On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities
UDC 517.5 We establish a new theorem on correlation between the sharp constants in the Kolmogorov type inequalities and the sharp constants in the Kolmogorov–Remez type inequalities for differentiable periodic functions. As a consequence, we obtain new sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for s...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6310 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512327500038144 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:15Z |
| description |
UDC 517.5
We establish a new theorem on correlation between the sharp constants in the Kolmogorov type inequalities and the sharp constants in the Kolmogorov–Remez type inequalities for differentiable periodic functions. As a consequence, we obtain new sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for such functions. We also derive new sharp Bernstein–Remez type inequalities for trigonometric polynomials and polynomial splines.
 
 
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i4.6310 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i4.6310
УДК 517.5
В. О. Кофанов (Днiпр. нац. ун-т)
ПРО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ТОЧНИХ НЕРIВНОСТЕЙ ТИПУ КОЛМОГОРОВА
ТА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА
We establish a new theorem on correlation between the sharp constants in the Kolmogorov type inequalities and the sharp
constants in the Kolmogorov – Remez type inequalities for differentiable periodic functions. As a consequence, we obtain
new sharp Kolmogorov – Remez type inequalities for such functions. We also derive new sharp Bernstein – Remez type
inequalities for trigonometric polynomials and polynomial splines.
Доведено теорему про взаємозв’язок точних констант у нерiвностях типу Колмогорова i Колмогорова – Ремеза для
диференцiйовних перiодичних функцiй. Як наслiдок встановлено новi точнi нерiвностi типу Колмогорова – Ремеза на
класах таких функцiй. Крiм того, отримано новi точнi нерiвностi типу Бернштейна – Ремеза для тригонометричних
полiномiв i полiномiальних сплайнiв.
1. Вступ. Нехай G \subset R. Будемо розглядати простори Lp(G) вимiрних за Лебегом функцiй x :
G \rightarrow R таких, що \| x\| Lp(G) < \infty , де
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int b
a
| x (t)| p dt
\biggr) 1/p
, 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [a,b] | x (t)| , p = \infty .
Через Id, d > 0, позначимо коло, зображене у виглядi вiдрiзка довжиною d з ототожненими
кiнцями. У випадку 2\pi -перiодичних функцiй замiсть Lp(I2\pi ) i \| x\| Lp(I2\pi ) будемо писати Lp i
\| x\| p.
Для r \in N через Lr
\infty позначимо множину 2\pi -перiодичних функцiй x : R \rightarrow R, що мають
локально абсолютно неперервнi похiднi до порядку r - 1 включно, причому x(r) \in L\infty .
Символом \varphi r(t), r \in N, позначимо r-й 2\pi -перiодичний iнтеграл iз нульовим середнiм
значенням на перiодi вiд функцiї \varphi 0 (t) = sgn \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t i покладемо \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
У данiй статтi вивчається взаємозв’язок точних констант у нерiвностях типу Колмогорова
\| x(k)\| q \leq C \| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
, x \in Lr
\infty , (1.1)
для 2\pi -перiодичних функцiй, де k, r \in N, k < r, q, p \geq 1, \alpha \in (0, 1), i точних констант у
вiдповiдних нерiвностях типу Колмогорова – Ремеза
\| x(k)\| q \leq C(\beta ) \| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
, x \in Lr
\infty , (1.2)
де B — вимiрна пiдмножина I2\pi , \mu B \leq \beta , \beta \in [0, 2\pi ).
Вiдомо [1], що нерiвнiсть (1.1) має мiсце для всiх функцiй x \in Lr
\infty , якщо i тiльки якщо
\alpha \leq \alpha cr := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1 - k
r
,
r - k + 1/q
r + 1/p
\biggr\}
. (1.3)
c\bigcirc В. О. КОФАНОВ, 2021
506 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ТОЧНИХ НЕРIВНОСТЕЙ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ТА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА 507
Точнi нерiвностi вигляду (1.1) iз максимальним показником \alpha = \alpha cr викликають найбiльший
iнтерес завдяки численним застосуванням в аналiзi та теорiї наближення (див. [2]).
Точнi константи в нерiвностях вигляду (1.1) з \alpha = \alpha cr вiдомi для всiх k, r \in N, k < r, лише
в небагатьох випадках (див. бiблiографiю в [2]). В усiх цих випадках екстремальною функцiєю
в точнiй нерiвностi (1.1) є iдеальний сплайн Ейлера \varphi r(t). Автори статтi [3] висунули гiпотезу
про те, що сплайн \varphi r(t) є екстремальним у всiх точних нерiвностях вигляду (1.1). У роботi [3]
цю гiпотезу доведено для всiх q, p \geq 1 у випадку функцiй малої гладкостi. Зокрема, доведено,
що для r = 2, k = 1 i r = 3, k = 1, 2 має мiсце непокращувана на класi Lr
\infty нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(k)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| \alpha p
\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
, q, p \geq 1, (1.4)
де \alpha = \alpha cr означене спiввiдношенням (1.3).
Зазначимо також, що в роботi [4] дослiджено питання про збiг точних констант у нерiвнос-
тях типу (1.1) для перiодичних функцiй iз точними константами у вiдповiдних нерiвностях для
неперiодичних функцiй на осi.
Подальший крок у напрямку пiдтвердження гiпотези про екстремальнiсть сплайна \varphi r(t) в
нерiвностях вигляду (1.1) було зроблено в роботi [5], в якiй доведено таку теорему.
Теорема А. Нехай k, r \in N, k < r; q, p \geq 1, \alpha = (r - k+1/q)/(r+1/p). Якщо сплайн \varphi r є
екстремальною функцiєю в нерiвностi (1.1) з деяким q = q \geq rp/(r - k), то вiн є екстремаллю
в (1.1) для довiльних q > q, тобто якщо на класi Lr
\infty має мiсце нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| \alpha p
\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
(1.5)
для деякого q = q \geq rp/(r - k), то ця нерiвнiсть виконується на класi Lr
\infty для всiх q \geq q.
За допомогою цiєї теореми i нерiвностi Соляра [6] в роботi [5] доведено таку теорему.
Теорема B. Нехай k \in N, q \geq 2. Для довiльної функцiї x \in L2k
\infty має мiсце нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq
\| \varphi k\| q
\| \varphi 2k\| \alpha 1
\| x\| \alpha 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(2k)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
, (1.6)
де \alpha = (k+1/q)/(2k+1). Рiвнiсть в (1.6) досягається для функцiй вигляду x(t) = a\varphi r(t+ b),
a, b \in R.
З iншого боку, в останнi десятирiччя з’явилося багато робiт, пов’язаних iз нерiвностями
типу Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq C(n, \beta ) \| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.7)
на класi Tn (тригонометричних полiномiв порядку не вищого за n), де B — довiльна вимiрна
за Лебегом множина B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
508 В. О. КОФАНОВ
Цю тематику започаткував Є. Ремез у роботi [7], де було знайдено точну константу C(n, \beta )
в нерiвностi вигляду (1.7) для алгебраїчних многочленiв. Для точної константи C(n, \beta ) в
нерiвностi (1.7) для тригонометричних полiномiв в рядi робiт отримано двостороннi оцiн-
ки. Крiм того, вивчено асимптотичну поведiнку констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi [8] i \beta \rightarrow 0 [9].
(Бiблiографiю з цiєї тематики наведено у [8 – 10].) У роботi [9] доведено нерiвнiсть
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.8)
для довiльного полiнома T \in Tn, що має мiнiмальний перiод 2\pi /m, i довiльної вимiрної за
Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , де \beta \in (0, 2\pi m/n). Рiвнiсть в (1.8) досягається для
полiнома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx+
1
2
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta /2).
Нещодавно було знайдено [11] точну константу в нерiвностi (1.7) для тригонометричних
полiномiв.
Результат роботи [9] було узагальнено у [12] на класи S\varphi (\omega ) 2\omega -перiодичних функцiй iз
заданою функцiєю порiвняння \varphi (такi класи розглядалися в роботах [13, 14]). Як наслiдок
отримано аналог нерiвностi (1.8) для полiномiальних сплайнiв i функцiй класу Lr
\infty (I2\pi ).
В роботах [15 – 18] доведено точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на класах S\varphi (\omega ),
зокрема, для диференцiйовних перiодичних функцiй, тригонометричних полiномiв i сплайнiв.
Точнi нерiвностi типу Колмогорова – Ремеза для функцiй малої гладкостi отримано в [19] .
У роботi [16] доведено таку нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза.
Нехай далi L(x)p — локальна „норма” функцiї x \in Lp, означена рiвнiстю [20]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: [a, b] \subset I2\pi , | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
.
Теорема C. Нехай r \in N, p > 0, \beta \in [0, 2\pi ), а функцiя x \in Lr
\infty (I2\pi ) задовольняє умову
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(I2\pi ). (1.9)
Якщо число \lambda вибрано так, що
\| x\| Lp(I2\pi ) = \| \varphi \lambda ,r\| Lp(I2\pi /\lambda )\| x
(r)\| \infty , (1.10)
то для довiльного q \geq p i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , має
мiсце нерiвнiсть
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (1.11)
де
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
, \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ТОЧНИХ НЕРIВНОСТЕЙ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ТА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА 509
Нерiвнiсть (1.11) є точною i перетворюється в рiвнiсть для функцiї x(t) = \varphi r(t) i множини
B = B1.
Зазначимо, що нерiвнiсть (1.11) при \beta = 0 було доведено в [15]. Зауважимо також, що
вимога (1.9) виконується для довiльної функцiї x \in Lp такої, що
\| x+\| p = \| x - \| p .
Зокрема, умову (1.9) при p = 1 задовольняє будь-яка функцiя x \in L1, яка в середньому
дорiвнює нулю на перiодi. Крiм того, неважко бачити, що вимога (1.9) виконується для функцiй
x \in Lp, що задовольняють рiвнiсть
L(x+)p = L(x - )p.
При p = \infty умова (1.9) перетворюється в тотожнiсть L(x)\infty = \| x\| \infty .
2. Точнi нерiвностi типу Колмогорова – Ремеза. В наступнiй теоремi встановлюється
взаємозв’язок точних нерiвностей типу Колмогорова i точних нерiвностей типу Колмогорова –
Ремеза на класах Lr
\infty .
Теорема 1. Нехай k, r \in N, k < r; q, p \geq 1, q \geq rp/(r - k); \alpha = (r - k + 1/q)/(r + 1/p);
\beta \in [0, 2\pi ). Якщо на класi Lr
\infty виконується нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| \alpha p
\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
(2.1)
для q = q, p = p i \alpha = \alpha , то для довiльних q \geq q, p \in (0, p], для всiх функцiй x \in Lr
\infty , що
задовольняють умову
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(I2\pi ), (2.2)
i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , де число \lambda вибрано так, що
\| x\| Lp(I2\pi ) = \| \varphi \lambda ,r\| Lp(I2\pi /\lambda )\| x
(r)\| \infty , (2.3)
має мiсце нерiвнiсть
\| x(k)\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r - k\| Lq(I2\pi )
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (2.4)
в якiй
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
, \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
.
Нерiвнiсть (2.4) є точною i перетворюється в рiвнiсть для функцiї x(t) = \varphi r(t) i множини
B = B1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
510 В. О. КОФАНОВ
Доведення. Нехай на класi Lr
\infty виконується нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| \alpha p
\| x\| \alpha p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha
\infty
(2.5)
i q \geq q. Тодi за теоремою A на класi Lr
\infty має мiсце нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| \alpha 1
p
\| x\| \alpha 1
p
\bigm\| \bigm\| \bigm\| x(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - \alpha 1
\infty
, (2.6)
де \alpha 1 =
r - k + 1/q
r + 1/p
.
Нехай далi p \in (0, p], функцiя x \in Lr
\infty задовольняє умову (2.2), а число \lambda > 0 - умову
(2.3). Тодi за теоремою C для довiльної вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda ,
виконується нерiвнiсть (1.11):
\| x\| p \leq \| \varphi r\| p
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha 2
\| x(r)\| 1 - \alpha 2
\infty , (2.7)
де \alpha 2 =
r + 1/p
r + 1/p
.
Оцiнюючи \| x\| \alpha 1
p в (2.6) за допомогою нерiвностi (2.7) i враховуючи, що \alpha 1 \cdot \alpha 2 = \alpha ,
отримуємо нерiвнiсть (2.4).
Теорему 1 доведено.
З теореми 1 i нерiвностi (1.4) безпосередньо випливає таке твердження.
Теорема 2. Нехай r = 2, k = 1 або r = 3, k = 1, 2; q, p \geq 1, q \geq rp/(r - k). Тодi для всiх
функцiй x \in Lr
\infty , що задовольняють умову
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(I2\pi ),
i довiльної вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , де число \lambda вибрано так, що
\| x\| Lp(I2\pi ) = \| \varphi \lambda ,r\| Lp(I2\pi /\lambda )\| x
(r)\| \infty ,
виконується нерiвнiсть
\| x(k)\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r - k\| Lq(I2\pi )
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (2.8)
в якiй
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
, \alpha =
r - k + 1/q
r + 1/p
.
Нерiвнiсть (2.8) є точною i перетворюється в рiвнiсть для функцiї x(t) = \varphi r(t) i множини
B = B1.
З теорем 1 i B випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ТОЧНИХ НЕРIВНОСТЕЙ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ТА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА 511
Теорема 3. Нехай k \in N, q \geq 2, p \leq 1. Для довiльної функцiї x \in L2k
\infty , що задовольняє
умову
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(I2\pi ) ,
i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , де число \lambda вибрано так, що
\| x\| Lp(I2\pi ) = \| \varphi \lambda ,r\| Lp(I2\pi /\lambda )\| x
(2k)\| \infty ,
має мiсце нерiвнiсть
\| x(k)\| q \leq \| \varphi k\| q
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi 2k\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha
\| x(2k)\| 1 - \alpha
\infty , (2.9)
де \alpha = (k + 1/q)/(2k + 1).
Нерiвнiсть (2.9) є точною i перетворюється в рiвнiсть для функцiї x(t) = \varphi r(t) i множини
B = B1.
3. Точнi нерiвностi типу Бернштейна – Ремеза для тригонометричних полiномiв i полi-
номiальних сплайнiв. Символом Tn позначимо простiр тригонометричних полiномiв порядку,
що не перевищує n. У роботi [16] доведено таку теорему.
Теорема D. Нехай n,m \in N, p > 0. Якщо тригонометричний полiном T \in Tn має мiнi-
мальний перiод 2\pi /m, m \leq n, i задовольняє умову
L(T )p \leq 2
- 1
p \| T\| Lp(I2\pi /m), (3.1)
то для довiльного q \geq p i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , \beta \in
\in [0, 2\pi m/n), виконується нерiвнiсть
\| T\| Lq(I2\pi ) \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lq(I2\pi )
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lp(I2\pi \setminus B(m,n))
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B), (3.2)
де
B(m,n) :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4m
, - \pi
2
+
\beta n
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4m
,
\pi
2
+
\beta n
4m
\biggr]
.
Нерiвнiсть (3.2) є точною i перетворюється в рiвнiсть для довiльного полiнома T (t) =
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mt, m \leq n, i множини
B = Bm :=
m - 1\bigcup
k=0
\biggl\{ \biggl( \biggl[
- \pi
2m
- \beta
4m
, - \pi
2m
+
\beta
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2m
- \beta
4m
,
\pi
2m
+
\beta
4m
\biggr] \biggr)
+
2k\pi
m
\biggr\}
.
Застосовуючи нерiвнiсть
\| T (k)\| Lq(I2\pi ) \leq nk\| T\| Lq(I2\pi ), q > 0,
яка належить Бернштейну (див., наприклад, [21, с. 20]) при q = \infty , Зигмунду [21] у випадку
q \in [1,\infty ) i Арестову [22] у випадку q \in (0, 1), а потiм оцiнюючи норму \| T\| Lq(I2\pi ) за
допомогою теореми D (для m = 1), отримуємо наступну нерiвнiсть типу Бернштейна – Ремеза.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
512 В. О. КОФАНОВ
Теорема 4. Нехай k, n \in N, p > 0. Якщо тригонометричний полiном T \in Tn задовольняє
умову
L(T )p \leq 2
- 1
p \| T\| Lp(I2\pi ),
то для довiльного q \geq p i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , \beta \in
\in [0, 2\pi /n), виконується нерiвнiсть
\| T (k)\| Lq(I2\pi ) \leq n
k+ 1
p
- 1
q
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lq(I2\pi )
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B), (3.3)
де
B1 :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4
, - \pi
2
+
\beta n
4
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4
,
\pi
2
+
\beta n
4
\biggr]
.
Нерiвнiсть (3.3) є точною на класi всiх тригонометричних полiномiв i перетворюється в
рiвнiсть для полiнома T (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t i множини B = B1.
Символом Sn,r, n, r \in N, позначимо множину 2\pi -перiодичних полiномiальних сплайнiв
порядку r дефекту 1 з вузлами в точках i\pi /n, i \in Z.
У роботi [23] доведено таке твердження.
Теорема E. Нехай k, r, n \in N, k < r; p = 1 або p = 2, q \geq p. Для довiльного сплайна
s \in Sn,r має мiсце нерiвнiсть
\| s(k)\| q \leq n
k+ 1
p
- 1
q
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| p
\| s\| p . (3.4)
Нерiвнiсть (3.4) непокращувана в тому сенсi, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in N
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in Sn,r
s \not =0
\| s(k)\| q
nk+1/p - 1/q \| s\| p
=
\| \varphi r - k\| q
\| \varphi r\| p
.
Окрiм того, в роботi [16] отримано наступний аналог теореми D для сплайнiв.
Теорема F. Нехай r, n,m \in N, p > 0. Якщо сплайн s \in Sn,r має мiнiмальний перiод
2\pi /m, m \leq n, i задовольняє умову
L(s)p \leq 2
- 1
p \| s\| Lp(I2\pi /m), (3.5)
то для довiльного q \geq p i будь-якої вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , \beta \in
\in [0, 2\pi m/n), виконується нерiвнiсть
\| s\| Lq(I2\pi ) \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p
- 1
q \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B(m,n))
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B), (3.6)
де
B(m,n) :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4m
, - \pi
2
+
\beta n
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4m
,
\pi
2
+
\beta n
4m
\biggr]
.
Нерiвнiсть (3.6) є точною i перетворюється в рiвнiсть для сплайна s(t) = \varphi n,r(t) i мно-
жини
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
ПРО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК ТОЧНИХ НЕРIВНОСТЕЙ ТИПУ КОЛМОГОРОВА ТА КОЛМОГОРОВА – РЕМЕЗА 513
B = Bn :=
n - 1\bigcup
k=0
\biggl\{ \biggl( \biggl[
- \pi
2n
- \beta
4n
, - \pi
2n
+
\beta
4n
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2n
- \beta
4n
,
\pi
2n
+
\beta
4n
\biggr] \biggr)
+
2k\pi
n
\biggr\}
.
Застосовуючи нерiвнiсть (3.4) у випадку q \geq 2, p = 2 або у випадку q \geq 1, p = 1, а потiм
оцiнюючи \| s\| p за допомогою нерiвностi (3.6) з m = 1, отримуємо наступну нерiвнiсть типу
Бернштейна – Ремеза для сплайнiв.
Теорема 5. Нехай k, r, n \in N, k < r; q \geq 2, p \in (0, 2] або q \geq 1, p \in (0, 1]. Якщо сплайн
s \in Sn,r задовольняє умову
L(s)p \leq 2
- 1
p \| s\| Lp(I2\pi ),
то для довiльної вимiрної за Лебегом множини B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , \beta \in [0, 2\pi /n), має мiсце
нерiвнiсть
\| s(k)\| Lq(I2\pi ) \leq n
k+ 1
p
- 1
q
\| \varphi r - k\| Lq(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B), (3.7)
де
B1 :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4
, - \pi
2
+
\beta n
4
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4
,
\pi
2
+
\beta n
4
\biggr]
.
Нерiвнiсть (3.7) є точною на множинi всiх сплайнiв
\bigcup
n\in N Sn,r i перетворюється в рiвнiсть
для сплайна s(t) = \varphi r(t) i множини B1.
Лiтература
1. Б. Е. Клоц, Приближение дифференцируемых функций функциями большей гладкости, Мат. заметки, 21, № 1,
21 – 32 (1977).
2. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
3. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей
производной в случае малых гладкостей, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1298 – 1308 (2001).
4. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных
на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579 – 589 (2003).
5. V. A. Kofanov, V. E. Miropolskiy, On the best constants in inequalities of Kolmogorov type, East J. Approx., 13,
№ 4, 455 – 466 (2007).
6. В. Г. Соляр, Об одном неравенстве между нормами функции и ее производных, Изв. вузов. Математика, 2,
165 – 168 (1976).
7. E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. т-ва, сер. 4, 13, вип. 1, 93 – 95 (1936).
8. M. I. Ganzburg, On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials, J. Approx. Theory, 164, 1233 – 1237
(2012).
9. E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Consr. Approx., 38, 101 – 132
(2013).
10. M. I. Ganzburg, Polynomial inequalities on measurable sets and their applications, Consr. Approx., 17, 275 – 306
(2001).
11. S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, https://www.researchgate.net/publication/327905401.
12. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов, Укр. мат. журн., 68, № 2, 227 – 240 (2016).
13. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
514 В. О. КОФАНОВ
14. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
15. В. А. Кофанов, Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций, Укр. мат. журн.,
67, № 2, 202 – 212 (2015).
16. В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических
функций, полиномов и сплайнов, Укр. мат. журн., 69, № 2, 173 – 188 (2017).
17. А. Е. Гайдабура, В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с
заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 69, № 11, 1472 – 1485 (2017).
18. В. А. Кофанов, И. В. Попович, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными огра-
ничениями на функции, Укр. мат. журн., 72, № 7, 918 – 927 (2020).
19. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Колмогорова – Ремеза для периодических функций малой гладкости,
Укр. мат. журн., 72, № 2, 483 – 493 (2020).
20. A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35,
№ 2, 148 – 168 (1982).
21. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 2, Мир, Москва (1965).
22. В. В. Арестов, Об интегральных неравенствах для полиномов и сплайнов, Изв. АН СССР. Сер. мат., 45, 3 – 32
(1982).
23. В. А. Кофанов, О точных неравенствах типа Бернштейна для сплайнов, Укр. мат. журн., 58, № 10, 1357 – 1367
(2006).
Одержано 17.09.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6310 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:01Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b2/22227e754f28fe10f13997b60cedcfb2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63102025-03-31T08:48:15Z On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities Про взаємозв'язок точних нерівностей типу Колмогорова та Колмогорова-Ремеза Kofanov, V. A. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. Точні константи в нерівностях типу Колмогорова, Ремеза, Бернштейна, теорема про взаємозв'язок. Sharp constant in Kolmogorov in UDC 517.5 We establish a new theorem on correlation between the sharp constants in the Kolmogorov type inequalities and the sharp constants in the Kolmogorov–Remez type inequalities for differentiable periodic functions. As a consequence, we obtain new sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for such functions. We also derive new sharp Bernstein–Remez type inequalities for trigonometric polynomials and polynomial splines. &nbsp; &nbsp; &nbsp; Получена новая теорема о взаимосвязи точных констант в неравенствах типа Колмогорова и Колмогорова-Ремеза на классах дифференцируемых функций. Как следствие, доказаны новые точные неравенства типа Колмогорова-Ремеза на таких классах функций. Кроме того, доказаны новые точные неравенства типа Бернштейна-Ремеза для тригонометрических полиномов и полиномиальных сплфйнов.&nbsp; УДК 517.5 Доведено теорему про взаємозв'язок точних констант у нерівностях типу Колмогорова і Колмогорова–Ремеза для диференційовних періодичних функцій. Як наслідок встановлено новi точнi нерiвностi типу Колмогорова–Ремеза на класах таких функцій. Крім того, отримано новi точнi нерiвностi типу Бернштейна–Ремеза для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-04-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6310 10.37863/umzh.v73i4.6310 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 4 (2021); 506 - 514 Український математичний журнал; Том 73 № 4 (2021); 506 - 514 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6310/9003 Copyright (c) 2021 Володимир Олександрович Кофанов |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, Владимир Александрович Кофанов, В. О. On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title_alt | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities Про взаємозв'язок точних нерівностей типу Колмогорова та Колмогорова-Ремеза |
| title_full | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title_fullStr | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title_full_unstemmed | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title_short | On correlation between sharp Kolmogorov type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez type inequalities |
| title_sort | on correlation between sharp kolmogorov type inequalities and sharp kolmogorov–remez type inequalities |
| topic_facet | Точні константи в нерівностях типу Колмогорова Ремеза Бернштейна теорема про взаємозв'язок. Sharp constant in Kolmogorov in |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6310 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva oncorrelationbetweensharpkolmogorovtypeinequalitiesandsharpkolmogorovremeztypeinequalities AT kofanovvladimiraleksandrovič oncorrelationbetweensharpkolmogorovtypeinequalitiesandsharpkolmogorovremeztypeinequalities AT kofanovvo oncorrelationbetweensharpkolmogorovtypeinequalitiesandsharpkolmogorovremeztypeinequalities AT kofanovva provzaêmozv039âzoktočnihnerívnostejtipukolmogorovatakolmogorovaremeza AT kofanovvladimiraleksandrovič provzaêmozv039âzoktočnihnerívnostejtipukolmogorovatakolmogorovaremeza AT kofanovvo provzaêmozv039âzoktočnihnerívnostejtipukolmogorovatakolmogorovaremeza |