Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II
UDC 517.928 We consider the problem of finding asymptotic solutions to linear singular perturbed differential-algebraic equations with a simple turning point and develop a technique of constructing such asymptotic solutions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6260 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512311905615872 |
|---|---|
| author | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. / |
| author_facet | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. / |
| author_sort | Samoilenko , A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:04Z |
| description | UDC 517.928
We consider the problem of finding asymptotic solutions to linear singular perturbed differential-algebraic equations with a simple turning point and develop a technique of constructing such asymptotic solutions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6260 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6260
УДК 517.928
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
П. Ф. Самусенко (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКАМИ ПОВОРОТУ. II
We consider the problem of finding asymptotic solutions to linear singular perturbed differential-algebraic equations with
a simple turning point and develop a technique of constructing such asymptotic solutions.
Розроблено алгоритм знаходження асимптотичних розв’язкiв лiнiйної сингулярно збуреної диференцiально-алгебра-
їчної системи з простою точкою повороту.
Дана стаття є продовженням роботи [1], де розглядається сингулярно збурена диференцiально-
алгебраїчна система
\varepsilon B(t, \varepsilon )
dx
dt
= A(t, \varepsilon )x, t \in [0;T ], (1)
з точкою повороту.
Нехай виконуються такi умови:
1) A(0, 0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Eq, Jp\} , B(0, 0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Jq, Ep\} , p + q = n, де Eq — одинична матриця
порядку q, Jq — квадратна матриця порядку q, елементи верхньої наддiагоналi якої дорiвнюють
1, решта елементiв – нулю; аналогiчно визначаються матрицi Ep i Jp;
2)
d
dt
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A(t, 0))| t=0
\not = 0,
d
dt
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(t, 0))| t=0
\not = 0.
У статтi [1] знайдено фундаментальну систему розв’язкiв системи (1) на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
p
p+1 ; t0
\bigr]
,
t0 \leq T. У цiй частинi роботи розв’язки системи (1) побудовано на вiдрiзку
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
p
p+1
\bigr]
, k\prime 0 > k0,
i здiйснено зрощування знайдених асимптотичних розвинень.
Згiдно з результатами [2 – 4] iснують такi неособливi достатньо гладкi матрицi P (t, \varepsilon ),
Q(t, \varepsilon ), (t, \varepsilon ) \in [0; t1]\times [0; \varepsilon 1], t1 \leq T, \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що мають мiсце рiвностi
P (t, \varepsilon )A(t, \varepsilon )Q(t, \varepsilon ) = \Omega (t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
Eq(t, \varepsilon ), Jp(t, \varepsilon )
\bigr\}
, (2)
P (t, \varepsilon )B(t, \varepsilon )Q(t, \varepsilon ) = H(t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
Jq(t, \varepsilon ), Ep(t, \varepsilon )
\bigr\}
, (3)
де
\Omega (t, 0) = \Omega (t) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Eq, Jp(t)\} , H(t, 0) = H(t) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Jq(t), Ep\} ,
Jq(t) =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
bq(t) bq - 1(t) bq - 2(t) . . . b1(t)
\right) ,
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6 849
850 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
Jp(t) =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
ap(t) ap - 1(t) ap - 2(t) . . . a1(t)
\right) ,
функцiї bi(t) = t\widetilde bi(t), i = 1, q, i ai(t) = t\widetilde ai(t), i = 1, p, визначаються вiдповiдно характеристич-
ними многочленами матриць B(t, 0) i A(t, 0) [4]. При цьому з умови 2 випливає, що \widetilde bq(0) \not = 0
й \widetilde ap(0) \not = 0.
Покладемо
x(t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon )y(t, \varepsilon ).
Тодi система (1) набере вигляду
\varepsilon H(t, \varepsilon )
dy
dt
= C(t, \varepsilon )y, (4)
де C(t, \varepsilon ) = \Omega (t, \varepsilon ) - \varepsilon H(t, \varepsilon )Q - 1(t, \varepsilon )Q\prime (t, \varepsilon ). За побудовою Q\prime (t, 0) = 0 [3].
Нехай
H(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kHk(t), C(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kCk(t).
Тодi
H0(t) = H(t), H1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
H1q(t), H1p(t)
\bigr\}
,
C0(t) = \Omega (t), C1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
C1q(t), C1p(t)
\bigr\}
,
де H1q(t), C1q(t) — квадратнi матрицi порядку q.
Нехай K(t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
Eq + \varepsilon C1q(t), Ep + \varepsilon H1p(t)
\bigr\}
. Домножимо злiва обидвi частини сис-
теми (4) на матрицю K - 1(t, \varepsilon ):
\varepsilon G(t, \varepsilon )
dy
dt
= D(t, \varepsilon )y. (5)
За побудовою [1]
G(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kGk(t), D(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kDk(t),
D0(t) = C0(t), D1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
0, D1p(t)
\bigr\}
\equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
0, C1p(t) - H1p(t)Jp(t)
\bigr\}
,
G0(t) = H0(t), G1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
G1q(t), 0
\bigr\}
\equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
H1q(t) - C1q(t)Jq(t), 0
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 851
Внутрiшнє розвинення. Розв’язок системи (5) шукатимемо на вiдрiзку
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
, \beta =
=
1
p+ 1
, k\prime 0 > k0. Виконаємо замiну \tau =
t
\varepsilon
. Тодi система (5) набере вигляду
G(\varepsilon \tau , \varepsilon )
dy
d\tau
= D(\varepsilon \tau , \varepsilon )y, (6)
де
G(\varepsilon \tau , \varepsilon ) = H(0) + \varepsilon
\bigl(
\tau H \prime (0) +G1(0)
\bigr)
+
\sum
k\geq 2
\varepsilon k
k\sum
i=0
1
i!(k - i)!
\partial kG(0, 0)
\partial tk - i\partial \varepsilon i
\tau k - i \equiv
\equiv
\sum
k\geq 0
\varepsilon kGk(\tau ),
D(\varepsilon \tau , \varepsilon ) = \Omega (0) + \varepsilon
\bigl(
\tau \Omega \prime (0) +D1(0)
\bigr)
+
\sum
k\geq 2
\varepsilon k
k\sum
i=0
1
i!(k - i)!
\partial kD(0, 0)
\partial tk - i\partial \varepsilon i
\tau k - i \equiv
\equiv
\sum
k\geq 0
\varepsilon kDk(\tau ).
Позначимо \rho 1(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon
\bigl(
\tau \widetilde bq(0) + \bigl\{ G1q(0)
\bigr\}
q1
\bigr)
, \rho 2(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon
\bigl(
\tau \widetilde ap(0) + \bigl\{ D1p(0)
\bigr\}
p1
\bigr)
.
Нехай виконується умова
3) \mathrm{R}\mathrm{e} q
\sqrt{}
\tau \widetilde bq(0) + \bigl\{ G1q(0)
\bigr\}
q1
\not = 0, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, i
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl\{
D1p(0)
\bigr\}
p1
\mathrm{R}\mathrm{e}\widetilde ap(0) + \mathrm{I}\mathrm{m}
\bigl\{
D1p(0)
\bigr\}
p1
\mathrm{I}\mathrm{m}\widetilde ap(0) > 0.
Зазначимо, що з умови 3 випливає, що \tau \widetilde ap(0) + \bigl\{ D1p(0)
\bigr\}
p1
\not = 0, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Зведемо матрицi G0(\tau ) + \varepsilon G1(\tau ) i D0(\tau ) + \varepsilon D1(\tau ) до дiагонального вигляду. Для цього,
насамперед, зазначимо, що розв’язки рiвнянь
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Jq(0) + \varepsilon
\bigl(
\tau J \prime
q(0) +G1q(0)
\bigr)
- \omega Eq) = 0
i
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Jp(0) + \varepsilon (\tau J \prime
p(0) +D1p(0)) - \omega Ep) = 0
мають вигляд [5]
\omega j(\tau , \varepsilon ) = \rho
1
q
1 (\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\rho
q+1
q2
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
, j = 1, q,
\omega j(\tau , \varepsilon ) = \rho
1
p
2 (\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\rho
p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
, j = q + 1, n.
Згiдно з умовою 3 вважаємо, що функцiї \mathrm{R}\mathrm{e}\omega j(t, \varepsilon ), j = 1, q, i \omega j(t, \varepsilon ), j = q + 1, n, на вiдрiзку\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
вiдмiннi вiд нуля.
Нехай
\widetilde T - 1
q (\tau , \varepsilon )
\bigl(
Jq(0) + \varepsilon
\bigl(
\tau J \prime
q(0) +G1q(0)
\bigr) \bigr) \widetilde Tq(\tau , \varepsilon ) = \Phi q(\tau , \varepsilon ) \equiv
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
852 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
\equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\omega 1(\tau , \varepsilon ), \omega 2(\tau , \varepsilon ), . . . , \omega q(\tau , \varepsilon )
\bigr\}
,\widetilde T - 1
p (\tau , \varepsilon )
\bigl(
Jp(0) + \varepsilon (\tau J \prime
p(0) +D1q(0))
\bigr) \widetilde Tp(\tau , \varepsilon ) = \Phi p(\tau , \varepsilon ) \equiv
\equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\omega q+1(\tau , \varepsilon ), \omega q+2(\tau , \varepsilon ), . . . , \omega n(\tau , \varepsilon )
\bigr\}
, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Позначимо через \psi j(\tau , \varepsilon ), j = 1, q, стовпцi матрицi \widetilde Tq(\tau , \varepsilon ). Тодi, вважаючи компонентами
векторiв \psi j(\tau , \varepsilon ), j = 1, q, алгебраїчнi доповнення елементiв q-го рядка матрицi Jq(0) +
+ \varepsilon
\bigl(
\tau J \prime
q(0) +G1q(0)
\bigr)
- \omega j(\tau , \varepsilon )Eq, отримуємо
\psi j(\tau , \varepsilon ) =
\left(
1 +O(\varepsilon )
\rho
1
q
1 (\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\rho
q+1
q2
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
\rho
2
q
1 (\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\rho
2q+1
q2
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\rho
q - 1
q
1 (\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\rho
(q - 1)q+1
q2
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
\right)
, j = 1, q, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Отже,
\widetilde T - 1
q (\tau , \varepsilon ) =
\left(
O(1) O
\Bigl(
\rho
- 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
- q - 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
O(1) O
\Bigl(
\rho
- 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
- q - 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O(1) O
\Bigl(
\rho
- 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
- q - 1
q
1 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
\right)
, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Аналогiчну структуру має матриця \widetilde Tp(\tau , \varepsilon ).
Нехай \widetilde T (\tau , \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{ \widetilde Tq(\tau , \varepsilon ), \widetilde Tp(\tau , \varepsilon )\bigr\} . Покладаючи у системi (6) y(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T (\tau , \varepsilon )v(\tau , \varepsilon ),
одержуємо
N(\tau , \varepsilon )
dv
d\tau
=M(\tau , \varepsilon )v, (7)
де
N(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon )G(\varepsilon \tau , \varepsilon ) \widetilde T (\tau , \varepsilon ) \equiv \sum
k\geq 0
\varepsilon kNk(\tau , \varepsilon ),
N0(\tau , \varepsilon ) =
\Biggl(
\Phi q(\tau , \varepsilon ) 0
0 Ep
\Biggr)
, N1(\tau , \varepsilon ) = 0, Nk(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon )Gk(\tau ) \widetilde T (\tau , \varepsilon ), k \geq 2,
M(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon )D(\varepsilon \tau , \varepsilon ) \widetilde T (\tau , \varepsilon ) - \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon )G(\varepsilon \tau , \varepsilon ) \widetilde T \prime (\tau , \varepsilon ) \equiv
\sum
k\geq 0
\varepsilon kMk(\tau , \varepsilon ),
M0(\tau , \varepsilon ) =
\Biggl(
Eq 0
0 \Phi p(\tau , \varepsilon )
\Biggr)
, M1(\tau , \varepsilon ) = - 1
\varepsilon
N0(\tau , \varepsilon ) \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon ) \widetilde T \prime (\tau , \varepsilon ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 853
Mk(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T - 1(\tau , \varepsilon )
\bigl(
Dk(\tau ) \widetilde T (\tau , \varepsilon ) - Gk(\tau ) \widetilde T \prime (\tau , \varepsilon )
\bigr)
, k \geq 2.
Докладнiше проаналiзуємо структуру, наприклад, матрицi \widetilde T - 1
p (\tau , \varepsilon ) \widetilde T \prime
p(\tau , \varepsilon ). За побудовою
\widetilde Tp(\tau , \varepsilon ) = K0(\tau , \varepsilon )K1 +K2(\tau , \varepsilon ),
K0(\tau , \varepsilon ) =
\left(
1 0 0 . . . 0
0 | \rho 2(\tau , \varepsilon )|
1
p\omega 0(\tau , \varepsilon ) 0 . . . 0
0 0 | \rho 2(\tau , \varepsilon )|
2
p\omega 2
0(\tau , \varepsilon ) . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . | \rho 2(\tau , \varepsilon )|
p - 1
p \omega p - 1
0 (\tau , \varepsilon )
\right)
,
\omega 0(\tau , \varepsilon ) = e
i arg \rho 2(\tau ,\varepsilon )
p ,
K1 =
\left(
1 1 1 . . . 1
1 \omega \omega 2 . . . \omega p - 1
1 \omega 2 \omega 4 . . . \omega 2(p - 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 \omega p - 1 \omega 2(p - 1) . . . \omega (p - 1)(p - 1)
\right) , \omega = e
2\pi i
p ,
K2(\tau , \varepsilon ) =
\left(
O(\varepsilon ) O(\varepsilon ) . . . O(\varepsilon )
O
\Bigl(
\rho
p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
O
\Bigl(
\rho
p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
O
\Bigl(
\rho
2p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
O
\Bigl(
\rho
2p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
2p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O
\Bigl(
\rho
(p - 1)p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
O
\Bigl(
\rho
(p - 1)p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
\rho
(p - 1)p+1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
\right)
,
\tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Тодi
\widetilde T - 1
p (\tau , \varepsilon ) \widetilde T \prime
p(\tau , \varepsilon ) =
\bigl(
K0(\tau , \varepsilon )K1 +K2(\tau , \varepsilon )
\bigr) - 1\bigl(
K \prime
0(\tau , \varepsilon )K1 +K \prime
2(\tau , \varepsilon )
\bigr)
=
=
\Bigl(
Ep + \rho
1
p2
2 (\tau , \varepsilon )K3(\tau , \varepsilon )
\Bigr) \Bigl(
K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 + \varepsilon \rho
- 1+ 1
p2
2 (\tau , \varepsilon )K4(\tau , \varepsilon )
\Bigr)
=
= K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 + \varepsilon \rho
- 1+ 1
p2
2 (\tau , \varepsilon )K5(\tau , \varepsilon ),
де
\Phi 0(\tau , \varepsilon ) = K - 1
0 (\tau , \varepsilon )K \prime
0(\tau , \varepsilon ) =
1
p
\biggl(
| \rho 2(\tau , \varepsilon )| \prime
| \rho 2(\tau , \varepsilon )|
+ i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \rho 2(\tau , \varepsilon ))
\prime
\biggr)
I,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
854 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
I =
\left(
0 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . p - 1
\right)
,
K3(\tau , \varepsilon ) = O(1), K4(\tau , \varepsilon ) = O(1), K5(\tau , \varepsilon ) = O(1), \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Таким чином, можна вважати, що
M0(\tau , \varepsilon ) =
\Biggl(
Eq 0
0 - K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 +\Phi p(\tau , \varepsilon )
\Biggr)
,
M1(\tau , \varepsilon ) =
1
\varepsilon
\left( - \Phi q(\tau , \varepsilon ) \widetilde T - 1
q (\tau , \varepsilon ) \widetilde T \prime
q(\tau , \varepsilon ) 0
0 - \varepsilon \rho
- 1+ 1
p2
2 K5(\tau , \varepsilon )
\right) .
Формальний матричний розв’язок системи (7) шукаємо у виглядi
V (\tau , \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kVk(\tau , \varepsilon ). (8)
Модифiкуємо процедуру визначення функцiй Vk(\tau , \varepsilon ), зрiвнюючи коефiцiєнти при степенях \varepsilon k,
таким чином: \Biggl(
\Phi q(\tau , \varepsilon ) 0
0 Ep
\Biggr)
dV0
d\tau
=
\Biggl(
Eq 0
0 - K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 +\Phi p(\tau , \varepsilon )
\Biggr)
V0, (9)
\Biggl(
\Phi q(\tau , \varepsilon ) 0
0 Ep
\Biggr)
dVk
d\tau
=
\Biggl(
Eq 0
0 - K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 +\Phi p(\tau , \varepsilon )
\Biggr)
Vk + Fk(\tau , \varepsilon ), k \geq 1, (10)
де
Fk(\tau , \varepsilon ) =
k\sum
s=1
Ms(\tau , \varepsilon )Vk - s(\tau , \varepsilon ) -
k\sum
s=2
Ns(\tau , \varepsilon )V
\prime
k - s(\tau , \varepsilon ).
Iз рiвнянь (9), (10) отримуємо
V0(\tau , \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
V01(\tau , \varepsilon ), V02(\tau , \varepsilon )
\bigr\}
, (11)
де
V01(\tau , \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \tau \int
b1
\omega - 1
1 (s, \varepsilon )ds
\right) , . . . , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( \tau \int
bq
\omega - 1
q (s, \varepsilon )ds
\right)
\right\} ,
V02(\tau , \varepsilon ) — фундаментальна матриця системи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 855
dV02
d\tau
=
\bigl(
- K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 +\Phi p(\tau , \varepsilon )
\bigr)
V02,
Vk(\tau , \varepsilon ) =
\tau \int
b
V0(\tau , \varepsilon )V
- 1
0 (s, \varepsilon )Rk(s, \varepsilon ) ds, k \in N. (12)
Тут
Rk(\tau , \varepsilon ) =
\Biggl(
\Phi - 1
q (\tau , \varepsilon ) 0
0 Ep
\Biggr)
Fk(\tau , \varepsilon ),
b =
\bigl(
b1, . . . , bq, k
\prime
0\varepsilon
- \beta , . . . , k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr)
, нижня межа iнтегрування в iнтегралi, що мiститься у i-му
рядку системи (12), дорiвнює bi, i = 1, q, або k\prime 0\varepsilon
- \beta , i = q + 1, n,
bi =
\left\{ 0, \mathrm{R}\mathrm{e}\omega i(\tau , \varepsilon ) < 0,
k\prime 0\varepsilon
- \beta , \mathrm{R}\mathrm{e}\omega i(\tau , \varepsilon ) > 0, t \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \in (0; \varepsilon 0].
Зауваження 1. Оскiльки власнi значення матрицi - \Phi 0(\tau , \varepsilon ), згiдно з умовою 3, мають
недодатнi дiйснi частини, то V02(\tau , \varepsilon ) обмежена на вiдрiзку \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
. Справдi, матриця
V02(\tau , \varepsilon ) задовольняє систему iнтегральних рiвнянь
V02(\tau , \varepsilon ) = \Psi (\tau , \varepsilon )C +
\tau \int
0
\Psi (\tau , \varepsilon )\Psi - 1(s, \varepsilon )\Phi p(s, \varepsilon )V02(s, \varepsilon )ds,
де \Psi (\tau , \varepsilon ) = K - 1
1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\int \tau
0
\Phi 0(s, \varepsilon )ds
\biggr)
K1 — фундаментальна матриця системи
dv2
d\tau
= - K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1v2,
C — матриця довiльних сталих.
За побудовою
\bigm\| \bigm\| \Psi (\tau , \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq l0, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
. Тому
\bigm\| \bigm\| V02(\tau , \varepsilon )\bigm\| \bigm\| \leq c1 + l1
\tau \int
0
\bigm\| \bigm\| \Phi p(s, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| V02(s, \varepsilon )\bigm\| \bigm\| ds.
Отже, згiдно з лемою Гронуолла – Беллмана
\bigm\| \bigm\| V02(\tau , \varepsilon )\bigm\| \bigm\| \leq c1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( l1 \tau \int
0
\bigm\| \bigm\| \Phi p(s, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| ds
\right) \leq l, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
,
де стала l не залежить вiд \varepsilon . Не обмежуючи загальностi, вважаємо, що C = Ep.
Нехай \gamma = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
p
q(p+ 1)
,
1
p(p+ 1)
\biggr\}
. Тодi за побудовою
V0(\tau , \varepsilon ) = O(1), Vk(\tau , \varepsilon ) = O
\bigl(
\varepsilon - k(1 - \gamma )
\bigr)
, k \in N, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
856 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
Доведемо асимптотичний характер формального розв’язку (8) системи (7). Для цього в
системi (7) покладемо
vi(\tau , \varepsilon ) = ri(\tau , \varepsilon ) + \widetilde v(m)
i (\tau , \varepsilon ), \widetilde v(m)
i (\tau , \varepsilon ) =
m\sum
k=0
\varepsilon kv
(k)
i (\tau , \varepsilon ),
де v(k)i (\tau , \varepsilon ), i = 1, n, — стовпцi матрицi Vk(\tau , \varepsilon ), а ri(\tau , \varepsilon ) — нова невiдома вектор-функцiя.
Маємо
N(\tau , \varepsilon )
dri
d\tau
=M(\tau , \varepsilon )ri + fi(\tau , \varepsilon ). (13)
Тут
fi(\tau , \varepsilon ) =M(\tau , \varepsilon )\widetilde v(m)
i (\tau , \varepsilon ) - N(\tau , \varepsilon )
d\widetilde v(m)
i (\tau , \varepsilon )
d\tau
i
fi1(\tau , \varepsilon ) = O
\bigl(
\varepsilon
m\gamma + 1
q
\bigr)
, fi2(\tau , \varepsilon ) = O
\bigl(
\varepsilon
m\gamma + 1
p2
\bigr)
, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0+,
де fi1(\tau , \varepsilon ) — q-вимiрний вектор, що мiстить q перших компонент вектора fi(\tau , \varepsilon ), fi2(\tau , \varepsilon ) —
(n - q)-вимiрний вектор, що мiстить решту компонент fi(\tau , \varepsilon ).
Враховуючи неособливiсть матрицi N(\tau , \varepsilon ), записуємо систему (13) таким чином:
dri
d\tau
=
\bigl(
\Psi 0(\tau , \varepsilon ) + L(\tau , \varepsilon )
\bigr)
ri + gi(\tau , \varepsilon ), (14)
де
\Psi 0(\tau , \varepsilon ) = N - 1
0 (\tau , \varepsilon )M0(\tau , \varepsilon ),
L(\tau , \varepsilon ) = N - 1(\tau , \varepsilon )
\infty \sum
k=1
\varepsilon kMk(\tau , \varepsilon ) + (N - 1(\tau , \varepsilon ) - N - 1
0 (\tau , \varepsilon ))M0(\tau , \varepsilon ),
gi(\tau , \varepsilon ) = N - 1(\tau , \varepsilon )fi(\tau , \varepsilon ),
N - 1(\tau , \varepsilon ) = N - 1
0 (\tau , \varepsilon ) + \varepsilon 2
\Biggl(
\rho - 1
1 (\tau , \varepsilon )Eq 0
0 \rho
- 1+ 1
p
2 (\tau , \varepsilon )Ep
\Biggr)
S(\tau , \varepsilon )N - 1
0 (\tau , \varepsilon ),
S(\tau , \varepsilon ) = O(1), \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Згiдно з умовою 3 вважаємо, що
\Phi q(\tau , \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\Phi q - (\tau , \varepsilon ),\Phi q+(\tau , \varepsilon )
\bigr\}
,
де \Phi q - (\tau , \varepsilon ) i \Phi q+(\tau , \varepsilon ) — матрицi, власними значеннями яких є власнi значення матрицi
\Phi q(\tau , \varepsilon ) вiдповiдно з вiд’ємними та додатними дiйсними частинами. Для визначеностi припу-
стимо, що \Phi q - (t, \varepsilon ) — квадратна матриця порядку k1.
Еквiвалентна система iнтегральних рiвнянь до системи (14) з початковою умовою
ri(bi, \varepsilon ) = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 857
має вигляд
ri1 - (\tau , \varepsilon ) =
\tau \int
0
Z1 - (\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L11(s, \varepsilon )ri1 - + L12(s, \varepsilon )ri1+ + L13(s, \varepsilon )ri2 + gi1 - (s, \varepsilon )
\bigr)
ds, (15)
ri1+(\tau , \varepsilon ) = -
k\prime 0\varepsilon
- \beta \int
\tau
Z1+(\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L21(s, \varepsilon )ri1 - + L22(s, \varepsilon )ri1+ + L23(s, \varepsilon )ri2 + gi1+(s, \varepsilon )
\bigr)
ds,
(16)
ri2(\tau , \varepsilon ) =
\tau \int
0
Z2(\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L31(s, \varepsilon )ri1 - + L32(s, \varepsilon )ri1+ + L33(s, \varepsilon )ri2 + gi2(s, \varepsilon )
\bigr)
ds, (17)
i = 1, n,
де
L(\tau , \varepsilon ) =
\left( L11(\tau , \varepsilon ) L12(\tau , \varepsilon ) L13(\tau , \varepsilon )
L21(\tau , \varepsilon ) L22(\tau , \varepsilon ) L23(\tau , \varepsilon )
L31(\tau , \varepsilon ) L32(\tau , \varepsilon ) L33(\tau , \varepsilon )
\right) ,
розмiрностi векторiв ri1 - (\tau , \varepsilon ), ri1+(\tau , \varepsilon ) i ri2(\tau , \varepsilon ) дорiвнюють порядку матриць \Phi q - (\tau , \varepsilon ),
\Phi q+(\tau , \varepsilon ) i \Phi 0(\tau , \varepsilon ) вiдповiдно, Z1 - (\tau , s, \varepsilon ), Z1+(\tau , s, \varepsilon ) i Z2(\tau , s, \varepsilon ) — фундаментальнi матрицi
однорiдних систем
dri1 -
d\tau
= \Phi - 1
q - (\tau , \varepsilon )ri1 - , Z1 - (s, s, \varepsilon ) = Ek1 ,
dri1+
d\tau
= \Phi - 1
q+(\tau , \varepsilon )ri1+, Z1+(s, s, \varepsilon ) = Eq - k1
i
dri2
d\tau
=
\bigl(
- K - 1
1 \Phi 0(\tau , \varepsilon )K1 +\Phi p(\tau , \varepsilon )
\bigr)
ri2, Z2(s, s, \varepsilon ) = Ep
вiдповiдно. Зазначимо, що
Z1(\tau , s, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
Z1 - (\tau , s, \varepsilon ), Z1+(\tau , s, \varepsilon )
\bigr\}
\equiv V01(\tau , \varepsilon )V
- 1
01 (s, \varepsilon ),
а матриця Z2(\tau , s, \varepsilon ) є розв’язком сумiсної системи iнтегральних рiвнянь
Z2(\tau , s, \varepsilon ) = \Psi (\tau , \varepsilon )\Psi - 1(s, \varepsilon ) +
\tau \int
s
\Psi (\tau , \varepsilon )\Psi - 1(s, \varepsilon )\Phi p(s, \varepsilon )Z2(\tau , s, \varepsilon )ds.
За побудовою
Lij(\tau , \varepsilon ) = O(1), i = 1, 2, j = 1, 3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
858 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
L3j(\tau , \varepsilon ) = O
\Bigl(
\varepsilon \rho
- 1+ 1
p2
2 (\tau , \varepsilon )
\Bigr)
, j = 1, 3, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0+,
\bigm\| \bigm\| Z1 - (\tau , s, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq d \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
c1 -
\varepsilon
p
q(p+1)
(\tau - s)
\biggr)
, 0 \leq s \leq \tau \leq k\prime 0\varepsilon
- \beta ,
\bigm\| \bigm\| Z1+(\tau , s, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq d \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
c1+
\varepsilon
p
q(p+1)
(\tau - s)
\biggr)
, 0 \leq \tau \leq s \leq k\prime 0\varepsilon
- \beta ,\bigm\| \bigm\| Z2(\tau , s, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq d, 0 \leq s \leq \tau \leq k\prime 0\varepsilon
- \beta ,
c1 - < 0, c1+ > 0.
Для доведення iснування розв’язку системи (15) – (17) скористаємось методом послiдовних
наближень, якi визначаємо за формулами
r
(0)
i (\tau , \varepsilon ) \equiv 0, \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
,
r
(l)
i1 - (\tau , \varepsilon ) =
\tau \int
0
Z1 - (\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L11(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1 - + L12(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1+ + L13(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i2 + gi1 - (s, \varepsilon )
\bigr)
ds,
(18)
r
(l)
i1+(\tau , \varepsilon ) = -
k\prime 0\varepsilon
- \beta \int
\tau
Z1+(\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L21(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1 - + L22(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1+ + L23(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i2 + gi1+(s, \varepsilon )
\bigr)
ds,
(19)
r
(l)
i2 (\tau , \varepsilon ) =
\tau \int
0
Z2(\tau , s, \varepsilon )
\bigl(
L31(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1 - + L32(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i1+ + L33(s, \varepsilon )r
(l - 1)
i2 + gi2(s, \varepsilon )
\bigr)
ds, (20)
i = 1, n, l \in N.
Нехай \bigm\| \bigm\| gi1(\tau , \varepsilon )\bigm\| \bigm\| \leq d1\varepsilon
m\gamma ,
\bigm\| \bigm\| gi2(\tau , \varepsilon )\bigm\| \bigm\| \leq d1\varepsilon
m\gamma + 1
p2 , \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
За побудовою \bigm\| \bigm\| r(1)i (\tau , \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq d2\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1 ,\bigm\| \bigm\| r(l)i (\tau , \varepsilon ) - r
(l - 1)
i (\tau , \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq d l
2\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1 , \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
, d2 < 1, l \in N.
Вважатимемо, що m\gamma +
1
p2
- 1
p+ 1
> 0. Тодi послiдовнi наближення (18) – (20) збiгаються до
розв’язку ri = ri(\tau , \varepsilon ) системи (15) – (17), причому\bigm\| \bigm\| ri(\tau , \varepsilon )\bigm\| \bigm\| \leq c\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1 , \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Зазначимо, що стала c не залежить вiд m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 859
Для доведення єдиностi розв’язку системи (15) – (17) скористаємось методом доведення
вiд супротивного. Нехай ri(\tau , \varepsilon ) i ri(\tau , \varepsilon ) — розв’язки системи (15) – (17), причому ri(\tau , \varepsilon ) \not \equiv
\not \equiv ri(\tau , \varepsilon ), \tau \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
. Позначимо
\theta i = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0;k\prime 0\varepsilon - \beta ]
\bigm\| \bigm\| ri(\tau , \varepsilon ) - ri(\tau , \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| , i = 1, n.
Тодi згiдно з (15) – (17) отримуємо
\theta i \leq k\varepsilon \gamma \theta i < \theta i
(стала k не залежить вiд \varepsilon ), що неможливо. А тому система (15) – (17) має єдиний розв’язок.
Зауваження 2. Нехай V (m)(\tau , \varepsilon ) =
\sum m
k=0
\varepsilon kVk(\tau , \varepsilon ), а R(\tau , \varepsilon ) — матриця зi стовпця-
ми ri(\tau , \varepsilon ), i = 1, n. Тодi стовцi матрицi V (m)(\tau , \varepsilon ) + R(\tau , \varepsilon ) лiнiйно незалежнi на вiдрiзку\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
. Справдi, нехай C(\varepsilon ) — така дiагональна матриця, що
(V (m)(\tau , \varepsilon ) +R(\tau , \varepsilon ))C(\varepsilon ) = 0. (21)
Позначимо C(\varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
Cq - (\varepsilon ), Cq+(\varepsilon ), Cn - q(\varepsilon )
\bigr\}
, де порядки матриць Cq - (\varepsilon ) i Cq+(\varepsilon )
вiдповiдно дорiвнюють k1 i q - k1. Покладаючи у рiвностi (21) \tau = 0, згiдно з (11), (12),
(15) i (17) отримуємо Cq - (\varepsilon ) = 0, Cn - q(\varepsilon ) = 0. Якщо ж \tau = k\prime 0\varepsilon
- \beta , то аналогiчно одержуємо
Cq+(\varepsilon ) = 0. Отже, стовпцi матрицi V (m)(\tau , \varepsilon )+R(\tau , \varepsilon ) лiнiйно незалежнi на вiдрiзку
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
- \beta
\bigr]
.
Теорема. Нехай A(t, \varepsilon ) i B(t, \varepsilon ) належать Cm+1(K), де K =
\bigl\{
(t, \varepsilon ) : 0 \leq t \leq T, 0 \leq
\leq \varepsilon \leq \varepsilon 0
\bigr\}
, i виконуються умови 1 – 3. Тодi iснує таке \varepsilon 1, \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що система (1) на вiдрiзку\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
, k\prime 0 > k0, \beta =
1
p+ 1
, для всiх m >
1
\gamma
\biggl(
1
p+ 1
- 1
p2
\biggr)
має n лiнiйно незалежних
розв’язкiв xi = xi(t, \varepsilon ), причому\bigm\| \bigm\| xi(t, \varepsilon ) - x
(m)
i (t, \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \leq c\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1 , t \in
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
,
де x(m)
i (t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon ) \widetilde T (\tau , \varepsilon )\widetilde v(m)
i (\tau , \varepsilon ), \tau =
t
\varepsilon
.
Зрощування асимптотичних розвинень. Позначимо через X1(t, \varepsilon ) i X2(t, \varepsilon ) фундамен-
тальнi матрицi системи (1) вiдповiдно на вiдрiзках
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t0
\bigr]
i
\bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
,
X1(t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )
\Bigl(
En +O
\Bigl(
m - 1k
- m(1+ 1
p
)
0
\Bigr) \Bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) ,
X2(t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon ) \widetilde T (\tau , \varepsilon )\Bigl( V (m)(\tau , \varepsilon ) +O
\Bigl(
\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1
\Bigr) \Bigr)
,
\Lambda (t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\lambda 1(t, \varepsilon ), \lambda 2(t, \varepsilon ), . . . , \lambda n(t, \varepsilon )
\bigr\}
, a = (a1, a2, . . . , an) [1].
Оскiльки, за побудовою, k\prime 0 > k0, то на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
побудовано двi фунда-
ментальнi матрицi системи (1). А тому iснує така стала матриця D(\varepsilon ), що
X2(t, \varepsilon ) = X1(t, \varepsilon )D(\varepsilon ), t \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
.
Для її визначення достатньо взяти деяке t\prime \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; k\prime 0\varepsilon
1 - \beta
\bigr]
i покласти
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
860 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
D(\varepsilon ) = X - 1
1 (t\prime , \varepsilon )X2(t
\prime , \varepsilon ).
Нехай, наприклад, t\prime = k0\varepsilon
1 - \beta . Тодi
X - 1
1
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta , \varepsilon
\bigr)
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 1
\varepsilon
k0\varepsilon 1 - \beta \int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) \Bigl( En +O
\Bigl(
m - 1k
- m(1+ 1
p
)
0
\Bigr) \Bigr) - 1
\times
\times U - 1
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta , \varepsilon
\bigr)
Q - 1
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta , \varepsilon
\bigr)
,
X2
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta , \varepsilon
\bigr)
= Q
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta , \varepsilon
\bigr) \widetilde T (k0\varepsilon - \beta , \varepsilon )
\Bigl(
V (m)(k0\varepsilon
- \beta , \varepsilon ) +O
\bigl(
\varepsilon
m\gamma + 1
p2
- 1
p+1
\bigr) \Bigr)
.
Припускаючи \mathrm{R}\mathrm{e} q
\sqrt{} \widetilde bq(0) \not = 0, \mathrm{R}\mathrm{e} p
\sqrt{} \widetilde ap(0) \not = 0, вважаємо, що
\Lambda (t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\Lambda q(t, \varepsilon ),\Lambda p(t, \varepsilon )
\bigr\}
,
\Lambda q(t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\Lambda q - (t, \varepsilon ),\Lambda q+(t, \varepsilon )
\bigr\}
, \Lambda p(t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\Lambda p - (t, \varepsilon ),\Lambda p+(t, \varepsilon )
\bigr\}
,
де, наприклад, \Lambda q - (t, \varepsilon ) i \Lambda q+(t, \varepsilon ) — матрицi, власними значеннями яких є власнi значення мат-
рицi \Lambda q(t, \varepsilon ) вiдповiдно з вiд’ємними i додатними дiйсними частинами. Аналогiчну структуру
має \Lambda p(t, \varepsilon ).
Тодi за побудовою
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 1
\varepsilon
k0\varepsilon 1 - \beta \int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{ Ek1 , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t6\int
k0\varepsilon 1 - \beta
\Lambda q+(\tau , \varepsilon )d\tau
\right) , Ek2 , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t6\int
k0\varepsilon 1 - \beta
\Lambda p+(\tau , \varepsilon )d\tau
\right)
\right\} ,
де k1 i k2 — порядки квадратних матриць \Lambda q - (t, \varepsilon ) i \Lambda p - (t, \varepsilon ) вiдповiдно, сталу t6 визначено
в [1].
Приклад. Розглянемо систему
\varepsilon H(t, \varepsilon )
dy
dt
= C(t, \varepsilon )y, t \in [0; 1], (22)
де
H(t, \varepsilon ) =
\left(
0 1 0 0
t+ \varepsilon 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
\right) , C(t, \varepsilon ) =
\left(
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 t+ \varepsilon 0
\right) .
Зовнiшнє розвинення. Вважаємо, що t \in
\bigl[
10\varepsilon
2
3 ; 1
\bigr]
. За побудовою p = q = 2,
Jq(t) = Jp(t) =
\biggl(
0 1
t 0
\biggr)
, C1p(t) = D1p(t) =
\Biggl(
0 0
1 0
\Biggr)
, H1q(t) = G1q(t) =
\Biggl(
0 0
1 0
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 861
Власнi значення матриць Jq(t) + \varepsilon G1q(t) i Jp(t) + \varepsilon D1p(t) вiдповiдно дорiвнюють
w12(t) = \pm
\surd
t+ \varepsilon = \pm
\surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr)
i
w34(t) = \pm
\surd
t+ \varepsilon = \pm
\surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr)
.
У системi (22) покладемо y(t, \varepsilon ) = U(t, \varepsilon )z(t, \varepsilon ), де U(t, \varepsilon ) = U0(t, \varepsilon )+ \varepsilon U1(t, \varepsilon ). Матрицю
U(t, \varepsilon ) пiдберемо так, щоб виконувалась рiвнiсть
C(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon ) - \varepsilon H(t, \varepsilon )U \prime (t, \varepsilon ) = H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )
\bigl(
\Lambda (t, \varepsilon ) + \varepsilon 2\Delta (t, \varepsilon )
\bigr)
,
де \Lambda (t, \varepsilon ) = \Lambda 0(t, \varepsilon ) + \varepsilon \Lambda 1(t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
\lambda 1(t, \varepsilon ), . . . , \lambda 4(t, \varepsilon )
\bigr\}
.
За побудовою
U(t, \varepsilon ) = T (t, \varepsilon )
\bigl(
P0 + \varepsilon P1(t, \varepsilon )
\bigr)
,
де
T (t, \varepsilon ) =
\left(
1 1 0 0
-
\surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr) \surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr)
0 0
0 0 1 1
0 0 -
\surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr) \surd
t+O
\bigl(
\varepsilon t -
1
2
\bigr)
\right) , P0 = E4,
P1(t, \varepsilon ) =
\left(
0
1
8
\surd
t
+O(\varepsilon t -
1
2 ) 0 0
- 1
8
\surd
t
+O(\varepsilon t -
1
2 ) 0 0 0
0 0 0
1
8t
\surd
t
+O(\varepsilon t -
3
2 )
0 0 - 1
8t
\surd
t
+O(\varepsilon t -
3
2 ) 0
\right)
.
Крiм того,
\Lambda 0(t, \varepsilon ) =
\left(
- 1\surd
t
(1 +O(\varepsilon t - 1)) 0 0 0
0
1\surd
t
(1 +O(\varepsilon t - 1)) 0 0
0 0 -
\surd
t+O(\varepsilon t -
1
2 ) 0
0 0 0
\surd
t+O(\varepsilon t -
1
2 )
\right) ,
\Lambda 1(t, \varepsilon ) =
\left(
- 1
4t
+O(\varepsilon t - 1) 0 0 0
0 - 1
4t
+O(\varepsilon t - 1) 0 0
0 0 - 1
4t
+O(\varepsilon t -
3
2 ) 0
0 0 0 - 1
4t
+O(\varepsilon t -
3
2 )
\right)
,
\varepsilon 2\| \Delta (t, \varepsilon )\| \leq 1
4
\varepsilon 2t -
5
2 , t \in [10\varepsilon
2
3 ; 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
862 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
Згiдно з результатами [1] система (22) має чотири лiнiйно незалежних розв’язки
yj(t, \varepsilon ) = U(t, \varepsilon )
\bigl(
ej +O
\bigl(
10 -
3
2
\bigr) \bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
aj
\lambda j(\tau , \varepsilon )d\tau
\right) , j = 1, 4,
де ej — чотиривимiрний вектор, j -та координата якого дорiвнює 1, решта координат дорiвню-
ють 0; a1 = a3 = 10\varepsilon
2
3 , a2 = a4 = 1.
Внутрiшнє розвинення. Систему (22) розглядаємо на вiдрiзку
\bigl[
0; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
. Покладаючи
\tau =
t
\varepsilon
, отримуємо
H(\varepsilon \tau , \varepsilon )
dy
d\tau
= C(\varepsilon \tau , \varepsilon )y, \tau \in
\bigl[
0; 20\varepsilon -
1
3
\bigr]
. (23)
У даному випадку
\rho 1(\tau , \varepsilon ) = \rho 2(\tau , \varepsilon ) = \varepsilon (\tau + 1),
власнi значення матриць Jq(0) + \varepsilon
\bigl(
\tau J \prime
q(0) + G1q(0)
\bigr)
i Jp(0) + \varepsilon
\bigl(
\tau J \prime
p(0) +D1p(0)
\bigr)
вiдповiдно
дорiвнюють
\omega 12(\tau , \varepsilon ) = \pm
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
i
\omega 34(\tau , \varepsilon ) = \pm
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1).
Нехай y(\tau , \varepsilon ) = \widetilde T (\tau , \varepsilon )v(\tau , \varepsilon ), де
\widetilde T (\tau , \varepsilon ) =
\left(
1 1 0 0
-
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1) 0 0
0 0 1 1
0 0 -
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\right) .
Тодi система (23) набере вигляду
N(\tau , \varepsilon )
dv
d\tau
=M(\tau , \varepsilon )v, (24)
де
N(\tau , \varepsilon ) \equiv N0(\tau , \varepsilon ) =
\left(
-
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1) 0 0 0
0
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
\right) ,
M(\tau , \varepsilon ) =M0(\tau , \varepsilon ) + \varepsilon M1(\tau , \varepsilon ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ . . . 863
M0(\tau , \varepsilon ) =
\left(
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 - 1
4(\tau + 1)
-
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
1
4(\tau + 1)
0 0
1
4(\tau + 1)
- 1
4(\tau + 1)
+
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\right)
,
M1(\tau , \varepsilon ) =
1
4
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\left(
1 - 1 0 0
1 - 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
\right) .
Формальний розв’язок системи (24) шукаємо у виглядi (8). При цьому
V0(\tau , \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl\{
V01(\tau , \varepsilon ), V02(\tau , \varepsilon )
\bigr\}
,
де
V01(\tau , \varepsilon ) =
\left(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 2\surd
\varepsilon
(
\surd
\tau + 1 - 1)
\biggr)
0
0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
2\surd
\varepsilon
\biggl( \surd
\tau + 1 -
\sqrt{}
20\varepsilon -
1
3 + 1
\biggr) \biggr)
\right) ,
а V02(\tau , \varepsilon ) — фундаментальна матриця системи
dV02
d\tau
=
\left( - 1
4(\tau + 1)
-
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
1
4(\tau + 1)
1
4(\tau + 1)
- 1
4(\tau + 1)
+
\sqrt{}
\varepsilon (\tau + 1)
\right) V02.
За побудовою V02(\tau , \varepsilon ) = O(1), \tau \in
\bigl[
0; 20\varepsilon -
1
3
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + . Згiдно з (12) визначаємо V1(\tau , \varepsilon ).
При цьому V1(\tau , \varepsilon ) = O
\bigl(
\varepsilon -
1
2
\bigr)
, \tau \in
\bigl[
0; 20\varepsilon -
1
3
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Покладаючи у системi (24)
vi(\tau , \varepsilon ) = ri(\tau , \varepsilon ) + \widetilde v(1)i (\tau , \varepsilon ), \widetilde v(1)i (\tau , \varepsilon ) = v
(0)
i (\tau , \varepsilon ) + \varepsilon v
(1)
i (\tau , \varepsilon ),
де v
(k)
i (\tau , \varepsilon ), i = 1, 4, — стовпцi матрицi Vk(\tau , \varepsilon ), доводимо, що вектор-функцiя ri(\tau , \varepsilon ) є
розв’язком системи (15) – (17) i
ri(\tau , \varepsilon ) = O(\varepsilon ), \tau \in
\bigl[
0; 20\varepsilon -
1
3
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Таким чином, система (22) на вiдрiзку
\bigl[
0; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
має чотири лiнiйно незалежних розв’язки
yi = yi(t, \varepsilon ), причому
yi(t, \varepsilon ) = y
(1)
i (t, \varepsilon ) +O(\varepsilon ), t \in
\bigl[
0; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0+,
де y(1)i (t, \varepsilon ) = \widetilde T (\tau , \varepsilon )\widetilde v (1)
i (\tau , \varepsilon ), \tau =
t
\varepsilon
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
864 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
Зрощування асимптотичних розвинень. Нехай X1(t, \varepsilon ) i X2(t, \varepsilon ) — фундаментальнi ма-
трицi системи (22) на вiдрiзках
\bigl[
10\varepsilon
2
3 ; 1
\bigr]
i
\bigl[
0; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
вiдповiдно, тобто
X1(t, \varepsilon ) = U(t, \varepsilon )
\bigl(
E4 +O
\bigl(
10 -
3
2
\bigr) \bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) ,
X2(t, \varepsilon ) = \widetilde T (\tau , \varepsilon )\bigl( V (1)(\tau , \varepsilon ) +O(\varepsilon )
\bigr)
,
де V (1)(\tau , \varepsilon ) = V0(\tau , \varepsilon ) + \varepsilon V1(\tau , \varepsilon ), a =
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , 1, 10\varepsilon
2
3 , 1
\bigr)
.
На вiдрiзку
\bigl[
10\varepsilon
2
3 ; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
побудовано двi фундаментальнi матрицi системи (22). А тому iснує
така стала матриця D(\varepsilon ), що
X2(t, \varepsilon ) = X1(t, \varepsilon )D(\varepsilon ), t \in
\bigl[
10\varepsilon
2
3 ; 20\varepsilon
2
3
\bigr]
.
Нехай t = 10\varepsilon
2
3 . Тодi
D(\varepsilon ) = X - 1
1
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , \varepsilon
\bigr)
X2
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , \varepsilon
2
3
\bigr)
.
За побудовою
X - 1
1
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , \varepsilon
\bigr)
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 1
\varepsilon
10\varepsilon
2
3\int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) \bigl( E4 +O
\bigl(
10 -
3
2
\bigr) \bigr) - 1
U - 1
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , \varepsilon
\bigr)
,
U - 1
\bigl(
10\varepsilon
2
3 , \varepsilon
\bigr)
= O(\varepsilon -
1
3 ),
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( - 1
\varepsilon
10\varepsilon
2
3\int
a
\Lambda (\tau , \varepsilon )d\tau
\right) =
\left(
1 0 0 0
0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
1\int
10\varepsilon
2
3
\lambda 2(\tau , \varepsilon )d\tau
\right) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
1\int
10\varepsilon
2
3
\lambda 4(\tau , \varepsilon )d\tau
\right)
\right)
.
Лiтература
1. А. М. Самойленко, П. Ф. Самусенко, Асимптотичне iнтегрування сингулярно збурених диференцiально-алгеб-
раїчних рiвнянь з точками повороту. I, Укр. мат. журн., 72, № 12, 1669 – 1681 (2020).
2. Y. Sibuya, Simplification of a system of linear ordinary differential equations about a singular point, Funkcial. Ekvac.,
4, 29 – 56 (1962).
3. П. Ф. Самусенко, Асимптотичне iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiально-функцiональних
рiвнянь з виродженнями, Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова, Київ (2011).
4. W. Wasow, Linear turning point theory, Springer-Verlag, New York (1985).
5. A. Ostrowski, Solution of equations in Euclidean and Banach spaces, Acad. Press, New York (1973).
Одержано 29.12.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6260 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:47Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/32/59150d0b63b087800390c85677de0a32.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62602022-03-26T11:03:04Z Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных дифференциально-алгебраических уравнений с точками поворота. ІІ Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь з точками повороту. ІІ Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. / Асимптотичний розв'язок, диференціально-алгебраїчна система Asymptotical solution DAE UDC 517.928 We consider the problem of finding asymptotic solutions to linear singular perturbed differential-algebraic equations with a simple turning point and develop a technique of constructing such asymptotic solutions. В работе разработан алгоритм нахождения асимптотических решений линейной сингулярно возмущенной дифференциально-алгебраической системы с простой точкой поворота. УДК 517.928 Розроблено алгоритм знаходження асимптотичних розв'язків лінійної сингулярно збуреної диференціально-алгебраїчної системи з простою точкою повороту. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6260 10.37863/umzh.v73i6.6260 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 849 - 864 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 849 - 864 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6260/9030 Copyright (c) 2021 Петро Федорович Самусенко |
| spellingShingle | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. / Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title | Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title_alt | Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных дифференциально-алгебраических уравнений с точками поворота. ІІ Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь з точками повороту. ІІ |
| title_full | Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title_fullStr | Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title_full_unstemmed | Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title_short | Asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. II |
| title_sort | asymptotic integration of singularly perturbed differential-algebraic equations with turning points. ii |
| topic_facet | Асимптотичний розв'язок диференціально-алгебраїчна система Asymptotical solution DAE |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6260 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsii AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsii AT samojlenkoam asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsii AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsii AT asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsii AT samoilenkoam asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijstočkamipovorotaíí AT samusenkopf asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijstočkamipovorotaíí AT samojlenkoam asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijstočkamipovorotaíí AT samusenkopf asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijstočkamipovorotaíí AT asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravnenijstočkamipovorotaíí AT samoilenkoam asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuíí AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuíí AT samojlenkoam asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuíí AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuíí AT asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuíí |