Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces
UDC 517.988 We obtain new criteria of compatibility for a linear system of equations (equivalent to the Kronecker - Capelli's theorem) and inequalities (equivalent to S. M. Chernikov's theorem), which are related to conditions for the existence of a linear interpolation polynomial...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6201 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512293221040128 |
|---|---|
| author | Makarov, V. L. Khlobystov, V. V. Kashpur, O. F. Макаров, В. Л. Хлобістов, В. В. Кашпур, О. Ф. Макаров, В. Л. Хлобистов, В. В. Кашпур, О. Ф. |
| author_facet | Makarov, V. L. Khlobystov, V. V. Kashpur, O. F. Макаров, В. Л. Хлобістов, В. В. Кашпур, О. Ф. Макаров, В. Л. Хлобистов, В. В. Кашпур, О. Ф. |
| author_sort | Makarov, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.988
We obtain new criteria of compatibility for a linear system of equations (equivalent to the Kronecker - Capelli's theorem) and inequalities (equivalent to S. M. Chernikov's theorem), which are related to conditions for the existence of a linear interpolation polynomial in Euclidean spaces. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.6201 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.6201
УДК 517.988
В. Л. Макаров, В. В. Хлобистов (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. Ф. Кашпур (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ
I НЕРIВНОСТЕЙ В ЕВКЛIДОВИХ ПРОСТОРАХ
We obtain new criteria of compatibility for a linear system of equations (equivalent to the Kronecker – Capelli’s theorem)
and inequalities (equivalent to S. M. Chernikov’s theorem), which are related to conditions for the existence of a linear
interpolation polynomial in Euclidean spaces.
Запропоновано новi критерiї сумiсностi лiнiйної системи рiвнянь (еквiвалентнi теоремi Кронекера – Капеллi) та
нерiвностей (еквiвалентнi теоремi С. М. Чернiкова), пов’язанi з умовами iснування лiнiйного iнтерполяцiйного
полiнома в евклiдових просторах.
Вступ. Розв’язання прикладних задач достатньо часто призводить до неоднорiдних систем
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь та нерiвностей, у зв’язку з чим постають питання про їхню
сумiснiсть. Вiдповiдь на цi питання у випадку рiвнянь надає теорема Кронекера – Капеллi [1],
а у випадку нерiвностей — теорема С. М. Чернiкова [2]. В цiй статтi наведено аналоги згада-
них теорем, причому для того, щоб вияснити чи має система розв’язок, потрiбно перевiряти
виконання певних рiвностей. Встановлено зв’язок цих теорем з полiномiальним iнтерполянтом
першого степеня в евклiдових просторах та умовами його iснування.
Опишемо коротко структуру роботи. Перший пункт мiстить вiдомi результати, необхiднi для
подальшого викладу. Другий пункт присвячено умовам iснування iнтерполяцiйного полiнома
першого степеня, значення якого на спецiальних iнтерполяцiйних вузлах збiгаються з лiнiйною
системою алгебраїчних рiвнянь. Показано, що цi умови еквiвалентнi умовам теореми Кроне-
кера – Капеллi. У третьому пунктi показано, як за допомогою загальної теорiї полiномiального
iнтерполювання одержати конструктивнi умови розв’язностi системи лiнiйних алгебраїчних не-
рiвностей. Доведено, що цi умови еквiвалентнi умовам теореми С. М. Чернiкова. Насамкiнець
наведено висновки. Виклад проiлюстровано конкретними прикладами.
1. Допомiжнi результати. Нехай задано систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Aa = y, (1)
де A : Rn \rightarrow Rm, A = \| \alpha ij\| i=1,m,j=1,n, a = (a1, a2, . . . , an), y = (y1, y2, . . . , ym).
Теорема 1 (Кронекер – Капеллi) [1]. Система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (1) тодi i тiль-
ки тодi сумiсна, коли ранг розширеної матрицi A дорiвнює рангу матрицi A.
В деяких випадках, на практицi, бiльш зручно користуватись iншим формулюванням тео-
реми 1. У роботi (див., наприклад, [3]) розглянуто псевдообернення лiнiйних операторiв у
гiльбертових та евклiдових просторах. Позначимо через En, Em евклiдовi простори, через
E одиничну матрицю. На пiдставi властивостей псевдооберненого оператора в евклiдових
просторах наведено наступне твердження.
Теорема 2 [3]. Для розв’язностi рiвняння
Aa = y, A : En \rightarrow Em (2)
c\bigcirc В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР, 2020
1524 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 1525
необхiдно та достатньо виконання умови
(E - AA+)y = 0, (3)
де A+ — псевдообернена матриця Мура – Пенроуза до матрицi A. Для будь-якого y \in Em
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \| Aa - y\| Em : a \in En\} = \| (E - AA+)y\| Em ,
при цьому точна нижня границя досягається для
a = A+y + (E - A+A)z, z \in En.
Система (2) збiгається iз системою лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (1). Отже, умова (3) є
умовою сумiсностi системи рiвнянь (1), яка є аналогом теореми Кронекера – Капеллi.
Наведемо вiдомий результат [2] вiдносно умов розв’язностi лiнiйної системи нерiвностей.
Нехай \alpha ik, zk, ai, k = 1, n, i = 1,m, — комплекснi числа, \varepsilon i \geq 0, i = 1,m,
| \alpha i1z1 + \alpha i2z2 + . . .+ \alpha inzn - ai| \leq \varepsilon i, i = 1,m, (4)
— система нерiвностей рангу r, а iндекси \mu 1, \mu 2, . . . , \mu r вибрано так, що принаймнi один iз
визначникiв
| \alpha ir\mu l
| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\alpha i1\mu 1 . . . \alpha i1\mu r
...
. . .
...
\alpha ir\mu 1 . . . \alpha ir\mu r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (5)
не дорiвнює нулю. Має мiсце така теорема.
Теорема 3 (С. М. Чернiков) [2]. Необхiдною та достатньою умовою сумiсностi цiєї сис-
теми є iснування такої системи iндексiв \nu 1, \nu 2, . . . , \nu r, при яких | \alpha \nu k\mu l
| \not = 0 та iснує принаймнi
один розв’язок (u\nu 1 , u\nu 2 , . . . , u\nu r) системи
| z\nu i - a\nu i | = \varepsilon \nu i , i = 1, r,
z\nu i = \alpha \nu i1z1 + \alpha \nu i2z2 + . . .+ \alpha \nu inzn, i = 1, r,
що вiдповiдає спiввiдношенням\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha \nu 1\mu 1 . . . \alpha \nu 1\mu r u\nu 1
...
...
...
...
\alpha \nu r\mu 1 . . . \alpha \nu r\mu r u\nu r
\alpha j\mu 1 . . . \alpha j\mu r aj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\alpha \nu 1\mu 1 . . . \alpha \nu 1\mu r
...
. . .
...
\alpha \nu r\mu 1 . . . \alpha \nu r\mu r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , j = 1,m.
Якщо числа \varepsilon i, i = 1,m, в (4) покладемо рiвними нулю, то система нерiвностей (4) пере-
твориться в систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Отже, з теореми 3, як наслiдок, отримаємо
необхiдну та достатню умову сумiсностi системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь: система лiнiй-
них рiвнянь тодi i тiльки тодi сумiсна, коли ранг матрицi не змiниться у випадку розширення
цiєї матрицi стовпцем вiльних членiв. Цей наслiдок також буде аналогом теореми Кронекера –
Капеллi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1526 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
Для встановлення зв’язку теорем 1 – 3 з полiномiальним iнтерполюванням у евклiдових
просторах нам будуть потрiбнi деякi вiдомi результати з [7].
Нехай F : X \rightarrow Y (X,Y — гiльбертовi простори), xi \in X, i = 1,m, E, \Gamma — квадратнi
матрицi m-го порядку, E — одинична матриця,
\Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
p=0
(xi, xj)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i,j=1,m
, 00 = 1,
(\cdot , \cdot ) — скалярний добуток в X, \Gamma + — псевдообернена матриця Мура – Пенроуза до матрицi
\Gamma [4 – 6]. Наведемо умови, за яких iснує операторний iнтерполяцiйний полiном n-го степеня
Pn(x) з iнтерполяцiйними умовами Pn(xi) = F (xi) = yi, i = 1,m. Має мiсце така теорема.
Теорема 4 (В. Л. Макаров, В. В. Хлобистов) [7]. Необхiдною та достатньою умовою iсну-
вання iнтерполяцiйного полiнома Pn(x) є рiвнiсть
(E - \Gamma +\Gamma )y = 0, y = \| yi\| i=1,m, (6)
а вся множина операторних iнтерполяцiйних полiномiв n-го степеня за умови виконання (6)
має вигляд
Pn(x) = Qn(x) +
\Biggl\langle
y - Qn,\Gamma
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
p=0
(xi, x)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i=1,m
\Biggr\rangle
, (7)
де Qn(x) — довiльний полiном, що належить множинi операторних полiномiв n-го степеня,
Qn = \| Qn(xi)\| i=1,m, \langle \alpha , \beta \rangle =
m\sum
i=1
\alpha i\beta i, \alpha = \| \alpha i\| i=1,m, \beta = \| \beta i\| i=1,m.
Також у [7] доведено, що iнтерполянт мiнiмальної норми (породженої скалярним добутком
з гауссовою мiрою [8]) має вигляд
Pn(x) =
\Biggl\langle
y,\Gamma +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
p=0
(xi, x)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i=1,m
\Biggr\rangle
. (8)
2. Умова iснування iнтерполяцiйного полiнома першого степеня вiд \bfitn змiнних, який на
\bfitm вузлах задовольняє задану систему рiвнянь. Будемо розглядати лiнiйну iнтерполяцiйну
задачу в скiнченновимiрному евклiдовому просторi. Нехай f : En \rightarrow R1, En — n-вимiрний
евклiдовий простiр, u \in En, u = (x1, x2, . . . , xn).
Iнтерполяцiйний полiном першого степеня для f(u) запишемо у виглядi
P1(u) = a0 +
n\sum
k=1
akxk (9)
з вузлами iнтерполяцiї uk, k = 0,m :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 1527
u0 = (0, 0, . . . , 0),
u1 = (\alpha 11, \alpha 12, . . . , \alpha 1n),
u2 = (\alpha 21, \alpha 22, . . . , \alpha 2n), (10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
um = (\alpha m1, \alpha m2, . . . , \alpha mn)
та iнтерполяцiйними умовами
P1(uk) = f(uk) = yk, k = 0,m, y0 = 0. (11)
На пiдставi теореми 4 маємо таку теорему.
Теорема 5. Для розв’язання iнтерполяцiйної задачi (9) – (11) необхiдно та достатньо ви-
конання рiвностi
(E - \Gamma +\Gamma )y = 0, (12)
де y = (0, y1, y2, . . . , ym), \Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum 1
p=0
(ui, uj)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
i,j=0,m
, 00 = 1, (\cdot , \cdot ) — скалярний добуток
в En, \Gamma + — псевдообернена матриця Мура – Пенроуза [4 – 6] до матрицi \Gamma , E — одинична
матриця розмiрностi (m+ 1)\times (m+ 1).
Оскiльки це є еквiвалент теореми 1 в сенсi сумiсностi системи (1), то аналогом теореми 1
(Кронекера – Капеллi) є рiвнiсть (12). При цьому розв’язок лiнiйної iнтерполяцiйної задачi (9) –
(11) в сенсi iснування полiнома (9), що має мiнiмальну норму, породжену скалярним добутком
з гауссовою мiрою [8], має вигляд [7, 9]
P1(u) =
\Biggl\langle
y,\Gamma +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1\sum
p=0
(ui, u)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i=0,m
\Biggr\rangle
, (13)
де \langle \alpha , \beta \rangle =
\sum m
i=0
\alpha i\beta i, \alpha = (\alpha 0, \alpha 1, . . . , \alpha m), \beta = (\beta 0, \beta 1, . . . , \beta m). Для iнтерполяцiйного
полiнома 1-го степеня матриця \Gamma набирає вигляду
\Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1\sum
p=0
(ui, uj)
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i,j=0,m
= I +G(u0, u1, . . . , um),
де I — квадратна матриця порядку m+ 1 з елементами, що дорiвнюють одиницi, G(u0, u1, . . .
. . . , um) — матриця Грама. Тодi
\Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 . . . 1
1 1 + (u1, u1) . . . 1 + (u1, um)
. . . . . . . . . . . .
1 1 + (um, u1) . . . 1 + (um, um)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
, (14)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \Gamma = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}G(u1, u2, . . . , um).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1528 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
Зауваження 1. Рiвнiсть (12) дає, як i теорема Кронекера – Капеллi, необхiдну та достатню
умову сумiсностi лiнiйної системи алгебраїчних рiвнянь. В деяких дослiдженнях формула (12)
може бути використана для побудови iнтерполяцiйного наближення функцiї багатьох змiнних
у виглядi полiнома мiнiмальної норми (13).
Зауваження 2. Якщо m = n, то розмiрнiсть матрицi \Gamma в (12) на одиницю бiльша, нiж
матрицi A в (3). При побудовi псевдообернених матриць достатньо великих розмiрностей
вiдмiннiсть витрат при обчисленнi \Gamma + та A+ несуттєва.
Проiлюструємо теорему 5 на прикладах.
Приклад 1. Перевiримо умову сумiсностi системи рiвнянь x1 + x2 = 1, - x1 - x2 = - 1,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = 1. Отже, система рiвнянь сумiсна. Перевiримо рiвнiсть (12). Маємо
u0 = (0, 0), u1 = (1, 1), u2 = ( - 1, - 1), y = (0, 1, - 1), матриця (14) в цьому випадку набирає
вигляду
\Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 3 - 1
1 - 1 3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Використовуючи скелетний розклад матрицi \Gamma [4], одержуємо
\Gamma + =
1
72
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
8 8 8
8 17 - 1
8 - 1 17
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , (15)
(E - \Gamma +\Gamma )y =
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2 - 1 - 1
- 1 1/2 1/2
- 1 1/2 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
1
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
0
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Умова (12) виконується, отже, система рiвнянь має розв’язок, тобто є сумiсною. Використо-
вуючи рiвнiсть (12), можна не лише вiдповiсти на питання про сумiснiсть системи лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь, а i побудувати лiнiйний iнтерполяцiйний полiном мiнiмальної норми (13)
для функцiї двох змiнних f(x1, x2), що задана своїми значеннями. Так, матриця \Gamma + визнача-
ється рiвнiстю (15), iнтерполянт (13) має вигляд P1(x1, x2) = 0, 5(x1 + x2).
Приклад 2. Розглянемо систему рiвнянь x1 + x2 = 2, - x1 - x2 = - 1. Тодi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = 1,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = 2 i система несумiсна. З огляду на теорему 5 маємо u0 = (0, 0), u1 = (1, 1),
u2 = ( - 1, - 1), y = (0, 2, - 1), а на пiдставi викладеного вище перевiримо умову (12):
(E - \Gamma +\Gamma )y =
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2 - 1 - 1
- 1 1/2 1/2
- 1 1/2 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
2
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1
1/2
1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \not = 0.
Отже, вiдповiдна iнтерполяцiйна задача не має розв’язку, а це означає, що система рiвнянь
несумiсна.
Приклад 3. Розглянемо систему рiвнянь x1 + x2 = 3, x1 - x2 = - 1. Для даної системи
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A) = 2. В цьому випадку система є сумiсною, матриця A — невиродженою.
Матриця \Gamma має обернену \Gamma + = \Gamma - 1, а отже, задача iнтерполяцiї (9) – (11) iнварiантно розв’язна,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 1529
тобто має розв’язок при будь-якiй правiй частинi. Дiйсно,
(E - \Gamma +\Gamma )y = (E - \Gamma - 1\Gamma )y = 0,
i умова (12) виконується при будь-яких значеннях функцiї у вузлах iнтерполяцiї.
3. Умова iснування iнтерполяцiйного полiнома першого степеня вiд \bfitn змiнних, який
на \bfitm вузлах задовольняє задану систему нерiвностей. Iнтерполяцiйний полiном першого
степеня шукаємо у виглядi
P1(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn. (16)
Задача 1. Знайти умови, при виконаннi яких iснує такий полiном (16) або, що те ж саме,
такий вектор a = (a0, a1, . . . , an), що буде виконуватись iнтерполяцiйна система нерiвностей
P1(u0) = a0 + a1 \cdot 0 + a2 \cdot 0 + . . .+ an \cdot 0 = 0,
f1j \leq P1(uj) = a0 + a1\alpha j1 + a2\alpha j2 + . . .+ an\alpha jn \leq f2j , j = 1,m,
(17)
на векторах u0 = \| \alpha 0i = 0\| i=1,n, uj = (\alpha j1, \alpha j2, . . . , \alpha jn), j = 1,m, з дiйсними компонентами
при заданих f1j , f2j , j = 1,m.
Нехай для системи нерiвностей (4) у випадку zi = xi, ai = yi, i = 1, n, та системи
нерiвностей (17)
f1i = - \varepsilon i + yi, f2i = \varepsilon i + yi, i = 1,m.
Тодi умови (17) можна розглядати як iснування такої послiдовностi gj , j = 0,m, для якої
P1(uj) = gj , j = 0,m, (18)
при цьому повиннi виконуватись нерiвностi
f1j \leq gj \leq f2j , j = 1,m, g0 = a0 = 0. (19)
Згiдно з теоремою 5, iнтерполяцiйний полiном (16) з умовами (18) буде iснувати тодi i тiльки
тодi, коли буде мати мiсце рiвнiсть
(E - \Gamma +\Gamma )\| gj\| j=0,m = 0, (20)
де \Gamma має вигляд (14). Поглянемо на (20), як на необхiдну i достатню умову (3) розв’язностi
системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
\Gamma y = \| gj\| j=0,m.
Подiємо на обидвi частини рiвняння (m\times (m+ 1))-матрицею
S =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1 1 0 0 . . . 0
- 1 0 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
- 1 0 0 0 . . . 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1530 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
В результатi одержимо
S\Gamma y = AAT y = \| gj\| j=1,m. (21)
Позначимо
AT y = x.
Тодi у покомпонентному виглядi система (21) набирає вигляду
n\sum
i=1
\alpha jixi = gj , j = 1,m. (22)
Але за припущенням i за побудовою система (22) має розв’язок xi = ai, i = 1, n, причому
виконуються нерiвностi (19). Таким чином, приходимо до такого твердження: теореми 3 i 5
еквiвалентнi в сенсi сумiсностi системи (17).
Знайдемо умови, за яких iснує хоча б один розв’язок системи (17). З цiєю метою розглянемо
m-параметричну систему рiвнянь
P1(u0) = a0 + a1 \cdot 0 + a2 \cdot 0 + . . .+ an \cdot 0 = a0 = 0,
a0 + a1\alpha j1 + a2\alpha j2 + . . .+ an\alpha jn = tjf1j + (1 - tj)f2j , (23)
tj \in [0, 1], j = 1,m,
де
f1j \leq tjf1j + (1 - tj)f2j \leq f2j \forall tj \in [0, 1], j = 1,m. (24)
Наше завдання полягає у тому, щоб з’ясувати чи iснує таке значення параметрiв tj \in [0, 1], при
яких буде виконуватись умова розв’язностi системи (23), тобто чи буде мати мiсце рiвнiсть
(E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
t1f11 + (1 - t1)f21
\cdot \cdot \cdot
tmf1m + (1 - tm)f2m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
= 0. (25)
Система (25) вiдносно tj \in [0, 1], j = 1,m, є системою лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Якщо ця
система має розв’язок, то пiдставляємо його у (23) i тим самим визначаємо вектор \| gj\| j=0,m, а
отже, тодi i система (17) має розв’язок. Якщо ж система (25) не має розв’язку, то система (17)
також не має розв’язку.
Запишемо систему рiвнянь (25) у виглядi
(E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 + 0
t1(f11 - f21) + f21
t2(f12 - f22) + f22
\cdot \cdot \cdot
tm(f1m - f2m) + f2m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 1531
= (E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
t1(f11 - f21)
t2(f12 - f22)
\cdot \cdot \cdot
tm(f1m - f2m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+ (E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
f21
f22
\cdot \cdot \cdot
f2m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
= 0. (26)
Позначимо ti = ti(f1i - f2i), i = 1,m, i запишемо загальний розв’язок (див., наприклад, [3])
системи (26): \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0ti
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i=1,m
= (E - \Gamma +\Gamma )+(E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 0
- f2i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
i=1,m
+
+
\bigl(
E - (E - \Gamma +\Gamma )+(E - \Gamma +\Gamma )
\bigr) \bigm\| \bigm\| wi
\bigm\| \bigm\|
i=0,m
.
Шукаємо такий вектор w =
\bigm\| \bigm\| wi
\bigm\| \bigm\|
i=0,m
, щоб виконувались умови ti \in [0, 1], i = 1,m.
Проiлюструємо останнi мiркування на такому прикладi.
Приклад 4. Розв’язати систему нерiвностей
- 1 \leq x1 + x2 \leq 1,
1/2 \leq - x1 - x2 \leq 1.
Система рiвнянь (23) буде мати вигляд
x1 + x2 = - t1 + (1 - t1),
- x1 - x2 = t2/2 + (1 - t2).
З прикладу 1 маємо
\Gamma =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 1 1
1 3 - 1
1 - 1 3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , \Gamma + =
1
72
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
8 8 8
8 17 - 1
8 - 1 17
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Запишемо необхiднi та достатнi умови сумiсностi системи (25) для прикладу 4:
(E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 + 0
- t1 + (1 - t1)
t2/2 + (1 - t2)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = (E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 + 0
- 2t1 + 1
- t2/2 + 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = 0,
де матрицi \Gamma , \Gamma +, (E - \Gamma +\Gamma ) визначенi у прикладi 1. Тодi
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2 - 1 - 1
- 1 1/2 1/2
- 1 1/2 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
- 2t1
- t2/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
1
3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2 - 1 - 1
- 1 1/2 1/2
- 1 1/2 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0
- 1
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Розв’язком цiєї системи буде t1 = 1 - t2/4, а загальний розв’язок системи нерiвностей можна
подати у виглядi x1 = - z - 2t1 + 1, x2 = z, z \in R1, t1 \in [3/4, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1532 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
Розглянемо комплекснi евклiдовi простори \widetilde Em, \widetilde En. Нехай \alpha ij , zj , yi, i = 1,m, j = 1, n,
— комплекснi числа. Система нерiвностей С. М. Чернiкова має вигляд\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
j=1
\alpha ijzj - yi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varepsilon i, i = 1,m. (27)
Знайдемо необхiднi та достатнi умови розв’язностi системи нерiвностей (27). Розглянемо сис-
тему рiвнянь
n\sum
j=1
\alpha ijzj - yi = \varepsilon isi, | si| \leq 1, i = 1,m. (28)
Якщо iснують такi комплекснi числа si, i = 1,m, що система (28) буде розв’язною, то система
нерiвностей (27) також буде розв’язною, i навпаки.
Запишемо (28) у матрично-векторному виглядi
\| \alpha ij\| i=1,m
j=1,n
\| zj\| j=1,n = \| yi + \varepsilon isi\| i=1,m.
Задача 2. Знайти умови, при виконаннi яких iснує такий полiном (16), визначений у
комплексному n-вимiрному евклiдовому просторi \widetilde En або, що те ж саме, такий вектор a =
= (a0, a1, . . . , an), що буде справедливою iнтерполяцiйна система рiвнянь
P1(u0) = a0 + a1 \cdot 0 + a2 \cdot 0 + . . .+ an \cdot 0 = a0 = 0,
P1(uj) = a0 + a1\alpha j1 + a2\alpha j2 + . . .+ an\alpha jn = yj + \varepsilon jsj , j = 1,m,
(29)
на iнтерполяцiйних вузлах u0 = \| \alpha 0i = 0\| i=1,n, uj = (\alpha j1, \alpha 2j , . . . , \alpha jn), j = 1,m.
Згiдно з теоремою 5, сформулюємо матрицi \Gamma , \Gamma + i запишeмо необхiднi та достатнi умови
розв’язностi системи (29):
(E - \Gamma +\Gamma )\| yi + \varepsilon isi\| i=0,m = 0, y0 = 0, s0 = 0. (30)
Систему (30) можна розглядати, як лiнiйну систему алгебраїчних рiвнянь вiдносно невiдомих
si, i = 1,m. Умови розв’язностi системи (30) з додатковими умовами
| si| \leq 1, i = 0,m, (31)
дадуть умови розв’язностi задачi С. М. Чернiкова.
Система (30) має вигляд
(E - \Gamma +\Gamma )\| si\| i=0,m = (E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| - yi
\bigm\| \bigm\|
i=0,m
, (32)
де si = \varepsilon isi, i = 0,m. Запишемо її загальний розв’язок
\| si\| i=0,m = (E - \Gamma +\Gamma )+(E - \Gamma +\Gamma )
\bigm\| \bigm\| - yi
\bigm\| \bigm\|
i=0,m
+
+
\bigl(
E - (E - \Gamma +\Gamma )+(E - \Gamma +\Gamma )
\bigr)
\| wi\| i=0,m (33)
i будемо шукати такий вектор \| wi\| i=0,m, щоб виконувались умови (31). Якщо вiн iснує, то
задача С. М. Чернiкова (27) має розв’язок (33), у протилежному випадку — не має.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ОПЕРАТОРНА IНТЕРПОЛЯЦIЯ ТА СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 1533
Приклад 5. Розглянемо таку задачу: знайти комплекснi числа zj , j = 1, 2, 3, 4, якi задо-
вольняють систему нерiвностей в позначеннях С. М. Чернiкова [2]\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
4\sum
j=1
\alpha kjzj + ak
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
2
, k = 1, 2, 3. (34)
Ця система визначається матрицею A i вектором a = (a1, a2, a3)
A = \| \alpha kj\| k=1,2,3
j=1,2,3,4
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2i - 3 + i 4 - 2 + 2i
- 4 + i 2 - 2i - 1 + 2i 3 - 2i
- 1 + 2i - 1 - 2i 1 + 2i - 1 - 2i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , a =
1
4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
1
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Застосовуючи скелетний розклад матрицi A, будуємо для неї псевдообернену
A+ =
1
1183
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 137 - 37i - 134 - 99i - 12 - 36i
- 60 - 50i 36 - 7i - 11 + 26i
143 - 31i 60 + 5i 15 - 21i
23 - 131i 132 - 9i - 7 + 31i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
.
Згiдно з попереднiм переформулюємо цю задачу таким чином. Визначити, чи iснують такi
комплекснi числа sk, k = 1, 2, 3, з якими система рiвнянь з обмеженнями
4\sum
j=1
\alpha kjzj + ak = sk, | sk| \leq
1
2
, k = 1, 2, 3, (35)
буде мати розв’язок. Запишемо умови розв’язностi (3) цiєї системи
(E - AA+)( - a+ s) =
1
13
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1 - 1 + i - 1 + 3i
- 1 + i 2 - 2 - 4i
- 1 - 3i - 2 + 4i 10
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- 1/4 + s1 + il1
- 1/4 + s2 + il2
- 1/4 + s3 + il3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = 0,
де s = \| sk\| k=1,2,3, sk = sk + ilk, k = 1, 2, 3. Розв’язок останньої системи буде мати вигляд
s1 = - 3
4
- 2l2 + 4s3 + 2l3 + l1,
s2 = l1 - l2 -
1
2
- l3 + 3s3.
Тут величини s3, l3, l1, l2 є довiльними, але такими, що sk = sk+ilk, k = 1, 2, 3, задовольняють
нерiвностi у (35). Наведемо одну з можливих множин розв’язкiв iз усiєї множини. Покладемо
s3 = l3 = l1 =
1
16
. (36)
Тодi з нерiвностей у (35) випливає, що повиннi виконуватись нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1534 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
(s1)
2 \leq 63
256
,
-
\surd
63 - 5
32
\leq l2 \leq
\surd
63 - 5
32
. (37)
При виконаннi умов (36), (37) множиною розв’язкiв системи (35) буде (див., наприклад, [3])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
z1
z2
z3
z4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
= A+( - a+ s) + (E - A+A)w \forall w \in C3. (38)
Кожен вектор iз множини (38) буде розв’язком задачi (34).
4. Висновки. В роботi показано, що необхiднi та достатнi умови iснування лiнiйного
iнтерполяцiйного полiнома з [7] еквiвалентнi необхiдним та достатнiм умовам сумiсностей
систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (теорема Кронекера – Капеллi [1]) та нерiвностей (те-
орема С. М. Чернiкова [2]). При цьому лiнiйний iнтерполянт [7] визначено в комплексному
n-вимiрному евклiдовому просторi. Крiм того, згiдно з теоремою 4 [7], надано полiномiальне
наближення (iнтерполяцiю) функцiї багатьох змiнних.
Лiтература
1. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Физматлит, Москва (1963).
2. С. Н. Черников, Обобщение теоремы Кронекера – Капелли о системе линейных уравнений, Мат. сб., 15(57),
№ 3, 437 – 448 (1944).
3. А. Алберт, Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание, Наука, Москва (1977).
4. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Физматлит, Москва (2010).
5. Е. Л. Жуковский, Р. Ш. Липцер, О вычислении псевдообратных матриц, Журн. вычислит. математики и мат.
физики, 15, № 2, 489 – 492 (1975).
6. P. Courrieu, Fast computation of Moore – Penrose inverse matrices, Neural Inform. Processing, 8, № 2, 25 – 29
(2005).
7. В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, Основы теории полиномиального операторного интерполирования, Ин-т
математики НАН Украины, Киев (1998).
8. А. Д. Егоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович, Приближенные методы вычисления континуальных интегра-
лов, Наука и техника, Минск (1985).
9. О. Ф. Кашпур, В. В. Хлобистов, До деяких питань полiномiальної iнтерполяцiї в евклiдових просторах, Доп.
НАН України, № 10, 10 – 14 (2016).
Одержано 02.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6201 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:29Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/41/6872ad8b36152c7d25e2f4ad17a23a41.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62012025-03-31T08:49:35Z Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces ОПЕРАТОРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Операторна інтерполяція та системи лінійних рівнянь і нерівностей в евклідових просторах Makarov, V. L. Khlobystov, V. V. Kashpur, O. F. Макаров, В. Л. Хлобістов, В. В. Кашпур, О. Ф. Макаров, В. Л. Хлобистов, В. В. Кашпур, О. Ф. UDC 517.988 We obtain new criteria of compatibility for a linear system of equations (equivalent to the Kronecker - Capelli's theorem) and inequalities (equivalent to S. M. Chernikov's theorem), which are related to conditions for the existence of a linear interpolation polynomial in Euclidean spaces. Предлагаются новые критерии совместимости линейной системы уравнений (эквивалентные теореме Кронекера-Капелли) и неравенств (эквивалентные теореме С. Н. Черникова), которые связаны с условиями существования линейного интерполяционного полинома в еквлидовых пространствах. УДК 517.988 Запропоновано нові критерiї сумiсностi лiнiйної системи рiвнянь (еквівалентні теоремі Кронекера - Капеллi) та нерівностей (еквівалентні теоремі С. М. Чернікова), пов'язані з умовами існування лінійного інтерполяційного полінома в евклiдових просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6201 10.37863/umzh.v72i11.6201 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1524-1534 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1524-1534 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6201/8781 Copyright (c) 2020 О. Ф. Кашпур |
| spellingShingle | Makarov, V. L. Khlobystov, V. V. Kashpur, O. F. Макаров, В. Л. Хлобістов, В. В. Кашпур, О. Ф. Макаров, В. Л. Хлобистов, В. В. Кашпур, О. Ф. Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title | Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title_alt | ОПЕРАТОРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Операторна інтерполяція та системи лінійних рівнянь і нерівностей в евклідових просторах |
| title_full | Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title_fullStr | Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title_full_unstemmed | Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title_short | Operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in Euclidean spaces |
| title_sort | operator interpolation and systems of linear equations and inequalities in euclidean spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6201 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT khlobystovvv operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT kashpurof operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT makarovvl operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT hlobístovvv operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT kašpurof operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT makarovvl operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT hlobistovvv operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT kašpurof operatorinterpolationandsystemsoflinearequationsandinequalitiesineuclideanspaces AT makarovvl operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT khlobystovvv operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT kashpurof operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT makarovvl operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT hlobístovvv operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT kašpurof operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT makarovvl operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT hlobistovvv operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT kašpurof operatornaâinterpolâciâisistemylinejnyhuravnenijineravenstvvevklidovyhprostranstvah AT makarovvl operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT khlobystovvv operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT kashpurof operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT makarovvl operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT hlobístovvv operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT kašpurof operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT makarovvl operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT hlobistovvv operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah AT kašpurof operatornaínterpolâcíâtasistemilíníjnihrívnânʹínerívnostejvevklídovihprostorah |