Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II
UDC 517.9 We describe the direct and inverse spectral problems related to the block Jacobi type matrices that correspond to the two-dimensional half-strong real moment problem.In particular, we obtain three matrices that have three-diagonal block structure and act in an $l_2$-like space as commuting...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6231 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512299557584896 |
|---|---|
| author | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова, О. Ю. |
| author_facet | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова, О. Ю. |
| author_sort | Dudkin , M. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:43Z |
| description | UDC 517.9
We describe the direct and inverse spectral problems related to the block Jacobi type matrices that correspond to the two-dimensional half-strong real moment problem.In particular, we obtain three matrices that have three-diagonal block structure and act in an $l_2$-like space as commuting self-adjoint operators, and two of them are mutually inverse. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i10.6231 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i10.6231
УДК 517.9
М. Є. Дудкiн, О. Ю. Дюженкова (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ
ТА ВIДПОВIДНI БЛОЧНI МАТРИЦI. II
We describe the direct and inverse spectral problems related to the block Jacobi type matrices that correspond to the
two-dimensional half-strong real moment problem. In particular, we obtain three matrices that have three-diagonal block
structure and act in an l2 -like space as commuting self-adjoint operators, and two of them are mutually inverse.
Наведено пряму й обернену спектральнi задачi щодо блочних матриць типу Якобi, що вiдповiдають двовимiрнiй дiй-
снiй напiвсильнiй проблемi моментiв. Зокрема, отримано три матрицi, якi мають блочну тридiагональну структуру
i дiють у просторi типу l2 як комутуючi самоспряженi оператори, два з яких є взаємно оберненими.
Стаття є продовженням роботи [9], присвяченої 95-рiччю вiд дня народження Ю. М. Березан-
ського (08.05.1925 – 07.06.2019). В роботi детально встановлено вигляд блочних матриць типу
Якобi, що вiдповiдають дiйснiй напiвсильнiй проблемi моментiв. Нагадаємо, що вигляд матриць
анонсовано у [9]. Цей факт за Ю. М. Березанським називається оберненою спектральною за-
дачею. Також на основi отриманих матриць проiлюстровано процедуру запису вiдповiдних
ортогональних многочленiв та вiдновлення мiри, яка породжує заданi матрицi. Цей факт за
Ю. М. Березанським є прямою спектральною задачею.
3. Ортогоналiзацiя i побудова вiдповiдних тридiагональних блочних матриць типу
Якобi. Нехай d\rho (x, y) — мiра Бореля iз компактним носiєм на \BbbR 2 i L2 := L2(\BbbR 2, d\rho (x, y))
— простiр iнтегровних iз квадратом функцiй, визначених на \BbbR 2. Припустимо, що функцiї
\BbbR 2 \ni \{ x, y\} \mapsto - \rightarrow ymxn, m \in \BbbN 0, n \in \BbbZ , є лiнiйно незалежними i утворюють тотальну множину
в L2.
Для того щоб знайти аналог матрицi Якобi J, як у класичному випадку (див. [5]), необхiдно
вибрати порядок ортогоналiзацiї L2 для сiм’ї функцiй
\{ ymxn\} , m \in \BbbN 0, n \in \BbbZ . (1)
Пропонується такий порядок ортогоналiзацiї за Шмiдтом:
Згiдно iз запропонованим порядком ортогоналiзацiї маємо послiдовнiсть
c\bigcirc М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10 1335
1336 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
1; x, y, x - 1; x2, yx, y2, y1x - 1, x - 2; . . . ;
xn, yx(n - 1), . . . , yn - 1x, yn, yn - 1x - 1 . . . , yx - (n - 1), x - n; . . . ,
(2)
де враховано, що y0 = x0 = 1. Таким чином утворено деякi набори „ламаних лiнiй” iз початком
у точцi xn, закiнченням у точцi x - n i „з кутом” у точцi yn.
Застосовуючи до послiдовностi (2) процедуру ортогоналiзацiї за Шмiдтом (див., наприклад,
[3], роздiл 7), отримуємо ортонормовану систему полiномiв (кожний полiном є сумою доданкiв
вигляду ymxn, m \in \BbbN 0, n \in \BbbZ , iз числовими коефiцiєнтами), якi для зручностi позначимо так:
P0;0(x, y); P1;0(x, y), P2;0(x, y), . . . , Pn;0(x, y), . . . ,
P1;1(x, y), P2;1(x, y), . . . , Pn;1(x, y), . . . ,
P1;2(x, y); P2;2(x, y), . . . , Pn;2(x, y), . . . ,
P2;3(x, y), . . . , Pn;3(x, y), . . . ,
P2;4(x, y); . . . , Pn;4(x, y), . . . ,
. . . . . . . . . , . . . ,
Pn;2n(x, y), . . . ,
(3)
де кожний полiном має вигляд
Pn;\alpha (x, y) = kn;\alpha y
n - | \alpha - n| x(n - \alpha ) +Rn;\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , 2n, kn;\alpha > 0, n \in \BbbN 0, (4)
Rn;\alpha позначає подальшу частину вiдповiдного полiнома згiдно з порядком (2); P0;0(x, y) = 1.
Таким чином, Pn;\alpha є лiнiйною комбiнацiєю
\{ 1; x, y, x - 1; . . . ; xn, y1x(n - 1), . . . , yn - | \alpha - n| x(n - \alpha )\} . (5)
Якщо множина (1) є тотальною у просторi L2, то послiдовнiсть (3) утворює ортонормований
базис у цьому просторi.
Позначимо через \scrP n;\alpha пiдпростiр, утворений з набору (5). Отже,
\scrP 0;0 \subset \scrP 1;0 \subset \scrP 1;1 \subset \scrP 1;2 \subset \scrP 2;0 \subset \scrP 2;1 \subset \scrP 2;2 \subset \scrP 2;3 \subset \scrP 2;4 \subset . . .
. . . \subset \scrP n;0 \subset \scrP n;1 \subset . . . \subset \scrP n;2n \subset . . . ,
\scrP n;\alpha = \{ P0;0(x, y)\} \oplus \{ P1;0(x, y)\} \oplus \{ P1;1(x, y)\} \oplus \{ P1;2(x, y)\} \oplus
\oplus \{ P2;0(x, y)\} \oplus \{ P2;1(x, y)\} \oplus \{ P2;2(x, y)\} \oplus \{ P2;3(x, y)\} \oplus \{ P2;4(x, y)\} \oplus . . .
(6)
. . .\oplus \{ Pn;0(x, y)\} \oplus \{ Pn;1(x, y)\} \oplus . . .\oplus \{ Pn;\alpha (x, y)\} \forall n \in \BbbN 0,
де \{ Pn;\alpha (x, y)\} , n \in \BbbN , \alpha = 0, 1, . . . , 2n, позначає одновимiрний пiдпростiр, утворений
Pn;\alpha (x, y), \scrP 0;0 = \BbbC .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1337
У подальшому замiсть звичайного l2 зручно розглядати
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC 2n+1, n \in \BbbN 0. (7)
Кожний вектор f \in \bfl 2 має вигляд f = (fn)
\infty
n=0, fn \in \scrH n, тому
\| f\| 2l2 =
\infty \sum
n=0
\| fn\| 2\scrH n
<\infty , (f, g)l2 =
\infty \sum
n=0
(fn, gn)\scrH n \forall f, g \in \bfl 2.
Вектор fn \in \scrH n iз n \in \BbbN 0 координатами у деякому ортонормованому базисi \{ en;0, en;1,
en;2, . . . , en;2n\} простору \BbbC n+1 позначимо через (fn;0, fn;1, fn;2, . . . , fn;2n) i, отже, fn =
= (fn;0, fn;1, fn;2, . . . , fn;2n). Зрозумiло, що простiр \bfl 2 є „майже” iзометричним до l2 \times l2 (пiд
„майже” iзометричним розумiється те, що у просторi l2 \times l2 є вектор e0 \times e0, а в \bfl 2 — лише
e0,0).
Використавши ортонормовану систему (3), визначимо вкладення \bfl 2 у L2. Для будь-яких
n \in \BbbN 0 i \{ x, y\} \in \BbbR 2, Pn(x, y) = (Pn;0, Pn;1(x, y), Pn;2(x, y), . . . , Pn;2n(x, y)) \in \scrH n, покладемо
\bfl 2 \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x, y) =
\infty \sum
n=0
(fn, Pn(x, y))\scrH n \in L2. (8)
Оскiльки для n \in \BbbN 0 маємо
(fn, Pn(x, y))\scrH n = fn;0Pn;0(x, y) + fn;1Pn;1(x, y) + fn;2Pn;2(x, y) + . . .+ fn;2nPn;2n(x, y)
i
\| f\| 2l2 = \| (f0;0, f1;0, f1;1, f1;2, . . . , fn;0, fn;1, . . . , fn;2n, . . .)\| 2l2 ,
то (8) дiйсно є вкладенням простору \bfl 2 в L2. Використовуючи ортонормованiсть системи (3),
переконуємося, що вкладення є iзометрiєю. Образом \bfl 2 при вiдображеннi (8) є простiр L2, тому
що, за припущенням, система (3) є ортонормованою в L2. Отже, вiдображення (8) є унiтарним
перетворенням (позначимо його через I ), що дiє з \bfl 2 в L2.
Нехай S — деякий обмежений лiнiйний оператор, визначений у просторi \bfl 2. Можна побу-
дувати операторну матрицю (sj,k)
\infty
j,k=0, де для кожного j, k \in \BbbN 0 елемент sj,k є оператором з
\scrH k в \scrH j , так що для будь-яких f, g \in \bfl 2 маємо
(Sf)j =
\infty \sum
k=0
sj,kfk, j \in \BbbN 0, (Sf, g)l2 =
\infty \sum
j,k=0
(sj,kfk, gj)\scrH j . (9)
Для обґрунтування (9) необхiдно лише записати звичайну матрицю оператора A у просторi
\bfl 2, використавши базис
(e0;0; e1;0, e1;1, e1;2; . . . ; en;0, en;1, . . . , en;2n; . . .), e0;0 = 1. (10)
Тодi sj,k для кожних j, k \in \BbbN 0 є оператором \scrH k - \rightarrow \scrH j , що має матричне зображення
sj,k;\alpha ,\beta = (Sek;\beta , ej;\alpha )l2 , (11)
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. Далi будемо писати sj,k = (aj,k;\alpha ,\beta )
j,k
\alpha ,\beta =0, врахувавши
випадки s0,0 = (a0,0;\alpha ,\beta )
0,0
\alpha ,\beta =0 = a0,0;0,0, s0,1 = (a0,1;\alpha ,\beta )
0,2
\alpha ,\beta =0, s1,0 = (a1,0;\alpha ,\beta )
2,0
\alpha ,\beta =0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1338 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Зауважимо, що зображення (9) також виконується для довiльного оператора S у просторi
\bfl 2, визначеного на \bfl fin \subset \bfl 2, де \bfl fin позначає множину скiнченних векторiв з \bfl 2. У цьому випадку
перша з формул (9) виконується для f \in \bfl fin, а друга — для f \in \bfl fin, g \in \bfl 2.
Нехай \^S = ISI - 1 : L2 - \rightarrow L2 — образ оператора S : \bfl 2 - \rightarrow \bfl 2, розглянутого при пе-
ретвореннi (8). Його матриця у базисi (3) залишається тiєю самою матрицею оператора S,
як при розглядi оператора l2 \times l2 - \rightarrow l2 \times l2 у вiдповiдному базисi (10). Використовую-
чи (11) i попереднi мiркування, отримуємо операторну матрицю (sj,k)
\infty
j,k=0 оператора S :
l2 \times l2 - \rightarrow l2 \times l2. Ця матриця також є операторною матрицею \^S : L2 - \rightarrow L2.
Зрозумiло, що \^S може бути довiльним лiнiйним оператором в L2.
Лема 1. Для полiномiв Pn;\alpha (x, y) i пiдпросторiв \scrP m,\beta , n,m \in \BbbN 0, \alpha = 0, 1, . . . , 2n, \beta =
= 0, 1, . . . , 2m, виконуються включення
yPn;\alpha (x, y) \in \scrP n+1;\alpha +1, \alpha = 0, 1, . . . , 2n, (12)
xPn;\alpha (x, y) \in \scrP n+1;\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , n, (13)
xPn;\alpha (x, y) \in \scrP n+1;n, \alpha = n+ 1, n+ 2, . . . , 2n, (14)
x - 1Pn;\alpha (x, y) \in \scrP n+1;\alpha +2, \alpha = n, n+ 1, . . . , 2n, (15)
x - 1Pn;\alpha (x, y) \in \scrP n;2n, \alpha = 0, 1, . . . , n - 1. (16)
Доведення. Згiдно з (3) полiном Pn;\alpha (x, y), n \in \BbbN 0, є лiнiйною комбiнацiєю (5), тобто
\{ 1; x, y, x - 1; . . . ; xn, yx(n - 1), . . . , yn - | \alpha - n| x(n - \alpha )\} .
Помноживши на „y” кожний елемент iз (5), отримaємо
\{ y; yx, y2, yx - 1; . . . ; yxn, y2x(n - 1), . . . , yn - | \alpha - n| +1x(n - \alpha )\} .
Лiнiйна комбiнацiя цих елементiв належить до \scrP n+1;\alpha +1 при \alpha = 0, 1, . . . , 2n, оскiльки для
останнього елемента (згiдно з порядком (2)) маємо
yn - | \alpha - n| +1x(n - \alpha ) = y(n+1) - | (\alpha +1) - (n+1)| x((n+1) - (\alpha +1)).
Отже, (12) доведено.
Множення на „x” кожного елемента (5) дає
\{ x; x2, yx, 1; . . . ; x(n+1), yx(n), . . . , yn - | \alpha - n| x(n - \alpha +1)\} . (17)
Лiнiйна комбiнацiя цих елементiв належить до \scrP n+1;\alpha при \alpha = 0, 1, . . . , n, оскiльки для остан-
нього елемента (згiдно з порядком (2)) маємо
yn - | \alpha - n| x(n - \alpha +1) = y(n+1) - | n - \alpha | - 1x((n+1) - \alpha ) = y(n+1) - | \alpha - (n+1)| x((n+1) - \alpha ).
Остання рiвнiсть виконується, оскiльки \alpha \leq n. Отже, (13) доведено.
Лiнiйна комбiнацiя елементiв (17) належить до \scrP n+1;n, якщо \alpha = n + 1, . . . , 2n, оскiльки
для останнього елемента (згiдно з порядком (2)) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1339
yn - | \alpha - n| x(n - \alpha +1) = y(n+1) - | \alpha - (n+1)| x((n+1) - \alpha ).
Оскiльки Pn;\alpha (x, y) при \alpha = n + 1, n + 2, . . . , 2n мiстить елемент yn, то ynx мiститься в
xPn;\alpha (x, y) i ynx \in \scrP n+1;n. Отже, (14) доведено.
Аналогiчно, множення на „x - 1” кожного елемента з (5) дає множину
\{ x - 1; 1, yx - 1, x - 2; . . . ; x(n - 1), yx(n - 2), . . . , yn - | \alpha - n| x(n - \alpha - 1)\} . (18)
Лiнiйна комбiнацiя цих елементiв належить до \scrP n+1;\alpha +2, якщо \alpha = n, n+ 1, . . . , 2n, оскiльки
для останнього елемента (згiдно з порядком (2)) маємо
yn - | \alpha - n| x(n - \alpha - 1) = y(n+1) - | \alpha - n| - 1x(n - \alpha - 1) = y(n+1) - | (\alpha +1) - (n+1)| - 1x((n+1) - (\alpha +2)) =
= y(n+1) - | (\alpha +2) - (n+1)| x((n+1) - (\alpha +2)).
Отже, (15) доведено.
Лiнiйна комбiнацiя елементiв з (18) завжди належить до \scrP n;2n, якщо \alpha = 0, 1, . . . , n - 1,
оскiльки x - (n - 1) мiститься в Pn;\alpha (x, y), \alpha = 0, 1, . . . , n - 1. Отже, x - 1Pn;\alpha (x, y) при \alpha =
= 0, 1, . . . , n - 1 мiстить x - n. Таким чином, (16) доведено.
Лему 1 доведено.
Перейдемо до розгляду операторiв множення на „y”, „x” та „x - 1”, тобто B, A та A - 1. В
якостi оператора \^S iз (9) вiзьмемо оператор \^B.
Лема 2. Нехай \^B — самоспряжений оператор множення на „y” у просторi L2 :
L2 \ni \varphi (x, y) \mapsto - \rightarrow ( \^B\varphi )(x, y) = y\varphi (x, y) \in L2.
Операторна матриця (bj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^B (тобто B = I - 1 \^BI ) має тридiагональну струк-
туру: bj,k = 0 при | j - k| > 1.
Доведення. Використовуючи (11) при en;\gamma = I - 1Pn;\gamma (x, y), \gamma = 0, 1, . . . , 2n, n \in \BbbN 0, маємо
bj,k;\alpha ,\beta = (Bek;\beta , ej;\alpha )l2 =
\int
\BbbR 2
yPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y)d\rho (x, y) \forall j, k \in \BbbN 0, (19)
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. З (12) випливає, що yPk;\alpha (x, y) належить до \scrP k+1;\alpha +1,
якщо \alpha = 0, 1, . . . , 2j. Згiдно з (6) iнтеграл у (19) дорiвнює нулю при j > k + 1.
З iншого боку, iнтеграл у (19) має вигляд
bj,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=yPj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y). (20)
З (12) також випливає, що \=yPj;\alpha (x, y) = yPj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;\alpha +1. Згiдно з (6) останнiй
iнтеграл дорiвнює нулю при k > j + 1 i для кожного \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k.
Отже, iнтеграл у (20), тобто коефiцiєнти aj,k;\alpha ,\beta , j, k \in \BbbN 0, дорiвнюють нулю при | j - k| >
> 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. У попередньому розглядi слiд враховувати, що e0;0 =
= I - 1P0;0(x, y), P0;0(x, y) = 1.
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1340 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Таким чином, матриця (bj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^B має тридiагональну блочну структуру\left[
b0,0 b0,1 0 0 0 . . .
b1,0 b1,1 b1,2 0 0 . . .
0 b2,1 b2,2 b2,3 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] . (21)
Позначимо через ((b\ast )j,k)
\infty
j,k=0 операторну матрицю оператора ( \^B)\ast , спряженого з \^B. За-
уважимо, що ( \^B)\ast = \^B i також є оператором множення на „y”, тому що y = \=y. Враховуючи
вираз (19) для j, k \in \BbbN 0, маємо
(b\ast )j,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=yPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
=
\int
\BbbR 2
yPj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y) = \=bk,j;\beta ,\alpha = bk,j;\beta ,\alpha ,
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. Оскiльки \=y = y, то матриця (21) є ермiтовою (bj,k;\alpha ,\beta =
= \=bk,j;\beta ,\alpha ).
Бiльш детальний аналiз виразу (19) дає можливiсть дiзнатися про обов’язково нульовi i
ненульовi елементи матриць (bj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 у кожному випадку при | j - k| \leq 1. Для цього
використовується переставна властивiсть iндексiв j, k та \alpha , \beta .
Лема 3. Нехай (bj,k)
\infty
j,k=0 — операторна матриця оператора множення на „y” в L2, де
bj,k : \scrH k - \rightarrow \scrH j ; bj,k = (bj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 є матрицями оператора bj,k у вiдповiдному ортонормо-
ваному базисi. Тодi
bj,j+1;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = \alpha + 2, \alpha + 3, . . . , 2j + 2,
bj+1,j;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , 2j, \alpha = \beta + 2, \beta + 3, . . . , 2j + 2, j \in \BbbN 0.
(22)
Доведення. Згiдно з (19) i (12) для будь-яких \alpha = 0, 1, . . . , 2j i \beta = \alpha +2, \alpha +3, . . . , 2j+2,
j \in \BbbN 0, маємо
bj,j+1;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
yPj+1,\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
\int
\BbbR 2
yPj,\alpha (x, y)Pj+1;\beta (x, y) d\rho (x, y),
де yPj;\alpha (x, y) \in \scrP j+1;\alpha +1. Але, згiдно з (6), Pj+1;\beta (x, y) ортогональний до \scrP j+1;\alpha +1 при \beta >
> \alpha + 1 i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю. Це дає першу рiвнiсть у (22).
Аналогiчно, з (19) i (12) для будь-яких \beta = 0, 1, . . . , 2j i \alpha = \beta + 2, \beta + 3, . . . , 2j + 2 маємо
bj+1,j;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
yPj,\beta (x, y)Pj+1;\alpha (x, y) d\rho (x, y), j \in \BbbN 0,
де yPj;\beta (x, y) \in \scrP j+1;\beta +1. Але, згiдно з (6), Pj+1;\alpha (x, y) ортогональний до \scrP j+1;\beta +1 при \alpha >
> \beta + 1 i, отже, останнiй iнтеграл також дорiвнює нулю. Це дає другу рiвнiсть в (22), яка,
зокрема, випливає iз симетричностi матрицi.
Лему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1341
Попереднi дослiдження показують, що в (21) для будь-якого j \in \BbbN верхнiй правий кут
кожної ((2j + 1) \times (2j + 3))-матрицi bj,j+1, j \in \BbbN 0 (починаючи iз третьої дiагоналi) i нижнiй
лiвий кут кожної ((2j + 3) \times (2j + 1))-матрицi bj+1,j (починаючи з третьої дiагоналi) завжди
мають нульовi елементи. Враховуючи (21), можна говорити, що ермiтова матриця оператора
множення на „y” є багатодiагональною, як звичайна скалярна матриця у звичайному базисi l2.
Лема 4. Елементи
bj,j+1;\alpha ,\alpha +1, bj+1,j;\alpha +1,\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , 2j, j \in \BbbN 0,
матрицi (bj,k)\infty j,k=0 з леми 3 є додатними.
Доведення. Почнемо з b0,1;0,1. Позначимо через P \prime
1;1(x, y) ненормований вектор P1;1(x, y),
отриманий при ортогоналiзацiї за Шмiдтом вектора y. Згiдно з (2) i (3) маємо
P \prime
1;1(x, y) = y - (y, P1;0(x, y))L2P1;0(x, y) - (y, 1)L2 ,
де 1 = P0;0(x, y). Отже, використовуючи (19), отримуємо
b0,1;0,1 =
\int
\BbbR 2
yP1;1(x, y) d\rho (x, y) = \| P \prime
1;1(x, y)\| - 1
L2
\int
\BbbR 2
yP \prime
1;1(x, y) d\rho (x, y) =
= \| P \prime
1;1(x, y)\| - 1
L2
\int
\BbbR 2
y(y - (y, P1;0(x, y))L2P1;0(x, y) - (y, 1)L2) d\rho (x, y) =
= \| P \prime
1;1(x, y)\| - 1
L2
(\| y\| 2L2
- | (y, P1;0(x, y))L2 | 2 - | (y, 1)L2 | 2). (23)
Останнiй вираз є додатним (див. (24)) i, отже, b0,1;0,1 > 0, оскiльки (1) є тотальною мно-
жиною лiнiйно незалежних векторiв у L2. Елемент b1,0;1,0 також додатний, оскiльки матриця є
ермiтовою.
Додатнiсть (23) випливає з рiвностi Парсеваля при розкладi функцiї y \in L2 за ортонормо-
ваним базисом (3) простору L2 :
| (y, 1)L2 | 2 + | (y, P1;0(x, y))L2 | 2 + | (y, P1;1(x, y))L2 | 2 + . . . = \| y\| 2L2
. (24)
Покажемо додатнiсть bj,j+1;\alpha ,\alpha +1 при \alpha = 0, 1, . . . , 2j, j \in \BbbN . З (19) маємо
bj,j+1;\alpha ,\alpha +1 =
\int
\BbbR 2
yPj+1;\alpha +1(x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y). (25)
Згiдно з (4) i (6)
Pj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
j - | \alpha - j| x(j - \alpha ) +Rj;\alpha (x, y), (26)
де Rj;\alpha (x, y) — полiном з \scrP j;\alpha - 1 при \alpha > 0 або з \scrP j - 1;2j - 2 при \alpha = 0. Отже, yRj;\alpha (x, y) —
полiном з \scrP j+1;\alpha (якщо \alpha = 0, то yRj;\alpha (x, y) \in \scrP j;2j - 1 (див. (12)). Множення (26) на „y” дає
yPj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
(j+1) - | \alpha - j| x(j - \alpha ) + yRj;\alpha (x, y), (27)
де yRj;\alpha (x, y) \in \scrP j+1;\alpha або yRj;\alpha (x, y) \in \scrP j;2j - 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1342 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Вираз (26) у випадку Pj+1;\alpha (x, y) має вигляд
Pj+1;\alpha +1(x, y) = kj+1;\alpha +1y
(j+1) - | (\alpha +1) - (j+1)| x((j+1) - (\alpha +1)) +Rj+1;\alpha +1(x, y) =
= kj+1;\alpha +1y
(j+1) - | (\alpha - j)| x(j - \alpha ) +Rj+1;\alpha +1(x, y), (28)
де Rj+1;\alpha +1(x, y) \in \scrP j+1;\alpha +1, оскiльки \alpha + 1 > 0.
Виразимо y(j+1) - | (\alpha - j)| x(j - \alpha ) з (28) i пiдставимо його у (27):
yPj;\alpha (x, y) =
kj;\alpha
kj+1;\alpha +1
(Pj+1;\alpha +1(x, y) - Rj+1;\alpha +1(x, y)) + yRj;\alpha (x, y) =
=
kj;\alpha
kj+1;\alpha +1
Pj+1;\alpha +1(x, y) -
kj;\alpha
kj+1;\alpha +1
Rj+1;\alpha +1(x, y) + yRj;\alpha (x, y). (29)
У (29) два останнiх доданки належать до \scrP j+1;\alpha та \scrP j+1;\alpha або \scrP j;2j - 1 вiдповiдно i завжди є
ортогональними до Pj+1;\alpha +1(x, y).
Отже, пiдстановка виразу (29) у (25) дає bj+1,j;\alpha ,\alpha =
kj;\alpha
kj+1;\alpha +1
> 0. Елементи bj,j+1;\alpha ,\alpha
також є додатними завдяки симетричностi матрицi, тобто bj+1,j;\alpha ,\alpha = bj,j+1;\alpha ,\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , 2j,
j \in \BbbN .
Лему 4 доведено.
Далi перепозначимо елементи матрицi aj,k таким чином:
pn = bn+1,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
qn = bn,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
rn = bn,n+1 : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(30)
Наведенi вище результати сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема 1. Обмежений ермiтiв оператор \^B множення на „y” у просторi L2 в ортонор-
мованому базисi (3) полiномiв має форму тридiагональної блочної симетричної матрицi типу
Якобi JB = (bj,k)
\infty
j,k=0, яка дiє у просторi (7):
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC 2n+1, n \in \BbbN 0.
Норми операторiв bj,k : \scrH k - \rightarrow \scrH j , j, k \in \BbbN 0, обмеженi однiєю величиною.
У позначеннях (30) симетрична матриця має блочну структуру
JB =
\left[
q0 r0 0 0 0 . . .
p0 q1 r1 0 0 . . .
0 p1 q2 r2 0 . . .
0 0 p2 q3 r3 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] , (31)
а у скалярнiй формi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1343
JB =
\left[
\ast \ast + 0
\ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0
+ \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0
0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0 0
+ \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0
0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0
0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0
0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
+ \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
. . . . . . . . .
\right]
. (32)
У (31) для будь-якого n \in \BbbN 0 qn — ((2n+1)\times (2n+1))-матриця: qn = (qn;\alpha ,\beta )
2n,2n
\alpha ,\beta =0 (q0 = b0;0,0
— скаляр); pn — ((2n+3)\times (2n+1))-матриця: pn = (pn;\alpha ,\beta )
2n+2,2n
\alpha ,\beta =0 ; rn — ((2n+1)\times (2n+3))-
матриця: rn = (rn;\alpha ,\beta )
2n,2n+2
\alpha ,\beta =0 . Деякi елементи матриць pn i rn завжди є нульовими:
rn;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , 2n, \beta = \alpha + 2, \alpha + 3, . . . , 2n+ 2,
pn;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , 2n, \alpha = \beta + 2, \beta + 3, . . . , 2n+ 2, n \in \BbbN 0.
(33)
Деякi елементи завжди є додатними, тобто
rn;\alpha ,\alpha +1 > 0, pn;\alpha +1,\alpha > 0, \alpha = 0, 1, . . . , 2n, n \in \BbbN 0. (34)
Додатнi елементи у (32) позначено як „+”. Через „\ast ” позначено довiльнi (можливо, i нульовi)
елементи матриць. Матриця (32) у скалярнiй формi має багатодiагональну структуру.
Матриця JB є симетричною в базисi (3) i, отже, задає самоспряжений оператор. Матриця
JB дiє за правилом
(JBf)n = pn - 1fn - 1 + qnfn + rnfn+1, n \in \BbbN 0, f - 1 = 0. (35)
Далi в якостi оператора \^S iз (9) вiзьмемо оператор \^A.
Лема 5. Нехай \^A — оператор множення на „x” у просторi L2 :
L2 \ni \varphi (x, y) \mapsto - \rightarrow ( \^A\varphi )(x, y) = x\varphi (x, y) \in L2.
Операторна матриця (aj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^A (тобто A = I - 1 \^AI ) має тридiагональну струк-
туру, тобто aj,k = 0 при | j - k| > 1.
Доведення. Використовуючи (11), при en;\gamma = I - 1Pn;\gamma (x, y), \gamma = 0, 1, . . . , 2n, n \in \BbbN 0,
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1344 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
aj,k;\alpha ,\beta = (Aek;\beta , ej;\alpha )l2 =
\int
\BbbR 2
xPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y)d\rho (x, y) \forall j, k \in \BbbN 0, (36)
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. З (13), (14) випливає, що xPk;\beta (x, y) належить до \scrP k+1;\beta
при \beta = 0, 1, . . . , k, а xPk;\beta (x, y) — до \scrP k+1;k при \beta = k+1, k+2, . . . , 2k. Згiдно з (6) iнтеграл
у (36) дорiвнює нулю при j > k + 1 i всiх \beta = 0, 1, . . . , 2k.
З iншого боку, iнтеграл (36) має вигляд
aj,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=xPj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y). (37)
З (13), (14) тепер випливає, що xPj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;\alpha при \alpha = 0, 1, . . . , j, а xPj;\alpha (x, y)
— до \scrP j+1;j при \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j. Згiдно з (6) останнiй iнтеграл дорiвнює нулю при
k > j + 1 i кожному \alpha = 0, 1, . . . , 2j.
Як результат, iнтеграл у (37), тобто коефiцiєнти aj,k;\alpha ,\beta , j, k \in \BbbN 0, дорiвнюють нулю при
| j - k| > 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. У попередньому розглядi враховано, що e0;0 =
= I - 1P0;0(x, y), P0;0(x, y) = 1.
Лему 5 доведено.
Таким чином, матриця (aj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^A має тридiагональну блочну структуру\left[
a0,0 a0,1 0 0 0 . . .
a1,0 a1,1 a1,2 0 0 . . .
0 a2,1 a2,2 a2,3 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] . (38)
Позначимо через ((a\ast )j,k)
\infty
j,k=0 операторну матрицю спряженого з \^A оператора ( \^A)\ast . Опе-
ратор ( \^A)\ast також є оператором множення на „x”, оскiльки x = \=x. Враховуючи вираз (36) для
j, k \in \BbbN 0, маємо
(a\ast )j,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=xPk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
=
\int
\BbbR 2
xPj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y) = \=ak,j;\beta ,\alpha = ak,j;\beta ,\alpha ,
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j i \beta = 0, 1, . . . , 2k.
Детальний аналiз виразiв (36) дає iнформацiю про нульовi i ненульовi елементи матриць
(aj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 при | j - k| \leq 1. Також будемо використовувати переставнi властивостi iндексiв
j, k, та \alpha , \beta .
Лема 6. Нехай (aj,k)
\infty
j,k=0 — операторна матриця множення на „x” в L2, де aj,k : \scrH k - \rightarrow
- \rightarrow \scrH j ; aj,k = (aj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 — матрицi операторiв aj,k у вiдповiдному ортонормованому
базисi. Тодi маємо
aj,j+1;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , j, \beta = \alpha + 1, \alpha + 2, . . . , 2j + 2, (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1345
aj,j+1;\alpha ,\beta = 0, \alpha = j + 1, . . . , 2j, \beta = j + 1, j + 2, . . . , 2j + 2, (40)
aj+1,j;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , j, \alpha = \beta + 1, \beta + 2, . . . , 2j + 2, (41)
aj+1,j;\alpha ,\beta = 0, \beta = j + 1, j + 1, . . . , 2j, \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j + 2, j \in \BbbN 0. (42)
Доведення. Згiдно з (36) i (13), (14) для aj,j+1;\alpha ,\beta з \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k маємо
aj,j+1;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
xPj+1,\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
\int
\BbbR 2
\=xPj,\alpha (x, y)Pj+1;\beta (x, y) d\rho (x, y), j \in \BbbN ,
де \=xPj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;\alpha при \alpha = 0, 1, . . . , j. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;\alpha ортогональний
до \scrP j+1;\beta при \beta > \alpha i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю. Це дає рiвнiсть (39). I \=xPj;\alpha (x, y)
належить до \scrP j+1;j при \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;j ортогональний до
\scrP j+1;\beta при \beta = j + 1, j + 2, . . . , 2j + 2 i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю. Це дає
рiвнiсть (39).
Аналогiчно, з (36) i (13), (14) для \alpha = 0, 1, . . . , 2j + 2, \beta = 0, 1, . . . , 2j маємо
aj+1,j;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
xPj,\beta (x, y)Pj+1;\alpha (x, y) d\rho (x, y), j \in \BbbN 0,
де xPj;\beta (x, y) належить до \scrP j+1;\beta при \beta = 0, 1, . . . , j. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;\beta ортогональний
до \scrP j+1;\alpha при \beta < \alpha i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю при \alpha = \beta +1, \beta +2, . . . , 2j+2.
Це дає рiвнiсть в (41). I xPj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;j при \beta = j+1, j+2, . . . , 2j. Але, згiдно
з (6), \scrP j+1;j ортогональний до \scrP j+1;\alpha при \alpha > j i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю при
\alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j + 2. Це дає рiвнiсть (42). Зокрема, (41) i (42) можна отримати з (39) i
(40), врахувавши симетричнiсть матрицi.
Лему 6 доведено.
Таким чином, пiсля дослiджень можна говорити, що у (38) для будь-якого j \in \BbbN 0 кожний
нижнiй кут матрицi aj+1,j (починаючи з другої дiагоналi) i j + 2 останнiх рядки, а також
кожний верхнiй правий кут матрицi aj,j+1 (починаючи з другої дiагоналi) i j + 2 останнiх
рядки мiстять нульовi елементи. З огляду на (38) зауважимо, що матриця множення на „x” є
багатодiагональною скалярною, тобто у звичайному базисi простору l2.
Лема 7. Елементи
aj,j+1;\alpha ,\alpha , aj+1,j;\alpha ,\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , j, j \in \BbbN 0,
матриць (aj,k)
\infty
j,k=0 з леми 6 є додатними.
Доведення. Почнемо з a1,0;0,0. Використавши (36), позначимо через P \prime
1;0(x, y) = x - (x, 1)L2
(1 = P0;0(x, y)) ненормований вектор P1;0(x, y), отриманий завдяки ортогоналiзацiї за Шмiдтом
вектора x. Отже,
a1,0;0,0 =
\int
\BbbR 2
xP1;0(x, y) d\rho (x, y) = \| P \prime
1;0(x, y)\| - 1
L2
\int
\BbbR 2
x(x - (x, 1)L2) d\rho (x, y) =
= \| P \prime
1;0(x, y)\| - 1
L2
(\| x\| 2L2
- | (x - 1, 1)L2 | 2). (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1346 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Остання рiзниця є додатною (див. (44)), отже, a1,0;0,0 > 0. Оскiльки a0,1;0,0 = a1,0;0,0, то також
a0,1;0,0 > 0.
Додатнiсть (43) випливає з рiвностi Парсеваля, застосованої до розкладу функцiї x \in L2 за
ортонормованим базисом (3) простору L2 :
| (x, 1)L2 | 2 + | (x, P1;0(x, y))L2 | 2 + | (x, P1;1(x, y))L2 | 2 + . . . = \| x\| 2L2
. (44)
Покажемо додатнiсть aj+1,j;\alpha ,\alpha , де j \in \BbbN , \alpha = 0, 1, . . . , j. З (36) маємо
aj+1,j;\alpha ,\alpha =
\int
\BbbR 2
xPj;\alpha (x, y)Pj+1;\alpha (x, y) d\rho (x, y). (45)
Згiдно з (4) i (6)
Pj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
j - | \alpha - j| x(j - \alpha ) +Rj;\alpha (x, y), (46)
де Rj;\alpha (x, y) — деякий полiном з \scrP j;\alpha - 1 при \alpha > 0 або з \scrP j - 1;2(j - 1) при \alpha = 0. Отже,
xRj;\alpha (x, y) — полiном з \scrP j+1;\alpha - 1 при \alpha = 1, 2, . . . , j, або з \scrP j+1;j при \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j,
або з \scrP j;2(j - 1) при \alpha = 0 (див. (13), (14) i (6)). Помноживши (46) на „x”, отримаємо
xPj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
j - | \alpha - j)| x(j - \alpha +1) + xRj;\alpha (x, y) =
= kj;\alpha y
j+1 - | \alpha - (j+1))| x(j+1 - \alpha ) + xRj;\alpha (x, y),
xRj;\alpha (x, y) \in
\left\{
\scrP j;2(j - 1), \alpha = 0,
\scrP j+1;\alpha - 1, \alpha = 1, 2, . . . , j,
\scrP j+1;j , \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j.
(47)
З iншого боку, вираз (46) у випадку Pj+1;\alpha (x, y) має вигляд
Pj+1;\alpha (x, y) = kj+1;\alpha y
j+1 - | \alpha - (j+1)| x(j+1 - \alpha ) +Rj+1;\alpha (x, y),
Rj+1;\alpha (x, y) \in
\Biggl\{
\scrP j;2j , \alpha = 0,
\scrP j+1;\alpha - 1, \alpha = 1, 2, . . . , 2j.
(48)
Виразимо yj+1 - | \alpha - (j+1)| x(j+1 - \alpha ) з (48) i пiдставимо його у (47):
xPj;\alpha (x, y) =
kj;\alpha
kj+1;\alpha
(Pj+1;\alpha (x, y) - Rj+1;\alpha (x, y)) + xRj;\alpha (x, y) =
=
kj;\alpha
kj+1;\alpha
Pj+1;\alpha (x, y) -
kj;\alpha
kj+1;\alpha
Rj+1;\alpha (x, y) + xRj;\alpha (x, y), (49)
де другий доданок належить до \scrP j+1;\alpha - 1 (\alpha \not = 0) або до \scrP j;2j (\alpha = 0), а третiй доданок
належить до \scrP j;2(j - 1) при \alpha = 0, \scrP j+1;\alpha - 1 при \alpha = 1, 2, . . . , j, \scrP j+1;j при \alpha = j + 1, j +
+ 2, . . . , 2j i ортогональний до Pj+1;\alpha (x, y) при \alpha \leq j. Отже, пiсля пiдстановки виразу (49) в
(45) отримуємо aj+1,j;\alpha ,\alpha =
kj;\alpha
kj+1;\alpha
> 0.
Елементи aj,j+1;\alpha ,\alpha , де \alpha = j + 1, j + 2, . . . , 2j, j \in \BbbN , також є додатними завдяки симет-
ричностi матрицi, тобто aj,j+1;\alpha ,\alpha = aj+1,j;\alpha ,\alpha .
Лему 7 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1347
Далi перепозначимо елементи матриць aj,k :
an = an+1,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
bn = an,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
cn = ua,n+1 : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(50)
Наведенi вище результати сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема 2. Обмежений ермiтiв оператор \^A множення на „x” у просторi L2 в ортонор-
мованому базисi (3) полiномiв має форму тридiагональної блочної симетричної матрицi типу
Якобi JA = (aj,k)
\infty
j,k=0, яка дiє у просторi (7):
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC 2n+1, n \in \BbbN 0.
Норми операторiв aj,k : \scrH k - \rightarrow \scrH j , j, k \in \BbbN 0, обмеженi однiєю величиною.
У позначеннях (50) симетрична матриця має блочну структуру
JA =
\left[
b0 c0 0 0 0 . . .
a0 b1 c1 0 0 . . .
0 a1 b2 c2 0 . . .
0 0 a2 b3 c3 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] , (51)
а у скалярнiй формi
JA =
\left[
\ast + 0 0
+ \ast \ast \ast + 0 0 0 0
0 \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0
0 \ast \ast \ast \ast \ast 0 0 0
+ \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0 0 0
0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0 0
0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0 0 0
0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast 0 0 0 0
0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast 0 0 0 0
+ \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
. . . . . . . . .
\right]
. (52)
У (51) для будь-якого n \in \BbbN 0 bn — ((2n+1)\times (2n+1))-матриця: bn = (bn;\alpha ,\beta )
2n,2n
\alpha ,\beta =0 (b0 = b0;0,0
— скаляр); an — ((2n+3)\times (2n+1))-матриця: an = (an;\alpha ,\beta )
2n+2,2n
\alpha ,\beta =0 ; cn — ((2n+1)\times (2n+3))-
матриця: cn = (cn;\alpha ,\beta )
2n,2n+2
\alpha ,\beta =0 . Деякi елементи матриць an i cn є нульовими:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1348 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
an;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , n, \beta = \alpha + 1, \alpha + 2, . . . , 2n+ 2,
an;\alpha ,\beta = 0, \alpha = n+ 1, . . . , 2n, \beta = n+ 1, n+ 2, . . . , 2n+ 2,
cn;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , n, \alpha = \beta + 1, \beta + 2, . . . , 2n+ 2,
cn;\alpha ,\beta = 0, \beta = n+ 1, n+ 2, . . . , 2n, \alpha = n+ 1, n+ 2, . . . , 2n+ 2, n \in \BbbN 0.
(53)
Деякi елементи завжди є додатними, тобто
cn;\alpha ,\alpha +2 > 0, an;\alpha ,\alpha > 0, \alpha = 0, 1, . . . , n, n \in \BbbN 0. (54)
Додатнi елементи в (52) позначенo через „+”. Через „\ast ” позначенo довiльнi (можливо, i
нульовi) елементи матриць. Матриця (52) у скалярнiй формi має багатодiагональну структуру.
Матриця JA є симетричною в базисi (3) i, отже, задає самоспряжений оператор. Матриця
JA, дiє за правилом: \forall f = (fn)
\infty
n=0 \in \bfl 2
(JAf)n = an - 1fn - 1 + bnfn + cnfn+1, n \in \BbbN 0, f - 1 = 0. (55)
Далi в якостi оператора \^S iз (9) вiзьмемо оператор \^A - 1.
Лема 8. Нехай \^A - 1 — оператор множення на „x - 1” у просторi L2 :
L2 \ni \varphi (x, y) \mapsto - \rightarrow ( \^A - 1\varphi )(x, y) = x - 1\varphi (x, y) \in L2.
Операторна матриця (uj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^A - 1 (тобто A - 1 = I - 1 \^A - 1I ) має тридiагональну
структуру, тобто uj,k = 0 при | j - k| > 1.
Доведення. Використовуючи (11), при en;\gamma = I - 1Pn;\gamma (x, y), \gamma = 0, 1, . . . , 2n, n \in \BbbN 0,
маємо
uj,k;\alpha ,\beta = (A - 1ek;\beta , ej;\alpha )l2 =
\int
\BbbR 2
x - 1Pk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y)d\rho (x, y) \forall j, k \in \BbbN 0, (56)
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. З (15), (16) випливає, що x - 1Pk;\beta (x, y) належить до
\scrP k+1;\beta +2 при \beta = k, k + 1, . . . , 2k, а x - 1Pk;\beta (x, y) — до \scrP k;2k при \beta = 0, 1, . . . , k - 1. Згiдно з
(6) iнтеграл у (56) дорiвнює нулю при j > k + 1 для всiх \beta = 0, 1, . . . , 2k.
З iншого боку, iнтеграл (56) має вигляд
uj,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=x - 1Pj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y). (57)
З (15), (16) тепер випливає, що x - 1Pj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;\alpha +2 при \alpha = j, j + 1, . . . , 2j, а
x - 1Pj;\alpha (x, y) — до \scrP j;2j при \alpha = 0, 1, . . . , j - 1. Згiдно з (6) останнiй iнтеграл дорiвнює нулю
при k > j + 1 i кожному \alpha = 0, 1, . . . , 2j.
Як результат, iнтеграл у (57), тобто коефiцiєнти uj,k;\alpha ,\beta , j, k \in \BbbN 0, дорiвнюють нулю
при | j - k| > 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k. У попередньому розглядi враховано, що
e0;0 = I - 1P0;0(x, y) = 1, де P0;0(x, y) = 1.
Лему 8 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1349
Таким чином, матриця (uj,k)
\infty
j,k=0 оператора \^A - 1 має тридiагональну блочну структуру\left[
u0,0 u0,1 0 0 0 . . .
u1,0 u1,1 u1,2 0 0 . . .
0 u2,1 u2,2 u2,3 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] . (58)
Позначимо через ((u\ast )j,k)
\infty
j,k=0 операторну матрицю спряженого з \^A - 1 оператора ( \^A - 1)\ast .
Оператор ( \^A - 1)\ast також є оператором множення на „x - 1”. Враховуючи вираз (56), для j, k \in \BbbN 0
маємо
(u\ast )j,k;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
\=x - 1Pk;\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
=
\int
\BbbR 2
x - 1Pj;\alpha (x, y)Pk;\beta (x, y) d\rho (x, y) = \=uk,j;\beta ,\alpha = uk,j;\beta ,\alpha ,
де \alpha = 0, 1, . . . , 2j i \beta = 0, 1, . . . , 2k.
Детальний аналiз виразу (56) дає iнформацiю про нульовi i ненульовi елементи матриць
(uj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 при | j - k| \leq 1. Також будемо використовувати переставнi властивостi iндексiв
j, k, та \alpha , \beta .
Лема 9. Нехай (uj,k)
\infty
j,k=0 — операторна матриця множення на „x - 1” в L2, де uj,k :
\scrH k - \rightarrow \scrH j ; uj,k = (uj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0 — матрицi операторiв uj,k у вiдповiдному ортонормованому
базисi. Тодi маємо
uj,j+1;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , j - 1, \beta = 0, 1, . . . , 2j + 2, (59)
uj,j+1;\alpha ,\beta = 0, \alpha = j, j + 1, . . . , 2j - 1, \beta = \alpha + 3, \alpha + 4, . . . , 2j + 2, (60)
uj+1,j;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , j - 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2j + 2, (61)
uj+1,j;\alpha ,\beta = 0, \beta = j, j + 1, j + 1, . . . , 2j - 1, \alpha = j + 3, j + 4, . . . , 2j + 2; j \in \BbbN 0. (62)
Доведення. Згiдно з (56) i (15), (16) для uj,j+1;\alpha ,\beta , \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k, j \in \BbbN 0,
маємо
uj,j+1;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
x - 1Pj+1,\beta (x, y)Pj;\alpha (x, y) d\rho (x, y) =
\int
\BbbR 2
\=x - 1Pj,\alpha (x, y)Pj+1;\beta (x, y) d\rho (x, y),
де \=x - 1Pj;\alpha (x, y) належить до \scrP j+1;\alpha +2 при \alpha = j, j + 1, . . . , 2j. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;\alpha +2
ортогональний до \scrP j+1;\beta при \beta > \alpha + 2 i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю. Це дає
рiвнiсть (60). I \=x - 1Pj;\alpha (x, y) належить до \scrP j;2j при \alpha = 0, 1, . . . , j - 1. Але, згiдно з (6), \scrP j;2j
ортогональний до \scrP j+1;\beta при \beta = 0, 1, . . . , 2j+2 i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю. Це
дає рiвнiсть (59).
Аналогiчно, з (56) i (14), (15) при \alpha = 0, 1, . . . , 2j + 2, \beta = 0, 1, . . . , 2j, j \in \BbbN 0, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1350 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
uj+1,j;\alpha ,\beta =
\int
\BbbR 2
x - 1Pj,\beta (x, y)Pj+1;\alpha (x, y) d\rho (x, y),
де x - 1Pj;\beta (x, y) належить до \scrP j+1;\beta +2 при \beta = j, j + 1, . . . , 2j. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;\beta +2
ортогональний до \scrP j+1;\alpha при \beta + 2 < \alpha i, отже, останнiй iнтеграл дорiвнює нулю при \alpha =
= j + 3, j + 4, . . . , 2j + 2. Це дає рiвнiсть у (62). I x - 1Pj;\beta (x, y) належить до \scrP j+1;2j при
\beta = 0, 1, . . . , 2j - 1. Але, згiдно з (6), \scrP j+1;2j ортогональний до \scrP j+1;\alpha при \alpha < 2j i, отже,
останнiй iнтеграл дорiвнює нулю при \alpha = 0, 1, . . . , 2j - 1. Це дає рiвнiсть (61). Зокрема, (61) i
(62) можна отримати з (59) i (60), враховувавши симетричнiсть матрицi.
Лему 9 доведено.
Таким чином, пiсля дослiджень можна говорити, що в (58) для будь-якого j \in \BbbN 0 кожний
нижнiй кут матрицi uj+1,j (2j дiагоналей) та j перших стовпцiв i кожний верхнiй правий кут
матрицi uj,j+1 (2j дiагоналей) та j перших рядкiв мiстять нульовi елементи. Враховуючи (58),
приходимо до висновку, що матриця множення на „x - 1” є багатодiагональною скалярною у
звичайному базисi простору l2.
Лема 10. Елементи
uj,j+1;\alpha ,\alpha +2, uj+1,j;\alpha +2,\alpha , \alpha = j, j + 1, . . . , 2j, j \in \BbbN 0,
матрицi (uj,k)\infty j,k=0 з леми 9 є додатними.
Доведення. Розглянемо u0,1;0,2. Позначимо через P \prime
1;2(x, y) ненормований вектор P1;2(x, y),
отриманий при ортогоналiзацiї за Шмiдтом вектора x - 1. Згiдно з (2) i (3) маємо
P \prime
1;2(x, y) = x - 1 - (x - 1, P1;1(x, y))L2P1;1(x, y) - (x - 1, P1;0(x, y))L2P1;0(x, y) - (x - 1, 1)L2 .
Отже, використовуючи (56), одержуємо
u0,1;0,2 =
\int
\BbbR 2
x - 1P1;2(x, y) d\rho (x, y) = \| P \prime
1;2(x, y)\| - 1
L2
\int
\BbbR 2
x - 1P \prime
1;2(x, y) d\rho (x, y) =
= \| P \prime
1;2(x, y)\| - 1
L2
\int
\BbbR 2
x - 1(x - 1 - (x - 1, P1;1(x, y))L2P1;1(x, y) -
- (x - 1, P1;0(x, y))L2P1;0(x, y) - (x - 1, 1)L2) d\rho (x, y) =
= \| P \prime
1;2(x, y)\| - 1
L2
(\| x - 1\| 2L2
- | (x - 1, P1;1(x, y))L2 | 2 -
- | (x - 1, P1;0(x, y))L2 | 2 - | (x - 1, 1)L2 | 2). (63)
Також використовуючи (64), переконуємося, що останнiй вираз є додатним i, отже,
a0,1;0,2 > 0.
Додатнiсть (63) випливає з рiвностi Парсеваля, застосованої до розкладу функцiї x - 1 \in L2
за ортонормованим базисом (3) простору L2 :
| (x - 1, 1)L2 | 2 + | (x - 1, P1;0(x, y))L2 | 2 + | (x - 1, P1;1(x, y))L2 | 2 + . . . = \| x - 1\| 2L2
. (64)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1351
Покажемо додатнiсть uj+1,j;\alpha +2,\alpha , де j \in \BbbN , \alpha = j, j + 1, . . . , 2j. З (56) маємо
uj+1,j;\alpha +2,\alpha =
\int
\BbbR 2
x - 1Pj;\alpha (x, y)Pj+1;\alpha +2(x, y) d\rho (x, y). (65)
Згiдно з (4) i (6)
Pj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
j - | \alpha - j| x(j - \alpha ) +Rj;\alpha (x, y), (66)
де Rj;\alpha (x, y) — деякий полiном з \scrP j;\alpha - 1 при \alpha > 0 або з \scrP j - 1;2(j - 1) при \alpha = 0. Отже,
x - 1Rj;\alpha (x, y) — полiном з \scrP j+1;\alpha +2 при \alpha = j, j+1, , . . . , 2j, або з \scrP j;2j при \alpha = 0, 1, . . . , j - 1,
або з \scrP j;2(j - 1) при \alpha = 0 (див. (15), (16) i (6)). Помноживши (66) на „x - 1”, отримаємо
x - 1Pj;\alpha (x, y) = kj;\alpha y
j - | \alpha - j)| x(j - \alpha - 1) + x - 1Rj;\alpha (x, y) =
= kj;\alpha y
j+1 - | \alpha +2 - (j+1))| x(j+1 - (\alpha +2)) + x - 1Rj;\alpha (x, y),
x - 1Rj;\alpha (x, y) \in
\left\{
\scrP j;2(j - 1), \alpha = 0,
\scrP j+1;\alpha +2, \alpha = j, j + 1, . . . , 2j,
\scrP j;2j , \alpha = 0, 1, . . . , j - 1.
(67)
Вираз (66) у випадку Pj+1;\alpha +2(x, y) набирає вигляду
Pj+1;\alpha +2(x, y) = kj+1;\alpha y
j+1 - | \alpha +2 - (j+1)| x(j+1 - (\alpha +2)) +Rj+1;\alpha +2(x, y),
Rj+1;\alpha +2(x, y) \in
\Biggl\{
\scrP j;2j , \alpha = 0,
\scrP j+1;\alpha +1, \alpha = j, j + 1, . . . , 2j.
(68)
Виразимо yj+1 - | \alpha +2 - (j+1)| x(j+1 - (\alpha +2)) з (68) i пiдставимо його в (67):
x - 1Pj;\alpha (x, y) =
kj;\alpha
kj+1;\alpha +2
(Pj+1;\alpha +2(x, y) - Rj+1;\alpha +2(x, y)) + x - 1Rj;\alpha (x, y) =
=
kj;\alpha
kj+1;\alpha +2
Pj+1;\alpha +2(x, y) -
kj;\alpha
kj+1;\alpha +2
Rj+1;\alpha +2(x, y) + x - 1Rj;\alpha (x, y), (69)
де другий доданок належить до \scrP j+1;\alpha - 1 (\alpha \not = 0) або до \scrP j;2j (\alpha = 0), а третiй доданок
належить до \scrP j;2(j - 1) при \alpha = 0, \scrP j+1;\alpha +1 при \alpha = j, j +1, . . . , 2j, \scrP j;2j при \alpha = 0, 1, . . . , j -
- 1 i ортогональний до Pj+1;\alpha (x, y). Отже, пiсля пiдстановки виразу (69) у (65) отримуємо
uj+1,j;\alpha +2,\alpha =
kj;\alpha
kj+1;\alpha +2
> 0.
Елемент uj,j+1;\alpha ,\alpha +2 також є додатним, оскiльки матриця (uj,k)
\infty
j,k=0 є симетричною, тобто
uj,j+1;\alpha ,\alpha +2 = uj+1,j;\alpha +2,\alpha > 0.
Лему 10 доведено.
Далi перепозначимо елементи матрицi uj,k :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1352 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
un = un+1,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n+1,
wn = un,n : \scrH n - \rightarrow \scrH n,
vn = ua,n+1 : \scrH n+1 - \rightarrow \scrH n, n \in \BbbN 0.
(70)
Наведенi вище результати сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема 3. Обмежений ермiтiв оператор \^A - 1 множення на „x - 1” у просторi L2 в ор-
тонормованому базисi (3) полiномiв має форму тридiагональної блочної симетричної матрицi
типу Якобi JA - 1 = (uj,k)
\infty
j,k=0, яка дiє у просторi (7):
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC 2n+1, n \in \BbbN 0.
Норми операторiв aj,k : \scrH k - \rightarrow \scrH j , j, k \in \BbbN 0, обмеженi однiєю величиною.
У позначеннях (70) симетрична матриця має блочну структуру
JA - 1 =
\left[
w0 v0 0 0 0 . . .
u0 w1 v1 0 0 . . .
0 u1 w2 v2 0 . . .
0 0 u2 w3 v3 . . .
...
...
...
...
...
. . .
\right] , (71)
а у скалярнiй формi
JA - 1 =
\left[
\ast \ast \ast +
\ast \ast \ast \ast 0 0 0 0 0
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0
+ \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast +
0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast 0 0 0 0 0 0 0
0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast 0 0 0 0 0 0 0
0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0 0
0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast + 0
0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast +
0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
0 0 0 0 + \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
. . . . . . . . .
\right]
. (72)
У (71) для будь-якого n \in \BbbN 0 wn — ((2n + 1) \times (2n + 1))-матриця: wn = (wn;\alpha ,\beta )
2n,2n
\alpha ,\beta =0
(w0 = w0;0,0 — скаляр); un — ((2n + 3) \times (2n + 1))-матриця: un = (un;\alpha ,\beta )
2n+2,2n
\alpha ,\beta =0 ; vn —
((2n + 1) \times (2n + 3))-матриця: vn = (vn;\alpha ,\beta )
2n,2n+2
\alpha ,\beta =0 . Деякi елементи матриць un i vn є
нульовими:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1353
un;\alpha ,\beta = 0, \alpha = 0, 1, . . . , n - 1, \beta = 0, 1, . . . , 2n+ 2,
un;\alpha ,\beta = 0, \alpha = n, n+ 1, . . . , 2n - 1, \beta = \alpha + 3, \alpha + 4, . . . , 2n+ 2,
vn;\alpha ,\beta = 0, \beta = 0, 1, . . . , n - 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2n+ 2,
vn;\alpha ,\beta = 0, \beta = n, n+ 1, . . . , 2n - 1, \alpha = n+ 3, n+ 4, . . . , 2n+ 1, n \in \BbbN 0.
(73)
Деякi елементи завжди є додатними, тобто
vn;\alpha ,\alpha +2 > 0, un;\alpha +2,\alpha > 0, \alpha = n, n+ 1, . . . , 2n, n \in \BbbN . (74)
Додатнi елементи в (72) позначено через „+”. Через „\ast ” позначено довiльнi (можливо, i
нульовi) елементи матриць. Матриця (72) у скалярнiй формi має багатодiагональну структуру.
Матриця JA - 1 є симетричною в базисi (3) i, отже, задає самоспряжений оператор. Матриця
JA - 1 дiє за правилом: \forall f = (fn)
\infty
n=0 \in \bfl 2
(JA - 1f)n = un - 1fn - 1 + wnfn + vnfn+1, n \in \BbbN 0, f - 1 = 0. (75)
Зауважимо, що якби ми вибрали у кожному напрямку „в лiнiї iз кутом”
\{ xn, yx(n - 1), y2x(n - 2), . . . , yn, . . . , yx - (n - 1), x - n\}
(див. порядок ортогоналiзацiї за Шмiдтом i коментарi пiсля (2)) iнший порядок (зберiгаючи
лiнiї), то леми 3, 6, 9 також би виконувалися i можна було б описати нулi матриць (bj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0,
(aj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0, (uj,k;\alpha ,\beta )
2j,2k
\alpha ,\beta =0. Цi матрицi також би мали тридiагональну блочну структуру, але
з нульовими елементами на iнших мiсцях.
Пряма й обернена спектральна задачi для блочних матриць, що вiдповiдають напiв-
сильнiй дiйснiй проблемi моментiв. Розглянемо оператори у просторi \bfl 2 вигляду (7) та його
оснащення
(\bfl fin)
\prime \supset \bfl 2(p
- 1) \supset \bfl 2 \supset \bfl 2(p) \supset \bfl fin, (76)
де \bfl 2(p) — зважений простiр \bfl 2 iз вагою p = (pn)
\infty
n=0, де pn \geq 1, i p - 1 = (p - 1
n )\infty n=0. У цьому
випадку \bfl 2(p) — гiльбертiв простiр послiдовностей f = (fn)
\infty
n=0, fn \in \scrH n, для яких
\| f\| 2l2(p) =
\infty \sum
n=0
\| fn\| 2\scrH n
pn, (f, g)l2(p) =
\infty \sum
n=0
(fn, gn)\scrH npn.
Простiр \bfl 2(p
- 1) визначається аналогiчно. Нагадаємо, що \bfl fin — простiр скiнченних послiдов-
ностей, а (\bfl fin)
\prime — простiр, спряжений до \bfl fin вiдносно \bfl 2. Вiдомо, що вкладення \bfl 2(p) \lhook \rightarrow \bfl 2 є
квазiядерним, якщо
\sum \infty
n=0
np - 1
n <\infty (див., наприклад, [1], роздiл 7, i [3], роздiл 15).
Нехай B та A i A - 1 — комутуючi у сильному резольвентному сенсi обмеженi самоспряженi
оператори, стандартно пов’язанi з оснащенням (25) з [9], роль якого зараз вiдiграє (76). Згiдно
з проєкцiйною спектральною теоремою (див. теорему 1 з [9], теорему 2.7 iз [2], роздiл 3, [1],
роздiл 5, i [3], роздiл 15), цi оператори мають зображення
Bf =
\int
\BbbR 2
y\Phi (x, y) d\sigma (x, y)f, Af =
\int
\BbbR 2
x\Phi (x, y) d\sigma (x, y)f,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1354 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
A - 1f =
\int
\BbbR 2
x - 1\Phi (x, y) d\sigma (x, y)f, f \in \bfl 2,
де \Phi (x, y) : \bfl 2(p) - \rightarrow \bfl 2(p
- 1) — оператор узагальненого проєктування i d\sigma (x, y) — спектральна
мiра. Для кожного f \in \bfl fin проєкцiя \Phi (x, y)f \in \bfl 2(p
- 1) є узагальненим власним вектором
операторiв B та A i A - 1 iз вiдповiдними власними значеннями y та x i x - 1. Для всiх f, g \in \bfl fin
справджується рiвнiсть Парсеваля
(f, g)l2 =
\int
\BbbR 2
(\Phi (x, y)f, g)l2d\sigma (x, y), (77)
яка пiсля замикання за неперервнiстю є справедливою для будь-яких f, g \in \bfl 2.
Позначимо через \pi n оператор ортогонального проєктування в \bfl 2 на \scrH n, n \in \BbbN 0. Отже, для
будь-якого f = (fn)
\infty
n=0 \in \bfl 2 маємо fn = \pi nf. Цей оператор дiє аналогiчно i у просторах \bfl 2(p)
та \bfl 2(p
- 1), але можливо має неодиничну норму.
Розглянемо операторну матрицю (\Phi j,k(x, y))
\infty
j,k=0, де
\Phi j,k(x, y) = \pi j\Phi (x, y)\pi k : \bfl 2 - \rightarrow \scrH j (або \scrH k - \rightarrow \scrH j). (78)
Тепер рiвнiсть Парсеваля (77) можна записати у виглядi
(f, g)l2 =
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(\Phi (x, y)\pi kf, \pi jg)l2d\sigma (x, y) =
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(\pi j\Phi (x, y)\pi kf, g)l2d\sigma (x, y) =
=
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(\Phi j,k(x, y)fk, gj)l2d\sigma (x, y) \forall f, g \in \bfl 2. (79)
Тепер вiзьмемо в якостi обмежених самоспряжених операторiв B та A i A - 1, що дiють у
просторi \bfl 2, оператори, породженi матрицями JB та JA i JA - 1 , якi мають блочну тридiагональ-
ну структуру вигляду (31) та (51) i (71) вiдповiдно. Оператори B та A i A - 1 задано матрицями
(31), (51), (71) та дiєю (35), (55), (75). Зауважимо, що норми елементiв pn, qn, rn та an, bn, cn
i un, wn, vn обмеженi однiєю величиною при всiх n \in \BbbN 0.
Для подальшого також припускаємо, що умови (33), (34) та (53), (54) i (73), (74) викону-
ються, а оператори, породженi матрицями, комутують у \bfl 2.
Для того щоб записати рiвнiсть Парсеваля (79) у термiнах узагальнених власних векторiв
операторiв B та A i A - 1, доведемо таку лему.
Лема 11. Нехай \varphi (x, y) = (\varphi n(x, y))
\infty
n=0, \varphi n(x, y) \in \scrH n, \{ x, y\} \in \BbbR 2, — узагальнений
власний вектор з (\bfl fin)
\prime комутуючих самоспряжених операторiв, породжених матрицями JB
та JA i JA - 1 iз власними значеннями „y” та „x” i „x - 1” вiдповiдно. I нехай \varphi (x, y) є
розв’язком з (\bfl fin)
\prime системи рiзницевих рiвнянь (див. (35), (55), (75))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1355
(JB\varphi (x, y))n := pn - 1\varphi n - 1(x, y) + qn\varphi n(x, y) + rn\varphi n+1(x, y) = y\varphi n(x, y),
(JA\varphi (x, y))n := an - 1\varphi n - 1(x, y) + bn\varphi n(x, y) + cn\varphi n+1(x, y) = x\varphi n(x, y),
(JA - 1\varphi (x, y))n := un - 1\varphi n - 1(x, y) + wn\varphi n(x, y) + vn\varphi n+1(x, y) = x - 1\varphi n(x, y),
(80)
n \in \BbbN 0, \varphi - 1(x, y) = 0,
iз початковою умовою \varphi 0 := \varphi 0(x, y) \in \BbbR .
Тодi розв’язок має вигляд
\varphi n(x, y) = Qn(x, y)\varphi 0 = (Qn;0, Qn;1, . . . , Qn;2n, )\varphi 0 \forall n \in \BbbN , (81)
де Qn;\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , 2n, — полiноми зi змiнними y, x, x - 1, якi мають вигляд
Qn;\alpha (x, y) = kn;\alpha y
n - | \alpha - n| x(n - \alpha ) +Rn;\alpha (x, y), \alpha = 0, 1, . . . , 2n, n \in \BbbN 0. (82)
Тут kn;\alpha > 0 i Rn;\alpha (x, y) — лiнiйна комбiнацiя y, x, x - 1 (згiдно з порядком (2) ортогоналiзацiї
за Шмiдтом).
Доведення. При n = 0 система (80) набирає вигляду (у зручному порядку):
JA\varphi 0 = x\varphi 0, JB\varphi 0 = y\varphi 0, JA - 1\varphi 0 = x - 1\varphi 0, (83)
тобто
b0;0,0\varphi 0;0 + c0;0,0\varphi 1;0 = x\varphi 0;0,
q0;0,0\varphi 0;0 + r0;0,0\varphi 1;0 + r0;0,1\varphi 1;1 = y\varphi 0;0,
w0;0,0\varphi 0;0 + v0;0,0\varphi 1;0 + v0;0,1\varphi 1;1 + v0;0,2\varphi 1;2 = x - 1\varphi 0;0,
або
c0;0,0\varphi 1;0 = (x - b0;0,0)\varphi 0;0,
r0;0,0\varphi 1;0 + r0;0,1\varphi 1;1 = (y - q0;0,0)\varphi 0;0,
v0;0,0\varphi 1;0 + v0;0,1\varphi 1;1 + v0;0,2\varphi 1;2 = (x - 1 - w0;0,0)\varphi 0;0.
(84)
Далi будемо позначати
\varphi 0 = \varphi 0;0 := Q0;0, \varphi n(x, y) = (\varphi n;0(x, y), \varphi n;1(x, y), . . . , \varphi n;2n(x, y)) \in \scrH n \forall n \in \BbbN .
Систему (83) можна записати у виглядi
\Delta 0\varphi 1(x, y) =
\bigl(
(x - b0;0,0)\varphi 0), (y - q0;0,0)\varphi 0, (x
- 1 - w0;0,0)\varphi 0
\bigr)
,
\Delta 0 =
\left[ c0;0,0 0 0
r0;0,0 r0;0,1 0
v0;0,0 v0;0,1 v0;0,2
\right] , (85)
де завдяки умовам (34), (54), (74) c0;0,0 > 0, r0;0,1 > 0, v0;0,2 > 0. Отже, \Delta 0 > 0. З (84)
послiдовно отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1356 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
\varphi 1;0(x, y) = - b0;0,0 - x
c0;0,0
\varphi 0 =: Q1;0(x, y)\varphi 0,
\varphi 1;1(x, y) = -
\biggl(
q0;0,0 - y
r0;0,1
+
r0;0,0
r0;0,1
x - b0;0,0
c0;0,0
\biggr)
\varphi 0 =: Q1;1(x, y)\varphi 0,
\varphi 1;2(x, y)= -
\biggl(
w0;0,0 - x - 1
v0;0,2
- v0;0,0
v0;0,2
\biggl[
b0;0,0 - x
c0;0,0
\biggr]
- v0;0,1
v0;0,2
\biggl[
q0;0,0 - y
r0;0,1
+
r0;0,0
r0;0,1
x - b0;0,0
c0;0,0
\biggr] \biggr)
\varphi 0 =:
=: Q1;2(x, y)\varphi 0,
тобто розв’язок \varphi n(x, y) системи (80) при n = 1 має вигляд (81), (82).
З метою використання методу математичної iндукцiї припустимо, що для n \in \BbbN координати
\varphi n - 1(x, y) i \varphi n(x, y) узагальненого власного вектора \varphi (x, y) = (\varphi n(x, y))
\infty
n=0 мають вигляд
(81), (82), i покажемо, що \varphi n+1(x, y) також має вигляд (81), (82).
Власний вектор \varphi n+1(x, y) задовольняє систему рiвнянь (80). Але система є перевизна-
ченою, тобто вона мiстить 3(2n + 3) лiнiйних рiвнянь iз лише 2n + 3 невiдомими \varphi n+1;0,
\varphi n+1;1, . . . , \varphi n+1;2(n+1). Як початковi данi 2n + 1 використовуються значення \varphi n;0, \varphi n;1, . . .
. . . , \varphi n;2n координат вектора \varphi n(x, y). Аналогiчно, з (83) при j = 0, 1, . . . , 2n маємо
JA\varphi n;j = x\varphi n;j , JB\varphi n;j = y\varphi n;j , JA - 1\varphi n;j = x - 1\varphi n;j .
Згiдно з теоремами 1 – 3 (а саме (33), (34), (53), (54), (73), (74)), ((2n+ 3)\times (2n+ 1))-матрицi
cn, rn, vn дiють на вектор \varphi n+1 \in \scrH n за правилом
cn\varphi n+1(x, y) =
\left[
cn;0,0 0 . . . 0 0 . . . 0
cn;1,0 cn;1,1 . . . 0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
...
. . .
...
cn;n,0 cn;n,1 . . . cn;n,n 0 . . . 0
...
...
. . .
...
...
. . .
...
cn;2n - 1,0 cn;2n - 1,1 . . . cn;2n - 1,n 0 . . . 0
cn;2n,0 cn;2n,1 . . . cn;2n,n 0 . . . 0
\right]
\varphi n+1(x, y), (86)
rn\varphi n+1(x, y) =
\left[
rn;0,0 rn;0,1 0 . . . 0 0
rn;1,0 rn;1,1 rn;1,2 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
...
rn;2n - 1,0 rn;2n - 1,1 rn;2n - 1,2 . . . 0 0
rn;2n,0 rn;2n,1 rn;2n,2 . . . rn;2n,2n+1 0
\right] \varphi n+1(x, y), (87)
vn\varphi n+1(x, y) =
\left[
0 . . . 0 . . . 0 0
...
. . .
...
. . .
...
...
0 . . . 0 . . . 0 0
vn;n,0 . . . vn;n,n+2 . . . 0 0
...
. . .
...
. . .
...
...
vn;2n - 1,0 . . . vn;2n - 1,n+2 . . . vn;2n - 1,2n+1 0
vn;2n,0 . . . vn;2n,n+2 . . . vn;2n,2n+1 vn;2n,2n+2
\right]
\varphi n+1(x, y),
(88)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1357
де \varphi n+1(x, y) = (\varphi n+1;0(x, y), \varphi n+1;1(x, y), . . . , \varphi n+1;2n+2(x, y)).
Побудуємо аналогiчно до (85) ((2n + 2) \times (2n + 2))-матрицю, використавши певнi рядки
матриць (86) – (88), а саме першi n + 1 рядки матрицi з (86), (n + 1)-й рядок матрицi (87) i
останнi n+ 1 рядки матрицi (88):
\Delta n\varphi n+1(x, y) =
=
\left[
cn;0,0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0
cn;1,0 cn;1,1 0 . . . 0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
cn;n,0 cn;n,1 cn;n,2 . . . cn;n,n 0 0 . . . 0
rn;n,0 rn;n,1 rn;n,2 . . . rn;n,n rn;n,n+1 0 . . . 0
vn;n,0 vn;n,1 vn;n,2 . . . vn;n,n vn;n,n+1 vn;n,n+2 . . . 0
...
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
vn;2n,0 vn;2n,1 vn;2n,2 . . . vn;2n,n vn;2n,n+1 vn;2n,n+2 . . . vn;2n,2n+2
\right]
\varphi n+1(x, y),
(89)
де \varphi n+1(x, y) = (\varphi n+1;0(x, y), \varphi n+1;1(x, y), . . . , \varphi n+1;2n+2(x, y)).
Матриця (89) має обернену, тому що всi її елементи на головнiй дiагоналi додатнi (див. (33),
(34), (53), (54), (73), (74)). Запишемо (80) у виглядi
cn\varphi n+1(x, y) = x\varphi n(x, y) - an - 1\varphi n - 1(x, y) - bn\varphi n(x, y),
rn\varphi n+1(x, y) = y\varphi n(x, y) - pn - 1\varphi n - 1(x, y) - qn\varphi n(x, y),
vn\varphi n+1(x, y) = x - 1\varphi n(x, y) - un - 1\varphi n - 1(x, y) - wn\varphi n(x, y), n \in \BbbN ,
тобто
cn\varphi n+1(x, y) = (x - bn)\varphi n(x, y) - an - 1\varphi n - 1(x, y),
rn\varphi n+1(x, y) = (y - qn)\varphi n(x, y) - pn - 1\varphi n - 1(x, y),
vn\varphi n+1(x, y) = (x - 1 - wn)\varphi n(x, y) - un - 1\varphi n - 1(x, y), n \in \BbbN .
(90)
Перше рiвняння з (90) має скалярний вигляд
cn;0,0\varphi n+1,0(x, y) = \{ (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;j ,
де \BbbI — одинична ((2n+ 2)\times (2n+ 2))-матриця. Тепер при j = 0 маємо
Qn+1,0(x, y) := \varphi n+1,0(x, y) =
1
cn;0,0
\{ (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;0 .
Отже, Qn+1,0(x, y) = kn+1,0x
(n+1) + . . . . При j = 1 отримуємо
cn;1,0\varphi n+1,0(x, y) + cn;1,1\varphi n+1,1(x, y) = \{ (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;1 ,
Qn+1,1(x, y) := \varphi n+1,1(x, y) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1358 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
=
1
cn;1,1
\{ - cn;1,0Qn+1,0(x, y) + (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;1 .
Отже, Qn+1,1(x, y) = kn+1,1yx
n + . . . . При j = 2, 3, . . . , n маємо
cn;j,0\varphi n+1,0(x, y) + cn;j,1\varphi n+1,1(x, y) + . . .+ cn;j,j+1\varphi n+1,j(x, y) =
= \{ (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;j ,
Qn+1,j(x, y) := \varphi n+1,j(x, y) =
1
cn;j,j+1
\{ - cn;j,0\varphi n+1,0(x, y) - cn;j,1\varphi n+1,1(x, y) - . . .
. . . - cn;j,j\varphi n+1,j - 1(x, y) + (x\BbbI - bn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;j .
Отже, Qn+1,j(x, y) = kn+1,jy
n+1 - | j - (n+1)| x(n+1 - j) + . . . . При j = n+ 1 окремо одержуємо
rn;n,0\varphi n+1,0(x, y) + rn;n,1\varphi n+1,1(x, y) + . . .+ rn;n,n+1\varphi n+1,n+1(x, y) =
= \{ (y\BbbI - qn)Qn(x, y) - pn - 1Qn - 1(x, y)\} n;n+1 ,
Qn+1,n+1(x, y) := \varphi n+1,n+1(x, y)=
1
rn;n,n+1
\{ - rn;n+1,0\varphi n+1,0(x, y) - rn;n+1,1\varphi n+1,1(x, y) - . . .
. . . - rn;n,n\varphi n+1,n(x, y) + (y\BbbI - qn)Qn(x, y) - an - 1Qn - 1(x, y)\} n;n+1 .
Отже, Qn+1,n+1j(x, y) = kn+1,n+1y
n+1 + . . . .
При j = n+ 2, n+ 3, . . . , 2n+ 2 маємо
vn;2n,0\varphi n+1,0(x, y) + vn;2n,1\varphi n+1,1(x, y) + . . .+ vn;2n,2n+2\varphi n+1,j(x, y) =
=
\bigl\{
(x - 1\BbbI - wn)Qn(x, y) - un - 1Qn - 1(x, y)
\bigr\}
n;j
,
Qn+1,j(x, y) := \varphi n+1,j(x, y) =
1
vn;2n,j
\{ - vn;j,0\varphi n+1,0(x, y) -
- vn;j,1\varphi n+1,1(x, y) - . . . - vn;2n,2n+1\varphi n+1,j - 1(x, y)+
+(x\BbbI - wn)Qn(x, y) - un - 1Qn - 1(x, y)\} n;j .
Отже, Qn+1,j(x, y) = kn+1,jy
n+1 - | j - (n+1)| x(n+1) - j) + . . . .
В останнiх мiркуваннях слiд лише взяти до уваги, що елементи на головнiй дiагоналi
матрицi \Delta n з (89), тобто cn;0,0, cn;1,1, . . . , cn;n,n, rn;n,n+1, vn;n,n+2, . . . , vn;2n,2n+2, є додатними
завдяки умовам (34), (54) та (74).
Лему 11 доведено.
Зауважимо, що у лемi не стверджується iснування розв’язку переозначеної системи (80) для
довiльної початкової умови \varphi 0 \in \BbbR , а лише показано, що узагальнений власний вектор з (\bfl fin)
\prime
операторiв B та A i A - 1 є розв’язком (80) i має вигляд (81), (82).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1359
Далi зручно розглядати Qn(x, y) iз фiксованими x, y як лiнiйний оператор, що дiє з \scrH 0 в
\scrH n, тобто \scrH 0 \ni \varphi 0 \mapsto - \rightarrow Qn(x, y)\varphi 0 \in \scrH n. Також Qn(x, y) розглядається як операторнозначний
полiном зi змiнними \{ x, y\} \in \BbbR 2. Тодi спряжений оператор Q\ast
n(x, y) = (Qn(x, y))
\ast : \scrH n - \rightarrow
- \rightarrow \scrH 0. Використавши полiноми Qn(x, y), побудуємо зображення для \Phi j,k(x, y).
Лема 12. Оператор \Phi j,k(x, y) \forall \{ x, y\} \in \BbbR 2 має зображення
\Phi j,k(x, y) = Qj(x, y)\Phi 0,0(x, y)Q
\ast
k(x, y) : \scrH k - \rightarrow \scrH j , j, k \in \BbbN 0, (91)
де \Phi 0,0(x, y) \geq 0 — скаляр.
Доведення. Для кожного фiксованого k \in \BbbN 0 вектор \varphi = \varphi (x, y) = (\varphi j(x, y))
\infty
j=0, де
\varphi j(x, y) = \Phi j,k(x, y) = \pi j\Phi (x, y)\pi k \in \scrH j , \{ x, y\} \in \BbbR 2,
є узагальненим розв’язком з (\bfl fin)
\prime системи рiвнянь
JA\varphi = x\varphi , JB\varphi = y\varphi , JA - 1\varphi = x - 1\varphi , (92)
оскiльки \Phi (x, y) — проєктор на узагальнений власний вектор операторiв B та A i A - 1 iз
вiдповiдними узагальненими власними значеннями y та x i x - 1. Таким чином, для будь-якого
g \in \bfl fin маємо
(\varphi , JAg)l2 = x(\varphi , g)l2 , (\varphi , JBg)l2 = y(\varphi , g)l2 , (\varphi , JA - 1g)l2 = x - 1(\varphi , g)l2 .
Отже, \varphi = \varphi (x, y) \in \bfl 2(p
- 1) iснує, як звичайний розв’язок рiвнянь (92) з початковими даними
\varphi 0 = \pi 0\Phi (x, y)\pi k \in \scrH 0.
За лемою 11 з урахуванням (81) отримуємо
\Phi j,k(x, y) = Qj(x, y)(\Phi 0,k(x, y)), j \in \BbbN 0. (93)
Оператор \Phi (x, y) : \bfl 2(p) - \rightarrow \bfl 2(p
- 1) є iстотно самоспряженим на \bfl 2, як похiдна розкладу
одиницi операторiв B та A i (A - 1) на \bfl 2 вiдносно спектральної мiри. Отже, згiдно з (91)
отримуємо
(\Phi j,k(x, y))
\ast = (\pi j\Phi (x, y)\pi k)
\ast = \pi k\Phi (x, y)\pi j = \Phi k,j(x, y), j, k \in \BbbN 0. (94)
Для фiксованого j \in \BbbN 0 з (94) i попереднiх мiркувань випливає, що вектор
\psi = \psi (x, y) = (\psi k(x, y))
\infty
k=0, \psi k(x, y) = \Phi k,j(x, y) = (\Phi j,k(x, y))
\ast ,
є звичайним розв’язком рiвнянь (92) iз початковою умовою \psi 0 = \Phi 0,j(x, y) = (\Phi j,0(x, y))
\ast .
Знову використовуючи лему 11, отримуємо зображення типу (93):
\Phi k,j(x, y) = Qk(x, y)(\Phi 0,j(x, y)), k \in \BbbN 0. (95)
Враховуючи (94) i (95), одержуємо
\Phi 0,k(x, y) = (\Phi k,0(x, y))
\ast = (Qk(x, y)\Phi 0,0(x, y))
\ast = \Phi 0,0(x, y)(Qk(x, y))
\ast , k \in \BbbN 0, (96)
де використано нерiвнiсть \Phi 0,0(x, y) \geq 0, яка випливає з (77) i (78). Пiдставляючи (96) у (93),
отримуємо (91).
Лему 12 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1360 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Тепер можна записати рiвнiсть Парсеваля (79) у бiльш зручнiй формi. Для цього пiдставимо
(91) з \Phi j,k(x, y) в (79):
(f, g)l2 =
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(\Phi j,k(x, y)fk, gj)l2d\sigma (x, y) =
=
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(Qj(x, y)\Phi 0,0(x, y)Q
\ast
k(x, y)fk, gj)l2d\sigma (x, y) =
=
\infty \sum
j,k=0
\int
\BbbR 2
(Q\ast
k(x, y)fk, Q
\ast
j (x, y)gj)l2d\rho (x, y) =
=
\int
\BbbR 2
\biggl( \infty \sum
k=0
Q\ast
k(x, y)fk
\biggr) \biggl( \infty \sum
j=0
Q\ast
j (x, y)gj
\biggr)
d\rho (x, y),
d\rho (x, y) = \Phi 0,0(x, y) d\sigma (x, y) \forall f, g \in \bfl fin.
(97)
Введемо перетворення Фур’є (позначення \widehat ), породжене обмеженими самоспряженими кому-
туючими операторами B та A i A - 1 в \bfl 2 :
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x, y) =
\infty \sum
n=0
Q\ast
n(x, y)fn \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) \forall f \in \bfl fin. (98)
Отже, (97) приводить до рiвностi Парсеваля в остаточнiй формi
(f, g)l2 =
\int
\BbbR 2
\^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y) \forall f, g \in \bfl fin. (99)
Перетворення (99) розширюється за неперервнiстю для будь-яких f, g \in \bfl 2.
Ортогональнiсть полiномiв Q\ast
n(x, y) випливає з (98) i (99). Дiйсно, достатньо взяти f =
= (0, . . . , 0, fk, 0, . . .), fk \in \scrH k, g = (0, . . . , 0, gj , 0, . . .), gj \in \scrH j в (98) i (99) . Тодi\int
\BbbR 2
(Q\ast
k(x, y)fk)(Q
\ast
j (x, y)gj) d\rho (x, y) = \delta j,k(fj , gj)\scrH j \forall k, j \in \BbbN 0. (100)
Використавши зображення (81) для цих полiномiв, запишемо рiвняння (100) у класичнiй формi.
Для цього зауважимо, що Q\ast
0(x, y) =
\=Q0(x, y) i для n \in \BbbN , згiдно з (81),
Qn(x, y) = (Qn;0(x, y), Qn;1(x, y), . . . , Qn;2n(x, y)) : \scrH 0 - \rightarrow \scrH n.
Отже, для спряженого оператора Q\ast
n(x, y) : \scrH n - \rightarrow \scrH 0 маємо
(Qn(x, y)\xi , \eta )\scrH n = ((Qn;0(x, y)\xi ,Qn;1(x, y)\xi , . . . , Qn;2n(x, y)\xi ), (\eta 0, \eta 1, . . . , \eta 2n))\scrH n =
= Qn;0(x, y)\xi \=\eta 0 +Qn;1(x, y)\xi \=\eta 1 + . . .+Qn;2n(x, y)\xi \=\eta 2n =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1361
= \xi (Qn;0(x, y)\eta 0 +Qn;1(x, y)\eta 1 + . . .+Qn;2n(x, y)\eta 2n) = (\xi ,Q\ast
n(x, y)\eta )\scrH 0
\forall \xi \in \scrH 0, \eta = (\eta 0, \eta 1, . . . , \eta 2n) \in \scrH n,
тобто Q\ast
n(x, y)\eta = Qn;0(x, y)\eta 0+Qn;1(x, y)\eta 1+ . . .+Qn;2n(x, y)\eta 2n. Завдяки останнiй рiвностi
для n \in \BbbN i fn = (fn,0, fn,1, . . . , fn,2n) \in \scrH n, \{ x, y\} \in \BbbR 2 отримуємо
Q\ast
n(x, y)fn = Qn;0(x, y)fn;0 +Qn;1(x, y)fn;1 + . . .+Qn;2n(x, y)fn;2n, Q\ast
0(x, y) = 1. (101)
Таким чином, (100) набирає вигляду
\int
\BbbR 2
\Biggl(
2k\sum
\alpha =0
Qk;\alpha (x, y)fk;\alpha
\Biggr) \left( 2j\sum
\beta =0
Qj;\beta (x, y)fj;\beta
\right) d\rho (x, y) = \delta j,k
2j\sum
\alpha =0
fj;\alpha \=gj;\alpha
\forall fk;0, fk;1, . . . , fk;2k, gj;0, gj;1, . . . , gj;2j , j, k \in \BbbN 0.
Ця рiвнiсть є еквiвалентною спiввiдношенню ортогональностi у звичайнiй класичнiй формi:\int
\BbbR 2
Q\ast
k;\beta (x, y)Qj;\alpha d\rho (x, y) = \delta j,k\delta \alpha ,\beta (Q0;0 = Q0(x, y))
\forall j, k \in \BbbN 0 \forall \alpha = 0, 1, . . . , 2j, \beta = 0, 1, . . . , 2k.
(102)
Завдяки (101) перетворення Фур’є (98) можна записати у виглядi
\^f(x, y) =
\infty \sum
n=0
2n\sum
\alpha =0
Qn;\alpha (x, y)fn;\alpha \forall f = (fn)
\infty
n=0 \in \bfl 2, \{ x, y\} \in \BbbR 2.
Використовуючи наведенi вище результати, можемо сформулювати спектральну теорему
для комутуючих обмежених самоспряжених операторiв B та A i A - 1.
Теорема 4. Нехай у просторi (7)
\bfl 2 = \scrH 0 \oplus \scrH 1 \oplus \scrH 2 \oplus . . . , \scrH n = \BbbC n+1, n \in \BbbN 0,
задано комутуючi обмеженi самоспряженi оператори B та A i A - 1 на фiнiтних векторах
\bfl fin блочними тридiагональними матрицями типу Якобi JB вигляду (31) та JA i JA - 1 вигляду
(51) i (71) iз дiєю (35) та (55) i (75) вiдповiдно. Припускається, що коефiцiєнти an, bn, cn та
pn, qn, rn i un, wn, vn обмеженi однiєю величиною для n \in \BbbN 0, деякi елементи цих матриць
обов’язково є нульовими, а деякi — додатними згiдно з (33), (34) та (53), (54) i (73), (74).
Розклад за узагальненими власними векторами для B та A i A - 1 полягає у такому. Згiдно
з лемою 11, введемо, використавши початковi данi \varphi 0 \in \BbbR , розв’язок \varphi (x, y) = (\varphi n(x, y))
\infty
n=0,
\varphi n(x, y) \in \scrH n, рiвнянь (80) (який iснує завдяки спектральнiй проєкцiйнiй теоремi) для \{ x, y\} \in
\in \BbbR 2 :
\varphi n(x, y) = Qn(x, y)\varphi 0 = (Qn;0(x, y), Qn;1(x, y), . . . , Qn;2n(x, y))\varphi 0,
де Qn;\alpha (x, y), \alpha = 0, 1, . . . , 2n, — полiноми за змiнними y та „x” i „x - 1”.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1362 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
Тодi перетворення Фур’є має вигляд
\bfl 2 \supset \bfl fin \ni f = (fn)
\infty
n=0 \mapsto - \rightarrow \^f(x, y) =
\infty \sum
n=0
Q\ast
n(x, y)fn =
=
\infty \sum
n=0
2n\sum
\alpha =0
Qn;\alpha (x, y)fn;\alpha \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)). (103)
Тут Q\ast
n(x, y) : \scrH n - \rightarrow \scrH 0 — спряжений оператор до Qn(x, y) : \scrH 0 - \rightarrow \scrH n, d\rho (x, y) — iмовiр-
нiсна спектральна мiра B та A i A - 1.
При цьому рiвнiсть Парсеваля для будь-яких f, g \in \bfl fin має вигляд
(f, g)l2 =
\int
\BbbR 2
\^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y), (JBf, g)l2 =
\int
\BbbR 2
y \^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y),
(JAf, g)l2 =
\int
\BbbR 2
x \^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y), (JA - 1f, g)l2 =
\int
\BbbR 2
x - 1 \^f(x, y)\^g(x, y) d\rho (x, y).
(104)
Рiвностi (103) i (104) розширюються за неперервнiстю для будь-яких f, g \in \bfl 2, перетво-
рюючи вiдображення (103) в унiтарний оператор, який вiдображає весь простiр \bfl 2 у весь
L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)).
Множина полiномiв Qn;\alpha (x, y), n \in \BbbN , \alpha = 0, 1, . . . , 2n, i Q0;0(x, y) = 1, є тотальною в
L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)), i вони утворюють у ньому ортонормовану систему в сенсi (102).
Доведення. Залишилося лише показати, що ортогональнi полiноми Qn;\alpha (x, y), n \in \BbbN ,
\alpha = 0, 1, . . . , 2n i Q0;0(x, y) = 1, утворюють тотальну множину у просторi L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)).
З цiєю метою зауважимо, що завдяки компактностi носiя мiри d\rho (x, y) на \BbbR 2 елементи ytxj ,
t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , утворюють тотальну множину в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)).
Припустимо протилежне, тобто система не є тотальною. Тодi iснує ненульова функцiя
h(x, y) \in L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)), яка є ортогональною до всiх полiномiв i, отже, згiдно з (82) до всiх
ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . Таким чином, h(x, y) = 0.
Теорему доведено.
Остання теорема розв’язує пряму спектральну задачу для комутуючих обмежених само-
спряжених операторiв B та A i A - 1, породжених у просторi \bfl 2 матрицями JB та JA i JA - 1
вигляду (31) та (51) i (71) вiдповiдно.
Обернена спектральна задача полягає у побудовi за заданою мiрою d\rho (x, y) iз компактним
носiєм на \BbbR 2 обмежених комутуючих ермiтових матриць JB та JA i JA - 1 вигляду (31) та (51)
i (71), у яких спектральна мiра збiгається з d\rho (x, y).
Твердження. Побудова проводиться згiдно з теоремами 1 – 3 iз використанням процедури
ортогоналiзацiї за Шмiдтом системи (2). Для матриць JB та JA i JA - 1 вигляду (31) та (51) i
(71), побудованих за мiрою d\rho (x, y), спектральна мiра вiдповiдних самоспряжених операторiв
B та A i A - 1 збiгається iз початковою.
Доведення. Твердження є правильним, оскiльки множина полiномiв Qn,\alpha (x, y), \alpha = 0, 1, . . .
. . . , 2n, n \in \BbbN 0, пов’язаних iз B та A i A - 1, є ортонормованою в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)) i, згiдно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
ДВОВИМIРНА ДIЙСНА НАПIВСИЛЬНА ПРОБЛЕМА МОМЕНТIВ . . . 1363
з лемою 11, є побудованою за множиною ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ , а також тiєю ж самою, що i
система (3), побудована по ytxj , t \in \BbbN 0, j \in \BbbZ . Отже,
Q0(x, y) = 1 = P0(x, y), Qn,\alpha (x, y) = Pn;\alpha (x, y) \forall n \in \BbbN , \alpha = 0, 1. . . . , 2n. (105)
Оскiльки обидвi системи полiномiв є тотальними в L2(\BbbR 2, d\rho (x, y)), то з (105) видно, що
спектральна мiра, яка побудована за операторами, i початкова збiгаються.
Зауважимо, що вирази (19) та (36) i (56) (як i у класичному випадку) вiдновлюють елементи
матриць (31) та (51) i (71) за заданою мiрою d\rho (x, y) операторiв, побудованих по JB та JA i
JA - 1 .
4. Блочнi матрицi типу Якобi, описанi в теоремах 1 – 3. Задача внутрiшнього опису
матриць JB та JA i JA - 1 вигляду (31) та (51) i (71) є досить складною. Пiд описом розумiється
параметризацiя, як для тригонометричної проблеми моментiв CMV-матрицi [4, 6, 7] або сильної
(дiйсної одновимiрної) проблеми моментiв [8]. Складнiсть полягає навiть у описi матриць JA i
JA - 1 , для яких виконується рiвнiсть JAJA - 1 - JA - 1JA = 0 на фiнiтних векторах. А крiм цього
необхiднi ще i рiвностi JBJA - 1 - JA - 1JB = 0 та JBJA - JAJB = 0 на фiнiтних векторах.
Також нерозв’язаною складною задачею залишається пошук умов на коефiцiєнти матриць JB
та JA i JA - 1 , за яких матрицi породжують необмеженi, але iстотно самоспряженi оператори.
Враховуючи комплекс зазначених проблем, наведемо лише приклад матриць JB та JA i
JA - 1 , якi повнiстю вiдповiдають теоремам 1 – 3.
Приклад . Покладемо
JB =
\left[
0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
. . . . . . . . .
\right]
i далi pn;\alpha ,\alpha +1 = 1, \alpha = 0, 1, . . . , 2n; rn симетричнi до pn; qn — нульовi матрицi, n \in \BbbN ;
JA =
\left[
1 1 0 0
1 1 0 - 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 0
1 0 - 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 - 1 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
. . . . . . . . .
\right]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1364 М. Є. ДУДКIН, О. Ю. ДЮЖЕНКОВА
i далi an;\alpha ,\alpha = 1, an;\alpha ,2n - \alpha = ( - 1)\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , n, bn;\alpha ,\alpha = 1, cn;\alpha ,2n - \alpha = ( - 1)\alpha , \alpha =
= 0, 1, . . . , 2n (( - 1)0 =: 1), n \in \BbbN ;
JA - 1 =
\left[
0 1 0 1
1 - 1 0 - 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
1 - 1 0 - 1 - 1 0 0 0 1
0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 - 1 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 - 1 0 - 1 0 0 - 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 1
. . . . . . . . .
\right]
i далi un;2n - \alpha ,2n+2 - \alpha = 1, un;2n - \alpha ,\alpha = ( - 1)\alpha , \alpha = 0, 1, . . . , n, wn;\alpha ,\alpha = - 1, vn;\alpha ,2n - \alpha = ( - 1)\alpha ,
\alpha = 0, 1, . . . , 2n (( - 1)0 =: 1), n \in \BbbN .
Неважко переконатися, що наведенi матрицi JB та JA i JA - 1 комутують мiж собою у
звичайному сенсi та JAJA - 1 = I.
Висловлюємо щиру подяку професору Деркачу В. О. за ретельний перегляд рукопису та
вкрай важливi зауваження, якi покращили роботу.
Лiтература
1. Ю. М. Березанский, Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов, Наук. думка, Киев
(1965); English translation: Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1968).
2. Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев, Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Наук. думка, Киев
(1988).
3. Ю. M. Бeрeзанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель, Функциональный анализ: Курс лекций, Вища шк., Київ (1990).
4. Yu. M. Berezansky, M. E. Dudkin, The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary
matrices, Methods Funct. Anal. and Topology, 11, № 4, 327 – 345 (2005).
5. Ю. М. Березанський, М. Є. Дудкiн, Якобiєвi матрицi i проблема моментiв, Працi Iн-ту математики НАН
України, 105 (2019).
6. M. J. Cantero, L. Moral, L. Velázquez, Five-diagonal matrices and zeros of orthogonal polynomials on the unit circle,
Linear Algebra and Appl., 362, 29 – 56 (2003).
7. M. E. Dudkin, The exact inner structure of the block Jacobi type unitary matrices connected with the corresponding
direct and inverse spectral problems matrices, Methods Funct. Anal. and Topology, 14, № 2, 168 – 176 (2008).
8. M. E. Dudkin, The inner structure of the Jacobi – Laurent matrix related to the strong Hamburger moment problem,
Methods Funct. Anal. and Topology, 19, № 2, 97 – 107 (2013).
9. М. Є. Дудкiн, О. Ю. Дюженкова, Двовимiрна дiйсна напiвсильна проблема мементiв та вiдповiднi блочнi
матрицi, I, Укр. мат. журн., 72, № 8, 1047 – 1063 (2020).
Одержано 05.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-6231 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:35Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/cf81e6aa3f19e3f2d4a39e9ca7f1efa3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62312025-03-31T08:49:43Z Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II Двовимірна дійсна напівсильна проблема моментів та відповідні блочні матриці. II Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова, О. Ю. проблема моментів блочні матриці типу Якобі пряма і обернена спектральні задачі UDC 517.9 We describe the direct and inverse spectral problems related to the block Jacobi type matrices that correspond to the two-dimensional half-strong real moment problem.In particular, we obtain three matrices that have three-diagonal block structure and act in an $l_2$-like space as commuting self-adjoint operators, and two of them are mutually inverse. &nbsp; Статья является второй частью роботы поданой ранее.&nbsp;В статье приедены прямая и обратная спектральные задачиприменительно к &nbsp;блочным матрицам типа Якоби соответствующих&nbsp;двумерной действительной полусильной проблеме моментов. В частности&nbsp;получены три матрицы, которые&nbsp;имеют блочную трёх-диагональнуя структуру и &nbsp;действуют в просторанстве типа $l_2$як комутуючі самоспряжені оператори, де два серед яких є взаємно&nbsp;оберненими. Также преведен пример. УДК 517.9 Наведено пряму й обернену спектральнi задачi щодо блочних матриць типу Якобi, що вiдповiдають двовимiрнiй дiйснiй напiвсильнiй проблемi моментiв. Зокрема, отримано три матрицi, якi мають блочну тридiагональну структуру i дiють у просторi типу $l_2$ як комутуючi самоспряженi оператори, два з яких є взаємно оберненими. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6231 10.37863/umzh.v72i10.6231 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 10 (2020); 1335 -1364 Український математичний журнал; Том 72 № 10 (2020); 1335 -1364 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6231/8759 Copyright (c) 2020 Микола Дудкін |
| spellingShingle | Dudkin , M. E. Dyuzhenkova , O. Yu. Дудкін, М. Є. Дюженкова, О. Ю. Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title_alt | Двовимірна дійсна напівсильна проблема моментів та відповідні блочні матриці. II |
| title_full | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title_fullStr | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title_short | Two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. Part II |
| title_sort | two-dimensional half-strong real moment problem and the corresponding block matrices. part ii |
| topic_facet | проблема моментів блочні матриці типу Якобі пряма і обернена спектральні задачі |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6231 |
| work_keys_str_mv | AT dudkinme twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricespartii AT dyuzhenkovaoyu twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricespartii AT dudkínmê twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricespartii AT dûženkovaoû twodimensionalhalfstrongrealmomentproblemandthecorrespondingblockmatricespartii AT dudkinme dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíii AT dyuzhenkovaoyu dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíii AT dudkínmê dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíii AT dûženkovaoû dvovimírnadíjsnanapívsilʹnaproblemamomentívtavídpovídníbločnímatricíii |