Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane
UDC 517.9 We consider a fractional extension of the parabolic equation degenerating on the initial hyperplane. In this case, we construct and investigate a fundamental solution of the Cauchy problem, as well as the solution of the nonhomogeneous equation.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6320 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512332537397248 |
|---|---|
| author | Ponomarenko , A. M. Пономаренко, А. М. Пономаренко, А. М. |
| author_facet | Ponomarenko , A. M. Пономаренко, А. М. Пономаренко, А. М. |
| author_sort | Ponomarenko , A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:21Z |
| description | UDC 517.9
We consider a fractional extension of the parabolic equation degenerating on the initial hyperplane. In this case, we construct and investigate a fundamental solution of the Cauchy problem, as well as the solution of the nonhomogeneous equation. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i3.6320 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i3.6320
УДК 517.9
А. М. Пономаренко (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ
НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI
We consider a fractional extension of the parabolic equation degenerating on the initial hyperplane. In this case, we construct
and investigate a fundamental solution of the Cauchy problem, as well as the solution of the nonhomogeneous equation.
У модельних прикладах розв’язок субординованого рiвняння задовольняє рiвняння дробового порядку, яке моделює
повiльнi фiзичнi процеси. У статтi побудовано та дослiджено фундаментальний розв’язок задачi Кошi, а також
знайдено розв’язок неоднорiдного рiвняння.
Вступ. Прикладом моделi параболiчного рiвняння, виродженого на початковiй гiперплощинi,
є рiвняння
\partial u(t, x)
\partial t
=
\gamma + 1
2
t\gamma \Delta u(t, x) + f(t, x), t > 0, x \in \BbbR n, (1)
де \gamma > - 1. Рiвняння цього типу, що задовольняються граничними розподiлами дробових бро-
унiвських рухiв, з’являються в рiзних фiзичних i бiологiчних моделях [1, 2]. Фундаментальний
розв’язок задачi Кошi для рiвняння (1) було знайдено в [3]; щодо загальних властивостей
параболiчних рiвнянь, вироджених на початковiй гiперплощинi, див. [4 – 6].
У цiй роботi розглядається задача Кошi для дробового узагальнення рiвняння (1), отрима-
ного з (1) перетворенням субординацiї
\infty \int
0
ft(\tau )u(\tau , x)d\tau ,
де ft(\tau ) — перехiдна щiльнiсть iнверсного \alpha -стiйкого субординатора, 0 < \alpha < 1. Форму
отриманого рiвняння було знайдено в [7].
1. Обернений \bfitbeta -стiйкий субординатор [9 – 11]. Субординатор — це неспадний процес
Левi. Процес Левi — це випадковий процес iз стацiонарними незалежними приростами. Стiйкий
субординатор Wt, t \geq 0, задовольняє умови
W0 = 0,
Wct = c1/\beta Wt, c > 0, при деякому \beta \in (0, 1).
Нехай g(s, t) — густина розподiлу процесу Wt. Тодi
g(s, t) = t - 1/\beta g(st - 1/\beta , 1).
Обернений стiйкий субординатор Et, тобто обернена випадкова функцiя до Wt,
Et = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : Wu > t\} ,
є моментом першого виходу стiйкого субординатора за рiвень t \geq 0. Густина розподiлу проце-
су Et
h(s, t) =
t
\beta
s
- 1 - 1
\beta g(ts - 1/\beta , 1).
Маємо перетворення Лапласа
c\bigcirc А. М. ПОНОМАРЕНКО, 2021
370 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI 371
\widetilde g(p, t) = \infty \int
0
e - psg(s, t) ds = e - tp\beta ,
\widetilde h(s, p) = \infty \int
0
e - pth(s, t) dt = p\beta - 1e - sp\beta .
Функцiя h допускає зображення через функцiю Райта:
h(s, t) = t - \beta \Phi \beta (st
- \beta ), \Phi \beta (z) =
\infty \sum
n=0
( - z)n
n!\Gamma ( - \beta n+ 1 - \beta )
.
Функцiю h(s, t) часто позначають як ft(s) або \varphi t,\beta (s); ця функцiя збiгається iз субординацiй-
ним ядром для C0-пiвгруп [8].
2. Однорiдне рiвняння. 1. Задача Кошi для рiвняння 1-го порядку за часом має вигляд
\partial u(t, x)
\partial t
=
\gamma + 1
2
t\gamma \Delta u(t, x), t > 0, x \in \BbbR n, (2)
u(0, x) = \psi (x),
де \gamma > - 1. Її розв’язок
u(t, x) =
1
(2\pi )n/2
\int
\BbbR n
t - n(1+\gamma )/2e -
| x - \xi | 2
2t\gamma +1 \psi (\xi )d\xi =
\int
\BbbR n
Z(t, x - \xi )\psi (\xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n, (3)
тобто фундаментальний розв’язок задачi Кошi (2) має вигляд [3]
Z(t, x) =
1
(2\pi )n/2
t - n(1+\gamma )/2e -
| x| 2
2t\gamma +1 . (4)
У статтi [3] наведено оцiнки даного розв’язку, а також теореми його iснування та єдиностi.
2. Задача Кошi для перетвореного „дробового” рiвняння [7] має вигляд
(D\alpha
\ast v) (t, x) =
\gamma + 1
2
G\gamma ,t\Delta v(t, x), t > 0, x \in \BbbR n, (5)
v(0, x) = \psi (x),
де
(G\gamma ,tv) (t, x) =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\tau )\tau
\gamma u(\tau , x) d\tau , (6)
або в явному виглядi
(G\gamma ,tv) (t, x) = \alpha \Gamma (\gamma + 1)J1 - \alpha
t \scrL - 1
s\rightarrow t
\left\{ 1
2\pi i
C+i\infty \int
C - i\infty
\widetilde v(z, x)
(s\alpha - z\alpha )\gamma +1
dz
\right\} (t). (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
372 А. М. ПОНОМАРЕНКО
Тут 0 < C < s, z\alpha — основне значення багатозначної функцiї, \scrL - 1
s\rightarrow t — обернене перетворення
Лапласа, D\alpha
\ast — дробова похiдна Капуто – Джрбашяна порядку \alpha , J1 - \alpha — дробовий iнтеграл
Рiмана – Лiувiлля порядку 1 - \alpha .
Розв’язок задачi Кошi (5) має вигляд
v(t, x) =
\infty \int
0
\Biggl[
t - \alpha
\infty \sum
k=0
( - \tau t - \alpha )k
k!\Gamma ( - \alpha k + 1 - \alpha )
\Biggr] \left[ \int
\BbbR n
1
(2\pi )n/2
\tau - n(1+\gamma )/2e -
| x - \xi | 2
2\tau \gamma +1 \psi (\xi )d\xi
\right] d\tau =
=
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\tau )u(\tau , x) d\tau ,
де
\varphi t,\alpha (\tau ) = t - \alpha
\infty \sum
k=0
( - \tau t - \alpha )k
k!\Gamma ( - \alpha k + 1 - \alpha )
,
а u(t, x) визначено формулою (3).
Замiною порядку iнтегрування отримуємо розв’язок задачi Кошi (5) в iншому виглядi
v(t, x) =
\int
\BbbR n
\left[ \infty \int
0
\Biggl[
t - \alpha
\infty \sum
k=0
( - \tau t - \alpha )k
k!\Gamma ( - \alpha k + 1 - \alpha )
\Biggr] \biggl[
1
(2\pi )n/2
\tau - n(1+\gamma )/2e -
| x - \xi | 2
2\tau \gamma +1
\biggr]
d\tau
\right] \psi (\xi )d\xi =
=
\int
\BbbR n
\left[ \infty \int
0
\varphi t,\alpha (\tau )Z(\tau , x - \xi )d\tau
\right] \psi (\xi )d\xi = \int
\BbbR n
Z\alpha (t, x - \xi )\psi (\xi )d\xi , (8)
де
Z\alpha (t, x) =
\infty \int
0
t - \alpha
\infty \sum
k=0
\biggl[
( - \tau t - \alpha )k
k!\Gamma ( - \alpha k + 1 - \alpha )
\biggr]
1
(2\pi )n/2
\tau - n(1+\gamma )/2e -
| x| 2
2\tau \gamma +1 d\tau =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\tau )Z(\tau , x)d\tau
(9)
— фундаментальний розв’язок задачi Кошi (5).
3. Оцiнки фундаментального розв’язку та теорема про iснування розв’язку для одно-
рiдного рiвняння.
Теорема 3.1. Справджуються оцiнки\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ\alpha (t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- c
\Bigl(
| x| 2t - \alpha (\gamma +1)
\Bigr) 1
2 - \alpha
\biggr\}
, R \geq 1,\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ\alpha (t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha | x| - (n+| \beta | )(\gamma +1)+2, R \leq 1, n+ | \beta | > 2,\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ\alpha (t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2 , R \leq 1, n+ | \beta | < 2,\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ\alpha (t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha , n = 1, R \leq 1, n+ | \beta | = 2,\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ\alpha (t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha
\bigl( \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \bigl( t - \alpha (1+\gamma )| x| 2
\bigr) \bigm| \bigm| + 1
\bigr)
, n \geq 2, R \leq 1, n+ | \beta | = 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI 373
де R := | x| 2t - \alpha (\gamma +1), C, c — деякi сталi, Z\alpha (t, x) — фундаментальний розв’язок (9) задачi
Кошi (5).
Доведення аналогiчне до наведеного в п. 4 статтi [12]. Наприклад, проведемо доведення для
одного iз випадкiв. Оцiнка для Z(t, x) має вигляд\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xZ(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Ct -
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- c| x| 2t - (\gamma +1)
\bigr\}
,
а оцiнка для \varphi t,\alpha (s)
0 \leq \varphi t,\alpha (s) \leq Ct - \alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- cs
1
1 - \alpha t -
\alpha
1 - \alpha
\bigr\}
, s > 0. (10)
Оцiнимо
D\beta
xZ\alpha (t, x) =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (s)D
\beta
xZ(s, x)ds, x \not = 0. (11)
Покладемо R = | x| 2t - \alpha (\gamma +1).
Випадок 1: R \geq 1. Пiдставляючи (10), (11) у (9), одержуємо
| D\beta
xZ\alpha (t, x)| \leq t - \alpha
\infty \int
0
s -
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- c| x| 2s - (\gamma +1)
\bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- cs
1
1 - \alpha t -
\alpha
1 - \alpha
\bigr\}
ds. (12)
Виконаємо в (12) замiну s = \sigma - 1. В результатi отримаємо
| D\beta
xZ\alpha (t, x)| \leq t - \alpha
\infty \int
0
\sigma
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2
- 2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- c| x| 2\sigma (\gamma +1)
\bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- c\sigma -
1
1 - \alpha t -
\alpha
1 - \alpha
\Bigr\}
d\sigma . (13)
Виконавши в (13) замiну \sigma = t - \alpha \eta , будемо мати
| D\beta
xZ\alpha (t, x)| \leq t - \alpha
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2
\infty \int
0
\eta
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2
- 2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- c| x| 2t - \alpha (\gamma +1)\eta \gamma +1
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- c\eta -
1
1 - \alpha
\Bigr\}
d\eta .
(14)
Застосуємо формулу [12]
\Omega (\xi ) =
\infty \int
0
e - \xi \phi e - s\phi - \chi
\phi \lambda d\phi \sim a0(s\chi \xi
- 1)
\lambda +1
\chi +1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
-
\biggl(
1 +
1
\chi
\biggr)
\rho
\biggr\}
\rho - 1/2, \zeta \rightarrow \infty , (15)
де \rho = (s\chi \xi \chi )
1
\chi +1 , a0 = 2
\biggl(
2
1 + \chi
\biggr) 1
2
\Gamma
\biggl(
1
2
\biggr)
. Покладемо в (14), (15) \xi = R = | x| 2t - \alpha (\gamma +1),
s = c, \chi =
1
1 - \alpha
, \lambda =
1
2
(n+ | \beta | ) - 2. Тодi отримаємо оцiнку
| D\beta
xZ\alpha (t, x)| \leq Ct - \alpha
(n+| \beta | )(\gamma +1)
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- c(| x| 2t - \alpha (\gamma +1))
1
2 - \alpha
\Bigr\}
.
Випадок 2: R \leq 1, n + | \beta | > 2, випадок 3: R \leq 1, n + | \beta | < 2 та випадок 4: R \leq 1,
n+ | \beta | = 2 доводяться подiбно до [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
374 А. М. ПОНОМАРЕНКО
Теорема 3.2 (про iснування розв’язку для однорiдного рiвняння). Нехай функцiя \psi обме-
жена i неперервна. Тодi розв’язок (8) задачi Кошi (5) iснує в класичному сенсi.
Доведення проводиться подiбно до [4], але оскiльки ми розглядаємо випадок з вироджен-
ням, замiсть оцiнок iз [4] в даному випадку використовуються оцiнки з теореми 3.1.
4. Неоднорiдне рiвняння. Задача Кошi для неоднорiдного рiвняння першого порядку за
часом має вигляд
\partial u(t, x)
\partial t
=
\gamma + 1
2
t\gamma \Delta u(t, x) + g(t, x), t > 0, x \in \BbbR n, (16)
u(0, x) = \psi (x),
а її розв’язок
u(t, x) =
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR n
Z(0)(t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi +
\int
\BbbR n
Z(t, x - \xi )\psi (\xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n, (17)
де Z(t, x - \xi ) визначено формулою (4), а Z(0)(t, \tau , x - \xi ) має вигляд [3, с. 2738, 2739]
Z(0)(t, \tau , x - \xi ) =
1
(2\pi )
n
2
(t\gamma +1 - \tau \gamma +1) - n/2e
- | x - \xi | 2
2(t\gamma +1 - \tau \gamma +1) , t > 0, x \in \BbbR n.
Нехай B(0 < t < T ) – простiр обмежених i неперервних функцiй на iнтервалi 0 < t < T.
Лема 4.1. Якщо функцiї g та \partial xig, i = 1, . . . , n, належать B(0 < t < T ), то функцiя
u1(t, x) :=
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR n
Z(0)(t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi , (x, t) \in \{ 0 < t < T\} ,
належить B(0 < t < T ) та є класичним розв’язком задачi Кошi (16) в областi \{ 0 < t < T\} ;
при цьому
\| u2\| B(0<t<T ) \leq T\| g\| B(0<t<T ), (x, t) \in \{ 0 < t < T\} .
Оскiльки g \in C2 по x при кожному t та її частиннi похiднi обмеженi, то u(t, x) вигляду
(17) при \psi \equiv 0 — це класичний розв’язок рiвняння (16). При цьому
u(t, x) =
t\int
0
d\tau
\int
\BbbR n
Z(0)(t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n,
де \int
\BbbR n
Z(0)(t, \tau , x, x)dx = 1, t > 0, x \in \BbbR n.
Задачу Кошi для дробового рiвняння слiд брати в узгодженому з субординацiєю розв’язкiв
виглядi
\bigl(
D\alpha
\ast ,tv
\bigr)
(t, x) =
\gamma + 1
2
G\gamma ,t\Delta v(t, x) +
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\tau )g(\tau , x)d\tau , t > 0, x \in \BbbR n, (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI 375
v(0, x) = \psi (x),
де G\gamma ,t визначено в (6), (7).
Далi будемо вважати, що у випадку, коли n = 1, \gamma > 1. За цiєї умови завжди
n
2
>
1
\gamma + 1
. (19)
Лема 4.2. Розв’язок задачi Кошi (18) при \psi = 0 має вигляд
v(t, x) =
\infty \int
0
d\tau
\infty \int
\tau
Y\alpha (t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n,
де функцiя Грiна
Y\alpha (\theta , \tau , x - \xi ) :=
\int
\BbbR n
\varphi t,\alpha (\theta )Z(0)(\theta , \tau , x - \xi )d\theta , t > 0, x \in \BbbR n.
Доведення. Нехай
u(t, x) =
t\int
0
d\tau
\int
Rn
Z(0)(t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n.
Тодi
v(t, x) =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\theta )u(\theta , x)d\theta =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\theta )d\theta
\theta \int
0
d\tau
\int
Rn
Z(0)(\theta , \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi =
=
\infty \int
0
d\tau
\infty \int
\tau
\varphi t,\alpha (\theta )d\theta
\int
Rn
Z(0)(\theta , \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi =
=
\infty \int
0
d\tau
\infty \int
\tau
Y\alpha (t, \tau , x - \xi )g(\tau , \xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n.
Наслiдок 1. Розв’язок задачi Кошi (18) можна подати у виглядi
v(t, x) =
\infty \int
0
d\tau
\int
\BbbR n
\left[ \infty \int
\tau
\varphi t,\alpha (\theta )Z(0)(\theta , \tau , x - \xi )d\theta
\right] g(\tau , \xi )d\xi +
+
\int
\BbbR n
\left[ \infty \int
0
\varphi t,\alpha (\theta )Z(\theta , x - \xi )d\theta
\right] \psi (\xi )d\xi , t > 0, x \in \BbbR n. (20)
Тодi функцiя Грiна Y\alpha задачi Кошi (18) при \psi = 0 буде мати вигляд
Y\alpha (t, \tau , x) :=
\infty \int
\tau
\varphi t,\alpha (\theta )Z(0)(\theta , \tau , x)d\theta =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
376 А. М. ПОНОМАРЕНКО
=
1
(2\pi )
n
2
\infty \int
\tau
\varphi t,\alpha (\theta )(\theta
\gamma +1 - \tau \gamma +1) - n/2e -
1
2
| x| 2(\theta \gamma +1 - \tau \gamma +1) - 1
d\theta =
=
1
(2\pi )
n
2
\tau
\infty \int
1
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )\tau
- n(\gamma +1)
2 (\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e -
1
2
| x| 2\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda , t > 0, x \in \BbbR n.
(21)
5. Оцiнки фундаментального розв’язку та теорема про iснування розв’язку для не-
однорiдного рiвняння.
Теорема 5.1. Для функцiї Грiна (21) задачi Кошi (18) та її похiдних справджуються оцiнки
| Y\alpha (t, \tau , x)| \leq C| x| - n+ 2
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0, (22)\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
xY\alpha (t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C| x| - (n+| \beta | )+ 2
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0, (23)\bigm| \bigm| \bigm| D\beta
\ast ,tY\alpha (t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C| x| - (n+| \beta | )+ 2
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0, (24)
де C, c > 0 — деякi сталi.
Доведення. Запишемо Y\alpha (t, \tau , x) = Y\alpha ,1(t, \tau , x) + Y\alpha ,2(t, \tau , x), де Y\alpha ,1 вiдповiдає iнтегру-
ванню по (1, 2), а Y\alpha ,2 — по (2,\infty ):
Y\alpha (t, \tau , x) =
1
(2\pi )
n
2
\tau
2\int
1
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )\tau
- n(\gamma +1)
2 (\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e -
1
2
| x| 2\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda +
+
1
(2\pi )
n
2
\tau
\infty \int
2
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )\tau
- n(\gamma +1)
2 (\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e -
1
2
| x| 2\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda =
= Y\alpha ,1(t, \tau , x) + Y\alpha ,2(t, \tau , x),
де
Y\alpha ,1(t, \tau , x) =
1
(2\pi )
n
2
\tau
2\int
1
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )\tau
- n(\gamma +1)
2 (\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e -
1
2
| x| 2\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda ,
Y\alpha ,2(t, \tau , x) =
1
(2\pi )
n
2
\tau
\infty \int
2
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )\tau
- n(\gamma +1)
2 (\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e -
1
2
| x| 2\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda .
Покладемо a :=
| x| 2
2
. Далi C буде позначати рiзнi додатнi сталi. Будемо використовувати
оцiнку (10), з якої випливає, що
| Y\alpha ,1(t, \tau , x)| \leq Ct - \alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - c\tau
1
1 - \alpha t -
\alpha
1 - \alpha )\tau -
n(\gamma +1)
2
+1I1,1, (25)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI 377
I1,1 =
2\int
1
(\lambda \gamma +1 - 1) - n/2e - a\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda . (26)
В iнтегралi (26) виконаємо замiну
(\lambda \gamma +1 - 1) - 1 = z,
тодi
\lambda =
\biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
, d\lambda =
1
1 + \gamma
\biggl(
- 1
z2
\biggr) \biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
- 1
.
Точка \lambda = 1 вiдповiдає z = \infty , а \lambda = 2 — точцi z0 = (2\gamma +1 - 1) - 1 > 0. Тодi
I1,1 =
1
1 + \gamma
\infty \int
z0
zn/2 - 2
\biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
- 1
e - a\tau - (\gamma +1)zdz \leq
\leq C
\infty \int
z0
z
n/2 - 1 - 1
\gamma +1 e - a\tau - (\gamma +1)zdz.
Використовуючи (19), можна оцiнити це зверху iнтегралом по (0,\infty ), а потiм виконати замiну
z = a - 1\tau \gamma +1 :
| I1,1| \leq C
\infty \int
z0
z
n/2 - 1 - 1
\gamma +1 e - a\tau - (\gamma +1)zdz \leq C(a - 1\tau \gamma +1)
n/2 - 1
\gamma +1 \leq
\leq Ca
- n
2
+ 1
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0.
Тодi
| Y\alpha ,1(t, \tau , x)| < t - \alpha e - \tau
1
1 - \alpha \tau
- \alpha
1 - \alpha
\tau -
n(\gamma +1)
2
+1| I1,1| . (27)
Далi оцiнимо Y\alpha ,2(t, \tau , x):
| Y\alpha ,2(t, \tau , x)| \leq Ct - \alpha \tau -
n(\gamma +1)
2
+1
\infty \int
2
e - c(\tau \lambda )
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
\lambda -
n(\gamma +1)
2 e - a\tau - (\gamma +1)\lambda - (\gamma +1)
d\lambda =
= | \theta = \tau \lambda | = Ct - \alpha
\infty \int
2\tau
e - c\theta
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha \lambda - n(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta \leq
\leq Ct - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- 1
1 - \alpha
\infty \int
2\tau
\theta -
n(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta .
Тут враховано нерiвнiсть (19), яка забезпечує збiжнiсть останнього iнтеграла на нескiнченностi.
Тепер
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
378 А. М. ПОНОМАРЕНКО
| Y\alpha ,2(t, \tau , x)| \leq Ct - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- 1
1 - \alpha
\infty \int
0
\theta -
n(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta .
В останнiй рiвностi виконаємо замiну \theta = a
1
\gamma +1 y й отримаємо
| Y\alpha ,2(t, \tau , x)| \leq Ct - \alpha a
- n
2
+ 1
\gamma +1 e - c1\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
\infty \int
0
y -
n(\gamma +1)
2 e - y - (\gamma +1)
dy.
Останнiй iнтеграл є скiнченною сталою: замiна y =
1
z
показує, що вiн дорiвнює
\infty \int
0
z -
n(\gamma +1)
2
- 2e - z\gamma +1
dz <\infty
внаслiдок (19). Разом iз (27) цi оцiнки дають (22).
Покажемо, що оцiнка виразу
D1
xY\alpha (t, \tau , x) = - | x| \tau - (\gamma +1)\times
\times
\infty \int
1
\varphi t,\alpha (\tau \lambda )(\lambda
\gamma +1 - 1) - (n+1)/2e - a\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda , t > 0, x \in \BbbR n, (28)
має вигляд \bigm| \bigm| D1
xY\alpha (t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq Ca
- (n+1)
2
+ 1
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0,
де a =
| x| 2
2
, C, c > 0 — деякi сталi.
Розiб’ємо iнтеграл (28) на два iнтеграли й оцiнимо вираз
D1
xY\alpha (t, \tau , x) = D1
xY\alpha ,1(t, \tau , x) +D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x),
де D1
xY\alpha ,1(t, \tau , x) вiдповiдає iнтегруванню по (1, 2), а D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x) – по (2,\infty ). Далi оцiнимо
D1
xY\alpha ,1(t, \tau , x).
На пiдставi (25) отримаємо\bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,1(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| < t - \alpha a
1
2 e - \tau
1
1 - \alpha \tau
- \alpha
1 - \alpha
\tau -
(n+2)(\gamma +1)
2
+1J1,1,
де
J1,1 =
2\int
1
(\lambda \gamma +1 - 1) - (n+2)/2e - a\tau - (\gamma +1)(\lambda \gamma +1 - 1) - 1
d\lambda . (29)
Виконаємо у (29) замiну (\lambda \gamma +1 - 1) - 1 = z, тодi \lambda =
\biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
, d\lambda =
1
1 + \gamma
\biggl(
- 1
z2
\biggr)
\times
\times
\biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
- 1
. Далi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ДРОБОВЕ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ, ЩО ВИРОДЖУЄТЬСЯ НА ПОЧАТКОВIЙ ГIПЕРПЛОЩИНI 379
J1,1 =
1
1 + \gamma
\infty \int
z0
z(n+2)/2 - 2
\biggl(
1 +
1
z
\biggr) 1
1+\gamma
- 1
e - a\tau - (\gamma +1)zdz \leq
\leq C
\infty \int
z0
z
(n+2)/2 - 1 - 1
\gamma +1 e - a\tau - (\gamma +1)zdz.
Пiсля замiни z = a - 1\tau \gamma +1 в останнiй рiвностi отримуємо
| J1,1| \leq C
\infty \int
z0
z
(n+2)/2 - 1 - 1
\gamma +1 e - a\tau - (\gamma +1)zdz \leq C(a - 1\tau \gamma +1)z
(n+2)/2 - 1
\gamma +1
.
Отже, пiдставляючи J1,1 в D1
xY\alpha (t, \tau , x)1, одержуємо\bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,1(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq Ca
- n+1
2
+ 1
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0.
Далi \bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq Ca1/2t - \alpha \tau -
(n+2)(\gamma +1)
2
+1
\infty \int
2
e - c(\tau \lambda )
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
\lambda -
(n+2)(\gamma +1)
2 e - a\tau - (\gamma +1)\lambda - (\gamma +1)
d\lambda =
= | \theta = \tau \lambda | = Ca1/2t - \alpha
\infty \int
2\tau
e - c\theta
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha \lambda - (n+2)(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta \leq
\leq Ct - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- 1
1 - \alpha
\infty \int
2\tau
\theta -
(n+2)(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta .
Тодi \bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- 1
1 - \alpha
\infty \int
0
\theta -
(n+2)(\gamma +1)
2 e - a\theta - (\gamma +1)
d\theta .
В останнiй рiвностi виконаємо замiну \theta = a
1
\gamma +1 y й отримаємо
\bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq Ct - \alpha a
- (n+2)
2
+ 1
\gamma +1 e - c1\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
\infty \int
0
y -
(n+2)(\gamma +1)
2 e - y - (\gamma +1)
dy.
Iнтеграл в останнiй нерiвностi є сталою, тому\bigm| \bigm| D1
xY\alpha ,2(t, \tau , x)
\bigm| \bigm| \leq Ca
- (n+1)
2
+ 1
\gamma +1 t - \alpha e - c\tau
1
1 - \alpha t
- \alpha
1 - \alpha
, t > 0.
Звiдси випливає потрiбний результат.
Аналогiчно встановлюється оцiнка (23).
Встановимо оцiнку (24) для дробової похiдної по t. За своєю побудовою функцiя Y\alpha (t, \tau , x)
задовольняє рiвняння (18) при \psi \equiv 0 в класичному сенсi. Тому D\beta
\ast ,t збiгається майже скрiзь з
правою частиною рiвняння (18) i не вимагає окремого дослiдження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
380 А. М. ПОНОМАРЕНКО
Теорема 5.2 (про iснування розв’язку для неоднорiдного рiвняння). Нехай: 1) функцiя \psi
обмежена i неперервна; 2) g \in C2 по x при кожному t; 3) функцiї g та \partial xig, i = 1, . . . , n,
належать B(0 < t < T ); 4) | g(s, \xi )| \leq A(s), де A \in L1(0,\infty ). Тодi розв’язок (20) задачi Кошi
(18) iснує в класичному сенсi.
Доведення. Розв’язок v(t, x) задачi Кошi (18) пов’язаний iз розв’язком u(t, x) задачi (16)
формулою субординацiї
v(t, x) =
\infty \int
0
\varphi t,\alpha (\theta )u(\theta , x) d\theta .
Властивостi гладкостi розв’язку u(t, x) встановлено в лемi 4.1. При цьому iз зображення u(t, x)
через функцiю Грiна Z(0) i тотожностi\int
\BbbR n
Z(0)(t, \tau , x) dx = 1
(див. [3]) випливає, що
| u(t, x)| \leq
t\int
0
A(s) ds \leq const, (t, x) \in \BbbR + \times \BbbR n.
Тому субординальний розв’язок v(t, x) iснує i має тi ж властивостi гладкостi, що й u(t, x).
Лiтература
1. M. Bologna, B. J. West, P. Grigolini, Renewal and memory origin of anomalous diffusion: a discussion of their joint
action, Phys. Rev. E, 88, Article 062106 (2013).
2. M. Bologna, A. Svenkeson, B. J. West, P. Grigolini, Diffusion in heterogeneous media: an iterative scheme for
finding approximate solutions to fractional differential equations with time-dependent coefficients, J. Comput. Phys.,
293, 297 – 311 (2015).
3. K. Kim, K. Lee, On the heat diffusion starting with degeneracy, J. Different. Equat., 262, 2722 – 2744 (2017).
4. S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Kochubei, Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type, Birkhäuser, Basel (2004).
5. A. Friedman, Z. Schuss, Degenerate evolution equation in Hilbert space, Trans. Amer. Math. Soc., 161, 401 – 427
(1971).
6. M. L. Gorbachuk, N. I. Pivtorak, Solutions of evolution equations of parabolic type with degeneration, Different.
Equat., 21, 892 – 897 (1985).
7. M. G. Hahn, K. Kobayashi, S. Umarov, Fokker – Planck – Kolmogorov equations associated with time-changed
fractional Brownian motion, Proc. Amer. Math. Soc., 139, 691 – 705 (2011).
8. E. G. Bazhlekova, Subordination principle for fractional evolution equations, Fract. Calc. and Appl. Anal., 3,
213 – 230 (2000).
9. R. Gorenflo, F. Mainardi, On the fractional Poisson process and the discretized stable subordinator, Axioms, 4,
321 – 344 (2015).
10. M. M. Meerschaert, H.-P. Scheffler, Triangular array limits for continuous time random walks, Stochastic Process.
and Appl., 118, 1606 – 1633 (2008).
11. M. M. Meerschaert, P. Straka, Inverse stable subordinators, Math. Model. Nat. Phenom., 8, 1 – 16 (2013).
12. A. N. Kochubei, Fractional-parabolic systems, Potential Anal., 37, 1 – 30 (2012).
Одержано 10.10.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6320 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:06Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/91/69895cecb6a7a4802452381c2eecb991.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63202025-03-31T08:48:21Z Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane Дробное уравнение диффузии с вырождением на начальной гиперплоскости Дробове рiвняння дифузiї, що вироджується на початковiй гiперплощинi Ponomarenko , A. M. Пономаренко, А. М. Пономаренко, А. М. UDC 517.9 We consider a fractional extension of the parabolic equation degenerating on the initial hyperplane. In this case, we construct and investigate a fundamental solution of the Cauchy problem, as well as the solution of the nonhomogeneous equation. В модельных примерах решение субординированного уравнения удовлетворяет некоторому уравнению дробного порядка, моделирует медленные физические процессы. В статье для субординированного уравнения построено и исследованыо фундаментальне решение задачи Коши, найдено решение неоднородного уравнения. УДК 517.9 У модельних прикладах розв'язок субординованого рівняння задовольняє рівняння дробового порядку, яке моделює повільні фізичні процеси.&nbsp;У статті побудовано та досліджено фундаментальний розв'язок задачі Коші, а також знайдено розв'язок неоднорідного рівняння.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-03-19 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6320 10.37863/umzh.v73i3.6320 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 3 (2021); 370 - 380 Український математичний журнал; Том 73 № 3 (2021); 370 - 380 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6320/8981 Copyright (c) 2021 Артем Пономаренко |
| spellingShingle | Ponomarenko , A. M. Пономаренко, А. М. Пономаренко, А. М. Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title | Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title_alt | Дробное уравнение диффузии с вырождением на начальной гиперплоскости Дробове рiвняння дифузiї, що вироджується на початковiй гiперплощинi |
| title_full | Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title_fullStr | Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title_full_unstemmed | Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title_short | Fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| title_sort | fractional diffusion equation degenerating on the initial hyperplane |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6320 |
| work_keys_str_mv | AT ponomarenkoam fractionaldiffusionequationdegeneratingontheinitialhyperplane AT ponomarenkoam fractionaldiffusionequationdegeneratingontheinitialhyperplane AT ponomarenkoam fractionaldiffusionequationdegeneratingontheinitialhyperplane AT ponomarenkoam drobnoeuravneniediffuziisvyroždeniemnanačalʹnojgiperploskosti AT ponomarenkoam drobnoeuravneniediffuziisvyroždeniemnanačalʹnojgiperploskosti AT ponomarenkoam drobnoeuravneniediffuziisvyroždeniemnanačalʹnojgiperploskosti AT ponomarenkoam droboverivnânnâdifuziíŝovirodžuêtʹsânapočatkovijgiperploŝini AT ponomarenkoam droboverivnânnâdifuziíŝovirodžuêtʹsânapočatkovijgiperploŝini AT ponomarenkoam droboverivnânnâdifuziíŝovirodžuêtʹsânapočatkovijgiperploŝini |