The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures
UDC 512.542 Let $G$ be a $p$-soluble group. Then $G$ has a subnormal series whose factors are $p^{\prime}$-groups or abelian $p$-groups. The smallest number of abelian $p$-factors of all such subnormal series of~$G$ is called the derived $p$-length of $G.$  A subgroup&a...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/629 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507061774712832 |
|---|---|
| author | Trofimuk, A. A. Gritsuk , D. V. Трофимчук, А. А. Грицук, Д. В. Трофімчук, О.О. Грицук, Д. В. |
| author_facet | Trofimuk, A. A. Gritsuk , D. V. Трофимчук, А. А. Грицук, Д. В. Трофімчук, О.О. Грицук, Д. В. |
| author_sort | Trofimuk, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-10-25T09:22:54Z |
| description | UDC 512.542
Let $G$ be a $p$-soluble group. Then $G$ has a subnormal series whose factors are $p^{\prime}$-groups or abelian $p$-groups. The smallest number of abelian $p$-factors of all such subnormal series of~$G$ is called the derived $p$-length of $G.$  A subgroup  $H$ of a group $G$ is called Fitting if $H\leq F (G) .$  A functional dependence of the estimate of the derived $p$-length of a $p$-soluble group on the value of the indexes of Fitting $p$-subgroups in its normal closures is established. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i3.629 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
Д. В. Грицук (Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина, Беларусь),
А. А. Трофимук (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
ПРОИЗВОДНАЯ \bfitp -ДЛИНА \bfitp -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ
С ОГРАНИЧЕННЫМИ ИНДЕКСАМИ ФИТТИНГОВЫХ \bfitp -ПОДГРУПП
В СВОИХ НОРМАЛЬНЫХ ЗАМЫКАНИЯХ*
Let G be a p-soluble group. Then G has a subnormal series whose factors are p\prime -groups or abelian p-groups. The smallest
number of abelian p-factors of all such subnormal series of G is called the derived p-length of G. A subgroup H of a
group G is called Fitting if H \leq F (G). A functional dependence of the estimate of the derived p-length of a p-soluble
group on the value of the indexes of Fitting p-subgroups in its normal closures is established.
Нехай G — p-розв’язна група. Тодi G має субнормальний ряд, фактори якого або p\prime -групи, або абелевi p-групи.
Найменша кiлькiсть абелевих p-факторiв серед усiх таких субнормальних рядiв групи G називається похiдною
p-довжиною p-розв’язної групи. Пiдгрупа H групи G називається фiттiнговою, якщо H \leq F (G). Тут F (G) —
пiдгрупа Фiттiнга групи G. Встановлено функцiональну залежнiсть оцiнки похiдної p-довжини p-розв’язної групи
вiд величини iндексiв фiттiнгових p-пiдгруп у своїх нормальних замиканнях.
1. Введение. В настоящей статье рассматриваются только конечные группы. Все обозначения
и используемые определения соответствуют [1, 2]. Запись Y \leq X означает, что Y — подгруппа
группы X.
Ряд подгрупп
1 = G0 \leq G1 \leq G2 \leq . . . \leq Gn - 1 \leq Gn = G (1)
называется субнормальным, если для любого i подгруппа Gi нормальна в Gi+1. Фактор-группы
Gi+1/Gi называются факторами этого ряда.
Пусть p — простое число. Если порядок группы G является степенью числа p (не делится
на p), то группа G называется p-группой (p\prime -группой).
В 2006 г. В. С. Монахов [3] предложил следующее определение.
Пусть G — p-разрешимая группа. Тогда она имеет субнормальный ряд, факторы которо-
го являются либо p\prime -группами, либо абелевыми p-группами. Наименьшее число абелевых p-
факторов среди всех таких субнормальных рядов группы G называется производной p-длиной
p-разрешимой группы G и обозначается через lap(G). Если G — p-группа, то производная
p-длина группы G совпадает с ее производной длиной. Ясно, что lp(G) \leq lap(G) для произ-
вольной p-разрешимой группы G. Здесь lp(G) — p-длина p-разрешимой группы G.
Оценки производной p-длины p-разрешимой группы при заданных ограничениях на силов-
ские p-подгруппы получены в [4 – 8].
Если H и K — такие нормальные подгруппы в G, что H \leq K и H/K — минимальная
нормальная подгруппа фактор-группы G/K, то H/K называется главным фактором группы G.
Главный фактор H/K называется фиттинговым, если подгруппа H содержится в подгруппе
Фиттинга F (G) группы G. По аналогии подгруппу A группы G будем называть фиттинговой,
если A \leq F (G).
* Выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследова-
ний (проект № Ф17М-063).
c\bigcirc Д. В. ГРИЦУК, А. А. ТРОФИМУК, 2020
366 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ПРОИЗВОДНАЯ p-ДЛИНА p-РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ИНДЕКСАМИ . . . 367
Гашюц [9] доказал, что в разрешимой группе главный фактор наибольшего порядка является
фиттинговым. Верхние границы инвариантов разрешимой группы (производной длины, ниль-
потентной длины, p-длины, главного ранга) в зависимости от фиттинговых главных факторов и
фиттинговых подгрупп получены в работах [10 – 14], (см. также библиографию в обзоре [15]).
В работе [14] найдена зависимость ранга, производной длины и p-длины разрешимой груп-
пы от значений функций tFp (G) и tF (G), заданных следующим образом:
tF (G) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
p\in \pi (G)
tFp (G), где tFp (G) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n | pn\top | HG : H| , H \leq F (G)\} .
Здесь запись pn\top | HG : H| означает, что pn делит | HG : H| , а pn+1 не делит | HG : H| ; HG —
нормальное замыкание подгруппы H в группе G, т.е. наименьшая нормальная подгруппа
группы G, содержащая H; \pi (G) — множество всех простых делителей порядка группы G. Если
tF (G) = 0, то в группе G порядки всех фиттинговых главных факторов являются простыми
числами и по теореме Бэра [17] группа G будет сверхразрешимой.
Хупперт [16], Бэр [17] и Я. Г. Беркович [18] исследовали группы, у которых порядки фит-
тинговых главных факторов не делятся на кубы простых чисел.
В настоящей статье результаты работы [14] распространены на p-разрешимый случай.
Пусть p — простое число и G — p-разрешимая группа. Введем функцию
fp(G) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n | pn\top | HG : H| , H \vartriangleleft \vartriangleleft G и H \leq Fp(G)\} .
Здесь Fp(G) — наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, а запись H \vartriangleleft \vartriangleleft
G означает, что H — субнормальная подгруппа группы G.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть G — p-разрешимая группа. Тогда:
1) lap(G/\Phi (G)) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 6
4
, если p \not \in \{ 2, 3\} ;
2) lap(G/\Phi (G)) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 8
4
, если p \in \{ 2, 3\} .
2. Вспомогательные результаты. Через \Phi (G) обозначим подгруппу Фраттини группы G;
Op(G) и Op\prime (G) — наибольшие нормальные в G p- и p\prime -подгруппы соответственно.
Напомним некоторые свойства производной p-длины p-разрешимой группы.
Лемма 1 ([4], лемма 1-2). Пусть G — p-разрешимая группа. Тогда:
1) если H — подгруппа группы G, то lap(H) \leq lap(G);
2) если N — нормальная подгруппа группы G, то lap(G/N) \leq lap(G) и lap(G) \leq lap(G/N) +
+ lap(N);
3) если N — нормальная p\prime -подгруппа группы G, то lap(G/N) = lap(G);
4) если G и V — p-разрешимые группы, то lap(G\times V ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ lap(G), lap(V )\} ;
5) если N1 и N2 — нормальные подгруппы в G, то
lap(G/(N1 \cap N2)) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ lap(G/N1), l
a
p(G/N2)\} ;
6) lp(G) \leq lap(G).
Лемма 2. Пусть G — p-разрешимая группа. Тогда:
1) Fp(G/\Phi (G)) = Fp(G)/\Phi (G);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
368 Д. В. ГРИЦУК, А. А. ТРОФИМУК
2) Fp(G/Op\prime (G)) = Fp(G)/Op\prime (G);
3) CG(Fp(G)) \leq Fp(G).
Доказательство. 1. Первое утверждение следует из [19] (9.3.4).
2. Пусть Fp(G/Op\prime (G)) = S/Op\prime (G). Поскольку S/Op\prime (G) — p-нильпотентна, то p\prime -холлова
подгруппа (S/Op\prime (G))p\prime = Sp\prime /Op\prime (G) нормальна в группе G/Op\prime (G), где Sp\prime — p\prime -холлова
подгруппа группы S. Поэтому Sp\prime нормальна в G, а значит, нормальна в S. Поэтому S —
p-нильпотентная подгруппа и S \leq Fp(G). Тогда
Fp(G/Op\prime (G)) \leq Fp(G)/Op\prime (G).
Обратное включение очевидно.
3. Третье утверждение следует из леммы 1.8.19 [20].
Лемма 3. Пусть G — p-разрешимая группа. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если N — p\prime -подгруппа группы G, то fp(G/N) \leq fp(G);
2) fp(G/\Phi (G)) \leq fp(G);
3) если N — минимальная нормальная подгруппа группы G порядка pn, то n \leq 1 + fp(G).
Доказательство. 1. Пусть H/N — субнормальная подгруппа в G/N такая, что H/N \leq
\leq Fp(G/N) и pfp(G/N)\top | (H/N)G/N : H/N | . Так как
| (H/N)G/N : H/N | = | HG : H| ,
то pfp(G/N) делит | HG : H| . Из леммы 2(2) следует, что H \leq Fp(G). Поскольку H субнор-
мальна в G, то fp(G/N) \leq fp(G).
2. Пусть H/\Phi (G) — субнормальная подгруппа в G/\Phi (G) такая, что H/\Phi (G) \leq Fp(G/\Phi (G))
и
pfp(G/\Phi (G))\top | (H/\Phi (G))G/\Phi (G) : H/\Phi (G)| .
Так как | (H/\Phi (G))G/\Phi (G) : H/\Phi (G)| = | HG : H| , то pfp(G/\Phi (G)) делит | HG : H| . Из леммы 2(1)
следует, что H \leq Fp(G). Поскольку H субнормальна в G, то fp(G/\Phi (G)) \leq fp(G).
3. Пусть H — подгруппа простого порядка p в N. Поскольку N — нормальная p-подгруппа,
то H субнормальна в G, H \leq Fp(G) и p1+fp(G) не делит | HG : H| . Так как N — минимальная
нормальная подгруппа, то N = HG и | HG : H| = pn - 1. Поэтому 1 + fp(G) > n - 1 или
n \leq 1 + fp(G).
Лемма 4 ([8], теорема 3.1). Пусть G — p-разрешимая группа с силовской p-подгруппой
порядка pn. Если p /\in \{ 2, 3\} , то lap(G) \leq n+ 1
2
. Если p \in \{ 2, 3\} , то lap(G) \leq 1 +
n
2
.
Лемма 5 ([4], теорема 2). Пусть G — p-разрешимая группа, Gp — ее силовская p-под-
группа. Если Gp абелева, то lap(G) \leq 1.
3. Доказательство теоремы. Предположим, что \Phi (G) \not = 1. Из леммы 3(2) следует, что
условие теоремы наследует фактор-группа G/\Phi (G). Так как \Phi (G/\Phi (G)) = 1, то по индукции
lap(G/\Phi (G)) = lap((G/\Phi (G))/\Phi (G/\Phi (G)) \leq (fp(G/\Phi (G)))2 + fp(G/\Phi (G)) + 6
4
\leq
\leq (fp(G))2 + fp(G) + 6
4
,
если p \not \in \{ 2, 3\} , и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ПРОИЗВОДНАЯ p-ДЛИНА p-РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ИНДЕКСАМИ . . . 369
lap(G/\Phi (G)) = lap((G/\Phi (G))/\Phi (G/\Phi (G)) \leq (fp(G/\Phi (G)))2 + fp(G/\Phi (G)) + 8
4
\leq
\leq (fp(G))2 + fp(G) + 8
4
,
если p \in \{ 2, 3\} . Поэтому в дальнейшем считаем, что \Phi (G) = 1.
Предположим, что Op\prime (G) \not = 1. Из леммы 3(1) следует, что условие теоремы наследует
фактор-группа G/Op\prime (G). Тогда по индукции
lap(G) = lap(G/Op\prime (G)) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 6
4
,
если p \not \in \{ 2, 3\} , и
lap(G) = lap(G/Op\prime (G)) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 8
4
,
если p \in \{ 2, 3\} . Поэтому в дальнейшем считаем, что Op\prime (G) = 1.
Таким образом, Fp(G) = F (G) = Op(G) и по лемме 3(3) CG(Fp(G)) \leq Fp(G). Кроме
того, F = Fp(G) является прямым произведением минимальных нормальных p-подгрупп Ni,
1 \leq i \leq k, группы G. Значит, Fp(G) абелева и CG(Fp(G)) = Fp(G). Очевидно, что для
каждого Ni фактор-группа G/CG(Ni) изоморфна неприводимой подгруппе группы автомор-
физмов AutNi. По лемме 2.33 [1] фактор-группа G/
k\bigcap
i=1
CG(Ni) изоморфна подгруппе прямого
произведения групп G/CG(Ni), 1 \leq i \leq k. Кроме того,
k\bigcap
i=1
CG(Ni) = CG(F ) = F и G/
k\bigcap
i=1
CG(Ni) = G/F.
По лемме 1(5) справедливо
lap(G/F ) = lap
\Biggl(
G/
k\bigcap
i=1
CG(Ni)
\Biggr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
lap(G/CG(N1)), . . . , l
a
p(G/CG(Nk))
\bigr\}
.
Пусть Ni — элементарная абелева p-подгруппа порядка pmi . Тогда mi \leq 1 + fp(G) по
лемме 3(3) и G/CG(Ni) изоморфна подгруппе группы GL(1 + fp(G), p).
Поскольку силовская p-подгруппа группы GL(1 + fp(G), p) имеет порядок pfp(G) . . . p =
= p
(fp(G)+1)fp(G)
2 , то из леммы 4 следует, что
lap(G/CG(Ni)) \leq
(fp(G) + 1)fp(G)
2
+ 1
2
=
(fp(G))2 + fp(G) + 2
4
,
если p \not \in \{ 2, 3\} , и
lap(G/CG(Ni)) \leq 1 +
(fp(G) + 1)fp(G)
2
2
=
(fp(G))2 + fp(G) + 4
4
,
если p \in \{ 2, 3\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
370 Д. В. ГРИЦУК, А. А. ТРОФИМУК
Так как F абелева, то из леммы 5 следует, что
lap(G) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 2
4
+ 1 =
(fp(G))2 + fp(G) + 6
4
,
если p \not \in \{ 2, 3\} , и
lap(G) \leq (fp(G))2 + fp(G) + 4
4
+ 1 =
(fp(G))2 + fp(G) + 8
4
,
если p \in \{ 2, 3\} .
Теорема доказана.
Следствие. Пусть G — p-разрешимая группа, тогда:
1) eсли fp(G) \leq 1, то lap(G/\Phi (G)) \leq 2;
2) eсли fp(G) \leq 2, то lap(G/\Phi (G)) \leq 3.
Литература
1. В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышэйш. шк., Минск (2006).
2. B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer, Berlin etc. (1967).
3. М. С. Монахов, Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой, Мат. заметки, 80, № 4, 573 – 581
(2006).
4. Д. В. Грицук, В. С. Монахов, О. А. Шпырко, О производной \pi -длине \pi -разрешимой группы, Вестн. Белорус.
гос. ун-та. Сер. 1, № 3, 90 – 95 (2012).
5. Д. В. Грицук, В. С. Монахов, О разрешимых группах, силовские подгруппы которых абелевы или экстраспе-
циальны, Труды Ин-та математики НАН Беларуси, 20, № 2, 3 – 9 (2012).
6. Д. В. Грицук, В. С. Монахов, О. А. Шпырко, О конечных \pi -разрешимых группах с бициклическими силовскими
подгруппами, Проблемы физики, математики и техники, 15, № 1, 61 – 66 (2013).
7. Д. В. Грицук, Производная \pi -длина \pi -разрешимой группы, силовские p-подгруппы которой либо бицикличе-
ские, либо имеют порядок p3, Проблемы физики, математики и техники, 19, № 2, 54 – 58 (2014).
8. Д. В. Грицук, Зависимость производной p-длины p-разрешимой группы от порядка ее силовской p-подгруппы,
Проблемы физики, математики и техники, 20, № 3, 58 – 60 (2014).
9. W. Gashutz, Existenz und Konjugiertsein von Untergruppen, die in endlichen auflosbaren Gruppen durch gewisse
Indexschranken definiert sind, J. Algebra, 53, № 2, 389 – 394 (1978).
10. В. С. Монахов, К теореме Хупперта–Шеметкова, Труды Ин-та математики НАН Беларуси, 16, № 1, 64 – 66
(2008).
11. А. А. Трофимук, Производная длина конечных групп с ограничениями на силовские подгруппы, Мат. заметки,
№ 87, 287 – 293 (2010).
12. А. А. Трофимук, Конечные группы с бициклическими силовскими подгруппами в фиттинговых факторах,
Труды Ин-та математики и механики УрО РАН, 19, № 3, 304 – 307 (2013).
13. А. А. Trofimuk, Solvable groups with restrictions on Sylow subgroups of the Fitting subgroup, Asian-Eur. J. Math.,
9, № 2 (2016).
14. А. А. Трофимук, О фиттинговых подгруппах конечной разрешимой группы, Труды Ин-та математики и меха-
ники УрО РАН, 18, № 3, 242 – 246 (2012).
15. V. S. Monakhov, A. A. Trofimuk, Invariants of finite solvable groups, Algebra Discrete Math., 14, № 1, 107 – 131
(2012).
16. B. Huppert, Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen, Math. Z., 60, 409 – 434 (1954).
17. R. Baer, Supersolvable immersion, Can. J. Math., № 11, 353 – 369 (1959).
18. Я. Г. Беркович, О разрешимых группах конечного порядка, Мат. сб., 74(116), № 1, 75 – 92 (1967).
19. D. Robinson, A course in the theory of groups, 2nd ed., Grad. Texts Math., Springer-Verlag, New York (1996).
20. W. Guo, The theory of classes of groups, Sci. Press-Kluwer Acad. Publ., Beijing etc. (2000).
Получено 20.11.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-629 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:20Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/6487ed4d25b63538c3ab1dad116a86f6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6292022-10-25T09:22:54Z The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures Производная $p$- длина $p$ - разрешимой группы с ограниченными индексами фиттинговых $p$- подгрупп в своих нормальных замыканиях Производная $p$- длина $p$ - разрешимой группы с ограниченными индексами фиттинговых $p$- подгрупп в своих нормальных замыканиях Trofimuk, A. A. Gritsuk , D. V. Трофимчук, А. А. Грицук, Д. В. Трофімчук, О.О. Грицук, Д. В. UDC 512.542 Let $G$ be a $p$-soluble group. Then $G$ has a subnormal series whose factors are $p^{\prime}$-groups or abelian $p$-groups. The smallest number of abelian $p$-factors of all such subnormal series of~$G$ is called the derived $p$-length of $G.$  A subgroup  $H$ of a group $G$ is called Fitting if $H\leq F (G) .$  A functional dependence of the estimate of the derived $p$-length of a $p$-soluble group on the value of the indexes of Fitting $p$-subgroups in its normal closures is established. УДК 512.542 Нехай $G$ --- $p$-розв'язна група. Тоді $G$ має субнормальний ряд, фактори якого або $p^{\prime}$-групи, або абелеві $p$-групи. Найменша кількість абелевих $p$-факторів серед усіх таких субнормальних рядів групи $G$ називається похідною $p$-довжиною $p$-розв'язної групи. Підгрупа $H$ групи $G$ називається фіттінговою, якщо $H\leq F(G).$  Тут $F(G)$ --- підгрупа Фіттінга групи $G.$  Встановлено функціональну залежність оцінки похідної $p$-довжини $p$-розв'язної групи від величини індексів фіттінгових $p$-підгруп у своїх нормальних замиканнях. УДК 512.542<br> Нехай $G$ —p-розв’язна група. Тодi $G$ має субнормальний ряд, фактори якого або 4p\prime4-групи, або абелевi -групи. Найменша кiлькiсть абелевихp-факторiв серед усiх таких субнормальних рядiв групи $G$ називається похiдною $p$-довжиноюp-розв’язної групи. Пiдгрупа $H$ групи $G$ називається фiттiнговою, якщо $H \leq F(G)$. Тут $F(G)$—пiдгрупа Фiттiнга групи $G$. Встановлено функцiональну залежнiсть оцiнки похiдної $p$-довжиниp-розв’язної групивiд величини iндексiв фiттiнгових $p$-пiдгруп у своїх нормальних замиканнях. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/629 10.37863/umzh.v72i3.629 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 3 (2020); 366-370 Український математичний журнал; Том 72 № 3 (2020); 366-370 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/629/8668 |
| spellingShingle | Trofimuk, A. A. Gritsuk , D. V. Трофимчук, А. А. Грицук, Д. В. Трофімчук, О.О. Грицук, Д. В. The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title | The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title_alt | Производная $p$- длина $p$ - разрешимой группы с ограниченными индексами фиттинговых $p$- подгрупп в своих нормальных замыканиях Производная $p$- длина $p$ - разрешимой группы с ограниченными индексами фиттинговых $p$- подгрупп в своих нормальных замыканиях |
| title_full | The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title_fullStr | The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title_full_unstemmed | The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title_short | The derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of Fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| title_sort | derived $p$-length of a $p$-solvable group with bounded indices of fitting $p$-subgroups in its normal closures |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/629 |
| work_keys_str_mv | AT trofimukaa thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gritsukdv thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT trofimčukaa thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gricukdv thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT trofímčukoo thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gricukdv thederivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT trofimukaa proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT gritsukdv proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT trofimčukaa proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT gricukdv proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT trofímčukoo proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT gricukdv proizvodnaâpdlinaprazrešimojgruppysograničennymiindeksamifittingovyhppodgruppvsvoihnormalʹnyhzamykaniâh AT trofimukaa derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gritsukdv derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT trofimčukaa derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gricukdv derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT trofímčukoo derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures AT gricukdv derivedplengthofapsolvablegroupwithboundedindicesoffittingpsubgroupsinitsnormalclosures |