Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains
УДК 517.54 We consider the known problem of geometric function theory on extremal partition of the complex plane. For this problem, we obtain estimates for the maximum value of the product of inner radii of $n$ disjoint domains with respect to $n$ arbitrary points in the complex plane. The exact sol...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6200 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512292589797376 |
|---|---|
| author | Bakhtin , A. K. Zabolotnii, Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. |
| author_facet | Bakhtin , A. K. Zabolotnii, Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. |
| author_sort | Bakhtin , A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | УДК 517.54
We consider the known problem of geometric function theory on extremal partition of the complex plane. For this problem, we obtain estimates for the maximum value of the product of inner radii of $n$ disjoint domains with respect to $n$ arbitrary points in the complex plane. The exact solutions to this problem are currently known only for $n = 2,3,4.$ In this paper, we found estimates that can be applied to various extremal geometric problems of the theory of functions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.6200 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.6200
УДК 517.54
О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ
We consider the known problem of geometric function theory on extremal partition of the complex plane. For this problem,
we obtain estimates for the maximum value of the product of inner radii of n disjoint domains with respect to n arbitrary
points in the complex plane. The exact solutions to this problem are currently known only for n = 2, 3, 4. In this paper,
we found estimates that can be applied to various extremal geometric problems of the theory of functions.
Розглядається вiдома проблема геометричної теорiї функцiй про екстремальне розбиття комплексної площини, i
в данiй проблемi отримано оцiнки максимуму добутку внутрiшнiх радiусiв n довiльних взаємно неперетинних
областей вiдносно n довiльних точок комплексної площини, одна з яких може бути нескiнченно вiддаленою. Точнi
розв’язки цiєї проблеми на даний момент вiдомi тiльки для випадкiв n = 2, 3, 4. В данiй роботi знайдено оцiнки,
якi можуть бути застосованi в рiзних екстремальних задачах геометричної теорiї функцiй.
1. Вступ. Нехай \BbbN i \BbbR — множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно, \BbbC — комплексна
площина i \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — розширена комплексна площина, \BbbR + = (0,\infty ).
Функцiєю Грiна gB(z, a) областi B з полюсом у скiнченнiй точцi a \in B називається дiйсна
функцiя, гармонiчна по z в B\setminus a, яка прямує до нуля, коли z прямує до межi B, i для якої в
деякому околi точки a правильним є асимптотичний розклад
gB(z, a) = - \mathrm{l}\mathrm{n} | z - a| + \gamma + o(1), z \rightarrow a;
якщо ж a = \infty , то
gB(z, a) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \gamma + o(1), z \rightarrow a.
Внутрiшнiм радiусом r(B, a) областi B вiдносно точки a називається величина e\gamma (див., на-
приклад, [1, с. 13, 14]).
У данiй роботi вивчається така проблема.
Проблема 1.1. Знайти максимум виразу
\prod n
k=1
r(Bk, ak), де n \in \BbbN , n \geq 2, ak, k = 1, n, —
деякi фiксованi точки розширеної комплексної площини, областi Bk, k = 1, n, такi, що ak \in
\in Bk \subset \BbbC , причому Bi
\bigcap
Bj = \varnothing для 1 \leq i, j \leq n та i \not = j.
Iншими словами, потрiбно знайти максимум добутку внутрiшнiх радiусiв для довiльної
конфiгурацiї n неперетинних областей, якi мiстять вiдповiдно n заданих фiксованих точок
комплексної площини.
Поява в теорiї однолистих функцiй екстремальних задач про неперетиннi областi пов’язана з
роботою М. О. Лаврентьєва [2]. В цiй роботi вперше поставлено i розв’язано задачу про добуток
конформних радiусiв двох взаємно неперетинних однозв’язних областей. Згiдно з результатом
М. О. Лаврентьєва, якщо a1 i a2 — скiнченнi точки, то для будь-якої пари неперетинних
однозв’язних областей D1 i D2 такої, що ak \in Dk, k = 1, 2, виконується нерiвнiсть
r(D1, a1)r(D2, a2) \leq | a1 - a2| 2,
c\bigcirc О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1 9
10 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
в якiй знак рiвностi має мiсце для пiвплощин Dk i точок ak, симетричних вiдносно їхньої
спiльної межi.
Цей результат викликав значний iнтерес у спецiалiстiв iз геометричної теорiї функцiй i
узагальнювався в багатьох напрямках (див., наприклад, [1 – 34]).
В 1947 р. Г. М. Голузiн узагальнив задачу М. О. Лаврентьєва на випадок скiнченного числа
n (n \geq 3) взаємно неперетинних однозв’язних областей Bk i точок ak \in Bk \subset \BbbC
\bigl(
\{ ak\} nk=1 —
довiльнi фiксованi скiнченнi та рiзнi точки комплексної площини
\bigr)
, а при n = 3 отримав точну
оцiнку для добутку конформних радiусiв трьох неперетинних областей [3, с. 165]
3\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
64
81
\surd
3
| a2 - a1| | a3 - a1| | a3 - a2| ,
в якiй знак рiвностi має мiсце, з точнiстю до конформних автоморфiзмiв розширеної комплекс-
ної площини, лише для областей, якi є рiвними кутами, i точок, якi лежать на бiсектрисах цих
кутiв на однакових вiдстанях вiд їхньої спiльної вершини.
Зазначимо, що бiльшiсть задач, якi розглядалися до початку 70-х рокiв 20-го столiття, на-
лежать до класу задач iз фiксованими полюсами вiдповiдних квадратичних диференцiалiв.
Фундаментальну роль квадратичних диференцiалiв як зручного засобу дослiдження екстре-
мальних задач геометричної теорiї функцiй уперше зазначив Тейхмюллер (див., наприклад,
[5]), який сформулював принцип, згiдно з яким розв’язок кожної такої задачi пов’язаний iз
деяким квадратичним диференцiалом.
Випадок n > 3 виявився значно складнiшим i iстотно вiдрiзняється вiд випадку n \leq 3,
оскiльки дробово-лiнiйним вiдображенням будь-якi три наперед заданi точки можна перевести
в довiльнi три точки комплексної площини, наприклад у вершини правильного трикутника, що
значно спрощує дослiдження. Для випадку n = 4 Г. В. Кузьмiна в 1980 р. в роботi [4] отримала
точну нерiвнiсть
4\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
9
48/3
\left( \prod
1\leq k<l\leq 4
| al - ak|
\right) 2
3
.
Знак рiвностi в нiй має мiсце лише у випадку, коли з точнiстю до конформного автоморфiзму
a1 = - a2 = 1, a3 = - a4 = i
\bigl(
2 -
\surd
3
\bigr)
, а межа множини
4\bigcup
k=1
Dk складається iз вiдрiзкiв\bigl[ \surd
3 - 2, 2 -
\surd
3
\bigr]
, променiв \{ z | z = it, t \in [1,+\infty )\} i \{ z | z = it, t \in [ - \infty , - 1)\} , частини
кругової дуги \rho , яка проходить через точки - 1, i, 2 -
\surd
3 i знаходиться в першому квадрантi,
а також кругових дуг, якi ми отримуємо з \rho перетвореннями w \rightarrow - w, w \rightarrow w, w \rightarrow - w.
Для n \geq 5 повного розв’язку даної проблеми на даний час не отримано.
Сформульованi вище задачi зводяться до оцiнки виразу
Tn :=
\prod n
k=1
r(Dk, ak)\Bigl\{ \prod \prime
1\leq k<l\leq n
| ak - al|
\Bigr\} 2
n - 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 11
(штрих у добутку означає, що для нескiнченно вiддаленої точки пiд вiдповiдним множником
розумiємо одиницю), який є iнварiантним вiдносно дробово-лiнiйних вiдображень площини.
Таким чином, виходячи з результатiв робiт [2 – 4], отримуємо оцiнки
T2 \leq 1, T3 \leq
64
81
\surd
3
\approx 0,45618, T4 \leq
9
48/3
\approx 0,22323.
Для зручностi величину
dn
\bigl(
\{ ap\} np=1
\bigr)
:=
\left( \prod
1\leq k<l\leq n
| ak - al|
\right) 2
n - 1
будемо називати n-м дiаметром системи точок \{ ap\} np=1, ap \in \BbbC .
В 1968 р. П. М. Тамразов у роботi [12] зауважив, що значний iнтерес викликають задачi,
де точки ak не є фiксованими, а мають певну „свободу”. Такi задачi отримали назву задач iз
вiльними полюсами. Вiдповiдно до цiєї iдеї, Г. П. Бахтiна (див., наприклад, [13 – 16]) сформулю-
вала ряд нових екстремальних задач i отримала їхнi розв’язки для деяких часткових випадкiв.
Внаслiдок цього тематика отримала новий поштовх для свого розвитку.
Зауважимо, що в той же час В. М. Дубiнiн розробив метод вiдокремлюючого перетворення
(див. [1, 20 – 23]), за допомогою якого було отримано значний прогрес у розв’язаннi екстре-
мальних задач геометричної теорiї функцiй. На основi цього методу було розроблено метод
керуючих функцiоналiв, за допомогою якого вдалося суттєво послабити вимоги щодо систем
точок, що розглядаються (див., наприклад, [32]).
В подальшому екстремальнi задачi з вiльними полюсами дуже активно вивчалися багатьма
спецiалiстами i були узагальненi для випадку багатозв’язних областей i внутрiшнiх радiусiв.
Однак, не зважаючи на значну кiлькiсть робiт з даної тематики, багато екстремальних
задач на даний момент не розв’язано. Тому актуальною є задача отримання якщо не точних
розв’язкiв, то достатньо ефективних оцiнок вiдповiдних функцiоналiв. Саме цьому i присвячено
дану роботу.
Зазначимо, що оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв, отриманi в задачах, де полюси вiдпо-
вiдних квадратичних диференцiалiв зафiксовано, можуть бути застосованi i до задач з вiльними
полюсами. Щоб проiлюструвати їхнє використання, розглянемо екстремальну задачу, яку було
сформульовано в роботi [1].
Проблема 1.2. Знайти максимум функцiонала
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak), (1.1)
де n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0;n], a0 = 0, | a1| = . . . = | an| = 1, ak \in Bk \in \BbbC , Bi
\bigcap
Bj = \varnothing для
0 \leq i, j \leq n та i \not = j.
Дана проблема належить до так званих задач iз вiльними полюсами, оскiльки точки ak для
k = 1, n не є фiксованими, а лежать на одиничному колi. На даний час цю проблему розв’язано
лише для деяких окремих випадкiв, зокрема, в роботах [32 – 37].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
12 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Для кожної конфiгурацiї областей Bk, k = 1, n, i точок ak таких, що ak \in Bk \subset \BbbC , а також
для довiльного набору iндексiв k1, k2, . . . , kp, ki \leq n, i = 1, p, введемо вектор iз дiйсними
координатами
\vec{}rk1,k2,...,kp :=
\bigl(
r(Bk1 , ak1), r(Bk2 , ak2), . . . , r(Bkp , akp)
\bigr)
.
Далi пiд вектором \vec{}rk1,k2,...,kp будемо розумiти саме вектор з координатами r(Bki , aki), якщо не
зазначено iнше.
Для довiльного вектора \vec{}r = (r1, r2, . . . , rn) норма цього вектора визначається за формулою
\| \vec{}r\| =
\sqrt{} \sum n
k=1
r2k.
2. Основнi результати. Справджуються такi теореми.
Теорема 2.1. Нехай n \in \BbbN — деяке натуральне число, n \geq 2, ak \in \BbbC , Bk \subset \BbbC , k = 1, n, —
деякий набiр вiдповiдно фiксованих точок i областей комплексної площини таких, що ak \in Bk,
k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j. Тодi виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4
\left( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\right) 2
n - 1
. (2.1)
У випадку, коли одна з точок ak є нескiнченно вiддаленою, в нерiвностi (2.1) всi множники,
якi мiстять дану точку, перетворяться на одиницю. Зокрема, правильною є така теорема.
Теорема 2.2. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 2, Bk, ak, k = 1, n, — деякий набiр
вiдповiдно областей i фiксованих точок розширеної комплексної площини таких, що ak \in Bk,
k = 1, n, Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, i an = \infty . Тодi виконується нерiвнiсть
r(Bn,\infty )
n - 1\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4
\left( \prod
1\leq p<k\leq n - 1
| ap - ak|
\right) 2
n - 1
. (2.2)
Нерiвнiсть (2.1) можна застосувати i для оцiнки функцiонала (1.1). Зауважимо також, що в
роботi [37] повнiстю розв’язано проблему 1.2 для випадку n = 2, тому достатньо розглядати
випадок n \geq 3. Правильною є така теорема.
Теорема 2.3. Нехай n \in \BbbN , n \geq 3 i 0 < \gamma \leq n. Тодi для довiльного набору точок ak таких,
що a0 = 0, | ak| = 1, k = 1, n, i довiльного набору взаємно неперетинних областей Bk таких,
що ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n - \gamma n - \gamma
2 (n - 1) -
n - \gamma
4
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
(2.3)
у випадку n = 2m, m \in \BbbN , або нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n - \gamma n - \gamma
2 (n - 1) -
n - \gamma
4
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2(n - \gamma )
n - 1
, (2.4)
якщо n = 2m+ 1, m \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 13
Зауважимо, що проблема 1.2 має розв’язок лише для випадку 0 < \gamma \leq n, оскiльки для \gamma > n
функцiонал (1.1) необмежений, однак для деяких пiдкласiв множини допустимих конфiгурацiй
областей функцiонал (1.1) обмежений для довiльного \gamma \in \BbbR +. Правильною є така теорема.
Теорема 2.4. Нехай n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma > 0 i \varepsilon > 0. Тодi для довiльного набору точок
ak таких, що a0 = 0, a1 = 1, | ak| = 1, k = 1, n, i довiльного набору взаємно неперетинних
областей Bk таких, що ak \in Bk \subset \BbbC , k = 0, n, причому \| \vec{}r1,2,...,n\| \geq \varepsilon , виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
2\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 4
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
у випадку n = 2, нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
у випадку n = 2m, m \in \BbbN , m \geq 2, або нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
,
якщо n = 2m+ 1, m \in \BbbN .
Доведення теореми 2.1. Скористаємось iдеєю, запропонованою в роботi [30], а також при
доведеннi теореми 1 iз роботи [37]. Нехай d(E) — трансфiнiтний дiаметр компактної множини
E \subset \BbbC (див., наприклад, [3, с. 286]). Зафiксуємо деяке натуральне 1 \leq k \leq n, i нехай B(k) —
образ множини B при вiдображеннi w =
1
z - ak
. З конформної iнварiантностi функцiї Грiна
випливає спiввiдношення
r(Bk, ak) = r
\bigl(
B
(k)
k ,\infty
\bigr)
. (2.5)
Згiдно з теоремою 3 [3, с. 304] (див. також [1, с. 15]), внутрiшнiй радiус областi, яка
мiстить нескiнченно вiддалену точку, дорiвнює величинi, оберненiй до трансфiнiтного дiаметра
доповнення до даної областi, тобто справджується рiвнiсть
r(B
(k)
k ,\infty ) =
1
d
\Bigl(
\BbbC \setminus B(k)
k
\Bigr) . (2.6)
Далi, згiдно з вiдомою теоремою Пойа [38, с. 28], виконується нерiвнiсть
d(E) \geq
\sqrt{}
\mu E
\pi
,
де \mu E позначає мiру Лебега компактної множини E. Звiдси отримуємо
1
d
\Bigl(
\BbbC \setminus B(k)
k
\Bigr) \leq 1\sqrt{}
1
\pi
\mu
\Bigl(
\BbbC \setminus B(k)
k
\Bigr) . (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
14 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Враховуючи монотоннiсть та адитивнiсть мiри Лебега, маємо
1\sqrt{}
1
\pi \mu
\Bigl(
\BbbC \setminus B(k)
k
\Bigr) \leq
\left( 1
\pi
\mu
\left( n\bigcup
p=1
p \not =k
B
(k)
p
\right)
\right)
- 1
2
=
\left( 1
\pi
n\sum
p=1
p\not =k
\mu B
(k)
p
\right)
- 1
2
. (2.8)
Враховуючи спiввiдношення (2.5) – (2.8), одержуємо
r(Bk, ak) \leq
\left( 1
\pi
n\sum
p=1
p \not =k
\mu B
(k)
p
\right)
- 1
2
.
Далi, за теоремою про мiнiмiзацiю площi [3, с. 34] отримуємо нерiвнiсть \mu B \geq \pi r2 (B, a) , а
тому
r(Bk, ak) \leq
\left( 1
\pi
n\sum
p=1
p \not =k
\mu B
(k)
p
\right)
- 1
2
\leq
\left( n\sum
p=1
p\not =k
r2
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
- 1
2
. (2.9)
Зауваження . Нерiвнiсть (2.9) можна записати у виглядi
r(Bk, ak) \leq \| \vec{}r1,2,...,k - 1,k+1,...,n\| - 1,
де координатами вектора \vec{}r1,2,...,k - 1,k+1,...,n є величини r
\bigl(
B
(k)
p , a
(k)
p
\bigr)
.
Далi, за нерiвнiстю Кошi маємо
n\sum
p=1
p \not =k
r2
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
\geq (n - 1)
\left( n\prod
p=1
p\not =k
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
2
n - 1
,
звiдки одержуємо\left( n\sum
p=1
p\not =k
r2
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
- 1
2
\leq (n - 1) -
1
2
\left( n\prod
p=1
p\not =k
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
- 1
n - 1
. (2.10)
Покажемо, що
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
=
r(Bp, ap)
| ap - ak| 2
, p \not = k. (2.11)
За означенням функцiї Грiна для z \rightarrow ap має мiсце асимптотичний розклад
GBp(z, ap) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r(Bp, ap) + o(1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 15
З iншого боку, використовуючи конформну iнварiантнiсть функцiї Грiна для вiдображення
w =
1
z - ak
, отримуємо
GBp(z, ap) = G
B
(k)
p
\bigl(
w, a(k)p
\bigr)
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w - a
(k)
p |
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
z - ak
- 1
ap - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
| z - ak| | ap - ak|
| z - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| | ap - ak + z - ap| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| 2 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + z - ap
ap - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z - ap|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} | ap - ak| 2r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr)
+ o(1).
Це означає, що r(Bp, ap) = | ap - ak| 2r
\bigl(
B
(k)
p , a
(k)
p
\bigr)
, звiдки i випливає рiвнiсть (2.11).
Далi, використовуючи (2.9) i (2.10), маємо
r(Bk, ak) \leq
\leq (n - 1) -
1
2
\biggl[
| a1 - ak| 2| a2 - ak| 2 . . . | ak - 1 - ak| 2| ak+1 - ak| 2 . . . | an - ak| 2
r(B1, a1)r(B2, a2) . . . r(Bk - 1, ak - 1)r(Bk+1, ak+1) . . . r(Bn, an)
\biggr] 1
n - 1
=
= (n - 1) -
1
2
\left( n\prod
p=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\right)
- 1
n - 1
,
тобто виконуються нерiвностi
r(B1, a1) \leq (n - 1) -
1
2
\biggl[
| a2 - a1| 2| a3 - a1| 2 . . . | an - a1| 2
r(B2, a2)r(B3, a3) . . . r(Bn, an)
\biggr] 1
n - 1
,
r(B2, a2) \leq (n - 1) -
1
2
\biggl[
| a1 - a2| 2| a3 - a2| 2 . . . | an - a2| 2
r(B1, a1)r(B3, a3) . . . r(Bn, an)
\biggr] 1
n - 1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r(Bp, ap) \leq (n - 1) -
1
2
\biggl[
| a1 - ap| 2| a2 - ap| 2 . . . | ap - 1 - ap| 2| ap+1 - ap| 2 . . . | an - ap| 2
r(B1, a1)r(B2, a2) . . . r(Bp - 1, ap - 1)r(Bp+1, ap+1) . . . r(Bn, an)
\biggr] 1
n - 1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
16 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
r(Bn, an) \leq (n - 1) -
1
2
\biggl[
| a1 - an| 2| a2 - an| 2 . . . | an - 1 - an| 2
r(B1, a1)r(B2, a2) . . . r(Bn - 1, an - 1)
\biggr] 1
n - 1
.
Перемножаючи отриманi нерiвностi, одержуємо
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
n\prod
k=1
\left( (n - 1) -
1
2
\left( n\prod
p=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
\left( n\prod
p=1
p\not =k
r(Bp, ap)
\right)
- 1
n - 1
\right) =
= (n - 1) -
n
2
n\prod
k=1
\left( n\prod
p=1
p\not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
n\prod
k=1
\left( n\prod
p=1
p\not =k
r(Bp, ap)
\right)
- 1
n - 1
. (2.12)
Зауважимо, що
n\prod
k=1
\left( n\prod
p=1
p\not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
=
\left( n\prod
p,k=1
p\not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
=
\left( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\right) 4
n - 1
,
а також
n\prod
k=1
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\right)
1
n - 1
=
\Biggl(
n\prod
k=1
rn - 1(Bk, ak)
\Biggr) 1
n - 1
=
n\prod
k=1
r(Bk, ak).
З цього та з нерiвностi (2.12) маємо
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
2
\Bigl( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\Bigr) 4
n - 1\prod n
k=1
r(Bk, ak)
,
звiдки маємо \Biggl(
n\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) 2
\leq (n - 1) -
n
2
\left( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\right) 4
n - 1
.
Добуваючи корiнь з обох частин попередньої нерiвностi, отримуємо
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4
\left( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\right) 2
n - 1
,
що й доводить нерiвнiсть (2.1).
Теорему 2.1 доведено.
Доведена теорема дозволяє оцiнити вираз Tn для всiх n \in \BbbN .
Правильним є такий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 17
Наслiдок 2.1. Нехай для довiльного натурального n \geq 2 областi Bk i точки ak, k = 1, n,
задовольняють усi умови теореми 2.1. Тодi виконується нерiвнiсть
Tn \leq (n - 1) -
n
4 . (2.13)
Порiвняємо цю оцiнку з точними оцiнками, отриманими в роботах [2 – 4]. Так, для n = 2 за
формулою (2.13) отримуємо T2 \leq 1, що збiгається з точною оцiнкою, встановленою в роботi
[2]. Для n = 3 одержуємо T3 \leq 2 -
3
4 \approx 0,5947, тодi як в роботi [3] отримано точне значення
T3 =
64
81
\surd
3
\leq 0,4562 (вiдносна похибка \delta 3 \approx 30\%); для n = 4 отримуємо T4 \leq 1
3
\approx 0,3334,
тодi як в роботi [4] отримано точне значення T4 =
9
48/3
\leq 0,2233 (вiдносна похибка \delta 4 \approx 49\%).
Також було висловлено припущення (див. [28]), що T5 \leq 4
11
3 \cdot 3 -
3
4 \cdot 5 -
25
6 = 8,656 \cdot 10 - 2,
причому рiвнiсть має мiсце, зокрема, якщо \{ a1, a2, a3, a4, a5\} =
\bigl\{
1, e -
2\pi i
3 , 0, e
2\pi i
3 ,\infty
\bigr\}
, а областi
Bk, k = 1, 5, є вiдповiдно круговими областями квадратичного диференцiала
Q(z)dz2 = - z6 + 7z2 + 1
z2(z3 - 1)2
dz2.
Згiдно з нерiвнiстю (2.13) отримуємо T5 \leq 4 -
5
4 \approx 0,1769 (вiдносна похибка \delta 5 \approx 104\%).
Теорему 2.1, використовуючи ранiше введене поняття n-го дiаметра системи точок, можна
записати в дещо iншiй формi.
Теорема 2.1*. Нехай n \in \BbbN — деяке натуральне число, n \geq 2, ak \in \BbbC , Bk \subset \BbbC , k = 1, n, —
деякий набiр вiдповiдно точок i областей комплексної площини таких, що ak \in Bk, k = 1, n,
Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j. Тодi виконується нерiвнiсть
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4 dn
\bigl(
\{ ap\} np=1
\bigr)
.
Доведення теореми 2.2. Як i в теоремi 2.1, зафiксуємо деяке натуральне k так, що 1 \leq
\leq k \leq n - 1. Провiвши аналогiчнi перетворення, як i в (2.10), отримаємо
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r
\bigl(
B(k)
p , a(k)p
\bigr) \right)
- 1
n - 1
. (2.14)
Доведемо, що r(B
(k)
n , a
(k)
n ) = r
\bigl(
B
(k)
n , 0
\bigr)
= r(Bn,\infty ).
Використовуючи конформну iнварiантнiсть функцiї Грiна для вiдображення w =
1
z - ak
i
враховуючи, що a
(k)
n = 0, маємо
GBn(z,\infty ) = G
B
(k)
n
(w, 0) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
| w|
+ \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
z - ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z - ak| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
18 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
= \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - ak
z
\bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n} r
\bigl(
B(k)
n , 0
\bigr)
+ o(1),
звiдки i випливає рiвнiсть r
\bigl(
B
(k)
n , 0
\bigr)
= r(Bn,\infty ).
Для 1 \leq p \leq n - 1, p \not = k, провiвши перетворення, як i в доведеннi теореми 2.1, отримаємо
рiвнiсть r
\bigl(
B
(k)
p , a
(k)
p
\bigr)
=
r(Bp, ap)
| ap - ak| 2
.
Таким чином, з (2.14) для 1 \leq k \leq n - 1 знаходимо
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n - 1\prod
p=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
\left( n\prod
p=1
p \not =k
r(Bp, ap)
\right)
- 1
n - 1
. (2.15)
Якщо ж k = n, то з (2.14) отримуємо
r(Bn,\infty ) \leq (n - 1) -
1
2
\left( n - 1\prod
p=1
r(Bp, ap)
\right) - 1
n - 1
. (2.16)
Аналогiчно до теореми 2.1, враховуючи (2.15) i (2.16), маємо
r(Bn,\infty )
n - 1\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
2
\Biggl( \prod n - 1
p,k=1
p \not =k
| ap - ak|
\Biggr) 2
n - 1
r(Bn,\infty )
\prod n - 1
k=1
r(Bk, ak)
.
Звiдси випливає нерiвнiсть
\Biggl(
r(Bn,\infty )
n - 1\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) 2
\leq (n - 1) -
n
2
\left( n - 1\prod
p,k=1
p \not =k
| ap - ak|
\right)
2
n - 1
,
з якої одержуємо
r(Bn,\infty )
n - 1\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4
\left( \prod
1\leq p<k\leq n - 1
| ap - ak|
\right) 2
n - 1
,
що й доводить нерiвнiсть (2.2).
Теорему 2.2 доведено.
Теорему 2.2 теж можна записати в дещо iншiй формi.
Теорема 2.2*. Нехай n — деяке натуральне число, n \geq 2, Bk, ak, k = 1, n, — деякий набiр
вiдповiдно областей i точок розширеної комплексної площини таких, що ak \in Bk, k = 1, n,
Bi \cap Bj = \varnothing , i \not = j, i an = \infty . Тодi виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 19
r(Bn,\infty )
n - 1\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4 dn - 1
\Bigl(
\{ ap\} n - 1
p=1
\Bigr)
.
Доведення теореми 2.3. Згiдно з теоремою 1 iз роботи [37], виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq n - \gamma
2
\Biggl(
n\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) n - \gamma
n
. (2.17)
Далi, згiдно з нерiвнiстю (2.1), маємо
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq (n - 1) -
n
4
\left( \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak|
\right) 2
n - 1
, (2.18)
0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 < . . . < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an < 2\pi .
Позначимо
\alpha 1 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1), \alpha 2 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a3 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2), . . . , \alpha n :=
1
\pi
(2\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an).
Звiдси \prod
1\leq p<k\leq n
| ap - ak| =
\prod
1\leq p<k\leq n
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha p + . . .+ \alpha k - 1)
2
. (2.19)
Враховуючи, що
\sum n
k=1
\alpha k = 2, i використовуючи дослiдження добутку, що мiститься у
правiй частинi нерiвностi (2.19), переконуємося, що максимум даного виразу досягається тодi,
коли всi \alpha k рiвнi мiж собою, а тому для n = 2m отримуємо
\prod
1\leq p<k\leq n
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha p + . . .+ \alpha k - 1)
2
\biggr)
\leq 2
n2 - n
2
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n
.
Пiдставляючи отриману нерiвнiсть в (2.18), маємо
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
. (2.20)
Далi, використовуючи (2.20) i (2.17), отримуємо нерiвнiсть (2.3).
Якщо ж n = 2m+ 1, то\prod
1\leq p<k\leq n
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi (\alpha p + . . .+ \alpha k - 1)
2
\biggr)
\leq 2
n2 - n
2
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) n
,
тому
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
. (2.21)
Далi, пiдставляючи отриману нерiвнiсть в (2.18) i (2.17), одержуємо (2.4).
Доведення теореми 2.4. Правильною є така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
20 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Лема. Нехай областi Bk i точки ak, k = 0, n, задовольняють усi умови теореми 2.4. Тодi
виконується нерiвнiсть
r(B0, 0) \leq
1
\varepsilon
. (2.22)
Доведення. Розглянемо вiдображення w =
1
z
. Враховуючи (2.11), переконуємося, що
r
\bigl(
B
(0)
k , a
(0)
k
\bigr)
= r(Bk, ak). Тодi, повторюючи мiркування з доведення теореми 2.1, згiдно з
нерiвнiстю (2.9), отримуємо
r(B0, 0) \leq
1\sqrt{} \sum n
k=1
r2
\bigl(
B
(0)
k , a
(0)
k
\bigr) = \| \vec{}r1,2,...,n\| - 1.
Враховуючи, що \| \vec{}r1,2,...,n\| \geq \varepsilon , маємо
r(B0, 0) \leq
1
\varepsilon
,
що i доводить нерiвнiсть (2.22).
Лему доведено.
Використовуючи доведену лему, одержуємо
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma n\prod
k=1
r(Bk, ak). (2.23)
Далi, для випадку n = 2 за теоремою Лаврентьєва [2]
\prod 2
k=1
r(Bk, ak) \leq 4, а тому нерiв-
нiсть (2.23) набирає вигляду
r\gamma (B0, 0)
2\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 4
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
.
Для випадку n = 2m, m \geq 2, враховуючи (2.20), отримуємо
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
.
Якщо ж n = 2m+ 1, то, пiдставляючи (2.21) в (2.23), маємо
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
\varepsilon
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
.
Теорему 2.4 доведено.
Наслiдок 2.2. Нехай областi Bk i точки ak, k = 0, n, задовольняють усi умови теоре-
ми 2.4, причому
\prod n
k=1
r(Bk, ak) \geq \varepsilon . Тодi у випадку n = 2 виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
2\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 4
\biggl(
1\surd
2\varepsilon
\biggr) \gamma
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОЦIНКИ ДОБУТКIВ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЕЙ 21
у випадку n = 2m, m \in \BbbN , m \geq 2, — нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
n
\surd
\varepsilon
\surd
n
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m - 1\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
,
а у випадку n = 2m+ 1, m \in \BbbN , — нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq 2n
\biggl(
1
n
\surd
\varepsilon
\surd
n
\biggr) \gamma
(n - 1) -
n
4
\Biggl(
m\prod
k=1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\pi
n
\Biggr) 2n
n - 1
.
Для доведення наслiдку достатньо зауважити, що за нерiвнiстю мiж середнiм геометричним
i середнiм квадратичним маємо
n
\sqrt{} n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
1\surd
n
\sqrt{} n\sum
k=1
r2(Bk, ak),
звiдки випливає, що \| \vec{}r1,2,...,n\| \geq n
\surd
\varepsilon
\surd
n, а далi використовуємо доведену лему i нерiвнос-
тi (2.20), (2.21).
Лiтература
1. В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи
мат. наук, 49, № 1(295), 3 – 76 (1994).
2. М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений, Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР, 5, 159 – 245 (1934).
3. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
4. Г. В. Кузьмина, К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей, Зап. научн.
сем. ЛОМИ, 100, 131 – 145 (1980).
5. O. Teichmuller, Collected papers, Springer, Berlin etc. (1982).
6. Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, Изд-во иностр. лит., Москва (1962).
7. Ю. Е. Аленицын, Конформные отображения многосвязной области на многолистные канонические поверх-
ности, Изв. АН СССР, сер. мат., 28, № 3, 607 – 644 (1964).
8. Н. А. Лебедев, Принцип площадей в теории однолистных функций, Наука, Москва (1975).
9. П. М. Тамразов, Теоремы покрытия линий при конформном отображении, Мат. сб., 66 (108), № 4, 502 – 524
(1965).
10. П. М. Тамразов, Некоторые экстремальные задачи теории однолистных конформных отображений, Мат.
сб., 67 (109), № 3, 329 – 337 (1965).
11. П. М. Тамразов, К общей теореме о коэффициентах, Мат. сб., 72 (114), № 1, 59 – 71 (1967).
12. П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Изв.
АН СССР, сер. мат., 32, № 5, 1033 – 1043 (1968).
13. Г. П. Бахтина, Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях:
Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Киев (1975).
14. Г. П. Бахтина, Об экстремизации некоторых функционалов в задаче о неналегающих областях, Укр. мат.
журн., 27, № 2, 202 – 204 (1975).
15. Г. П. Бахтина, Метод граничных вариаций в задачах о неналегающих областях, Киев (1975), 35 с. (Препринт /
АН УССР. Ин-т математики; 75.2).
16. Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих областей, Современные вопросы веще-
ственного и комплексного анализа, 149, 21 – 27 (1984).
17. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Об экстремальных задачах для симметричных неналегающих областей, Укр. мат.
журн., 49, № 2, 179 – 185 (1997).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
22 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
18. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Экстремальные задачи о неналегающих областях и квадратичные дифференци-
алы, Доп. НАН України, № 8, 13 – 15 (2005).
19. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Разделяющие преобразования и задачи о неналегающих областях, Зб. праць Iн-ту
математики НАН України, 273 – 284 (2006).
20. В. Н. Дубинин, О произведении внутренних радиусов „частично неналегающих” областей, Вопросы метри-
ческой теории отображений и ее применение, 24 – 31 (1978).
21. В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении, Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР, 168, 48 – 66 (1988).
22. В. Н. Дубинин, Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения, Зап. науч.
сем. ЛОМИ, 237, 56 – 73 (1997).
23. В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного
переменного, Дальнаука ДВО РАН, Владивосток (2009).
24. Е. Г. Емельянов, О связи двух задач об экстремальном разбиении, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 160, 91 – 98 (1987).
25. Е. Г. Емельянов, К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей,
Зап. науч. сем. ПОМИ, 286, 103 – 114 (2002).
26. Г. В. Кузьмина, Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы, Наука, Москва (1980).
27. Г. В. Кузьмина, Методы геометрической теории функций, I, II, Алгебра и анализ, 9, № 3, 41 – 103; № 5, 1 – 50
(1997).
28. Г. В. Кузьмина, Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы, Зап. научн. сем. ПОМИ, 276, 253 – 275
(2001).
29. Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности, Дальневост.
мат. сб., 2, 96 – 98 (1996).
30. Л. В. Ковалев, О трех непересекающихся областях, Дальневост. мат. журн., 1, № 1, 3 – 7 (2000).
31. Л. В. Ковалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей, Изв. вузов, математика, № 6,
82 – 87 (2000).
32. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе, Працi Iн-ту математики НАН України, 73 (2008).
33. A. L. Targonskii, I. I. Targonskaya, Extreme problem for partially nonoverlapping domains on a Riemann sphere, J.
Math. Sci., 235, № 1, 74 – 80 (2018).
34. A. L. Targonskii, About one extremal problem for the projections of points on a unit circle, J. Math. Sci., 241, № 1,
90 – 100 (2019).
35. Я. В. Заболотний, Застосування роздiляючого перетворення в однiй задачi про неперетиннi областi, Доп.
НАН України, № 9, 11 – 14 (2011).
36. I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of products of inner radii of non-overlapping domains in the complex
plane, Complex Var. and Elliptic Equat., 62, № 11, 1611 – 1618 (2017).
37. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей, Укр. мат. журн.,
71, № 7, 996 – 1002 (2019).
38. Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, Москва (1962).
Одержано 02.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6200 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:28Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/81184f490553c406c8b9e51b827ffeb4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62002025-03-31T08:49:21Z Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains Оценки произведений внутренних радиусов многосвязных областей Оцінки добутків внутрішніх радіусів багатозв’язних областей Bakhtin , A. K. Zabolotnii, Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. Внутрішній радіус області, неперетинні області, квадратичний диференціал, функція Гріна Inner radius of domain, non-overlapping domains, quadratic differential, Green's function УДК 517.54 We consider the known problem of geometric function theory on extremal partition of the complex plane. For this problem, we obtain estimates for the maximum value of the product of inner radii of $n$ disjoint domains with respect to $n$ arbitrary points in the complex plane. The exact solutions to this problem are currently known only for $n = 2,3,4.$ In this paper, we found estimates that can be applied to various extremal geometric problems of the theory of functions. В работе рассматривается известная проблема геометрической теориифункций об экстремальном разбиении комплексной плоскости и в даннойпроблеме получено оценки максимума произведения внутренних радиусовn произвольных взаимно неналегающих областей относительно nпроизвольных точек комплексной плоскости, одна из которых может бытьбесконечно удаленной. Точные решения этой проблемы на данный моментизвестны только для случаев n=2,3,4. В данной работі найденооценки, которые могут быть применены в разных экстремальных задачахгеометрической теории функций. УДК 517.54 Розглядається відома проблема геометричної теорії функційпро екстремальне розбиття комплексної площини, і в даній проблемі отримано оцінки максимуму добутку внутрішніх радіусів $n$ довільних взаємно неперетинних областей відносно $n$ довільних точок комплексної площини, одна з яких може бути нескінченно віддаленою.Точні розв'язки цієї проблеми на даний момент відомі тільки для випадків $n=2,3,4.$ В даній роботі знайдено оцінки, які можуть бути застосовані в різних екстремальних задачах геометричної теоріїфункцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6200 10.37863/umzh.v73i1.6200 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 9 - 22 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 9 - 22 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6200/8892 Copyright (c) 2021 О. К. Бахтін, Я. В. Заболотний |
| spellingShingle | Bakhtin , A. K. Zabolotnii, Ya. V. Бахтін, О. К. Заболотний, Я. В. Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title | Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title_alt | Оценки произведений внутренних радиусов многосвязных областей Оцінки добутків внутрішніх радіусів багатозв’язних областей |
| title_full | Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title_fullStr | Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title_full_unstemmed | Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title_short | Estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| title_sort | estimates of the products of inner radii for multiconnected domains |
| topic_facet | Внутрішній радіус області неперетинні області квадратичний диференціал функція Гріна Inner radius of domain non-overlapping domains quadratic differential Green's function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6200 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak estimatesoftheproductsofinnerradiiformulticonnecteddomains AT zabolotniiyav estimatesoftheproductsofinnerradiiformulticonnecteddomains AT bahtínok estimatesoftheproductsofinnerradiiformulticonnecteddomains AT zabolotnijâv estimatesoftheproductsofinnerradiiformulticonnecteddomains AT bakhtinak ocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT zabolotniiyav ocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT bahtínok ocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT zabolotnijâv ocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovmnogosvâznyhoblastej AT bakhtinak ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívbagatozvâznihoblastej AT zabolotniiyav ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívbagatozvâznihoblastej AT bahtínok ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívbagatozvâznihoblastej AT zabolotnijâv ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívbagatozvâznihoblastej |