The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain
UDC 512.64 The explicit form of the left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions to the solvable matrix equation $BX=A$ over a commutative domain of elementary divisors is given. It is proved that they are solutions too.
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512333660422144 |
|---|---|
| author | Shchedryk, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_facet | Shchedryk, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_sort | Shchedryk, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:28Z |
| description | UDC 512.64
The explicit form of the left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions to the solvable matrix equation $BX=A$ over a commutative domain of elementary divisors is given. It is proved that they are solutions too. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i2.6321 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i2.6321
УДК 512.64
В. П. Щедрик (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЛIВИЙ НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК
I ЛIВЕ НАЙМЕНШЕ СПIЛЬНЕ КРАТНЕ
ВСIХ РОЗВ’ЯЗКIВ МАТРИЧНОГО РIВНЯННЯ \bfitB \bfitX = \bfitA
НАД КОМУТАТИВНОЮ ОБЛАСТЮ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ
The explicit form of the left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions to the solvable
matrix equation BX = A over a commutative domain of elementary divisors is given. It is proved that they are solutions
too.
Над комутативною областю елементарних дiльникiв вказано явний вигляд лiвого найбiльшого спiльного дiльника i
лiвого найменшого спiльного кратного всiх коренiв розв’язного матричного рiвняння BX = A i доведено, що вони
також є розв’язками цього рiвняння.
Дослiдження розв’язкiв лiнiйних матричних рiвнянь розпочалось у другiй половинi XIX сто-
лiття роботами Сильвестра. За довгу iсторiю вивчення цього питання було розроблено низку
аналiтичних i наближених методiв, а також алгоритмiв їхнього пошуку. У цих дослiдженнях
активно використовувались поняття узагальнено-оберненої матрицi Мура – Пенроуза i кроне-
керiвського добутку матриць. При цьому, поряд iз задачею пошуку розв’язкiв таких рiвнянь,
розглядалося питання виокремлення серед них таких, що мають певнi наперед заданi властивос-
тi. Зокрема, розв’язки з умовою симетрiї дослiджувалися в [1 – 3], ермiтовi додатно визначенi
— у [4, 5], з мiнiмальним рангом — у [6], дiагональнi i трикутнi — у [7].
У цiй статтi дослiджується лiнiйне матричне рiвняння BX = A над комутативною облас-
тю елементарних дiльникiв R [8], тобто комутативною областю, над якою кожна матриця
еквiвалентна дiагональнiй матрицi, кожний дiагональний елемент якої (iнварiантний множник)
дiлить наступний. До класу кiлець елементарних дiльникiв належать евклiдовi кiльця, кiльця
головних iдеалiв, кiльця цiлих аналiтичних функцiй, кiльце неперервних дiйсних функцiй над
цiлком регулярним гаусдорфовим простором, кiльце цiлих алгебраїчних чисел, адекватнi кiльця,
кiльце формальних степеневих рядiв над полем рацiональних чисел iз вiльним цiлим членом.
З оглядом бiблiографiї, що стосується таких кiлець, можна ознайомитись у [9, 10].
Згiдно з теоремою 2 з [11, с. 218], рiвняння BX = A має розв’язок тодi й тiльки тодi, коли
iнварiантнi множники матриць B та
\bigm\| \bigm\| A B
\bigm\| \bigm\| збiгаються. Для пошуку коренiв розв’язного
рiвняння можна використати, зокрема, метод, запропонований у теоремi 1 iз [11, с. 215].
Будемо розглядати коренi рiвняння BX = A з точки зору факторизацiї матриць. Припусти-
мо, що рiвняння BX = A розв’язне. Отже, iснує така матриця C, що A = BC. Це означає,
що матриця B є лiвим дiльником матрицi A. Правильним буде й обернене твердження. Таким
чином, матричне рiвняння BX = A розв’язне тодi й тiльки тодi, коли матриця B є лiвим
дiльником матрицi A. Тому коренi цього рiвняння є частками вiд дiлення матрицi A злiва на
матрицю B. Структуру цих часток описано в [12, 13]. У кiльцi R частка вiд дiлення елемента a
на b позначається як
a
b
. Проте вже в кiльцi матриць над R символ
A
B
не має сенсу. Основною
c\bigcirc В. П. ЩЕДРИК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2 261
262 В. П. ЩЕДРИК
причиною цього є те, що ця частка не завжди визначена однозначно. У зв’язку з цим природно
постає питання вибору серед коренiв рiвняння BX = A в деякому сенсi „твiрного”.
Роль такого елемента може вiдiгравати лiвий найбiльший спiльний дiльник (н.с.д.) (означен-
ня див. нижче) всiх його коренiв, оскiльки в кiльцi матриць над R вiн визначений однозначно
з точнiстю до правої асоцiйованостi (це випливає з теореми 1.11 iз [12]). Тодi постає питання
про те, чи лiвий н.с.д. коренiв рiвняння BX = A знову є його коренем. У пропонованiй
роботi отримано повну вiдповiдь на нього: лiвий н.с.д. всiх коренiв розв’язного матричного
рiвняння BX = A над комутативною областю елементарних дiльникiв знову є його коренем.
Водночас показано, що й лiве найменше спiльне кратне (н.с.к.) коренiв цього рiвняння має таку
ж властивiсть.
Якщо A = BC, то говоритимемо, що матриця A є правим кратним матрицi B. Якщо
A = DA1 i B = DB1, то матрицю D називатимемо лiвим спiльним дiльником матриць A i B.
Окрiм цього, якщо матриця D є правим кратним кожного лiвого спiльного дiльника матриць
A i B, то її називатимемо лiвим н.с.д. матриць A i B.
Якщо S = MT = NK, то матрицю S називатимемо спiльним лiвим кратним матриць T i
K. Якщо ж матриця S є правим дiльником кожного правого спiльного кратного матриць T i
K, то називатимемо її лiвим н.с.к. матриць T i K.
У цiй статтi R — комутативна область елементарних дiльникiв.
Теорема. Лiвий н.с.д. i лiве н.с.к. коренiв розв’язного матричного рiвняння BX = A, де
A,B \in Mn(R), знову є його розв’язками.
Доведення. Запишемо матрицi A,B у виглядi
A = P - 1\mathrm{E}Q - 1, \mathrm{E} = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\varepsilon 1, . . . , \varepsilon k, 0, . . . , 0), \varepsilon i| \varepsilon i+1, i = 1, . . . , k - 1,
B = P - 1
B \Phi Q - 1
B , \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\varphi 1, . . . , \varphi t, 0, . . . , 0), \varphi j | \varphi j+1, j = 1, . . . , t - 1,
де P, PB, Q,QB \in GLn(R). Згiдно з теоремою 4.1 iз [12], матриця B є лiвим дiльником матрицi
A тодi й тiльки тодi, коли PB = LP, де L \in \bfL (E,\Phi ),
\bfL (E,\Phi ) = \{ L \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R)| \exists S \in Mn(R) : LE = \Phi S\} .
З огляду на теорему 4.6 iз [12] отримуємо, що t \geq k, причому \varphi i| \varepsilon i, i = 1, . . . , k. На пiдставi
теореми 4.5 iз [12] множина \bfL (E,\Phi ) складається з усiх оборотних матриць вигляду
L =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L1 L3
L2 L4
\bfzero L5
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де
L1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l11 l12 . . . l1.k - 1 l1k
\varphi 2
(\varphi 2, \varepsilon 1)
l21 l22 . . . l2.k - 1 l2k
. . . . . . . . . . . . . . .
\varphi k
(\varphi k, \varepsilon 1)
lk1
\varphi k
(\varphi k, \varepsilon 2)
lk2 . . .
\varphi k
(\varphi k, \varepsilon k - 1)
lk.k - 1 lkk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ЛIВИЙ НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК I ЛIВЕ НАЙМЕНШЕ СПIЛЬНЕ КРАТНЕ . . . 263
L2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\varphi k+1
(\varphi k+1, \varepsilon 1)
lk+1.1 . . .
\varphi k+1
(\varphi k+1, \varepsilon k)
lk+1.k
. . . . . . . . .
\varphi t
(\varphi t, \varepsilon 1)
lt1 . . .
\varphi t
(\varphi t, \varepsilon k)
ltk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
L3, L4, L5 — довiльнi матрицi вiдповiдних розмiрiв.
Згiдно з теоремою 4.2 iз [12], матриця B має вигляд B = (LP ) - 1\Phi U - 1, де
U \in \mathrm{G}\mathrm{L}nR. Матриця L задовольняє рiвнiсть
L\mathrm{E} = \Phi S, (1)
де S \in Mn(R). Звiдси випливає, що \mathrm{E} = L - 1\Phi S. Отже,
A = P - 1\mathrm{E}Q - 1 = P - 1(L - 1\Phi S)Q - 1 = (LP ) - 1\Phi SQ - 1 =
= ((LP ) - 1\Phi U - 1)(USQ - 1) = BC,
де C = USQ - 1. Таким чином, C є коренем рiвняння BX = A.
Нехай C1 — iнший корiнь рiвняння BX = A, тобто BC1 = A. Тодi
A = BC1 = BC \Rightarrow B(C1 - C) = \bfzero .
Позначимо через \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) множину правих ануляторiв матрицi B. Тодi
C1 - C = F \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B), тобто
C1 = C + F \Rightarrow C1 \in (C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B)).
Навпаки, нехай C2 \in (C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B)), тобто C2 = C +N, де N \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B). Тодi
BC2 = B(C +N) = BC +BN = A+ \bfzero = A.
Отже, множина C + \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) складається з розв’язкiв рiвняння BX = A. Таким чином,
множина C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) є множиною всiх розв’язкiв рiвняння BX = A.
На пiдставi теореми 1.15 iз [12] i того, що B = V - 1\Phi U - 1, приходимо до висновку, що
множина \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) складається з усiх матриць вигляду
U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfzero t\times n
D
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де \bfzero t\times n — нульова (t\times n)-матриця, D — довiльна матриця з M(n - t)\times n(R).
Матриця S, що фiгурує в рiвностi (1), як це випливає з доведення теореми 4.5 iз [12], має
вигляд
S =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
M3 M4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
264 В. П. ЩЕДРИК
де
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| M1
M2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| — (t\times k)-пiдматриця матрицi S i
\bigm\| \bigm\| M3 M4
\bigm\| \bigm\| — довiльна матриця з M(n - t)\times n(R).
Отже,
C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) = USQ - 1 + U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfzero t\times n
D
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
= U
\biggl(
S +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfzero t\times n
DQ
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggr) Q - 1 = U
\biggl(
S +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfzero t\times n
D1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggr) Q - 1,
де D1 = DQ. Оскiльки Q — оборотна матриця, то
M(n - t)\times n(R)Q = M(n - t)\times n(R).
Тому D1 — довiльна матриця з M(n - t)\times n(R). Отже,
C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B) = U
\left( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
M3 M4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfzero t\times n
D1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\right) Q - 1 =
= U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
T3 T4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1, (2)
де
\bigm\| \bigm\| T3 T4
\bigm\| \bigm\| — довiльна матриця з M(n - t)\times n(R). Таким чином, усi розв’язки рiвняння
BX = A мають вигляд (2). Ця множина мiстить матрицю
U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero In - t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1 = F,
де In - t — одинична матриця порядку n - t. Отже, F — корiнь рiвняння BX = A.
Виконується рiвнiсть
U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
T3 T4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1 =
\left( U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero In - t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1
\right) \biggl(
Q
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| It \bfzero
T3 T4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1
\biggr)
= FM,
тобто матриця F є лiвим дiльником усiх елементiв множини C+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B). Беручи до уваги, що
F \in (C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B)), приходимо до висновку, що F є лiвим н.с.д. усiх елементiв цiєї множини.
Розглянемо матрицю
K = U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero \bfzero
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1,
яка також є елементом множини C + \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B), а отже, i коренем рiвняння BX - A. Справ-
джується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ЛIВИЙ НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК I ЛIВЕ НАЙМЕНШЕ СПIЛЬНЕ КРАТНЕ . . . 265
K =
\biggl(
U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| It \bfzero
\bfzero \bfzero
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| U - 1
\biggr) \left( U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
T3 T4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1
\right) ,
тобто матриця K є лiвим кратним усiх елементiв множини C +\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B). Зважаючи на те, що
K \in (C+\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}r(B)), приходимо до висновку, що K є лiвим н.с.к. усiх елементiв цiєї множини.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Множиною всiх розв’язкiв розв’язного рiвняння BX = A є множина\left( U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero In - t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1
\right) \biggl(
Q
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| It \bfzero
T3 T4
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1
\biggr)
,
де
\bigm\| \bigm\| T3 T4
\bigm\| \bigm\| — довiльна матриця з M(n - t)\times n(R).
Наслiдок 2. Лiвим н.с.д. i лiвим н.с.к. усiх розв’язкiв розв’язного рiвняння BX = A є
вiдповiдно матрицi
U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero In - t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1, U
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
M1 \bfzero
M2 \bfzero
\bfzero \bfzero
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Q - 1.
Приклад . Нехай R = \BbbZ . Розглянемо матричне рiвняння
BX = A, (3)
де
B =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0 0 0 0 0
0 - 2 2 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
- 2 0 - 12 0 12 0 0
0 0 0 0 0 0 0
- 2 0 - 4 4 0 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
, A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 2, 6, 0, 0, 0, 0).
Залишимося у позначеннях щойно доведеної теореми. Матриця A збiгається зi своєю формою
Смiта \mathrm{E}. Тому P = Q = I7. Запишемо матрицю B у виглядi B = P - 1
B \Phi , де
P - 1
B =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 1 0 0 0 0 0
0 - 2 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
- 2 0 - 6 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
- 2 0 - 2 1 0 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
, \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, 1, 2, 4, 12, 0, 0).
Оскiльки \Phi | \mathrm{E}, то на пiдставi теореми 4.5 iз [12] \bfL (E,\Phi ) \not = \varnothing i складається з усiх оборотних
матриць вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
266 В. П. ЩЕДРИК\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
2h31 \ast \ast \ast \ast \ast \ast
4h41 2h42 2h43 \ast \ast \ast \ast
12h51 6h52 2h53 \ast \ast \ast \ast
0 0 0 \ast \ast \ast \ast
0 0 0 \ast \ast \ast \ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
.
Iз того, що P = I7, випливає, що PB = LP = L. Отже,
PB =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 0
4 2 2 0 0 0 1
12 6 2 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
= L.
Очевидно, що L \in \bfL (E,\Phi ). Тому рiвняння BX = A має розв’язок. Легко переконатися, що
L\mathrm{E} = \Phi S, де S =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 6 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 3 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
.
Таким чином, лiвим н.с.д. i н.с.к. коренiв рiвняння BX = A будуть вiдповiдно матрицi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 6 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 3 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
0 0 6 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 3 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
.
Лiтература
1. W. J. Vetter, Vector structures and solutions of linear matrix equations, Linear Algebra and Appl., 10, № 2, 181 – 188
(1975).
2. J. R. Magnus, H. Neudecker, The elimination matrix: some lemmas and applications, SIAM J. Algebraic and Discrete
Methods, 1, № 4, 422 – 449 (1980).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ЛIВИЙ НАЙБIЛЬШИЙ СПIЛЬНИЙ ДIЛЬНИК I ЛIВЕ НАЙМЕНШЕ СПIЛЬНЕ КРАТНЕ . . . 267
3. F. J. Don, On the symmetric solutions of a linear matrix equation, Linear Algebra and Appl., 93, 1 – 7 (1987).
4. C. G. Khatri, S. K. Mitra, Hermitian and nonnegative definite solutions of linear matrix equations, J. Appl. Math.,
31, № 4, 579 – 585 (1976).
5. A. Ran, M. Reurings, A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations, Proc.
Amer. Math. Soc., 132, № 5, 1435 – 1443 (2004).
6. B. Recht, M. Fazel, P. Parrilo, Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm
minimization, doi.org/10.1137/070697835.
7. J. R. Magnus, L-structured matrices and linear matrix equations, Linear Algebra and Appl., 14, № 1, 67 – 88 (1983).
8. I. Kaplansky, Elementary divisor and modules, Trans. Amer. Math. Soc., 66, 464 – 491 (1949).
9. V. A. Bovdi, V. P. Shchedryk, Commutative Bezout domains of stable range 1.5, Linear Algebra and Appl., 568,
127 – 134 (2019).
10. B. V. Zabavsky, Diagonal reduction of matrices over rings, Math. Stud. Monogr. Ser. (2012).
11. П. С. Казiмiрський, Розклад матричних многочленiв на множники, Наук. думка, Київ (1981).
12. В. П. Щедрик, Факторизацiя матриць над кiльцями елементарних дiльникiв, Львiв: Iн-т прикл. пробл. механiки
i математики НАН України, Львiв (2017).
13. V. P. Shchedryk, Factorization of matrices over elementary divisor domain, Algebra and Discrete Math., № 2, 79 – 99
(2009).
Одержано 01.10.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6321 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:07Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/11/e14f92b6d7208d52e78699e6f450ee11.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63212025-03-31T08:48:28Z The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain Лівий найбільший спільний дільник і ліве найменше спільне кратне всіх розв’язків матричного рівняння $BX = A$ над комутативною областю елементарних дільників Shchedryk, V. P. Щедрик, В. П. UDC 512.64 The explicit form of the left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions to the solvable matrix equation $BX=A$ over a commutative domain of elementary divisors is given. It is proved that they are solutions too. УДК 512.64 Над комутативною областю елементарних дільників вказано явний вигляд лівого найбільшого спільного дільника i лівого найменшого спільного кратного всіх коренів розв'язного матричного рівняння $BX=A$ і доведено, що вони також є розв'язками цього рівняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-02-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6321 10.37863/umzh.v73i2.6321 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 2 (2021); 261 - 267 Український математичний журнал; Том 73 № 2 (2021); 261 - 267 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6321/8970 Copyright (c) 2021 Володимир Щедрик |
| spellingShingle | Shchedryk, V. P. Щедрик, В. П. The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title | The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title_alt | Лівий найбільший спільний дільник і ліве найменше спільне кратне всіх розв’язків матричного рівняння $BX = A$ над комутативною областю елементарних дільників |
| title_full | The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title_fullStr | The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title_full_unstemmed | The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title_short | The left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation BX = A over a commutative elementary divisor domain |
| title_sort | left greatest common divisor and the left least common multiple of all solutions of the matrix equation bx = a over a commutative elementary divisor domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6321 |
| work_keys_str_mv | AT shchedrykvp theleftgreatestcommondivisorandtheleftleastcommonmultipleofallsolutionsofthematrixequationbxaoveracommutativeelementarydivisordomain AT ŝedrikvp theleftgreatestcommondivisorandtheleftleastcommonmultipleofallsolutionsofthematrixequationbxaoveracommutativeelementarydivisordomain AT shchedrykvp lívijnajbílʹšijspílʹnijdílʹnikílívenajmenšespílʹnekratnevsíhrozvâzkívmatričnogorívnânnâbxanadkomutativnoûoblastûelementarnihdílʹnikív AT ŝedrikvp lívijnajbílʹšijspílʹnijdílʹnikílívenajmenšespílʹnekratnevsíhrozvâzkívmatričnogorívnânnâbxanadkomutativnoûoblastûelementarnihdílʹnikív AT shchedrykvp leftgreatestcommondivisorandtheleftleastcommonmultipleofallsolutionsofthematrixequationbxaoveracommutativeelementarydivisordomain AT ŝedrikvp leftgreatestcommondivisorandtheleftleastcommonmultipleofallsolutionsofthematrixequationbxaoveracommutativeelementarydivisordomain |