On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities
UDC 517.925 We establish new results concerning the conditions of existence of one class of monotonous solutions of a two-term nonautonomous differential equation of the the second-order with a rapidly varying nonlinearity. These results essentially supplement the results of previous researches. &am...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/627 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507063164076032 |
|---|---|
| author | Evtukhov , V. M. Chernikova , A. G. Evtukhov, V.M. Євтухов, В. М. Чернiкова, А. Г. |
| author_facet | Evtukhov , V. M. Chernikova , A. G. Evtukhov, V.M. Євтухов, В. М. Чернiкова, А. Г. |
| author_sort | Evtukhov , V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:15Z |
| description | UDC 517.925
We establish new results concerning the conditions of existence of one class of monotonous solutions of a two-term nonautonomous differential equation of the the second-order with a rapidly varying nonlinearity. These results essentially supplement the results of previous researches.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i4.627 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i4.627
УДК 517.925
В. М. Євтухов, А. Г. Чернiкова (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова)
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗI ШВИДКО ЗМIННИМИ НЕЛIНIЙНОСТЯМИ
We establish new results concerning the conditions of existence of one class of monotonous solutions of a two-term
nonautonomous differential equation of the the second-order with a rapidly varying nonlinearity. These results essentially
supplement the results of previous researches.
Встановлено новi результати про умови iснування одного класу розв’язкiв двочленного неавтономного диференцi-
ального рiвняння другого порядку зi швидко змiнною нелiнiйнiстю, що суттєво доповнюють результати попереднiх
дослiджень.
1. Вступ. Розглядається диференцiальне рiвняння
y\prime \prime = \alpha 0p(t)\varphi (y), (1.1)
де \alpha 0 \in \{ - 1, 1\} , p : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна функцiя, - \infty < a < \omega \leq +\infty , \varphi : \Delta Y0 - \rightarrow
- \rightarrow ]0,+\infty [ — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя, така що
\varphi \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) = \{ 0;\pm \infty \} , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y)\varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= 1, (1.2)
Y0 дорiвнює або нулю, або \pm \infty , \Delta Y0 — деякий однобiчний окiл Y0.
З умов (1.2) безпосередньо випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty . (1.3)
Згiдно з (1.2) i (1.3) функцiя \varphi та її похiдна першого порядку є (див. [1, с. 91, 92], леми 3.2,
3.3) швидко змiнними функцiями при y \rightarrow Y0.
Означення 1.1. Розв’язок y диференцiального рiвняння (1.1) називається P\omega (Y0, \lambda 0)-роз-
в’язком, де - \infty \leq \lambda 0 \leq +\infty , якщо вiн визначений у деякому лiвому околi \omega i задовольняє
умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(t) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) =
\Biggl\{
або 0,
або \pm \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime 2(t)
y\prime \prime (t)y(t)
= \lambda 0.
Далi, не обмежуючи загальностi, будемо вважати, що
\Delta Y0 = [y0, Y0[ або ]Y0, y0], (1.4)
де y0 \in \BbbR таке, що | y0| < 1 при Y0 = 0 i y0 > 1 (y0 < - 1) при Y0 = +\infty (при Y0 = - \infty ), i
покладемо
\nu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y0, \nu 1 =
\Biggl\{
1, якщо \Delta Y0 = [y0, Y0[,
- 1, якщо \Delta Y0 =]Y0, y0].
(1.5)
c\bigcirc В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА, 2021
488 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 489
Враховуючи означення P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язку диференцiального рiвняння (1.1), бачимо, що чис-
ла \nu 0, \nu 1 i \alpha 0 визначають знаки будь-якого P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язку, його першої та другої похiдних
(вiдповiдно) в деякому лiвому околi \omega . При цьому зрозумiло, що умови
\nu 0\nu 1 < 0, якщо Y0 = 0, i \nu 0\nu 1 > 0, якщо Y0 = \pm \infty , (1.6)
\nu 1\alpha 0 < 0, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = 0, i \nu 1\alpha 0 > 0, якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = \pm \infty , (1.7)
є необхiдними для iснування таких розв’язкiв.
У [2] з використанням результатiв iз монографiї [3, с. 174 – 180] було встановлено деякi
важливi властивостi двiчi неперервно диференцiйовної функцiї \varphi , яка задовольняє умови (1.2).
Саме завдяки цим властивостям у [2] вперше було отримано необхiднi i достатнi умови iснуван-
ня P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1) у випадку, коли \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} . Крiм
того, було одержано асимптотичнi при t \uparrow \omega зображення для таких розв’язкiв та їхнiх похiдних.
Згiдно з результатами [4] (розд. 3, § 10) кожний P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язок у випадку \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\}
має такi асимптотичнi властивостi:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
\prime (t)
y(t)
=
\lambda 0
\lambda 0 - 1
i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)y
\prime \prime (t)
y\prime (t)
=
1
\lambda 0 - 1
,
де
\pi \omega (t) =
\Biggl\{
t, якщо \omega = +\infty ,
t - \omega , якщо \omega < +\infty .
(1.8)
Звiдси з урахуванням властивостей правильно змiнних функцiй (див., наприклад, [5]) випливає,
що кожний такий розв’язок i його похiдна є нормалiзованими правильно змiнними при t \uparrow \omega
функцiями з вiдмiнними вiд нуля порядками. Однак слiд зазначити, що встановлена в [2]
для диференцiального рiвняння (1.1) теорема 3.2 про достатнi умови iснування P\omega (Y0, \lambda 0)-
розв’язкiв при \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} мiстить деякi достатньо жорсткi обмеження на коефiцiєнт p, якi
є додатковими до необхiдних умов iснування (теорема 3.1) таких розв’язкiв.
Метою даної роботи є спроба зняти деякi з цих жорстких обмежень на коефiцiєнт p при
встановленнi фактичного iснування P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1) у
випадку, коли \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} .
2. Основнi результати. На вiдмiну вiд [2] припускаємо, що функцiя p у диференцiальному
рiвняннi (1.1) допускає зображення вигляду
p(t) = p0(t)[1 + r(t)], (2.1)
де p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервно диференцiйовна функцiя i r : [a, \omega [ - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — не-
перервна функцiя, така що r(t) = o(1) при t \uparrow \omega .
Крiм того, поряд з (1.3), (1.4), (1.8) будемо використовувати такi позначення:
\mu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\varphi \prime (y), J0(t) =
t\int
A
\pi \omega (\tau )p0(\tau ) d\tau , \Phi (y) =
y\int
B
ds
\varphi (s)
,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
490 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
A0 =
\left\{
\omega , якщо
\int \omega
a
\pi \omega (\tau )p0(\tau ) d\tau = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
a, якщо
\int \omega
a
\pi \omega (\tau )p0(\tau ) d\tau = \pm \infty ,
B =
\left\{
Y0, якщо
\int Y0
y0
ds
\varphi (s)
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
y0, якщо
\int Y0
y0
ds
\varphi (s)
= \pm \infty ,
а також при \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} додатковi функцiї
q0(t) =
\alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi 2\omega (t)p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\bigr)
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
,
H0(t) =
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)))
.
Тут функцiя \Phi зростає на промiжку \Delta Y0 i прямує або до нуля, або до \pm \infty при y \rightarrow Y0. Тому
для неї iснує обернена функцiя \Phi - 1 : \Delta Z0 - \rightarrow \Delta Y0 , де згiдно з другою з умов (1.2) i зростанням
\Phi - 1
\Delta Z0 =
\Biggl\{
[z0, Z0[, якщо \Delta Y0 = [y0, Y0[,
]Z0, z0], якщо \Delta Y0 =]Y0, y0],
Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y) =
\Biggl\{
або 0,
або \pm \infty ,
z0 = \varphi (y0).
Згiдно з правилом Лопiталя у формi Штольца й останньою з умов (1.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y)
1
\varphi \prime (y)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
1
\varphi (y)
- \varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi \prime 2(y)
\varphi \prime \prime (y)\varphi (y)
= - 1.
Таким чином,
\Phi (y) \sim - 1
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0 i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi (y) = - \mu 0 при y \in \Delta Y0 .
З першого з цих спiввiдношень випливає, що
\Phi \prime (y)
\Phi (y)
=
1
\varphi (y)
\Phi (y)
\sim - \varphi
\prime (y)
\varphi (y)
,
\Phi \prime \prime (y)\Phi (y)
\Phi \prime 2(y)
=
- \varphi \prime (y)
\varphi 2(y)
\Phi (y)
1
\varphi 2(y)
\sim 1 при y \rightarrow Y0.
Якщо у доведеннi теореми 3.1 з роботи [2] скрiзь, починаючи з формули (3.20), замiнити
функцiю p, з урахуванням зображення (2.1), на функцiю p0, прийдемо до висновку, що для
диференцiального рiвняння (1.1) має мiсце наступний аналог цiєї теореми про необхiднi умови
iснування P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв при \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} .
Теорема 2.1. Нехай \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} i p(t) \sim p0(t) при t \uparrow \omega , де p0 : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ —
неперервна функцiя. Тодi для iснування P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1)
необхiдно, щоб виконувались умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 491
\alpha 0\nu 0\lambda 0 > 0, \alpha 0\mu 0(\lambda 0 - 1)J0(t) < 0 при t \in ]a, \omega [, (2.2)
\alpha 0(\lambda 0 - 1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
J0(t) = Z0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)J
\prime
0(t)
J0(t)
= \pm \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q0(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
. (2.3)
Бiльш того, для кожного такого розв’язку мають мiсце асимптотичнi зображення
y(t) = \Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\biggl[
1 +
o(1)
H0(t)
\biggr]
при t \uparrow \omega , (2.4)
y\prime (t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\pi \omega (t)
при t \uparrow \omega . (2.5)
Найбiльш вагомим є наступне твердження, що суттєво доповнює теорему 2.1.
Теорема 2.2. Нехай функцiя p допускає зображення вигляду (2.1), \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} i вико-
нуються умови (2.2), (2.3). Тодi:
1) якщо \alpha 0\mu 0 = 1 та iснують скiнченнi або рiвнi \pm \infty границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)q
\prime
0(t), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (2.6)
то iснує однопараметрична сiм’я P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1), для
кожного з яких мають мiсце асимптотичнi зображення (2.4) i
y\prime (t) =
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\pi \omega (t)
\biggl[
\lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t) + | H0(t)| -
1
2 o(1)
\biggr]
при t \uparrow \omega ; (2.7)
2) якщо \alpha 0\mu 0 = - 1, iснують скiнченнi або рiвнi \pm \infty границi
\gamma = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\int y
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12
при \gamma = \pm \infty (2.8)
i виконуються умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\biggl[
q0(t)[1 + r(t)] - \lambda 0
\lambda 0 - 1
\biggr] t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
= 0, (2.9)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\biggl[ \biggl(
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q0(t)
\biggr)
) +
r(t)
\lambda 0 - 1
- \pi \omega (t)q
\prime
0(t)
q0(t)
\biggr] \left( t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) 2
= 0, (2.10)
де t0 — деяке число з промiжку [a, \omega [, то у кожному з двох випадкiв
| \gamma | < +\infty , \gamma \not = - 1, 3\lambda 0 - 2 + 5\lambda 0\gamma \not = 0, (2.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
492 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
\gamma = \pm \infty , \lambda 0 \not =
4
5
(2.12)
диференцiальне рiвняння (1.1) має хоча б один P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язок, що допускає при t \uparrow \omega
асимптотичнi зображення
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\left[ 1 +
\left( H0(t)
t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] , (2.13)
y\prime (t) =
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\pi \omega (t)
\left[ q0(t) + | H0(t)| -
1
2
\left( t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] , (2.14)
причому iснує двопараметрична сiм’я розв’язкiв з такими зображеннями, коли у випадку (2.11)
виконується нерiвнiсть
\lambda 0(\lambda 0 - 1)(1 + \gamma )[3\lambda 0 - 2 + 5\lambda 0\gamma ] < 0,
а у випадку (2.12) — нерiвнiсть (\lambda 0 - 1)(5\lambda 0 - 4) < 0.
Доведення. В [2] при доведеннi теореми 1.2 було встановлено, що у випадку iснування
скiнченної або рiвної \pm \infty другої з границь (2.4) її значенням може бути лише нуль. Покажемо,
що перша з цих границь при умовi її iснування також дорiвнює нулю. Дiйсно, якщо б ця
границя була вiдмiнна вiд нуля, то мали б рiвнiсть
q\prime 0(t) =
\gamma (t)
\pi \omega (t)
, (2.15)
де функцiя \gamma неперервна на деякому промiжку [t0, \omega [\subset ]a, \omega [ i така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\gamma (t) =
\Biggl\{
або \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0,
або \pm \infty .
Оскiльки, крiм того,
\int t
t0
d\tau
\pi \omega (\tau )
= \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \pi \omega (t)\pi \omega (t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega , то в результатi iнтегрування
(2.15) на промiжку вiд t0 до t одержимо, що
q0(t) - \rightarrow \pm \infty при t \uparrow \omega .
Проте це суперечить третiй з умов (2.3).
Таким чином, у випадку iснування скiнченних або рiвних \pm \infty границь (2.6)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)q
\prime
0(t) = 0 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0. (2.16)
Далi, покажемо, що у випадку iснування скiнченних або рiвних \pm \infty границь (2.8) при
виконаннi умов (2.9), (2.10) також мають мiсце граничнi спiввiдношення (2.16) i для другої з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 493
границь (2.8) має мiсце спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\int y
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12
= 2 при \gamma = \pm \infty . (2.17)
Оскiльки на пiдставi другої з умов (2.2), першої з умов (2.3), властивостей функцiї \Phi i (1.3)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H0(t) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty , (2.18)
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2
\pi \omega (\tau )
d\tau = \pm \infty . (2.19)
Тому з (2.10) iз урахуванням третьої з умов (2.3) i того, що r(t) = o(1) при t \uparrow \omega , випливає
справедливiсть першого з граничних спiввiдношень (2.16).
При \gamma = \pm \infty покладемо
\psi (y) =
y\int
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz .
Тодi з використанням правила Лопiталя знаходимо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\psi \prime (y)
\psi (y)
=
1
2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\left( 1 +
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\right) = \pm \infty ,
тобто функцiя \psi є швидко змiнною при y \rightarrow Y0. Крiм того, маємо
\psi \prime \prime (y)\psi (y)
\psi \prime 2(y)
=
\left( - 1 +
1
2
\left( 1 +
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\right)
\right)
\int y
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12
\sim
\sim 1
2
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\int y
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12
при y \rightarrow Y0. (2.20)
Звiдси згiдно з iснуванням скiнченної або рiвної \pm \infty другої з границь (2.8) випливає iснування
скiнченної або рiвної \pm \infty границi для функцiї, що стоїть злiва у (2.20). Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
494 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
\psi \prime \prime (y)\psi (y)
\psi \prime 2(y)
=
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2 + 1
i функцiя \psi є швидко змiнною при y \rightarrow Y0, то неважко перевiрити (див., наприклад, [4],
розд. III, § 11), що цiєю границею може бути лише одиниця, оскiльки в протилежному випадку
функцiя \psi є правильно змiнною при y \rightarrow Y0. Тому з (2.20) випливає справедливiсть граничного
спiввiдношення (2.17). В свою чергу з (2.17), оскiльки
\int y
y0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dzz - \rightarrow \pm \infty при y \rightarrow Y0,
випливає справедливiсть другого з граничних спiввiдношень (2.10).
Таким чином, у подальшому потрiбно вважати виконаними умови (2.16), (2.17).
Тепер диференцiальне рiвняння (1.1) за допомогою замiн
y(t) = \Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\biggl[
1 +
y1
H0(t)
\biggr]
,
y\prime (t) =
\lambda 0
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)) [1 + y2(t)]
(2.21)
зведемо таким же чином, як у [2] при доведеннi теореми 3.2, до системи диференцiальних
рiвнянь
y\prime 1 =
H0(t)
\pi \omega (t)
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q0(t) + h0(t)y1 +
\lambda 0
\lambda 0 - 1
y2
\biggr]
,
y\prime 2 =
1
\pi \omega (t)
\biggl[
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t) +
q0(t)r(t)
\lambda 0
+
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
y1+
(2.22)
+ (1 - q0(t)) y2 +
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
R(t, y1)
\biggr]
,
в якiй
h0(t) = q0(t)
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
,
R(t, y1) =
\varphi
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)))
y1
\Biggr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)))
- 1 - y1.
У цiй системi внаслiдок умов (1.2), (1.3), (2.2) i (2.3)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q0(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
h0(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H0(t) = \pm \infty . (2.23)
Крiм того, в [2] встановлено, що для будь-якого \varepsilon > 0 iснують такi \delta \in ]0, 1[ i t1 \in [t0, \omega [, що
| R(t, y1)| \leq (1 + \varepsilon )| y1| 2 при t \in [t1, \omega [ i y1 \in D1\delta = \{ y1 : | y1| \leq \delta \} . (2.24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 495
Вибираючи довiльним чином число \varepsilon > 0, далi систему рiвнянь (2.22) будемо розглядати на
множинi
\Omega = [t1, \omega [\times D1\delta \times D2\delta , де Di\delta = \{ yi : | yi| \leq \delta \} i = 1, 2.
Щоб довести iснування розв’язкiв диференцiального рiвняння (1.1), що допускають при t \uparrow \omega
асимптотичнi зображення (2.4), (2.5), достатньо згiдно з замiнами (2.21) встановити iснування
розв’язкiв системи диференцiальних рiвнянь (2.22), що прямують до нуля при t \uparrow \omega . Це
можна виконати, зокрема, використавши вiдомi результати з работи [6]. Для цього потрiбно
звести систему (2.22) за допомогою додаткових перетворень до вигляду, який допускає їхнє
застосування. Крiм цього, необхiдно подбати про можливiсть зняття вказаних вище жорстких
обмежень у теоремi 3.2 з роботи [2].
Спочатку застосуємо до системи (2.22) перетворення
y1(t) = x1(t), y2(t) = - 1 +
\lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t) + x2(t), (2.25)
яке полягає в тому, щоб вилучити з першого рiвняння системи неоднорiдний доданок. У ре-
зультатi цього перетворення одержимо систему диференцiальних рiвнянь
x\prime 1 =
H(t)
\pi \omega (t)
\biggl[
h0(t)x1 +
\lambda 0
\lambda 0 - 1
x2
\biggr]
,
x\prime 2 =
1
\pi \omega (t)
\biggl[ \biggl(
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t)
\biggr)
q0(t) +
q0(t)r(t)
\lambda 0
- \lambda 0 - 1
\lambda 0
\pi \omega (t)q
\prime
0(t)+
(2.26)
+
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
x1 (1 - q0(t))x2 +
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
R(t, x1)
\biggr]
.
Далi, щоб „зрiвняти” коефiцiєнти при лiнiйних частинах у першому i другому рiвняннях сис-
теми, застосуємо до системи (2.26) додаткове перетворення
x1(t) = v1(t), x2(t) = | H0(t)| -
1
2 v2(t). (2.27)
При цьому отримаємо систему диференцiальних рiвнянь
v\prime 1 =
| H0(t)|
1
2
\pi \omega (t)
[c11(t)v1 + c12(t)v2] ,
v\prime 2 =
| H0(t)|
1
2
\pi \omega (t)
[f(t) + c21(t)v1 + c22(t)v2 + V (t, v1)] ,
(2.28)
де
f(t) =
\biggl(
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t)
\biggr)
q0(t) +
q0(t)r(t)
\lambda 0
- \lambda 0 - 1
\lambda 0
\pi \omega (t)q
\prime
0(t),
c11(t) = h0(t)| H0(t)|
1
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H0(t), c12(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H0(t),
c21(t) =
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
, c22(t) = | H0(t)| -
1
2
\biggl(
1 - q0(t)
2
+
q0(t)h0(t)
2
H0(t)
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
496 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
V (t, v1) =
q0(t)[1 + r(t)]
\lambda 0
R(t, v1).
Правi частини цiєї системи є неперервними на множинi
\Omega 1 = \{ (t, v1, v2) \in \BbbR 3 : t \in [t1, \omega [, v1, v2 \in [ - \delta , \delta ]\} .
Крiм того, внаслiдок (2.24), умов (2.16), (2.23), (2.19) i того, шо r(t) = o(1) при t \uparrow \omega , маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v1\rightarrow 0
V (t, v1)
v1
= 0 рiвномiрно по t \in [t1, \omega [,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
f(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c11(t) = 0, c12(t) \equiv
\nu 0\mu 0\lambda 0
\lambda 0 - 1
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c21(t) =
1
\lambda 0 - 1
, (2.29)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c22(t) = 0,
\omega \int
t1
| H0(\tau )|
1
2
\pi \omega (\tau )
d\tau = \pm \infty . (2.30)
Звiдси, зокрема, випливає, що гранична матриця коефiцiєнтiв, якi стоять при v1 i v2 у квадрат-
них дужках системи (2.28), має вигляд
C =
\left( 0
\nu 0\mu 0\lambda 0
\lambda 0 - 1
1
\lambda 0 - 1
0
\right)
i її характеристичним рiвнянням є рiвняння
\rho 2 - \nu 0\mu 0\lambda 0
(\lambda 0 - 1)2
= 0. (2.31)
Тут згiдно з першою з нерiвностей (2.2) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\nu 0\mu 0\lambda 0) = \alpha 0\mu 0.
Припустимо спочатку, що \alpha 0\mu 0 = 1 i виконуються умови (2.16). У цьому випадку алгеб-
раїчне рiвняння (2.31) має дiйснi коренi рiзних знакiв. Отже, з урахуванням (2.29), (2.30) i
(2.24) встановлено, що при \alpha 0\mu 0 = 1 система диференцiальних рiвнянь (2.28) задовольняє всi
умови теореми 2.2 iз роботи [6]. Згiдно з цiєю теоремою, система диференцiальних рiвнянь
(2.28) має однопараметричну сiм’ю зникаючих при t \uparrow \omega розв’язкiв (v1, v2) : [t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR 2,
t\ast \in [t1, \omega [. Кожному з них внаслiдок замiн (2.21), (2.25) i (2.27) вiдповiдає розв’язок y :
[t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR диференцiального рiвняння (1.1), що допускає асимптотичнi зображення (2.4)
i (2.7). При цьому з використанням умов (1.2), (2.2), (2.3) i зображень (2.4), (2.7) неважко
переконатися в тому, що будь-який iз цих розв’язкiв є P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язком диференцiального
рiвняння (1.1).
Таким чином, доведено перше твердження теореми.
Нехай тепер \alpha 0\mu 0 = - 1, iснують скiнченнi або рiвнi \pm \infty границi (2.8) i виконуються
умови (2.9), (2.10). Тодi, як було встановлено ранiше, мають мiсце граничнi спiввiдношення
(2.16) i (2.17). У цьому випадку коренi алгебраїчного рiвняння (2.31) є чисто уявними. Вiн є
„критичним” i потребує бiльш детального дослiдження, нiж перший випадок.
Застосуємо спочатку до системи диференцiальних рiвнянь (2.28) перетворення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 497
v1(t) = \=v1(\tau ), v2(t) = \=v2(\tau ) +
c
\tau
\=v1(\tau ), \tau =
t\int
t1
| H0(s)|
1
2 ds
| \pi \omega (s)|
, (2.32)
де дiйсну сталу c буде вибрано пiзнiше. При цьому \tau (t1) = 0, \tau \prime (t) > 0 при t \in ]t1, \omega [ i згiдно
з (2.20) \tau (t) - \rightarrow +\infty при t \uparrow \omega .
В результатi цього перетворення отримуємо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
\=v\prime 1 = \beta
\biggl[
m11(\tau )\=v1 -
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\=v2
\biggr]
,
\=v\prime 2 = \beta
\biggl[
\=f(\tau ) +
\biggl(
1
\lambda 0 - 1
+m21(\tau )
\biggr)
\=v1 +m22(\tau )\=v2 + \=V (\tau , \=v1)
\biggr]
,
(2.33)
де
\beta = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \pi \omega (t), \~f(\tau (t)) = f(t), \~V (\tau (t), \~v1) = V (t, v1),
m11(\tau (t)) = c11(t) -
c| \lambda 0|
(\lambda 0 - 1)\tau (t)
, m22(\tau (t)) = c22(t) +
c| \lambda 0|
(\lambda 0 - 1)\tau (t)
,
m21(\tau (t)) = c21(t) -
1
\lambda 0 - 1
+
c
\tau (t)
(c22(t) - c11(t)) +
\beta c
\tau 2(t)
+
c2| \lambda 0|
(\lambda 0 - 1)\tau 2(t)
.
Тут згiдно з умовами (2.29), (2.30) i (2.21)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\~f(\tau ) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
mii(\tau ) = 0, i = 1, 2, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
m21(\tau ) = 0,
| \~V (\tau , \~v1)| \leq K\~v21 при \tau \in ]0,+\infty [ i | \~v1| < \delta ,
де K — деяка додатна стала.
Покажемо, що у випадках, коли \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = - 1 i \gamma = \pm \infty , сталу c можна выбрати таким
чином, щоб виконувалась умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\tau (m22(\tau ) - m11(\tau )) = 0. (2.34)
Покладемо
G(\tau ) = \tau (m22(\tau ) - m11(\tau )).
Тодi
G(\tau (t)) = \beta
t\int
t1
| H0(s)|
1
2ds
\pi \omega (s)
(c22(t) - c11(t)) +
2c| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
=
2c| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
+
+
\beta
\int t
t1
| H0(s)|
1
2ds
\pi \omega (s)
| H0(t)|
1
2
\biggl(
1 - q0(t)
2
\biggr) \left( 1 - q0(t)
y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\right) . (2.35)
Згiдно з виглядом функцiї q0 i третьою з умов (2.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
498 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
t\int
t1
| H0(s)|
1
2 ds
\pi \omega (s)
=
=
t\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(s))\varphi
\prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(s)
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(s)))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
2
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(s))
\bigr) \prime
ds
q0(s)\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(s))
\sim
\sim 1
q0(t)
z(t)\int
z(t1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz \sim \lambda 0 - 1
\lambda 0
z(t)\int
z(t1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz , (2.36)
де
z(t) = \Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)) - \rightarrow Y0 при t \uparrow \omega .
При \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} функцiя
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
z\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 є правильно змiнною при z \rightarrow Y0 функцiєю порядку
\gamma - 1
2
,
i тому згiдно з властивостями правильно змiнних функцiй при \gamma \not = - 1 маємо асимптотичне
спiввiдношення
Y (t)\int
Y (t1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz =
2
\gamma + 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Y (t)\varphi \prime (Y (t))
\varphi (Y (t))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 [1 + o(1)] при t \uparrow \omega .
Тому з (2.35) при \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = - 1, враховуючи третю з умов (2.3) i вигляд функцiї H0,
одержуємо
G(\tau (t)) =
2c| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
+
\beta (\lambda 0 - 2)(\lambda 0 - 1 - \lambda 0\gamma )
\lambda 0(\gamma + 1)(\lambda 0 - 1)
+ o(1) при t \uparrow \omega .
Звiдси випливає, що якщо вибрати сталу c таким чином:
c = - \beta (\lambda 0 - 2)(\lambda 0 - 1 - \lambda 0\gamma )
2\lambda 0| \lambda 0| (1 + \gamma )
при \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = - 1, (2.37)
то буде виконуватись умова (2.34).
У випадку \gamma = \pm \infty , згiдно з (2.35) i (2.36),
G(\tau (t)) = - \beta
2
\biggl(
\lambda 0 - 2
\lambda 0 - 1
+ o(1)
\biggr) y
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\int y
z(t1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z\varphi \prime (z)
\varphi (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12 dzz\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 12
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=z(t)
+
2c| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
при t \uparrow \omega , i оскiльки виконується умова (2.17), то
G(\tau (t)) = - \beta
\biggl(
\lambda 0 - 2
\lambda 0 - 1
+ o(1)
\biggr)
+
2c| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
при t \uparrow \omega .
Звiдси випливає, що умова (2.34) виконується, якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 499
c =
\beta (\lambda 0 - 2)
2| \lambda 0|
при \gamma = \pm \infty . (2.38)
Далi будемо вважати, що сталу c у перетвореннi (2.32) вибрано саме за формулами (2.37),
(2.38).
Враховуючи вищевикладене, неважко перевiрити, що при цьому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\tau [m22(\tau ) +m11(\tau )] =
=
\left\{
\beta ((\lambda 0 - 2)(\lambda 0 - 1) + \gamma \lambda 0(3\lambda 0 - 1))
(\gamma + 1)(\lambda 0 - 1)\lambda 0
при \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = - 1,
\beta (3\lambda 0 - 2)
\lambda 0 - 1
при \gamma = \pm \infty .
(2.39)
Крiм того, з урахуванням умов (2.9), (2.29) i (2.30) маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\tau m21(\tau ) = 0. (2.40)
Тепер, застосовуючи до системи рiвнянь (2.33) додаткове перетворення
\biggl(
\~v1(\tau )
\~v2(\tau )
\biggr)
=
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
1\sqrt{}
| \lambda 0|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
1\sqrt{}
| \lambda 0|
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
\right)
\left(
z1(\tau )
\tau
z2(\tau )
\tau
,
\right) , (2.41)
отримуємо систему диференцiальних рiвнянь
z\prime 1 =
1
\tau
(g1(\tau ) + b11(\tau )z1 + b12(\tau )z2 + Z1(\tau , z1, z2)) ,
z\prime 2 =
1
\tau
(g2(\tau ) + b21(\tau )z1 + b22(\tau )z2 + Z2(\tau , z1, z2)) ,
(2.42)
в якiй
g1(\tau ) = \beta \~f(\tau )\tau 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau , g2(\tau ) = \beta \~f(\tau )\tau 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau ,
Z1(\tau , z1, z2) = \beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau 2 \~V
\Biggl(
\tau ,
z1
\tau
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
- z2
\tau
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
\Biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau ,
Z2(\tau , z1, z2) = \beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau 2 \~V
\Biggl(
\tau ,
z1
\tau
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
- z2
\tau
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
\Biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau ,
b11(\tau ) = 1 +
\beta \tau
2
[m11(\tau ) +m22(\tau )] +
\beta \tau
2
[m11(\tau ) - m22(\tau )] \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau +
+
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau
2
m21(\tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau ,
b12(\tau ) =
\beta \tau
2
[m22(\tau ) - m11(\tau )] \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau -
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau
2
m21(\tau )
\Biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
\Biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
500 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
b21(\tau ) =
\beta \tau
2
[m22(\tau ) - m11(\tau )] \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau +
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau
2
m21(\tau )
\Biggl(
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau
\Biggr)
,
b22(\tau ) = 1 +
\beta \tau
2
[m11(\tau ) +m22(\tau )] -
\beta \tau
2
[m11(\tau ) - m22(\tau )] \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau -
-
\beta
\sqrt{}
| \lambda 0| \tau
2
m21(\tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2\beta
\sqrt{}
| \lambda 0|
\lambda 0 - 1
\tau .
Тут згiдно з третьою з умов (2.3) i (2.10)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
gi(\tau ) = 0, i = 1, 2,
а згiдно з (2.34), (2.39) i (2.40)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
b12(\tau ) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
b21(\tau ) = 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
bii(\tau ) =
\left\{
3\lambda 0 - 2 + 5\lambda 0\gamma
2\lambda 0(\gamma + 1)
при \gamma = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = - 1,
5\lambda 0 - 4
2(\lambda 0 - 1)
при \gamma = \pm \infty ,
i = 1, 2.
Крiм того, згiдно з оцiнкою (2.24)
| Zi(\tau , z1, z2)| < (1 + \varepsilon )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q0(t(\tau ))[1 + r(t(\tau ))]
\lambda 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (| z1| + | z2| )2
на множинi D = [1+\infty [\times \{ (z1, z2) : | zi| < \delta , i = 1, 2\} , де t(\tau ) — функцiя, що обернена до \tau (t),
i тому з урахуванням третьої з умов (2.3), а також (2.1) маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| z1| +| z2| \rightarrow 0
Zi(\tau , z1, z2)
| z1| + | z2|
= 0 рiвномiрно по \tau \in [0,+\infty [.
На пiдставi вищевикладеного система диференцiальних рiвнянь (2.42) у кожному з випадкiв
(2.11) i (2.12) задовольняє всi умови теореми 2.2 з роботи [6]. Згiдно з цiєю теоремою, система
диференцiальних рiвнянь (2.42) має хоча б один розв’язок (z1, z2) : [\tau 0,+\infty [ - \rightarrow \BbbR 2, \tau 0 \geq 1,
який прямує до нуля при \tau \rightarrow +\infty , причому iснує двопараметрична сiм’я таких розв’язкiв,
якщо у випадку (2.11) виконується нерiвнiсть \lambda 0(\lambda 0 - 1)(1+\gamma )[3\lambda 0 - 2+5\lambda 0\gamma ] < 0, а у випадку
(2.12) — нерiвнiсть (\lambda 0 - 1)(5\lambda 0 - 4) < 0. Кожному такому розв’язку системи диференцiальних
рiвнянь (2.42) вiдповiдає внаслiдок перетворень (2.21), (2.25), (2.27), (2.32) i (2.41) P\omega (Y0, \lambda 0)-
розв’язок y : [t2, \omega [ - \rightarrow \BbbR , t0 \in [a, \omega [, диференцiального рiвняння (1.1), для якого мають мiсце
асимптотичнi зображення (2.13) i (2.14).
Теорему повнiстю доведено.
3. Приклади. Зазначимо, що отримана при доведеннi теореми 2.2 система диференцiальних
рiвнянь (2.28) у випадку, коли\biggl(
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t)
\biggr)
q0(t) +
q0(t)r(t)
\lambda 0
- \lambda 0 - 1
\lambda 0
\pi \omega (t)q
\prime
0(t) \equiv 0, (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 501
має нульовий розв’язок, якому внаслiдок замiн (2.25) i (2.27) вiдповiдає P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язок y
диференцiального рiвняння (1.1) вигляду
y(t) = \Phi - 1 (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)) . (3.2)
Виходячи з тотожностi (3.1) при r(t) \equiv 0, тобто з тотожностi\biggl(
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q0(t)
\biggr)
q0(t) -
\lambda 0 - 1
\lambda 0
\pi \omega (t)q
\prime
0(t) \equiv 0, (3.3)
побудуємо, з використанням необхiдних умов (2.2) i (2.3) iснування P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв при
\lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} , приклад диференцiального рiвняння (1.1), яке має такi розв’язки.
Вiдносно q0 спiввiдношення (3.3) є диференцiальним рiвнянням Бернуллi. Iнтегруючи це
рiвняння з урахуванням третьої з умов (2.3), одержуємо
q0(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
1
1 + c0| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
,
де c0 — довiльне дiйсне число, якщо \lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) > 0, i c0 = 0, якщо \lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) < 0.
Звiдси згiдно з виглядом функцiї q0 (з теореми 2.1) маємо
\alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi 2\omega (t)p0(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\bigr)
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
=
\lambda 0
\lambda 0 - 1
1
1 + c0| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
.
Пiсля дiлення даного спiввiдношення на \pi \omega (t) помiчаємо, що отримане при цьому спiввiдно-
шення можна записати у виглядi\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
\bigr) \prime
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t))
=
\lambda 0
\lambda 0 - 1
1
\pi \omega (t)
\biggl[
1 + c0| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
\biggr] .
Звiдси в результатi iнтегрування знаходимо
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t)) = c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr)
, (3.4)
де c1 — довiльна вiдмiнна вiд нуля стала, така що \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c1 = \nu 0.
Iз (3.4) випливає, що
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J0(t) = \Phi
\biggl(
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \biggr)
. (3.5)
В результатi диференцiювання цiєї тотожностi отримуємо тотожнiсть вигляду
\alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)p0(t) =
c1\lambda 0
\lambda 0 - 1
| \pi \omega (t)|
1
\lambda 0 - 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} \pi \omega (t)
\varphi
\biggl(
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \biggr) .
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
502 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
p0(t) =
\alpha 0c1\lambda 0
(\lambda 0 - 1)2
| \pi \omega (t)|
2 - \lambda 0
\lambda 0 - 1
\varphi
\biggl(
c1(| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0)
\biggr) . (3.6)
Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c1 = \nu 0 i виконується перша з нерiвностей (2.2), то дана функцiя є додатною в
деякому лiвому околi \omega .
Таким чином, отримано диференцiальне рiвняння
y\prime \prime = \alpha 0p0(t)\varphi (y), (3.7)
в якому функцiя p0 має вигляд (3.6) i яке згiдно з (3.2) i (3.4) має розв’язок
y(t) = c1
\biggl[
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr]
. (3.8)
У цьому неважко переконатись i безпосередньою пiдстановкою цiєї функцiї у рiвняння (3.7).
Даний розв’язок диференцiального рiвняння (3.7), очевидно, є P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язком. При цьо-
му
\lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) > 0, якщо Y0 = \pm \infty ,
\lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) < 0, якщо Y0 = 0,
тобто виконуються умови (1.6), в яких \nu 1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y\prime (t) i визначається другою з формул (1.5).
Враховуючи тотожнiсть (3.5), вигляд функцiї q0, а також умови (1.3) i властивостi функцiї \Phi ,
якi були вказанi у першому пунктi, приходимо до висновку, що для диференцiального рiвняння
(3.7) виконанано другу з нерiвностей (2.2), умови (2.3) i першу з умов (2.16).
Тому, якщо \alpha 0\mu 0 = 1 i для функцiї \varphi iснує скiнченна або рiвна \pm \infty друга з границь (2.6),
на пiдставi теореми 2.2 диференцiальне рiвняння (3.7), окрiм розв’язку (3.8), має однопарамет-
ричну сiм’ю P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв, що допускають асимптотичнi зображення
y(t) = c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \biggl[
1 +
o(1)
H0(t)
\biggr]
при t \uparrow \omega , (3.9)
y\prime (t) =
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr)
\pi \omega (t)
\left[ \lambda 0
\lambda 0 - 1
1
1 + c0| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
+ | H0(t)| -
1
2 o(1)
\right] при t \uparrow \omega ,
(3.10)
де
H0(t) =
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr)
\varphi \prime
\biggl(
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \biggr)
\varphi
\biggl(
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \biggr) .
Якщо \alpha 0\mu 0 = - 1, для функцiї \varphi iснують скiнченнi або рiвнi \pm \infty границi (2.8) i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
= 0 при \lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t) > 0, (3.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 503
то на пiдставi теореми 2.2 диференцiальне рiвняння (3.7) має хоча б один P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язок,
що допускає при t \uparrow \omega асимптотичнi зображення
y(t) = c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr) \left[ 1 +
\left( H0(t)
t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] , (3.12)
y\prime (t) =
=
c1
\biggl(
| \pi \omega (t)|
\lambda 0
\lambda 0 - 1 + c0
\biggr)
\pi \omega (t)
\left[ \lambda 0
\lambda 0 - 1
1
1 + c0| \pi \omega (t)|
- \lambda 0
\lambda 0 - 1
+ | H0(t)| -
1
2
\left( t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right]
(3.13)
(можливо лише один вигляду (3.8)). Бiльш того, iснує двопараметрична сiм’я розв’язкiв з
такими зображеннями, якщо у випадку (2.11) виконується нерiвнiсть \lambda 0(\lambda 0 - 1)(1 + \gamma )[3\lambda 0 -
- 2 + 5\lambda 0\gamma ] < 0, а у випадку (2.12) – нерiвнiсть (\lambda 0 - 1)(5\lambda 0 - 4) < 0.
Тепер розглянемо диференцiальне рiвняння
y\prime \prime = \alpha 0p0(t)[1 + r(t)]\varphi (y), (3.14)
де функцiя p0 та ж, що i в (3.7), а r : [a, \omega [ - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — неперервна функцiя, яка прямує до
нуля при t \uparrow \omega .
Для цього рiвняння, очевидно, виконуються умови (2.2), (2.3) i перша з умов (2.16). Тодi
вiдповiдно до теореми 2.2:
1) якщо \alpha 0\mu 0 = 1 i для функцiї \varphi iснує скiнченна або рiвна \pm \infty друга з границь (2.6), то
диференцiальне рiвняння (3.14) має однопараметричну сiм’ю P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язкiв, що допус-
кають при t \uparrow \omega асимптотичнi зображення (3.9), (3.10);
2) якщо \alpha 0\mu 0 = - 1, для функцiї \varphi iснують скiнченнi або рiвнi \pm \infty границi (2.8) i поряд з
(3.11)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
r(t)
\left( t\int
t0
| H0(\tau )|
1
2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) 2
= 0, (3.15)
то диференцiальне рiвняння (3.14) має хоча б один P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язок, що допускає при
t \uparrow \omega асимптотичнi зображення (3.12), (3.13), причому iснує двопараметрична сiм’я розв’язкiв
з такими зображеннями, якщо у випадку (2.11) виконується нерiвнiсть \lambda 0(\lambda 0 - 1)(1+ \gamma )[3\lambda 0 -
- 2 + 5\lambda 0\gamma ] < 0, а у випадку (2.12) — нерiвнiсть (\lambda 0 - 1)(5\lambda 0 - 4) < 0.
Далi розглянемо рiвняння вигляду
y\prime \prime = p(t)e
- 1
y (3.16)
i
y\prime \prime = p(t)ey, (3.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
504 В. М. ЄВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНIКОВА
в яких p : [a,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — неперервна функцiя. Для цих рiвнянь \omega = +\infty , \alpha 0 = \mu 0 = 1.
Згiдно з результатами, що викладенi в монографiї [7, с. 262 – 270], перше з цих рiвнянь при
умовi
+\infty \int
a
tp(t) dt = +\infty (3.18)
має однопараметричну сiм’ю кнезеровських розв’язкiв, тобто таких, що
y(t) > 0, y\prime (t) < 0 при t \geq a, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
y(t) = 0,
а друге рiвняння при умовi
+\infty \int
a
p(t)ert dt < +\infty для будь-якого r > 0 (3.19)
має однопараметричну сiм’ю швидко зростаючих (за термiнологiєю I. Т. Кiгурадзе) розв’язкiв,
тобто таких, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
y(t)
t
= +\infty .
Використавши побудований на початку даного пункту приклад рiвняння, яке при \lambda 0 \in
\in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} має P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язки, одержимо рiвняння вигляду (3.16) i (3.17), якi мають
вiдповiдно кнезеровськi i швидко зростаючi P\omega (Y0, \lambda 0)-розв’язки, а також встановимо асимп-
тотичнi зображення таких розв’язкiв та їхнiх похiдних.
Спочатку при 0 < \lambda 0 < 1 розглянемо рiвняння (3.16), в якому функцiя p допускає зображен-
ня вигляду
p(t) = Ct
2 - \lambda 0
\lambda 0 - 1 e
\lambda 0
C(\lambda 0 - 1)2
t
\lambda 0
1 - \lambda 0
[1 + r(t)], (3.20)
де C — довiльна додатна стала, а r : [a,+\infty [ - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — неперервна функцiя, що прямує
до нуля при t \rightarrow +\infty . З урахуванням (3.15) i (3.6) c1 =
C(\lambda 0 - 1)2
\lambda 0
i c0 = 0. Враховуючи, що
\alpha 0\mu 0 = 1, на пiдставi викладеного вище приходимо до висновку, що диференцiальне рiвняння
(3.16) з функцiєю p вигляду (3.20) має однопараметричну сiм’ю P+\infty (0, \lambda 0)-розв’язкiв, якi
допускають при t\rightarrow +\infty асимптотичнi зображення
y(t) = t
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\biggl[
C(\lambda 0 - 1)2
\lambda 0
+ o
\biggl(
t
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\biggr) \biggr]
,
y\prime (t) = t
1
\lambda 0 - 1
\biggl[
C(\lambda 0 - 1) + o
\biggl(
t
\lambda 0
2(\lambda 0 - 1)
\biggr) \biggr]
.
Оскiльки 0 < \lambda 0 < 1, то кожний такий P+\infty (0, \lambda 0)-розв’язок є кнезеровським. При цьому
виконується умова (3.18).
Тепер припустимо, що число \lambda 0 задовольняє нерiвнiсть \lambda 0 > 1. При такому значеннi \lambda 0
розглянемо рiвняння (3.17), в якому функцiя p має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 505
p(t) = Ct
2 - \lambda 0
\lambda 0 - 1 e
- C(\lambda 0 - 1)2
\lambda 0
t
\lambda 0
\lambda 0 - 1
[1 + r(t)],
де C — довiльна додатна стала, а r : [a,+\infty [ - \rightarrow ] - 1,+\infty [ — неперервна функцiя, що прямує до
нуля при t \rightarrow +\infty . Це рiвняння згiдно з прикладом, який доведено на початку даного пункту,
має однопараметричну сiм’ю P+\infty (+\infty , \lambda 0)-розв’язкiв, для яких при t \rightarrow +\infty мають мiсце
асимптотичнi зображення
y(t) = t
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\biggl[
C(\lambda 0 - 1)2
\lambda 0
+ o
\biggl(
t
\lambda 0
1 - \lambda 0
\biggr) \biggr]
, (3.21)
y\prime (t) = t
1
\lambda 0 - 1
\biggl[
C(\lambda 0 - 1) + o
\biggl(
t
\lambda 0
2(1 - \lambda 0)
\biggr) \biggr]
. (3.22)
Оскiльки \lambda 0 > 1, то кожний такий P+\infty (+\infty , \lambda 0)-розв’язок є швидко зростаючим при t\rightarrow +\infty
i при цьому виконується умова (3.19).
Зазначимо, що при \lambda 0 < 0 останнє рiвняння має однопараметричну сiм’ю P+\infty ( - \infty , \lambda 0)-
розв’язкiв, що допускають при t \rightarrow +\infty асимптотичнi зображення (3.21), (3.22). Цi розв’язки
на вiдмiнну вiд кнезеровських i швидко спадаючих задовольняють умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
y(t) = - \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
y(t)
t
= 0.
Лiтература
1. V. Marić, Regular variation and differential equations, Lect. Notes Math., 1726 (2000).
2. В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями, Укр. мат. журн., 69, № 10, 1315 – 1363
(2017).
3. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications,
Cambridge Univ. Press, Cambridge (1987).
4. В. М. Евтухов, Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений, Диc. ... д-ра физ.-мат. наук, Киев (1998).
5. Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, Москва (1985).
6. В. М. Евтухов, А. М. Самойленко, Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений, Укр. мат. журн., 62, № 1, 52 – 80 (2010).
7. И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, Наука, Москва (1990).
Одержано 02.05.18,
пiсля доопрацювання — 22.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-627 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:21Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/36/c42f453b32f86080e0631acc9d65ad36.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6272025-03-31T08:48:15Z On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities Про асимптотику розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку зі швидко змінними нелінійностями Evtukhov , V. M. Chernikova , A. G. Evtukhov, V.M. Євтухов, В. М. Чернiкова, А. Г. . . UDC 517.925 We establish new results concerning the conditions of existence of one class of monotonous solutions of a two-term nonautonomous differential equation of the the second-order with a rapidly varying nonlinearity. These results essentially supplement the results of previous researches. &nbsp; УДК 517.925 Встановлено нові результати про умови існування одного класу розв'язків двочленного неавтономного диференціального рівняння другого порядку зі швидко змінною нелінійністю, що суттєво доповнюють результати попередніх досліджень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-04-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/627 10.37863/umzh.v73i4.627 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 4 (2021); 488 - 505 Український математичний журнал; Том 73 № 4 (2021); 488 - 505 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/627/9002 |
| spellingShingle | Evtukhov , V. M. Chernikova , A. G. Evtukhov, V.M. Євтухов, В. М. Чернiкова, А. Г. On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_alt | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities Про асимптотику розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку зі швидко змінними нелінійностями |
| title_full | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_fullStr | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_short | On the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_sort | on the asymptotic of solutions of the second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| topic_facet | . . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/627 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm ontheasymptoticofsolutionsofthesecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT chernikovaag ontheasymptoticofsolutionsofthesecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm ontheasymptoticofsolutionsofthesecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT êvtuhovvm ontheasymptoticofsolutionsofthesecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT černikovaag ontheasymptoticofsolutionsofthesecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm proasimptotikurozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzíšvidkozmínniminelíníjnostâmi AT chernikovaag proasimptotikurozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzíšvidkozmínniminelíníjnostâmi AT evtukhovvm proasimptotikurozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzíšvidkozmínniminelíníjnostâmi AT êvtuhovvm proasimptotikurozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzíšvidkozmínniminelíníjnostâmi AT černikovaag proasimptotikurozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzíšvidkozmínniminelíníjnostâmi |