвняння (1) є рiвнянням для знаходження функцiї напружень для плоского
анiзотропного середовища (випадок вiдсутностi об’ємних сил), воно є елiптичним та має вигляд
(див., наприклад, [2, c. 140])
L(x, y) \equiv a11
\partial 4u(x, y)
\partial y4
- 2a16
\partial 4u(x, y)
\partial x\partial y3
+
+(2a12 + a66)
\partial 4u(x, y)
\partial x2\partial y2
- 2a26
\partial 4u(x, y)
\partial x3\partial y
+ a22
\partial 4u(x, y)
\partial x4
= 0, (60)
де дiйснi коефiцiєнти задовольняють умови, аналогiчнi (57) (див., наприклад, [3, 4]).
З результатiв [22, c. 50] та умови простоти коренiв характеристичного рiвняння (для рiвнян-
ня (60)) випливає, що не iснує невиродженої замiни незалежних змiнних, що зводить рiвняння
(60) до бiгармонiчного рiвняння
(\Delta 2)
2 u(x, y) = 0, \Delta 2 :=
\partial 2
\partial x2
+
\partial 2
\partial y2
.
Разом з тим С. Г. Мiхлiн (див., наприклад, [25] або [26], гл. 5, § 7) навiв приклад такої невиродже-
ної замiни незалежних змiнних (композицiя лiнiйних замiн змiнних та поворотiв координатних
осей), що зводить рiвняння (60) до вигляду\biggl(
\partial 2
\partial x2
+ k2
\partial 2
\partial y2
\biggr)
\Delta 2u(x, y) = 0, (61)
де k > 0, k \not = 1.
Зауважимо, що рiвняння (61) є рiвнянням вигляду (56). Останнє рiвняння зводиться до
рiвняння (58).
Лiтература
1. Механика в СССР за пятьдесят лет. Т.3. Механика деформируемого твердого тела, под ред. Л. И. Седова и др.,
Наука, Москва (1972).
2. С. Г. Лехницкий, Теория упругости анизотропного тела, Наука, Москва (1977).
3. Д. И. Шерман, Плоская задача теории упругости для анизотропной среды, Труды Сейсм. ин-та АН СССР,
№ 86, 51 – 78 (1938).
4. Ю. А. Боган, Регулярные интегральные уравнения для второй краевой задачи в анизотропной двумерной
теории упругости, Изв. РАН. Механика твердого тела, № 4, 17 – 26 (2005).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
МОНОГЕННI ФУНКЦIЇ ЗI ЗНАЧЕННЯМИ У КОМУТАТИВНИХ КОМПЛЕКСНИХ АЛГЕБРАХ . . . 487
5. И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252 – 254
(1986).
6. С. В. Грищук, Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки плоскої ортотропiї,
I, Укр. мат. журн., 70, № 8, 1058 – 1071 (2018).
7. P. W. Ketchum, Solution of partial differential equations by means of hypervariables, Amer. J. Math., 54, № 2,
253 – 264 (1932).
8. В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Докл. АН УССР.
Сер. А, № 8, 25 – 27 (1981).
9. H. H. Snyder, Elliptic systems in the plane associated with certain partial differential equations of deformable media,
Contemp. Math., 11, 199 – 211 (1982).
10. R. Z. Yeh, Hyperholomorphic functions and higher order partial differential equations in the plane, Pacif. J. Math.,
142, № 2, 379 – 399 (1990).
11. А. П. Солдатов, Эллиптические системы высокого порядка, Дифференц. уравнения, 25, 136 – 144 (1989).
12. A. P. Soldatov, To elliptic theory for domains with piecewise smooth boundary in the plane, Partial Different. and
Integral Equat., Kluwer Acad. Publ. (1999), p. 177 – 186.
13. V. S. Shpakivskyi, Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative algebras, Зб. праць Iн-ту
математики НАН України, 12, № 3, 251 – 268 (2015).
14. В. С. Шпакiвський, Гiперкомплексний метод розв’язування лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними
похiдними, Працi Iн-ту прикл. математики i механiки НАН України, 32, 147 – 168 (2018).
15. E. Study, Über Systeme komplexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen,
Monatsh. Math., 1, № 1, 283 – 354 (1890).
16. Н. Г. Чеботарев, Введение в теорию алгебр. 3-е изд., Физико-математическое наследие: математика (алгебра),
Изд-во ЛКИ, Москва (2008).
17. W. E. Baylis, Clifford (geometric) algebras with applications to physics, mathematics, and engineering, Birkhäuser,
Boston etc. (1996).
18. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12,
1587 – 1596 (2009).
19. С. В. Грищук, Моногеннi функцiї у двовимiрних комутативних алгебрах для рiвнянь плоскої ортотропiї, Працi
Iн-ту прикл. математики i механiки НАН України, 32, 18 – 29 (2018).
20. С. В. Грищук, Моногенные функции в комплексных коммутативных алгебрах второго ранга и система
равновесия Ляме для одного класса плоской ортотропии, Укр. мат. вiсн., 16, № 3, 345 – 356 (2019).
21. С. В. Грищук, Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки плоскої ортотро-
пiї. II, Укр. мат. журн., 70, № 10, 1382 – 1389 (2018).
22. С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934), 83 c.
23. С. А. Плакса, Р. П. Пухтаєвич, Конструктивний опис моногенних функцiй в скiнченновимiрнiй напiвпростiй
комутативнiй алгебрi, Доп. НАН України, № 1, 14 – 21 (2014).
24. S. A. Plaksa, R. P. Pukhtaievych, Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra, An.
Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa Ser. Mat., 22, № 1, 221 – 235 (2014).
25. С. Г. Михлин, Плоская деформация в анизотропной среде, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 76, 1 – 19 (1936).
26. S. G. Mikhlin, N. F. Morozov, M. V. Paukshto, The integral equations of the theory of elasticity (Teubner-Texte zur
Mathematik, 135), Springer, Stuttgart etc. (1995).
Одержано 01.07.20,
пiсля доопрацювання — 02.03.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6199 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:27Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3a/14d8b870c0b2619b53862e62416c4a3a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61992025-03-31T08:48:15Z Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple non-zero simple characteristics Моногенні функції зі значеннями у комутативних комплексних алгебрах другого рангу з одиницею та узагальнене бігармонічне рівняння з ненульовими простими характеристиками Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. . УДК 517.5, 539.3 Among all two-dimensional algebras of the second rank with a unit $e$ over the field of complex numbers $\mathbb{C},$ we found a semisimple algebra $\mathbb{B}_{0}:=\{c_1 e+c_2\omega\colon c_k\in\mathbb{C},k=1,2\},$ $\omega^2=e,$ containing bases $\{e_1,e_2\}$ such that $\mathbb{B}_{0}$-valued ``analytic'' functions $\Phi(xe_1+ye_2),$ where $x, y$ are real variables, satisfy a homogeneous partial differential equation of the fourth order that has only simple nonzero characteristics.The set of pairs $(\{e_1,e_2\},\Phi)$ is described in an explicit form. УДК 517.5, 539.3 Серед двовимірних алгебр другого рангу з одиницею $e$ над полем комплексних чисел $\mathbb{C}$ знайдено напівпросту алгебру $\mathbb{B}_{0}=\{c_1 e+c_2\omega\colon c_k\in \mathbb{C},k=1,2\},$ $\omega^2=e,$ що містить базиси $\{e_1,e_2\}$ такі, що $\mathbb{B}_{0}$-значні ,,аналітичні'' функції $\Phi(xe_1+ye_2)$ ($x,$ $y$- дійсні змінні) задовольняють однорідне рівняння з частинними похідними четвертого порядку, яке має лише прості ненульові характеристики.Наведено повний опис множини пар $(\{e_1,e_2\},\Phi).$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-04-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6199 10.37863/umzh.v73i4.6199 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 4 (2021); 474 -487 Український математичний журнал; Том 73 № 4 (2021); 474 -487 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6199/9001 Copyright (c) 2021 Сергій Вікторович Грищук |
| spellingShingle | Gryshchuk , S. V. Грищук, С. В. Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title_alt | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple non-zero simple characteristics Моногенні функції зі значеннями у комутативних комплексних алгебрах другого рангу з одиницею та узагальнене бігармонічне рівняння з ненульовими простими характеристиками |
| title_full | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title_fullStr | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title_full_unstemmed | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title_short | Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| title_sort | monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6199 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv monogenicfunctionswithvaluesinsommutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunitandgeneralizedbiharmonicequationwithsimplenonzerosimplecharacteristics AT griŝuksv monogenicfunctionswithvaluesinsommutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunitandgeneralizedbiharmonicequationwithsimplenonzerosimplecharacteristics AT gryshchuksv monogennífunkcíízíznačennâmiukomutativnihkompleksnihalgebrahdrugogoranguzodiniceûtauzagalʹnenebígarmoníčnerívnânnâznenulʹovimiprostimiharakteristikami AT griŝuksv monogennífunkcíízíznačennâmiukomutativnihkompleksnihalgebrahdrugogoranguzodiniceûtauzagalʹnenebígarmoníčnerívnânnâznenulʹovimiprostimiharakteristikami |