Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle
UDC 517.9 We consider the problem of maximization of the product of inner radii of $n$ nonoverlapping domains, which are symmetric with respect to the unit circle, and the inner radius to the power $\gamma$ of a domain with respect to zero. We solve the problem for $n=2$ and $n=3$ and s...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6216 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512300057755648 |
|---|---|
| author | Bakhtin , O. K. Vyhivska , L. V. Denega , I. V. Бахтін, О. К. Вигівська, Л. В. Денега, І. В. |
| author_facet | Bakhtin , O. K. Vyhivska , L. V. Denega , I. V. Бахтін, О. К. Вигівська, Л. В. Денега, І. В. |
| author_sort | Bakhtin , O. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:28Z |
| description | UDC 517.9
We consider the problem of maximization of the product of inner radii of $n$ nonoverlapping domains, which are symmetric with respect to the unit circle, and the inner radius to the power $\gamma$ of a domain with respect to zero. We solve the problem for $n=2$ and $n=3$ and some $\gamma>1.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i12.6216 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i12.6216
УДК 517.54
О. К. Бахтiн, Л. В. Вигiвська, I. В. Денега (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ
З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ НА КОЛI
We consider the problem of maximization of the product of inner radii of n nonoverlapping domains, which are symmetric
with respect to the unit circle, and the inner radius to the power \gamma of a domain with respect to zero. We solve the problem
for n = 2 and n = 3 and some \gamma > 1.
Вивчається задача про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв n взаємно неперетинних областей, симетричних
вiдносно одиничного кола, i внутрiшнього радiуса в додатному степенi \gamma деякої областi вiдносно початку координат.
Розв’язано задачу про знаходження максимуму вказаного добутку при n = 2, n = 3 та деяких \gamma > 1.
1. Вступ. Нехай \BbbN i \BbbR — множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно, \BbbC — комплексна пло-
щина, \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} — її одноточкова компактифiкацiя, \BbbR + = (0,\infty ). Нехай \chi (t) =
1
2
(t+t - 1) —
функцiя Жуковського. Будемо позначати вiдкритий одиничний круг комплексної площини з
центром у початку координат через U1. Нехай r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B \subset \BbbC
вiдносно точки a \in B (див., наприклад, [1 – 20]). Внутрiшнiй радiус областi B пов’язаний iз
узагальненою функцiєю Грiна gB(z, a) областi B (див. [1 – 20]) спiвввiдношеннями
gB(z, a) = - \mathrm{l}\mathrm{n} | z - a| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B, a) + o(1), z \rightarrow a,
gB(z,\infty ) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B,\infty ) + o(1), z \rightarrow \infty .
Для довiльного набору рiзних точок одиничного кола \{ ak\} nk=1, занумерованих у порядку
зростання аргумента i таких, що a1 = 1, введемо позначення \alpha k :=
1
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
ak+1
ak
, \alpha n+1 := \alpha 1,
k = 1, n,
\sum n
k=1
\alpha k = 2.
На множинi довiльних систем взаємно неперетинних областей B0, B1, . . . , Bn (тобто Bp \cap
\cap Bj = \varnothing при p \not = j, p, j = 0, n) таких, що ak \in Bk \subset \BbbC , | ak| = 1 для всiх k = 1, n,
a0 = 0 i областi B1, . . . , Bn симетричнi вiдносно одиничного кола, \gamma \in (0, n], будемо вивчати
функцiонал
In(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak). (1)
Задача 1. Для кожного фiксованого \gamma \in (0, n] визначити максимум функцiонала (1) i опи-
сати екстремальнi конфiгурацiї з областей Bk i точок ak, k = 0, n.
Ця задача вiдноситься до класу задач про екстремальне розбиття комплексної площини з
вiльними полюсами. Такi проблеми вивчались у багатьох роботах (див., наприклад, [12 – 37]). У
початковому формулюванню подiбнi задачi про екстремальне розбиття комплексної площини з
c\bigcirc О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12 1599
1600 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
вiльними полюсами на колi з’явились у роботах [21 – 23]. Далi цi задачi були значно узагальненi
у роботах Г. В. Кузьмiної, В. М. Дубiнiна i Є. Г. Ємiльянова.
Задачу 1 сформулював як вiдкриту проблему В. М. Дубiнiн [15] при \gamma = 1. У частинному
випадку, коли B0 \subset U1 i \gamma = 1, задачу 1 було розв’язано у роботi [15] i названо задачею
Г. П. Бахтiної. В 2000 р. Л. В. Ковальов розв’язав задачу 1 при \gamma = 1 [18, 19].
При \gamma \in (0, 1] i n \geq 2 задачу 1 вдалося розв’язати у роботi [31] лише у 2017 р. У 2018 р.
було доведено, що для довiльного \gamma > 1 iснує наперед невiдомий номер (залежний вiд \gamma ),
починаючи з якого отримано розв’язок задачi 1 [35]. При \gamma \in (1;n
1
3 ] i n \geq 14 розв’язок задачi
1 отримано у [33]. Також у 2018 р. було отримано деякий результат в однiй бiльш загальнiй
задачi, з якого випливає розв’язок задачi 1 для \gamma \in
\biggl(
1,
3
2
\biggr]
i n \geq 9 (див. [32]). У 2019 р. задачу 1
при \gamma \in (1,
\surd
n ] i n \geq 8 розв’язано у роботi [30].
Як показав досвiд дослiдження задачi 1, найбiльшi труднощi виникають при n = 2 i \gamma > 1.
Оскiльки для n = 2, 7 поки що не було отримано жодних результатiв при \gamma > 1, тому мають
певний iнтерес наступнi результати.
Теорема 1. Нехай n = 2, 1 < \gamma \leq 1,1. Тодi для довiльного набору трьох рiзних точок
таких, що a0 = 0, | a1| = | a2| = 1, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей
B0, B1, B2 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2
симетричнi вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq 4
\Bigl( \gamma
2
\Bigr) \gamma
2\Bigl(
1 - \gamma
2
\Bigr) 1+ \gamma
2
\left( 1 -
\surd
2\gamma
2
1 +
\surd
2\gamma
2
\right)
\surd
2\gamma
. (2)
Знак рiвностi у (2) досягається, коли точки 0, a1, a2 та областi B0, B1, B2 є вiдповiдно
полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - \gamma w4 + 2(4 - \gamma )w2 + \gamma
w2(w2 - 1)2
dw2. (3)
Теорема 2. Нехай n = 3, 1 < \gamma \leq 1,2. Тодi для довiльного набору чотирьох рiзних точок
таких, що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = 1, i довiльного набору чотирьох взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2, B3 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, 3, причому областi
Bk, k = 1, 3, симетричнi вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq
\biggl(
4
3
\biggr) 3
\biggl(
2\gamma
9
\biggr) \gamma
3
\biggl(
1 - 2\gamma
9
\biggr) 3
2
+ \gamma
3
\left( 1 -
\surd
2\gamma
3
1 +
\surd
2\gamma
3
\right)
\surd
2\gamma
. (4)
Знак рiвностi у (4) досягається, коли точки 0, a1, a2, a3 та областi B0, B1, B2, B3 є
вiдповiдно полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - \gamma w6 + 2(9 - \gamma )w3 + \gamma
w2(w3 - 1)2
dw2. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1601
При доведеннi цих теорем будемо використовувати iдеї робiт [13 – 37] та властивостi вi-
докремлюючого перетворення (див., наприклад, [13 – 20]).
Доведення теореми 1. Без обмеження загальностi будемо вважати, що a1 = 1. Доведення
теореми 1 складається з розгляду двох можливих випадкiв: \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2 i \alpha 0
\surd
2\gamma < 2, \alpha 0 =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \alpha 1, \alpha 2\} .
Випадок 1. Нехай \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2. Для зручностi будемо вважати, що \alpha 0 = \alpha 2.
Вiдомо (див. [33, 35]), що
I
(0)
2 (\gamma ) := r\gamma
\bigl(
B
(0)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
1 , a
(0)
1
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
2 , a
(0)
2
\bigr)
= 4
\Bigl( \gamma
2
\Bigr) \gamma
2\Bigl(
1 - \gamma
2
\Bigr) 1+ \gamma
2
\left( 1 -
\surd
2\gamma
2
1 +
\surd
2\gamma
2
\right)
\surd
2\gamma
, (6)
де 0, a
(0)
1 , a
(0)
2 i B(0)
0 , B
(0)
1 , B
(0)
2 — вiдповiдно полюси i круговi областi квадратичного дифе-
ренцiала (3).
Розглянемо функцiонал I2(\gamma ). Згiдно з результатами роботи [19] маємо
I2(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) = r
\gamma - 2
\alpha 2
2 (B0, 0)
\Bigl[
r
2
\alpha 2
2 (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)
\Bigr]
. (7)
Поряд iз припущенням, що \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2, будемо вивчати такi трiйки областей B0, B1, B2 i
вiдповiднi системи точок 0, a1, a2, що ak \in Bk, k = 0, 2, i I2(\gamma ) \geq I
(0)
2 (\gamma ). В цьому випадку
iз роботи [27] при n = 2 маємо нерiвнiсть
r(B0, 0) \leq
\bigl[
2I
(0)
2 (\gamma )
\bigr] - 1
2 - \gamma . (8)
Тодi, враховуючи спiввiдношення (7), (8), приходимо до нерiвностi
I2(\gamma ) \leq
\bigl[
2I
(0)
2 (\gamma )
\bigr] - 1
2 - \gamma
\Bigl(
\gamma - 2
\alpha 2
2
\Bigr) \Bigl[
r
2
\alpha 2
2 (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)
\Bigr]
. (9)
Для зручностi введемо позначення\bigl[
2I
(0)
2 (\gamma )
\bigr] - 1
2 - \gamma
\Bigl(
\gamma - 2
\alpha 2
2
\Bigr)
=: Q. (10)
Тодi нерiвнiсть (9) набирає вигляду
I2(\gamma ) \leq Q
\Bigl[
r
2
\alpha 2
2 (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)
\Bigr]
.
Далi за стандартною схемою (див. [14 – 16, 20]) виконуємо вiдокремлююче перетворення для
областей B0, B1, B2.
Позначимо \theta 1 := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 = 0, \theta 2 := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2, \theta 2 \in (0; 2\pi ).
Розглянемо систему функцiй \pi 1(w) =
\bigl(
e - i\theta 1w
\bigr) 1
\alpha 1 = (w)
1
\alpha 1 , \pi 2(w) =
\bigl(
e - i\theta 2w
\bigr) 1
\alpha 2 , де гiлки
багатозначних аналiтичних функцiй (w)
1
\alpha k , k = 1, 2, вибрано таким чином, що на дiйснiй
додатнiй осi вони набувають додатних значень. Розглянемо кутовi областi P1 := \{ w : 0 <
< \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}w < \theta 2\} , P2 := \{ w : \theta 2 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}w < 2\pi \} (див. рис. 1).
Таким чином, функцiї \zeta = \pi 1(w), \zeta = \pi 2(w) однолисто i конформно вiдображають вiдпо-
вiдно областi P1, P2 на верхню пiвплощину \mathrm{I}\mathrm{m} \zeta > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1602 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
B 0
B 1
B 2
0
a 2
P 1
a 1
W
P 2
Рис. 1. Кути P1 та P2, вiдносно яких
здiйснюється вiдокремлююче пе-
ретворення, яке вiдповiдає трiйцi
довiльних взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2.
Сiм’я функцiй
\bigl\{
\pi k(w)
\bigr\} 2
k=1
є допустимою для вiдокремлюючого перетворення областей Bk,
k = 0, 2, вiдносно кутiв \{ Pk\} 2k=1. Нехай G
(1)
0 — область площини \BbbC \zeta , отримана в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини \pi 1
\bigl(
B0
\bigcap
P 1
\bigr)
, яка мiстить точку \pi 1(a0) = 0, зi своїм
симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi; G
(1)
1 — область площини \BbbC \zeta , отримана в
результатi об’єднання зв’язної компоненти множини \pi 1
\bigl(
B1
\bigcap
P 1
\bigr)
, яка мiстить точку \pi 1(a1) =
= 1, зi своїм симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi; G
(1)
2 — область площини
\BbbC \zeta , отримана в результатi об’єднання зв’язної компоненти множини \pi 1
\bigl(
B2
\bigcap
P 1
\bigr)
, яка мiстить
точку \pi 1(a2) = - 1, зi своїм симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi; G(2)
0 — область
площини \BbbC \zeta , отримана в результатi об’єднання зв’язної компоненти множини \pi 2
\bigl(
B0
\bigcap
P 2
\bigr)
,
яка мiстить точку \pi 2(a0) = 0, зi своїм симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi;
G
(2)
1 — область площини \BbbC \zeta , отримана в результатi об’єднання зв’язної компоненти множини
\pi 2
\bigl(
B1
\bigcap
P 2
\bigr)
, яка мiстить точку \pi 2(a2) = 1, зi своїм симетричним вiдображенням вiдносно
дiйсної осi; G(2)
2 — область площини \BbbC \zeta , отримана в результатi об’єднання зв’язної компоненти
множини \pi 2
\bigl(
B1
\bigcap
P 2
\bigr)
, яка мiстить точку \pi 2(a1) = - 1, зi своїм симетричним вiдображенням
вiдносно дiйсної осi (див. рис. 2).
Тут було враховано, що
\pi k(ak) = 1, \pi k(ak+1) = - 1, k = 1, 2, B3 := B1, a3 := a1.
З визначення функцiй \pi k, k = 1, 2, випливає справедливiсть асимптотичних спiввiдношень
| \pi k(w) - 1| \sim 1
\alpha k
| w - ak| , w \rightarrow ak, w \in Pk,
| \pi k(w) + 1| \sim 1
\alpha k
| w - ak+1| , w \rightarrow ak+1, w \in Pk,
| \pi k(w)| \sim | w|
1
\alpha k , w \rightarrow 0, w \in Pk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1603
B 0
B 1
B 2
0
a 2
P 1
a 1
Z
P 1
P 1P 1
Рис. 2. Розбиття трiйки областей B0, B1,
B2 на зв’язнi компоненти.
-1 0 1
G 1
(1)
G 0
(1)
G 2
(1)
P 1
Рис. 3. Результат вiдокремлюючого пере-
творення областей B0, B1, B2
вiдносно кута P1.
Згiдно з методом вiдокремлюючого перетворення [14, 15, 20] кожнiй трiйцi взаємно непе-
ретинних областей B0, B1, B2 i вiдповiднiй трiйцi точок a0, a1, a2 вiдповiдають двi трiйки
взаємно неперетинних областей G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 i G(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 , для яких виконуються вклю-
чення 0 \in G
(k)
0 , 1 \in G
(k)
1 , - 1 \in G
(k)
2 , k = 1, 2, площини \BbbC \zeta (див. рис. 3). Тодi маємо нерiвностi
r(B0, 0) \leq
\Bigl[
r\alpha
2
1
\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
r\alpha
2
2
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr) \Bigr] 1
2
, (11)
r(B1, a1) \leq
\Bigl[
\alpha 1\alpha 2r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
, (12)
r(B2, a2) \leq
\Bigl[
\alpha 1\alpha 2r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr) \Bigr] 1
2
. (13)
Iз нерiвностей (11) – (13) випливає ланцюжок спiввiдношень
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1604 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
r
2
\alpha 2
2 (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq
\biggl( \Bigl[
r\alpha
2
1
\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
r\alpha
2
2
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr) \Bigr] 1
2
\biggr) 2
\alpha 2
2
\times
\times
\Bigl[
\alpha 1\alpha 2r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
\Bigl[
\alpha 1\alpha 2r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr) \Bigr] 1
2 \leq
\leq \alpha 1\alpha 2
\Biggl[
r
2\alpha 2
1
\alpha 2
2
\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr) \Biggr] 1
2 \Bigl[
r2
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
.
Увiвши позначення t :=
\alpha 1
\alpha 2
, отримаємо нерiвнiсть
r
2
\alpha 2
2 (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq
\leq \alpha 1\alpha 2
\Bigl[
r2t
2\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
\Bigl[
r2
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
.
Таким чином, приходимо до нерiвностi
I2(\gamma ) \leq Q\alpha 1\alpha 2
\Bigl[
r2t
2\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2
\Bigl[
r2
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr)
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr) \Bigr] 1
2 \leq
\leq Q\alpha 1\alpha 2
\bigl[
I2(2t
2)
\bigr] 1
2 [I2(2)]
1
2 , (14)
яка дає оцiнку початкового функцiонала I2(\gamma ) через величину Q, величини \alpha 1, \alpha 2, значення
функцiоналiв I2(2t
2) та I2(2) на трiйках G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 i G(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 вiдповiдно.
По аналогiї з роботою [19] виконуємо вiдокремлююче перетворення для G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 i
G
(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 вiдносно системи областей, якi вводяться нижче.
Нехай
Tk :=
\bigl\{
\zeta : ( - 1)k+1\mathrm{I}\mathrm{m} \zeta > 0
\bigr\}
, k \in \{ 1, 2\} ,
E1 = T1 \cap U1, E2 = (\BbbC \setminus U1) \cap T1, E3 = T2 \cap U1, E4 = (\BbbC \setminus U1) \cap T2,
z = \beta (\zeta ) =
2\zeta
1 + \zeta 2
.
Легко бачити, що \beta (0) = 0, \beta (\pm 1) = \pm 1, \beta (\pm i) = \infty ,
| \beta (\zeta )| \sim 2| \zeta | , \zeta \rightarrow 0,\bigm| \bigm| \beta (\zeta ) - 1
\bigm| \bigm| \sim 1
2
| \zeta - 1| 2, \zeta \rightarrow 1,
\bigm| \bigm| \beta (\zeta ) + 1
\bigm| \bigm| \sim 1
2
| \zeta + 1| 2, \zeta \rightarrow - 1.
Функцiя z = \beta (\zeta ) однолисто i конформно вiдображає вiдповiдно областi E1, E4 на верхню
пiвплощину \BbbC z (\mathrm{I}\mathrm{m} z > 0), а E2, E3 на нижню пiвплощину \BbbC z (\mathrm{I}\mathrm{m} z < 0).
Вiдносно системи областей Ek, k = 1, 4, повторно застосовується вiдокремлююче перетво-
рення до областей G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 (див. рис. 4, 5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1605
∩
E1G1
(1)
-1 0 1
E1E1G0
(1)
E1G2
(1) ∩∩
Рис. 4. Зв’язнi компоненти множин G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 , якi
мiстяться у замкненому пiвкрузi E1.
Рис. 5. Образи зв’язних компонент при вiдображеннi \beta .
Нехай \Omega
(1)
0 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi об’єднання зв’язної компонен-
ти множини \beta (G
(1)
0
\bigcap
Ek), k = 1, 3, яка мiстить точку 0, зi своїм симетричним вiдображенням
вiдносно дiйсної осi; \Omega (1)
1 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi об’єднання зв’язної
компоненти множини \beta (G
(1)
1
\bigcap
Ek), k = 1, 4, яка мiстить точку 1, зi своїм симетричним
вiдображенням вiдносно дiйсної осi; \Omega
(1)
2 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини \beta (G
(1)
2
\bigcap
Ek), k = 1, 4, яка мiстить точку - 1, зi
своїм симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi.
Тепер застосовуємо вiдокремлююче перетворення до трiйки областей G
(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 .
Нехай \Omega
(2)
0 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi об’єднання зв’язної компонен-
ти множини \beta (G
(2)
0
\bigcap
Ek), k = 1, 3, яка мiстить точку 0, зi своїм симетричним вiдображенням
вiдносно дiйсної осi; \Omega (2)
1 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi об’єднання зв’яз-
ної компоненти множини \beta (G
(2)
1
\bigcap
Ek), k = 1, 4, яка мiстить точку 1, зi своїм симетричним
вiдображенням вiдносно дiйсної осi; \Omega
(2)
2 (k) — область площини \BbbC z, отримана в результатi
об’єднання зв’язної компоненти множини \beta (G
(2)
2
\bigcap
Ek), k = 1, 4, яка мiстить точку - 1, зi
своїм симетричним вiдображенням вiдносно дiйсної осi.
У вiдповiдностi з теорiєю вiдокремлюючого перетворення маємо такi нерiвностi для трiйки
G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1606 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
r
\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
\leq
\biggl[
1
2
r
\bigl(
\Omega
(1)
0 (1), 0
\bigr) 1
2
r
\bigl(
(\Omega
(1)
0 (3), 0
\bigr) \biggr] 1
2
,
r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (1), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (2), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (3), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (4), 1
\bigr) \Bigr] 1
8
,
r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (1), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (2), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (3), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (4), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8
.
Аналогiчно отримаємо нерiвностi для трiйки G
(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 :
r
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr)
\leq
\biggl[
1
2
r
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (1), 0
\bigr) 1
2
r
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (3), 0
\bigr) \biggr] 1
2
,
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (1), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (2), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (3), 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (4), 1
\bigr) \Bigr] 1
8
,
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (1), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (2), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (3), - 1
\bigr)
2r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (4), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8
.
Враховуючи симетрiю областей G
(1)
1 , G
(2)
2 , G
(2)
1 , G
(1)
2 вiдносно одиничного кола, бачимо,
що \Omega
(1)
1 (1) збiгається з областю \Omega
(1)
1 (2), \Omega
(1)
1 (3) — з областю \Omega
(1)
1 (4), \Omega
(2)
2 (1) — з областю
\Omega
(2)
2 (2), \Omega
(2)
2 (3) — з областю \Omega
(2)
2 (4). Отже, виконуються такi спiввiдношення:
r
\bigl(
G
(1)
0 , 0
\bigr)
\leq
\biggl[
1
4
r
\bigl(
\Omega
(1)
0 (1), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
0 (3), 0
\bigr) \biggr] 1
2
,
r
\bigl(
G
(1)
1 , 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
4r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (3), 1
\bigr) \Bigr] 1
4
,
r
\bigl(
G
(1)
2 , - 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
4r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (1), - 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
4
.
Аналогiчно
r
\bigl(
G
(2)
0 , 0
\bigr)
\leq
\biggl[
1
4
r
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (1), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (3), 0
\bigr) \biggr] 1
2
,
r
\bigl(
G
(2)
1 , 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
4r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (3), 1
\bigr) \Bigr] 1
4
,
r
\bigl(
G
(2)
2 , - 1
\bigr)
\leq
\Bigl[
4r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (1), - 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
4
.
В результатi наведених вище перетворень трiйцi G(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 вiдповiдають двi трiйки:
\Omega
(1)
0 (1), \Omega
(1)
1 (1), \Omega
(1)
2 (1) i \Omega (1)
0 (3), \Omega
(1)
1 (3), \Omega
(1)
2 (3). Аналогiчно, трiйцi G(2)
0 , G
(2)
1 , G
(2)
2 вiдпо-
вiдають двi трiйки: \Omega (2)
0 (1), \Omega
(2)
1 (1), \Omega
(2)
2 (1) i \Omega (2)
0 (3), \Omega
(2)
1 (3), \Omega
(2)
2 (3) взаємно неперетинних
областей (див. рис. 6).
Повертаючись до формули (14), де величина Q визначена формулою (10), i враховуючи
попереднi перетворення, маємо
I2(\gamma ) \leq Q\alpha 1\alpha 2
\Bigl[
2 - 4t2r2t
2\bigl(
\Omega
(1)
0 (1), 0
\bigr)
r2t
2\bigl(
(\Omega
(1)
0 (3), 0
\bigr) \Bigr] 1
4 \times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1607
Z
1
(1)
(1)
1
(1)
(1)
2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
0
(1)
(1)
1-1
0
Рис. 6. \Omega (1)
0 (1), \Omega
(1)
1 (1), \Omega
(1)
2 (1) є результатом вiдокрем-
люючого перетворення трiйки G
(1)
0 , G
(1)
1 , G
(1)
2 вiд-
носно кута E1.
\times
\Bigl[
24r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (3), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (1), - 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8 \times
\times
\Bigl[
2 - 4r2
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (1), 0
\bigr)
r2
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (3), 0
\bigr) \Bigr] 1
4 \times
\times
\Bigl[
24r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (3), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (1), - 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8
.
Враховуючи, що при кожному s = 1, 2 i k = 1, 3 кожна трiйка областей \Omega
(s)
0 (k), \Omega
(s)
1 (k),
\Omega
(s)
2 (k) є трiйкою попарно неперетинних областей, попередню нерiвнiсть можна записати у
виглядi
I2(\gamma ) \leq Q\alpha 1\alpha 22
- t2
\Bigl[
r4t
2\bigl(
\Omega
(1)
0 (1), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (1), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8 \times
\times
\Bigl[
r4t
2\bigl(
(\Omega
(1)
0 (3), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (3), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8 \times
\times
\Bigl[
r4
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (1), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (1), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8 \times
\times
\Bigl[
r4
\bigl(
(\Omega
(2)
0 (3), 0
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
1 (3), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(2)
2 (3), - 1
\bigr) \Bigr] 1
8
.
Таким чином, ми отримали оцiнку I2(\gamma ) через величини Q, \alpha 1, \alpha 2 i добуток значень фун-
кцiоналiв I2(4t
2), I2(4), яких вони набувають на означених трiйках областей \Omega
(s)
0 (k), \Omega
(s)
1 (k),
\Omega
(s)
2 (k), s = 1, 2, k = 1, 3. З iншого боку, для функцiонала I2(\sigma
2), де 0 < \sigma \leq 2, виконується
нерiвнiсть (див. [14])
I2(\sigma
2) = r\sigma
2
(D0, 0)r(D1, - 1)r(D2, 1) \leq
\leq 2\sigma
2+6\sigma \sigma 2
(2 - \sigma ) - (2 - \sigma )2/2(2 + \sigma ) - (2+\sigma )2/2, 0 < \sigma \leq 2, (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1608 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
знак рiвностi в якiй досягається тодi, коли довiльнi попарно неперетиннi областi D0, D1, D2\bigl(
0 \in D0 \subset \BbbC , 1 \in D1 \subset \BbbC , - 1 \in D2 \subset \BbbC
\bigr)
є круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - (4 - \sigma 2)w2 + \sigma 2
w2(w2 - 1)2
dw2.
Враховуючи (15), отримуємо\Bigl(
r
\bigl(
\Omega
(1)
0 (1), 0
\bigr) \Bigr) 4t2
r
\bigl(
(\Omega
(1)
1 (1), 1
\bigr)
r
\bigl(
(\Omega
(1)
2 (1), - 1
\bigr)
\leq
\leq 2\sigma
2+6\sigma \sigma 2
(2 - \sigma ) - (2 - \sigma )2/2(2 + \sigma ) - (2+\sigma )2/2, 0 < \sigma \leq 2,
де \sigma = 2t. Звiдси маємо
2\sigma
2+6\sigma \sigma 2
(2 - \sigma ) - (2 - \sigma )2/2(2 + \sigma ) - (2+\sigma )2/2 =
= 24t
2+62t4t
2
(2 - 2t) - (2 - 2t)2/2(2 + 2t) - (2+2t)2/2 =
= 22+4t2t4t
2
(1 - t) - 2(1 - t)2(1 + t) - 2(1+t)2 .
Тому \biggl[ \Bigl(
r
\bigl(
\Omega
(1)
0 (k), 0
\bigr) \Bigr) 4t2
r
\bigl(
\Omega
(1)
1 (k), 1
\bigr)
r
\Bigl(
\Omega
(1)
2 (k), - 1
\Bigr) \biggr] 1
8
\leq
\leq
\Bigl[
22+4t2t4t
2
(1 - t) - 2(1 - t)2(1 + t) - 2(1+t)2
\Bigr] 1
8
, k = 1, 3. (16)
Iз (16) при t = 1 одержуємо\biggl[ \Bigl(
r
\bigl(
\Omega
(2)
0 (k), 0
\bigr) \Bigr) 4
r
\bigl(
\Omega
(2)
1 (k), 1
\bigr)
r
\Bigl(
\Omega
(2)
2 (k), - 1
\Bigr) \biggr] 1
8
\leq
\biggl(
1
4
\biggr) 1
8
, k = 1, 3.
Отже,
I2(\gamma ) \leq Q\alpha 2
2 \cdot t \cdot 2 - t2
\Bigl[
2 - 2 \cdot 22+4t2t4t
2
(1 - t) - 2(1 - t)2(1 + t) - 2(1+t)2
\Bigr] 1
4
=
=
\bigl[
2I
(0)
2 (\gamma )
\bigr] - 1
2 - \gamma
(\gamma - (t+1)2
2
) 4
(t+ 1)2
t1+t2(1 - t) -
1
2
(1 - t)2(1 + t) -
1
2
(1+t)2 ,
де I
(0)
2 (\gamma ) визначено формулою (6).
Оскiльки \alpha 2 = \alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
, то t \in
\bigl(
0;
\surd
2\gamma - 1
\bigr)
. Тодi при умовi, що \alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
та
I2(\gamma ) \geq I
(0)
2 (\gamma ), отримуємо нерiвнiсть
I2(\gamma ) \leq y(\gamma , t),
де
y(\gamma , t) = k(\gamma , t)s(t), (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1609
k(\gamma , t) =
\left[ 2
\left( 4
\Bigl( \gamma
2
\Bigr) \gamma
2\Bigl(
1 - \gamma
2
\Bigr) 1+ \gamma
2
\left( 1 -
\surd
2\gamma
2
1 +
\surd
2\gamma
2
\right)
\surd
2\gamma \right)
\right]
- 1
2 - \gamma
(\gamma - (t+1)2
2
)
,
s(t) =
4
(t+ 1)2
t1+t2(1 - t) -
1
2
(1 - t)2(1 + t) -
1
2
(1+t)2 ,
\gamma \in (1; 1,1], t \in
\bigl(
0;
\sqrt{}
2\gamma - 1
\bigr)
.
Розглянемо функцiю s(t), t \in
\bigl(
0;
\surd
2\gamma - 1
\bigr)
. Неважко показати, що\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s(t)
\bigr) \prime
=
1 - t
1 + t
+ 2t \mathrm{l}\mathrm{n} t+ (1 - t) \mathrm{l}\mathrm{n}(1 - t) - (1 + t) \mathrm{l}\mathrm{n}(1 + t),
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s(t)
\bigr) \prime \prime
= - 2
(1 + t)2
+ \mathrm{l}\mathrm{n}
t2
1 - t2
.
Звiдси випливає, що
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s(t)
\bigr) \prime
монотонно спадає на всьому промiжку (див. рис. 7). У точцi
\~t \approx 0,345157
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s(t)
\bigr) \prime
= 0, отже, функцiя s(t) зростає вiд точки 0 до точки \~t \approx 0,345157 i
спадає на промiжку вiд точки \~t \approx 0,345157 до точки
\surd
2\gamma - 1 \approx 0,4832, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} s(\~t ) \approx 0,562873
(див. табл. 1 i рис. 8).
Таблиця 1
t s(t) t s(t) t s(t) t s(t)
0 0 0,13 0,383595149 0,26 0,540598285 0,38 0,55990664
0,01 0,03918791 0,14 0,402613316 0,27 0,545843126 0,39 0,558053532
0,02 0,076727224 0,15 0,420318581 0,28 0,550311113 0,4 0,555802902
0,03 0,112602994 0,16 0,436753506 0,29 0,554039087 0,41 0,553180086
0,04 0,146816338 0,17 0,451960938 0,3 0,557062985 0,42 0,550209482
0,05 0,179378523 0,18 0,465983823 0,31 0,559417813 0,43 0,546914563
0,06 0,210308165 0,19 0,478865047 0,32 0,561137633 0,44 0,543317892
0,07 0,239629489 0,2 0,490647287 0,33 0,562255541 0,45 0,539441141
0,08 0,267371123 0,21 0,501372896 0,34 0,562803666 0,46 0,535305105
0,09 0,293565198 0,22 0,511083787 0,345157 0,562873896 0,47 0,53092972
0,1 0,318246642 0,23 0,519821347 0,35 0,562813156 0,48 0,526334086
0,11 0,34145261 0,24 0,527626346 0,36 0,562314184 0,49 0,521536484
0,12 0,363222018 0,25 0,534538877 0,37 0,56133594 0,5 0,516554396
Покажемо, що для кожного фiксованого \gamma \in (1; 1,1] i t \in
\bigl(
0;
\surd
2\gamma - 1
\bigr)
k(\gamma , t) < 1,
k
\bigl(
\gamma ,
\surd
2\gamma - 1
\bigr)
= 1.
Для зручностi у формулi (17) виконаємо замiну змiнної, а саме, покладемо
\gamma
2
= x, x \in
\in
\biggl(
10
20
;
11
20
\biggr]
. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1610 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
0,2
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
0,4 0,6 t
Рис. 7. Графiк функцiї
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} s(t)
\bigr) \prime
.
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,2 0,3 0,4 t0
Рис. 8. Графiк функцiї s(t).
y1(x, t) = k1(x, t)s(t) =
\Biggl[
8
xx
(1 - x)1+x
\biggl(
1 -
\surd
x
1 +
\surd
x
\biggr) 2
\surd
x
\Biggr] - x - 1
4 (t+1)2
1 - x
\times
\times 4
(t+ 1)2
t1+t2(1 - t) -
1
2
(1 - t)2(1 + t) -
1
2
(1+t)2 . (18)
Справджується рiвнiсть
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} k1(x, t)
\bigr) \prime
t
=
1
2
(t+ 1)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl[
8
xx
(1 - x)1+x
\biggl(
1 -
\surd
x
1 +
\surd
x
\biggr) 2\surd x
\Biggr]
1 - x
.
Позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1611
0,2
0,50 0,51 0,52 0,54 x0,53
0,3
0,4
0,5
0,6
Рис. 9. Графiк функцiї \Psi (x).
Y1(x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl[
8
xx
(1 - x)1+x
\biggl(
1 -
\surd
x
1 +
\surd
x
\biggr) 2\surd x
\Biggr]
.
Дослiджуючи функцiю \Psi (x) =
Y1(x)
1 - x
, бачимо, що вона завжди додатна i спадає на промiжку
x \in (0,5; 0,55] (див. рис. 9). З цього випливає, що для кожного фiксованого \gamma k(\gamma , t) < 1 при
t \in
\bigl(
0;
\surd
2\gamma - 1
\bigr)
.
Розглянемо величину
I
(0)
2 (\gamma ) := I
(0)
2 (2x) = 4
xx
(1 - x)1+x
\biggl(
1 -
\surd
x
1 +
\surd
x
\biggr) 2\surd x
.
Справедливими є такi рiвностi:
\mathrm{l}\mathrm{n} I
(0)
2 (2x) = \mathrm{l}\mathrm{n} 4 + x \mathrm{l}\mathrm{n}x - (1 + x) \mathrm{l}\mathrm{n}(1 - x) + 2
\surd
x \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1 -
\surd
x
\bigr)
- 2
\surd
x \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1 +
\surd
x
\bigr)
,
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} I
(0)
2 (2x)
\bigr) \prime
= \mathrm{l}\mathrm{n}
x
1 - x
+ \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 -
\surd
x
1 +
\surd
x
\biggr) 1\surd
x
< 0.
Отже, величина I
(0)
2 (\gamma ) монотонно спадає по \gamma .
На основi наведених вище мiркувань y(\gamma , t) < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} s(t) < 0,562873 < I
(0)
2 (\gamma ) (див. табл. 2).
Таким чином, ми отримали, що
I2(\gamma ) < y(\gamma , t) < I
(0)
2 (\gamma ).
Отже, припущення, що I2(\gamma ) \geq I
(0)
2 (\gamma ), було хибним i ми отримали суперечнiсть, яка i
доводить дану теорему у випадку, коли \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2. Отже, у випадку \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2 екстремальних
конфiгурацiй немає.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1612 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
Таблиця 2
\gamma \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
y I
(0)
2 (\gamma )
1 0,5527960980 0,6613583736
1,01 0,5514734608 0,6531863388
1,02 0,5502797388 0,6451552085
1,03 0,5492168992 0,6372620032
1,04 0,5482871148 0,6295038046
1,05 0,5474927736 0,6218777824
1,06 0,5468364892 0,6143811812
1,07 0,5463211184 0,6070113078
1,08 0,5459497752 0,5997655432
1,09 0,5457258444 0,5926413374
1,1 0,5456530068 0,5856362013
Випадок 2. Тепер нехай \alpha 0
\surd
2\gamma < 2. В цьому випадку в роботi [34] при n = 2, \alpha 0
\surd
2\gamma < 2,
\gamma \in (1; 1,49] було доведено нерiвнiсть (2) для довiльного набору трьох рiзних точок таких, що
a0 = 0, | a1| = | a2| = 1, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей B0, B1 i B2
таких, що a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2 симетричнi
вiдносно одиничного кола.
Знак рiвностi у (2) досягається, коли точки 0, a1, a2 i областi B0, B1, B2 є вiдповiдно
полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала (3).
Таким чином, iз цього твердження випливає твердження теореми 1 для \gamma \in (1; 1,1].
Теорему 1 доведено.
Для того щоб геометрично проiлюструвати отриманий результат, наведемо структуру кру-
гових областей квадратичного диференцiала (3) у випадку \gamma = 1,1, яка визначає екстремальну
конфiгурацiю в теоремi 1. Простими нулями квадратичного диференцiала (3) є w1 = | w1| i,
w2 =
1
w1
, w3 = w1, w4 =
1
w3
, де | w1| \approx 0,443814. На рис. 10 зображено круговi областi B0,
B1, B2 (0 \in B0, 1 \in B1, - 1 \in B2), якi реалiзують максимальне значення функцiонала I2(\gamma )
при \gamma = 1,1. Межа областi B0 складається з двох симетричних вiдносно уявної осi траєкторiй
l1, l2 i точок w1, w3. Межа областi B1 складається з двох вiдрiзкiв уявної осi w1w2, w3w4 i
двох симетричних вiдносно одиничного кола траєкторiй l1, L1 та точок w1, w2, w3, w4. В свою
чергу межа областi B2 складається з двох вiдрiзкiв уявної осi w1w2, w3w4 i двох симетричних
вiдносно одиничного кола траєкторiй l2, L2 та точок w1, w2, w3, w4. Вiдрiзки w1w2, w3w4 i
дуги l1, l2, L1, L2 — це критичнi траєкторiї квадратичного диференцiала (3), якi визначають
круговi областi B0, B1, B2.
Доведення теореми 2. Як i при доведеннi теореми 1, розглянемо два випадки.
Випадок 1. Нехай \alpha 0
\surd
2\gamma \geq 2, \alpha 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}k \alpha k, k = 1, 3. Для визначеностi зафiксуємо
\alpha 0 = \alpha 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1613
B0 B1B2
0 1-1 l1l2
L1L2
w2
w1
w3
w4
Рис. 10. Схематичне зображення кругових областей квад-
ратичного диференцiала (3) при \gamma = 1,1.
В цьому випадку вивчаємо тi системи областей B0, B1, B2, B3 i точок 0, a1, a2, a3, при
яких I3(\gamma ) \geq I
(0)
3 (\gamma ), де величина I
(0)
3 (\gamma ) обчислена у роботах [33, 35], а саме
I
(0)
3 (\gamma ) =
\biggl(
4
3
\biggr) 3
\biggl(
2\gamma
9
\biggr) \gamma
3
\biggl(
1 - 2\gamma
9
\biggr) 3
2
+ \gamma
3
\left( 1 -
\surd
2\gamma
3
1 +
\surd
2\gamma
3
\right)
\surd
2\gamma
, (19)
причому екстремальна конфiгурацiя, для якої реалiзується це значення, складається з полюсiв
i кругових областей квадратичного диференцiала (5).
Використовуючи результат роботи [29], отримуємо нерiвнiсть
I3(\gamma ) = r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq 3 -
\gamma
2
\Biggl(
3\prod
k=1
r(Bk, ak)
\Biggr) 1 - \gamma
3
. (20)
Далi використаємо вiдому нерiвнiсть Г. М. Голузiна (див. [2]), а саме
3\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\biggl(
64
81
\surd
3
\biggr)
| a1 - a2| | a2 - a3| | a1 - a3| . (21)
Оскiльки точки a1, a2, a3 розмiщенi на одиничному колi i \alpha 0 \geq
2\surd
2\gamma
, маємо
| a1 - a2| = 2| a1| | a2| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 1
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
= 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 1
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
,
| a2 - a3| = 2| a2| | a3| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 2
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
= 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 2
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
,
а оскiльки \alpha 0 + \alpha 1 + \alpha 2 = 2 та \alpha 0 \geq 2\surd
2\gamma
, то \alpha 1 + \alpha 2 \leq 2
\biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
. Використовуючи
логарифмiчну випуклiсть функцiї \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x на промiжку x \in [0, \pi ], отримуємо спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1614 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
1,00
–1,4
–1,5
–1,6
–1,7
–1,8
–1,9
1,05 1,10 1,15 γ
Рис. 11. Графiк функцiї \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
\times
\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr)
.
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 1
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
+
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl[ \Bigl( \alpha 2
2
\Bigr)
\pi
\Bigr]
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
\alpha 1 + \alpha 2
2
\biggr)
\pi
\biggr]
.
Очевидно, що рiвнiсть в цiй нерiвностi буде досягатися, коли \alpha 1 = \alpha 2.
Враховуючи попереднi мiркування, приходимо до спiввiдношення
| a1 - a2| | a2 - a3| | a1 - a3| \leq 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
\cdot 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr]
. (22)
З урахуванням (20) – (22) остаточно маємо
I3(\gamma ) \leq 3 -
\gamma
2
\biggl(
64 \cdot 8
81
\surd
3
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr) (1 - \gamma
3
)
. (23)
Нехай \gamma = 1,2. Тодi з оцiнки (23) випливає, що I3(1,2) \leq 0,463186, а з (19) — що I
(0)
3 (1,2) \approx
\approx 0,467745, отже, виконується нерiвнiсть
I3(1,2) < I
(0)
3 (1,2).
Тепер доведемо нерiвнiсть I3(\gamma ) < I
(0)
3 (\gamma ) для \gamma \in (1; 1,2). Позначимо праву частину
виразу (23) через \mu (\gamma ) i дослiдимо її на монотоннiсть (див. рис. 11 – 13). Виконуються спiввiд-
ношення
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (\gamma ) = - \gamma
2
\mathrm{l}\mathrm{n} 3 +
\biggl(
1 - \gamma
3
\biggr) \biggl[
\mathrm{l}\mathrm{n}
64 \cdot 8
81
\surd
3
+ \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
+ 2 \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr]
,
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\bigr) \prime
\gamma
= - 1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} 3 - 1
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
64 \cdot 8
81
\surd
3
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr)
+
+
\Bigl(
1 - \gamma
3
\Bigr) \pi
2\gamma
\surd
2\gamma
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1615
1,00
0,5
0,6
0,7
0,8
1,05 1,10 1,15 γ
Рис. 12. Графiк функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
.
1,00 1,05 1,10 1,15 γ
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
Рис. 13. Графiк функцiї \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr]
.
= - 1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} 3 - 1
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
64 \cdot 8
81
\surd
3
\biggr)
- 1
3
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr)
+
+
\Bigl(
1 - \gamma
3
\Bigr) \pi
2\gamma
\surd
2\gamma
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
\biggr]
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}
\biggl[ \biggl(
1 - 1\surd
2\gamma
\biggr)
\pi
2
\biggr] \biggr]
>
> - 0,9808 +
1
3
1,4 +
\biggl(
1 - 1, 2
3
\biggr)
\pi
2 \cdot 1,2
\surd
2 \cdot 1,2
(0,5 + 1,6) >
> - 0,9808 + 0,4666 + 1,0641 > 0,5499 > 0.
Отже,
I
(0)
3 (1,2) < I
(0)
3 (\gamma ), I
(0)
3 (1,2) > I3(1,2), I3(1,2) > I3(\gamma ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1616 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
0
a3
a2
a1a1 L1
l1
l2
l3
L2
L3
w1
w2
w3
w4
w5
w6
B2
B1
B3
B0
Рис. 14. Схематичне зображення кругових областей
квадратичного диференцiала (5) при \gamma =
= 1,2.
Пiдсумовуючи наведене вище, маємо
I3(\gamma ) < I
(0)
3 (\gamma ).
Очевидно, що величина I3(\gamma ) > 0 при всiх \gamma \in (1; 1,2], а величина I
(0)
3 (\gamma ) монотонно
спадає при цих значеннях параметра \gamma , отже, I3(\gamma ) < I
(0)
3 (\gamma ).
Випадок 2. Тепер нехай \alpha 0
\surd
2\gamma < 2. Як i при доведеннi теореми 1, твердження теореми 2
випливає з роботи [34]. Справедливою є така лема (див. [34]).
Лема 1. Нехай n = 3, \alpha k \leq 2\surd
2\gamma
, k = 1, 2, 3, \gamma \in [1; 3,01]. Тодi для довiльного набору
чотирьох рiзних точок таких, що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = 1, i довiльного набору чотирьох
взаємно неперетинних областей B0, B1, B2, B3 таких, що a0 = 0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC ,
a2 \in B2 \subset \BbbC , a3 \in B3 \subset \BbbC , причому областi B1, B2, B3 симетричнi вiдносно одиничного
кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq
\biggl(
4
3
\biggr) 3
\Bigl(
2\gamma
9
\Bigr) \gamma
3
\Bigl(
1 - 2\gamma
9
\Bigr) 3
2
+ \gamma
3
\Biggl(
1 -
\surd
2\gamma
3
1 +
\surd
2\gamma
3
\Biggr) \surd 2\gamma
.
Знак рiвностi досягається, коли точки 0, a1, a2, a3 i областi B0, B1, B2, B3 є вiдповiдно
полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - \gamma w6 + 2(9 - \gamma )w3 + \gamma
w2(w3 - 1)2
dw2.
Оскiльки всi \alpha k задовольняють умови леми, звiдси автоматично випливає справедливiсть
теореми.
Знак рiвностi в останнiй нерiвностi досягається при тих же умовах, що i в теоремi 2.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1617
Для того щоб геометрично проiлюструвати отриманий результат, наведемо структуру кру-
гових областей квадратичного диференцiала (5) у випадку \gamma = 1,2, яка визначає екстремальну
конфiгурацiю в теоремi 2. Простими нулями квадратичного диференцiала (5) є w1 = - \rho ,
w2 = - \rho e(
2\pi
3
i), w3 = - \rho e( -
2\pi
3
i), w4 =
1
w1
, w5 =
1
w2
, w6 =
1
w3
, де \rho \approx 0,426137. На рис. 14
зображено областi B0, B1, B2, B3 (0 \in B0, a1 = 1 \in B1, a2 = e(
2\pi
3
i) \in B2, a3 = e( -
2\pi
3
i) \in B3),
якi реалiзують максимальне значення функцiонала I3(\gamma ) при \gamma = 1, 2. Межа областi B0 скла-
дається з трьох траєкторiй l1, l2, l3 i точок w1, w2, w3. Межа областi B1 складається з двох
вiдрiзкiв w2w5, w3w6, двох симетричних вiдносно одиничного кола траєкторiй l1, L1 i точок
w2, w3, w5, w6. В свою чергу межа областi B2 складається з двох вiдрiзкiв w1w4, w2w5 i
двох симетричних вiдносно одиничного кола траєкторiй l2, L2 та точок w1, w2, w4, w5. Межа
областi B3 складається з двох уявних вiдрiзкiв w1w4, w3w6 i двох симетричних вiдносно оди-
ничного кола дуг l3, L3 та точок w1, w3, w4, w6. Вiдрiзки w2w5, w3w6, w1w4 i дуги l1, l2, l3,
L1, L2, L3 — це критичнi траєкторiї квадратичного диференцiала (5), якi визначають круговi
областi B0, B1, B2, B3.
Iз доведених теорем випливають наведенi нижче наслiдки. Зокрема, якщо праву части-
ну нерiвностi (2) записати у термiнах кругових областей квадратичного диференцiала (3), то
справедливим є таке твердження.
Наслiдок 1. Нехай 1 < \gamma \leq 1,1. Тодi для довiльного набору трьох рiзних точок таких, що
a0 = 0, | a1| = | a2| = 1, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей B0, B1 i
B2 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2 симетричнi
вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq r\gamma
\bigl(
B
(0)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
1 , a
(0)
1
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
2 , a
(0)
2
\bigr)
,
де 0, a
(0)
1 , a
(0)
2 i B(0)
0 , B
(0)
1 , B
(0)
2 є вiдповiдно полюсами i круговими областями квадратичного
диференцiала (3).
Наступний наслiдок має мiсце для системи точок одиничного кола та додаткової умови
B0 \subset U. Варто зазначити, що вперше цю задачу у випадку однозв’язних симетричних областей
було розглянуто у роботi [23].
Наслiдок 2. Нехай 1 < \gamma \leq 1,1. Тодi для довiльного набору трьох рiзних точок таких, що
a0 = 0, | a1| = | a2| = 1, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей B0, B1 i
B2 таких, що a0 \in B0 \subset U, a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2 симетричнi
вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq 4
\Bigl( \gamma
2
\Bigr) \gamma
2\Bigl(
1 - \gamma
2
\Bigr) 1+ \gamma
2
\left( 1 -
\surd
2\gamma
2
1 +
\surd
2\gamma
2
\right)
\surd
2\gamma
.
Знак рiвностi досягається, коли точки 0, a1, a2 i областi B0, B1, B2 є вiдповiдно полюсами
i круговими областями квадратичного диференцiала (3).
Теорему 1 легко поширити на випадок довiльного кола радiуса R > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1618 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
Наслiдок 3. Нехай 1 < \gamma \leq 1,1. Тодi для довiльного набору трьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = R > 0, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей
B0, B1 i B2 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2
симетричнi вiдносно кола радiуса R > 0, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq 4
\Bigl( \gamma
2
\Bigr) \gamma
2\Bigl(
1 - \gamma
2
\Bigr) 1+ \gamma
2
\left( 1 -
\surd
2\gamma
2
1 +
\surd
2\gamma
2
\right)
\surd
2\gamma
R\gamma +2. (24)
Знак рiвностi у (24) досягається, коли точки 0, a1, a2 i областi B0, B1, B2 є вiдповiдно
полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - \gamma w4 + 2(4 - \gamma )R2w2 +R4\gamma
w2(w2 - R2)2
dw2. (25)
Наслiдок 4 є аналогом теореми 1 для випадку кола радiуса R > 0, записаним у термiнах
кругових областей квадратичного диференцiала (25).
Наслiдок 4. Нехай 1 < \gamma \leq 1,1. Тодi для довiльного набору трьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = R > 0, i довiльного набору трьох взаємно неперетинних областей
B0, B1 i B2 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , a1 \in B1 \subset \BbbC , a2 \in B2 \subset \BbbC , причому областi B1 i B2
симетричнi вiдносно кола радiуса R > 0, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2) \leq r\gamma
\bigl(
B
(0)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
1 , a
(0)
1
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
2 , a
(0)
2
\bigr)
,
де 0, a
(0)
1 , a
(0)
2 i B(0)
0 , B
(0)
1 , B
(0)
2 є вiдповiдно полюсами i круговими областями квадратичного
диференцiала (25).
Наступний наслiдок справджується, якщо праву частину нерiвностi (4) записати у термiнах
кругових областей квадратичного диференцiала (5).
Наслiдок 5. Нехай 1 < \gamma \leq 1,2. Тодi для довiльного набору чотирьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = 1, i довiльного набору чотирьох взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2 i B3 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, 3, причому областi
Bk, k = 1, 3, симетричнi вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq r\gamma
\bigl(
B
(0)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
1 , a
(0)
1
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
2 , a
(0)
2
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
3 , a
(0)
3
\bigr)
,
де 0, a
(0)
1 , a
(0)
2 , a
(0)
3 i B
(0)
0 , B
(0)
1 , B
(0)
2 , B
(0)
3 є вiдповiдно полюсами i круговими областями
квадратичного диференцiала (5).
Наступний наслiдок випливає з теореми 2 з урахуванням додаткової умови B0 \subset U.
Наслiдок 6. Нехай 1 < \gamma \leq 1,2. Тодi для довiльного набору чотирьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = 1, i довiльного набору чотирьох взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2 i B3 таких, що a0 \in B0 \subset U, ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, 3, причому областi
Bk, k = 1, 3, симетричнi вiдносно одиничного кола, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq
\biggl(
4
3
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
9
\biggr) \gamma
3
\biggl(
1 - 2\gamma
9
\biggr) 3
2
+ \gamma
3
\left( 1 -
\surd
2\gamma
3
1 +
\surd
2\gamma
3
\right)
\surd
2\gamma
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
ЗАДАЧА ПРО ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ З ВIЛЬНИМИ ПОЛЮСАМИ . . . 1619
Знак рiвностi досягається, коли точки 0, a1, a2, a3 i областi B0, B1, B2, B3 є вiдповiдно
полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала (5).
Далi, для кола радiуса R > 0 маємо таке твердження.
Наслiдок 7. Нехай 1 < \gamma \leq 1,2. Тодi для довiльного набору чотирьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = R > 0, i довiльного набору чотирьох взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2 i B3 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, 3, причому областi
Bk, k = 1, 3, симетричнi вiдносно кола радiуса R > 0, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq
\biggl(
4
3
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
9
\biggr) \gamma
3
\biggl(
1 - 2\gamma
9
\biggr) 3
2
+ \gamma
3
\left( 1 -
\surd
2\gamma
3
1 +
\surd
2\gamma
3
\right)
\surd
2\gamma
R\gamma +3. (26)
Знак рiвностi у (26) досягається, коли точки 0, a1, a2, a3 i областi B0, B1, B2, B3 є
вiдповiдно полюсами i круговими областями квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - \gamma w6 + 2(9 - \gamma )R3w3 +R6\gamma
w2(w3 - R3)2
dw2. (27)
Якщо наслiдок 7 записати у термiнах кругових областей квадратичного диференцiала (27),
то отримаємо таке твердження.
Наслiдок 8. Нехай 1 < \gamma \leq 1,2. Тодi для довiльного набору чотирьох рiзних точок таких,
що a0 = 0, | a1| = | a2| = | a3| = R > 0, i довiльного набору чотирьох взаємно неперетинних
областей B0, B1, B2 i B3 таких, що a0 \in B0 \subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, 3, причому областi
Bk, k = 1, 3, симетричнi вiдносно кола радiуса R > 0, виконується нерiвнiсть
r\gamma (B0, 0)r(B1, a1)r(B2, a2)r(B3, a3) \leq r\gamma
\bigl(
B
(0)
0 , 0
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
1 , a
(0)
1
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
2 , a
(0)
2
\bigr)
r
\bigl(
B
(0)
3 , a
(0)
3
\bigr)
,
де 0, a
(0)
1 , a
(0)
2 , a
(0)
3 i B
(0)
0 , B
(0)
1 , B
(0)
2 , B
(0)
3 є вiдповiдно полюсами i круговими областями
квадратичного диференцiала (27).
Лiтература
1. М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений, Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР, 5, 159 – 245 (1934).
2. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).
3. Н. А. Лебедев, Принцип площадей в теории однолистных функций, Наука, Москва (1975).
4. В. К. Хейман, Многолистные функции, Изд-во иностр. лит., Москва (1960).
5. Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, Изд-во иностр. лит., Москва (1962).
6. Г. В. Кузьмина, Методы геометрической теории функций. I, II, Алгебра и анализ, 9, № 3, 41 – 103; № 5, 1 – 50
(1997).
7. Е. Г. Емельянов, К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей,
Зап. науч. сем. ПОМИ, 286, 103 – 114 (2002).
8. Л. И. Колбина, Конформное отображение единичного круга на неналегающие области, Вестн. Ленингр. ун-та,
5, 37 – 43 (1955).
9. П. М. Тамразов, Теоремы покрытия линий при конформном отображении, Мат. сб., 66 (108), № 4, 502 – 524
(1965).
10. П. М. Тамразов, Некоторые экстремальные задачи теории однолистных конформных отображений, Мат.
сб., 67 (109), № 3, 329 – 337 (1965).
11. П. М. Тамразов, К общей теореме о коэффициентах, Мат. сб., 72 (114), № 1, 59 – 71 (1967).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1620 О. К. БАХТIН, Л. В. ВИГIВСЬКА, I. В. ДЕНЕГА
12. П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов, Изв.
АН СССР, сер. мат., 32, № 5, 1033 – 1043 (1968).
13. В. Н. Дубинин, О произведении внутренних радиусов „частично неналегающих” областей, Вопросы метри-
ческой теории отображений и ее применение, Наук. думка, Киев (1978).
14. В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении, Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР, 168, 48 – 66 (1988).
15. В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи
мат. наук, 49 (295), № 1, 3 – 76 (1994).
16. В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного
переменного, Дальнаука ДВО РАН, Владивосток (2009).
17. Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности, Дальневост.
мат. сб., 2, 96 – 98 (1996).
18. Л. В. Ковалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей, Изв. вузов. Математика, 6,
80 – 81 (2000).
19. Л. В. Ковалев, О трех непересекающихся областях, Дальневост. мат. сб., 1, 3 – 7 (2000).
20. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе, Працi Iн-ту математики НАН України (2008).
21. Г. П. Бахтина, Об экстремизации некоторых функционалов в задаче о неналегающих областях, Укр. мат.
журн., 27, № 2, 202 – 204 (1975).
22. Г. П. Бахтина, Метод граничных вариаций в задачах о неналегающих областях, Киев (1975), 35 с.
(Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 75.2).
23. Г. П. Бахтина, Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях:
Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Киев (1975).
24. Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих областей, Современные вопросы вещест-
венного и комплексного анализа, Ин-т математики АН УССР, Киев, 21 – 27 (1984).
25. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Экстремальные задачи о неналегающих областях и квадратичные дифференци-
алы, Доп. НАН України, № 8, 13 – 15 (2005).
26. А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Разделяющие преобразования и задачи о неналегающих областях, Зб. праць Iн-ту
математики НАН України, 273 – 284 (2006).
27. А. К. Бахтин, Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся областей, Зб. праць Iн-ту матема-
тики України, 14, № 1, 25 – 33 (2017).
28. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Л. В. Выговская, Неравенства для внутренних радиусов симметричных неналега-
ющих областей, Укр. мат. журн., 70, № 9, 1282 – 1288 (2018).
29. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей, Укр. мат. журн.,
71, № 7, 996 – 1002 (2019).
30. А. К. Бахтин, И. В. Денега, Экстремальное разбиение комплексной плоскости со свободными полюсами, Укр.
мат. вестн., 16, № 3, 307 – 328 (2019).
31. Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская, О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных обла-
стей, Укр. мат. вестн., 14, № 3, 441 – 452 (2017).
32. И. Я. Дворак, Оценки произведений внутренних радиусов для частично неналегающих областей комплексной
плоскости, Укр. мат. вестн., 15, № 3, 345 – 357 (2018).
33. A. Bakhtin, L. Vyhivska, Estimates of inner radii of symmetric non-overlapping domains, J. Math. Sci., 241, № 1,
1 – 18 (2019).
34. A. Bakthin, L. Vyhivska, I. Denega, Inequality for the internal radii of symmetric non-overlapping domains, Bull.
Soc. Sci. Lett. Lódź, Sér. Rech. Déform., 68, № 2, 37 – 44 (2018).
35. L. V. Vyhivska, On the problem of V. N. Dubinin for symmetric multiply connected domains, J. Math. Sci., 229, № 1,
108 – 113 (2018).
36. A. L. Targonskii, Some inequalities for inner radii of pair-wise disjoint domains and open sets, Mat. Stud., 43, № 1,
51 – 60 (2015) (in Ukrainian).
37. A. L. Targonskii, Extremal problems of partially nonoverlapping domains on a Riemann sphere, Dopov. Nats. Akad.
Nauk Ukr., № 9, 31 – 36 (2008) (in Russian).
Одержано 07.07.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6216 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:35Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1f/1edf52c8383ef9fe7fd8a16cfac9e21f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62162025-03-31T08:49:28Z Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на колі Bakhtin , O. K. Vyhivska , L. V. Denega , I. V. Бахтін, О. К. Вигівська, Л. В. Денега, І. В. внутрiшнiй радiус областi неперетиннi областi екстремальнi задачi про неперетиннi областi системи точок кола роздiляюче перетворення inner radius of a domain non-overlapping domains extremal problems for non-overlapping domains systems of points of a circle separating transformation UDC 517.9 We consider the problem of maximization of the product of inner radii of $n$ nonoverlapping domains, which are symmetric with respect to the unit circle, and the inner radius to the power $\gamma$ of a domain with respect to zero.&nbsp;We solve the problem for $n=2$ and $n=3$ and some $\gamma&gt;1.$ УДК 517.9Вивчається задача про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв $n$ взаємно неперетинних областей, симетричних вiдносно одиничного кола, i внутрiшнього радiуса в додатному степенi $\gamma$ деякої областi вiдносно початку координат.Розв’язано задачу про знаходження максимуму вказаного добутку при $n = 2,\; n = 3$ та деяких $\gamma &gt; 1$. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-12-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6216 10.37863/umzh.v72i12.6216 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 12 (2020); 1599-1620 Український математичний журнал; Том 72 № 12 (2020); 1599-1620 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6216/8870 Copyright (c) 2020 Л. В. Вигівська, О. К. Бахтін, І. В. Денега |
| spellingShingle | Bakhtin , O. K. Vyhivska , L. V. Denega , I. V. Бахтін, О. К. Вигівська, Л. В. Денега, І. В. Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title | Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title_alt | Задача про екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на колі |
| title_full | Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title_fullStr | Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title_full_unstemmed | Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title_short | Extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| title_sort | extremal decomposition problem for the complex plane with free poles on the circle |
| topic_facet | внутрiшнiй радiус областi неперетиннi областi екстремальнi задачi про неперетиннi областi системи точок кола роздiляюче перетворення inner radius of a domain non-overlapping domains extremal problems for non-overlapping domains systems of points of a circle separating transformation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6216 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinok extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT vyhivskalv extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT denegaiv extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT bahtínok extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT vigívsʹkalv extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT denegaív extremaldecompositionproblemforthecomplexplanewithfreepolesonthecircle AT bakhtinok zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí AT vyhivskalv zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí AT denegaiv zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí AT bahtínok zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí AT vigívsʹkalv zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí AT denegaív zadačaproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝinizvílʹnimipolûsaminakolí |