Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane
UDC 517.5 We study Bernstein-type and Nikolskii-type estimates for arbitrary algebraic polynomial in regions of the complex plane.  
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6306 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512324932075520 |
|---|---|
| author | Аbdullayev, F. G. Gün , C. D. Аbdullayev, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. Абдуллаєв, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. |
| author_facet | Аbdullayev, F. G. Gün , C. D. Аbdullayev, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. Абдуллаєв, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. |
| author_sort | Аbdullayev, F. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:15Z |
| description | UDC 517.5
We study Bernstein-type and Nikolskii-type estimates for arbitrary algebraic polynomial in regions of the complex plane.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i4.6306 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i4.6306
УДК 517.5
Ф. Г. Абдуллаєв (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бiшкек, Киргизстан; Унiверситет Мерсiна, Туреччина),
Д. Д. Гюнь (Унiверситет Газiантепа, Туреччина)
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО
ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ У ПРОСТОРI БЕРГМАНА
В ОБЛАСТЯХ КОМПЛЕКСНОЇ ПЛОЩИНИ
We study Bernstein-type and Nikolskii-type estimates for arbitrary algebraic polynomial in regions of the complex plane.
Вивчаються оцiнки типу Бернштейна та Нiкольського для довiльного алгебраїчного полiнома в областях комплексної
площини.
1. Вступ. Нехай \BbbC — комплексна площина, \BbbC := \BbbC \cup \{ \infty \} i G \subset \BbbC — обмежена жорданова
область з межею L := \partial G така, що 0 \in G; \Omega := \BbbC \setminus G = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}L, \Delta := \Delta (0, 1) :=
\bigl\{
w :
| w| > 1
\bigr\}
. Нехай w = \Phi (z) — однолисте конформне вiдображення \Omega на \Delta таке, що \Phi (\infty ) = \infty
i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow \infty
\Phi (z)
z
> 0; \Psi := \Phi - 1. Для довiльного R > 1 позначаємо LR :=
\bigl\{
z : | \Phi (z)| = R
\bigr\}
,
GR := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}LR i \Omega R := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}LR. Нехай також \wp n — клас усiх алгебраїчних полiномiв Pn(z)
порядку не вищого за n \in \BbbN .
У роботi розглядається вагова функцiя h(z), яка визначається таким чином. Нехай \{ zj\} sj=1 —
фiксована система рiзних точок на кривiй L. Для деякого фiксованого R0, 1 < R0 < \infty ,
розглянемо узагальнену вагову функцiю Якобi h(z):
h(z) :=
s\prod
j=1
\bigm| \bigm| z - zj
\bigm| \bigm| \gamma j , z \in GR0 , (1.1)
де \gamma j > - 2 при всiх j = 1, 2, . . . , s.
Нехай, далi, 0 < p \leq \infty i \sigma — двовимiрна мiра Лебега. Для жорданової областi G покла-
даємо
\| Pn\| p := \| Pn\| Ap(h,G) :=
\left( \int \int
G
h(z)
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| pd\sigma z
\right) 1/p
, 0 < p <\infty ,
\| Pn\| \infty := \| Pn\| A\infty (1,G) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| , p = \infty ,
i Ap(1, G) := Ap(G).
В роботi вивчаються нерiвностi\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
X
\leq \lambda n(G, h, p)\| Pn\| Y (1.2)
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4 439
440 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
типу Бернштейна (X = Y = A\infty ), Маркова (X = Y = Ap, p > 0) та Нiкольського (m = 0;
X = Aq, Y = Ap, 0 < p < q < \infty ) у просторах Бергмана для всiх полiномiв Pn \in \wp n i
будь-яких m = 0, 1, 2, . . . , де \lambda n := \lambda n(G, h, p,m) > 0, \lambda n \rightarrow \infty , n\rightarrow \infty , — стала, яка, взагалi
кажучи, залежить вiд геометричних властивостей областi G та вагової функцiї h.
Нерiвностi типу (1.2) вивчаються математиками з початку двадцятого столiття [22, 23, 38]. В
останнi роки такi нерiвностi для рiзних просторiв розглядались, зокрема, в роботах [34, с. 122 –
133], [32] (розд. 5.3), [27, с. 418 – 428], [4 – 6, 18, 20, 25, 26, 31, 33, 37] (див. також наведену в
них бiблiографiю).
У данiй роботi ми продовжуємо вивчення оцiнок типу (1.2) для квазiкругiв та вагової
функцiї h(z), визначеної в (1.1), яке було розпочате в роботах [2 – 6, 8, 9, 11, 12, 19, 21] для
рiзних областей в комплекснiй площинi.
2. Означення та основнi результати. Скрiзь у роботi c, c0, c1, c2, . . . та \varepsilon 0, \varepsilon 1, \varepsilon 2, . . . —
вiдповiдно додатнi та достатньо малi додатнi сталi (взагалi кажучи, рiзнi у рiзних спiввiдно-
шеннях), якi залежать вiд G та вiд параметрiв, несуттєвих для аргументу, в iншому випадку
про таку залежнiсть буде чiтко зазначено. Для довiльних k \geq 0 та m > k запис i = k,m
означає, що i = k, k + 1, . . . ,m. Нехай функцiя \varphi вiдображає G конформно та однолисто на
B := B(0, 1) :=
\bigl\{
w : | w| < 1
\bigr\}
, нормована спiввiдношеннями \varphi (0) = 0, \varphi \prime (0) > 0 i \psi := \varphi - 1.
Означення 2.1. Обмежена жорданова область G називається k-квазiкругом, 0 \leq k <
< 1, якщо будь-яке конформне вiдображення \psi можна продовжити до K -квазiконформного,
K =
1 + k
1 - k
, гомеоморфiзму площини \BbbC на \BbbC . В цьому випадку крива L : = \partial G називається
K -квазiколом. Область G (крива L) називається квазiкругом (квазiколом), якщо вона є k-
квазiкругом (k-квазiколом) при деякому 0 \leq k < 1.
Простим прикладом k-квазiкруга може бути довiльна область, обмежена двома дугами кола,
симетрична вiдносно осей OX та OY, така, що кожна з дуг перетинає вiсь OX у точках \pm \varepsilon 0,
де \varepsilon 0 > 0 i кут мiж дугами дорiвнює \pi (1 - k), 0 \leq k < 1.
Жорданова крива L називається квазiколом або квазiконформною кривою, якщо вона є
образом одиничного кола при квазiконформному вiдображеннi \BbbC на \BbbC (див. [29, с. 105; 35,
с. 286]). З iншого боку, сформульовано також геометричнi критерiї квазiконформностi кривих
(див. [14, с. 81; 36, с. 107; 30, с. 341]). Наведемо деякi з них.
Нехай z1, z2 — довiльнi точки на L i L(z1, z2) — пiддуга L коротшого дiаметра з кiнцями
z1 та z2. Леслi [30, с. 341] визначив криву L як „c-квазiконформну”, якщо для всiх z1, z2 \in L
та z \in L(z1, z2) iснує стала c = c(L), незалежна вiд точок z1, z2 i z, така, що
| z1 - z| + | z - z2|
| z1 - z2|
\leq c. (2.1)
Простим прикладом c-квазiконформної кривої може бути багатокутник, у якого найменший
внутрiшнiй чи зовнiшнiй вiдкритий кут дорiвнює 2 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(1/c). Вiдомо, що квазiколо може
бути неспрямлюваним (див., наприклад, [24; 29, с. 104]).
Наведемо теорему, яку будемо використовувати в роботi.
Теорема А ([12], теорема 2.1). Нехай p > 0, G — довiльний k-квазiкруг при деякому 0 \leq
\leq k < 1 i h(z) — функцiя, визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n, n \in N, маємо
\| Pn\| \infty \leq cn
(2+\gamma )(1+k)
p \| Pn\| p. (2.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 441
Тут i далi
\gamma : = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
0; \gamma j , j = 1, s
\bigr\}
. (2.3)
Сформулюємо новi результати.
Теорема 2.1. Нехай 0 < p \leq \infty , G — довiльний k-квазiкруг при деякому 0 \leq k < 1 i h(z) —
функцiя, визначена в (1.1). Тодi для будь-якого Pn \in \wp n, n \in \BbbN , при кожному m = 0, 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq c1n
\Bigl(
2+\gamma
p
+m
\Bigr)
(1+k)\| Pn\| p. (2.4)
Наслiдок 2.1. Нехай G — довiльний k-квазiкруг при деякому 0 \leq k < 1. Тодi для довiльного
Pn \in \wp n, n \in \BbbN , при кожному m = 1, 2, . . .\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq c1n
m(1+k)\| Pn\| \infty . (2.5)
Нехай величина p(k), 1 \leq p(k) \leq 2, така, що p(k) \rightarrow 1 при k \rightarrow 0 i p(k) \rightarrow 2 при k \rightarrow 1.
Теорема 2.2. Нехай p > p(k) \geq 1, G — k-квазiкруг при деякому 0 \leq k < 1 i h(z) —
функцiя, визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n при кожному m = 0, 1, 2, . . .\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\leq c2n
m(1+k)\| Pn\| p. (2.6)
Наслiдок 2.2. 1. Якщо G = B або L = \partial G є аналiтичною кривою, то p(k) = 1.
2. Якщо L є гладкою кривою з дотичною, яка змiнюється неперервно, то p(k) = 1 + \varepsilon для
довiльного малого \varepsilon > 0.
Отже, для таких областей теорема 2.2 справджується при будь-якому p > 1.
Теорема 2.3. Нехай G — довiльний k-квазiкруг при деякому 0 \leq k < 1 i h(z) — функцiя,
визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n, 0 < p \leq q <\infty , при кожному m = 0, 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
q
\leq c3n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
(2+\gamma )(1+k)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
, (2.7)
де число \gamma визначається спiввiдношенням (2.3).
Зауваження 2.1. Для деяких областей i вагової функцiї h(z) твердження, подiбнi до тео-
рем 2.1 – 2.3, були отриманi ранiше:
теорема 2.1 у роботi [28] при m > 0, h(z) \equiv 1, 0 < p < 1; в [7] (теорема 5.1) при m = 0,
h(z) \equiv 1, p > 1; в [8] (теорема 1) при m > 0, h(z) \equiv 1, p > 1 i в роботi [12] при m = 0, p > 0;
теорема 2.2 в роботi [8] (теорема 1) при m > 0, h(z) \equiv 1, p \geq 2; в [20] при m = 0,
h(z) \equiv 1 i Pn(z) \not = 0, z \in G1+ 1
n
;
теорема 2.3 в роботi [8] (теорема 1) при m = 0, h(z) \equiv 1; в [20] при m = 0, h(z) \equiv 1,
1 \leq p \leq q <\infty i Pn(z) \not = 0, z \in G1+ 1
n
з нормою \| Pn\| A2
\bigl(
h,G
1+ 1
n
\bigr) у правiй частинi (2.7); у [37]
(теорема 1.3) при m = 0, h(z) \equiv 1, 0 < p \leq q <\infty .
Зауваження 2.2. У випадку p = \infty та m = 1 теорему 2.1 доведено в [15]. У данiй роботi
ми пропонуємо iнше доведення цього твердження.
З умов теорем 2.1 – 2.3 видно, що цi твердження справджуються для k-квазiкруга з довiль-
ним 0 \leq k < 1. Проте не для всiх областей можна легко обчислити коефiцiєнт квазiконформнос-
тi k. Тому визначають також бiльш загальнi класи областей з iншою характеристикою. Одним
iз них є наступний.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
442 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
Означення 2.2. Кажуть, що L = \partial G \in Q\alpha , 0 < \alpha \leq 1, якщо L є квазiколом i \Phi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha ,
z \in \Omega .
Зазначимо, що клас Q\alpha є достатньо широким. Бiльш детальна iнформацiя щодо цього та
iнших пов’язаних iз ним фактiв мiститься в роботах [30, 36, 39] (див. також наведену в них
бiблiографiю). Розглянемо лише деякi випадки.
Зауваження 2.3. 1. Якщо L — Дiнi-гладка крива [36, с. 48], то L \in Q1.
2. Якщо L — кусково-Дiнi-гладка крива i найбiльший зовнiшнiй кут \alpha \pi , 0 < \alpha \leq 1, на L є
вiдкритим [36, с. 52], то L \in Q\alpha .
3. Якщо L — гладка крива, яка має неперервну дотичну, то L \in Q\alpha при всiх 0 < \alpha < 1.
4. Якщо G є „L-подiбною” областю, то \Phi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}
2
3
,\Psi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}
1
2
.
5. Якщо L — квазiгладка (за Лаврентьєвим) крива (тобто для кожної пари z1, z2 \in L iснує
така стала c > 1, що s(z1, z2) \leq c| z1 - z2| ), то \Phi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha при \alpha =
\pi
2
\biggl(
\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
1
c
\biggr) i \Psi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\beta
для \beta =
2
(1 + c)2
, де s(z1, z2) — довжина найменшої дуги, яка сполучає точки z1 та z2 на L
[39, 40].
6. Якщо L є c-квазiконформною, то \Phi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha при \alpha =
\pi
2
\biggl(
\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
1
c
\biggr) i \Psi \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\beta при
\beta =
2
\biggl(
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
1
c
\biggr) 2
\pi
\biggl(
\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
1
c
\biggr) .
Сформулюємо тепер вiдповiднi результати для класу областей G \in Q\alpha . Наведемо спочатку
ще одну теорему, яку будемо використовувати в цьому випадку.
Теорема B ([12], теорема 2.3). Нехай p > 0, L \in Q\alpha при деякому
1
2
\leq \alpha \leq 1 i h(z) —
функцiя, визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n, n \in N, маємо
\| Pn\| \infty \leq c\| Pn\| p
\left\{
n
(2+\gamma )\delta
p , \alpha <
1
2
,
n
2+\gamma
\alpha p , \alpha \geq 1
2
.
(2.8)
Тут i далi \delta = \delta (G) — деяке число, 1 \leq \delta \leq 2.
Теорема 2.4. Нехай 0 < p \leq \infty , L \in Q\alpha при деякому 0 < \alpha \leq 1 i h(z) — функцiя,
визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n, n \in \BbbN , при кожному m = 0, 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq c4\| Pn\| p
\left\{
n
\delta
\bigl(
2+\gamma
p
+m
\bigr)
, \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
\bigl(
2+\gamma
p
+m
\bigr)
, \alpha \geq 1
2
.
(2.9)
Наслiдок 2.3. Нехай L \in Q\alpha при деякому 0 < \alpha \leq 1. Тодi для довiльного Pn \in \wp n, n \in \BbbN ,
при кожному m = 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq c5\| Pn\| \infty
\left\{
n\delta (m+1), \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
(m+1), \alpha \geq 1
2
.
(2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 443
Теорема 2.5. Припустимо, що число p бiльше за деяке число p(G), 1 \leq p(G) \leq 2, L \in Q\alpha
при деякому 0 < \alpha \leq 1 i h(z) — функцiя, визначена в (1.1). Тодi для довiльного Pn \in \wp n при
кожному m = 0, 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\leq c6\| Pn\| p
\left\{
n\delta m, \alpha <
1
2
,
n
m
\alpha , \alpha \geq 1
2
.
(2.11)
Теорема 2.6. Нехай L \in Q\alpha при деякому 0 < \alpha \leq 1 i h(z) — функцiя, визначена в (1.1).
Тодi для довiльного Pn \in \wp n, 0 < p \leq q <\infty , при кожному m = 0, 1, 2, . . .
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
q
\leq c7
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\left\{
n
\delta
\bigl(
1
p
- 1
q
\bigr)
(2+\gamma )
, \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
\bigl(
1
p
- 1
q
\bigr)
(2+\gamma )
, \alpha \geq 1
2
.
(2.12)
Теореми 2.4 – 2.6 є аналогами теорем 2.1 – 2.3 для бiльш широкого класу областей. Тому
зауваження 2.1 справджується i для них. Крiм цього, з огляду на зауваження 2.3 можна записати
аналоги цих теорем для iнших, простiших областей.
2.1. Точнiсть оцiнок. Точнiсть оцiнок (2.4) – (2.7) (також (2.9) – (2.12)) можна встановити,
порiвнявши їх з наступним результатом.
Зауваження 2.4. Для довiльного n \in \BbbN iснує полiном Tn \in \wp n такий, що для одиничного
круга B i вагової функцiї h(z) = 1 справджуються оцiнки
\| T \prime
n\| \infty \geq c6n\| Tn\| \infty ,
\| T \prime
n\| \infty \geq c6n
2\| Tn\| A2(B),
\| T \prime
n\| A2(B) \geq c6n\| Tn\| A2(B).
Зауваження 2.5. Точнiсть оцiнки в наслiдку 2.1 при m = 1 випливає з теореми 3 [15].
Випадок m > 1 доводиться послiдовним застосуванням цього факту.
3. Деякi допомiжнi результати. Скрiзь у роботi пiд позначеннями a \preceq b та a \asymp b ро-
зумiємо, що для деяких додатних сталих c, c1, c2 виконуються спiввiдношення a \leq cb i
c1a \leq b \leq c2a.
Нехай G — довiльний квазiкруг. Тодi iснує регулярне K1-вiдбиття y(\cdot ) вздовж L таке, що
y(G) = \Omega , y(\Omega ) = G i y(\cdot ) фiксує точки L та задовольняє такi умови [17, с. 26] :\bigm| \bigm| y(\zeta ) - z
\bigm| \bigm| \asymp | \zeta - z| , z \in L, \varepsilon < | \zeta | < 1
\varepsilon
,
| y\zeta | \asymp | y\zeta | \asymp 1, \varepsilon < | \zeta | < 1
\varepsilon
, (3.1)
| y\zeta | \asymp
\bigm| \bigm| y(\zeta )\bigm| \bigm| 2, | \zeta | < \varepsilon , | y\zeta | \asymp | \zeta | - 2, | \zeta | > 1
\varepsilon
.
При R > 1 позначаємо L\ast := y(LR), G
\ast := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}L\ast , \Omega \ast := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}L\ast . Нехай w = \Phi R(z) —
конформне вiдображення \Omega \ast на \Delta , нормалiзоване спiввiдношеннями \Phi R(\infty ) = \infty , \Phi
\prime
R(\infty ) >
> 0, \Psi R := \Phi - 1
R . Для t > 1 позначаємо L\ast
t :=
\bigl\{
z : | \Phi R(z)| = t
\bigr\}
, G\ast
t := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}L\ast
t , \Omega
\ast
t := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}L\ast
t .
Згiдно з результати [16], для всiх z \in L\ast та t \in L таких, що | z - t| = d(z, L), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
444 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
d(z, L) \asymp d(t, LR) \asymp d(z, LR),
| \Phi R(z)| \leq | \Phi R(t)| \leq 1 + c(R - 1).
(3.2)
Лема 3.1 [1]. Нехай G — довiльний квазiкруг, z1 \in L, z2, z3 \in \Omega \cap
\bigl\{
z : | z - z1| \preceq d(z1, Lr0)
\bigr\}
,
wj = \Phi (zj), j = 1, 2, 3. Тодi:
a) спiввiдношення | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| та | w1 - w2| \preceq | w1 - w3| є еквiвалентними, як i
| z1 - z2| \asymp | z1 - z3| та | w1 - w2| \asymp | w1 - w3| ;
b) якщо | z1 - z2| \preceq | z1 - z3| , то\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c1 \preceq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z1 - z3
z1 - z2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \preceq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w1 - w3
w1 - w2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c2 ,
де 0 < r0 < 1 — стала, яка залежить вiд G та k.
Лема 3.2. Нехай G — довiльний k-квазiкруг при деякому 0 \leq k < 1. Тодi
| \Psi (w1) - \Psi (w2)| \succeq | w1 - w2| 1+k
при всiх w1, w2 \in \Omega
\prime
.
Цей факт випливає з вiдповiдного результату для вiдображення f \in
\sum
(k) [35, с. 287] та
оцiнки для \Psi
\prime
[17] (теорема 2.8).
Лема 3.3. Нехай G \in Q\alpha . Тодi
d(t, LR) \succeq (R - 1)\mu \succeq n - \mu ,
де
\mu =
\left\{
1
\alpha
, \alpha \geq 1
2
,
\delta , \alpha <
1
2
,
(3.3)
\delta = \delta (\alpha ,G) — деяке число, 1 \leq \delta \leq 2.
Це твердження легко випливає з результатiв робiт [17, 30].
Лема 3.4 ([10], лема 2.3). Нехай L — довiльний квазiкруг. Тодi для довiльного R > 1 iсну-
ють числа \rho 1, \rho 2, \rho 3 та \rho 4 такi, що \rho 1 < \rho 2, \rho 3 < \rho 4 i виконуються спiввiдношення:
1) G
\ast
\rho 1 \subseteq G \subseteq G
\ast
\rho 2 i G
\ast
\rho 3 \subseteq GR \subseteq G
\ast
\rho 4 ;
2) \rho 1 - 1 \asymp \rho 2 - 1 \asymp \rho 3 - 1 \asymp \rho 4 - 1 \asymp R - 1.
Нехай \{ zj\} mj=1 — фiксована система точок на L i вагова функцiя h(z) визначена в (1.1).
Наступний результат є iнтегральним аналогом вiдомої леми Бернштейна – Уолша [41, с. 101]
для Ap(h,G)-норми.
Лема 3.5 [4]. Нехай G — довiльний квазiкруг, Pn(z) — будь-який полiном, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Pn \leq n,
n = 1, 2, . . . , i вагова функцiя h(z) визначена в (1.1). Тодi для будь-яких R > 1, p > 0 та
n = 1, 2, . . .
\| Pn\| Ap(h,GR) \leq c3
\bigl(
1 + c(R - 1)
\bigr) n+ 1
p \| Pn\| Ap(h,G),
де величини c, c3 не залежать вiд n i G.
Цей факт показує, що норми \| Pn\| Ap(h,G1+1/n) i \| Pn\| Ap(h,G) для довiльних полiномiв Pn(z)
мають один i той самий порядок зростання.
Наступна лема є в певному сенсi „внутрiшнiм” аналогом леми Бернштейна – Уолша [41,
с. 101].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 445
Лема 3.6. Нехай G — довiльний квазiкруг i Pn(z) — будь-який полiном, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Pn \leq n, n =
= 1, 2, . . . . Тодi для будь-яких R = 1 +
c
n
, n = 1, 2, . . . , i m = 0, 1, 2, . . . , iснує число c1 :=
:= c1(G, c) > 0 таке, що \bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C(G)
\leq c1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C(G\ast )
.
Доведення. Для довiльного m = 0, 1, 2, . . . , m \leq n, розглянемо функцiю
F (z) : = F (z,m, n,R) :=
P
(m)
n (z)
[\Phi R(z)]
n+1 - m , z \in \Omega \ast .
Зрозумiло, що функцiя F (z) є аналiтичною в \Omega \ast , неперервною на \Omega \ast , F (\infty ) = 0 i | F (z)| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| при z \in L\ast . За принципом максимуму модуля маємо
\bigm| \bigm| F (z)\bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in L\ast
\bigm| \bigm| F (z)\bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in L\ast
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| ,
i тому \bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq | \Phi R(z)| n+1 - m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C(G\ast )
, z \in \Omega \ast .
Застосовуючи (3.2) при z \in L, отримуємо
| \Phi R(z)| n+1 - m \leq [1 + c(R - 1)]n+1 - m =
\Bigl[
1 +
c
n
\Bigr] n+1 - m
\preceq 1.
Оскiльки z \in L є довiльним, то \bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C(G)
\preceq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
C(G\ast )
.
Лему 3.6 доведено.
4. Доведення теорем.
4.1. Доведення теорем 2.1 i 2.4. Розiб’ємо доведення теорем на двi частини: 1) 0 < p <\infty ;
2) p = \infty .
1. Нехай 0 < p <\infty i z \in L — довiльна фiксована точка. Позначимо U := U
\bigl(
z, d(z, LR)
\bigr)
:=
:=
\bigl\{
\zeta : | \zeta - z| < d(z, LR)
\bigr\}
. За iнтегральними формулами Кошi для похiдних, використовуючи
лему Бернштейна – Уолша [41, с. 101], маємо
P (m)
n (z) =
m!
2\pi i
\int
\partial U
Pn(t)
(t - z)m+1
dt, m = 0, 1, 2, . . . .
Тодi \bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq m!
2\pi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in \partial U
| Pn(t)|
\int
\partial U
| dt|
| t - z| m+1 \preceq
\preceq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in GR
| Pn(t)|
1
dm+1(z, LR)
\cdot 2\pi d(z, LR) \preceq
\preceq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in G
| Pn(t)|
1
dm(z, LR)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
446 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
Застосовуючи теорему A та лему 3.2, одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq n
(2+\gamma )(1+k)
p \| Pn\| p \cdot nm(1+k) \preceq n
( 2+\gamma
p
+m)(1+k)\| Pn\| p.
Аналогiчно, застосовуючи теорему B та лему 3.3, отримуємо
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \preceq \| Pn\| p
\left\{
n
\delta
\Bigl(
2+\gamma
p
\Bigr)
, \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
\Bigl(
2+\gamma
p
\Bigr)
, \alpha \geq 1
2
,
\cdot
\left\{
nm\delta , \alpha <
1
2
,
n
m
\alpha , \alpha \geq 1
2
,
\preceq \| Pn\| p
\left\{
n
\delta
\bigl(
2+\gamma
p
+m
\bigr)
, \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
\bigl(
2+\gamma
p
+m
\bigr)
, \alpha \geq 1
2
.
Оскiльки z \in L є довiльним, то це завершує доведення теорем 2.1 i 2.4 в цьому випадку.
2) Розглянемо тепер випадок p = \infty . Нехай G — довiльний квазiкруг. Тодi для похiдної
P
(m)
n (z) i z \in G можна записати зображення [17]
P (m)
n (z) = - (m+ 1)!
\pi
\int \int
G
Pn(\zeta )y\zeta (\zeta )
(y(\zeta ) - z)m+2
d\sigma \zeta , z \in G\ast .
Маємо
| P (m)
n (z)| \leq (m+ 1)!
\pi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\zeta \in G\ast
| Pn(\zeta )|
\int \int
G
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta \preceq
\preceq \| Pn\| C(G)
\int \int
G
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta , (4.1)
оскiльки G\ast \subset G. Покладемо
J(z) :=
\int \int
G
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta .
Для будь-якого \varepsilon > 0 позначимо U\varepsilon (z) :=
\bigl\{
\zeta : | \zeta - z| < \varepsilon
\bigr\}
. Не втрачаючи загальностi, можна
взяти U\varepsilon := U\varepsilon (0) \subset G\ast . Для довiльного фiксованого z \in L\ast маємо
J(z) =
\int \int
U\varepsilon
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta +
\int \int
G\setminus U\varepsilon
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta =: J1(z) + J2(z). (4.2)
Оцiнимо величину J1(z). Внаслiдок (3.1) | y\=\zeta | \asymp | y(\zeta )| 2 при всiх \zeta \in U\varepsilon i | \zeta - z| \geq \varepsilon ,\bigm| \bigm| y(\zeta ) - z
\bigm| \bigm| \asymp \bigm| \bigm| y(\zeta )\bigm| \bigm| при z \in L\ast та \zeta \in U\varepsilon . Тодi
J1(z) =
\int \int
U\varepsilon
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta \asymp
\int \int
U\varepsilon
| y(\zeta )| 2
| y(\zeta )| m+2
d\sigma \zeta =
\int \int
U\varepsilon
d\sigma \zeta
| y(\zeta )| m
\preceq 1. (4.3)
Для оцiнки величини J2(z) насамперед зазначимо, що якобiан \$y := | y\zeta | 2 - | y\zeta |
2 вiдбиття y(\zeta )
задовольняє нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 447
| y\zeta |
2 =
\$y | y\zeta | 2
| y\zeta | 2 - | y\zeta | 2
=
\$y\biggl(
| y\zeta | 2 /
\bigm| \bigm| \bigm| y\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2\biggr) - 1
\leq \chi 2
1 - \chi 2
| \$y| \preceq | \$y| ,
де \chi :=
K1 - 1
K1 + 1
. Тому | \$y| \succeq | y\=\zeta | 2. Тодi пiсля замiни змiнної отримуємо таку оцiнку величини
J2(z):
J2(z) \preceq
\int \int
G\setminus U\varepsilon
| y\=\zeta |
| y(\zeta ) - z| m+2
d\sigma \zeta \preceq
\int \int
y(G\setminus U\varepsilon )
| y\=\zeta
\$y
| | \$y| d\sigma \zeta
| \zeta - z| m+2
\preceq
\preceq
\int \int
y(G\setminus U\varepsilon )
d\sigma \zeta
| \zeta - z| m+2
\preceq
\int \int
| \zeta - z| \geq d(z,L)
d\sigma \zeta
| \zeta - z| m+2
\preceq d - m(z, L). (4.4)
Таким чином, з (4.2) – (4.4) маємо
J(z) \preceq 1 + d - m(z, LR) \preceq d - m(z, L) \forall z \in L\ast . (4.5)
Внаслiдок (3.2) з (4.1) – (4.5) для всiх z \in L\ast i t \in L таких, що | z - t| = d(z, L), отримуємо\bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \preceq d - (m+1)(t, LR)\| Pn\| C(G) .
Якщо G — довiльний k-квазiкруг, то, враховуючи лему 3.2, одержуємо
d(z, LR) = | \zeta - z| =
\bigm| \bigm| \Psi (\tau ) - \Psi (w)
\bigm| \bigm| \geq | \tau - w| 1+\kappa \succeq n - (1+\kappa )
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G\ast
\bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \preceq nm(1+\kappa )\| Pn\| C(G).
Якщо G \in Q\alpha то з леми 3.3 маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G\ast
\bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \preceq
\left\{
n\delta m, \alpha <
1
2
,
n
1
\alpha
m, \alpha \geq 1
2
,
\| Pn\| C(G).
Враховуючи лему 3.6, завершуємо доведення.
4.2. Доведення теорем 2.2 i 2.5. Покладемо R = 1 + cn - 1. Оскiльки L — квазiколо, то
будь-якi кривi LR i L\ast = y(LR) також є квазiколами. Виберемо \rho 1 i \rho 2, \rho 1 < \rho 2, вiдповiдно до
леми 3.4, тобто так, щоб виконувались умови
G
\ast
\rho 1 \subseteq G \subseteq G
\ast
\rho 2 , \rho 1 - 1 \asymp \rho 2 - 1 \asymp R - 1. (4.6)
Нехай w = \Phi \ast
\rho 1(z) — довiльне конформне вiдображення \Omega \ast
\rho 1 на \Delta , нормалiзоване спiввiдно-
шеннями \Phi \ast
\rho 1(\infty ) = \infty , \Phi \ast \prime
\rho 1(\infty ) > 0, \Psi \ast
\rho 1 =
\bigl(
\Phi \ast
\rho 1
\bigr) - 1
. Подiбно до побудови вiдбиття y(\zeta )
можна побудувати регулярне K2-квазiконформне вiдбиття y\rho 1 , y\rho 1(0) = \infty вздовж L\ast
\rho 1 таке,
що y\rho 1(G
\ast
\rho 1) = \Omega \ast
\rho 1 , y(\Omega
\ast
\rho 1) = G\ast
\rho 1 , y\rho 1(.) фiксує точки L\ast
\rho 1 i задовольняє умови, подiбнi до (3.1)
i описанi для y\rho 1(\zeta ):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
448 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
\bigm| \bigm| y\rho 1(\zeta ) - z
\bigm| \bigm| \asymp | \zeta - z| , z \in L\ast
\rho 1 , \varepsilon < | \zeta | < 1
\varepsilon
,
\bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \asymp | y\rho 1,\zeta | \asymp 1, \varepsilon < | \zeta | < 1
\varepsilon
, (4.7)\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| \asymp | y\rho 1(\zeta )|
2 , | \zeta | < \varepsilon ,
\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| \asymp | \zeta | - 2, | \zeta | > 1
\varepsilon
.
Для z \in \BbbC i p > 1 розглянемо функцiю
g
1
p (z) :=
s\prod
j=1
(z - zj)
\gamma j
p , \gamma j > - 2, j = 1, s.
Оскiльки \{ zj\} sj=1 \in L, то функцiя g
1
p (z) є аналiтичною в G
\ast
\rho 1 (вибираємо довiльну неперервну
гiлку g
1
p (z) i зберiгаємо те саме позначення для цiєї гiлки). Тодi
\Bigl[
g
1
p (z)
\Bigr] \prime
=
\left( s\prod
j=1
(z - zj)
\gamma j
p
\right) \prime
=
g
1
p (z)
p
s\sum
j=1
\gamma j
z - zj
,
\Bigl[
g
1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime
=
\Bigl[
g
1
p (z)
\Bigr] \prime
Pn(z) + g
1
p (z)P \prime
n(z)
i тому
g
1
p (z)P \prime
n(z) = -
\Bigl[
g
1
p (z)
\Bigr] \prime
Pn(z) +
\Bigl[
g
1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime
=
= - g
1
p (z)Pn(z)
p
s\sum
j=1
\gamma j
z - zj
+
\Bigl[
g
1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime
.
Таким чином,
h(z)
\bigm| \bigm| P \prime
n(z)
\bigm| \bigm| p \preceq h(z) | Pn(z)| p
\left( s\sum
j=1
1
| z - zj |
\right) p
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p ,
оскiльки h(z) =
\bigm| \bigm| g(z)\bigm| \bigm| .
Iнтегруючи по областi G\ast , отримуємо\int \int
G\ast
h(z)
\bigm| \bigm| P \prime
n(z)
\bigm| \bigm| pd\sigma z \preceq \int \int
G\ast
h(z)
\bigm| \bigm| Pn(z)
\bigm| \bigm| p\left( s\sum
j=1
1
| z - zj |
\right) p
d\sigma z+
+
\int \int
G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z.
Тодi
\| P \prime
n\| Ap(h,G\ast ) \preceq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in G\ast
1
| z - zj |
\| Pn\| Ap(h,G\ast ) +
\left\{
\int \int
G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z
\right\}
1
p
\preceq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 449
\preceq 1
d(z, L\ast
\rho 1)
\| Pn\| Ap(h,G\ast ) +
\left\{
\int \int
G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z
\right\}
1
p
\preceq
\preceq 1
d(z, L\ast
\rho 1)
\| Pn\| Ap(h,G\ast ) + J(n) \preceq 1
d(z, L\ast
\rho 1)
\| Pn\| Ap(h,G) + J(n),
оскiльки G\ast \subset G, де J визначається рiвнiстю
J(n) :=
\left\{
\int \int
G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z
\right\}
1
p
.
Оцiнимо останнiй iнтеграл. Використовуючи вiдбиття y\rho 1(\zeta ), можемо записати iнтегральне
зображення для g
1
p (z)Pn(z) в усiх точках z \in G\ast [17]:
\Bigl[
g
1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime
= - 2!
\pi
\int \int
G\ast
\rho 1
g
1
p (\zeta )Pn(\zeta )y\rho 1,\zeta (\zeta )
(y\rho 1(\zeta ) - z)
3
\Bigl(
1
p
+ 1
q
\Bigr) d\sigma \zeta ,
де
1
p
+
1
q
= 1. Застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, отримуємо
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p \preceq
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
h(\zeta ) | Pn(\zeta )| p
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
d\sigma \zeta
\right]
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
\bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta (\zeta )\bigm| \bigm| q\bigm| \bigm| y\rho 1(\zeta ) - z
\bigm| \bigm| 3d\sigma \zeta
\right]
p
q
.
Iнтегруючи по областi G\ast , маємо\int \int
G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ g 1
p (z)Pn(z)
\Bigr] \prime \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z \preceq
\preceq
\int \int
G\ast
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
h(\zeta ) | Pn(\zeta )| p
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
d\sigma \zeta
\right]
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta (\zeta )\bigm| \bigm| \bigm| q
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
d\sigma \zeta
\right]
p
q
d\sigma z.
Тому
J(n) \preceq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in G\ast
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
\right]
1
q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\zeta \in G\ast
\rho 1
\left[ \int \int
G\ast
d\sigma z
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
\right] 1
p
\| Pn\| Ap(h,G\ast
\rho 1
) =:
=: J1(n)\times J2(n)\times \| Pn\| Ap(h,G\ast
\rho 1
). (4.8)
Тепер, оскiльки G\ast
\rho 1 \subset G,
\| Pn\| Ap(h,G\ast
\rho 1
) \leq \| Pn\| Ap(h,G). (4.9)
Отже, потрiбно оцiнити окремо iнтеграли J1(n) i J2(n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
450 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
Оцiнимо величини
J1(n) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in G\ast
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
\right]
1
q
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in L\ast
\left[ \int \int
G\ast
\rho 1
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
\right]
1
q
. (4.10)
Для фiксованого \varepsilon > 0 означимо U\varepsilon (z) :=
\bigl\{
\zeta : | \zeta - z| < \varepsilon
\bigr\}
. Не втрачаючи загальностi, можна
вважати, що U\varepsilon := U\varepsilon (0) \subset G\ast . Тодi\int \int
G\ast
\rho 1
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
=
\int \int
U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
+
\int \int
G\ast
\rho 1
\setminus U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
=:
=: J1,1(n) + J1,2(n). (4.11)
Оцiнимо iнтеграл J1,1(n). Згiдно з (3.1) i зауваженням, наведеним на початку доведення,
бачимо, що | \zeta - z| \geq \varepsilon 0 i
\bigm| \bigm| y\rho 1(\zeta ) - z\bigm| \bigm| \succeq 1 при всiх \zeta \in U\varepsilon i z \in L\ast . Тодi на пiдставi наслiдку 2.2
[13] отримуємо
J1,1(n) =
\int \int
U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
q
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
d\sigma \zeta \preceq
\int \int
U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta \preceq 1, q <
2K2
K2 + 1
. (4.12)
Для оцiнки iнтеграла
J1,2(n) :=
\int \int
G\ast
\rho 1
\setminus U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
насамперед зазначимо, що якобiан \Im y\rho 1
:= | y\rho 1,\zeta | 2 - | y\rho 1,\zeta |
2 вiдбиття y\rho 1(\zeta ) задовольняє спiв-
вiдношення
\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| q =
\left[ \Im y\rho 1
\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2\bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2 - \bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right]
q
2
=
\left[ \Im y\rho 1\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2 / \bigm| \bigm| \bigm| y\rho 1,\zeta \bigm| \bigm| \bigm| 2\biggr) - 1
\right]
q
2
\leq
\leq
\biggl(
\chi 2
1 - \chi 2
\biggr) q
2 \bigm| \bigm| \Im y\rho 1
\bigm| \bigm| q2 \preceq
\bigm| \bigm| \Im y\rho 1
\bigm| \bigm| q2 ,
де \chi :=
K2 - 1
K2 + 1
. Звiдси внаслiдок (4.7) маємо | \Im y\rho 1
| \succeq | y\rho 1,\=\zeta |
2 \succeq 1, \zeta \in G\ast
\rho 1 \setminus U\varepsilon , i для iнтеграла
J1,2(n) одержуємо
J1,2(n) =
\int \int
G\ast
\rho 1
\setminus U\varepsilon
| y\rho 1,\zeta |
qd\sigma \zeta
| y\rho 1(\zeta ) - z| 3
\preceq
\preceq
\int \int
y\rho 1(G\ast
\rho 1
\setminus U\varepsilon )
d\sigma \zeta
| \zeta - z| 3
\leq
\int \int
| \zeta - z| \geq d(z,L\ast
\rho 1
)
d\sigma \zeta
| \zeta - z| 3
\preceq 1
d(z, L\ast
\rho 1)
. (4.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 451
На пiдставi (4.10) – (4.12) та (4.13) отримуємо
J1(n) \preceq
1\bigl[
d(z, L\ast
\rho 1)
\bigr] 1
q
. (4.14)
Оцiнимо тепер iнтеграл J2(n). Маємо\bigl[
J2(n)
\bigr] p \preceq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\zeta \in L\ast
\rho 1
\int \int
G\ast
d\sigma z
| \zeta - z| 3
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\zeta \in L\ast
\rho 1
\int \int
| \zeta - z| \geq d(z,L\ast
\rho 1
)
d\sigma z
| \zeta - z| 3
\preceq 1
d(z, L\ast
\rho 1)
. (4.15)
Тому, об’єднуючи оцiнки (4.8), (4.9), (4.14) i (4.15), отримуємо
\| P \prime
n\| Ap(h,G\ast ) \preceq
1\bigl[
d(z, L\ast
\rho 1)
\bigr] 1
p
+ 1
q
\| Pn\| Ap(h,G) \preceq
1
d(z, L\ast
\rho 1)
\| Pn\| Ap(h,G).
Оскiльки G
\ast
\rho 1 \subseteq G \subseteq G
\ast
\rho 2 i \rho 1 - 1 \asymp \rho 2 - 1 \asymp R - 1, то, використовуючи лему 3.5 для
полiнома Tn - 1 := P \prime
n i лему 3.1, одержуємо
\| P \prime
n\| p \leq \| P \prime
n\| Ap(h,G\ast
\rho 2
) \preceq (1 + c(\rho 2 - 1))
n - 1+ 1
p
\bigm\| \bigm\| P \prime
n
\bigm\| \bigm\|
Ap(h,G\ast )
\preceq
\preceq (1 + c(\rho 2 - 1))
n - 1+ 1
p
1
d(z, L\ast
\rho 1)
\| Pn\| p \preceq
\preceq (1 + c(R - 1))
n - 1+ 1
p
1
d(z, LR)
\| Pn\| p \preceq
1
d(z, LR)
\| Pn\| p, z \in G. (4.16)
Ми показали, що спiввiдношення (4.16) виконується при m = 1. Переконаємось, що спiввiдно-
шення (4.16) справджується при кожному m \geq 2. Припустимо, що (4.16) має мiсце при деякому
m = l \geq 2, тобто
\| P (l)
n \| p \preceq
1
[d(z, LR)]
l
\| Pn\| p, z \in G. (4.17)
Покажемо, що воно виконується при m = l + 1. Пiсля повторного застосування оцiнки (4.17)
маємо \bigm\| \bigm\| P (l+1)
n
\bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl[ P (l)
n
\Bigr] \prime \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\preceq 1
d(z, LR)
\| P (l)
n \| p =
1
d(z, LR)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl[ P (l - 1)
n
\Bigr] \prime \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\preceq
\preceq 1\bigl[
d(z, LR)
\bigr] 2\bigm\| \bigm\| P (l - 1)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\preceq . . . \preceq 1\bigl[
d(z, LR)
\bigr] l+1
\| Pn\| p.
Таким чином, використовуючи метод математичної iндукцiї, можна стверджувати, що оцiн-
ка (4.16) має мiсце при кожному m = 1, 2, . . .:\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\preceq 1\bigl[
d(z, LR)
\bigr] m \| Pn\| p, z \in G.
Якщо тепер G — довiльний k-квазiкруг, то на пiдставi леми 3.2 одержуємо\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\preceq nm(1+k)\| Pn\| p,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
452 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
а якщо G \in Q\alpha , то внаслiдок леми 3.3 отримуємо оцiнку\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\preceq n\mu (1+k)\| Pn\| p,
яка завершує доведення.
4.3. Доведення теорем 2.3 та 2.6. Маємо
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
q
=
\left( \int \int
G
h(z)
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| q d\sigma z
\right) 1/q
=
=
\left( \int \int
G
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| q - p \bigm| \bigm| \bigm| h(z)P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z
\right) 1/q
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - p
q
\left( \int \int
G
h(z)
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| p d\sigma z
\right) 1/q
\preceq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in G\ast
\bigm| \bigm| \bigm| P (m)
n (z)
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - p
q
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| p
q
p
. (4.18)
Нехай TN (z) := P
(m)
n (z), \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} TN = N \leq n - m. На пiдставi теорем 2.1 i 2.4 при m = 0
виконуються нерiвностi
\| TN\| \infty \leq c1N
2+\gamma
p
(1+k)\| TN\| p
i
\| TN\| \infty \leq c1N
2+\gamma
p
\mu \| TN\| p,
де \mu визначається спiввiдношенням (3.3). Звiдси одержуємо\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \preceq (n - m)
2+\gamma
p
(1+k)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\leq n
2+\gamma
p
(1+k)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
,\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
\infty \preceq (n - m)
2+\gamma
p
\mu \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
\leq n
2+\gamma
p
\mu \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
.
(4.19)
Тому, об’єднуючи (4.18) i (4.19), отримуємо\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
q
\preceq n
2+\gamma
p
(1+k)(1 - p
q
)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| (1 - p
q
)
p
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| p
q
p
\preceq n
\bigl(
1
p
- 1
q
\bigr)
(2+\gamma )(1+k)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
,\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
q
\preceq n
2+\gamma
p
\mu (1 - p
q
)\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| (1 - p
q
)
p
\bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\| p
q
p
\preceq n
\bigl(
1
p
- 1
q
\bigr)
(2+\gamma )\mu \bigm\| \bigm\| P (m)
n
\bigm\| \bigm\|
p
,
що завершує доведення.
Зазначимо, що нерiвностi у теоремах 2.1 – 2.6 є точними. Це легко бачити для теорем 2.1,
2.2, 2.4, 2.5 на прикладi Tn(z) =
\sum n
j=0
(j + 1)zj , G = B, m = 1,p = 2 i h(z) \equiv 1. Дiйсно,
\| T \prime
n\| =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
, \| Tn\| \infty =
(n+ 1)(n+ 2)
2
, \| Tn\| 2 =
\sqrt{}
\pi (n+ 1)(n+ 2)
2
.
Тодi
\| T \prime
n\| \infty =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
=
n(n+ 1)(n+ 2)
3
2
(n+ 1)(n+ 2)
\| Tn\| \infty =
2n
3
\| Tn\| \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 453
\| T \prime
n\| \infty =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
=
n(n+ 1)(n+ 2)
3
\sqrt{}
2
\pi (n+ 1)(n+ 2)
\| Tn\| 2 \geq
\geq n2\| Tn\| 2
(n+ 1)(n+ 2)
3n
\sqrt{}
2
\pi (n+ 1)(n+ 2)
\geq
\sqrt{}
2
9\pi
n2\| Tn\| 2,
\| T \prime
n\| 2 \geq
\surd
\pi
n(n+ 1)
2
\sqrt{}
2
\pi (n+ 1)(n+ 2)
\| Tn\| 2 =
=
\sqrt{}
n(n+ 1)
2
\sqrt{}
n(n+ 1)
(n+ 1)(n+ 2)
\| Tn\| 2 \geq
\sqrt{}
n
2(n+ 2)
n\| Tn\| 2 \geq
1
2
n\| Tn\| 2, n \geq 2.
Точнiсть теорем 2.3, 2.6 можна довести для полiнома Qn(z) =
\sum n - 1
j=0
zj та \alpha = 1 подiбно
до вiдповiдних мiркувань iз робiт [37, с. 689; 38].
Лiтература
1. F. G. Abdullayev, V. V. Andrievskii, On the orthogonal polynomials in the domains with K -quasiconformal boundary,
Izv. Akad. Nauk Azerb. SSR, Ser. Fiz., Techn., Mat., № 1, 3 – 7 (1983).
2. F. G. Abdullayev, On the some properties of the orthogonal polynomials over the region of the complex plane, Part I,
Ukr. Math. J., 52, № 12, 1807 – 1821 (2000).
3. F. G. Abdullayev, On the some properties of the orthogonal polynomials over the region of the complex plane, Part II,
Ukr. Math. J., 53, № 1, 1 – 14 (2001).
4. F. G. Abdullayev, On the some properties of the orthogonal polynomials over the region of the complex plane,
Part III, Ukr. Math. J., 53, № 12, 1934 – 1948 (2001).
5. F. G. Abdullayev, On the interference of the weight and boundary contour for orthogonal polynomials over the
region, J. Comput. Anal. and Appl., 6, № 1, 31 – 42 (2004).
6. F. G. Abdullayev, The properties of the orthogonal polynomials with weight having singulerity on the boundary
contour, J. Comput. Anal. and Appl., 6, № 1, 43 – 59 (2004).
7. F. G. Abdullayev, U. Deger, On the orthogonal polynomials with weight having singularity on the boundary of regions
of the complex plane, Bull. Belg. Math. Soc., 16, № 2, 235 – 250 (2009).
8. F. G. Abdullayev, D. Aral, The relation between different norms of algebraic polynomials in the regions of complex
plane, Azerb. J. Math., 1, № 2, 70 – 82 (2011).
9. F. G. Abdullayev, C. D. Gün, On the behavior of the algebraic polynomials in regions with piecewise smooth
boundary without cusps, Ann. Polon. Math., 111, 39 – 58 (2014).
10. F. G. Abdullayev, N. P. Özkartepe, Uniform and pointwise Bernstein – Walsh-type inequalities on a quasidisk in the
complex plane, Bull. Belg. Math. Soc., 23, № 2, 285 – 310 (2016).
11. F. G. Abdullayev, T. Tunc, Uniform and pointwise polynomial inequalities in regions with asymptotically conformal
curve on weighted Bergman space, Lobachevskii J. Math., 38, № 2, 193 – 205 (2017).
12. F. G. Abdullayev, T. Tunc, G. A. Abdullayev, Polynomial inequalities in quasidisks on weighted Bergman space,
Ukr. Math. J., 69, № 5, 675 – 695 (2017).
13. K. Astala, Analytic aspects of quasiconformality, Doc. Math. J., Extra vol. ICM II, 617 – 626 (1998).
14. L. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, Mir, Moscow (1966) (in Russian).
15. J. M. Anderson, F. W. Gehring, A. Hinkkanen, Polynomial approximation in quasidisks, Different. Geom. and
Complex Anal., Springer, Berlin, Heidelberg (1985).
16. V. V. Andrievskii, Constructive characterization of the harmonic functions in domains with quasiconformal boundary,
Quasiconformal Continuation and Approximation by Function in the Set of the Complex Plane, Kiev (1985) (in Russi-
an).
17. V. V. Andrievskii, V. I. Belyi, V. K. Dzyadyk, Conformal invariants in constructive theory of functions of complex
plane, World Federation Publ. Co., Atlanta (1995).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
454 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, Д. Д. ГЮНЬ
18. V. V. Andrievskii, Weighted polynomial inequalities in the complex plane, J. Approx. Theory, 164, № 9, 1165 – 1183
(2012).
19. S. Balcı, M. Imashkyzy, F. G. Abdullayev, Polynomial inequalities in regions with interior zero angles in the Bergman
space, Ukr. Math. J., 70, № 3, 362 – 384 (2018).
20. I. M. Batchaev, Integral representatıons in the regions which quasicinformal boundary and some of their applications,
Avtoref. dis. cand. fiz.-mat. nauk, Baku (1981) (in Russian).
21. D. Benko, P. Dragnev, V. Totik, Convexity of harmonic densities, Rev. Mat. Iberoam., 28, № 4, 1 – 14 (2012).
22. S. N. Bernstein, Sur la limitation des derivees des polnomes, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 190, 338 – 341 (1930).
23. S. N. Bernstein, On the best approximation of continuos functions by polynomials of given degree, Izd. Akad. Nauk
SSSR, vol. I (1952); vol. II (1954).
24. P. P. Belinskii, General properties of quasiconformal mappings, Nauka, Novosibirsk (1974) (in Russian).
25. Z. Ditzian, S. Tikhonov, Ul’yanov and Nikol’skii-type inequalities, J. Approx. Theory, 133, № 1, 100 – 133 (2005).
26. Z. Ditzian, A. Prymak, Nikol’skii inequalities for Lorentz spaces, Rocky Mountain J. Math., 40, № 1, 209 – 223
(2010).
27. V. K. Dzjadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of function by polynomials, Nauka, Moscow
(1977) (in Russian).
28. V. Kabayla, On some interpolation problems in the class Hp for p < 1, Dokl. USSR Acad. Sci., 132, № 5,
1002 – 1004 (1960) (in Russian).
29. O. Lehto, K. I. Virtanen, Quasiconformal mapping in the plane, Springer-Verlag, Berlin (1973).
30. F. D. Lesley, Hölder continuity of conformal mappings at the boundary via the strip method, Indiana Univ. Math. J.,
31, 341 – 354 (1982).
31. D. I. Mamedhanov, Inequalities of S. M. Nikol’skii type for polynomials in the complex variable on curves, Soviet
Math. Dokl., 15, 34 – 37 (1974).
32. G. V. Milovanovic, D. S. Mitrinovic, Th. M. Rassias, Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros,
World Sci., Singapore (1994).
33. P. Nevai, V. Totik, Sharp Nikolskii inequalities with exponential weights., Anal. Math., 13, № 4, 261 – 267 (1987).
34. S. M. Nikol’skii, Approximation of function of several variable and imbeding theorems, Springer-Verlag, New York
(1975).
35. Ch. Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1975).
36. Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Springer-Verlag, Berlin (1992).
37. I. Pritsker, Comparing norms of polynomials in one and several variables, J. Math. Anal. and Appl., 216, 685 – 695
(1997).
38. G. Szegö, A. Zygmund, On certain mean values of polynomials, J. Anal. Math., 3, № 1, 225 – 244 (1953).
39. S. E. Warschawski, On differentiability at the boundary in conformal mapping, Proc. Amer. Math. Soc., 12, 614 – 620
(1961).
40. S. E. Warschawski, On Hölder continuity at the boundary in conformal maps, J. Math. and Mech., 18, 423 – 427
(1968).
41. J. L. Walsh, Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain, Amer. Math. Soc. (1960).
Одержано 10.06.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6306 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:59Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/254e9f68c0ac9a13c95afe61e20e5d23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63062025-03-31T08:48:15Z Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для алгебраїчних поліномів у просторі Бергмана в областях комплексної площини Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для алгебраїчних поліномів у просторі Бергмана в областях комплексної площини Аbdullayev, F. G. Gün , C. D. Аbdullayev, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. Абдуллаєв, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. algebraic polynomial, quasiconformal mapping, quasicurcle. UDC 517.5 We study Bernstein-type and Nikolskii-type estimates for arbitrary algebraic polynomial in regions of the complex plane. &nbsp; В данной работе изучаются оценки типа Бернштейна и типа Никольского для произвольного алгебраического многочлена в областях комплексной плоскости. УДК 517.5 Вивчаються оцінки типу Бернштейна та Нікольського для довільного алгебраїчного полінома в областях комплексної площини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-04-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6306 10.37863/umzh.v73i4.6306 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 4 (2021); 439 - 454 Український математичний журнал; Том 73 № 4 (2021); 439 - 454 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6306/8998 Copyright (c) 2021 Fahreddin Аbdullayev |
| spellingShingle | Аbdullayev, F. G. Gün , C. D. Аbdullayev, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. Абдуллаєв, Ф. Г. Гюнь, Д. Д. Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title | Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title_alt | Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для алгебраїчних поліномів у просторі Бергмана в областях комплексної площини Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для алгебраїчних поліномів у просторі Бергмана в областях комплексної площини |
| title_full | Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title_fullStr | Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title_full_unstemmed | Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title_short | Bernstein – Nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the Bergman space in regions of the complex plane |
| title_sort | bernstein – nikolskii-type inequalities for algebraic polynomials in the bergman space in regions of the complex plane |
| topic_facet | algebraic polynomial quasiconformal mapping quasicurcle. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6306 |
| work_keys_str_mv | AT abdullayevfg bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT guncd bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT abdullayevfg bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT gûnʹdd bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT abdullaêvfg bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT gûnʹdd bernsteinnikolskiitypeinequalitiesforalgebraicpolynomialsinthebergmanspaceinregionsofthecomplexplane AT abdullayevfg nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini AT guncd nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini AT abdullayevfg nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini AT gûnʹdd nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini AT abdullaêvfg nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini AT gûnʹdd nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâalgebraíčnihpolínomívuprostoríbergmanavoblastâhkompleksnoíploŝini |