A new approach to the construction of generalized classical polynomials
UDC 517.587 In this paper, we develop a new method for constructing generalized classical polynomials, primarily Hermite polynomials in the sense of A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn, et al. We construct a differential operator of infinite order whose eigenfunctions are suc...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6256 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512307788906496 |
|---|---|
| author | Makarov, V. L. Makarov, V. L. Макаров, В. Л. |
| author_facet | Makarov, V. L. Makarov, V. L. Макаров, В. Л. |
| author_sort | Makarov, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:04Z |
| description | UDC 517.587
In this paper, we develop a new method for constructing generalized classical polynomials, primarily Hermite polynomials in the sense of A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn, et al. We construct a differential operator of infinite order whose eigenfunctions are such polynomials. For generalized Hermite polynomials, we investigate a number of properties inherent in classical orthogonal polynomials (orthogonality, generalized Rodrigues formula, three-term recurrence relation forming a function). The versatility of the method is revealed in constructing generalized Legendre and Chebyshev polynomials of the first kind. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6256 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6256
УДК 517.587
В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ)
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ
КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ
In this paper, we develop a new method for constructing generalized classical polynomials, primarily Hermite polynomials
in the sense of A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn, et al. We construct a differential operator of
infinite order whose eigenfunctions are such polynomials. For generalized Hermite polynomials, we investigate a number of
properties inherent in classical orthogonal polynomials (orthogonality, generalized Rodrigues formula, three-term recurrence
relation forming a function). The versatility of the method is revealed in constructing generalized Legendre and Chebyshev
polynomials of the first kind.
Роботу присвячено розробцi нового методу побудови узагальнених класичних полiномiв, насамперед полiномiв
Ермiта, у сенсi A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn та iн. Побудовано диференцiальний оператор
нескiнченного порядку, власними функцiями якого є такi полiноми. Дослiджено ряд властивостей узагальнених
полiномiв Ермiта, що притаманнi класичним ортогональним полiномам (ортогональнiсть, узагальнену формулу
Родрiга, тричленне рекурентне спiввiдношення, твiрну функцiю). Продемонстровано унiверсальнiсть нового методу
для побудови узагальнених полiномiв Лежандра та Чебишова першого роду.
Вступ. Узагальненi класичнi ортогональнi полiноми, що задовольняють звичайнi диференцi-
альнi рiвняння вищих порядкiв вигляду
2k\sum
i=0
ai (x)y
(i)(x) - \lambda n y(x) = 0, ai(x) =
i\sum
p=0
aip x
p, k \in \{ 2, 3, . . . ,\infty \} ,
\lambda n =
2k\sum
p=0
app
n!
(n - p)!
,
(1)
дослiджувались у багатьох роботах (див., наприклад, [1 – 4]). При цьому суттєвими вимогами
були такi: коефiцiєнти перед похiдними повиннi бути полiномами певного степеня вiд неза-
лежної змiнної та не залежати вiд степенiв полiномiв, що задовольняють данi диференцiальнi
рiвняння. Вказанi узагальнення у зазначених роботах та iнших зроблено для всiх класичних
ортогональних полiномiв, окрiм полiномiв Ермiта. У роботi [5] побудовано узагальненi полi-
номи Ермiта i вивчено їхнi властивостi, спираючись на вiдомий зв’язок полiномiв Ермiта з
полiномами Лагерра. Для останнiх ранiше було одержано ряд результатiв [1], що були викори-
станi у роботi [5]. Ця технiка є специфiчною та не може бути застосована для побудови iнших
узагальнень полiномiв Ермiта.
У данiй статтi запропоновано новий, у певному розумiннi унiверсальний, метод побудови
узагальнених класичних ортогональних полiномiв, насамперед полiномiв Ермiта, у вказано-
му вище сенсi. Також отримано диференцiальний оператор нескiнченного порядку, власними
функцiями якого є цi полiноми. Розглянуто ряд властивостей узагальнених полiномiв Ермiта, що
мають класичнi ортогональнi полiноми, а саме, ортогональнiсть, узагальнену формулу Родрiга,
тричленне рекурентне спiввiдношення, твiрну функцiю. Крiм того, проiлюстровано застосуван-
ня нового методу для побудови узагальнених полiномiв Лежандра та Чебишова першого роду.
c\bigcirc В. Л. МАКАРОВ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6 827
828 В. Л. МАКАРОВ
Розроблено алгоритм побудови диференцiального рiвняння (1), яке задовольняють узагальненi
ортогональнi полiноми. Промiжним результатом є одержання нового двопараметричного дифе-
ренцiального рiвняння четвертого порядку вигляду (1), яке задовольняють класичнi полiноми
Лежандра.
Робота складається з двох частин. У перший частинi для прикладу узагальнених полiномiв
Ермiта викладено наш пiдхiд до побудови узагальнених полiномiв Ермiта i вивчення їхнiх
властивостей. Наведено алгоритм побудови диференцiального рiвняння вигляду (1), яке вони
задовольняють. Цей алгоритм має унiверсальний характер i може бути застосований до будь-
якої системи полiномiв. Унiверсальнiсть запропонованого алгоритму пiдтверджено у другiй
частинi статтi для прикладiв узагальнених полiномiв Лежандра та полiномiв Чебишова першого
роду.
1. Узагальненi полiноми Ермiта. Продемонструємо дiєвiсть нового пiдходу до побудови
узагальнених полiномiв Ермiта у сенсi [1 – 3]. Наша мотивацiя зробити акцент на узагальненнi
полiномiв Ермiта полягає в тому, що, як зазначено вище, саме таких узагальнень бракує в
математичнiй лiтературi.
За вiдправну точку виберемо довiльну лiнiйну комбiнацiю полiномiв Ермiта, яка мiстить
параметр M, причому таку, що при M = 0 перетворюється на класичний полiном Ермiта. Для
визначеностi розглянемо формулу
vn(x) = Hn(x) +MHn - 2(x), n = 0, 1, 2, . . . ,
H - 1(x) = 0, H - 2(x) =
1
2
.
Ортогоналiзуємо цю послiдовнiсть за допомогою процесу ортогоналiзацiї Грамма – Шмiдта
(див., наприклад, [6, с. 157]), в якому за скалярний добуток вiзьмемо
(u, v) =
\infty \int
- \infty
e - x2
u(x)v(x)dx+Mu(0)v(0).
Зауважимо, що скалярний добуток вибираємо також таким чином, щоб вiн залежав вiд па-
раметра M i при M = 0 збiгався зi скалярним добутком, вiдносно якого полiноми Ермiта є
ортогональними. Маємо
ui(x) = vi(x) -
i - 1\sum
j=1
(ui, vj)
(vj , vj)
vj(x), i = 1, 2, . . . .
Зокрема,
u0(x) = 1 +
y
2
,
u1(x) = H1(x),
u2(x) = H2(x) +
2y
1 + y
,
u3(x) = H3(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ 829
u4(x) = H4(x) +
12y(2x2 - 3)
2 + 3y
,
u5(x) = H5(x),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y =
M\surd
\pi
.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Має мiсце зображення
un(x) =
1
2\alpha (n) + \beta (n)y
\Bigl[
2\alpha (n)Hn(x) + \beta (n)
y
x
Hn - 1(x)
\Bigr]
, (2)
де \beta (n) = 0, якщо n — непарне число,
\beta (2m+ 2) = denominator (22m(m!)2/(2m+ 1)!),
\alpha (2m) = km, km = k[m/2] +m, m = 0, 1, 2, . . . ,
(3)
а полiноми un(x) =
\sum n
p=0
kn,n - px
n - p визначаються з рекурентного спiввiдношення
un+1(x) = (2x+Bn)un(x) - Cnun - 1(x), n = 0, 1, . . . ,
u - 1(x) = 0, u0(x) = 1 +
y
2
,
(4)
kn,n = 2n, kn,n - 1 = 0,
kn,n - 2 =
2n - 1
2\alpha (n) + \beta (n)y
\Bigl(
- 2\alpha (n) - 1n(n - 1) + \beta (n)y
\Bigr)
,
Bn = 0, Cn =
1
kn - 1, n - 1
(2kn, n - 2 - kn+1, n - 1)
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r} (a/b) = b, де a, b — натуральнi взаємно простi числа).
У формулi (3) у виразi для km квадратнi дужки в iндексi означають цiлу частину числа, яке
вони мiстять. При отриманнi формул (3) ми скористались енциклопедiєю [7].
Схема одержання (4) є такою. Спочатку для будь-якої заданої послiдовностi ортогональних
полiномiв
Pn (x) =
n\sum
i=0
kn, i x
n - i
за допомогою рекурентного спiввiдношення
Pn+1(x) = (An x+Bn)Pn(x) - CnPn - 1(x), n = 1, 2, . . . ,
An =
kn+1, n+1
kn, n
, Bn = An
\biggl(
kn+1, n
kn+1, n+1
- kn, n - 1
kn, n
\biggr)
,
Cn =
1
kn - 1, n - 1
(An kn, n - 2 +Bn kn, n - 1 - kn+1, n - 1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
830 В. Л. МАКАРОВ
знаходимо рекурентне спiввiдношення для полiномiв (2). Зауважимо, що формула для визна-
чення коефiцiєнта Cn вiдрiзняється вiд традицiйної (див. [6, с. 161], формули (8)) i в нiй не
використовуються норми полiномiв Pn (x). Таким чином, згiдно з (4) отримуємо формулу, що
визначає коефiцiєнт Cn.
Застосовуючи рекурентне спiввiдношення (4), неважко одержати тричленнi рекурентнi спiв-
вiдношення як для парних полiномiв u2n(x), n = 0, 1, . . . , так i для непарних u2n - 1(x) =
= H2n - 1(x), n = 1, 2, . . . , якi збiгаються з полiномами Ермiта.
Має мiсце тотожнiсть Кристоффеля – Дарбу
n\sum
p=0
hp
- 1up(x)up(y) =
1
2hn
un+1(x)un(y) - un+1(y)un(x)
x - y
,
де
h2n =
\Biggl(
2\alpha (2n)
2\alpha (2n) + \beta (2n)y
\Biggr) 2
\surd
\pi 22n(2n)! +
\biggl(
\beta (2n)y
2\alpha (2n) + \beta (2n)y
\biggr) 2\surd
\pi 4n+1(2n+ 1)+
+ y
\surd
\pi
\Biggl(
2\alpha (2n)( - 1)n(2n)!/n! + \beta (2n)y( - 1)n+12n(2n - 1)!
2\alpha (2n) + \beta (2n)y
\Biggr) 2
,
h2n+1 =
\surd
\pi 22n+1(2n+ 1)!.
Перейдемо до знаходження однорiдного звичайного диференцiального рiвняння нескiнчен-
ного порядку в загальному випадку
\infty \sum
k=1
ak(x)
dky(x)
dxk
- \lambda ny(x) = 0,
ak(x) =
\left\{
\sum m
p=0
a2m,2(m - p)
(2m)!
(2m - 2p)!
x2p, k = 2m,
\sum m
p=0
a2m+1,2(m - p)+1
(2m+ 1)!
(2m+ 1 - 2p)!
x2p+1, k = 2m+ 1,
(5)
\lambda n =
n\sum
k=1
ak,k
n!
(n - k)!
,
яке повиннi задовольняти члени заданої послiдовностi полiномiв
pn(x), n = 0, 1, . . . , \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}(pn(x)) = n.
Алгоритм полягає у такiй послiдовностi крокiв.
Крок 1. Задаємо послiдовнiсть старших коефiцiєнтiв ak,k у полiномах ak(x) перед похiд-
ними порядку k, що входять у рiвняння (5), k = 1, 2, . . . , n.
Крок 2. Покладаємо n = 2, пiдставляємо в рiвняння (5) y(x) = p2(x). Як результат
одержуємо полiном нульового степеня, прирiвнюємо його до нуля i з отриманого рiвняння
знаходимо a2,0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ 831
Крок 3. Покладаємо n = 3, пiдставляємо в рiвняння (5) y(x) = p3(x). Як результат одер-
жуємо полiном першого степеня. Прирiвнюємо його коефiцiєнт бiля x до нуля, з отриманого
рiвняння знаходимо a3,0.
I так далi.
Крок \bfitk . Покладаємо n = k, пiдставляємо в рiвняння (5) y(x) = pk(x). Як результат
одержуємо полiном (k - 2)-го степеня. Прирiвнюємо його коефiцiєнти перед
xk - 2, xk - 4, . . . ,
\left\{ x, якщо k - непарне,
1, якщо k - парне,
до нуля. Одержуємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, кожне з яких мiстить тiльки одне
невiдоме
ak,k - 2p, p = 1, 2, . . . , 2
\biggl[
k
2
\biggr]
.
Пiсля їхнього розв’язання замiнюємо k на k + 1 i повторюємо крок k.
Процес може закiнчитись на певному кроцi n = N, якщо всi коефiцiєнти
ak,k - 2p = 0, p = 1, 2, . . . , 2
\biggl[
k
2
\biggr]
, \forall k > N.
В iншому випадку процес буде продовжуватись до нескiнченностi.
Проiлюструємо скiнченнокроковий процес на такому прикладi.
Приклад 1. Побудуємо диференцiальне рiвняння вигляду (5) для послiдовностi класичних
полiномiв Ермiта pn(x) = Hn(x), n = 0, 1, . . . . На першому кроцi задаємо a1,1 = - 2, ak,k = 0,
k \geq 2. На другому кроцi пiдставляємо в рiвняння (5) n = 2, y(x) = H2(x) = 4x2 - 2, пiсля
чого отримуємо полiном нульового степеня
8a2,0 - 16x2 + 4(4x2 - 2) = 8a2,0 - 8.
Прирiвнюємо його до нуля й одержуємо a2,0 = 1. На наступному кроцi пiдставляємо в рiвняння
(5)
n = 3, y(x) = H3(x) = 8x3 - 12x.
В результатi отримуємо
48a3,1 + 48x - 2x(24x2 - 12) + 6(8x3 - 12x) = 48a3,1 = 0.
Звiдси випливає, що a3,1 = 0. На наступному кроцi пiдставляємо в рiвняння (5)
n = 4, y(x) = H4(x) = 16x4 - 48x2 + 12.
У результатi одержуємо спiввiдношення
(a4,2x
2 + a4,0)192 + 192x2 - 96 - 2x(64x3 - 96x) + 8(16x4 - 48x2 + 12) =
= (a4,2x
2 + a4,0)192 \equiv 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
832 В. Л. МАКАРОВ
з якого випливає, що
a4,2 = 0, a4,0 = 0.
Продовжуючи далi, на всiх наступних кроках отримуємо, що всi
ak,k - 2p = 0, p = 1, 2, . . . , 2
\biggl[
k
2
\biggr]
, \forall k > 2.
Таким чином, будемо мати класичне диференцiальне рiвняння, яке задовольняють полiноми
Ермiта.
Тепер перейдемо до побудови диференцiального рiвняння, яке задовольняють узагальненi
полiноми Ермiта.
Приклад 2. Побудуємо диференцiальне рiвняння вигляду (5) для послiдовностi полiно-
мiв (2). Вибираємо послiдовнiсть старших коефiцiєнтiв полiномiв ak(x), k = 1, 2, . . . , у виглядi
a1,1 = - 2, ak,k = 0, k = 2, 3, . . . ,
а далi застосовуємо наш алгоритм. У результатi одержуємо
a1,1 = - 2 - 2y
\pi
,
a2,0 = 1, a2,2 = 0,
a3,1 =
y
\pi
, a3,3 = 0,
a4,0 =
y
8(2\pi + 3y)
, a4,2 = - y(5\pi + 7y)
4\pi (2\pi + 3y)
, a4,4 = 0,
a5,1 = - y
8(2\pi + 3y)
, a5,3 =
y(7\pi + 9y)
12\pi (2\pi + 3y)
, a5,5 = 0,
a6,0 =
y(2\pi + 9y)
96(2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
, a6,2 =
7y(4\pi + 7y)
48(2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
,
a6,4 = - y(42\pi 2 + 128\pi y + 93y2)
24\pi (2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
, a6,6 = 0,
a7,1 = - y(2\pi + 9y)
96(2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
, a7,3 = - y(12\pi + 19y)
48(2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
,
a7,5 =
y(66\pi 2 + 194\pi y + 135y2)
120\pi (2\pi + 3y)(8\pi + 15y)
, a7,7 = 0.
Наступнi значення коефiцiєнтiв ми не наводимо через їхню громiздкiсть. Загальнi формули
для них одержати не вдалося. Зауважимо, що пiсля пiдстановки у вищенаведенi формули
y = 0 ми отримуємо значення коефiцiєнтiв полiномiв ak(x), k = 1, 2, якi входять у класичне
диференцiальне рiвняння другого порядку для полiномiв Ермiта, а при y \rightarrow \infty одержуємо
граничнi значення цих коефiцiєнтiв, що входять у диференцiальне рiвняння нескiнченного
порядку для полiномiв un(x) | y=\infty .
Справджується така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ 833
Теорема 2. Для того щоб полiноми
Pn (x) =
[n2 ]\sum
i=0
kn, n - 2 i x
n - 2i
(у тому числi ортогональнi) задовольняли диференцiальне рiвняння четвертого порядку (5),
необхiдно i достатньо, щоб виконувались спiввiдношення
kn, n
\biggl[
n!
(n - 2)!
a2,0 +
n!
(n - 3)!
a3,1 +
n!
(n - 4)!
a4,2
\biggr]
-
- kn, n - 2
\Bigl[
2a1,1 + 2(2n - 3)a2,2 + 6(n - 2)2a3,3+
+(2n+ 2)(2n+ 3)(2n+ 4)a4,4
\Bigr]
= 0,
n = 4, 5, . . . ,
(6)
kn, n - 2m
(n - 2m)!
(n - 2m - 4)!
a4,0 + kn, n - 2m - 2
\biggl[
(n - 2m - 2)!
(n - 2m - 4)!
a2,0 +
+
(n - 2m - 2)!
(n - 2m - 5)!
a3,1 +
(n - 2m - 2)!
(n - 2m - 6)!
a4,0
\biggr]
-
- kn, n - 2m - 412
\Bigl[
a1,1 + (2n - 2m - 5)a2,2 +
+(3n2 - 6(m+ 5)n+ 3m2 + 30m+ 110)a3,3 +
+2(2n - 4m+ 9)(n2 - (4m - 9)n+ 4m2 - 18m+ 55)a4,4
\Bigr]
= 0,
n = 2m+ 6, 2m+ 7, . . . , m = 1, 2, . . . .
Продемонструємо застосування цiєї теореми у випадку полiномiв Ермiта. Враховуючи яв-
ний вигляд коефiцiєнтiв полiномiв Ермiта
kn, n - 2m =
( - 1)mn!
m!(n - 2m)!
, m = 0, 1, . . . ,
\Bigl[ n
2
\Bigr]
,
i те, що коефiцiєнти диференцiального рiвняння не повиннi залежати вiд n, iз першого рiвняння
з (6) шляхом прирiвнювання коефiцiєнтiв iз однаковими степенями n одержуємо
a4,4 = 0, 2a2,0 + a1,1 = 0, a3,1 + a2,2 = 0, 2a4.2 + 3a3,3 = 0. (7)
Пiдставляючи у перше рiвняння з (6) n = 4, 5, з урахуванням (7) отримуємо два рiвняння
a2,2 + 6a3,3 = 0, a2,2 + 9a3,3 = 0,
якi можуть одночасно виконуватись лише тодi, коли
a2,2 = a3,3 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
834 В. Л. МАКАРОВ
В результатi, з точнiстю до сталого множника, одержуємо класичне диференцiальне рiвняння
другого порядку для полiномiв Ермiта.
Зауважимо, що у роботi [8] наведно необхiднi та достатнi умови того, щоб система ор-
тогональних полiномiв \{ yn\} \infty n=0 задовольняла диференцiальне рiвняння четвертого порядку з
коефiцiєнтами перед похiдними, якi не залежать вiд n. Зазначенi умови визначаються через ко-
ефiцiєнти диференцiального рiвняння та моменти, пов’язанi з цiєю ортогональною системою.
Скористатися цими умовами в нашому випадку було неможливо, оскiльки вихiдною iнфор-
мацiєю, яку ми могли б задiяти, були коефiцiєнти диференцiального рiвняння та коефiцiєнти
ортогональних полiномiв.
Застосування запропонованої технiки не обмежується лише узагальненими полiномами
Ермiта. Вона є, в певному сенсi, унiверсальною, що, зокрема, проiлюстровано в наступно-
му пунктi щодо узагальнених полiномiв Лежандра та Чебишова.
2. Узагальненi полiноми Лежандра та Чебишова. 2.1. Розглянемо лiнiйно незалежну
систему
vn(x) = Pn(x) +MPn - 2(x), n = 0, 1, 2, . . . , P - 1(x) = 0, P - 2(x) = 0,
побудовану за допомогою полiномiв Лежандра. Ортогоналiзуємо цю послiдовнiсть за допомо-
гою процесу ортогоналiзацiї Грамма – Шмiдта, в якому за скалярний добуток вiзьмемо
(u, v) =
1\int
- 1
u(x)v(x)dx+Mu(0)v(0).
Справджується така теорема.
Теорема 3. Має мiсце зображення
un(x) =
1
2\alpha (n) + \beta (n)y
\biggl[
2\alpha (n)Pn(x) + y\beta (n)
\biggl(
Pn(x) +
1
nx
Pn - 1(x)
\biggr) \biggr]
, (8)
де \beta (n) = 0, якщо n — непарне число,
\beta (2m+ 2) =
\bigl[
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}(22m(m!)2/(2m+ 1)!)
\bigr] 2
,
\alpha (2m) = 4m - \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(m) + 1, m = 0, 1, 2, . . . ,
\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}(m) — кiлькiсть одиниць у бiнарному зображеннi числа m, а полiноми
un(x) =
n\sum
p=0
kn,n - px
n - p
визначаються з рекурентного спiввiдношення
un+1(x) = (Anx+Bn)un(x) - Cnun - 1(x), n = 0, 1, . . . ,
u - 1(x) = 0, u0(x) = 1 +
y
2
,
kn,n = 2 - n (2n)!
(n!)2
, kn,n - 1 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ 835
kn,n - 2 =
2 - n(2n - 2)!\bigl[
(n - 1)!
\bigr] 2 \biggl(
- n+ 1 +
2\beta (n)y
2\alpha (n) + \beta (n)y
\biggr)
,
An =
kn+1, n+1
kn, n
=
2n+ 1
n+ 1
, Bn = 0, Cn =
1
kn - 1, n - 1
(2 kn, n - 2 - kn+1, n - 1).
Пiдставляючи у диференцiальне рiвняння (5)
n = k, y(x) = uk(x), k = 3, 4, 5,
i додаючи вимогу, щоб одержанi вирази тотожно дорiвнювали нулю, отримуємо спiввiдношення
a4,0 = - 1
4(225y + 128)
\Bigl[
135a2,0y + 64(a1,1 + 2a2,0)
\Bigr]
,
a3,1 =
45
16
a2,0y + a1,1 + 2a2,0,
a4,2 =
1
3600y + 2048
\Bigl[
- 3375a2,0y
2 - 600(2a1,1 + 3a2,0) + 512(a1,1 + 2a2,0)
\Bigr]
,
(9)
a4,4 =
1
3600y + 2048
\Bigl[
4275a2,0y
2 + 4(360a1,1 + 761a2,0) - 512(a1,1 + 2a2,0)
\Bigr]
,
a3,3 = - 1
16
\Bigl(
51a2,0y + 16(2a2,0 + a1,1)
\Bigr)
,
a2,2 = - 3
2
a2,0y - a1,1 - 3a2,0,
a2,0, a1,1 — довiльнi.
Якщо далi пiдставити у диференцiальне рiвняння (5)
n = 6, y(x) = u6(x)
i накласти умову, щоб одержанi вирази тотожно дорiвнювали нулю, то переконаємося, що це
можливо лише тодi, коли
a2,0 = a1,1 = 0.
Отже, згiдно з (9) можна зробити такий висновок.
Теорема 4. Для узагальнених полiномiв Лежандра (8) не iснує диференцiального рiвняння
четвертого порядку вигляду (5), яке б вони задовольняли.
Той самий висновок ми одержали б, якщо б скористались теоремою 2.
Аналогiчно доводимо, що не iснує диференцiального рiвняння шостого порядку вигляду (5),
яке задовольняють узагальненi полiноми Лежандра.
Якщо у диференцiальному рiвняннi (5) ми врахуємо (9) i покладемо y = 0, то отримаємо
двопараметричне диференцiальне рiвняння четвертого порядку, яке задовольняють класичнi
полiноми Лежандра
4\sum
i=0
ai (x)y
(i)(x) - \lambda ny(x) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
836 В. Л. МАКАРОВ
a4(x) = - 1
8
(1 - x2)2(2a2,0 + a1,1),
a3(x) = - (1 - x2)x(2a2,0 + a1,1),
(10)
a2(x) = - (3a2,0 + a1,1)x
2 + a2,0,
\lambda n =
1
8
\Bigl[
(n+ 3)(n - 2)a1,1 + 2(n+ 2)(n - 1)a2,0
\Bigr]
(n+ 1)n,
a2,0, a1,1 — довiльнi сталi.
Якщо у (10) покласти a2,0 = 1, a1,1 = - 2, то одержимо коефiцiєнти класичного диферен-
цiального рiвняння другого порядку, яке задовольняють полiноми Лежандра (див. [6, с. 180],
формула (11)).
Так само, як для випадку узагальнених полiномiв Ермiта, згiдно з нашим алгоритмом можна
побудувати диференцiальне рiвняння нескiнченного порядку, яке задовольняють узагальненi
полiноми Лежандра. Оскiльки принциповi вiдмiнностi при цьому не виникають, результати
побудови ми не наводимо.
2.2. Переходячи до узагальнення полiномiв Чебишова першого роду, розглянемо лiнiйно
незалежну систему полiномiв
vn(x) = Tn(x) + yTn - 2(x), n = 0, 1, 2, . . . ,
T - 1(x) = x, P - 2(x) = 2x2 - 1,
побудовану за допомогою полiномiв Чебишова першого роду. Ортогоналiзуємо цю послiдов-
нiсть, використавши процес ортогоналiзацiї Грамма – Шмiдта, в якому за скалярний добуток
вiзьмемо
(u, v) =
1\int
- 1
1\surd
1 - x2
u(x)v(x)dx+ yu(0)v(0).
Справджується така теорема.
Теорема 5. Має мiсце зображення
un(x) =
=
1
\pi + \beta (n)y
\biggl[
\pi Tn(x) + y\beta (n)
\biggl(
Tn(x) +
1
x
Tn - 1(x)
\biggr) \biggr]
, (11)
n = 3, 4, . . . ,
де \beta (n) = 0, якщо n — непарне число,
\beta (2m) = 2m - 1, m = 2, 3, . . . ,
а полiноми
un(x) =
n\sum
p=0
kn,n - px
n - p
визначаються з рекурентного спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
НОВИЙ ПIДХIД ДО ПОБУДОВИ УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСИЧНИХ ПОЛIНОМIВ 837
un+1(x) = (Anx+Bn)un(x) - Cnun - 1(x), n = 4, 5, . . . ,
u3(x) = T3(x), u4(x) =
1
\pi + 3y
\biggl[
(\pi + 3y)T4(x) + y
1
x
T3(x)
\biggr]
,
kn, n = 2n - 1, kn, n - 1 = 0,
kn, n - 2 = 2n - 3
\Biggl(
- n+
2\beta (n)y\bigl[
\pi + \beta (n)y
\bigr]
(n - 1)
\Biggr)
,
An =
kn+1, n+1
kn, n
= 2, Bn = 0,
Cn =
1
kn - 1, n - 1
(2 kn, n - 2 - kn+1, n - 1) =
= 1 - 2\beta (n+ 1)y\bigl[
\pi + \beta (n+ 1)y
\bigr]
n
+
2\beta (n)y\bigl[
\pi + \beta (n)y
\bigr]
(n - 1)
,
\beta (n) =
\Bigl(
1 - 2
\Bigl\{ n
2
\Bigr\} \Bigr)
(n - 1)
(фiгурнi дужки позначають дробову частину числа, яке вони мiстять).
Доповнимо зображення узагальнених полiномiв Чебишова його початковими значеннями,
що були одержанi в процесi ортогоналiзацiї та не вкладаються у формулу (11). Маємо
u0(x) = 2x2y - y + 1,
u1(x) = x(y + 1),
u2(x) =
4(y2 - 1)
2y3 + (\pi - 4)y2 + 2y + 2\pi
\Bigl[
x2(y2 - y - \pi ) +
\pi
4
(y + 2)
\Bigr]
.
Застосувавши теорему 2, визначимо, чи iснує диференцiальне рiвняння четвертого порядку
(5), яке задовольняють узагальненi полiноми Чебишова. Перша система рiвнянь iз (6) у цьому
випадку має розв’язок
a3,3 = - a1,1
18
, a1,1, a4,0 — довiльнi,
всi iншi коефiцiєнти диференцiального рiвняння дорiвнюють нулю. З другої системи рiвнянь iз
(6) отримуємо, що a1,1 = a4,0 = 0. Отже, доведено таке твердження.
Теорема 6. Не iснує диференцiального рiвняння четвертого порядку вигляду (5), яке б
задовольняли узагальненi полiноми Чебишова першого роду.
Разом з тим для класичних полiномiв Чебишова першого роду з першої системи рiвнянь iз
спiввiдношень (6) одержуємо, що її розв’язком є такий:
a4,4 = - a3,1
21
, a4,2 =
2a3,1
21
,
a3,3 =
1
126
\bigl(
38a3,1 - 7(a2,0 + a1,1)
\bigr)
,
(12)
a2,2 = - a2,0 +
18a3,1
7
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
838 В. Л. МАКАРОВ
a4,0, a3,1, a2,0, a1,1 — довiльнi.
Iз другої системи рiвнянь iз спiввiдношень (6) знаходимо
a4,0 = 0, a3,1 = 0, a2,0 = - a1,1.
Отже, враховуючи (12), з точнiстю до множника a1,1 отримуємо класичне диференцiальне рiв-
няння другого порядку для полiномiв Чебишова першого роду (див. [6, с. 186], формула (18)).
Цiлком природно, даний результат можна також довести, пiдставивши у диференцiальне рiв-
няння (5)
n = k, y(x) = uk(x), k = 3, 4, 5,
i з використанням спiввiдношень (12) задовольнивши умову, щоб одержанi вирази тотожно
дорiвнювали нулю.
Так само, як для випадку узагальнених полiномiв Ермiта, згiдно з нашим алгоритмом можна
побудувати диференцiальне рiвняння нескiнченного порядку, яке задовольняють узагальненi
полiноми Чебишова першого роду. Оскiльки принциповi вiдмiнностi при цьому не виникають,
результати побудови ми не наводимо.
Лiтература
1. J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, On differential equations for Sobolev-type Laguerre polynomials, Trans. Amer.
Math. Soc., 350, № 1, 347 – 393 (1998).
2. R. Koekoek, H. G. Meijer, A generalization of Laguerre polynomials, SIAM J. Math. Anal., 24, № 3, 768 – 782
(1993).
3. A. M. Krall, Orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect.
A, 87, № 3-4, 271 – 288 (1981); DOI: https://doi.org/10.1017/S0308210500015213.
4. L. L. Littlejohn, The Krall polynomials: a new class of orthogonal polynomials, Quaest. Math., 5, 255 – 265 (1982).
5. В. Л. Макаров, Узагальненi полiноми Ермiта, їх властивостi та диференцiальне рiвняння, яке вони задоволь-
няють, Доп. НАН України, № 9, 3 – 9 (2020); DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.003.
6. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 2, Наука, Москва (1974).
7. The on-line encyclopedia of integer sequences, founded in 1964 by N. J. A. Sloane.
8. H. L. Krall, Certain differential equations for Tchebysheff polynomials, Duke Math. J., 4, 705 – 718 (1938);
DOI:10.1215/S0012-7094-38-00462-4; https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077490943.
Одержано 04.08.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6256 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:43Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/59187ee1aca837be2fa20cf74b2e7907.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62562022-03-26T11:03:04Z A new approach to the construction of generalized classical polynomials Новий підхід до побудови узагальнених класичних поліномів Makarov, V. L. Makarov, V. L. Макаров, В. Л. . UDC 517.587 In this paper, we develop a new method for constructing generalized classical polynomials, primarily Hermite polynomials in the sense of A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn, et al. We construct a differential operator of infinite order whose eigenfunctions are such polynomials. For generalized Hermite polynomials, we investigate a number of properties inherent in classical orthogonal polynomials (orthogonality, generalized Rodrigues formula, three-term recurrence relation forming a function). The versatility of the method is revealed in constructing generalized Legendre and Chebyshev polynomials of the first kind. Работа посвящена разработке нового метода построения обобщенных классических полиномов, в первую очередь, полиномов Эрмита, в смысле, который используют A.~Krall, J.~Koekoek, R.~Koekoek, H.~Bavinck, L.~Littlejohn и др. Построен дифференциальный оператор бесконечного порядка, собственными функциями которого являются такие полиномы. Исследован ряд свойств обобщенных полиномов Эрмита, которые присущи классическим ортогональным полиномам (ортогональность, обобщенная формула Родрига, трехчленное рекуррентное соотношение, образующая функция). Продемонстрирована универсальность нового метода при построении обобщенных полиномов Лежандра и Чебышева первого рода. УДК 517.587 Роботу присвячено розробці нового методу побудови узагальнених класичних поліномів, насамперед поліномів Ерміта, у сенсі A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn та ін. Побудовано диференціальний оператор нескінченного порядку, власними функціями якого є такі поліноми. Досліджено ряд властивостей узагальнених поліномів Ерміта, що притаманні класичним ортогональним поліномам (ортогональність, узагальнену формулу Родріга, тричленне рекурентне співвідношення, твірну функцію). Продемонстровано універсальність нового методу для побудови узагальнених поліномів Лежандра та Чебишова першого роду.   Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6256 10.37863/umzh.v73i6.6256 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 827 - 838 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 827 - 838 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6256/9031 Copyright (c) 2021 Володимир Леонідович Макаров |
| spellingShingle | Makarov, V. L. Makarov, V. L. Макаров, В. Л. A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title | A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title_alt | Новий підхід до побудови узагальнених класичних поліномів |
| title_full | A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title_fullStr | A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title_full_unstemmed | A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title_short | A new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| title_sort | new approach to the construction of generalized classical polynomials |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6256 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl anewapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials AT makarovvl anewapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials AT makarovvl anewapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials AT makarovvl novijpídhíddopobudoviuzagalʹnenihklasičnihpolínomív AT makarovvl novijpídhíddopobudoviuzagalʹnenihklasičnihpolínomív AT makarovvl novijpídhíddopobudoviuzagalʹnenihklasičnihpolínomív AT makarovvl newapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials AT makarovvl newapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials AT makarovvl newapproachtotheconstructionofgeneralizedclassicalpolynomials |