Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle
UDC 517.986.5 The realizations of finite-dimensional Lie algebras of smooth tangent vector fields on circle are described.The ``canonical'' realizations of two-dimensional noncommutative algebra, as well as the algebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ are constructed. It is shown that...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6270 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512315699363840 |
|---|---|
| author | Spichak, S. V. Спічак, С. В. |
| author_facet | Spichak, S. V. Спічак, С. В. |
| author_sort | Spichak, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.986.5
The realizations of finite-dimensional Lie algebras of smooth tangent vector fields on circle are described.The ``canonical'' realizations of two-dimensional noncommutative algebra, as well as the algebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ are constructed. It is shown that any realization of these algebras by smooth vector fields is reduced to one of a ``canonical'' realization by piecewise-smooth global transformations of circle onto itself.Formulas for calculating the number of non-equivalent realizations are obtained. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.6270 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.6270
УДК 517.986.5
С. В. Спiчак (Iн-т математики НАН України, Київ)
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI
The realizations of finite-dimensional Lie algebras of smooth tangent vector fields on circle are described. The “canonical”
realizations of two-dimensional noncommutative algebra, as well as the algebra sl(2,\BbbR ) are constructed. It is shown that
any realization of these algebras by smooth vector fields is reduced to one of a “canonical” realization by piecewise-smooth
global transformations of circle onto itself. Formulas for calculating the number of non-equivalent realizations are obtained.
Описано реалiзацiї скiнченновимiрних алгебр Лi векторних полiв на колi. Побудовано „канонiчнi” реалiзацiї дво-
вимiрної некомутативної алгебри, а також алгебри sl(2,\BbbR ). Показано, що будь-яка реалiзацiя цих алгебр гладких
векторних полiв зводиться до однiєю iз „канонiчних” за допомогою кусково-гладких глобальних перетворень кола
на себе, а також отримано формули для розрахунку кiлькостi нееквiвалентних реалiзацiй.
1. Вступ. Проблема опису реалiзацiй алгебр Лi векторними полями має широке застосуван-
ня, зокрема, для побудови диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними з вiдповiдною
алгеброю iнварiантностi, для пошуку точних розв’язкiв. Однак ця проблема недостатньо до-
слiджена систематично. Вперше реалiзацiї алгебри Лi на прямiй i площинi розглянув С. Лi
[1, с. 1 – 121]. I тiльки майже через столiття пiсля дослiджень Лi дослiдження з цiєї тематики
вiдновилися на регулярнiй основi. Рiзнi напрями цiєї проблеми представленi, зокрема, в робо-
тах [2] (вивченi реалiзацiї диференцiальних операторiв першого порядку спецiальної форми), в
[3 – 5], де розглядалися реалiзацiї фiзичних алгебр (Галiлея, Пуанкаре та Евклiда). Системати-
чне дослiдження нееквiвалентних реалiзацiй дiйсних алгебр Лi розмiрностi не бiльше чотирьох
векторними полями у просторi з довiльною кiлькiстю змiнних було проведено в роботi [6], де
можна знайти бiльш повний огляд даної проблеми та список посилань.
У представлених роботах дослiдження реалiзацiй алгебр Лi векторних полiв розглядаються з
точнiстю до локальних перетворень еквiвалентностi. Класифiкацiя реалiзацiй алгебр на деякому
многовидi з точнiстю до глобальних перетворень еквiвалентностi (на всьому многовидi) є бiльш
складною проблемою, яка, на вiдмiну вiд локальної теорiї, вимагає iнших методiв дослiджень.
Лише в декiлькох роботах (див. [7 – 9]) були зробленi спроби класифiкувати реалiзацiї алгебри
Лi векторних полiв на деякому многовидi в „цiлому”. У цих роботах доведено, що iснують
три алгебри, а саме одновимiрнi, некомутативнi двовимiрнi i тривимiрна алгебра sl(2,\BbbR ), якi
можна реалiзувати аналiтичними векторними полями на колi.
Мета цiєї роботи — побудувати в явному виглядi всi нееквiвалентнi реалiзацiї на колi
скiнченновимiрних алгебр з ненульовим фактором Левi, а також описати реалiзацiї вiдомих
розв’язних алгебр (розмiрностi не вище п’яти) в класi векторних полiв, який не обмежується
вимогою аналiтичностi, як це розглядалося в [7 – 9]. Деякi визначення i попереднi результати
були отриманi в роботi [10], де була проведена класифiкацiя алгебр розмiрностi не вище двох.
На колi S1 вводимо параметр \theta \in \BbbR , 0 \leq \theta < 2\pi . Будемо вважати, що при збiльшеннi
параметра \theta вiдповiдна точка на колi рухається за годинниковою стрiлкою. Векторне поле на
S1 можна представити як векторне поле v(\theta )\partial \theta , де v(\theta ) — гладка дiйсна функцiя на колi [11].
Також, можна вважати, що \theta \in \BbbR , а v(\theta ) є гладкою 2\pi -перiодичною функцiєю на прямiй.
Точку \theta 0 будемо й надалi називати особою точкою векторного поля v(\theta )\partial \theta , якщо v(\theta 0) = 0.
Позначимо через \scrC клас векторних полiв v(\theta )\partial \theta , таких що:
– не iснують iнтервалiв на яких v(\theta ) = 0, тобто iнтервалiв з особливих точок;
c\bigcirc С. В. СПIЧАК, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3 389
390 С. В. СПIЧАК
– функцiї v(\theta ) є неперервно-диференцiйовними, що природно вимагати при обчисленнi
комутаторiв двох векторних полiв.
Також, ведемо клас перетворень f : S1 \rightarrow S1 кола на себе, якi визначаються наступними
властивостями:
– це є взаємно-однозначне вiдображення кола на себе;
– f(\theta ) є неперервним в будь-якої точцi \theta \in S1 ;
– воно є неперервно-диференцiйоване в усiх точках окрiм скiнченого їх числа;
– похiдна f \prime (\theta ) прямує до - \infty або +\infty в усiх точках її розриву;
– при змiни координати \~\theta = f(\theta ) векторне поле iз класу C1 перетворюється в векторне
поле того самого класу.
Клас перетворень iз зазначеними властивостями визначає перетворення еквiвалентностi
векторних полiв. Позначимо його через \scrF . Будемо називати двi реалiзацiї алгебри векторних
полiв нееквiвалентними, якщо неможливо перетворити реалiзацiю з однiєї в iншу шляхом
композицiї перетворень еквiвалентностi з класу \scrF . Отже, нас цiкавлять усi нееквiвалентнi
вiдносно перетворень \scrF реалiзацiї скiнченновимiрних алгебр Лi векторних полiв з класу \scrC .
Ступiнь вiдображення, яке вiдповiдає функцiї f, є \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f = \pm 1 (див. [12]). Визначимо
наступнi пiдкласи перетворень \scrF :
– \scrF +
0 — перетворення, якi мають нерухому нульову точку f(0) = 0, i \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f = 1;
– \itO \varphi — поворот кола на кут \varphi (в напрямку годинникової стрiлки);
– T — дзеркальне вiдображення кола вiдносно осi, що проходить через центр кола i нульову
точку на ньому.
Нескладно побачити, що будь-яке перетворення з класу \scrF є композицiєю перетворень з цих
трьох пiдкласiв. Очевидно, що якщо перетворення f(\theta ) \in \scrF +
0 , то воно є монотонним на
всьому вiдкритому промiжку 0 \leq \theta < 2\pi . Якщо f(\theta ) \in T, то \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f = - 1, а якщо f(\theta ) \in \itO \varphi ,
то \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f = 1.
У параграфi 2 розглядається двовимiрнi алгебри, а також доводяться допомiжнi леми, якi
необхiднi для класифiкацiї реалiзацiй некомутативної алгебри. У параграфах 3 i 4 викона-
но класифiкацiю реалiзацiй, нееквiвалентних вiдносно перетворень з класу \scrF +
0 . У параграфi
5 завершено класифiкацiю реалiзацiй двовимiрної некомутативної алгебри i алгебри sl(2,\BbbR )
вiдносно перетворень \itO \varphi i T, а також представлено комбiнаторнi формули для обчислення
кiлькостi вiдповiдних нееквiвалентних реалiзацiй.
2. Двовимiрнi алгебри: допомiжнi леми. A) Комутативна алгебра A2.1 = A1
\bigoplus
A1 (див.
i далi позначення алгебр в [13]).
Позначимо i надалi векторнi поля v(\theta )\partial \theta i w(\theta )\partial \theta вiдповiдно як V,W \in \scrC . Нехай вони
комутують. Особливу точку \theta 0 векторного поля V назвемо виродженою, якщо v\prime (\theta 0) = 0.
Легко показати, що якщо 0 \leq \theta 0 < \theta 1 < 2\pi двi виродженнi точки, такi, що iнтервал (\theta 0, \theta 1)
не мiстить вироджених точок, то w(\theta ) = \lambda v(\theta ) на (\theta 0, \theta 1), де \lambda \not = 0 — довiльна константа.
Це випливає з того, що W \in \scrC (неперервнiсть похiдних функцiй v(\theta ) i w(\theta )). Зокрема, якщо
немає вироджених точок, або є лише одна вироджена точка, то w(\theta ) = \lambda v(\theta ) на S1. У цьому
випадку векторнi поля V i W лiнiйно залежнi, i тодi немає реалiзацiї двовимiрної комутативної
алгебри Лi (див. [7 – 9]).
Припустимо, що є бiльше однiєї виродженої точки для функцiї v(\theta ). Без втрати загально-
стi, можна вважати, що точка 0 (i вiдповiдно 2\pi ) є виродженою. Тодi функцiя w(\theta ) може бути
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI 391
описана наступним чином. Вiзьмемо довiльну точку \theta \in S1. Якщо вона невироджена для функ-
цiї v(\theta ), то, очевидно, iснує максимальний вiдрiзок [\theta 0, \theta 1] з двома виродженими кiнцевими
точками на ньому, так, що 0 \leq \theta 0 < \theta < \theta 1 < 2\pi . Тому w(\theta ) = \lambda v(\theta ) на цьому вiдрiзку.
Далi, розглянемо точку \theta \prime \not \in [\theta 0, \theta 1], i, якщо вона не вироджена, повторюємо процедуру.
Знову маємо спiввiдношення w(\theta ) = \lambda \prime v(\theta ) на деякому вiдрiзку (не на [\theta 0, \theta 1]). Причому,
коефiцiєнти \lambda i \lambda \prime можуть бути неоднаковими. Якщо точка \theta \prime є виродженою, то в силу то-
го, що V \in \scrC , можна знайти будь як близько вiд неї невироджену точку \theta \prime \prime \not \in [\theta 0, \theta 1]. Отже,
повторюємо наведену вище процедуру для \theta \prime \prime . Таким чином, весь вiдрiзок [0, 2\pi ] розбиває-
ться на вiдрiзки (можливо на нескiнченну кiлькiсть) з кiнцевими виродженими точками. На
цих вiдрiзках функцiя w(\theta ) пропорцiйна функцiї v(\theta ) з ненульовими рiзними коефiцiєнтами
пропорцiйностi.
Б) Некомутативна алгебра A2.2 . Нехай векторнi поля V i W генерують некомутативну
алгебру. Можна припустити (з точнiстю до їх лiнiйної комбiнацiї), що вони задовольняють
комутацiйне спiввiдношення [V,W ] = W, що еквiвалентно такiй умовi для функцiй v(\theta ) i
w(\theta ):
v(\theta )w\prime (\theta ) - v\prime (\theta )w(\theta ) = w(\theta ). (1)
Лема 1. Iснує особлива точка для векторного поля W.
Доведення. Припустимо, що векторне поле W не має особливих точок, тобто w(\theta ) > 0 (або
w(\theta ) < 0) для всiх значень 0 \leq \theta < 2\pi . Тодi з (1) можна отримати розв’язок для функцiї v(\theta )
на всьому вiдкритому промiжку [0, 2\pi ):
v(\theta ) =
\left( -
\theta \int
0
d\vargamma
w(\vargamma )
+ \lambda
\right) w(\theta ), (2)
де \lambda — деяка константа. Функцiя w(\theta ) є 2\pi -перiодичною на прямiй. Оскiльки пiдiнтегральна
функцiя в (2) є додатною, маємо v(0) \not = v(2\pi ). Це суперечить перiодичностi функцiї v(\theta ).
Лема 2. Особливi точки векторного поля W є також особливими точками векторного
поля V.
Доведення. Припустимо, що w(\theta 0) = 0. Нехай v(\theta 0) \not = 0. Тодi iснує деякий окiл U\theta 0 цiєї
точки, де v(\theta ) \not = 0. У цьому околi рiвняння (1) може бути переписано як
w\prime (\theta ) =
1 + v\prime (\theta )
v(\theta )
w(\theta ). (3)
Оскiльки w(\theta 0) = 0 i права частина рiвняння (3) задовольняє умовам Лiпшиця щодо функцiї
w рiвномiрно по \theta , то в силу теореми Пiкара [14] диференцiальне рiвняння (3) має єдиний
розв’язок в околi U\theta 0 . Очевидно, таким розв’язком є w \equiv 0, що суперечить тому, що W \in \scrC .
Лема 3. Кiлькiсть особливих точок векторного поля W є скiнченою.
Доведення. Припустимо, що кiлькiсть особливих точок є нескiнченною. Оскiльки S1 —
компактний многовид, то iснує монотонно зростаюча (або спадна) послiдовнiсть \{ \theta n\} , яка
збiгається до деякої точки \theta 0 i така, що w(\theta n) = 0. Легко показати, що для будь-якого n iснує
регулярна (неособлива) точка \^\theta n \in (\theta n, \theta n+1), така що задовольняє умовi w\prime (\^\theta n) = 0. Тодi з
рiвняння (1) випливає, що v\prime (\^\theta n) = - 1. Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \^\theta n = \theta 0, то, в силу неперервної
диференцiйованостi функцiї v(\theta ), маємо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty v\prime (\^\theta n) = v\prime (\theta 0) = - 1. З iншого боку, з леми 2
випливає, що v(\theta n) = v(\theta n+1) = 0. Звiдси випливає, що iснує точка така, що \~\theta n \in (\theta n, \theta n+1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
392 С. В. СПIЧАК
така, що v\prime (\~\theta n) = 0. А оскiльки \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \~\theta n = \theta 0, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty v\prime (\~\theta n) = v\prime (\theta 0) = 0. Тому є
суперечнiсть.
Лема 4. Якщо \theta 0 є особливою точкою векторного поля W, то вона є виродженою для
цього поля (тобто w\prime (\theta 0) = 0).
Доведення. Оскiльки v(\theta 0) = 0 (див. лему 2), то
v(\theta ) = v\prime (\theta 0)(\theta - \theta 0) + h(\theta ), w(\theta ) = w\prime (\theta 0)(\theta - \theta 0) + g(\theta ),
де h, g — неперервно-диференцiйовнi функцiї i
h(\theta 0) = g(\theta 0) = h\prime (\theta 0) = g\prime (\theta 0) = 0. (4)
Крiм того, враховуючи рiвняння (1), маємо\bigl[
v(\theta )\partial \theta , w(\theta )\partial \theta
\bigr]
=
\bigl[
(\theta - \theta 0)(v
\prime (\theta 0)g
\prime (\theta ) - w\prime (\theta 0)h
\prime (\theta ))+
+h(\theta )(w\prime (\theta 0) + g\prime (\theta )) - g(\theta )(v\prime (\theta 0) + h\prime (\theta ))
\bigr]
\partial \theta
=
\bigl[
w\prime (\theta 0)(\theta - \theta 0) + g(\theta )
\bigr]
\partial \theta .
Розподiлимо обидвi сторони цього рiвняння на \theta - \theta 0 i розглянемо границю \theta \rightarrow \theta 0. Тодi зi
спiввiдношення (4) та теореми Лопiталя, легко отримати, що w\prime (\theta 0) = 0.
Лема 5. При перетвореннi еквiвалентностi \~\theta = f(\theta ) (з класу \scrF ) особлива (вiдповiдно
регулярна) точка векторного поля W вiдображається в особливу точку (вiдповiдно регулярну)
векторного поля \~W = \~w(\~\theta )\partial \~\theta .
Доведення. а) Нехай w(\theta 0) \not = 0. Тодi f \prime (\theta ) — неперервна в точцi \theta 0. Припустимо, що це
не так. Тодi, iснує окiл цiєї точки, де f \prime (\theta ) неперервна, окрiм \theta 0, i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\theta \rightarrow \theta 0 f
\prime (\theta ) = \pm \infty (знак
залежить вiд \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f ). Для перетвореного векторного поля \~W маємо спiввiдношення \~w
\bigl(
f(\theta )
\bigr)
=
= w(\theta )f \prime (\theta ). Оскiльки w(\theta ) \not = 0 у вищезгаданому околi, то
f \prime (\theta ) =
\~w
\bigl(
f(\theta )
\bigr)
w(\theta )
, (5)
i з неперервностi функцiй f i \~w випливає, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\theta \rightarrow \theta 0 f
\prime (\theta ) є скiнченим, тобто є суперечнiсть.
Нагадаємо, що неперервнiсть функцiї \~w випливає з властивостi, що будь-яке перетворення
еквiвалентностi f \in \scrF вiдображає векторне поле з класу C1 в векторне поле того ж класу.
Тепер припустимо, що \~w(f(\theta 0)) = 0 (тобто f(\theta 0) є особливою). Оскiльки права частина
диференцiального рiвняння (5) задовольняє умовам Лiпшиця вiдносно аргументу f(\theta ) рiвно-
мiрно по \theta (функцiя \~w є неперервно-диференцiйовною), то в околi точки \theta 0 iснує єдиний
розв’язок f(\theta ). Постiйна функцiя f(\theta ) = f(\theta 0) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} задовольняє рiвнянню (5), тому во-
на i є розв’язком в цьому околi. Але тодi вiдображення f(\theta ) не є взаємно-однозначним, що
суперечить визначенню цiєї властивостi перетворення еквiвалентностi. Тобто \~\theta 0 = f(\theta 0) є
регулярною точкою.
б) Нехай \theta 0 — особлива точка i припустимо, що \~w(f(\theta 0)) \not = 0 (тобто f(\theta 0) регулярна).
Згiдно леми 3 iснує окiл точки \theta 0, в якому всi точки регулярнi (окрiм \theta 0). З попередньої частини
доведення отримуємо (див. (5)) спiввiдношення для регулярних точок околу: f \prime (\theta ) > 0 (або
f \prime (\theta ) < 0), якщо \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f > 0 (або \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f < 0), i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\theta \rightarrow \theta 0 f
\prime (\theta ) = \pm \infty . Тому легко показати,
що обернене перетворення \theta = f - 1(\~\theta ) є неперервно-диференцiйовним у всьому околi точки
\~\theta 0 = f(\theta 0) (f - 1(\~\theta 0) = \theta 0). Застосовуючи аргументи попередньої частини доведення (п. а)),
бачимо, що регулярна точка \~\theta 0 вiдображається в особливу точку \theta 0 при вiдображеннi f - 1.
Отже, маємо суперечнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI 393
Наслiдок 1. Кiлькiсть особливих точок векторного поля є iнварiантною вiдносно будь-
якого перетворення еквiвалентностi.
3. Реалiзацiї розв’язних алгебр. Реалiзацiї алгебри A2.1 = V \oplus W описанi в попередньому
роздiлi. А саме, якщо V = \langle e1\rangle = v(\theta )\partial \theta , W = \langle e2\rangle = w(\theta )\partial \theta , то реалiзацiя алгебри описується
так: w(\theta ) = \lambda v(\theta ) на вiдрiзках [\theta \prime , \theta \prime \prime ], де \lambda — константи, \theta \prime , \theta \prime \prime — виродженi точки, i всi точки
iнтервалу є невиродженими. Будемо i далi таке спiввiдношення реалiзацiй двох одновимiрних
комутативних алгебр позначати як \langle e1\rangle \sim \langle e2\rangle .
А) Реалiзацiї алгебри A2.2
Враховуючи леми 1 i 3, вважаємо, що iснує векторне поле W з n \geq 1 особливими точками
\theta k. Згiдно леми 4 вони також є виродженими. Легко показати, що за допомогою перетворень
еквiвалентностi, а також враховуючи лему 5, можна покласти \theta k =
2\pi k
n
, k = 0, 1, . . . , n - 1.
Розглянемо iнтервал \bigtriangleup k = (\theta k, \theta k+1) i позначимо
\=\theta k =
\theta k + \theta k+1
2
=
\pi (2k + 1)
n
.
Побудуємо наступне неперервно-диференцiйоване перетворення f на \bigtriangleup k, що задовольняє
умовам
f(\theta k) = \theta k, f(\theta k+1) = \theta k+1, f(\=\theta k) = \=\theta k. (6)
Припустимо, що w(\theta ) > 0, \theta \in \bigtriangleup k. Розглянемо задачу Кошi для цього iнтервалу:
w(\theta )f \prime (\theta ) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(nf(\theta )), f(\=\theta k) = \=\theta k. (7)
Його розв’язок є
f(\theta ) =
2
n
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\bigl(
- nI(\theta )
\bigr)
+ \=\theta k, де I(\theta ) =
\theta \int
\=\theta k
d\theta
w(\theta )
, \theta \in \bigtriangleup k. (8)
Очевидно, що iнтеграл I(\theta ) збiгається для будь-якої точки з iнтервалу \bigtriangleup k. У силу леми 4
iнтеграл не збiгається на кiнцях цього iнтервалу:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\theta \rightarrow \theta k+0
I(\theta ) = - \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\theta \rightarrow \theta k+1 - 0
I(\theta ) = +\infty .
Враховуючi цi спiввiдношення легко показати, що перетворення (8) задовольняє умовам (6)
i перетворює векторне поле w(\theta )\partial \theta в векторне поле
\bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\~\theta )
\bigr)
\partial \~\theta .
Якщо w(\theta ) < 0 для \theta \in \bigtriangleup k, то, аналогiчно, можна отримати перетворення еквiвалентностi,
що вiдображає векторне поле w(\theta )\partial \theta у векторне поле
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\~\theta ) - 1
\bigr)
\partial \~\theta .
Таким чином, на кожному iнтервалi \bigtriangleup k отримуємо векторне поле W = \pm
\bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta )
\bigr)
\partial \theta
(опускаючи знак тильди). Пiдставивши функцiю w(\theta ) = \pm
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta ) - 1
\bigr)
у рiвняннi (1), легко
знайти розв’язок для функцiї v(\theta ) на цьому iнтервалi \bigtriangleup k :
v(\theta ) =
1
n
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\theta ) + \lambda k
\bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta )
\bigr)
, \lambda k \in \BbbR . (9)
Далi, можна покласти константи \lambda k в (9) рiвними нулю. Для цього, розглянемо перетворення
f кола на себе такого вигляду:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
394 С. В. СПIЧАК
f(\theta ) =
2
n
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
n\theta
2
+ \lambda kn
\biggr)
+
2\pi k
n
, якщо \theta \in \bigtriangleup k.
Легко показати, що таке перетворення \theta = f(\theta ) належить вищезазначеному класу \scrF +
0 , має
нерухомi точки \theta k, не змiнює вигляд векторного поля: W = \pm (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta ))\partial \theta , i змiнює вигляд
векторного поля, так що V = v(\theta )\partial \theta , де функцiя v(\theta ) має вигляд (9) i всi \lambda k = 0.
У результатi, маємо наступне твердження.
Теорема 1. Будь-яка реалiзацiя двовимiрної некомутативної алгебри A2.2 векторних полiв
на колi еквiвалентна
An
2.2 =
\biggl\langle
\sigma n(\theta )(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta ))\partial \theta ,
1
n
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\theta )\partial \theta
\biggr\rangle
, (10)
де n \in \BbbN , функцiя \sigma n(\theta ) дорiвнює або 1 або - 1 на вiдрiзках
\biggl[
2\pi k
n
,
2\pi (k + 1)
n
\biggr]
, k = 0, . . . , n - 1.
Б) Реалiзацiї алгебр Ak.i розмiрностi бiльше нiж два
Вiдомо, що задача класифiкацiї неiзоморфних розв’язних алгебр Лi розв’язана лише для
дiйсних алгебр Лi до шостого порядку включно (див., наприклад, [15 – 18]). Тут наводимо реа-
лiзацiї розв’язних алгебр Лi на колi над полем \BbbR , розмiрнiсть яких не перевищує п’яти. Будемо
користуватися позначеннями [13]. Там описанi комутацiйнi спiввiдношення як нерозкладних
алгебр Ak.i розмiрностi k (i — порядковий номер), так i розкладних в пряму суму алгебр. Нехай
серед базисних елементiв алгебри є такi el, em, en, що [el, em] \not = 0, [el, en] = [em, en] = 0.
Очевидно, що реалiзацiй на колi таких алгебр не iснує. Дiйсно, з останнiх умов випливає, що
el \sim en, em \sim en, i тодi el \sim em i [el, em] = 0, що суперечить першiй умовi. Це твердження
виключає можливi реалiзацiї на колi багатьох розв’язних алгебр, наприклад усiх розкладних.
Також, нескладно переконатися, що майже всi нерозкладнi алгебри також виключаються.
Наприклад, нехай iснує реалiзацiя на колi алгебри A3.9 з ненульовими комутацiйними спiввiд-
ношеннями
[e1, e3] = qe1 - e2, [e2, e3] = e1 + qe2, q > 0.
З цих спiввiдношень випливає, що e1 \sim e2, тобто локально на деякому iнтервалi виконуються
умови e2 = \lambda e1, [e1, e3] = (q - \lambda )e1, [\lambda e1, e3] = (1 + q\lambda )e1 звiдки отримуємо, що \lambda (q - \lambda ) =
= (1 + q\lambda ), що неможливо, якщо \lambda \in \BbbR .
Аналогiчний аналiз, стосовно iнших розв’язних алгебр призводить до такого результату.
Теорема 2. Iснують наступнi реалiзацiї розв’язних алгебр Лi Ak.i = \langle e1, . . . , ek\rangle векторних
полiв на колi (k \leq 5):
– A3.1 = 3A1, де e1 \sim e2 \sim e3 ;
– A3.5, де e2 \sim e1, \langle e1, e3\rangle утворюють реалiзацiї An
2.2 алгебри A2.2 в теоремi 1 ;
– 4A1, де e1 \sim e2 \sim e3 \sim e4 ;
– A4.5 (q = p = 1), де e2 \sim e1, e3 \sim e1, \langle e1, e4\rangle = An
2.2 ;
– 5A1, де e1 \sim e2 \sim e3 \sim e4 \sim e5 ;
– A5.7 (q = p = r = 1), де e2 \sim e1, e3 \sim e1, e4 \sim e1, \langle e1, e5\rangle = An
2.2.
4. Алгебри з ненульовим фактором Левi. Як вiдомо, довiльна алгебра Лi може бути
представлена напiвпрямою сумою розв’язної i напiвпростої пiдалгебр (див. наприклад, [19,
с. 170 – 172]. Якщо ця напiвпроста пiдалгебра (фактор Левi) ненульова, то алгебра мiстить
просту пiдалгебру. Доведемо таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI 395
Теорема 3. Якщо розмiрнiсть простої алгебри векторних полiв бiльше трьох, то для неї
не iснує її реалiзацiї на колi.
Доведення. Нехай iснує така реалiзацiя алгебри L = \langle e1, e2, . . . , es\rangle = \langle \varphi 1\partial \theta , \varphi 2\partial \theta , . . . , \varphi s\partial \theta \rangle ,
де s > 3, \varphi i(\theta )\partial \theta \in \scrC . Очевидно, iснує такий iнтервал \scrI на якому \varphi 1(\theta ) \not = 0 i таке перетворен-
ня еквiвалентностi \scrF , що в реалiзацiї алгебри можна вважати \varphi 1(\theta ) = 1 на цьому iнтервалi,
а також, що 0 належить \scrI . За визначенням алгебри Лi маємо спiввiдношення [e1, ei] = Ck
i \varphi k
(де Ck
i = Ck
1i — структурнi сталi для алгебри), звiдки випливає, що \varphi \prime
i = Ck
i \varphi k, i = 2, . . . , s
(тут i далi по повторюваним iндексам виконується сумування). Звiдси маємо, що функцiї \varphi i є
нескiнченно-диференцiйованими. Також можна вважати, що \varphi i(0) = 0, i = 2, . . . , s (за допо-
могою змiни базису алгебри).
Будемо називати l \in \BbbN порядком функцiї \varphi (\theta ), якщо \varphi (k)(0) = 0 для 0 \leq ka\varphi (l)(0) \not = 0.
Якщо не iснує такого l, то порядок функцiї \varphi (\theta ) будемо вважати нескiнченним. Далi, якщо
всi функцiї \varphi i(\theta ), i = 2, . . . , s, мають нескiнчений порядок, то неважко переконатися, що
\langle e2, . . . , es\rangle є iдеалом алгебри L, що суперечить тому, що алгебра проста. Тодi iснує таке l \in \BbbN ,
яке є мiнiмальним порядком серед цих функцiї. Без обмеження загальностi можна вважати,
що l — порядок функцiї \varphi 2(\theta ), а порядки для iнших функцiй бiльше, нiж l (за допомогою
змiни базису). Нехай l > 1. Оскiльки порядок функцiї \varphi \prime
2(\theta ) є l - 1 > 0, то, очевидно, що
комутатор [e1, e2] = \varphi \prime
2(\theta )\partial \theta не може бути лiнiйною комбiнацiєю базисних операторiв алгебри.
Тому l = 1.
Аналогiчно, розглядаючи базиснi елементи \langle e3, . . . , es\rangle можна довести, що порядок функцiї
\varphi 3(\theta ) є 2, а порядки решти функцiй \varphi i(\theta ) (i > 3) бiльш нiж 2 i є скiнченними. Причому,
можна змiнити базис таким чином, що вiдповiднi порядки mi i > 3 можна упорядкувати: 2 де
функцiя \chi (\theta ) має порядок ms+1, то враховуючi останнi нерiвностi, неважко переконатися, що
цей комутатор не може бути лiнiйною комбiнацiєю базисних операторiв алгебри. Тому s може
дорiвнювати тiльки 3.
Як вiдомо, iснує лише двi простих алгебри розмiрностi не вище нiж 3: so(3) i sl(2,\BbbR ).
Реалiзацiй алгебри so(3) векторних полiв на прямiй (а тому i на колi) не iснує (див. наприклад,
[1, 8]). Розглянемо алгебру sl(2,\BbbR ). Неважко отримати наступну теорему.
Теорема 4. Будь-яка реалiзацiя алгебри sl(2,\BbbR ) векторних полiв на колi еквiвалентна\biggl\langle
\sigma n(\theta )(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta ))\partial \theta ,
1
n
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\theta )\partial \theta ,
\sigma n(\theta )
n2
\bigl(
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta )
\bigr)
\partial \theta
\biggr\rangle
, (11)
де n \in \BbbN , \sigma n(\theta ) = \pm 1 на вiдрiзках
\biggl[
2\pi k
n
,
2\pi (k + 1)
n
\biggr]
, k = 0, . . . , n - 1.
Доведення. Нехай алгебра sl(2,\BbbR ) = \langle e1, e2, e3\rangle . Як пiдалгебру вона мiстить алгебру A2.2 =
= \langle e1, e2\rangle , всi нееквiвалентнi реалiзацiї An
2.2 якої описанi в теоремi 1. Тому, можна покласти, що
для нееквiвалентних реалiзацiй алгебри sl(2,\BbbR ) базиснi векторнi поля e1 i e2 мають вигляд (10).
Враховуючи комутацiйнi спiввiдношення мiж усiма операторами e1, e2 i e3 неважко отримати,
що оператор e3 має вигляд
\sigma n(\theta )
n2
\bigl(
1 + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\theta )
\bigr)
\partial \theta .
Далi, якщо фактор Левi є напiвпростою алгеброю, тобто прямою сумою простих алгебр, то
реалiзацiй таких алгебр не iснує, як було показано в попередньому параграфi перед теоремою 2.
Нарештi, якщо розглядати напiвпрямi суми алгебри sl(2,\BbbR ) (як фактора Левi) i розв’язаних
алгебр (тих, якi вiдомi на сьогоднi), то можна довести, що вiдповiдних алгебр в одновимiрно-
му випадку, i, зокрема, на колi, не iснує. Для цього достатньо розглянути всi випадки таких
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
396 С. В. СПIЧАК
алгебр, де розв’язана пiдалгебра (радикал) спiвпадає з однiєю iз алгебр, якi наведенi в теоре-
мi 2. Враховуючi комутацiйнi спiввiдношення мiж операторами алгебри sl(2,\BbbR ) i вiдповiдними
операторами розв’язаних алгебр (радикалiв), отримуємо суперечнiсть.
Отже, теореми 1, 2 i 4, дають перелiк всiх можливих реалiзацiй некомутативних алгебр Лi
векторних полiв на колi.
5. Деякi комбiнаторнi формули. У теоремi 1 знайдено всi нееквiвалентнi реалiзацiї на
колi (10) двовимiрної некомутативної алгебри A2.2 вiдносно перетворень \scrF +
0 . Однак, серед
цих реалiзацiй є такi, якi еквiвалентнi вiдносно перетворень \itO \varphi (поворотiв) i T (iнверсiї)
(див. означення перетворень у вступi). Якщо опишемо кiлькiсть реалiзацiй цiєї алгебри, якi
нееквiвалентнi вiдносно всiх трьох вказаних перетворень, тобто кiлькiсть наборiв вiдповiдних
функцiй \sigma n(\theta ), то в силу теорем 1 i 4, така ж сама кiлькiсть нееквiвалентних реалiзацiй буде i
для алгебри sl(2,\BbbR ).
А) Нееквiвалентнi реалiзацiї на колi вiдносно поворотiв. Опишемо спочатку реалiзацiї,
якi еквiвалентнi вiдносно перетворень \itO \varphi , а також знайдемо їх кiлькiсть. Очевидно, що
якщо деяка пара реалiзацiй еквiвалентна вiдносно поворотiв кола на кут \varphi , то кiлькiсть n
особливих точок вiдповiдних полiв W i W спiвпадає i при цьому \itO \varphi = \itO \varphi \itk
\equiv \itO \itk , де
\varphi k =
2\pi k
n
, k = 0, 1, . . . , n - 1. У реалiзацiї (10) сигнатурою довжиною n назвемо вектор
\sigma n = (\sigma 0, \sigma 1, . . . , \sigma n - 1), де \sigma k = \pm 1 i спiвпадають з вiдповiдними значеннями функцiї \sigma n(\theta )
на вiдрiзках
\biggl[
2\pi k
n
,
2\pi (k + 1)
n
\biggr]
. Тодi, ця реалiзацiя за допомогою поворотiв \itO \itk перетворю-
ється в реалiзацiю (10) з сигнатурою \~\sigma = Ok(\sigma ) = (\~\sigma 0, \~\sigma 1, . . . , \~\sigma n - 1), де \~\sigma i = \sigma n - k+i( mod n),
i = 0, 1, . . . , n - 1. Такi сигнатури \sigma i \~\sigma назвемо еквiвалентними вiдносно поворотiв Ok. Та-
ким чином, вся множина сигнатур однакової довжини (тобто реалiзацiй (10)) розпадається на
класи еквiвалентностi вiдносно поворотiв. Реалiзацiї з сигнатурами рiзної довжини, очевидно,
є нееквiвалентними.
Нехай d \in \BbbN 1 \leq d \leq n таке мiнiмальне число, що Od(\sigma ) = \sigma (воно iснує, оскiльки
On(\sigma ) \equiv \sigma ). Таку сигнатуру назвемо d-перiодичною. Тодi неважко переконатися, що:
– d є дiльник n: d| n;
– якщо d \not = d\prime , то d- i d\prime -перiодичнi сигнатури нееквiвалентнi.
Введемо такi позначення:
– Ln — кiлькiсть класiв еквiвалентностi сигнатур довжини n;
– Mn
d — кiлькiсть класiв еквiвалентностi d-перiодичних сигнатур довжини n;
– Nn
d — кiлькiсть рiзних (можливо еквiвалентних) d-перiодичних сигнатур довжиною n.
Оскiльки при поворотах d-перiодична сигнатура \sigma перетворюється в d-перiодичну сигнату-
ру \~\sigma , а також сигнатури \sigma i Ok(\sigma ) рiзнi, якщо k тодi Nn
d = d\itM n
d . Далi, якщо d| n, то, очевидно,
що Nn
d = \itN d
d , i ми маємо
\itL \itn =
\sum
d| n
Mn
d =
\sum
d| n
Nn
d
d
=
\sum
d| n
Pd
d
, де Pd = Nd
d . (12)
(тут i далi мається на увазi сума по всiх дiльниках d числа n). Оскiльки повна кiлькiсть усiх
рiзних сигнатур дорiвнює 2n, то \sum
d| n
Nn
d =
\sum
d| n
Pd = 2n. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI 397
Очевидно, що P1 = 2 (сигнатура \sigma 0 дорiвнює або 1 або - 1). Таким чином, маємо рекурентну
формулу (13) для обчислення Pd, i далi по формулi (12) можна знайти кiлькiсть Ln класiв
еквiвалентностi сигнатур.
Наприклад, якщо n = p є просте число, то P1 + Pp = 2p, тобто Pp = 2p - 2.
Якщо n = p1p2, pi є простi числа, то P1+Pp1+Pp2+Pp1p2 = 2n, тобто Pn = 2n - 2p1 - 2p2+2.
При цьому
\itL \itn =
P1
1
+
Pp1
p1
+
Pp2
p2
+
Pp1p2
p1p2
=
2
1
+
2p1 - 2
p1
+
2p2 - 2
p2
+
2n - 2p1 - 2p2 + 2
p1p2
.
Знайдемо формулу для обчислення величин Ln i Pd. Для цього введемо такi позначення.
Нехай n розкладається на простi числа: n = p\alpha 1
1 p\alpha 2
2 . . . p\alpha s
s , \alpha i > 0. Вважаємо далi, що n i, вiд-
повiдно, числа s, pi i \alpha i фiксованi. Далi позначимо наступнi три вектора: \vec{}\alpha = (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha s),
\vec{}\beta = (\beta 1, \beta 2, . . . , \beta s), де 0 \leq \beta i \leq \alpha i — натуральнi числа, \vec{}\varepsilon = (\varepsilon 1, \varepsilon 2, . . . , \varepsilon s), де \varepsilon i = \{ 0; 1\} .
Можна довести наступну теорему.
Теорема 5. Нехай d = p\beta 1
1 p\beta 2
2 \cdot \cdot \cdot p\beta s
s дiльник числа n, тобто \beta i \leq \alpha i (позначимо, що
\vec{}\beta \leq \vec{}\alpha ). Введемо також такi позначення: \{ \vec{}\gamma \} = p\gamma 11 p\gamma 22 \cdot \cdot \cdot p\gamma ss , | \vec{}\varepsilon | = \varepsilon 1 + \varepsilon 2 + . . . + \varepsilon s. Тодi
виконується наступне спiввiдношення
Pd = P\{ \vec{}\beta \} =
\sum
\vec{}\varepsilon \leq \vec{}\beta
( - 1)| \vec{}\varepsilon | 2\{
\vec{}\beta - \vec{}\varepsilon \} . (14)
Враховуючи формулу (12) маємо, що кiлькiсть класiв еквiвалентностi сигнатур довжини n є
Ln = \itL \{ \vec{}\alpha \} =
\sum
\vec{}\beta \leq \vec{}\alpha
1
\{ \vec{}\beta \}
\sum
\vec{}\varepsilon \leq \vec{}\beta
( - 1)| \vec{}\varepsilon | 2\{
\vec{}\beta - \vec{}\varepsilon \} . (15)
Доведення. Доведемо формулу (14) методом iндукцiї за k = | \vec{}\beta | = \beta 1 + \beta 2 + . . . + \beta s
(s i pi фiксованi). Якщо k = 0, то \{ \vec{}\beta \} = \{ \vec{}0\} = 1 i P1 = 2 (див. вище). З iншого боку
P1 = P\{ \vec{}0\} = ( - 1)02\{ 0\} = 2, тобто формула справедлива. Нехай вона виконується для всiх
l = | \vec{}\beta | \leq k. Нехай | \vec{}\beta | = k + 1. З формули (13) маємо
P\{ \vec{}\beta \} = 2\{
\vec{}\beta \} -
\sum
\vec{}0<\vec{}\gamma \leq \vec{}\beta
P\{ \vec{}\beta - \vec{}\gamma \} , (сумування по \vec{}\gamma ). (16)
Оскiльки | \vec{}\beta - \vec{}\gamma | (14), а права частина спiввiдношення (16) пiд знаком суми складається з
степенiв двiйки 2\{
\vec{}\beta - \vec{}\delta \} , де | \vec{}\delta | > 0.
Порахуємо коефiцiєнт при 2\{
\vec{}\beta - \vec{}\varepsilon \} в правiй частинi (16). Нехай | \vec{}\varepsilon | = l > 0. Тодi з форму-
ли (14) випливає, що така степiнь двiйки входить в склад членiв P\{ \vec{}\beta - \vec{}\varepsilon +\vec{}\delta \} , для яких 0 \leq \vec{}\delta < \vec{}\varepsilon ,
i коефiцiєнт при цiєї ступенi в цьому членi дорiвнює ( - 1)r, де 0 \leq | \vec{}\delta | = r. Перебираючи всi
можливi вектори \vec{}\delta , з формули (16) знаходимо загальний коефiцiєнт:
-
\sum
0\leq r<l
( - 1)rCr
l = -
\sum
0\leq r\leq l
( - 1)rCr
l + ( - 1)l = - (1 - 1)l + ( - 1)l = ( - 1)| \vec{}\varepsilon | .
Порахуємо коефiцiєнт при 2\{
\vec{}\beta - \vec{}\gamma \} , де для вектора \vec{}\gamma деякий компонент \gamma i > 1, i ненульових
компонентiв буде l. Тодi така степiнь двiйки входить в склад членiв P\{ \vec{}\beta - \vec{}\gamma +\vec{}\varepsilon \} , для яких 0 \leq
\leq \vec{}\varepsilon < \vec{}\gamma , i коефiцiєнт при цiєї степенi в цьому членi дорiвнює ( - 1)r, де 0 \leq | \vec{}\varepsilon | = r \leq l.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
398 С. В. СПIЧАК
Перебираючи всi можливi такi вектори \vec{}\varepsilon , з формули (16) знаходимо загальний коефiцiєнт:
-
\sum
0\leq r\leq l
( - 1)rCr
l = - (1 - 1)l = 0.
Б) Нееквiвалентнi реалiзацiї на колi вiдносно iнверсiй. Тепер розглянемо iнверсiї T кола
вiдносно „вертикальної” осi, тобто перетворення для якого степiнь вiдображення \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} T = - 1,
що \theta \rightarrow \theta \prime = 2\pi - \theta , 0 \leq \theta < 2\pi . Неважко переконатися, що при перетвореннi T реалiзацiя з си-
гнатурою \sigma перетворюється в реалiзацiю з сигнатурою \~\sigma = T (\sigma ) = ( - \sigma n - 1, - \sigma n - 2, . . . , - \sigma 0).
Тодi деякi нееквiвалентнi вiдносно поворотiв \itO \itk сигнатури (i вiдповiдно реалiзацiї алгебр),
якi належать одному iз \itL \itn класiв еквiвалентностi (назвемо її O-еквiвалентнiстю), можуть бу-
ти еквiвалентними вiдносно iнверсiї. Оскiльки має мiсце спiввiдношення \itO \itk T = T\itO - \itk , то
легко показати, що пiд дiєю iнверсiї множина елементiв будь-якого класу O-еквiвалентностi
взаємно-однозначно вiдображається в множину елементiв деякого класу O-еквiвалентностi.
Таким чином, кiлькiсть класiв еквiвалентностi вiдносно перетворень \itO \itk i T менша нiж \itL \itn .
Позначимо число \itK n як кiлькiсть таких класiв. Має мiсце наступна теорема.
Теорема 6. Множина реалiзацiй алгебри A2.2 (або sl(2,\BbbR ) \supset A2.2) векторних полiв на
колi, для яких векторне поле W (базисний елемент алгебри — див. (1)) має n особливих то-
чок, розпадається на класи еквiвалентностi вiдносно множини перетворень \scrF кола на себе.
Кiлькiсть \itK n таких класiв є наступним:
а) якщо n є непарне число, то \itK n =
Ln
2
;
б) якщо n є парне число, то \itK n =
Ln + In
2
, де In — кiлькiсть таких класiв еквiвалентно-
стi вiдносно перетворень \itO \itk , елементи яких мають сигнатури з однаковим числом позитивних
i негативних компонент \sigma i, i якi iнварiантнi вiдносно iнверсiї T. Якщо n = 2k, то In = 2k - 1.
Доведення. а) Нехай n = 2k - 1. Вся множина представникiв класiв еквiвалентностi
вiдносно поворотiв \itO \itk дiлиться на два пiдмножини: з сигнатурами, у яких кiлькiсть додатних
компонент бiльш нiж вiд’ємних, i у яких вона менше. Перетворення iнверсiї T встановлює
взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж цими пiдмножинами: кожен елемент однiєї пiдмножини
перетворюється iнверсiєю в елемент другої, причому, два рiзних елемента — в два рiзних, що
доводить твердження а).
б) Нехай n = 2k. Оскiльки iнверсiя встановлює вiдображення множини класiв O-еквiвалент-
ностi (вiдносно поворотiв) на себе, то кожен з Ln класiв є такий, що або вiдображається в
iнший, або – в себе. Нехай кiлькiсть таких T -iнварiантних класiв буде In. Тодi, враховую-
чi що T 2 = I (тотожне вiдображення), кiлькiсть класiв еквiвалентностi вiдносно композицiї
поворотiв i iнверсiй дорiвнює \itK n =
Ln - In
2
+ In =
Ln + In
2
. Знайдемо кiлькiсть In.
Нехай деякий клас вiдображається на себе, тобто кожний елемент \sigma задовольняє спiввiд-
ношення T\sigma = \itO \itl \sigma . Тодi l = 2s — парне. Дiйсно, нехай l = 2s + 1. Тодi T\sigma = \itO 2s+1\sigma ,
i зi спiввiдношення \itO kT = T\itO - k випливає, що T\itO s\sigma = \itO 1\itO s\sigma , або T \~\sigma = \itO 1\~\sigma , де \~\sigma =
= \itO s\sigma = (\~\sigma 0, \~\sigma 1, . . . , \~\sigma 2k - 1) — представник того ж класу. Оскiльки T \~\sigma = ( - \~\sigma 2k - 1, . . .),
\itO 1 \~\sigma = (\~\sigma 2k - 1, . . .), отримуємо суперечнiсть. Отже, T\sigma = \itO 2s\sigma , i T \~\sigma = \~\sigma , де \~\sigma = \itO s\sigma .
Такi сигнатури назвемо T -iнварiантними. Тобто представником кожного T -iнварiантного класу
можна вибрати T -iнварiантну сигнатуру. Очевидно, така сигнатура має вигляд \sigma = (\alpha , T\alpha ),
де \alpha — сигнатура довжиною k =
n
2
. Перебираючи всi можливi \alpha , отримаємо всю множи-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
КЛАСИФIКАЦIЯ РЕАЛIЗАЦIЙ АЛГЕБР ЛI ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ НА КОЛI 399
ну M T -iнварiантних сигнатур. Очевидно, їх кiлькiсть 2k. Якi серед них еквiвалентнi вiдносно
поворотiв?
Множину M можна описати iншим способом. Нехай \sigma — d-перiодична. Тодi d = 2l,
де l — дiльник k. Дiйсно, \sigma = T\sigma = \itO \itd \sigma , i, як показано вище d — парне. Вся множина
M розбивається на пiдмножини сигнатур рiзної перiодичностi, якi мiж собою нееквiвалентнi.
Нехай сигнатури \sigma = (\beta , T\beta , . . . , \beta , T\beta ), \delta = (\gamma , T\gamma , . . . , \gamma , T\gamma ) — 2l-перiодичнi, де сигнатури
\beta i \gamma довжини l i вони не є T -iнварiантними (iнакше перiод був би менший нiж 2l). Припустимо,
що \sigma i \delta не спiвпадають i еквiвалентнi вiдносно поворотiв: \sigma = \itO - m\delta . Тодi m кратне l.
Дiйсно, нехай m i тодi \itO 2(l - m)\delta = \delta , що суперечить 2l-перiодичнiсть \delta . Так саме m не може
належать iнтервалу l. Звiдси маємо, що \beta = T\gamma i тому вся множина M розбивається на „пари”
еквiвалентних вiдносно поворотiв сигнатур. Таким чином, кiлькiсть нееквiвалентних вiдносно
\itO - i T -перетворень дорiвнює 2k/2 = 2k - 1.
Теореми 5 i 6 завершують повну класифiкацiю реалiзацiй на колi двовимiрної некомутатив-
ної алгебри A2.2 i алгебри sl(2,\BbbR ).
Лiтература
1. S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, 3, Teubner, Leipzig (1893).
2. González-López A., N. Kamran, P. J. Olver, Lie algebras of vector fields in the real plane, Proc. London Math. Soc.,
64, 339 – 368 (1992).
3. I. A. Yehorchenko, Nonlinear representation of the Poincaré algebra and invariant equations, Symmetry Anal. Equat.
Math. Phys., Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, Kyiv, 62 – 66 (1992).
4. R. Z. Zhdanov, V. I. Lahno, W. I. Fushchych, On covariant realizations of the Euclid group, Comm. Math. Phys.,
212, 535 – 556 (2000).
5. M. Nesterenko, S. Posta, O. Vaneeva, Realizations of Galilei algebras, J. Phys. A: Math. Theor., 49, 115203, 26 pp.
(2016).
6. R. O. Popovych, V. M. Boyko, M. O. Nesterenko, M. W. Lutfullin, Realizations of real low-dimensional Lie algebras,
J. Phys. A: Math. Gen., 36, 7337 – 7360; (2003) arXiv:math-ph/0301029.
7. А. Г. Сергеев, Геометрическое квантование пространств петель, Совр. пробл. математики, 13, МИАН,
Москва, 3 – 294 (2009).
8. М. С. Стригунова, Конечномерные подалгебры в алгебре Ли векторных полей на окружности, Тр. МИАН,
236, 338 – 342 (2002).
9. В. А. Зайцева, В. В. Круглов, А. Г. Сергеев, М. С. Стригунова, К. А. Трушкин, Конечномерные подалгебры в
алгебре Ли векторных полей на окружности, Тр. МИАН, 224, 139 – 151 (1999).
10. S. V. Spichak, Preliminary classification of realizations of two-dimensional Lie algebras of vector fields on a circle,
Group analysis of differential equations and integrable systems, 212 – 218, Department of Mathematics and Statistics,
University of Cyprus, Nicosia, 2013.
11. Э. Прессли, Г. Сигал, Группы петель, Мир, Москва (1990).
12. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения, Наука, Москва
(1986).
13. В. I. Лагно, С. В. Спiчак, В. I. Стогнiй, Симетрiйний аналiз рiвнянь еволюцiйного типу, Працi Iнституту
математики НАН України. Математика та її застосування, Київ (2002).
14. В. B. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Москва: Гос. изд-во тех.-теорет. лит., 1950.
15. Г. М. Мубаракзянов, О разрешимых алгебрах Ли, Изв. высш. учебн. завед. Математика, № 1, 114 – 123 (1963).
16. Г. М. Мубаракзянов, Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка, Изв. высш. учебн.
завед. Математика, № 3, 99 – 106 (1963).
17. Г. М. Мубаракзянов, Классификация разрешимых алгебр Ли шестого порядка с одним ненильпотентным
базисным элементом, Изв. высш. учебн. завед. Математика, № 4, 104 – 116 (1963).
18. P. Turkowski, Solvable Lie algebras of dimension six, J. Math. Phys., 31, № 6, 1344 – 1350 (1990).
19. К. Шевалле, Теория групп Ли, Т. 3. Общая теория алгебр Ли, Изд-во иностр. лит., Москва (1958).
Одержано 17.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6270 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:50Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/f6aac60e5184a7fe6ed19d377d716162.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-62702025-03-31T08:44:52Z Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle Класифікація реалізацій алгебр Лі векторних полів на колі Spichak, S. V. Спічак, С. В. реалізації алгебр Лі, глобальні перетворення еквівалентності realizations of Lie algebras, global equivalence transformations UDC 517.986.5 The realizations of finite-dimensional Lie algebras of smooth tangent vector fields on circle are described.The ``canonical'' realizations of two-dimensional noncommutative algebra, as well as the algebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ are constructed. It is shown that any realization of these algebras by smooth vector fields is reduced to one of a ``canonical'' realization by piecewise-smooth global transformations of circle onto itself.Formulas for calculating the number of non-equivalent realizations are obtained. УДК 517.986.5 Описано реалізації скінченновимірних алгебр Лі векторних полів на колі.Побудовано ,,канонічні'' реалізації двовимірної некомутативної алгебри, а також алгебри $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R).$ Показано, що будь-яка реалізація цих алгебр гладких векторних полів зводиться до однією із ,,канонічних'' за допомогою кусково-гладких глобальних перетворень кола на себе, а також отримано формули для розрахунку кількості нееквівалентних реалізацій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6270 10.37863/umzh.v74i3.6270 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 389-399 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 389-399 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6270/9207 Copyright (c) 2022 Станіслав Спічак |
| spellingShingle | Spichak, S. V. Спічак, С. В. Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title_alt | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle Класифікація реалізацій алгебр Лі векторних полів на колі |
| title_full | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title_fullStr | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title_full_unstemmed | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title_short | Classification of realizations of Lie algebras of vector fields on circle |
| title_sort | classification of realizations of lie algebras of vector fields on circle |
| topic_facet | реалізації алгебр Лі глобальні перетворення еквівалентності realizations of Lie algebras global equivalence transformations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6270 |
| work_keys_str_mv | AT spichaksv classificationofrealizationsofliealgebrasofvectorfieldsoncircle AT spíčaksv classificationofrealizationsofliealgebrasofvectorfieldsoncircle AT spichaksv klasifíkacíârealízacíjalgebrlívektornihpolívnakolí AT spíčaksv klasifíkacíârealízacíjalgebrlívektornihpolívnakolí |