A functional limit theorem without centering for general shot noise processes
UDC 519.27 We define a general shot noise process as the convolution of a deterministic càdlàg function and a locally finite counting process concentrated on the nonnegative halfline. In this paper, we provide the sufficient conditions ensuring that a general shot noise process properly...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6210 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512294572654592 |
|---|---|
| author | Iksanov, A. Rashytov , B. Іксанов, О. Рашитов , Б. |
| author_facet | Iksanov, A. Rashytov , B. Іксанов, О. Рашитов , Б. |
| author_sort | Iksanov, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:28Z |
| description | UDC 519.27
We define a general shot noise process as the convolution of a deterministic càdlàg function and a locally finite counting process concentrated on the nonnegative halfline. In this paper, we provide the sufficient conditions ensuring that a general shot noise process properly normalized without centering converges weakly in the Skorokhod space. We give several examples of particular counting processes satisfying the sufficient conditions and formulate the corresponding limit theorems. The present work continues the investigation initiated in [Iksanov and Rashytov (2020)], where a functional limit theorem with centering was proved under the condition that the limit process is a Riemann–Liouville-type (Gaussian) process. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i2.6210 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i2.6210
УДК 519.27
О. Iксанов, Б. Рашитов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ
ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ ДРОБОВОГО ЕФЕКТУ
We define a general shot noise process as the convolution of a deterministic càdlàg function and a locally finite counting
process concentrated on the nonnegative halfline. In this paper, we provide the sufficient conditions ensuring that a
general shot noise process properly normalized without centering converges weakly in the Skorokhod space. We give
several examples of particular counting processes satisfying the sufficient conditions and formulate the corresponding limit
theorems. The present work continues the investigation initiated in [Iksanov and Rashytov (2020)], where a functional
limit theorem with centering was proved under the condition that the limit process is a Riemann – Liouville-type (Gaussian)
process.
Загальним процесом дробового ефекту ми називаємо згортку детермiнованої функцiї, що належить простору Ско-
рохода, та локально скiнченного лiчильного процесу, заданого на невiд’ємнiй пiвосi. В цiй статтi запропоновано
достатнi умови, за яких належним чином нормалiзований (без центрування) загальний процес дробового ефекту
слабко збiгається у просторi Скорохода. Наведено кiлька прикладiв конкретних лiчильних процесiв, що задоволь-
няють цi достатнi умови, разом iз вiдповiдними граничними теоремами. Продовжено дослiдження, розпочатi в
статтi О. Iксанова та Б. Рашитова (2020 р.), де було доведено функцiональну граничну теорему з центруванням iз
(гауссiвськими) процесами типу Рiмана – Лiувiлля в якостi граничних процесiв.
1. Вступ та основний результат. Позначимо через (Sk)k\in \BbbN 0 , де \BbbN 0 := \BbbN \cup \{ 0\} , необов’язково
монотонну послiдовнiсть невiд’ємних випадкових величин. Визначимо лiчильний процес N :=
:= (N(t))t\geq 0 так:
N(t) :=
\sum
k\geq 0
1\{ Sk\leq t\} , t \geq 0.
Будемо припускати, що N(t) <\infty майже напевно (м.н.) для всiх t \geq 0.
Нехай D := D[0,\infty ) (D(0,\infty )) — простiр Скорохода дiйснозначних неперервних справа
функцiй, що визначенi на [0,\infty ) ((0,\infty )) i мають скiнченнi лiвобiчнi границi у додатних точках.
Для функцiї h \in D визначимо випадковий процес X := (X(t))t\geq 0 так:
X(t) :=
\sum
k\geq 0
h(t - Sk)1\{ Sk\leq t\} =
\int
[0, t]
h(t - y)dN(y), t \geq 0.
Ми називаємо X загальним процесом дробового ефекту, оскiльки, крiм N(t) <\infty м.н., жодних
припущень щодо вхiдної послiдовностi (Sk)k\in \BbbN 0 не робимо. Зрозумiло, що X \in D м.н.
У статтi [8] знайдено достатнi умови, за яких належним чином нормалiзований i центро-
ваний загальний процес дробового ефекту слабко збiгається у просторi Скорохода до гаусciв-
ського процесу типу Рiмана – Лiувiлля. Ми вiдсилаємо читача до згаданої роботи, а також до
статтi [3] за мотивацiєю дослiдження загальних процесiв дробового ефекту, їхнiм зв’язком iз
(бiльш складними) випадковими процесами з iммiграцiєю у випадковi моменти часу, а також
детальним оглядом вiдповiдної бiблiографiї. Зазначимо, що зацiкавленiсть математикiв у про-
цесах дробового ефекту не вщухає, що пiдтверджується нещодавнiми роботами [12, 15, 17].
c\bigcirc О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ, 2021
160 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 161
Метою даної статтi є знаходження достатнiх умов, сформульованих у термiнах функцiї вiдгу-
ку h та лiчильного процесу N, за яких належним чином нормалiзований (без центрування)
загальний процес дробового ефекту задовольняє функцiональну граничну теорему у просторi
Скорохода. В якостi iлюстрацiї ми вказуємо конкретнi лiчильнi процеси, для яких виконуються
вищезгаданi достатнi умови.
Для формулювання основного результату потрiбнi додатковi позначення. Для \lambda > 0 по-
значимо через V\lambda := (V\lambda (u))u\geq 0 випадковий процес, що м.н. не спадає, є м.н. локально непе-
рервним за Гьольдером з показником \lambda i задовольняє V\lambda (0) = 0 м.н. Зокрема, для довiльного
T > 0, всiх 0 \leq x, y \leq T i деякої м.н. скiнченної додатної випадкової величини MT\bigm| \bigm| V\lambda (x) - V\lambda (y)
\bigm| \bigm| \leq MT | x - y| \lambda \wedge 1. (1)
Для \gamma > - \lambda визначимо випадковий процес Z\lambda ,\gamma := (Z\lambda ,\gamma (u))u\geq 0 так:
Z\lambda ,\gamma (u) :=
\int
[0, u]
(u - y)\gamma dV\lambda (y), u \geq 0, (2)
де iнтеграл iснує як потраєкторний iнтеграл Лебега – Стiльтьєса. Еквiвалентно для \gamma > - \lambda ,
\gamma \not = 0, процес Z\lambda ,\gamma задається за допомогою iнтеграла Лебега. Дiйсно, iнтегруючи частинами,
для \gamma > 0 маємо
Z\lambda ,\gamma (u) := \gamma
u\int
0
(u - y)\gamma - 1V\lambda (y)dy, u > 0, Z\lambda ,\gamma (0) := 0, (3)
а для - \lambda < \gamma < 0 —
Z\lambda ,\gamma (u) := u\gamma V\lambda (u) + | \gamma |
u\int
0
(V\lambda (u) - V\lambda (u - y))y\gamma - 1dy, u > 0, Z\lambda ,\gamma (0) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
u\rightarrow +0
Z\lambda ,\gamma (u).
(4)
Використовуючи (1), робимо висновок, що Z\lambda ,\gamma (0) = 0 м.н. для \gamma \in ( - \lambda , 0). У випадку \gamma \geq 0
збiжнiсть iнтеграла у (2), а також м.н. неперервнiсть процесiв Z\lambda ,\gamma є тривiальними. У випадку
\gamma \in ( - \lambda , 0) цi два факти випливають з леми 2.1 роботи [8].
Далi будемо вважати, що простори D i D(0,\infty ) надiленi J1-топологiєю, та позначатимемо
слабку збiжнiсть у цих просторах через
J1=\Rightarrow . Детальна iнформацiя щодо J1-топологiї мiститься
у монографiях [1, 9]. Також будемо використовувати позначення \BbbR + := [0,\infty ).
Теорема 1. Нехай \alpha , \lambda > 0, а невiд’ємна функцiя h \in D є монотонною та правильно
змiнюється на \infty з показником \beta > - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\alpha , \lambda ). Припустимо, що
a(t)N(t\cdot ) J1=\Rightarrow V\lambda (\cdot ), t\rightarrow \infty , (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
162 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
у просторi D, де функцiя a : \BbbR + \rightarrow \BbbR + не зростає i правильно змiнюється на нескiнченностi
з показником - \alpha , а також для довiльних q > 0 i довiльних 0 < a < b <\infty
t - q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
(N(ut) - N(ut - 1))
\BbbP \rightarrow 0, t\rightarrow \infty . (6)
Якщо h не спадає, то
a(t)
h(t)
X(t\cdot ) J1=\Rightarrow Z\lambda ,\beta (\cdot ), t\rightarrow \infty , (7)
у просторi D.
Якщо h не зростає, то припустимо додатково, що для всiх x > 0, t \geq 1 i k \in \BbbN 0
\BbbP
\bigl\{
a(t)(N((k + 1)t) - N(kt)) > x
\bigr\}
\leq f(x) (8)
для невiд’ємної функцiї f, що не зростає та задовольняє
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2jf(x2jc) = 0
для довiльних c > 0. Тодi граничне спiввiдношення (7) виконується у просторi D(0,\infty ).
Зауваження 1. Оскiльки для кожного t > 0 випадкова функцiя u \mapsto \rightarrow N(tu) не спадає м.н.,
а процес V\lambda є м.н. неперервним, то згiдно iз зауваженням 2.1 [16] функцiональна збiжнiсть (5)
еквiвалентна слабкiй збiжностi скiнченновимiрних розподiлiв.
Теорему 1 доведено у пунктi 2. Пункт 3 присвячено перевiрцi достатнiх умов теореми 1
для конкретних вхiдних послiдовностей (Si)i\in \BbbN 0 . Допомiжнi твердження технiчного характеру
наведено у пунктi 4.
2. Доведення теореми 1. Розпочнемо з допомiжного твердження. Для t, T > 0 введемо
позначення
At :=
\bigl\{
(u, v) \in \BbbR 2 : 0 \leq v < u \leq T, u - v \geq 1/t
\bigr\}
.
Лема 1. Нехай функцiя a задовольняє припущення теореми 1 i виконується умова (8). Тодi
для довiльного \delta \in (0, \alpha )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\biggr\}
= 0.
Доведення. Оскiльки функцiя a правильно змiнюється за припущенням, лему достатньо
довести лише для випадку T = 1. Використовуючи те, що N не спадає м.н., записуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1/t\leq h\leq 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq u\leq 1
a(t)(N(ut) - N((u - h)t))
h\alpha - \delta
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j=1,...,\lceil log2 t\rceil
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
2 - j\leq h\leq 2 - j+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq u\leq 1
a(t)(N(ut) - N((u - h)t))
h\alpha - \delta
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 163
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j=1,...,\lceil log2 t\rceil
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
2 - j\leq h\leq 2 - j+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k=1,...,2j - 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(k - 1)2 - j+1\leq u\leq k2 - j+1
a(t)(N(ut) - N((u - h)t))
h\alpha - \delta
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j=1,...,\lceil log2 t\rceil
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k=1,...,2j - 1
a(t)(N(tk2 - j+1) - N(t(k - 2)2 - j+1))
2 - j(\alpha - \delta )
.
Тут \lceil x\rceil позначає найменше цiле, що є не меншим за x \in \BbbR . За нерiвнiстю Буля
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\Biggr\}
\leq
\leq
\lceil log2 t\rceil \sum
j=1
2j - 1\sum
k=1
\BbbP
\biggl\{
a(t)(N(tk2 - j+1) - N(t(k - 2)2 - j+1))
2 - j(\alpha - \delta )
> x
\biggr\}
.
З урахуванням умови (8)
\BbbP
\biggl\{
a(t)(N(tk2 - j+1) - N(t(k - 2)2 - j+1))
2 - j(\alpha - \delta )
> x
\biggr\}
\leq
\leq \BbbP
\Bigl\{
a(t2 - j+1)(N(tk2 - j+1) - N(t(k - 1)2 - j+1)) >
a(t2 - j+1)
a(t)
2 - j(\alpha - \delta ) - 1x
\Bigr\}
+
+\BbbP
\biggl\{
a(t2 - j+1)(N(t(k - 1)2 - j+1) - N(t(k - 2)2 - j+1)) >
a(t2 - j+1)
a(t)
2 - j(\alpha - \delta ) - 1x
\biggr\}
\leq
\leq 2f
\biggl(
a(t2 - j+1)
a(t)
2 - j(\alpha - \delta ) - 1x)
\biggr)
.
Згiдно з лемою A.5 [6]
a(t2 - j+1)/a(t) \geq c2(j - 1)(\alpha - \delta /2)
для деякого c > 0, всiх t > 0 i всiх j = 1, . . . , \lceil \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 t\rceil . Тому
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\Biggr\}
\leq
[log2 t]+1\sum
j=1
2jf
\bigl(
Cx2j\delta /2
\bigr)
\leq
\sum
j\geq 1
2jf
\bigl(
Cx2j\delta /2
\bigr)
\rightarrow 0
при x\rightarrow \infty , де C := c2\delta /2 - \alpha - 1.
Лему 1 доведено.
Доведення теореми 1. 1. Випадок, коли h не спадає, в якому необхiдно \beta \geq 0. Випадковий
процес X не спадає м.н., а випадковий процес Z\alpha , \beta є неперервним м.н. У випадку \beta = 0 остан-
нє має мiсце за припущенням, оскiльки Z\alpha ,0 = V\lambda , а у випадку \beta > 0 неперервнiсть випливає
з леми A.8 (b) [5]. Тому згiдно iз зауваженням 2.1 [16], що вже згадувалося, для доведен-
ня функцiональної збiжностi у D достатньо встановити слабку збiжнiсть скiнченновимiрних
розподiлiв.
Далi вважаємо, що h(t) = 0 для t < 0. Для кожного t > 0 покладемо
V (t)(u) := a(t)N(tu), ht(u) := h(tu)/h(t), u \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
164 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
Використовуючи iнтегрування частинами, для t > 0, u \geq 0 записуємо
a(t)
h(t)
X(ut) =
a(t)
h(t)
\int
[0, u]
h(t(u - y))dyN(ty) =
= a(t)N(0)
h(tu) - h((tu) - )
h(t)
+
\int
(0, u]
V (t)(y)dy( - ht(u - y)).
Для кожного t > 0 випадковий процес X\ast t := (X\ast t (u))u\geq 0, визначений рiвнiстю
X\ast t (u) :=
\int
(0, u]
V (t)(y)dy( - ht(u - y)), u \geq 0,
має траєкторiї, що не спадають м.н. Зауважимо, що для u > 0
a(t)N(0)
h(tu) - h((tu) - )
h(t)
\leq a(t)N(0)
h(tu)
h(t)
\BbbP \rightarrow 0, t\rightarrow \infty ,
оскiльки h правильно змiнюється на \infty . При u = 0 останнє граничне спiввiдношення забез-
печується припущенням \beta > - \alpha , що гарантує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty a(t)/h(t) = 0. Отже, достатньо довести
граничну теорему для X\ast t (замiсть X ).
Зафiксуємо довiльне n \in \BbbN . Оскiльки X\ast t (0) = Z\alpha , \beta (0) = 0 м.н., достатньо довести, що
для довiльних 0 < u1 < . . . < un <\infty i довiльних \alpha 1, . . . , \alpha n \geq 0
\alpha 1X
\ast
t (u1) + . . .+ \alpha nX
\ast
t (un)
d\rightarrow \alpha 1Z\alpha , \beta (u1) + . . .+ \alpha nZ\alpha , \beta (un), t\rightarrow \infty ,
де
d\rightarrow позначає збiжнiсть за розподiлом. Для w > 0 i t > 0 визначимо мiри \nu t,w i \nu w на [0, w]
так:
\nu t,w(c, d] :=
h(t(w - c)) - h(t(w - d))
h(t)
, 0 \leq c < d \leq w,
\nu w(c, d] := (w - c)\beta - (w - d)\beta , 0 \leq c < d \leq w.
При цьому
\alpha 1X
\ast
t (u1) + . . .+ \alpha nX
\ast
t (un) = \alpha 1
\int
(0, u1]
V (t)(y)\nu t,u1(dy) + . . .+ \alpha n
\int
(0, un]
V (t)(y)\nu t,un(dy).
Припустимо, що \beta > 0. Використовуючи (5) разом з теоремою Скорохода, що гарантує iсну-
вання версiй, збiжних у D м.н., а також те, що \nu t,w
d\rightarrow \nu w при t\rightarrow \infty , отримуємо
\alpha 1X
\ast
t (u1) + . . .+ \alpha nX
\ast
t (un)
d\rightarrow \alpha 1
\int
(0, u1]
V\lambda (y)\nu u1(dy) + . . .+ \alpha n
\int
(0, un]
V\lambda (y)\nu un(dy) =
= \alpha 1Z\alpha ,\beta (u1) + . . .+ \alpha nZ\alpha ,\beta (un)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 165
за допомогою першої частини леми 5. У випадку \beta = 0 \nu t,w
d\rightarrow \delta w при t\rightarrow \infty , де \delta w позначає
розподiл, вироджений у точцi w. Мiркування, аналогiчнi до попереднiх, а також залучення
другої частини леми 5 дозволяють стверджувати, що
\alpha 1X
\ast
t (u1) + . . .+ \alpha nX
\ast
t (un)
d\rightarrow \alpha 1V\lambda (u1) + . . .+ \alpha nV\lambda (un) =
= \alpha 1Z\alpha , 0(u1) + . . .+ \alpha nZ\alpha , 0(un).
2. Випадок, коли h не зростає, в якому необхiдно \beta \leq 0. Для \varepsilon \in (0, 1) покладемо
I\varepsilon (u, t) :=
a(t)
h(t)
\sum
k\geq 0
h(ut - Sk)1\{ Sk\leq \varepsilon ut\} , u \geq 0, t > 0,
I\ast \varepsilon (u) :=
\int
[0, \varepsilon u]
(u - y)\beta dV\lambda (y), u \geq 0,
i запишемо
I\varepsilon (u, t) = a(t)
\sum
k\geq 0
\biggl(
h(ut - Sk)
h(t)
- (u - t - 1Sk)
\beta )
\biggr)
1\{ Sk\leq \varepsilon ut\} +
+a(t)
\sum
k\geq 0
(u - t - 1Sk)
\beta 1\{ Sk\leq \varepsilon ut\} =: I\varepsilon ,1(u, t) + I\varepsilon ,2(u, t).
Покажемо, що
I\varepsilon ,1(\cdot , t)
J1=\Rightarrow \Psi (\cdot ), t\rightarrow \infty , (9)
де \Psi (s) = 0 при s \geq 0, i
I\varepsilon ,2(\cdot , t)
J1=\Rightarrow I\ast \varepsilon (\cdot ), t\rightarrow \infty , (10)
а отже,
I\varepsilon (\cdot , t) = I\varepsilon ,1(\cdot , t) + I\varepsilon ,2(\cdot , t)
J1=\Rightarrow I\ast \varepsilon (\cdot ), t\rightarrow \infty .
Для додатних i скiнченних чисел a < b, t > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\leq u\leq b
| I\varepsilon ,1(u, t)| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(1 - \varepsilon )a\leq y\leq b
\bigm| \bigm| \bigm| h(ty)
h(t)
- y\beta
\bigm| \bigm| \bigm| a(t)N(\varepsilon bt) м.н.
Формула (5) гарантує виконання спiввiдношення a(t)N(\varepsilon bt)
d\rightarrow V\lambda (\varepsilon b) при t\rightarrow \infty . Отже, згiдно
з теоремою про рiвномiрну збiжнiсть для функцiй, що правильно змiнюються (теорема 1.5.2
[2]), права частина останньої центрованої нерiвностi збiгається до 0 за ймовiрнiстю при t \rightarrow
\rightarrow \infty , що доводить (9). Спiввiдношення (10) випливає з леми A.2 [6], що є детермiнованим
результатом. Щоб ним скористатися, достатньо стандартних мiркувань: слабка збiжнiсть (5) та
факт, що граничний процес у (5) є м.н. неперервним, гарантують, згiдно з теоремою Скорохода,
iснування версiй процесiв у (5), що збiгаються локально рiвномiрно з iмовiрнiстю 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
166 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
Тепер покажемо, що для будь-якого фiксованого u \geq 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 1 -
I\ast \varepsilon (u) = Z\alpha , \beta (u) м.н. (11)
Дiйсно,
0 \leq
\int
[0, u]
(u - y)\beta dV\lambda (y) -
\int
[0, \varepsilon u]
(u - y)\beta dV\lambda (y) =
\int
(\varepsilon u, u]
(u - y)\beta dV\lambda (y).
Враховуючи м.н. скiнченнiсть Z\alpha ,\beta (u) для всiх u \geq 0, переконуємося, що права частина збi-
гається до 0 м.н. при \varepsilon \rightarrow 1 - за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть. Отже, (11)
виконується.
Згiдно з теоремою 3.2 [1], враховуючи (11), для отримання (7) достатньо довести, що для
довiльних \theta > 0 i довiльних 0 < a < b <\infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 1 -
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
\biggl(
a(t)
h(t)
X(ut) - I\varepsilon (u, t))
\biggr)
> \theta
\biggr\}
= 0,
або у розгорнутому виглядi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 1 -
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\left\{ a(t)
h(t)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
\sum
k\geq 0
h(ut - Sk)1\{ \varepsilon ut<Sk\leq ut\} > \theta
\right\} = 0.
Зафiксуємо \Delta \in (0, (\alpha + \beta )/2). За нерiвнiстю Поттера для функцiй, що правильно змiнюються
на \infty (теорема 1.5.6 [2]), iснує таке c > 1, що
h(t(u - y))
h(t)
\leq 2(u - y)\beta - \Delta
для всiх додатних t, u, y, що задовольняють t(u - y) \geq c й u - y \leq 1. Тому для достатньо
великих t, u \in [a, b], \varepsilon > 0, що задовольняють нерiвнiсть (1 - \varepsilon )b \leq 1,
a(t)
h(t)
\sum
k\geq 0
h(ut - Sk)1\{ \varepsilon ut<Sk\leq ut\} =
=
a(t)
h(t)
\int
(\varepsilon u, u - c/t]
h(t(u - y))dyN(ty) +
a(t)
h(t)
\int
(u - c/t, u]
h(t(u - y))dyN(ty) \leq
\leq 2a(t)
\int
(\varepsilon u, u - c/t]
(u - y)\beta - \Delta dyN(ty) +
a(t)
h(t)
h(0)(N(tu) - N(tu - c)) =
= 2( - \beta +\Delta )
u - c/t\int
\varepsilon u
a(t)(N(tu) - N(ty))(u - y)\beta - \Delta - 1dy+
+2u\beta - \Delta (1 - \varepsilon )\beta - \Delta a(t)(N(tu) - N(\varepsilon tu))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 167
+
\biggl(
a(t)
h(t)
h(0) - 2c\beta - \Delta t - \beta +\Delta a(t))
\biggr)
(N(tu) - N(tu - c)) =:
=: I1(u, t) + I2(u, t) + I3(u, t).
Маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\Biggl\{
2(1 - \varepsilon )\beta - \Delta \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
u\beta - \Delta a(t)(N(tu) - N(\varepsilon tu)) > \theta
\Biggr\}
=
= \BbbP
\Biggl\{
2(1 - \varepsilon )\beta - \Delta \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
u\beta - \Delta (V\lambda (u) - V\lambda (\varepsilon u)) > \theta
\Biggr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
2(1 - \varepsilon )\alpha +\beta - \Delta b\alpha +\beta - \Delta Mb > \theta
\bigr\}
,
де рiвнiсть є наслiдком (5) i теореми про неперервне вiдображення з урахуванням того, що
супремум функцiонал є неперервним у J1-топологiї, а нерiвнiсть випливає з (1). Хоча важ-
ко уявити, що розподiл \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\in [a, b] u
\beta - \Delta (V\lambda (u) - V\lambda (\varepsilon u)) може мати дискретну компоненту.
Зазначимо, що якщо це так, то останнi центрованi формули виконуються для \theta , що є точка-
ми неперервностi розподiлу \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\in [a, b] u
\beta - \Delta (V\lambda (u) - V\lambda (\varepsilon u)), i, як наслiдок, для всiх \theta > 0.
Нарештi, оскiльки \alpha + \beta - \Delta > 0, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 1 -
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
I2(u, t) > \theta
\Biggr\}
= 0.
Далi внаслiдок (6) i того, що функцiї t \mapsto \rightarrow a(t)/h(t) i t \mapsto \rightarrow t - \beta +\Delta a(t) правильно змiнюються на
\infty з вiд’ємними показниками - \alpha - \beta й - \alpha - \beta +\Delta вiдповiдно, маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
I3(u, t) > \theta
\Biggr\}
= 0.
Для завершення доведення достатньо встановити, що для довiльних \theta > 0 i довiльних T > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 1 -
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [0, T ]
u - c/t\int
\varepsilon u
a(t)(N(tu) - N(ty))(u - y)\beta - \Delta - 1dy > \theta
\right\} = 0. (12)
Для 0 < \delta < \alpha + \beta - \Delta й x > 0, використовуючи позначення At, введене у лемi 1, записуємо
\BbbP
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [0,T ]
u - c/t\int
\varepsilon u
a(t)(N(tu) - N(ty))(u - y)\beta - \Delta - 1dy > \theta
\right\} =
= \BbbP
\biggl\{
. . . , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\biggr\}
+
+\BbbP
\Biggl\{
. . . , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
\leq x
\Biggr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
168 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
\leq \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\Biggr\}
+
+\BbbP
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [0, T ]
u\int
\varepsilon u
(u - y)\alpha +\beta - \Delta - \delta - 1dy > \theta /x
\right\} =
= \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(u,v)\in At
a(t)(N(ut) - N(vt))
(u - v)\alpha - \delta
> x
\Biggr\}
+ \BbbP
\left\{
(1 - \varepsilon )T\int
0
y\alpha +\beta - \Delta - \delta - 1dy > \theta /x
\right\} .
При \varepsilon \rightarrow 1 - другий доданок прямує до 0. Тому з урахуванням леми 1 i того, що лiва частина
не залежить вiд x, спiввiдношення (12) виконується.
Теорему 1 доведено.
3. Приклади застосування теореми 1. У цьому пунктi ми наведемо приклади конкрет-
них вхiдних послiдовностей (Sk)k\in \BbbN 0 , якi задовольняють достатнi умови теореми 1, а також
вкажемо вiдповiднi граничнi теореми.
1. Стандартне випадкове блукання. Нехай \xi 1, \xi 2, . . . — незалежнi копiї додатної випадко-
вої величини \xi . Випадкова послiдовнiсть (Sk)k\in \BbbN 0 , що задається так: S0 := 0 i Sk := \xi 1+. . .+\xi k
для k \in \BbbN , називається (затриманим у нулi) стандартним випадковим блуканням.
Позначимо через N = (N(t))t\geq 0 лiчильний процес для стандартного випадкового блукання.
Згiдно з лемою A.1 [5] так визначений процес задовольняє спiввiдношення (6). Припустимо,
що \BbbP \{ \xi > t\} \sim t - \alpha \ell (t) при t \rightarrow \infty для деякого \alpha \in (0, 1) i функцiї \ell , що повiльно змi-
нюється на нескiнченностi. З огляду на теорему 3.2 [10] (де встановлено слабку збiжнiсть
скiнченновимiрних розподiлiв) та зауваження 2.1 [16] робимо висновок, що
\BbbP \{ \xi > t\} N(t\cdot ) J1=\Rightarrow W\alpha (\cdot ), t\rightarrow \infty ,
де W\alpha := (W\alpha (u))u\geq 0 — обернений \alpha -стiйкий субординатор. Це означає, що
W\alpha (u) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
s \geq 0 : D\alpha (s) > u
\bigr\}
, u \geq 0,
де (D\alpha (t))t\geq 0 — \alpha -стiйкий субординатор з - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbE e - sD\alpha (1) = \Gamma (1 - \alpha )s\alpha , s \geq 0, а \Gamma (\cdot ) —
гамма-функцiя. Згiдно з лемою 3.4 [11] процес W\alpha є м.н. локально неперервним за Гьольдером
з показником меншим за \alpha . Отже, V\lambda = W\alpha задовольняє умову (1) з \lambda < \alpha . Використовуючи
субадитивнiсть за розподiлом N i нерiвнiсть Маркова, для всiх x > 0, t \geq 1 i k \in \BbbN 0 записуємо
\BbbP
\bigl\{
a(t)(N((k + 1)t) - N(kt)) > x
\bigr\}
\leq \BbbP
\bigl\{
a(t)N(t) > x
\bigr\}
\leq
\leq e - x\BbbE ea(t)N(t) \leq Ce - x =: f(x),
де стала C := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq 1 \BbbE ea(t)N(t) є скiнченною за лемою A.4 [6]. Далi для c > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2jf(x2jc) = C \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2je - x2
jc
= 0,
оскiльки останнiй ряд збiгається рiвномiрно по x \geq 1. Отже, умова (8) виконується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 169
Тому, використовуючи теорему 1 з a(t) = \BbbP \{ \xi > t\} , V\lambda = W\alpha i h, що задовольняє умови
теореми, отримуємо
\BbbP \{ \xi > t\}
h(t)
X(t\cdot ) J1=\Rightarrow
\int
[0, \cdot ]
(\cdot - y)\beta dW\alpha (y), t\rightarrow \infty ,
у просторi D, якщо h не спадає, й у просторi D(0,\infty ), якщо h не зростає. Останнє граничне
спiввiдношення встановлено у теоремi 2.1 [6].
2. Процес вiдновлення зi змiненим часом. 2.1. Нехай \alpha \in (0, 1], а послiдовнiсть (Sk)k\in \BbbN 0
задається так:
S0 := 0, Sk := ((\xi 1 + . . .+ \xi k)/\eta )
1/\alpha , k \in \BbbN ,
де \eta — додатна випадкова величина, що не залежить вiд невiд’ємних незалежних та однаково
розподiлених випадкових величин \xi 1, \xi 2, . . . . При цьому N(t) = N\ast (t\alpha \eta ) для t \geq 0, де
(N\ast (t))t\geq 0 — лiчильний процес для затриманого в нулi стандартного випадкового блукання зi
стрибками \xi k.
Далi припускаємо, що \mu := \BbbE \xi 1 < \infty i \BbbE es\eta < \infty для деякого s у правому околi нуля. За
посиленим законом великих чисел для процесiв вiдновлення разом з лемою Дiнi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [0, T ]
\bigm| \bigm| \bigm| t - \alpha N(ut) - \mu - 1\eta u\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| = 0 м.н.
для всiх T > 0. Отже, виконується спiввiдношення (5) з a(t) = t - \alpha i V\alpha (u) = \mu - 1\eta u\alpha для
u \geq 0. Внаслiдок субадитивностi функцiї x \mapsto \rightarrow x\alpha на [0,\infty ) випадковий процес V\alpha є м.н.
локально неперервним за Гьольдером з показником \alpha . Зокрема, нерiвнiсть (1) виконується з
MT = \mu - 1\eta . Для довiльних q > 0, 0 < a < b <\infty i великих t записуємо
t - q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
(N(ut) - N(ut - 1)) =
= t - q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
(N\ast ((ut)\alpha \eta ) - N\ast ((ut - 1)\alpha \eta )) \leq
\leq t - q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
(N\ast ((u\eta 1/\alpha t)\alpha ) - N\ast ((u\eta 1/\alpha t)\alpha - \eta )).
Згiдно з лемою А.1 [5] для довiльного x > 0
t - q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [a, b]
\bigl(
N\ast ((uxt)\alpha ) - N\ast ((uxt)\alpha - x\alpha )
\bigr) \BbbP \rightarrow 0, t\rightarrow \infty .
Тому за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть спiввiдношення (6) виконується для про-
цесу (N(t))t\geq 0, визначеного у цьому пунктi.
Використовуючи субадитивнiсть за розподiлом N\ast та субадитивнiсть x \mapsto \rightarrow x\alpha на [0,\infty ),
для всiх x > 0, t \geq 1 i k \in \BbbN 0 записуємо
\BbbP
\bigl\{
a(t)(N((k + 1)t) - N(kt)) > x
\bigr\}
=
= \BbbP
\bigl\{
a(t)(N\ast (((k + 1)t)\alpha \eta ) - N\ast ((kt)\alpha \eta )) > x
\bigr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
170 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
\leq \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ((k + 1)\alpha - k\alpha )) > x
\bigr\}
\leq \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ) > x
\bigr\}
.
Нехай
\surd
xt\alpha > 1. Cубадитивнiсть за розподiлом N\ast гарантує, що для довiльних n \in \BbbN i
y > 0
\BbbP
\bigl\{
N\ast (n) > y
\bigr\}
\leq \BbbP
\bigl\{
N\ast 1 (1) + . . .+N\ast n(1) > y
\bigr\}
, (13)
де N\ast 1 (1), N\ast 2 (1), . . . — незалежнi копiї N\ast (1). Як наслiдок, для довiльних s \in
\in (0, - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbP \{ \xi 1 = 0\} ) ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 0 iнтерпретується як +\infty )
\BbbE esN
\ast (n)/n \leq \BbbE es(N
\ast
1 (1)+...+N\ast n(1))/n = \BbbE esN
\ast (1) <\infty ,
при цьому скiнченнiсть забезпечується теоремою 2.1(c) [7]. Для довiльного r > 1 знайдеться
таке число n \in \BbbN , що r \in (n - 1, n]. Оскiльки процес N\ast не спадає м.н., то
N\ast (r)/r \leq N\ast (n)/(n - 1) \leq 2N\ast (n)/n м.н.,
i, отже, \BbbE evN\ast (r)/r \leq \BbbE e2vN\ast (1) <\infty для v \in (0, - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbP \{ \xi 1 = 0\} /2). За нерiвнiстю Маркова
\BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ) > x
\bigr\}
=
= \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ) > x, \eta >
\surd
x
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ) > x, \eta \leq
\surd
x
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
\eta >
\surd
x
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
N\ast (
\surd
xt\alpha )/(
\surd
xt\alpha ) >
\surd
x
\bigr\}
\leq
\leq \BbbE es\eta e - s
\surd
x + \BbbE evN
\ast (
\surd
xt\alpha )/(
\surd
xt\alpha )e - v
\surd
x \leq
\leq C1e
- s
\surd
x + C2e
- v
\surd
x =: f1(x),
де C1 := \BbbE es\eta <\infty , C2 := \BbbE e2vN\ast (1) <\infty . Таким чином, для c > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2jf1(x2
jc) = C1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2je - s
\surd
x2jc/2 + C2 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2je - v
\surd
x2jc/2 = 0,
оскiльки ряди збiгаються рiвномiрно по x \geq 1.
Нехай
\surd
xt\alpha \leq 1. За нерiвнiстю Маркова при t \geq 1
\BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (\eta t\alpha ) > x
\bigr\}
\leq \BbbP
\bigl\{
\eta >
\surd
x
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
N\ast (
\surd
xt\alpha ) > xt\alpha
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
\eta >
\surd
x
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
N\ast (1) > x
\bigr\}
\leq C1e
- s
\surd
x + C3e
- vx =: f2(x),
де C3 := \BbbE evN\ast (1) <\infty . Отже, для c > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2jf2(x2
jc) = 0.
Таким чином, ми перевiрили, що умова (8) виконується з f := f1 + f2.
За теоремою 1 з a(t) = t - \alpha , V\alpha (u) = \mu - 1\eta u\alpha , u \geq 0, i функцiєю h, що задовольняє умови
теореми,
1
t\alpha h(t)
X(t\cdot ) J1=\Rightarrow \mu - 1\alpha \mathrm{B}(\alpha , \beta + 1)\eta (\cdot )\alpha +\beta , t\rightarrow \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 171
де \mathrm{B}(\cdot , \cdot ) — бета-функцiя, у просторi D, якщо h не спадає, й у просторi D(0,\infty ), якщо h не
зростає.
2.2. Нехай тепер \eta 1, \eta 2, . . . — незалежнi копiї \eta , що не залежать вiд \xi 1, \xi 2, . . . . Для \tau \in (0, 1]
покладемо
S\ast 0 = T0 := 0, S\ast n := \xi 1 + . . .+ \xi n, Tn := \eta 1 + . . .+ \eta n, n \in \BbbN ,
S0 := 0, Sn := T\lfloor (S\ast n)1/\tau \rfloor , n \in \BbbN . (14)
При цьому N(t) = N\ast (N \tau
1 (t)) для t \in \BbbR , де N1(t) :=
\sum
n\geq 1
1\{ Tn\leq t\} , t \in \BbbR (зрозумiло, що
N1(t) = 0 для t \leq 0). Дiйсно, використовуючи позначення \lfloor x\rfloor для цiлої частини x \in \BbbR , маємо\bigl\{
T\lfloor (S\ast n)1/\tau \rfloor \leq t
\bigr\}
=
\bigl\{
N1(t) + 1 > \lfloor (S\ast n)1/\tau \rfloor
\bigr\}
=
\bigl\{
N1(t) \geq (S\ast n)
1/\tau
\bigr\}
= \{ S\ast n \leq N \tau
1 (t)\} ,
i, отже, N(t) =
\sum
n\geq 0
1\{ Sn\leq t\} =
\sum
n\geq 0
1\{ S\ast n\leq N\tau
1 (t)\} = N\ast (N \tau
1 (t)). Зазначимо, що за умови,
що \xi 1 має показниковий розподiл, так визначений процес (N(t))t\geq 0 є окремим прикладом
процесу Кокса (iнша назва — двiчi стохастичний процес Пуассона).
Припустимо, як i ранiше, що \mu = \BbbE \xi 1 \in (0,\infty ), а також, що \BbbP \{ \eta 1 > t\} \sim t - \rho \ell (t) при
t\rightarrow \infty для \rho \in (0, 1) i \ell , що повiльно змiнюється на нескiнченностi. Тодi\bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
N \tau
1 (t\cdot )
J1=\Rightarrow W \tau
\rho (\cdot ), t\rightarrow \infty ,
де W\rho — обернений \rho -стiйкий субординатор (див. пункт, присвячений стандартним випадковим
блуканням). Використовуючи посилений закон великих чисел для N\ast та лему 4, отримуємо\bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
N\ast (N \tau
1 (t\cdot ))
J1=\Rightarrow \mu - 1W \tau
\rho (\cdot ), t\rightarrow \infty .
Таким чином, спiввiдношення (5) виконується з \alpha = \rho \tau , a(t) =
\bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
та V\lambda = \mu - 1W \tau
\rho .
Покажемо, що в якостi \lambda можна взяти додатне число, менше за \rho \tau . Для довiльного T > 0
i довiльних 0 \leq x, y \leq T, враховуючи субадитивнiсть x\rightarrow x\tau на [0,\infty ), записуємо\bigm| \bigm| W \tau
\rho (x) - W \tau
\rho (y)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| W\rho (x) - W\rho (y)
\bigm| \bigm| \tau \leq M \tau
T | x - y| \lambda 1\tau ,
де \lambda 1 \in (0, \rho ). Умови (6) i (8) виконуються для (N(t))t\geq 0 за лемами 2 i 3 вiдповiдно.
За теоремою 1 з \alpha = \rho \tau , a(t) =
\bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
, V\lambda = \mu - 1W \tau
\rho i функцiєю h, що задовольняє
умови теореми, \bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
h(t)
X(t\cdot ) J1=\Rightarrow \mu - 1
\int
[0, \cdot ]
(\cdot - y)\beta dW \tau
\rho (y), t\rightarrow \infty ,
у просторi D, якщо h не спадає, й у просторi D(0,\infty ), якщо h не зростає.
2.3. У цьому прикладi вважаємо, що точки (Sn)n\in \BbbN задаються (14) з \tau = 1, при цьому
величини \xi 1 i \eta 1 можуть бути залежними. Припустимо, що \BbbP \{ \xi 1 > x\} \sim c1x
- \rho 1 i \BbbP \{ \eta 1 >
> x\} \sim c2x
- \rho 2 при x \rightarrow \infty для додатних c1, c2 i \rho 1, \rho 2 \in (0, 1). Зокрема, це означає, що для
x1, x2 > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
t\BbbP
\bigl\{
\xi 1 > (c1t)
1/\rho 1x1
\bigr\}
= x - \rho 11 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
t\BbbP
\bigl\{
\eta 1 > (c2t)
1/\rho 2x2
\bigr\}
= x - \rho 22 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
172 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
Для контролю асимптотики спiльного розподiлу \xi 1 i \eta 1 припустимо, що для x1, x2 > 0 iснує
границя
f(x1, x2) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
t\BbbP
\bigl\{
\xi 1 > (c1t)
1/\rho 1x1, \eta 1 > (c2t)
1/\rho 2x2
\bigr\}
,
i, отже, iснує мiра \nu , визначена на множинi \BbbK := [0,\infty ]2\setminus \{ (0, 0)\} , що задається так:
\nu
\bigl\{
(u, v) \in \BbbK : u > x1 або v > x2
\bigr\}
= x - \rho 11 + x - \rho 22 - f(x1, x2), x1, x2 > 0.
Мiра \nu (i, отже, функцiя f ) не може бути довiльною: ми припускаємо, що вона задовольняє\int
| x| \not =0
(| \bfx | \wedge 1)\nu (d\bfx ) <\infty , (15)
де | \bfx | =
\sqrt{}
x21 + x22 для x = (x1, x2) \in \BbbR 2.
Позначимо через \scrM :=
\sum
k
\delta (tk,jk) пуассонiвську випадкову мiру на [0,\infty ) \times \BbbK з мiрою
iнтенсивностi \mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{B}\otimes \nu . Тут \delta (t,x) — ймовiрнiсна мiра, зосереджена у точцi (t,\bfx ) \in [0,\infty )\times \BbbK ,
а LEB позначає мiру Лебега на [0,\infty ). Покладемо
\bfL (t) := (L1(t), L2(t)) =
\sum
k:tk\leq t
\bfj k, t > 0.
Умова (15) гарантує збiжнiсть останнього ряду з iмовiрнiстю 1. Випадковий процес \bfL є двови-
мiрним процесом Левi з мiрою Левi \nu . Його координати L1 i L2 є (залежними, окрiм випадку,
коли f \equiv 0) стiйкими субординаторами без зносу з параметрами \rho 1 i \rho 2 вiдповiдно. Позна-
чимо через L\leftarrow 1 i L\leftarrow 2 вiдповiднi оберненi \rho 1- i \rho 2-стiйкi субординатори. Згiдно з лемою 6.1
[13, с. 174]
t\BbbP
\biggl\{ \biggl(
\xi 1
(c1t)1/\rho 1
,
\eta 1
(c2t)1/\rho 2
\biggr)
\in \cdot
\biggr\}
v\rightarrow \nu (\cdot ), t\rightarrow \infty ,
де
v\rightarrow позначає грубу збiжнiсть на множинi локально скiнченних мiр на \BbbK . Тому за теоре-
мою 4 [14] \left(
\sum [t\cdot ]
k=1
\xi k
(c1t)1/\rho 1
,
\sum [t\cdot ]
j=1
\eta j
(c2t)1/\rho 2
\right) \Rightarrow \bfL (\cdot ), t\rightarrow \infty , (16)
у J1-топологiї на D \times D.
Покажемо, що звiдси випливає спiввiдношення\biggl(
N\ast (t\cdot )
c - 11 t\rho 1
,
N1(t\cdot )
c - 12 t\rho 2
\biggr)
\Rightarrow
\bigl(
L\leftarrow 1 (\cdot ), L\leftarrow 2 (\cdot )
\bigr)
, t\rightarrow \infty , (17)
у продакт J1-топологiї на D \times D. Дiйсно, слабка збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв у
(17) еквiвалентна слабкiй збiжностi скiнченновимiрних розподiлiв у (16). Щiльнiсть розподiлiв
координат у лiвiй частинi (17) випливає з зауваження 2.1 [16] з урахуванням того, що координати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 173
є випадковими процесами, що м.н. не спадають, та того, що граничнi процеси L\leftarrow 1 i L\leftarrow 2 є м.н.
неперервними. Застосовуючи лему 4 до (17), отримуємо
t - \rho 1\rho 2N\ast (N1(t\cdot ))
J1=\Rightarrow c - 11 c - \rho 22 L\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (\cdot )), t\rightarrow \infty .
Отже, виконується спiввiдношення (5) з \alpha = \rho 1\rho 2, a(t) = t - \rho 1\rho 2 i V\lambda (u) = c - 11 c - \rho 22 L\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (u))
для u \geq 0.
При перевiрцi iнших умов теореми 1 будемо вважати, що величини \xi 1 i \eta 1 є незалежними.
Покажемо, що в якостi \lambda можна взяти додатне число, менше за \rho 1\rho 2. Згiдно з iнформацiєю,
наведеною у пунктi 1, для довiльного \lambda i \in (0, \rho i), довiльного T > 0, всiх 0 \leq x, y \leq T i деяких
м.н. скiнченних додатних випадкових величин M
(i)
T (що залежать вiд \lambda i)
\bigm| \bigm| L\leftarrow i (x) - L\leftarrow i (y)
\bigm| \bigm| \leq
\leq M
(i)
T | x - y| \lambda i , i = 1, 2. Тому для таких же x i y\bigm| \bigm| L\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (x)) - L\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (y))
\bigm| \bigm| \leq M
(1)
L\leftarrow 2 (T )
\bigm| \bigm| L\leftarrow 2 (x) - L\leftarrow 2 (y)
\bigm| \bigm| \lambda 1 \leq M
(1)
L\leftarrow 2 (T )(M
(2)
T )\lambda 1 | x - y| \lambda 1\lambda 2 .
Внаслiдок незалежностi L\leftarrow 1 , L
\leftarrow
2 i самоподiбностi L\leftarrow 1 з показником \rho 1 випадкова величина
M
(1)
L\leftarrow 2 (T ) має той самий розподiл, що i M (1)
1 (L\leftarrow 2 (T ))\rho 1 - \lambda 1 , а отже, є м.н. скiнченною.
Умови (6) i (8) виконуються для (N(t))t\geq 0 за лемами 2 i 3 вiдповiдно. Таким чином, за
теоремою 1 з \alpha = \rho 1\rho 2, a(t) = t - \rho 1\rho 2 , V\lambda (u) = c - 11 c - \rho 22 L\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (u)) для u \geq 0 i функцiєю h,
що задовольняє умови теореми,
t - \rho 1\rho 2
h(t)
X(t\cdot ) J1=\Rightarrow c - 11 c - \rho 22
\int
[0, \cdot ]
(\cdot - y)\beta dL\leftarrow 1 (L\leftarrow 2 (y)), t\rightarrow \infty ,
у просторi D, якщо h не спадає, й у просторi D(0,\infty ), якщо h не зростає.
4. Допомiжнi твердження.
Лема 2. За умов пп. 2.2 та 2.3 пункту 3 випадковi процеси (N(t))t\geq 0 задовольняють
умову (6).
Доведення. Мiркування, наведенi нижче, застосовнi як для процесу (N(t))t\geq 0, що фiгурує
у пп. 2.2, так i для процесу, що фiгурує у пп. 2.3. Принциповим припущенням є незалежнiсть
\xi 1, \eta 1 i, як наслiдок, незалежнiсть N\ast i N1.
Для довiльних 0 < a < b <\infty i t > 0 виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in [at, bt]
\bigl(
N\ast (N \tau
1 (u)) - N\ast (N \tau
1 (u - 1))
\bigr)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ R(t), Z(t)\} \leq R(t) + Z(t),
де
R(t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
at\leq Tk\leq bt
\bigl(
N\ast (N \tau
1 (Tk)) - N\ast (N \tau
1 (Tk - 1))
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\leq N1(bt)
\bigl(
N\ast (N \tau
1 (Tk)) - N\ast (N \tau
1 (Tk - 1))
\bigr)
,
Z(t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
at\leq Tk\leq bt
\bigl(
N\ast (N \tau
1 (Tk + 1)) - N\ast (N \tau
1 (Tk))
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\leq N1(bt)
\bigl(
N\ast (N \tau
1 (Tk + 1)) - N\ast (N \tau
1 (Tk))
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
174 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
Припущення \BbbE \eta = \infty разом зi слабким законом великих чисел гарантує, що для довiльного
\delta > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
= 0.
Виберемо a \in
\bigl(
0, - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbP \{ \xi = 0\}
\bigr)
i зазначимо, що c := \BbbE eaN\ast (1) < \infty за теоремою 2.1 (c) [7].
Далi, використовуючи (13), для кожного n \in \BbbN маємо \BbbE eaN\ast (n) \leq cn. Тому, оскiльки N\ast i N1
є незалежними,
\BbbE eaN
\ast (1+N1(1)) \leq \BbbE c1+N1(1) <\infty ,
при цьому скiнченнiсть забезпечується теоремою 2.1 (b) [7] (нагадаємо, що за припущенням
\eta > 0 м.н.). Аналогiчно
\BbbE eaN
\ast (N1(1)) = \BbbE eaN
\ast (N1(1))1\{ N1(1)\geq 1\} + \BbbE eaN
\ast (N1(1))1\{ N1(1)=0\} \leq \BbbE cN1(1) + \BbbE eaN
\ast (0) <\infty .
Використовуючи незалежнiсть N\ast i N1, субадитивнiсть за розподiлом i монотоннiсть N\ast ,
субадитивнiсть x\rightarrow x\tau на [0,\infty ) та нерiвнiсть Маркова, для довiльних додатних q, \varepsilon i \delta маємо
\BbbP
\bigl\{
R(t) > \varepsilon tq
\bigr\}
= \BbbP
\bigl\{
R(t) > \varepsilon tq, N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
R(t) > \varepsilon tq, N1(bt) \leq \delta t
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP \{ N1(bt) > \delta t\} + \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\leq \lfloor \delta t\rfloor
(N\ast (N \tau
1 (Tk)) - N\ast (N \tau
1 (Tk - 1))) > \varepsilon tq
\Biggr\}
\leq
\leq \BbbP \{ N1(bt) > \delta t\} +
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\bigl\{
N\ast ((N1(Tk) - N1(Tk - 1))\tau ) > \varepsilon tq
\bigr\}
=
= \BbbP \{ N1(bt) > \delta t\} +
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\Biggl\{
N\ast
\Biggl( \Biggl(
1 +
k - 1\sum
i=1
1\{ Tk - Ti<1\}
\Biggr) \tau \Biggr)
> \varepsilon tq
\Biggr\}
=
= \BbbP \{ N1(bt) > \delta t\} +
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\Biggl\{
N\ast
\Biggl( \Biggl(
1 +
k - 1\sum
i=1
1\{ Ti<1\}
\Biggr) \tau \Biggr)
> \varepsilon tq
\Biggr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\bigl\{
N\ast ((1 +N1(1))
\tau ) > \varepsilon tq
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+ (\delta t+ 1)e - a\varepsilon t
q
\BbbE eaN
\ast (1+N1(1)).
Отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\bigl\{
R(t) > \varepsilon tq
\bigr\}
= 0.
Мiркуючи аналогiчно, для довiльних додатних q, \varepsilon i \delta отримуємо
\BbbP
\bigl\{
Z(t) > \varepsilon tq
\bigr\}
= \BbbP
\bigl\{
Z(t) > \varepsilon tq, N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+ \BbbP
\bigl\{
Z(t) > \varepsilon tq, N1(bt) \leq \delta t
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+ \BbbP
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\leq \delta t
(N\ast (N \tau
1 (Tk + 1)) - N\ast (N \tau
1 (Tk))) > \varepsilon tq
\Biggr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 175
\leq \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\bigl\{
N\ast ((N1(Tk + 1) +N1(Tk))
\tau ) > \varepsilon tq
\bigr\}
=
= \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
+
\lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\left\{ N\ast
\left( \left( \sum
i\geq 1
1\{ Tk<Tk+i\leq Tk+1\} )
\right) \tau \right) > \varepsilon tq\}
\right\} =
= \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\} \lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\left\{ N\ast
\left( \left( \sum
i\geq 1
1\{ Tk+i - Tk\leq 1\}
\right) \tau \right) > \varepsilon tq
\right\} =
= \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\} \lfloor \delta t\rfloor \sum
k=0
\BbbP
\bigl\{
N\ast (N \tau
1 (1)) > \varepsilon tq
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
N1(bt) > \delta t
\bigr\}
(\delta t+ 1)e - a\varepsilon t
q
\BbbE eaN
\ast (N1(1)).
Звiдси випливає виконання спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\BbbP
\bigl\{
Z(t) > \varepsilon tq
\bigr\}
= 0.
Таким чином, процеси (N(t))t\geq 0 дiйсно задовольняють умову (6).
Лему 2 доведено.
Лема 3. За умов пп. 2.2 i 2.3 пункту 3 випадковi процеси (N(t))t\geq 0 задовольняють умо-
ву (8).
Доведення. Перший крок доведення розiб’ємо на двi частини, що вiдповiдають припущен-
ням пп. 2.2 i 2.3 вiдповiдно, а другий крок буде спiльним.
Крок 1, метою якого є встановлення обмеженостi певних експоненцiйних моментiв, що
будуть визначенi нижче.
Нехай виконано припущення пп. 2.2. Нагадаємо, що a(t) =
\bigl(
\BbbP \{ \eta 1 > t\}
\bigr) \tau
i \phi (s) :=
:= \BbbE esN\ast (1) < \infty для s \in (0, - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbP \{ \xi = 0\} ) (див. теорему 2.1(с) [7]). Зокрема, \BbbE N\ast (1) < \infty .
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \phi (s) \sim \phi (s) - 1 \sim \BbbE N\ast (1)s при s \rightarrow 0+, для вибраного \varepsilon > 0 знайдеться та-
ке значення s0 > 0, що \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \phi (s) \leq (\BbbE N\ast (1) + \varepsilon )s для всiх s \in (0, s0]. Виберемо будь-яке
b > 0, що задовольняє ba(1) \leq s0, i покажемо, що C\ast := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq 1 \BbbE eba(t)N
\ast (M\tau
1 (t)) < \infty , де
M1(t) := N1(t) + 1 для t \geq 0.
Використовуючи (13), для t \geq 1маємо
\BbbE
\Bigl[
eba(t)N
\ast (M\tau
1 (t))
\bigm| \bigm| \bigm| M1(t)
\Bigr]
\leq \BbbE
\Bigl[
e
ba(t)(N\ast 1 (1)+...+N\ast \lceil M\tau
1 (t)\rceil (1))
\bigm| \bigm| \bigm| M1(t)
\Bigr]
= elog \phi (ba(t))\lceil M
\tau
1 (t)\rceil .
Тому для \varepsilon > 0, вибраного вище, i довiльного t \geq 1
\BbbE
\Bigl[
eba(t)N
\ast (\lceil M\tau
1 (t)\rceil )
\bigm| \bigm| \bigm| M1(t)
\Bigr]
\leq e(\BbbE N
\ast (1)+\varepsilon )ba(t)\lceil M\tau
1 (t)\rceil .
Оскiльки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 1
\BbbE e(\BbbE N
\ast (1)+\varepsilon )ba(t)\lceil M\tau
1 (t)\rceil 1\{ a(t)\lceil M\tau
1 (t)\rceil >1\} \leq
\leq \BbbE e(\BbbE N
\ast (1)+\varepsilon )ba(1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 1
\BbbE e(\BbbE N
\ast (1)+\varepsilon )b\BbbP \{ \eta 1>t\} M1(t) <\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
176 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
де скiнченнiсть забезпечується лемою А.4 [6], то C\ast <\infty .
Нехай виконано припущення пп. 2.3. Нагадаємо, що a(t) = t - \rho 1\rho 2 . Покладемо \psi (s) :=
:= \BbbE e - s\xi i \varphi (s) := \BbbE e - s\eta для s \geq 0. Маємо \BbbE [e - sSn | S\ast n] = \varphi \lfloor S
\ast
n\rfloor (s) \leq \varphi S\ast n - 1(s) i, отже,
\BbbE e - sSn \leq \psi n( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s))/\varphi (s). У цьому випадку виберемо будь-яке b \in (0, - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\BbbP \{ \xi = 0\} /2)
i покажемо, що C\ast := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq 1 \BbbE eba(t)N
\ast (M1(t)) <\infty .
Для додатних s, що задовольняють нерiвнiсть e2ba(t)\psi ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s)) < 1, iз застосуванням
нерiвностi Маркова отримуємо
\BbbE e2ba(t)N(t) - 1 =
\bigl(
1 - e - 2ba(t)
\bigr) \sum
k\geq 1
e2ba(t)k\BbbP \{ N(t) \geq k\} =
=
\bigl(
1 - e - 2ba(t)
\bigr) \sum
k\geq 1
e2ba(t)k\BbbP \{ Sk - 1 \leq t\} \leq
\leq est
\bigl(
e2ba(t) - 1
\bigr) \sum
k\geq 0
e2ba(t)k\psi k( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s)) =
est
\bigl(
e2ba(t) - 1
\bigr)
1 - e2ba(t)\psi ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s))
.
Згiдно з наслiдком 8.1.7 [2] 1 - \psi (s) \sim c1\Gamma (1 - \rho 1)s
\rho 1 i - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s) \sim 1 - \varphi (s) \sim c2\Gamma (1 - \rho 2)s
\rho 2
при s\rightarrow 0 + . Тому для будь-якого \kappa > 0
1 - \psi
\bigl(
- \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (\kappa t - 1)
\bigr)
\sim c1\Gamma (1 - \rho 1)
\bigl(
c2\Gamma (1 - \rho 2)\kappa
\rho 2
\bigr) \rho 1t - \rho 1\rho 2 , t\rightarrow \infty .
Отже, при t\rightarrow \infty
1 - e - 2ba(t)
1 - \psi ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (ct - 1))
\sim 2b
c1\Gamma (1 - \rho 1)(c2\Gamma (1 - \rho 2)\kappa \rho 2)\rho 1
:= A.
Виберемо значення \kappa так, що A < 1. Тодi нерiвнiсть e2ba(t)\psi ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (s)) < 1 виконується для
s = \kappa t - 1 при достатньо великих t i
\BbbE e2ba(t)N(t) - 1 \leq
e\kappa
\bigl(
e2ba(t) - 1
\bigr)
1 - e2ba(t)\psi ( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\varphi (\kappa t - 1))
\rightarrow e\kappa A
1 - A
, t\rightarrow \infty .
Таким чином, ми встановили скiнченнiсть \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\geq 1 \BbbE e2ba(t)N(t) <\infty . Далi, використовуючи суб-
адитивнiсть за розподiлом N\ast i нерiвнiсть Гьольдера, для t \geq 1 записуємо
\BbbE eba(t)N
\ast (M1(t)) \leq \BbbE eba(t)(N
\ast (1)+N\ast (N1(t))) \leq
\leq
\Bigl(
\BbbE e2ba(t)N
\ast (1)\BbbE e2ba(t)N
\ast (N1(t))
\Bigr) 1/2
\leq
\Bigl(
\BbbE e2bN
\ast (1)\BbbE e2ba(t)N(t)
\Bigr) 1/2
.
Отже, C\ast <\infty , оскiльки наш вибiр b гарантує скiнченнiсть \BbbE e2bN\ast (1).
Крок 2, на якому завершується доведення. За виконання припущень пп. 2.3 вважаємо, що
\tau = 1. Використовуючи незалежнiсть N\ast i N1, субадитивнiсть за розподiлом N\ast , субади-
тивнiсть x \rightarrow x\tau на [0,\infty ) i те, що t \rightarrow N\ast (t) не спадає м.н., для x > 0, t \geq 1 i k \in \BbbN
записуємо
\BbbP
\Bigl\{
a(t)(N\ast (N \tau
1 ((k + 1)t)) - N\ast (N \tau
1 (kt))) > x
\bigm| \bigm| \bigm| (N1(s))s\geq 0
\Bigr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ФУНКЦIОНАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА БЕЗ ЦЕНТРУВАННЯ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ПРОЦЕСIВ . . . 177
\leq \BbbP
\Bigl\{
a(t)N\ast (N \tau
1 ((k + 1)t) - N \tau
1 (kt)) > x
\bigm| \bigm| \bigm| (N1(s))s\geq 0
\Bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\Bigl\{
a(t)N\ast ((N1((k + 1)t) - N1(kt))
\tau ) > x
\bigm| \bigm| \bigm| (N1(s))s\geq 0
\Bigr\}
.
Далi, використовуючи незалежнiсть N\ast i N1, субадитивнiсть за розподiлом (M1(t))t\geq 0, те, що
t\rightarrow N\ast (t) не спадає м.н., i нерiвнiсть Маркова, маємо
\BbbP
\bigl\{
a(t)(N\ast (N \tau
1 ((k + 1)t)) - N\ast (N \tau
1 (kt))) > x
\bigr\}
\leq
\leq \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast ((N1((k + 1)t) - N1(kt))
\tau ) > x
\bigr\}
=
= \BbbE \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast ((N1((k + 1)t) - N1(kt))
\tau ) > x
\bigm| \bigm| (N\ast (s))s\geq 0\bigr\} \leq
\leq \BbbP
\bigl\{
a(t)N\ast (M \tau
1 (t)) > x
\bigr\}
\leq C\ast e - bx = f(x).
При цьому для c > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2jf(x2jc) = C\ast \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\sum
j\geq 1
2je - bx2
jc
= 0,
оскiльки останнiй ряд збiгається рiвномiрно по x \geq 1. Таким чином, процеси (N(t))t\geq 0 дiйсно
задовольняють умову (8).
Лему 3 доведено.
Насамкiнець наведемо два останнi допомiжнi результати, запозиченi з леми 2.3 [4, с. 159] i
леми A.5 [5] вiдповiдно.
Лема 4. Вiдображення композицiї (x, y) \mapsto \rightarrow x\circ y є J1-неперервним на неперервних функцiях
x : \BbbR + \rightarrow \BbbR + i неперервних функцiях y : \BbbR + \rightarrow \BbbR +, що не спадають.
Лема 5. Нехай \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xn = x у D. Припустимо, що при n\rightarrow \infty скiнченнi мiри \nu n слабко
збiгаються до скiнченної неперервної мiри \nu на [0, u] для деякого u > 0. Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\int
[0, u]
xn(y)\nu n(dy) =
\int
[0, u]
x(y)\nu (dy).
Якщо функцiя x неперервна у точцi c \in [0, u], а \nu = \delta c є ймовiрнiсною мiрою, зосередженою
у точцi c, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\int
[0, u]
xn(y)\nu n(dy) = x(c).
Лiтература
1. P. Billingsley, Convergence of probability measures, 2nd ed., John Wiley and Sons, New York (1999).
2. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Cambridge Univ. Press (1989).
3. C. Dong, A. Iksanov, Weak convergence of random processes with immigration at random times, J. Appl. Probab.,
57, 250 – 265 (2020).
4. A. Gut, Stopped random walks. Limit theorems and applications, 2nd ed., Springer (2009).
5. A. Iksanov, Functional limit theorems for renewal shot noise processes with increasing response functions, Stoch.
Process. and Appl., 123, 1987 – 2010 (2013).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
178 О. IКСАНОВ, Б. РАШИТОВ
6. A. Iksanov, Z. Kabluchko, A. Marynych, G. Shevchenko, Fractionally integrated inverse stable subordinators, Stoch.
Process. and Appl., 127, 80 – 106 (2016).
7. A. Iksanov, M. Meiners, Exponential rate of almost sure convergence of intrinsic martingales in supercritical
branching random walks, J. Appl. Probab., 47, 513 – 525 (2010).
8. A. Iksanov, B. Rashytov, A functional limit theorem for the general shot noise processes, J. Appl. Probab., 57,
280 – 294 (2020).
9. J. Jacod, A. N. Shiryaev, Limit theorems for stochastic processes, 2nd ed., Springer (2003).
10. M. M. Meerschaert, H. P. Scheffler, Limit theorems for continuous time random walks with infinite mean waiting
times, J. Appl. Probab., 41, 623 – 638 (2004).
11. T. Owada, G. Samorodnitsky, Functional central limit theorem for heavy tailed stationary infinitely divisible processes
generated by conservative flows, Ann. Probab., 43, 240 – 285 (2015).
12. G. Pang, Y. Zhou, Functional limit theorems for shot noise processes with weakly dependent noises, Stoch. Syst., 10,
99 – 123 (2020).
13. S. I. Resnick, Heavy-tail phenomena: probabilistic and statistical modeling, Springer (2007).
14. S. Resnick, P. Greenwood, A bivariate stable characterization and domains of attraction, J. Multivar. Anal., 9,
206 – 221 (1979).
15. M. Tamborrino, P. Lansky, Shot noise, weak convergence and diffusion approximations, https://arxiv.org/abs/
2005.06067.
16. M. Yamazato, On a J1 -convergence theorem for stochastic processes on D[0,\infty ) having monotone sample paths
and its applications, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, 1620, 109 – 118 (2009).
17. Г. Верьовкiн, О. Маринич, Стацiонарнi границi процесiв дробового ефекту, Теорiя ймовiрностей та мат.
статистика, 101, 63 – 77 (2019).
Одержано 06.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6210 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:30Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6d/b9320cf90d8a3c81cb70fc5e5c09e06d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62102025-03-31T08:48:28Z A functional limit theorem without centering for general shot noise processes Функціональна гранична теорема без центрування для загальних процесів дробового ефекту Iksanov, A. Rashytov , B. Іксанов, О. Рашитов , Б. загальний процес дробового ефекту; лічильний процес; неперервність за Гьольдером; слабка збіжність у просторі Скорохода counting process; general shot noise process; Holder continuity; weak convergence in the Skorokhod space UDC 519.27 We define a general shot noise process as the convolution of a deterministic càdlàg function and a locally finite counting process concentrated on the nonnegative halfline.&nbsp;In this paper, we provide the sufficient conditions ensuring that a general shot noise process properly normalized without centering converges weakly in the Skorokhod space.&nbsp;We give several examples of particular counting processes satisfying the sufficient conditions and formulate the corresponding limit theorems.&nbsp;The present work continues the investigation initiated in [Iksanov and Rashytov (2020)], where a functional limit theorem with centering was proved under the condition that the limit process is a Riemann–Liouville-type (Gaussian) process. УДК 519.27 Загальним процесом дробового ефекту ми називаємо згортку детермінованої функції, що належить простору Скорохода, та локально скінченного лічильного процесу, заданого на невід'ємній півосі.В цій статті запропоновано достатні умови, за яких належним чином нормалізований (без центрування) загальний процес дробового ефекту слабко збігається у просторі Скорохода. Наведено кілька прикладів конкретних лічильних процесів, що задовольняють ці достатні умови, разом із відповідними граничними теоремами. Продовжено дослідження, розпочаті в статті О. Іксанова та Б. Рашитова (2020 р.), де було доведено функціональну граничну теорему з центруванням із (гауссівськими) процесами типу Рімана–Ліувілля в якості граничних процесів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-02-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6210 10.37863/umzh.v73i2.6210 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 2 (2021); 160 - 178 Український математичний журнал; Том 73 № 2 (2021); 160 - 178 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6210/8936 Copyright (c) 2021 Alexander Iksanov |
| spellingShingle | Iksanov, A. Rashytov , B. Іксанов, О. Рашитов , Б. A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title | A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title_alt | Функціональна гранична теорема без центрування для загальних процесів дробового ефекту |
| title_full | A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title_fullStr | A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title_full_unstemmed | A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title_short | A functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| title_sort | functional limit theorem without centering for general shot noise processes |
| topic_facet | загальний процес дробового ефекту лічильний процес неперервність за Гьольдером слабка збіжність у просторі Скорохода counting process general shot noise process Holder continuity weak convergence in the Skorokhod space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6210 |
| work_keys_str_mv | AT iksanova afunctionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT rashytovb afunctionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT íksanovo afunctionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT rašitovb afunctionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT iksanova funkcíonalʹnagraničnateoremabezcentruvannâdlâzagalʹnihprocesívdrobovogoefektu AT rashytovb funkcíonalʹnagraničnateoremabezcentruvannâdlâzagalʹnihprocesívdrobovogoefektu AT íksanovo funkcíonalʹnagraničnateoremabezcentruvannâdlâzagalʹnihprocesívdrobovogoefektu AT rašitovb funkcíonalʹnagraničnateoremabezcentruvannâdlâzagalʹnihprocesívdrobovogoefektu AT iksanova functionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT rashytovb functionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT íksanovo functionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses AT rašitovb functionallimittheoremwithoutcenteringforgeneralshotnoiseprocesses |