Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I
UDC 517.928 This paper deals with the problem of finding asymptotic solutions for singular perturbed linear differential algebraic equations with simple turning point. Technique of constructing the asymptotic solutions is developed.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6261 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512311123378176 |
|---|---|
| author | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. |
| author_facet | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. |
| author_sort | Samoilenko , A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:28Z |
| description | UDC 517.928
This paper deals with the problem of finding asymptotic solutions for singular perturbed linear differential algebraic equations with simple turning point. Technique of constructing the asymptotic solutions is developed. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i12.6261 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i12.6261
УДК 517.928
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
П. Ф. Самусенко (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКАМИ ПОВОРОТУ. I
This paper deals with the problem of finding asymptotic solutions for singular perturbed linear differential algebraic
equations with simple turning point. Technique of constructing the asymptotic solutions is developed.
Розроблено алгоритм знаходження асимптотичних розв’язкiв сингулярно збуреної диференцiально-алгебраїчної
системи з простою точкою повороту.
Вступ. Систематичнi дослiдження диференцiальних рiвнянь з точками повороту було розпоча-
то в серединi ХХ столiття. Так, у працях Р. Лангера лiнiйне однорiдне диференцiальне рiвняння
другого порядку
d2x
dt2
+
\bigl(
\lambda 2q(t) + r(t)
\bigr)
x = 0,
q(t) = (t - \widetilde t)i\widetilde q(t), i \in N, \widetilde q(t) \not = 0, t \in [0;T ],
(1)
з великим параметром \lambda зводилось до рiвняння, коефiцiєнти якого для великих значень пара-
метра \lambda мало вiдрiзнялись вiд вiдповiдних коефiцiєнтiв деякого еталонного рiвняння (у даному
випадку — рiвняння Ейрi). Це дозволило побудувати два формальнi лiнiйно незалежнi розв’язки
рiвняння (1) та довести їх асимптотичний характер [1].
Т. Черрi, на вiдмiну вiд Р. Лангера, використовуючи переважно перетворення незалежної
змiнної, побудував загальний розв’язок рiвняння (1) у виглядi лiнiйної комбiнацiї функцiй
Бесселя [2].
Подальшого розвитку метод еталонного рiвняння набув у працях А. О. Дороднiцина, де було
обґрунтовано вибiр еталонного рiвняння для рiвняння типу (1), знайдено загальний розв’язок
заданого рiвняння та дослiджено асимптотичнi властивостi власних значень вiдповiдної задачi
Штурма – Лiувiлля [3].
Синтезуючи результати Р. Лангера, Т. Черрi та А. О. Дороднiцина, В. Вазов розробив метод
асимптотичного iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь
\varepsilon
dx
dt
= A(t, \varepsilon )x, t \in [0;T ], (2)
де A(t, \varepsilon ) — квадратна матриця порядку 2, A(0, 0) =
\biggl(
0 1
0 0
\biggr)
i
d
dt
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} A(t, 0))| t=0
\not = 0, \varepsilon —
малий параметр. При цьому система (2) за допомогою лiнiйного перетворення x = P (t, \varepsilon )y
зводилась до системи
\varepsilon
dy
dt
= B(t)y, B(t) =
\biggl(
0 1
t 0
\biggr)
,
фундаментальна матриця якої вiдома i записується через функцiї Ейрi [4]. Аналогiчнi результати
для системи
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12 1669
1670 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
dx
dt
= A(t)x+A1(t)y,
\varepsilon
dy
dt
= (B(t) + \varepsilon B1(t))y + \varepsilon B2(t)x
з визначеною ранiше матрицею B(t) отримав А. М. Самойленко [5].
Iншим, бiльш загальним, методом асимптотичного iнтегрування сингулярно збурених сис-
тем iз точками повороту є метод зрощування, згiдно з яким асимптотичнi розвинення розв’язкiв
будуються окремо на двох рiзних вiдрiзках: на вiдрiзку, що мiстить точку повороту (внутрiшнє
розвинення), i на вiдрiзку, що її не мiстить (зовнiшнє розвинення). Якщо областi застосуван-
ня двох зазначених асимптотик розв’язкiв для малих \varepsilon перекриваються, то можна провести
зрощування самих розв’язкiв, тобто побудувати розв’язок системи на заданому вiдрiзку. Так,
у працях В. Вазова для системи (2) з нiльпотентною жордановою клiтиною A(0, 0) на вiдрiз-
ках
\Bigl[
0; c1\varepsilon
n
n+2
\Bigr]
i
\Bigl[
c2\varepsilon
n
n+1 ;T
\Bigr]
побудовано фундаментальнi матрицi, наведено їхнi асимптотичнi
розвинення та проведено зрощування знайдених асимптотик розв’язкiв [6].
Асимптотичне розщеплення систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з особливою точкою
та точкою повороту, яке ґрунтувалось на теоремi про iснування такої неособливої достатньо
гладкої матрицi T (t, \varepsilon ), що T - 1(t, \varepsilon )A(t, \varepsilon )T (t, \varepsilon ) = \Omega (t, \varepsilon ), де \Omega (t, \varepsilon ) — пряма сума квадратних
матриць \Omega i(t, \varepsilon ) порядку mi, матриця \Omega i(0, 0) має одне власне значення \lambda i кратностi mi,
m1 + m2 + . . . + m\nu = n i \lambda i \not = \lambda j , коли i \not = j, i, j = 1, \nu , [7], проводилось М. Iвано [8,
9], Д. Расселлом i Й. Сибуєю [10, 11]. Таким чином, достатньо було дослiдити випадок, коли
матриця A(0, 0) має лише одне власне значення.
Оригiнальний пiдхiд до асимптотичного аналiзу сингулярно збурених задач iз точками
повороту запропонував С. О. Ломов [12]. У розробленому ним методi регуляризацiї сингулярно
збурена задача шляхом переходу до простору бiльшого вимiру стає регулярно збуреною, що
дає змогу шукати її розв’язок у виглядi ряду за степенями малого параметра. Зазначимо, що
С. О. Ломову вдалось знайти достатнi умови збiжностi асимптотичних розвинень розв’язкiв
деяких сингулярно збурених задач.
Класичним методом побудови асимптотичних розв’язкiв сингулярно збурених нелiнiйних
задач, що ґрунтується на теоремах А. М. Тихонова [13] про залежнiсть мiж вiдповiдними
розв’язками вихiдної (невиродженої) задачi та розв’язками виродженої задачi (вважаємо, що
малий параметр дорiвнює нулю), є метод примежових функцiй [14], який у випадку, коли дiйснi
частини власних значень матрицi A(0, 0) вiдмiннi вiд нуля, можна застосовувати для побудови
формальних розв’язкiв системи (2) i при наявностi точок повороту.
Систему диференцiальних рiвнянь (2) можна вважати частинним випадком деякої системи
диференцiально-алгебраїчних рiвнянь (ДАР). Iнтерес до вивчення ДАР пов’язаний з викорис-
танням їх у задачах теорiї диференцiальних рiвнянь [15 – 20], оптимального керування [15, 17,
18], теорiї електричних кiл [15, 19, 21], хiмiчної кiнетики [22, 23] тощо.
Важливим типом ДАР є сингулярно збуренi системи
\varepsilon B(t, \varepsilon )
dx
dt
= A(t, \varepsilon )x, t \in [0;T ], (3)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1671
A(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kAk(t), B(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kBk(t).
Незважаючи на те, що системи (3) почали дослiджувати ще в 70-х роках минулого столiття,
на даний час, взагалi кажучи, не iснує зручних для практики методiв їхнього розв’язання.
Винятком є лише системи зi сталими коефiцiєнтами, для яких побудовано фундаментальну
матрицю у виглядi збiжного ряду за параметром \varepsilon [24].
У працях А. М. Самойленка, М. I. Шкiля i В. П. Яковця було з’ясовано, що за певних умов,
накладених на збурювальнi матрицi Ak(t), Bk(t), k \in N, система (3) має два типи формальних
розв’язкiв. Розв’язки першого типу вiдповiдають скiнченним елементарним дiльникам гранич-
ної в’язки матриць A0(t) - \lambda B0(t), а розв’язки другого типу — нескiнченним. При цьому
зазначенi розв’язки зображуються асимптотичними розвиненнями за дробовими степенями
параметра \varepsilon , показники яких залежать як вiд кратностi коренiв вiдповiдного характеристичного
рiвняння
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A0(t) - \lambda B0(t)) = 0
та елементарних дiльникiв, що їм вiдповiдають, так i вiд поведiнки збурювальних коефiцiєнтiв
системи [16]. При цьому випадок точок повороту не розглядався.
У данiй статтi дослiджується сингулярно збурена диференцiально-алгебраїчна система (3) з
точкою повороту. Узагальнюючи результати В. Вазова, розв’язки системи (3) автори побудували
на двох вiдрiзках [0; k\prime 0\varepsilon
\kappa ] , [k0\varepsilon
\kappa , t0] , t0 \leq T, де k\prime 0 > k0. Проведено зрощування знайдених
асимптотичних розвинень.
Врахування впливу збурювальних членiв дозволило звести поставлену задачу на вiдрiзку
[k0\varepsilon
\kappa ; t0] до задачi про побудову асимптотичних розв’язкiв системи (2) за умови простих коре-
нiв характеристичного рiвняння \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A(t, 0) - \lambda E) = 0 [25 – 28]. Такий пiдхiд у лiнiйних задачах
без точок повороту можна використати для знаходження формального розв’язку, обмежившись
випадком простих коренiв вiдповiдного характеристичного рiвняння. Це значно спрощує вi-
домi алгоритми побудови асимптотичних розв’язкiв систем (2), (3) за умови бiльш складної
структури елементарних дiльникiв матриць A(t, 0) - \lambda E або A(t, 0) - \lambda B(t, 0) [27, 16]. Для
нелiнiйних систем врахування збурювальних членiв також може суттєво спростити поставлену
задачу i звести її до класичного випадку [28, 29].
Члени внутрiшнього розвинення побудовано за допомогою змiни масштабу незалежної
змiнної [6, 14].
Сингулярно збуренi системи з точками повороту. Побудову асимптотичних розв’язкiв
системи (3) проведено окремо на двох вiдрiзках —
\Bigl[
k0\varepsilon
p
p+1 ; t0
\Bigr]
, t0 \leq T, i
\Bigl[
0; k\prime 0\varepsilon
p
p+1
\Bigr]
, числа
k0, k
\prime
0, t0, p визначено нижче. Здiйснено зрощування побудованих асимптотичних розвинень
та визначено фундаментальну матрицю системи (3) на вiдрiзку [0; t0].
Алгоритм знаходження членiв внутрiшнього розвинення розв’язкiв системи (3) i зрощуван-
ня знайдених асимптотик буде наведено у другiй частинi роботи.
Отже, нехай виконуються такi умови:
1) A(0, 0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Eq, Jp\} , B(0, 0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}, \{ Jq, Ep\} , p+ q = n, де Eq — одинична матриця
порядку q, Jq — квадратна матриця порядку q, елементи верхньої наддiагоналi якої дорiвнюють
1, решта елементiв — нулю; аналогiчно визначаються матрицi Ep i Jp;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1672 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
2)
d
dt
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} A(t, 0))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\not = 0,
d
dt
(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} B(t, 0))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\not = 0.
Зовнiшнє розвинення. Згiдно з результатами [7, 30, 31] iснують такi неособливi достатньо
гладкi матрицi P (t, \varepsilon ), Q(t, \varepsilon ), (t, \varepsilon ) \in [0; t1] \times [0; \varepsilon 1], t1 \leq T, \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, для яких мають мiсце
рiвностi
P (t, \varepsilon )A(t, \varepsilon )Q(t, \varepsilon ) = \Omega (t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Eq(t, \varepsilon ), Jp(t, \varepsilon )\} , (4)
P (t, \varepsilon )B(t, \varepsilon )Q(t, \varepsilon ) = H(t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Jq(t, \varepsilon ), Ep(t, \varepsilon )\} , (5)
де
\Omega (t, 0) = \Omega (t) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Eq, Jp(t)\} , H(t, 0) = H(t) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Jq(t), Ep\} ,
Jq(t) =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
bq(t) bq - 1(t) bq - 2(t) . . . b1(t)
\right) ,
Jp(t) =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
ap(t) ap - 1(t) ap - 2(t) . . . a1(t)
\right) ,
функцiї bi(t) = t\widetilde bi(t), i = 1, q, i ai(t) = t\widetilde ai(t), i = 1, p, визначаються вiдповiдно характе-
ристичними многочленами матриць B(t, 0) i A(t, 0) [31]. При цьому з умови 2 випливає, що\widetilde bq(0) \not = 0 i \widetilde ap(0) \not = 0.
Покладемо
x(t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon )y(t, \varepsilon ).
Тодi система (3) набере вигляду
\varepsilon H(t, \varepsilon )
dy
dt
= C(t, \varepsilon )y, (6)
де C(t, \varepsilon ) = \Omega (t, \varepsilon ) - \varepsilon H(t, \varepsilon )Q - 1(t, \varepsilon )Q\prime (t, \varepsilon ). За побудовою Q\prime (t, 0) = 0 [30].
Нехай
H(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kHk(t), C(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kCk(t),
де H0(t) = H(t), C0(t) = \Omega (t).
Покладаючи
y(t, \varepsilon ) = U(t, \varepsilon )z(t, \varepsilon ), U(t, \varepsilon ) =
m\sum
k=0
\varepsilon kUk(t, \varepsilon ),
у системi (6), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1673
\varepsilon H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )
dz
dt
=
\bigl(
C(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon ) - \varepsilon H(t, \varepsilon )U \prime (t, \varepsilon )
\bigr)
z. (7)
Матрицю U(t, \varepsilon ) побудуємо так, щоб справджувалась рiвнiсть
C(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon ) - \varepsilon H(t, \varepsilon )U \prime (t, \varepsilon ) = H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )
\bigl(
\Lambda (t, \varepsilon ) + \varepsilon m+1\Delta (t, \varepsilon )
\bigr)
, (8)
де
\Lambda (t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ \lambda 1(t, \varepsilon ), \lambda 2(t, \varepsilon ), ..., \lambda n(t, \varepsilon )\} \equiv
m\sum
k=0
\varepsilon k\Lambda k(t, \varepsilon ),
а \Delta (t, \varepsilon ) — квадратна матриця порядку n, що також пiдлягає визначенню.
Запишемо рiвнiсть (8) таким чином:
(C0(t) + \varepsilon C1(t))U(t, \varepsilon ) - (H0(t) + \varepsilon H1(t))U(t, \varepsilon )\Lambda (t, \varepsilon ) = \varepsilon H(t, \varepsilon )U \prime (t, \varepsilon ) -
-
\sum
k\geq 2
\varepsilon kCk(t)U(t, \varepsilon ) +
\sum
k\geq 2
\varepsilon kHk(t)U(t, \varepsilon )\Lambda (t, \varepsilon ) + \varepsilon m+1H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )\Delta (t, \varepsilon ). (9)
За побудовою
C1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ C1q(t), C1p(t)\} , H1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ H1q(t), H1p(t)\} ,
де C1q(t), H1q(t) — квадратнi матрицi порядку q.
Нехай K(t, \varepsilon ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ Eq + \varepsilon C1q(t), Ep + \varepsilon H1p(t)\} i
K - 1(t, \varepsilon ) =
\sum
k\geq 0
\varepsilon kMk(t) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{ Eq +
\sum
k\geq 1
\varepsilon kMkq(t), Ep +
\sum
k\geq 1
\varepsilon kMkp(t)
\right\} .
Тодi M1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ - C1q(t), - H1p(t)\} .
Домножаючи злiва обидвi частини рiвностi (9) на матрицю K - 1(t, \varepsilon ), отримуємо
(C0(t) + \varepsilon D1(t))U(t, \varepsilon ) - (H0(t) + \varepsilon G1(t))U(t, \varepsilon )\Lambda (t, \varepsilon ) =
= \varepsilon
\sum
k\geq 0
\varepsilon kGk(t)U
\prime (t, \varepsilon ) -
\sum
k\geq 2
\varepsilon kDk(t)U(t, \varepsilon )+
+
\sum
k\geq 2
\varepsilon kGk(t)U(t, \varepsilon )\Lambda (t, \varepsilon ) + \varepsilon m+1K - 1(t, \varepsilon )H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )\Delta (t, \varepsilon ), (10)
де
D1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ 0, D1p(t)\} \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ 0, C1p(t) - H1p(t)Jp(t)\} ,
D2(t) = C2(t) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ 0,M2p(t)Jp(t) - H1p(t)C1p(t)\} ,
Dk(t) =
k - 2\sum
i=0
Mi(t)Ck - i(t) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ 0,Mkp(t)Jp(t) +Mk - 1,pC1p(t)\} , k \geq 3,
G0(t) = H0(t),
G1(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ G1q(t), 0\} \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ H1q(t) - C1q(t)Jq(t), 0\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1674 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
G2(t) = H2(t) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ M2q(t)Jq(t) - C1q(t)H1q(t), 0\} ,
Gk(t) =
k - 2\sum
i=0
Mi(t)Hk - i(t) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ Mkq(t)Jq(t) +Mk - 1,qH1q(t), 0\} , k \geq 3.
Позначимо через ui(t, \varepsilon ), i = 1, n, i \delta i(t, \varepsilon ), i = 1, n, стовпцi вiдповiдно матриць U(t, \varepsilon ) i
\Delta (t, \varepsilon ). Тодi рiвнiсть (10) набере вигляду
(C0(t) + \varepsilon D1(t))ui(t, \varepsilon ) - (H0(t) + \varepsilon G1(t))ui(t, \varepsilon )\lambda i(t, \varepsilon ) =
= \varepsilon
\sum
k\geq 0
\varepsilon kGk(t)u
\prime
i(t, \varepsilon ) -
\sum
k\geq 2
\varepsilon kDk(t)ui(t, \varepsilon ) +
\sum
k\geq 2
\varepsilon kGk(t)ui(t, \varepsilon )\lambda i(t, \varepsilon )+
+\varepsilon m+1K - 1(t, \varepsilon )H(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )\delta i(t, \varepsilon ), i = 1, n. (11)
Нехай
ui(t, \varepsilon ) =
m\sum
k=0
\varepsilon ku
(k)
i (t, \varepsilon ), \lambda i(t, \varepsilon ) =
m\sum
k=0
\varepsilon k\lambda
(k)
i (t, \varepsilon ), i = 1, n.
Модифiкуємо стандартну процедуру визначення функцiй u
(k)
i (t, \varepsilon ) i \lambda (k)
i (t, \varepsilon ). А саме, зрiв-
нюючи у рiвностi (11) коефiцiєнти при \varepsilon k, k = 1,m, враховуємо також члени вищого порядку
D1(t)u
(k)
i (t, \varepsilon )\varepsilon k+1, \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )G1(t)u
(k)
i (t, \varepsilon )\varepsilon k+1, тобто\Bigl(
C0(t) + \varepsilon D1(t) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )(H0(t) + \varepsilon G1(t))
\Bigr)
u
(0)
i (t, \varepsilon ) = 0, (12)\Bigl(
C0(t) + \varepsilon D1(t) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon ) (H0(t) + \varepsilon G1(t))
\Bigr)
u
(k)
i (t, \varepsilon ) = d
(k)
i (t, \varepsilon ), k \in N, (13)
де
d
(k)
i (t, \varepsilon ) =
k - 1\sum
s=0
Gs(t)
\Bigl(
u
(k - s - 1)
i (t, \varepsilon )
\Bigr) \prime
-
k\sum
s=2
Ds(t)u
(k - s)
i (t, \varepsilon )+
+
k\sum
s=2
s\sum
j=0
Gs(t)u
(j)
i (t, \varepsilon )\lambda
(k - s - j)
i (t, \varepsilon ) + (H0(t) + \varepsilon G1(t))
k - 1\sum
s=0
u
(s)
i (t, \varepsilon )\lambda
(k - s)
i (t, \varepsilon ).
Запишемо рiвняння (12) таким чином:\Bigl(
Eq - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )(Jq(t) + \varepsilon G1q(t))
\Bigr)
u
(0)
i1 (t, \varepsilon ) = 0, (14)\Bigl(
Jp(t) + \varepsilon D1p(t) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Ep
\Bigr)
u
(0)
i2 (t, \varepsilon ) = 0, (15)
де u
(0)
i1 (t, \varepsilon ) — q-вимiрний вектор, що мiстить q перших компонент вектора u
(0)
i (t, \varepsilon ), u
(0)
i2 (t, \varepsilon ) —
p-вимiрний вектор, що мiстить решту компонент u
(0)
i (t, \varepsilon ).
Матриця Jq(t) + \varepsilon G1q(t) на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t2
\bigr]
, \beta =
1
p+ 1
, t2 \leq t1 (сталу k0 визначимо
нижче) має рiзнi власнi значення. Справдi, розглянемо її характеристичне рiвняння
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Jq(t) + \varepsilon G1q(t) - wEq) = 0, (16)
або
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1675
wq - \gamma 1(t, \varepsilon )w
q - 1 - . . . - \gamma q - 1(t, \varepsilon )w - \gamma q(t, \varepsilon ) = 0,
де
\gamma j(t, \varepsilon ) = O(t) +O(\varepsilon ), (t, \varepsilon ) \rightarrow (0, 0), j = 1, q,
причому \gamma q(t, \varepsilon ) = t\widetilde bq(t) + \varepsilon \{ G1q(t)\} q1 +O(\varepsilon t).
Як вiдомо [16], розв’язки рiвняння
\lambda q - \gamma 1(t, 0)\lambda
q - 1 - . . . - \gamma q - 1(t, 0)\lambda - \gamma q(t, 0) = 0
мають вигляд
\lambda j(t) =
q
\sqrt{} \widetilde bq(t) t 1
q +O
\Bigl(
t
2
q
\Bigr)
, j = 1, q.
Тодi згiдно з результатами [32]
wj(t, \varepsilon ) = \lambda j(t) + \varepsilon
1
q q
\sqrt{}
\{ G1q(t)\} q1 +O
\Bigl(
\varepsilon
1
q t
1
q2
\Bigr)
, j = 1, q,
де wj(t, \varepsilon ) — вiдповiднi розв’язки рiвняння (16).
У рiвняннi (14) покладемо
u
(0)
i1 (t, \varepsilon ) = Tq(t, \varepsilon )p
(0)
i1 (t, \varepsilon ), (17)
де
T - 1
q (t, \varepsilon ) (Jq(t) + \varepsilon G1q(t))Tq(t, \varepsilon ) = Wq(t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ w1(t, \varepsilon ), w2(t, \varepsilon ), . . . , wq(t, \varepsilon )\} .
Позначимо через \varphi j(t, \varepsilon ), j = 1, q, стовпцi матрицi Tq(t, \varepsilon ),
\widehat bj(t) = q
\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde bq(t)\bigm| \bigm| \bigm| \Biggl( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\widetilde bq(t) + 2\pi (j - 1)
q
+ i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\widetilde bq(t) + 2\pi (j - 1)
q
\Biggr)
, j = 1, q.
Тодi, вважаючи компонентами векторiв \varphi j(t, \varepsilon ), j = 1, q, алгебраїчнi доповнення елементiв
q-го рядка матрицi Jq(t) + \varepsilon G1q(t) - wj(t, \varepsilon )Eq, отримуємо
\varphi j(t, \varepsilon ) =
\left(
1 +O(\varepsilon )\widehat bj(t)t 1
q +O
\Bigl(
\varepsilon
1
q
\Bigr)
\widehat b 2j (t)t 2
q +O
\Bigl(
t
1
q \varepsilon
1
q
\Bigr)
. . .\widehat b q - 1
j (t)t
q - 1
q +O
\Bigl(
t
q - 2
q \varepsilon
1
q
\Bigr)
\right)
, j = 1, q, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ;
\surd
\varepsilon
\Bigr]
,
i
\varphi j(t, \varepsilon ) =
\left(
1 +O(\varepsilon )\widehat bj(t)t 1
q +O
\Bigl(
t
2
q
\Bigr)
\widehat b 2j (t)t 2
q +O
\Bigl(
t
3
q
\Bigr)
. . .\widehat b q - 1
j (t)t
q - 1
q +O(t)
\right)
, j = 1, q, t \in
\bigl[ \surd
\varepsilon ; t2
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1676 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
При цьому
T - 1
q (t, \varepsilon ) =
\left(
O(1) O
\Bigl(
t
- 1
q
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
t
- q - 1
q
\Bigr)
O(1) O
\Bigl(
t
- 1
q
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
t
- q - 1
q
\Bigr)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O(1) O
\Bigl(
t
- 1
q
\Bigr)
. . . O
\Bigl(
t
- q - 1
q
\Bigr)
\right) , t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t2
\Bigr]
.
Пiсля замiни (17) рiвняння (14) набере вигляду\Bigl(
Eq - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Wq(t, \varepsilon )
\Bigr)
p
(0)
i1 (t, \varepsilon ) = 0. (18)
Покладемо
\lambda
(0)
i (t, \varepsilon ) =
1
wi(t, \varepsilon )
,\Bigl\{
p
(0)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
= 1,
\Bigl\{
p
(0)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
= 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t2
\Bigr]
, i \not = j, i, j = 1, q,
де
\Bigl\{
p
(0)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
— j -та компонента вектора p
(0)
i1 (t, \varepsilon ).
Аналогiчним чином показуємо, що матриця Jp(t)+\varepsilon D1p(t) на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t3
\bigr]
, t3 \leq t1,
має рiзнi власнi значення. При цьому розв’язки рiвняння
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Jp(t) + \varepsilon D1p(t) - wEp) = 0 (19)
можна записати таким чином:
wj(t, \varepsilon ) =
p
\sqrt{} \widetilde ap(t) t 1
p +O
\Bigl(
t
2
p
\Bigr)
+O
\Bigl(
\varepsilon
1
p
\Bigr)
, j = q + 1, n,
або
wj(t, \varepsilon ) = \widehat aj(t) t 1
p +O
\Bigl(
t
2
p
\Bigr)
+O
\Bigl(
\varepsilon
1
p
\Bigr)
, j = q + 1, n,
де
\widehat aq+j(t) =
p
\sqrt{}
| \widetilde ap(t)| \biggl( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \widetilde ap(t) + 2\pi (j - 1)
p
+ i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \widetilde ap(t) + 2\pi (j - 1)
p
\biggr)
, j = 1, p.
Покладаючи у рiвняннi (15)
u
(0)
i2 (t, \varepsilon ) = Tp(t, \varepsilon )p
(0)
i2 (t, \varepsilon ),
де
T - 1
p (t, \varepsilon ) (Jp(t) + \varepsilon D1p(t))Tp(t, \varepsilon ) = Wp(t, \varepsilon ) \equiv \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} \{ wq+1(t, \varepsilon ), wq+2(t, \varepsilon ), . . . , wn(t, \varepsilon )\} ,
одержуємо \Bigl(
Wp(t, \varepsilon ) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Ep
\Bigr)
p
(0)
i2 (t, \varepsilon ) = 0, (20)
звiдки
\lambda
(0)
i (t, \varepsilon ) = wi(t, \varepsilon ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1677\Bigl\{
p
(0)
i2 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
= 1,
\Bigl\{
p
(0)
i2 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
= 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t3
\Bigr]
, i \not = j, i, j = q + 1, n.
Нехай t4 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t2, t3\} . Покладемо
p
(0)
i1 (t, \varepsilon ) = 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
, i = q + 1, n,
p
(0)
i2 (t, \varepsilon ) = 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
, i = 1, q.
Запишемо систему (13) при k = 1 таким чином:\Bigl(
Eq - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )(Jq(t) + \varepsilon G1q(t))
\Bigr)
u
(1)
i1 (t, \varepsilon ) = d
(1)
i1 (t, \varepsilon ), (21)\Bigl(
Jp(t) + \varepsilon D1p(t) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Ep
\Bigr)
u
(1)
i2 (t, \varepsilon ) = d
(1)
i2 (t, \varepsilon ), (22)
де u
(1)
i1 (t, \varepsilon ), d
(1)
i1 (t, \varepsilon ) — q-вимiрнi вектори, що мiстять q перших компонент векторiв u
(1)
i (t, \varepsilon ),
d
(1)
i (t, \varepsilon ) вiдповiдно; u
(1)
i2 (t, \varepsilon ), d
(1)
i2 (t, \varepsilon ) — p-вимiрнi вектори, що мiстять решту компонент
векторiв u
(1)
i (t, \varepsilon ), d
(1)
i (t, \varepsilon ).
Покладаючи u
(1)
i1 (t, \varepsilon ) = Tq(t, \varepsilon )p
(1)
i1 (t, \varepsilon ) i u
(1)
i2 (t, \varepsilon ) = Tp(t, \varepsilon )p
(1)
i2 (t, \varepsilon ) у рiвняннях (21),
(22), отримуємо \Bigl(
Eq - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Wq(t, \varepsilon )
\Bigr)
p
(1)
i1 (t, \varepsilon ) = h
(1)
i1 (t, \varepsilon ), (23)\Bigl(
Wp(t, \varepsilon ) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Ep
\Bigr)
p
(1)
i2 (t, \varepsilon ) = h
(1)
i2 (t, \varepsilon ), (24)
де
h
(1)
i1 (t, \varepsilon ) = T - 1
q (t, \varepsilon )d
(1)
i1 (t, \varepsilon ) \equiv T - 1
q (t, \varepsilon )Jq(t)T
\prime
q(t, \varepsilon )p
(0)
i1 +Wq(t, \varepsilon )p
(0)
i1 \lambda
(1)
i (t, \varepsilon ),
h
(1)
i2 (t, \varepsilon ) = T - 1
p (t, \varepsilon )d
(1)
i2 (t, \varepsilon ) \equiv T - 1
p (t, \varepsilon )T \prime
p(t, \varepsilon )p
(0)
i2 + p
(0)
i2 \lambda
(1)
i (t, \varepsilon ).
Тодi
\lambda
(1)
i (t, \varepsilon ) = -
\Bigl\{
f
(1)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
wi(t, \varepsilon )
,\Bigl\{
p
(1)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
= 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
,
\Bigl\{
p
(1)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
=
\Bigl\{
h
(1)
i1 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
wi(t, \varepsilon )
wi(t, \varepsilon ) - wj(t, \varepsilon )
, i \not = j, i, j = 1, q,
p
(1)
i2 (t, \varepsilon ) =
\Bigl(
Wp(t, \varepsilon ) - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Ep
\Bigr) - 1
h
(1)
i2 (t, \varepsilon ), i = 1, q,
де f
(1)
i1 (t, \varepsilon ) = T - 1
q (t, \varepsilon )Jq(t)T
\prime
q(t, \varepsilon )p
(0)
i1 ;
\lambda
(1)
i (t, \varepsilon ) = -
\Bigl\{
f
(1)
i2 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
,
\Bigl\{
p
(1)
i2 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
j
=
\{ h(1)i2 (t, \varepsilon )\} j
wj(t, \varepsilon ) - wi(t, \varepsilon )
, i \not = j, i, j = q + 1, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1678 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
p
(1)
i1 (t, \varepsilon ) =
\Bigl(
Eq - \lambda
(0)
i (t, \varepsilon )Wq(t, \varepsilon )
\Bigr) - 1
h
(1)
i1 (t, \varepsilon ), i = q + 1, n,
де f
(1)
i2 (t, \varepsilon ) = T - 1
p (t, \varepsilon )T \prime
p(t, \varepsilon )p
(0)
i2 . Компоненти
\Bigl\{
p
(1)
i2 (t, \varepsilon )
\Bigr\}
i
, t \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\bigr]
, i = q + 1, n,
визначимо нижче.
Аналогiчно знаходимо вектори u
(k)
i (t, \varepsilon ), i = 1, n, k = 2,m, i функцiї \lambda (k)
i (t, \varepsilon ), i = 1, n,
k = 2,m.
За побудовою
u
(k)
i (t, \varepsilon ) = O
\biggl(
t
- k
\Bigl(
1 - 1
q
\Bigr) \biggr)
, \lambda
(k)
i (t, \varepsilon ) = O
\biggl(
t
- k
\Bigl(
1 - 1
q
\Bigr)
- 1
q
\biggr)
, i = 1, q,
u
(k)
i (t, \varepsilon ) = O
\biggl(
t
- k
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr) \biggr)
, \lambda
(k)
i (t, \varepsilon ) = O
\biggl(
t
- k
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
+ 1
p
\biggr)
, i = q + 1, n, (25)
k = 1,m, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
.
Довiльнi елементи функцiй \{ p (k)
i2 (t, \varepsilon )\} i, i = q + 1, n, k = 1,m, пiдберемо так, щоб
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}U(t, \varepsilon ) \not = 0, t \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\bigr]
. Тодi, враховуючи, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(t, \varepsilon ) \not = 0, t \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\bigr]
,
отримуємо
\Delta (t, \varepsilon ) = U - 1(t, \varepsilon )H - 1(t, \varepsilon )K(t, \varepsilon )F (t, \varepsilon ),
де
F (t, \varepsilon ) =
m+1\sum
k=2
Dk(t)Um+1 - k(t, \varepsilon ) +
\sum
k\geq 1
\varepsilon k
m+k+1\sum
s=k+1
Ds(t)Um+1+k - s(t, \varepsilon ) -
-
\sum
k\geq 0
\varepsilon k
m+k\sum
s=k
Gs(t)(Um+k - s(t, \varepsilon ))
\prime -
\sum
k\geq 0
\varepsilon k
\sum
s\geq 2
Gs(t)
\sum
j\geq 0
Uj(t, \varepsilon )\Lambda m+1+k - s - j(t, \varepsilon ) -
- (H0(t) + \varepsilon G1(t))
m - 1\sum
k=0
\varepsilon k
m\sum
s=k+1
Us(t, \varepsilon )\Lambda m+1+k - s(t, \varepsilon ),
Us(t, \varepsilon ) \equiv 0, \Lambda s(t, \varepsilon ) \equiv 0, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
, s < 0, s > m.
Таким чином, система (7) набере вигляду
\varepsilon
dz
dt
=
\bigl(
\Lambda (t, \varepsilon ) + \varepsilon m+1\Delta (t, \varepsilon )
\bigr)
z. (26)
Зазначимо, що
\varepsilon m+1\Delta (t, \varepsilon ) = O
\biggl(
\varepsilon m+1t
- m
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
- 1
\biggr)
, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t4
\Bigr]
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Нехай виконується умова 3): \mathrm{R}\mathrm{e} p
\sqrt{} \widetilde ap(0) \not = 0, \mathrm{R}\mathrm{e} q
\sqrt{} \widetilde bq(0) \not = 0. Не обмежуючи загальнос-
тi, вважаємо, що функцiї \mathrm{R}\mathrm{e}\widehat bj(t), \mathrm{R}\mathrm{e}wj(t, \varepsilon ), \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda j(t, \varepsilon ), j = 1, q, i \mathrm{R}\mathrm{e}\widehat aj(t), \mathrm{R}\mathrm{e}wj(t, \varepsilon ),
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda j(t, \varepsilon ), j = q + 1, n, на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t5
\bigr]
, t5 \leq t4, мають однаковий знак.
У системi (26) виконаємо пiдстановку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1679
z(t, \varepsilon ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
aj
\lambda j(\tau , \varepsilon )d\tau
\right) rj(t, \varepsilon ), j = 1, n,
де
aj =
\Biggl\{
k0\varepsilon
1 - \beta , \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda j(t, \varepsilon ) < 0,
t5, \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda j(t, \varepsilon ) > 0, t \in
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t5
\bigr]
, \varepsilon \in (0; \varepsilon 0].
В результатi одержимо
\varepsilon
drj
dt
=
\bigl(
\Lambda (t, \varepsilon ) - \lambda j(t, \varepsilon )E + \varepsilon m+1\Delta (t, \varepsilon )
\bigr)
rj . (27)
З умови 3 випливає, що функцiї \mathrm{R}\mathrm{e}(\lambda i(t, \varepsilon ) - \lambda j(t, \varepsilon )) для фiксованих i, j = 1, n не змiнюють
знак на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t6
\bigr]
, t6 \leq t5.
Еквiвалентна система iнтегральних рiвнянь до системи (27) з початковою умовою
rj(b, \varepsilon ) = ej
має вигляд
rj(t, \varepsilon ) = ej + \varepsilon m
t\int
b
Z(t, s, \varepsilon )\Delta (s, \varepsilon )rj(s, \varepsilon )ds, (28)
де
Z(t, s, \varepsilon ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
s
(\Lambda (\tau , \varepsilon ) - \lambda j(\tau , \varepsilon )E)d\tau
\right) ,
b = (b1, b2, . . . , bn); нижня межа iнтегрування в iнтегралi, що мiститься у i-му рядку системи
(28), дорiвнює bi, i = 1, n,
bi =
\Biggl\{
k0\varepsilon
1 - \beta , \mathrm{R}\mathrm{e}(\lambda i(t, \varepsilon ) - \lambda j(t, \varepsilon )) < 0, i \in I,
t6, \mathrm{R}\mathrm{e}(\lambda i(t, \varepsilon ) - \lambda j(t, \varepsilon )) \geq 0, i \in II,
ej — n-вимiрний вектор, j -та координата якого дорiвнює 1, а решта дорiвнюють 0.
Позначимо
Zij(t, s, \varepsilon ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
s
(\lambda i(\tau , \varepsilon ) - \lambda j(\tau , \varepsilon )) d\tau
\right) .
Тодi за побудовою як для i \in I
\bigl(
k0\varepsilon
1 - \beta \leq s \leq t
\bigr)
, так i для i \in II (t \leq s \leq t6)
| Zij(t, s, \varepsilon )| \leq 1.
Нехай
\varepsilon m+1 \| \Delta (t, \varepsilon )\| \leq d\varepsilon m+1t
- m
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
- 1
, t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t6
\Bigr]
.
Тодi якщо сталу k0 вважати такою, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
1680 А. М. САМОЙЛЕНКО , П. Ф. САМУСЕНКО
dp
m(p+ 1)
k
- m
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
0 <
1
2
,
то оператор
A\varphi = ej + \varepsilon m
t\int
b
Z(t, s, \varepsilon )\Delta (s, \varepsilon )\varphi ds
вiдображає множину P , P =
\bigl\{
\varphi (t, \varepsilon ) \in C
\bigl( \bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t6
\bigr]
\times [0; \varepsilon 0]
\bigr)
: \| \varphi (t, \varepsilon )\| \leq 2
\bigr\}
, в себе i є
оператором стиску. Таким чином, система (28) на множинi P має єдиний розв’язок rj = rj(t, \varepsilon ),
причому
rj(t, \varepsilon ) = ej + \varepsilon m\chi j(t, \varepsilon ),
де
\varepsilon m \| \chi j(t, \varepsilon )\| \leq 2dp
m(p+ 1)
k
- m
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
0 , t \in
\Bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t6
\Bigr]
.
Сталу k0 пiдберемо так, щоб вектори rj(t, \varepsilon ), j = 1, n, були лiнiйно незалежними на
вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t6
\bigr]
.
Теорема. Нехай A(t, \varepsilon ), B(t, \varepsilon ) \in Cm+1
\bigl(
K
\bigr)
, де K = \{ (t, \varepsilon ) : 0 \leq t \leq T, 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon 0\} , i
виконуються умови 1 – 3. Тодi iснує таке \varepsilon 1, \varepsilon 1 \leq \varepsilon 0, що система (3) на вiдрiзку
\bigl[
k0\varepsilon
1 - \beta ; t0
\bigr]
,
t0 \leq T, \beta =
1
p+ 1
, має n лiнiйно незалежних розв’язкiв xj = xj(t, \varepsilon ), причому
xj(t, \varepsilon ) = Q(t, \varepsilon )U(t, \varepsilon )
\Biggl(
ej +O
\Biggl(
m - 1k
- m
\Bigl(
1+ 1
p
\Bigr)
0
\Biggr) \Biggr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
\varepsilon
t\int
aj
\lambda j(\tau , \varepsilon )d\tau
\right) , j = 1, n.
Зауваження . Доведена теорема узагальнює результати В. Вазова на випадок лiнiйних син-
гулярно збурених диференцiально-алгебраїчних систем [6].
Лiтература
1. R. E. Langer, The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special
reference to a turning point, Trans. Amer. Math. Soc., 67, 461 – 490 (1949).
2. T. M. Cherry, Uniform asymptotic formulae for functions with transition points, Trans. Amer. Math. Soc., 68, 224 – 257
(1950).
3. А. А. Дородницын, Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых
видов дифференциальных уравнений второго порядка, Успехи мат. наук, 7, вып. 6 (52), 3 – 96 (1952).
4. W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Intersci. Publ., New York (1965).
5. А. М. Самойленко, Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциальных урав-
нений с малым параметром при части производных, Укр. мат. журн., 54, № 11, 1505 – 1517 (2002).
6. W. Wasow, The central connection problem at turning points of linear differential equations, Comment. Math. Helv.,
46, № 1, 65 – 86 (1971).
7. Y. Sibuya, Simplification of a system of linear ordinary differential equations about a singular point, Funkcial. Ekvac.,
4, 29 – 56 (1962).
8. M. Iwano, Asymptotic solutions of a system of linear ordinary differential equations containing a small parameter, I,
Funkcial. Ekvac., 5, 71 – 134 (1963).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ . . . 1681
9. M. Iwano, Asymptotic solutions of a system of linear ordinary differential equations containing a small parameter,
II, Funkcial. Ekvac., 6, 89 – 141 (1964).
10. D. L. Russell, Y. Sibuya, The problem of singular perturbations of linear ordinary differential equations at regular
singular points, I, Funkcial. Ekvac., 9, 207 – 218 (1966).
11. D. L. Russell, Y. Sibuya, The problem of singular perturbations of linear ordinary differential equations at regular
singular points, II, Funkcial. Ekvac., 11, 175 – 184 (1968).
12. С. А. Ломов, Введение в общую теорию сингулярных возмущений, Наука, Москва (1981).
13. А. Н. Тихонов, Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных,
Мат. сб., 31 (73), № 3, 575 – 586 (1952).
14. A. B. Vasil’eva, V. F. Butuzov, L. V. Kalachev, The boundary function method for singular perturbation problems,
Soc. Industrial and Appl. Math., Philadelphia (1995).
15. S. L. Campbell, Singular systems of differential equations II., Pitman, San-Francisco (1982).
16. А. М. Самойленко, М. I. Шкiль, В. П. Яковець, Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями,
Вища шк., Київ (2000).
17. В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова, Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем, Наука, Ново-
сибирск (2003).
18. P. Kunkel, V. Mehrmann, Differential-algebraic equations. Analysis and numerical solution, Eur. Math. Soc., Zürich
(2006).
19. R. Riaza, Differential-algebraic systems. Analytical aspects and circuit applications, World Sci. (2008).
20. E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations. II. Stiff and differential-algebraic problems, Springer-
Verlag, Berlin (2010).
21. C. Tischendorf, Coupled systems of differential algebraic and partial differential equations in circuit and device
simulation, Model. and Numer. Anal. (2003).
22. J. D. Murray, Mathematical biology: biomathematics, Vol. 19, Springer-Verlag (1989).
23. R. E. Beardmore, The singularity-induced bifurcation and its Kronecker normal form, SIAM J. Matrix Anal. and
Appl., 23, № 1, 126 – 137 (2001).
24. S. L. Campbell, Singular systems of differential equations, Pitman, San-Francisco (1980).
25. G. D. Birkhoff, On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a
parameter, Trans. Amer. Math. Soc., 9, № 2, 219 – 231 (1908).
26. J. Tamarkin, Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an
arbitrary function in series of fundamental functions, Math. Z., 27, № 1, 1 – 54 (1928).
27. С. Ф. Фещенко, Н. И. Шкиль, Л. Д. Николенко, Асимптотические методы в теории линейных дифференци-
альных уравнений, Наук. думка, Київ (1966).
28. В. Ф. Бутузов, Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным корнем
вырожденного уравнения, Мат. заметки, 94, № 1, 68 – 80 (2013).
29. V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, L. Recke, K. R. Schneider, On a singularly perturbed initial value problem in the case
of a double root of the degenerate equation, Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl., 83, 1 – 11 (2013).
30. П. Ф. Самусенко, Асимптотичне iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiально-функцiональних
рiвнянь з виродженнями, Вид-во Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова, Київ (2011).
31. W. Wasow, Linear turning point theory, Springer-Verlag, New York (1985).
32. A. Ostrowski, Solution of equations in Euclidean and Banach spaces, Acad. Press, New York (1973).
Одержано 10.08.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6261 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:46Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0b/545db933ff3db8b89b1a4170a40e010b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62612025-03-31T08:49:28Z Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь з точками повороту. І Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. Асимптотичний розв'язок, диференціально-алгебраїчна система Asymptotical solution DAE UDC 517.928 This paper deals with the problem of finding asymptotic solutions for singular perturbed linear differential algebraic equations with simple turning point. Technique of constructing the asymptotic solutions is developed. В работе разработан алгоритм построения асимптотических решений сингулярно возмущенной дифференциально-алгебраической системы с простой точкой поворота. УДК 517.928Розроблено алгоритм знаходження асимптотичних розв'язків сингулярно збуреної диференціально-алгебраїчної системи з простою точкою повороту. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-12-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6261 10.37863/umzh.v72i12.6261 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 12 (2020); 1669-1681 Український математичний журнал; Том 72 № 12 (2020); 1669-1681 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6261/8875 Copyright (c) 2020 П. Ф. Самусенко, А. М. Самойленко |
| spellingShingle | Samoilenko , A. M. Samusenko , P. F. Самойленко , А. М. Самусенко, П. Ф. Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title_alt | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь з точками повороту. І |
| title_full | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title_fullStr | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title_full_unstemmed | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title_short | Asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. Part I |
| title_sort | asymptotic integration of singularly perturbed differential algebraic equations with turning points. part i |
| topic_facet | Асимптотичний розв'язок диференціально-алгебраїчна система Asymptotical solution DAE |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6261 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsparti AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsparti AT samojlenkoam asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsparti AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbeddifferentialalgebraicequationswithturningpointsparti AT samoilenkoam asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuí AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuí AT samojlenkoam asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuí AT samusenkopf asimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹztočkamipovorotuí |