On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations
UDC 517.9 This work is almost a review describing the solutions of Kirkwood – Salsburg equations for correlation functions of a large canonical ensemble. We establish analytical relations between Ruelle’s operator approach described in detail in [Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Мос...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6337 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512336704438272 |
|---|---|
| author | Rebenko, A. L. Ребенко, А. Л. Ребенко, О. Л. |
| author_facet | Rebenko, A. L. Ребенко, А. Л. Ребенко, О. Л. |
| author_sort | Rebenko, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:21Z |
| description | UDC 517.9
This work is almost a review describing the solutions of Kirkwood – Salsburg equations for correlation functions of a large canonical ensemble. We establish analytical relations between Ruelle’s operator approach described in detail in [Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971)] and the approach by Minlos and Poghosyan presented in [Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных, Теор. и мат. физика, 31, № 2, 199 – 213 (1977)]. Using methods of infinite-dimensional analysis, we suggest a more transparent description of the main results. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i3.6337 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i3.6337
УДК 517.9
О. Л. Ребенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ
ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА
This work is almost a review describing the solutions of Kirkwood – Salzburg equations for correlation functions of a
large canonical ensemble. We establish analytical relations between Ruelle’s operator approach described in detail in
[Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971)] and the approach by Minlos and Poghosyan
presented in [Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных, Теор. и мат. физика, 31, № 2, 199 – 213
(1977)]. Using methods of infinite-dimensional analysis, we suggest a more transparent description of the main results.
Робота має напiвоглядовий характер опису розв’язкiв рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга для кореляцiйних функцiй
великого канонiчного ансамблю. Встановлено аналiтичний зв’язок мiж операторним пiдходом Д. Рюеля, який
детально описано у гл. 4 монографiї [Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971)], i
пiдходом, запропонованим Р. А. Мiнлосом i С. К. Погосяном у роботi [Оценки функций Урселла, групповых функций
и их производных, Теор. и мат. физика, 31, № 2, 199 – 213 (1977)]. На основi методiв нескiнченновимiрного аналiзу
наведено бiльш прозорий опис основних результатiв.
1. Вступ. Рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга та їхнi розв’язки достатньо детально висвiтленi у
роботах Рюеля [1, 3] для кореляцiйних функцiй великого канонiчного ансамблю та роботi
М. М. Боголюбова, Д. Я. Петрини, Б. I. Хацета [4] для кореляцiйних функцiй канонiчно-
го ансамблю, яка узагальнила роботу [5] (детальнiше див. у [6]). У цих роботах рiвняння
Кiрквуда – Зальцбурга розглядались як операторнi рiвняння в банаховому просторi. Роботу [2]
присвячено оцiнкам функцiй Урселла, групових функцiй та їхнiх похiдних. Але паралельно
розв’язки системи рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга розглядаються як iнтеграли за мiрою Лебе-
га – Пуассона на просторi конфiгурацiй вiд деякого ядра, яке в свою чергу задовольняє певне
рекурентне спiввiдношення i має вигляд скiнченного кластерного ряду. Кожний член цього
ряду можна записати за допомогою внескiв так званих графiв-лiсiв, зв’язними компонентами
яких є графи-дерева. Побудований таким чином розклад можна отримати з розкладу Майєра,
застосувавши вiдому процедуру Пенроуза [7] (див. також [8], пп. 4.1 або [9], п. 5). Проте варто
зауважити, що до такого ж самого результату приводить i алгебраїчний метод Рюеля (див. [1],
пп. 4.4).
Основна мета цiєї роботи полягає в бiльш детальному висвiтленнi пiдходу Мiнлоса –
Погосяна i встановленнi зв’язку з операторним пiдходом Рюеля. Отримано формулу, яка ви-
значає кiлькiсть графiв-лiсiв для заданого ядра. Використання деяких елементарних формул
нескiнченновимiрного аналiзу допомагає записувати громiздкi аналiтичнi вирази в елегантно-
му виглядi i дозволяє спростити викладки. Опишемо коротко будову роботи. У другому пунктi
введено необхiднi позначення та визначення основних величин, а також необхiднi i достатнi
умови для потенцiалу взаємодiї мiж частинками. У третьому пунктi виведено рiвняння Кiркву-
да – Зальцбурга i записано їхнi розв’язки.
2. Про деякi математичнi поняття. Будемо розглядати нескiнченну систему тотожних
точкових частинок у просторi \BbbR d, взаємодiю яких будемо описувати парним потенцiалом
V2(x, y) = \phi (| x - y| ), x, y \in \BbbR d, d \in \BbbN .
c\bigcirc О. Л. РЕБЕНКО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3 381
382 О. Л. РЕБЕНКО
2.1. Простори конфiгурацiй. Нехай \sigma — мiра Лебега в \BbbR d. Позначимо через \scrB (\BbbR d) борелiв-
ську \sigma -алгебру вiдкритих множин в \BbbR d, а через \scrB c(\BbbR d) всi пiдмножини, що мають компактне
замикання. Конфiгурацiйний простiр \Gamma := \Gamma \BbbR d буде складатися з усiх локально скiнченних
пiдмножин простору \BbbR d, тобто
\Gamma = \Gamma \BbbR d :=
\Bigl\{
\gamma \subset \BbbR d
\bigm| \bigm| | \gamma \cap \Lambda | < \infty для всiх \Lambda \in \scrB c(\BbbR d)
\Bigr\}
, (2.1)
де | A| — число, що визначає кiлькiсть точок у множинi A. Визначення (2.1) досить природне з
точки зору фiзики, оскiльки в обмеженому об’ємi не може знаходитися нескiнченна кiлькiсть
частинок.
Позначимо множину всiх скiнченних конфiгурацiй простору \Gamma через \Gamma 0. Насправдi \Gamma 0
є пiдмножиною \Gamma , але вона буде розглядатись як самостiйний конфiгурацiйний простiр, в
якому незалежним чином можна ввести свою топологiю. Визначимо спочатку конфiгурацiйний
простiр iз фiксованою кiлькiстю точок:
\Gamma (n) = \Gamma
(n)
0 :=
\bigl\{
\gamma \in \Gamma | | \gamma | = n, n \in \BbbN
\bigr\}
, \Gamma (0) := \varnothing .
Якщо всi такi конфiгурацiї знаходяться в деякiй обмеженiй множинi \Lambda \in \scrB c(\BbbR d), то вiдповiдний
простiр
\Gamma
(n)
\Lambda :=
\bigl\{
\gamma \in \Gamma (n) | \gamma \subset \Lambda
\bigr\}
.
Тодi простори скiнченних конфiгурацiй в \BbbR d i в \Lambda \in \scrB c(\BbbR d) можна записати у виглядi диз’юнк-
тивних об’єднань:
\Gamma 0 :=
\infty \coprod
n=0
\Gamma (n) i \Gamma \Lambda :=
\infty \coprod
n=0
\Gamma
(n)
\Lambda .
Для бiльш глибокого розумiння топологiчної структури введених просторiв варто звернутися
до огляду [10], де наведено повний перелiк необхiдних посилань.
2.2. Мiри на просторах конфiгурацiй неперервних систем. Згiдно з iдеями Гiббса фiзич-
ний стан системи описується ймовiрнiсною мiрою, яка будується спочатку в деякому обмежено-
му об’ємi простору \BbbR d в залежностi вiд ансамблю (мiкроканонiчного, канонiчного або великого
канонiчного), що розглядається для конкретної задачi, i подальшому граничному термодина-
мiчному переходi. Ми будемо розглядати системи статистичної механiки в рамках великого
канонiчного ансамблю i почнемо з системи невзаємодiючих точкових частинок (iдеальний газ).
Стан iдеального газу в рiвноважнiй статистичнiй механiцi описується мiрою Пуассона \pi z\sigma
на конфiгурацiйному просторi \Gamma , де z > 0 — активнiсть (фiзичний параметр, який пов’язаний
з густиною частинок у системi). Мiру \pi z\sigma з мiрою iнтенсивностi z\sigma визначимо нижче. Для
цього спочатку введемо так звану мiру Лебега – Пуассона (див., наприклад, [11]) \lambda z\sigma = \lambda \Lambda
z\sigma на
просторi скiнченних конфiгурацiй \Gamma \Lambda , \Lambda \in \scrB c(\BbbR d) (або \Gamma 0) за формулою\int
\Gamma \Lambda
F (\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ) :=
\infty \sum
n=0
zn
n!
\int
\Lambda
. . .
\int
\Lambda
F (\{ x1, . . . , xn\} )\sigma (dx1) . . . \sigma (dxn) =
=
\infty \sum
n=0
zn
n!
\int
\Lambda
. . .
\int
\Lambda
Fn(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn (2.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 383
для всiх вимiрних функцiй F = \{ Fn\} n\geq 0, Fn \in L\infty (\Lambda n) (або Fn \in L1(\BbbR dn)). За допомогою
мiри \lambda z\sigma побудуємо сiм’ю ймовiрнiсних мiр
\pi \Lambda
z\sigma := e - z\sigma (\Lambda )\lambda \Lambda
z\sigma , \Lambda \in \scrB c(\BbbR d). (2.3)
Легко переконатись, використавши визначення (2.2), що сiм’я (2.3) є попарно узгодженою
i за теоремою Колмогорова (див., наприклад, [12]) iснує єдина ймовiрнiсна мiра \pi z\sigma на конфi-
гурацiйному просторi \Gamma .
На мовi iнтегралiв за мiрою \lambda z\sigma наведемо важливу тотожнiсть, яку буде використано нижче.
Лема 2.1. Для всiх вимiрних функцiй G : \Gamma 0 \mapsto \rightarrow \BbbR i H : \Gamma 0 \times \Gamma 0 \mapsto \rightarrow \BbbR , для яких G(\xi \cup
\cup \gamma )H(\xi , \gamma ) \in L1(\Gamma 0 \times \Gamma 0, \lambda \sigma \otimes \lambda \sigma ), справджується рiвнiсть\int
\Gamma 0
G(\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
H(\xi , \gamma \setminus \xi )\lambda \sigma (d\gamma ) =
\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
G(\xi \cup \gamma )H(\xi , \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ). (2.4)
Доведення. Нехай \xi \upharpoonright \Gamma
(k)
0 = \{ x1, . . . , xk\} := \{ x\} k1, \gamma \upharpoonright \Gamma
(m)
0 = \{ xk+1, . . . , xk+m\} :=
:= \{ x\} k+m
k+1 . Тодi \int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
G(\xi \cup \gamma )H(\xi , \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ) =
=
\infty \sum
k,m=0
1
k!m!
\int
\BbbR dk
\int
\BbbR dm
G(\{ x\} k+m
1 )H
\bigl(
\{ x\} k1, \{ x\} k+m
k+1
\bigr)
\sigma (dx)k+m =
=
\infty \sum
n=0
1
n!
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr) \int
\BbbR dn
G(\{ x\} n1 )H
\bigl(
\{ x\} k1, \{ x\} nk+1
\bigr)
\sigma (dx)n =
=
\int
\Gamma 0
G(\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
H(\xi , \gamma \setminus \eta )\lambda \sigma (d\gamma ).
2.3. Взаємодiя мiж частинками. Будемо розглядати двочастинкову взаємодiю, яка опи-
сується потенцiалом V2(x, y) = \phi (| x - y| ), \phi (0) = +\infty . Для довiльної конфiгурацiї \gamma \in \Gamma 0
енергiя взаємодiї частинок конфiгурацiї U(\gamma ) є такою:
U(\gamma ) = U\phi (\gamma ) :=
\sum
\{ x,y\} \subset \gamma
\phi (| x - y| ), (2.5)
а взаємодiя W (\eta ; \gamma ) частинок конфiгурацiї \eta \in \Gamma 0 з частинками конфiгурацiї \gamma \in \Gamma 0 —
W (\eta ; \gamma ) :=
\sum
x\in \eta
y\in \gamma
\phi (| x - y| ). (2.6)
На потенцiал взаємодiї накладемо умови (A):
1) умову стiйкостi
U(\gamma ) \geq - B| \gamma | , B \geq 0, \gamma \in \Gamma 0, (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
384 О. Л. РЕБЕНКО
2) умову регулярностi
C(\beta ) =
\int
\BbbR d
dx| e - \beta \phi (| x| ) - 1| < +\infty , \beta =
1
kT
. (2.8)
2.4. Кореляцiйнi функцiї. В основi дослiджень рiвноважних систем статистичної механiки
лежить опис середнiх значень спостережуваних величин, якi є функцiями на просторi кон-
фiгурацiй \Gamma i обчислюються за мiрою Гiббса. Мiра Гiббса систем в обмеженому об’ємi \Lambda у
великому канонiчному ансамблi має вигляд
\mu \Lambda (d\gamma ) =
1
\Xi \Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ), \Xi \Lambda =
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ). (2.9)
Умова (2.7) забезпечує збiжнiсть iнтеграла в (2.9), бо\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ) \leq
\int
\Gamma \Lambda
e\beta B| \gamma | \lambda z\sigma (d\gamma ) = eze
\beta B\sigma (\Lambda ).
Фiзичнi спостережуванi є функцiями на просторi конфiгурацiй \Gamma . Вони, як правило, мають
суматорну форму F (\gamma ) =
\sum
\eta \Subset \gamma
H(\eta ) (див., наприклад, енергiю (2.5)). Тодi середнє значення
такої спостережуваної величини можна записати у виглядi
F =
\int
\Gamma
\sum
\eta \Subset \gamma
H(\eta )\mu (d\gamma ) =
\int
\Gamma 0
H(\eta )\rho (\eta )\lambda \sigma (d\eta ).
У цiй формулi \rho (\eta )\lambda \sigma (d\eta ) є кореляцiйною мiрою i абсолютно неперервною вiдносно мiри Ле-
бега – Пуассона \lambda \sigma , а вiдповiдну похiдну Радона – Нiкодима називають кореляцiйною функцiєю
\rho (\eta ). Для заданої мiри Гiббса \mu , яка задовольняє ДЛР-рiвняння (див. [13 – 15]) або еквiвалент-
не рiвняння Рюеля (див. [16], рiвняння (5.12), або детальнiше [17], рiвняння (18.9)), її можна
записати таким чином (див. [18], лема 2.3.8, а також [19], лема 4.1):
\rho (\eta ) = z| \eta |
\int
\Gamma
e - \beta U(\eta ) - \beta W (\eta ;\gamma )\mu (d\gamma ). (2.10)
У випадку обмеженого об’єму, враховуючи (2.9), її можна записати у виглядi
\rho \Lambda (\eta ) =
z| \eta |
\Xi \Lambda
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ).
За визначенням кореляцiйнi функцiї є щiльностями кореляцiйної мiри. М. М. Боголюбов [20]
називав їх m-частинковими ((m = | \eta | ) функцiями розподiлу.
Основною проблемою подальших дослiджень є побудова граничних об’єктiв (при \Lambda \uparrow \BbbR d)
для заданих потенцiалiв взаємодiї. Безпосереднє обчислення iнтеграла (2.10) за мiрою Гiббса на
множинi конфiгурацiй \Gamma є важкою задачею навiть у випадку, коли для заданої взаємодiї доведе-
но iснування мiри Гiббса. Тому потрiбно спочатку будувати кореляцiйнi функцiї на скiнченних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 385
конфiгурацiях обмежених об’ємiв \Lambda \subset \BbbR d, а потiм виконувати термодинамiчний граничний пе-
рехiд \Lambda \uparrow \BbbR d. Iснують два потужних методи вирiшення цiєї проблеми. Це побудова кластерних
розкладiв для кореляцiйних функцiй, визначених для обмежених \Lambda , i почленний перехiд до
нескiнченного об’єму, або вивiд деяких рiвнянь для кореляцiйних функцiй (\rho \Lambda або \rho ) i запис
їхнiх розв’язкiв у виглядi, який дозволяє виконати термодинамiчний граничний перехiд. Ми
почнемо з рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга. Але, на вiдмiну вiд найбiльш поширеного викладу
(див. [1], гл. 4), скористаємося методом розв’язання цих рiвнянь, який був запропонований
Р. А. Мiнлосом i С. К. Погосяном у роботi [2]. Визначимо для цього деякi новi функцiонали:
\rho j(\eta ) =
z| \eta |
\Xi j
\int
\Gamma 0
e\lambda (j; \eta \cup \gamma )e - \beta U(\eta \cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ), (2.11)
де
\Xi j =
\int
\Gamma 0
e\lambda (j; \gamma )e
- \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ),
i функцiонал e\lambda (j; \gamma ),
e\lambda (j; \eta ) :=
\left\{ 1, \eta = \varnothing ,\prod
x\in \eta
j(x), \eta \in \Gamma 0 \setminus \{ \varnothing \} ,
(2.12)
j : \BbbR d \mapsto \rightarrow \BbbR + — обмежена (для простоти вiзьмемо j \leq 1), неперервна, невiд’ємна, фiнiтна
функцiя. Позначення правої частини (2.12) через e\lambda (j; \gamma ) мотивоване тим, що для цього вектора
в L2(\Gamma 0, \lambda \sigma ) виконуються спiввiдношення
\| e\lambda (j; \cdot )\| 2L2(\Gamma 0,\lambda \sigma )
= e
\| j\| 2
L2(\BbbR d,\sigma ) ,\int
\Gamma 0
e\lambda (j; \eta )\lambda \sigma (d\eta ) = e\langle j>\rangle \sigma = e
\int
\BbbR d j(x)\sigma (dx),
а в застосуваннях до опису квантових станiв систем взаємодiючих бозонiв цi вектори описують
когерентнi стани (див., наприклад, [21], гл. 2, розд. 2, для випадку простору Фока).
Якщо j = 1\Lambda (iндикатор множини \Lambda ), то вираз (2.11) збiгається з виразом для кореляцiйних
функцiй в обмеженому об’ємi \Lambda з порожнiми граничними розподiлами. Достатньою умовою
iснування кореляцiйних функцiй (2.11) є умова стiйкостi (див. формулу (2.7)). Ця умова дозволяє
отримати оцiнки
1 \leq \Xi j \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ ze\beta B
\int
\BbbR d
j(x)dx
\right\} , (2.13)
0 \leq \rho \Lambda (\eta ) \leq \Xi - 1
j \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ ze\beta B
\int
\BbbR d
j(x)dx
\right\} . (2.14)
Але на пiдставi оцiнки (2.14) не можна зробити висновок, що послiдовнiсть функцiй \rho \Lambda (\eta ) має
термодинамiчну границю j \rightarrow 1, яка еквiвалентна граничному переходу \Lambda \uparrow \BbbR d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
386 О. Л. РЕБЕНКО
3. Рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга. 3.1. Вивiд рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга. Потрiбно
отримати рiвняння для функцiй \rho i знайти їхнiй розв’язок. Знайдемо спочатку такi рiвняння
для функцiй \rho j , тобто у скiнченному об’ємi, який збiгається з носiєм функцiї j. Видiлимо для
цього в конфiгурацiї \eta деяку точку x \in \eta i введемо позначення \eta (\^x) := \eta \setminus \{ x\} . Тодi вираз (2.11)
набере вигляду
\rho j(\eta ) = z| \eta |
e - \beta W (x;\eta (\^x))
\Xi j
j(x)
\int
\Gamma 0
e\lambda
\bigl(
j; \eta (\^x) \cup \gamma
\bigr)
e - \beta W (x;\gamma )e - \beta U(\eta (\^x)\cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ). (3.1)
Поки що точка x \in \eta є довiльною, але пiзнiше ми повернемось до її вибору. Скористаємося
тим, що у випадку парного потенцiалу взаємодiї енергiя взаємодiї двох конфiгурацiй задається
формулою (2.6). Тодi експоненту в (3.1) можна записати у виглядi
e - \beta W (x;\gamma ) =
\prod
y\in \gamma
\Bigl[
(e - \beta \phi (| x - y| ) - 1) + 1
\Bigr]
.
Далi, для довiльної неперервної функцiї \varphi \in C(\BbbR d) i довiльного \gamma \in \Gamma 0 справедливою є проста
комбiнаторна формула \prod
y\in \gamma
[1 + \varphi (y)] =
\sum
\xi \subseteq \gamma
\prod
y\in \xi
\varphi (y).
Введемо позначення
K(x; \xi ) :=
\left\{
\prod
y\in \xi
(e - \beta \phi (| x - y| ) - 1), | \xi | \geq 1,
1, \xi = \varnothing .
Тодi вираз (3.1) набере вигляду
\rho j(\eta ) = z| \eta |
e - \beta W (x;\eta (\^x))
\Xi j
j(x)
\int
\Gamma 0
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x; \xi )e\lambda
\bigl(
j; \eta (\^x) \cup \gamma
\bigr)
e - \beta U(\eta (\^x)\cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ). (3.2)
Врахувавши, що завдяки умовам (2.7), (2.8)\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
e\lambda
\bigl(
j; \eta (\^x) \cup \gamma \cup \xi
\bigr)
e - \beta U(\eta (\^x)\cup \gamma \cup \xi )| K(x; \xi )| \lambda z\sigma (d\gamma )\lambda z\sigma (d\xi ) \leq
\leq e\beta B| \eta (\^x)| eze
\beta B [
\int
j(y)dy+C(\beta )],
застосуємо до правої частини (3.2) рiвнiсть (2.4) (лема 2.1) з
G(\gamma ) = e\lambda (j; \eta
(\^x) \cup \gamma )e - \beta U(\eta (\^x)\cup \gamma ),
H(\xi , \gamma \setminus \xi )) = K(x; \xi ) \equiv K(x; \xi )1\Gamma 0(\gamma \setminus \xi ).
Тодi
\rho j(\eta ) = z| \eta |
e - \beta W (x;\eta (\^x))
\Xi j
j(x)
\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
K(x; \xi )\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 387
\times e\lambda
\bigl(
j; \eta (\^x) \cup \gamma \cup \xi
\bigr)
e - \beta U
\bigl(
\eta (\^x)\cup \xi \cup \gamma
\bigr)
\lambda z\sigma (d\gamma )\lambda z\sigma (d\xi ).
Використавши означення кореляцiйного функцiонала (2.11), отримаємо остаточне спiввiдно-
шення
\rho j(\eta ) = ze - \beta W (x;\eta (\^x))j(x)
\int
\Gamma 0
K(x; \xi )\rho j(\eta
(\^x) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ), | \eta | \geq 1,
\rho j(\varnothing ) = 1. (3.3)
В останньому iнтегралi було використано рiвнiсть\int
\Gamma 0
z - | \xi | f(\xi )\lambda z\sigma (d\xi ) =
\int
\Gamma 0
f(\xi )\lambda \sigma (d\xi ),
яка випливає з означення iнтеграла за мiрою Лебега – Пуассона.
Формально таке саме рiвняння можна записати i для нескiнченної системи в усьому про-
сторi \BbbR d :
\rho (\eta ) = ze - \beta W (x;\eta (\^x))
\int
\Gamma 0
K(x; \xi )\rho (\eta (\^x) \cup \xi )\lambda \sigma (d\xi ). (3.4)
Зауваження 3.1. Функцiя \rho (\eta ) = \rho (\{ x1, . . . , x| \eta | \} ) є симетричною функцiєю своїх змiнних.
Тому у правiй частинi рiвностi (3.3), в якiй змiнна x є видiленою, iнварiантнiсть вiдносно
перестановки змiнної x з будь-якою iншою змiнною конфiгурацiї \eta є „прихованою”.
3.2. Розв’язання рiвняння (3.3). Будемо шукати розв’язок рiвняння (3.3) у виглядi
\rho j(\eta ) = e\lambda (j; \eta )
\int
\Gamma 0
T (\eta | \gamma )e\lambda (j; \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), (3.5)
де e\lambda (j; \eta ) визначено формулою (2.12), а T (\eta | \gamma ) — вимiрна функцiя на \Gamma 0 \times \Gamma 0, яка повинна
бути \lambda \sigma -iнтегровною за змiнною \gamma . Функцiю T (\eta | \gamma ) будемо називати ядром Урселла, а
розклад (3.5) є фактично iншим зображенням розкладiв Майєра для кореляцiйних функцiй
(див. [1], гл. 4).
Для оптимальної оцiнки експоненти перед iнтегралом у (3.3) необхiдно вибрати змiнну x \in
\in \eta , яку ми видiлили в розкладi енергiї U(\eta \cup \gamma ) у правiй частинi виразу (3.1). Для потенцiалiв,
що задовольняють умову стiйкостi, кожна конфiгурацiя \eta \in \Gamma 0 обов’язково мiстить точку,
для якої W (x; \eta \setminus \{ x\} ) \geq - 2B (доведення вiд супротивного). Нехай \pi — вiдображення, яке
вiдображає конфiгурацiю \eta в таку точку, тобто
W
\bigl(
\pi (\eta ); \eta \setminus \{ \pi (\eta )\}
\bigr)
\geq - 2B. (3.6)
Пiдставимо в рiвняння (3.3) вiдповiднi вирази функцiй \rho j(\eta )) i \rho j(\eta
(\^x) \cup \xi ) i застосуємо до
правої частини формулу (2.4) з G(\gamma \cup \xi ) = e\lambda (j; \gamma \cup \xi ) i H(\xi , \gamma ) = K(\pi (\eta ); \xi )T (\eta \setminus \{ \pi (\eta )\} \cup \xi | \gamma ).
Внаслiдок того, що рiвнiсть iнтегралiв у правiй i лiвiй частинах рiвностi (3.3) виконується при
довiльних функцiях j \in C0(\BbbR d), ми можемо прирiвняти пiдiнтегральнi вирази. В результатi
отримаємо спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
388 О. Л. РЕБЕНКО
T (\eta | \gamma ) = ze - \beta W (\pi (\eta );\eta \setminus \{ \pi (\eta )\} )
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(\pi (\eta ); \xi )T (\eta \setminus \{ \pi (\eta )\} \cup \xi | \gamma \setminus \xi ) (3.7)
та двi додатковi умови, якi є наслiдком того, що \rho j(\varnothing ) = 1:
T (\varnothing | \varnothing ) = 1, T (\varnothing | \gamma ) = 0, якщо \gamma \not = \varnothing . (3.8)
Можна також накласти умову несумiсностi перетинних конфiгурацiй:
T (\eta | \gamma ) = 0, якщо \gamma \cap \eta \not = \varnothing . (3.9)
Зауважимо, що ця умова автоматично виконується, якщо потенцiал взаємодiї \phi (0) = +\infty .
Спiввiдношення (3.7) збiгається з рекурентним спiввiдношенням (4.26) у пунктi 4 роботи [1].
Рекурентнiсть спiввiдношення (3.7) за кiлькiстю змiнних | \eta | + | \gamma | забезпечує єдинiсть його
розв’язку. Але щоб довести iснування розв’язкiв рiвняння (3.3), потрiбно мати \lambda \sigma -iнтегровнiсть
ядер T (\eta | \gamma ) за змiнною \gamma .
Побудуємо для цього новi ядра, якi проiндексуємо деяким числом h i деякою обмеженою
iнтегровною додатною функцiєю \nu (x) : \BbbR d \mapsto \rightarrow \BbbR +. Нехай таке ядро Qh,\nu (\eta | \gamma ) однозначно
визначається рекурентним спiввiдношенням
Qh,\nu (\eta | \gamma ) = h
\sum
\xi \subseteq \gamma
K\nu (\pi (\eta ); \xi )Qh,\nu (\eta \setminus \{ \pi (\eta )\} \cup \xi | \gamma \setminus \xi ), | \eta | \geq 1, (3.10)
де
K\nu (x; \xi ) :=
\left\{
\prod
y\in \xi
\nu (x),
1, \xi = \varnothing ,
i задовольняє умови (3.8), (3.9):
Qh,\nu (\varnothing | \varnothing ) = 1, Qh,\nu (\varnothing | \gamma ) = 0, якщо \gamma \not = \varnothing ,
Qh,\nu (\eta | \gamma ) = 0, якщо \gamma \cap \eta \not = \varnothing .
Для довiльних конфiгурацiй \eta = \{ x1, x2, . . . , xl\} i \gamma = \{ y1, y2, . . . , yn\} таких, що \eta \cap \gamma = \varnothing ,
розв’язок рекурентного спiввiдношення (3.10) можна записати у виглядi
Qh,\nu (\eta | \gamma ) =
\sum
f\in \frakF \eta ,\gamma
G(f), (3.11)
де \frakF \eta ,\gamma — множина внескiв спецiальних графiв-лiсiв. Граф-лiс f — неорiєнтований граф, зв’яз-
ними компонентами якого є графи-дерева з вершинами, якi є точками конфiгурацiї \eta \cup \gamma ,
причому кожне дерево мiстить одну i тiльки одну вершину з конфiгурацiї \eta , яка є коренем
вiдповiдного дерева. Iнколи дерево може складатись лише з однiєї цiєї вершини. Аналiтичним
внеском кожної вершини є константа h, а лiнiям-ребрам, що з’єднують вершини x \in \eta i y \in \gamma
або y1 \in \gamma i y2 \in \gamma , будуть вiдповiдати функцiї \nu (x - y) або \nu (y1 - y2) (див. рисунок).
На рисунку наведено приклади графiв-лiсiв iз розкладу ядра \frakF \eta ,\gamma для випадку \eta = \{ x1, x2\}
i \gamma = \{ y1, y2\} (усього графiв-лiсiв для цього ядра Nn(l) = 8, де n = | \gamma | = 2, l = | \eta | = 2).
Внесок кожного графа-лiсу f \in \frakF \eta ,\gamma має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 389
x1 y2 y1
x2 y2 y1
x2
x1
x1
x2
x2
x1
y1
y2
y1
y2
x1 y1 y2
x2 y1 y2
x2
x1
x1 y1
x2 y2
x1 y2
x2 y1
G(f) = h| \eta | +| \gamma |
\prod
(x,y)\in E(f)
\nu (x - y), (3.12)
де E(f) — множина всiх ребер графа. Внаслiдок того, що кожна точка x \in \eta є кореневою
вершиною дерева, кiлькiсть ребер у кожному графi-лiсi буде збiгатися з кiлькiстю змiнних
y \in \gamma , тобто n = | \gamma | . Структура дерева i графа-лiсу дозволяє записати рiвнiсть
\int
\BbbR dn
\left( \prod
(x,y)\in E(f)
\nu (x - y)
\right) dy1 . . . dyn = (C\nu )
n, C\nu =
\int
\BbbR d
\nu (y)dy, (3.13)
яку легко отримати послiдовним iнтегруванням за змiнною y \in \gamma , починаючи з кiнцевих
вершин графа f. Для того щоб довести \lambda \sigma -iнтегровнiсть ядра Q(\eta ; \gamma ) за змiнною \gamma , потрiбно
знати кiлькiсть графiв-лiсiв для заданих значень змiнних \eta , \gamma . Цю кiлькiсть встановлює така
лема.
Лема 3.1. Кiлькiсть графiв-лiсiв у виразi (3.11), який є розв’язком рекурентного спiввiдно-
шення (3.10) iз заданими значеннями n = | \gamma | , l = | \eta | , виражається формулою
Nn(l) = l(l + n)n - 1, n \geq 0. (3.14)
Доведення. Розклад рекурентного спiввiдношення (3.10) свiдчить, що Nn(l) задовольняє
те ж спiввiдношення
Nn(l) =
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
Nn - k(l + k - 1). (3.15)
За iндукцiєю по iндексу l+n будемо вважати, що формула (3.14) справджується для Nn - k(l+
+k - 1) при k = 0, 1, . . . , n. Тодi, пiдставивши у праву частину (3.14) значення Nn - k(l+k - 1) =
= (l + k - 1)(l + n - 1)n - k - 1, отримаємо рiвнiсть
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
(l + k - 1)(l + n - 1)n - k - 1 = M1 +M2, (3.16)
де
M1 := l
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
(l + n - 1)n - k - 1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
390 О. Л. РЕБЕНКО
= l(l + n - 1) - 1
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
(l + n - 1)n - k = l(l + n - 1) - 1(l + n)n,
а
M2 :=
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
(k - 1)(l + n - 1)n - k - 1 =
= n
n\sum
k=1
\biggl(
n - 1
k - 1
\biggr)
(l + n - 1)n - k - 1 - (l + n - 1) - 1
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
(l + n - 1)n - k =
= n(l + n - 1) - 1(l + n)n - 1 - (l + n - 1) - 1(l + n)n =
= - l(l + n - 1) - 1(l + n)n - 1.
В результатi M1 +M2 = l(l + n)n - 1 , що й завершує доведення.
Проведений аналiз властивостей ядер Qh,\nu (\eta | \gamma ) (формули (3.11) – (3.16)) дозволяє сфор-
мулювати таку лему.
Лема 3.2. Нехай | j(x)| \leq 1, x \in \BbbR d i
hC\nu e < 1,
тодi \int
\Gamma 0
Qh,\nu (\eta | \gamma )e\lambda (j; \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ) \leq (eh)| \eta | (1 - hC\nu e)
- 1.
Доведення. За означенням iнтеграла Лебега – Пуассона (2.2)\int
\Gamma 0
Qh,\nu (\eta | \gamma )e\lambda (j; \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ) =
\infty \sum
n=0
1
n!
\int
\BbbR dn
Qh,\nu
\bigl(
\eta | \{ y1, . . . , yn\}
\bigr) \prod
y\in \gamma
j(y)dy1 . . . dyn.
Врахувавши (3.11) – (3.13), отримаємо нерiвнiсть\int
\Gamma 0
Qh,\nu (\eta | \gamma )e\lambda (j; \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ) \leq
\infty \sum
n=0
Nn(| \eta | )
n!
h| \eta | +nCn
\nu .
Завершує доведення оцiнка
Nn(| \eta | )
n!
=
l(l + n)n - 1
n!
<
l(l + n)n - 1
nne - n
\surd
2\pi n
=
l
l + n
1\surd
2\pi n
en
\biggl(
1 +
l
n
\biggr) n
< el+n,
в якiй ми позначили | \eta | = l, врахували лему 3.1 i скористались формулою Стiрлiнга.
Iнтегровнiсть ядра T (\eta | \gamma ) забезпечує iнтегровнiсть ядра Qh,\nu (\eta | \gamma ). Це випливає з такої
леми.
Лема 3.3. Нехай параметри \beta > 0, z > 0 i потенцiал взаємодiї \phi такi, що
ze2\beta B \leq h, | e - \beta \phi (| x| ) - 1| \leq \nu (x), x \in \BbbR d,
тодi
| T (\eta | \gamma )| \leq Qh,\nu (\eta | \gamma ). (3.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 391
Доведення. Внаслiдок (3.6) iз рекурентного спiввiдношення (3.7) випливає, що\bigm| \bigm| T (\eta | \gamma )
\bigm| \bigm| \leq ze2\beta B
\sum
\xi \subseteq \gamma
\bigm| \bigm| K(\pi (\eta ); \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| T \bigl( \eta \setminus \{ \pi (\eta )\} \cup \xi | \gamma \setminus \xi
\bigr) \bigm| \bigm| . (3.18)
Тепер нерiвнiсть (3.17) встановлюється за iндукцiєю по числу | \eta | + | \gamma | з рекурентної нерiвнос-
тi (3.18) для ядра T (\eta ; \gamma ) i рекурентної формули (3.10) для ядра Qh,\nu (\eta | \gamma ).
Основним результатом цього пункту є така теорема.
Теорема 3.1. Нехай потенцiал взаємодiї \phi задовольняє умови стiйкостi (2.7) i регулярнос-
тi (2.8). Тодi iснує єдиний розв’язок рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга (3.4) в термодинамiчнiй
границi j \rightarrow 1, який можна записати у виглядi iнтеграла Лебега – Пуассона
\rho (\eta ) = \rho (\eta ; z, \beta ) =
\int
\Gamma 0
T (\eta | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), (3.19)
де ядра T (\eta | \gamma ), \eta , \gamma \in \Gamma 0, — мономи за змiнною z, а iнтеграл (3.19) є збiжним за умови
| z| < e - 2\beta B - 1C(\beta ) - 1.
Аналiтичний вираз ядер T (\eta | \gamma ) = T
\bigl(
\{ x1, . . . , xl\} | \{ y1, . . . , yn\}
\bigr)
можна записати за допомо-
гою графiв-лiсiв (3.11), (3.12), але внеском кожної вершини є активнiсть z, а кожнiй лiнiї , що
з’єднує вершини x та y (або y та y\prime ), вiдповiдають функцiї Cxy = e - \beta \phi (| x - y| ) - 1. Крiм того,
потрiбно записати додатковi функцiї Больцмана e - \beta \phi (| x - y| ) мiж окремими вершинами, якi не
з’єднанi лiнiями графа
T (\eta | \gamma ) =
\sum
f\in \frakF \eta ,\gamma
GC(f), (3.20)
GC(f) = z| \eta | +| \gamma | e - \beta U(\eta )e - \beta \widetilde Wf (\eta ;\gamma )
\prod
(x,y)\in E(f)
Cxy
\prod
(y,y\prime )\in E(f\ast )\setminus E(f)
e - \beta \phi (| y - y\prime | ), (3.21)
де E(f) — множина всiх лiнiй графа f,
\widetilde Wf (\eta ; \gamma ) =
l\sum
i=1
W
\bigl(
xi; \widetilde \gamma f (xi)\bigr) , \widetilde \gamma f (x1) = \varnothing , (3.22)
\widetilde \gamma f (xi) = \bigl\{
y \in \gamma | якi з’єднанi у графi f з вершинами x1, . . . , xi - 1
\bigr\}
(3.23)
для i > 1, а f\ast — максимальний граф, який будується з графа Келi f домальовуванням
„ лiнiй” за процедурою Пенроуза [7], i кожнiй такiй „лiнiї ” спiвставляється фактор Больцмана
e - \beta \phi (| y - y\prime | ).
Доведення ґрунтується на лемах 3.1 i 3.3 та оцiнках з леми 3.2. Формули (3.21) – (3.23) i
єдинiсть розв’язку є наслiдком рекурентних спiввiдношень (3.7).
Зауваження 3.2. Вiдмiтимо ще одну перевагу розв’язкiв у виглядi (3.5). У роботi [22] таким
способом було знайдено розв’язки бiльш складного рiвняння для частково зв’язних кореляцiй-
них функцiй, якi описують взаємодiю кластерiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
392 О. Л. РЕБЕНКО
3.3. Про зв’язок з операторним методом Рюеля. В монографiї [1] рiвняння (3.4) записано
у банаховому просторi E\xi (див. [1], гл. 4):
\rho = z \^K\rho + \rho 0, \rho 0(x1) = z, \rho 0(x1, . . . , xl) = 0 для l \geq 2.
Оператор \^K дiє на функцiю f \in E\xi таким чином:
( \^Kf)(x1) =
\infty \sum
n=1
1
n!
\int
\BbbR dn
(dy)nK(x1; \{ y1, . . . , yn\} )f(y1, . . . , yn),
(3.24)
( \^Kf)(x1, . . . , xl) = e - \beta W (x1;x2,...,xl)
\Biggl[
f(x2, . . . , xl)+
+
\infty \sum
n=1
1
n!
\int
\BbbR dn
(dy)nK(x1; \{ y1, . . . , yn\} )f(x2, . . . , xl, y1, . . . , yn)
\Biggr]
.
Зв’язок цих двох пiдходiв встановлює така лема.
Лема 3.4. Для довiльних n i l \leq n+ 1
1
(n - l + 1)!
\int
(dy)n - l+1T
\bigl(
\{ x1, . . . , xl\} | \{ y1, . . . , yn - l+1\}
\bigr)
= zn
\bigl(
\^Kn\rho 0
\bigr)
(x1, . . . , xl). (3.25)
Доведення проведемо за iндукцiєю. Формулу (3.25) легко перевiрити для l + n = 1, 2, 3,
використавши формули (3.7), (3.24). Позначимо лiву частину рiвностi (3.25) через Jl,n - l+1.
Припустимо, що для довiльних k \leq n - l + 1, що вiдповiдає умовi леми з n - 1 замiсть n i
l + k - 1 замiсть l, бо l + k - 1 < (n - 1) + 1, виконується рiвнiсть
1
(n - l - k + 1)!
\int
(dy)n - l - k+1T
\bigl(
\eta \prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} | \{ y1, . . . , yn - l+1\}
\bigr)
=
= zn - 1
\bigl(
\^Kn - 1\rho 0
\bigr) \bigl(
\eta \prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\}
\bigr)
, (3.26)
де \eta \prime = \eta \setminus \{ x1\} , \eta = \{ x1, . . . , xl\} .
Потрiбно довести рiвнiсть (3.25). Запишемо лiву частину рiвностi (3.25), використавши
визначення iнтеграла Лебега – Пуассона (2.2):
Jl,n - l+1 =
\int
\Gamma
(n - l+1)
0
T (\eta | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ) =
\int
\Gamma 0
1\{ \Gamma (n - l+1)
0 \} (\gamma )T (\eta | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ).
Ядро T (\eta | \gamma ) задовольняє рекурентне спiввiдношення (3.7) з \pi (\eta ) = x1, тому
Jl,n - l+1 = ze - \beta W (x1;\eta \prime )
\int
\Gamma 0
1\{ \Gamma (n - l+1)
0 \} (\gamma )
\sum
\xi \subseteq \gamma
K(x1; \xi )T
\bigl(
\eta \prime \cup \xi | \gamma \setminus \xi
\bigr)
\lambda \sigma (d\gamma ).
Застосуємо до правої частини формулу (2.4) з G(\gamma ) = 1\{ \Gamma (n - l+1)
0 \} (\gamma ) i H(\xi , \gamma \setminus \xi ) = K(x1; \xi )T (\eta
\prime \cup
\cup \xi | \gamma \setminus \xi ). Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ПРО ЗВ’ЯЗОК ДЕЯКИХ ПIДХОДIВ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РIВНЯНЬ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА 393
Jl,n - l+1 = ze - \beta W (x1;\eta \prime )
\int
\Gamma 0
\int
\Gamma 0
1\{ \Gamma (n - l+1)
0 \} (\gamma \cup \xi )K(x1; \xi )T (\eta
\prime \cup \xi | \gamma )\lambda \sigma (d\gamma )\lambda \sigma (d\xi ) =
= ze - \beta W (x1;\eta \prime )
\infty \sum
k=0
1
k!
\infty \sum
m=0
1
m!
\delta k+m,n - l+1\times
\times
\int
\BbbR dk
(dy\prime )kK(x1; \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} )
\int
\BbbR dm
(dy)mT
\bigl(
\eta \prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} | \{ y1, . . . , ym\}
\bigr)
=
= ze - \beta W (x1;\eta \prime )
n - l+1\sum
k=0
1
k!
\int
\BbbR dk
(dy\prime )kK
\bigl(
x1; \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\}
\bigr) 1
(n - l - k + 1)!
\times
\times
\int
\BbbR d(n - l - k+1)
(dy)(n - l - k+1)T
\bigl(
\eta \prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} | \{ y1, . . . , yn - l - k+1\}
\bigr)
.
Враховуючи (3.26), маємо
Jl,n - l+1 = zne - \beta W (x1;\eta \prime )
\Biggl[
( \^Kn - 1\rho 0)(\eta
\prime )+
+
n - l+1\sum
k=1
1
k!
\int
\BbbR dk
(dy\prime )kK(x1; \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} )( \^Kn - 1\rho 0)(\eta
\prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\} )
\Biggr]
=
= zn( \^Kn\rho 0)(\eta ). (3.27)
Остання рiвнiсть справджується завдяки тому, що ( \^Kn - 1\rho 0)
\bigl(
\eta \prime \cup \{ y\prime 1, . . . , y\prime k\}
\bigr)
= 0 для k >
> n - l+1, i суму можна поширити до нескiнченностi. Тодi права частина рiвностi (3.27) буде
збiгатися з виразом дiї оператора \^K на функцiю ( \^Kn - 1\rho 0).
4. Висновок. У цiлому робота має методологiчний характер. Новими результатами є ле-
ми 3.1 i 3.4 та формули (3.20) – (3.23), якi встановлюють вигляд ядра T (\eta | \gamma ).
Лiтература
1. Д. Рюэль, Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971).
2. Р. А. Минлос, С. К. Погосян, Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных, Теор. и мат.
физика, 31, № 2, 199 – 213 (1977).
3. D. Ruelle, Correlation functions of classical gases, Ann. Phys., 25, № 1, 109 – 120 (1963).
4. Н. Н. Боголюбов, Д. Я. Петрина, Б. И. Хацет, Математическое описание равновесного состояния классических
систем на основе формализма канонического ансамбля, Теор. и мат. физика, 1, № 2, 251 – 274 (1969).
5. Н. Н. Боголюбов, Б. И. Хацет, О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия,
Докл. АН СССР, 66, № 3, 321 – 324 (1949).
6. Б. И. Хацет, Асимптотичнi розклади за степенями густини функцiї розподiлу систем у станi статистичної
рiвноваги, Hayк. зап. Житомир. пед. iн-ту, фiз.-мат. cep., 3, 113 – 139 (1956).
7. O. Penrose, Convergence of fugacity expansions for classical systems, Statistical Mechanics: Foundations and
Applications, W.A. Benjamin, Inc., New York (1967).
8. R. Fernandez, A. Procacci, Cluster expansion for abstract polymer models. New bounds from an old approach,
Commun. Math. Phys., 274, 123 – 140 (2007).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
394 О. Л. РЕБЕНКО
9. S. Ramawadh, S. J. Tate, Virial expansion bounds through tree partition schemes, Online preprint, arXiv: 1501.00509
[math-ph] (2015).
10. Yu. G. Kondratiev, T. Pasurek, M. Röckner, Gibbs measures of continuous systems: an analytic approach, Rev. Math.
Phys., 24, № 10, Article 1250026-1 (2012).
11. S. Albeverio, Y. G. Kondratiev, M. Röckner, Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal., 154,
№ 2, 444 – 500 (1998).
12. K. R. Parthasarathy, Probability measure on metric spaces. Probability and mathematical statistics, Acad. Press, New
York, London (1967).
13. Р. Л. Добрушин, Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности,
Теор. вероятностей и ее применения, 13, вып. 2, 201 – 229 (1968).
14. Р. Л. Добрушин, Гиббсовские поля. Общий случай, Функцион. анализ и прил., 3, вып. 1, 27 – 35 (1969).
15. O. E. Lanford, D. Ruelle, Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics,
Commun. Math. Phys., 13, № 3, 194 – 215 (1969).
16. D. Ruelle, Superstable interactions in classical statistical mechanics, Commun. Math. Phys., 18, № 2, 127 – 159
(1970).
17. Д. Я. Петрина, В. И. Герасименко, П. В. Малышев, Математические основы классической статистической
механики, Наук. думка, Киев (1985); англ. переклад: Gordon and Breach, New York (1995).
18. T. Kuna, Studies in configuration space analysis and applications, PhD Thesis, Univ. Bonn (1999).
19. О. Л. Ребенко, В. А. Болух, Нескiнченновимiрний аналiз i статистична механiка, Зб. праць Iн-ту математики
НАН України, 11, № 1, 257 – 315 (2014).
20. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Гостехиздат, Москва (1946).
21. Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев, Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Наук. думка, Киев
(1988); англ. переклад: Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1995).
22. T. C. Dorlas, A. L. Rebenko, B. Savoie, Correlation of clusters: partially truncated correlation functions and their
decay, J. Math. Phys., 61, № 3, Article 033301 (2020).
Одержано 24.10.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6337 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:10Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c9/381d51e56d668ee55b636d4cc993f4c9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63372025-03-31T08:48:21Z On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations О СВЯЗИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ КИРКВУДА-ЗАЛЬЦБУРГА. Про зв’язок деяких підходів до розв’язання рівнянь Кірквуда – Зальцбурга Rebenko, A. L. Ребенко, А. Л. Ребенко, О. Л. UDC 517.9 This work is almost a review describing the solutions of Kirkwood – Salsburg equations for correlation functions of a large canonical ensemble. We establish analytical relations between Ruelle’s operator approach described in detail in [Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971)] and the approach by Minlos and Poghosyan presented in [Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных, Теор. и мат. физика, 31, № 2, 199 – 213 (1977)]. Using methods of infinite-dimensional analysis, we suggest a more transparent description of the main results. Работа носит полуобзорный характер описания решений уравнений Кирквуда-Зальцбурга.для корреляционных функций большого канонического ансамбля. Аналитическая взаимосвязь междуОператорный подход Руэля, подробно описанный в монографии \ cite {Ru69}, гл. 4и установлен подход, предложенный Минлосом и Погосяном в \ cite {MP77}.На основе методов бесконечномерного анализа более прозрачное описаниеприведены основные результаты. УДК 517.9Робота має напiвоглядовий характер опису розв’язкiв рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга для кореляцiйних функцiй великого канонiчного ансамблю. Встановлено аналiтичний зв’язок мiж операторним пiдходом Д. Рюеля, який детально описано у гл. 4 монографiї [Статистическая механика. Строгие результаты, Мир, Москва (1971)] i пiдходом, запропонованим Р. А. Мiнлосом i С. К. Погосяном у роботi [Оценки функций Урселла, групповых функций и их производных, Теор. и мат. физика, 31, № 2, 199 – 213 (1977)]. На основi методiв нескiнченновимiрного аналiзу наведено бiльш прозорий опис основних результатiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-03-19 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6337 10.37863/umzh.v73i3.6337 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 3 (2021); 381 - 394 Український математичний журнал; Том 73 № 3 (2021); 381 - 394 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6337/8982 Copyright (c) 2021 Олексій Лукич Ребенко |
| spellingShingle | Rebenko, A. L. Ребенко, А. Л. Ребенко, О. Л. On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title | On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title_alt | О СВЯЗИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ КИРКВУДА-ЗАЛЬЦБУРГА. Про зв’язок деяких підходів до розв’язання рівнянь Кірквуда – Зальцбурга |
| title_full | On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title_fullStr | On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title_full_unstemmed | On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title_short | On the relations between some approaches to solving the Kirkwood – Salzburg equations |
| title_sort | on the relations between some approaches to solving the kirkwood – salzburg equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6337 |
| work_keys_str_mv | AT rebenkoal ontherelationsbetweensomeapproachestosolvingthekirkwoodsalzburgequations AT rebenkoal ontherelationsbetweensomeapproachestosolvingthekirkwoodsalzburgequations AT rebenkool ontherelationsbetweensomeapproachestosolvingthekirkwoodsalzburgequations AT rebenkoal osvâzinekotoryhpodhodovkrešeniûuravneniâkirkvudazalʹcburga AT rebenkoal osvâzinekotoryhpodhodovkrešeniûuravneniâkirkvudazalʹcburga AT rebenkool osvâzinekotoryhpodhodovkrešeniûuravneniâkirkvudazalʹcburga AT rebenkoal prozvâzokdeâkihpídhodívdorozvâzannârívnânʹkírkvudazalʹcburga AT rebenkoal prozvâzokdeâkihpídhodívdorozvâzannârívnânʹkírkvudazalʹcburga AT rebenkool prozvâzokdeâkihpídhodívdorozvâzannârívnânʹkírkvudazalʹcburga |