Interval rearrangement ensembles
UDC 517.5 We introduce a new concept of interval rearrangement ensembles (IRE), which is a generalization of interval exchange transformations (IET). This construction expands the space of IETs in accordance with the natural duality that we pinpoint. Induction of Rauzy–Veech kind is applicable to IR...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6341 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512336544006144 |
|---|---|
| author | Teplinsky, A. Теплінський, Олексій |
| author_facet | Teplinsky, A. Теплінський, Олексій |
| author_sort | Teplinsky, A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-03-06T14:26:58Z |
| description | UDC 517.5
We introduce a new concept of interval rearrangement ensembles (IRE), which is a generalization of interval exchange transformations (IET). This construction expands the space of IETs in accordance with the natural duality that we pinpoint. Induction of Rauzy–Veech kind is applicable to IREs. It is conjugate to the reverse operation by the duality mentioned above. A natural extension of an IRE is associated with two transversal flows on a flat translation surface with branching points. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i2.6341 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i2.6341
УДК 517.5
Олексiй Теплiнський1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ
We introduce a new concept of interval rearrangement ensembles (IRE), which is a generalization of interval exchange
transformations (IET). This construction expands the space of IETs in accordance with the natural duality that we pinpoint.
Induction of Rauzy – Veech kind is applicable to IREs. It is conjugate to the reverse operation by the duality mentioned
above. A natural extension of an IRE is associated with two transversal flows on a flat translation surface with branching
points.
Запропоновано нову концепцiю перекладального ансамблю iнтервалiв (ПАI), що є узагальненням класичного пе-
рекладання iнтервалiв (ПI). Ця конструкцiя розширює простiр ПI вiдповiдно до природної дуальностi, на яку ми
вказуємо. Iндукцiя типу Розi – Вiча є застосовною до ПАI, i згадана вище дуальнiсть спрягає її з оберненою опера-
цiєю. Натуральне розширення ПАI може бути реалiзоване як пара трансверсальних потокiв на плоскiй трансляцiйнiй
поверхнi з особливими точками.
1. Вступ. Перекладання iнтервалiв (ПI) — це одновимiрнi динамiчнi системи, якi широко
дослiджуються з 1970-х рокiв, починаючи з робiт [1 – 6]. Просте та наочне викладення предмету
можна знайти, наприклад, у [7].
Але мотивацiя до узагальнення цiєї конструкцiї прийшла до нас iз нещодавних досягнень
у дослiдженнi дифеоморфiзмiв кола зi зламами [8 – 12], якi можуть розглядатися як окремий
випадок нелiнiйного ПI. Ренормалiзацiйний пiдхiд веде до вивчення динамiки дiї оператора
ренормалiзацiї на граничнiй скiнченновимiрнiй областi параметрiв. Одним iз ключових спо-
стережень, якi зробили результати статтi [10] можливими, було вiдкриття авторами важливої
симетрiї (представленої у виглядi нескладної iнволюцiї на згаданiй вище граничнiй множинi,
деталi див. у [9]), яка спрягає оператор ренормалiзацiї з оберненим до нього. Ця оборотнiсть
часу дозволила авторам зрештою довести гiперболiчнiсть ренормалiзацiї. Вони назвали цю
симетрiю „дуальнiстю”.
Якщо випадок єдиного зламу, дослiджений у [10], приводив до розгляду (нелiнiйного) пе-
рекладання лише двох iнтервалiв, тобто до ПI з дуже простою дискретною компонентою, то
випадок багатьох зламiв вимагав розумiння того, яким чином трансформуються набагато склад-
нiшi ПI на багатьох промiжках при застосуваннi до них процедури iндукцiї. Авторам вдалося
розширити дуальнiсть, знайдену для найпростiшого випадку, на простiр усiх ротацiйних ПI
(це клас ПI на багатьох промiжках, iндукованих iррацiональними поворотами кола). Ця ду-
альнiсть обертає iндукцiю на дискретних даних, на лiнiйних натуральних розширеннях та на
дробово-лiнiйних ПI.
У випадку ротацiйного ПI дуальною до нього системою також є ротацiйне ПI. Але що
буде, якщо операцiю дуальностi застосувати до неротацiйного ПI? Вiдповiдь на це питання
виявилася дещо неочiкуваною: результатом є не ПI, i навiть не динамiчна система, а бiльш
загальний об’єкт, який автори назвали „перекладальним ансамблем iнтервалiв” (ПАI). Простiр
усiх таких ансамблiв є замкненим щодо нашої дуальностi i виявляється дуже природним у
багатьох сенсах, про що йдеться у цiй статтi.
1 E-mail: teplinsky.a@gmail.com.
c\bigcirc ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2 247
248 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
Опишемо коротко будову статтi. У пп. 2 i 3 охарактеризовано класичнi ПI (на одному
промiжку) та ПI на багатьох промiжках, у п. 4 наведено означення ПАI. Далi показано, якi
динамiчнi системи вiдповiдають ПАI (п. 5), обраховано розмiрностi дiйсних компонент (п. 6),
означено елементарнi кроки iндукцiї (п. 7) i дуальнiсть, що обертає час (п. 8). Натуральнi
розширення ПАI наведено у п. 9, а вiдповiднi до них трансляцiйнi поверхнi й потоки — у
п. 10 (який також включає докладний аналiз одного класичного прикладу). У п. 11 пiдсумовано
отриманi результати.
2. Класичнi перекладання iнтервалiв. Наведемо класичне означення ПI.
Нехай є алфавiт \scrA з d \geq 1 символiв, два дискретних бiєктивних вiдображення \pi \mathrm{b} i \pi \mathrm{e},
що дiють з \scrA на множину \{ 1, . . . , d\} , та вектор довжин \bfv = (v\alpha )\alpha \in \scrA \in \BbbR \scrA
+. Перекладання
iнтервалiв iз цими даними (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfv ) — це одновимiрна динамiчна система на напiввiдкритому
промiжку J =
\Bigl[
0,
\sum
\alpha \in \scrA
v\alpha
\Bigr)
, яка визначається розривним бiєктивним вiдображенням
f : x \mapsto \rightarrow x - x\mathrm{b}(\alpha ) + x\mathrm{e}(\alpha ) для x \in I\alpha \mathrm{b}, \alpha \in \scrA , (1)
де I\alpha \mathrm{b} = [x\mathrm{b}(\alpha ), x\mathrm{b}(\alpha )+v\alpha ), x\mathrm{b}(\alpha ) =
\sum
\beta : \pi \mathrm{b}(\beta )<\pi \mathrm{b}(\alpha )
v\beta , x\mathrm{e}(\alpha ) =
\sum
\beta : \pi \mathrm{e}(\beta )<\pi \mathrm{e}(\alpha )
v\beta . Iндекси
\mathrm{b} та \mathrm{e} тут походять вiд слiв beginning („початковий”) та ending („кiнцевий”) вiдповiдно.
Неважко перевiрити, що дiя цього вiдображення полягає в роздiленнi промiжку J на d
початкових iнтервалiв I\alpha \mathrm{b} (тут i далi ми використовуємо термiни „промiжок” та „iнтервал”
невзаємозамiнно, називаючи ними рiзнi за змiстом об’єкти) довжин v\alpha , \alpha \in \scrA , упорядко-
ваних вiдповiдно до \pi \mathrm{b} (у тому сенсi, що початковий iнтервал I\alpha \mathrm{b} займає \pi \mathrm{b}(\alpha )-ту пози-
цiю, рахуючи злiва направо), i зсувi кожного з них окремо на вiдповiднi кiнцевi iнтервали
I\alpha \mathrm{e} = [x\mathrm{e}(\alpha ), x\mathrm{e}(\alpha ) + v\alpha ) тих самих довжин, але тепер упорядкованих вiдповiдно до \pi \mathrm{e}.
Важливо зауважити, що набiр даних (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfv ), якi визначають ПI (J, f), є гiбридним
об’єктом, що складається з дискретної компоненти (або схеми) (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e}) та дiйсної компоненти \bfv .
Схему ПI часто подають у виглядi так званого дворядкового запису\Biggl(
\pi - 1
\mathrm{b} (1) \pi - 1
\mathrm{b} (2) . . . \pi - 1
\mathrm{b} (d)
\pi - 1
\mathrm{e} (1) \pi - 1
\mathrm{e} (2) . . . \pi - 1
\mathrm{e} (d)
\Biggr)
. (2)
Наприклад,
\biggl(
\alpha \beta \gamma \delta
\delta \gamma \beta \alpha
\biggr)
позначає схему ПI, що перекладає чотири iнтервали у проти-
лежному порядку.
Зауважимо, що якщо розглядати ПI лише як одну конкретну динамiчну систему, то наведена
вище схема нiчим не вiдрiзняється вiд, скажiмо, схеми
\biggl(
\beta \alpha \gamma \delta
\delta \gamma \alpha \beta
\biggr)
. Але для манiпуляцiй
з ПI, якi ми опишемо нижче, корисно слiдкувати за мiтками iнтервалiв, i власне математичний
об’єкт ПI варто розглядати не просто як одновимiрну динамiчну систему (J, f), а саме як
набiр даних (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfv ), що є елементом певного параметричного простору, на якому дiють
метадинамiчнi системи.
Однiєю з класичних метасистем у просторi ПI є iндукцiя Розi – Вiча. Вона перетворює
вихiдне ПI (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfv ) на нове (\pi \prime
\mathrm{b}, \pi
\prime
\mathrm{e},\bfv
\prime ), яке в динамiчному сенсi є вiдображенням першого
повернення траєкторiй на зменшений промiжок, що визначається шляхом порiвняння довжин
крайнього правого початкового iнтервалу i крайнього правого кiнцевого iнтервалу та вiдрiзання
бiльш короткого з них вiд вихiдного промiжку J. У виглядi формул: якщо v\pi - 1
\mathrm{b} (d) < v\pi - 1
\mathrm{e} (d),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 249
то промiжком нового ПI буде J \prime =
\biggl[
0,
\sum
\alpha \in \scrA \setminus \{ \pi - 1
\mathrm{b} (d)\}
v\alpha
\biggr)
; у протилежному випадку ним
буде J \prime =
\biggl[
0,
\sum
\alpha \in \scrA \setminus \{ \pi - 1
\mathrm{e} (d)\}
v\alpha
\biggr)
. Неважко порахувати, яким буде вiдображення першого
повернення на цей промiжок.
У випадку v\pi - 1
\mathrm{b} (d) < v\pi - 1
\mathrm{e} (d) :
\pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\alpha ) для таких \alpha , що \pi \mathrm{b}(\alpha ) \leq \pi \mathrm{b}(\pi
- 1
\mathrm{e} (d)),
\pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\alpha ) + 1 для таких \alpha , що \pi \mathrm{b}(\pi
- 1
\mathrm{e} (d)) < \pi \mathrm{b}(\alpha ) < d,
\pi \prime
\mathrm{b}(\pi
- 1
\mathrm{b} (d)) = \pi \mathrm{b}(\pi
- 1
\mathrm{e} (d)) + 1,
\pi \prime
\mathrm{e}(\alpha ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ) для всiх \alpha \in \scrA ,
v\prime
\pi - 1
\mathrm{e} (d)
= v\pi - 1
\mathrm{e} (d) - v\pi - 1
\mathrm{b} (d),
v\prime \alpha = v\alpha для \alpha \not = \pi - 1
\mathrm{e} (d).
У випадку v\pi - 1
\mathrm{b} (d) > v\pi - 1
\mathrm{e} (d) :
\pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\alpha ) для всiх \alpha \in \scrA ,
\pi \prime
\mathrm{e}(\alpha ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ) для таких \alpha , що \pi \mathrm{e}(\alpha ) \leq \pi \mathrm{e}(\pi
- 1
\mathrm{b} (d)),
\pi \prime
\mathrm{e}(\alpha ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ) + 1 для таких \alpha , що \pi \mathrm{e}(\pi
- 1
\mathrm{b} (d)) < \pi \mathrm{e}(\alpha ) < d,
\pi \prime
\mathrm{e}(\pi
- 1
\mathrm{e} (d)) = \pi \mathrm{e}(\pi
- 1
\mathrm{b} (d)) + 1,
v\prime
\pi - 1
\mathrm{b} (d)
= v\pi - 1
\mathrm{b} (d) - v\pi - 1
\mathrm{e} (d),
v\prime \alpha = v\alpha для \alpha \not = \pi - 1
\mathrm{b} (d).
Це перетворення ПI простiше зрозумiти у дворядковому записi (2): якщо iнтервал з мiткою
\pi - 1
\mathrm{b} (d) є строго коротшим за iнтервал з мiткою \pi - 1
\mathrm{e} (d), то у верхньому рядку символ \pi - 1
\mathrm{b} (d)
видаляється зi своєї крайньої правої позицiї i вставляється в той самий рядок просто праворуч
вiд \pi - 1
\mathrm{e} (d), а нижнiй рядок залишається без змiн; якщо ж iнтервал з мiткою \pi - 1
\mathrm{b} (d) є строго
довшим за iнтервал з мiткою \pi - 1
\mathrm{e} (d), то верхнiй рядок змiн не зазнає, а в нижньому символ
\pi - 1
\mathrm{e} (d) перемiщується зi своєї крайньої правої позицiї у позицiю просто праворуч вiд \pi - 1
\mathrm{b} (d)
у цьому ж рядку. Пiсля такої змiни дискретної компоненти довжина довшого з двох iнтервалiв
зменшується на довжину коротшого.
Зауваження 1. Описане перетворення є невизначеним у випадку v\pi - 1
\mathrm{b} (d) = v\pi - 1
\mathrm{e} (d). При
застосуваннi iндукцiї Розi – Вiча спецiально припускається, що такий випадок нiколи не тра-
питься. Зазвичай це робиться шляхом накладання умови Кiна [1], яка формулюється таким
чином: траєкторiї всiх точок розриву x\mathrm{b}(\alpha ), \alpha \in \scrA \setminus \{ \pi - 1
\mathrm{b} (1)\} , попарно не перетинаються. З
умови Кiна також випливає мiнiмальнiсть ПI (J, f): кожна траєкторiя цiєї динамiчної системи
є скрiзь щiльною на промiжку J.
3. Перекладання iнтервалiв на багатьох промiжках. Класичнi ПI, означенi у поперед-
ньому пунктi, дiють на одному промiжку, i першим кроком iз узагальнення є позбуття цього
обмеження, тобто перехiд до розгляду ПI на багатьох промiжках. Ми також позбудемося фiкса-
цiї лiвого краю в точцi 0. У подальшому будемо називати ПI на багатьох промiжках просто ПI.
Розглянемо алфавiт \scrA iз d \geq 1 символiв i два бiєктивних вiдображення \pi \mathrm{b} та \pi \mathrm{e}, що дiють
з \scrA на \{ 1, . . . , d\} , як i ранiше. Але тепер додамо до цих даних два впорядкованих набори
з N \geq 1 натуральних чисел \bfk \mathrm{b} = (k1\mathrm{b}, . . . , kN\mathrm{b}) i \bfk \mathrm{e} = (k1\mathrm{e}, . . . , kN\mathrm{e}), суми яких дають d,
тобто
\sum N
s=1
ks\mathrm{b} =
\sum N
s=1
ks\mathrm{e} = d. Нехай ми маємо вектор довжин \bfv = (v\alpha )\alpha \in \scrA \in \BbbR \scrA
+, що
задовольняють умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
250 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
ks\mathrm{b}\sum
i=1
v\pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b}+...+k(s - 1)\mathrm{b}+i) =
ks\mathrm{e}\sum
i=1
v\pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e}+...+k(s - 1)\mathrm{e}+i), 1 \leq s \leq N.
Позначимо записанi вище суми як \ell s, 1 \leq s \leq N. Легко бачити, що якщо будь-якi N - 1
серед рiвностей вище виконуються, то вони виконуються всi, оскiльки, пiдсумувавши всi N
рiвностей, одержимо тотожнiсть iз виразом
\sum
\alpha \in \scrA
v\alpha з обох бокiв.
Для заданого набору промiжкiв Js = [As, Bs) довжин Bs - As = \ell s, 1 \leq s \leq N, ПI (на ба-
гатьох промiжках) з даними (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfk \mathrm{b},\bfk \mathrm{e},\bfv ) означається на їхньому диз’юнктному об’єднаннi\bigsqcup N
s=1 Js вiдображенням, яке роздiляє N промiжкiв Js на d початкових iнтервалiв I\alpha \mathrm{b} довжин
v\alpha , \alpha \in \scrA , упорядкованих вiдповiдно до \pi \mathrm{b} i \bfk \mathrm{b} (в тому сенсi, що iнтервал I\alpha \mathrm{b} займає позицiю
пiд номером \pi \mathrm{b}(\alpha ) - (k1\mathrm{b}+ . . .+k(s - 1)\mathrm{b}), рахуючи злiва направо, на промiжку Js, 1 \leq s \leq N ),
i зсуває кожен iз них окремо на вiдповiднi кiнцевi iнтервали I\alpha \mathrm{e} таких самих довжин v\alpha ,
\alpha \in \scrA , якi впорядкованi вiдповiдно до \pi \mathrm{e} i \bfk \mathrm{e}. Формально це вiдображення задається тим
самим записом (1), але тепер лiвий край початкового iнтервалу I\alpha \mathrm{b} задається рiвнiстю x\mathrm{b}(\alpha ) =
= As\mathrm{b}(\alpha )+
\sum
\beta : k1\mathrm{b}+...+k(s\mathrm{b}(\alpha ) - 1)\mathrm{b}<\pi \mathrm{b}(\beta )<\pi \mathrm{b}(\alpha )
v\beta , де s\mathrm{b}(\alpha ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ s : \pi \mathrm{b}(\alpha ) \leq k1\mathrm{b}+ . . .+ks\mathrm{b}\} —
номер того промiжку, якому цей початковий iнтервал належить, а лiвий край кiнцевого iнтервалу
I\alpha \mathrm{e} задається рiвнiстю x\mathrm{e}(\alpha ) = As\mathrm{e}(\alpha )+
\sum
\beta : k1\mathrm{e}+...+k(s\mathrm{e}(\alpha ) - 1)\mathrm{e}<\pi \mathrm{e}(\beta )<\pi \mathrm{e}(\alpha )
v\beta , де s\mathrm{e}(\alpha ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ s :
\pi \mathrm{e}(\alpha ) \leq k1\mathrm{e} + . . .+ ks\mathrm{e}\} — номер того промiжку, якому належить даний кiнцевий iнтервал.
Легко переконатися, що для N = 1 та A1 = 0 це означення є еквiвалентним означенню
класичного ПI з попереднього пункту. Також варто зауважити, що у випадку N \not = 1 саме
дискретна компонента даних ПI (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfk \mathrm{b},\bfk \mathrm{e}) пiдносить складнiсть усiєї конструкцiї на новий
рiвень.
Цю схему природно вiзуалiзувати у виглядi дворядкового запису таким чином:\Biggl( \Biggl[
\pi - 1
\mathrm{b} (1) . . . \pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b})
\pi - 1
\mathrm{e} (1) . . . \pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e})
\Biggr] \Biggl[
\pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + 1) . . . \pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + k2\mathrm{b})
\pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + 1) . . . \pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + k2\mathrm{e})
\Biggr]
. . .
. . .
\Biggl[
\pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + . . .+ k(N - 1)\mathrm{b} + 1) . . . \pi - 1
\mathrm{b} (d)
\pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + . . .+ k(N - 1)\mathrm{e} + 1) . . . \pi - 1
\mathrm{e} (d)
\Biggr] \Biggr)
. (3)
У цьому записi N блокiв у квадратних дужках вiдповiдають подiлу промiжкiв Js, 1 \leq s \leq N,
на початковi (верхнiй рядок) та кiнцевi (нижнiй рядок) iнтервали iз вказаними (злiва направо,
тобто так само, як лежать вiдповiднi iнтервали) мiтками.
Iндукцiю Розi – Вiча також потрiбно узагальнити на нову конструкцiю. Зберiгати недотор-
канними лiвi краї промiжкiв бiльше не має сенсу, тому природно дозволити вiдрiзати iнтервали
з обох бокiв, а не лише з правого, як це зроблено у класичнiй iндукцiї Розi – Вiча, описа-
нiй у попередньому пунктi. Зараз ми означимо елементарнi iндукцiйнi кроки чотирьох типiв:
„обрiзання початкового iнтервалу справа”, „обрiзання кiнцевого iнтервалу справа”, „обрiзання
початкового iнтервалу злiва” i „обрiзання кiнцевого iнтервалу злiва”, позначивши цi операцiї
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta вiдповiдно. Тут у верхнiх iндексах лiтери r та l походять вiд слiв right
(„правий”) та left („лiвий”), а \alpha , \beta , \alpha \not = \beta , — мiтки задiяних в операцiї початкового та кiнцевого
iнтервалiв вiдповiдно.
Елементарнi iндукцiйнi кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta є застосовними лише тодi, коли для якогось
1 \leq s\ast \leq N мають мiсце рiвностi s\mathrm{b}(\alpha ) = s\mathrm{e}(\beta ) = s\ast , \pi \mathrm{b}(\alpha ) = k1\mathrm{b} + . . . + ks\ast \mathrm{b}, \pi \mathrm{e}(\beta ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 251
= k1\mathrm{e} + . . . + ks\ast \mathrm{e}, тобто початковий I\alpha \mathrm{b} та кiнцевий I\beta \mathrm{e} iнтервали прилягають до правого
краю промiжку Js\ast . Як i у класичнiй iндукцiї Розi – Вiча, ми обрiзаємо довший iз цих двох
iнтервалiв на довжину коротшого, тобто якщо v\alpha > v\beta , то застосовується операцiя \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta , тодi
як при v\alpha < v\beta застосовується \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta . Для v\alpha = v\beta цi операцiї не означенi.
Кроки \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta застосовуються, коли s\mathrm{e}(\alpha ) = s\mathrm{b}(\beta ) = s\ast , \pi \mathrm{b}(\alpha ) = k1\mathrm{b}+ . . .+k(s\ast - 1)\mathrm{b}+1,
\pi \mathrm{e}(\beta ) = k1\mathrm{e} + . . . + k(s\ast - 1)\mathrm{e} + 1 для 1 \leq s\ast \leq N, тобто початковий I\alpha \mathrm{b} та кiнцевий I\beta \mathrm{e}
iнтервали прилягають до лiвого краю промiжку Js\ast . Якщо v\alpha > v\beta , то застосовується \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta , а
якщо v\alpha < v\beta , то \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta . Для випадку v\alpha = v\beta операцiї не означаються.
Позначимо дискретнi данi ПI до застосування iндукцiйного кроку як (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfk \mathrm{b},\bfk \mathrm{e}), а пiсля
застосування як (\pi \prime
\mathrm{b}, \pi
\prime
\mathrm{e},\bfk
\prime
\mathrm{b},\bfk
\prime
\mathrm{e}). Дiя елементарних iндукцiйних крокiв означується таким чином
(у кожному з чотирьох випадкiв ми спочатку описуємо цю дiю словами з огляду на дворядковий
запис схеми, а потiм формально).
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta перемiщує символ \beta з його крайньої правої позицiї у нижньому рядку s\ast -го блоку на
позицiю просто праворуч вiд символу \alpha у нижньому рядку того блоку, де вiн є знизу:
\pi \prime
\mathrm{b} = \pi \mathrm{b}, \bfk
\prime
\mathrm{b} = \bfk \mathrm{b},
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) для таких \gamma , що або \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\beta ) i \pi \mathrm{e}(\gamma ) \leq \pi \mathrm{e}(\alpha ), або ж \pi \mathrm{e}(\gamma ) > \pi \mathrm{e}(\beta ) i
\pi \mathrm{e}(\gamma ) > \pi \mathrm{e}(\alpha ),
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) + 1 для таких \gamma , що \pi \mathrm{e}(\alpha ) < \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) - 1 для таких \gamma , що \pi \mathrm{e}(\beta ) < \pi \mathrm{e}(\gamma ) \leq \pi \mathrm{e}(\alpha ),
\pi \prime
\mathrm{e}(\beta ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ) + 1, якщо \pi \mathrm{e}(\alpha ) < \pi \mathrm{e}(\beta ), iнакше \pi \prime
\mathrm{e}(\beta ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\mathrm{e} = ks\mathrm{e} для s \not \in \{ s\ast , s\mathrm{e}(\alpha )\} або s = s\ast = s\mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\ast \mathrm{e} = k\prime s\ast \mathrm{e} - 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\mathrm{e}(\alpha )\mathrm{e} = k\prime s\mathrm{e}(\alpha )\mathrm{e} + 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{e}(\alpha ).
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta перемiщує символ \alpha з його крайньої правої позицiї у верхньому рядку s\ast -го блоку на
позицiю просто праворуч вiд символу \beta у верхньому рядку того блоку, де вiн є зверху:
\pi \prime
\mathrm{e} = \pi \mathrm{e}, \bfk
\prime
\mathrm{e} = \bfk \mathrm{e},
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) для такого \gamma , що або \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\alpha ) i \pi \mathrm{b}(\gamma ) \leq \pi \mathrm{b}(\beta ), або ж \pi \mathrm{b}(\gamma ) > \pi \mathrm{b}(\alpha )
i \pi \mathrm{b}(\gamma ) > \pi \mathrm{b}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) + 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{b}(\beta ) < \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\alpha ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) - 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{b}(\alpha ) < \pi \mathrm{b}(\gamma ) \leq \pi \mathrm{b}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\beta ) + 1, якщо \pi \mathrm{b}(\beta ) < \pi \mathrm{b}(\alpha ), iнакше \pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\mathrm{b} = ks\mathrm{b} для s \not \in \{ s\ast , s\mathrm{b}(\beta )\} або s = s\ast = s\mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\ast \mathrm{b} = k\prime s\ast \mathrm{b} - 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\mathrm{b}(\beta )\mathrm{b} = k\prime s\mathrm{b}(\beta )\mathrm{b} + 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{b}(\beta ).
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta перемiщує \beta з його крайньої лiвої позицiї у нижньому рядку s\ast -го блоку на позицiю
просто лiворуч вiд \alpha у нижньому рядку того блоку, де вiн є знизу:
\pi \prime
\mathrm{b} = \pi \mathrm{b}, \bfk
\prime
\mathrm{b} = \bfk \mathrm{b},
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) для такого \gamma , що або \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\alpha ) i \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\beta ), або ж \pi \mathrm{e}(\gamma ) \geq \pi \mathrm{e}(\alpha ) i
\pi \mathrm{e}(\gamma ) > \pi \mathrm{e}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) + 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{e}(\alpha ) \leq \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{e}(\gamma ) = \pi \mathrm{e}(\gamma ) - 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{e}(\beta ) < \pi \mathrm{e}(\gamma ) < \pi \mathrm{e}(\alpha ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
252 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
\pi \prime
\mathrm{e}(\beta ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ) - 1, якщо \pi \mathrm{e}(\beta ) < \pi \mathrm{e}(\alpha ), iнакше \pi \prime
\mathrm{e}(\beta ) = \pi \mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\mathrm{e} = ks\mathrm{e} для s \not \in \{ s\ast , s\mathrm{e}(\alpha )\} або s = s\ast = s\mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\ast \mathrm{e} = k\prime s\ast \mathrm{e} - 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{e}(\alpha ),
k\prime s\mathrm{e}(\alpha )\mathrm{e} = k\prime s\mathrm{e}(\alpha )\mathrm{e} + 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{e}(\alpha ).
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta перемiщує \alpha з його крайньої лiвої позицiї у верхньому рядку s\ast -го блоку на позицiю
просто лiворуч вiд \beta у верхньому рядку того блоку, де вiн є зверху:
\pi \prime
\mathrm{e} = \pi \mathrm{e}, \bfk
\prime
\mathrm{e} = \bfk \mathrm{e},
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) для такого \gamma , що або \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\beta ) i \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\alpha ), або ж \pi \mathrm{b}(\gamma ) \geq \pi \mathrm{b}(\beta )
i \pi \mathrm{b}(\gamma ) > \pi \mathrm{b}(\alpha ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) + 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{b}(\beta ) \leq \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\alpha ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\gamma ) = \pi \mathrm{b}(\gamma ) - 1 для такого \gamma , що \pi \mathrm{b}(\alpha ) < \pi \mathrm{b}(\gamma ) < \pi \mathrm{b}(\beta ),
\pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\beta ) - 1, якщо \pi \mathrm{b}(\alpha ) < \pi \mathrm{b}(\beta ), iнакше \pi \prime
\mathrm{b}(\alpha ) = \pi \mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\mathrm{b} = ks\mathrm{b} для s \not \in \{ s\ast , s\mathrm{b}(\beta )\} або s = s\ast = s\mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\ast \mathrm{b} = k\prime s\ast \mathrm{b} - 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{b}(\beta ),
k\prime s\mathrm{b}(\beta )\mathrm{b} = k\prime s\mathrm{b}(\beta )\mathrm{b} + 1, якщо s\ast \not = s\mathrm{b}(\beta ).
Слiд зауважити, що для кожного з чотирьох крокiв можлива ситуацiя (\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfk \mathrm{b},\bfk \mathrm{e}) =
= (\pi \prime
\mathrm{b}, \pi
\prime
\mathrm{e},\bfk
\prime
\mathrm{b},\bfk
\prime
\mathrm{e}), тобто коли дискретнi данi залишаються повнiстю без змiн (для кроку \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta
це той випадок, коли символ \alpha у нижньому рядку s\ast -го блоку вже знаходиться просто злiва
вiд \beta ; для iнших крокiв аналогiчно).
Дiйсну компоненту ПI можна означити як поєднання вектора довжин iнтервалiв \bfv \in \BbbR \scrA
+ iз
вектором лiвих країв промiжкiв \bfA = (A1, . . . , AN ) \in \BbbR N . Разом це складає d+N дiйсних чисел;
вони не є незалежними, але до питання розмiрностей вiдповiдних просторiв ми повернемося у
п. 6.
Змiни у дiйсних даних вiд (\bfv ,\bfA ) до (\bfv \prime ,\bfA \prime ) при застосуваннi чотирьох елементарних
iндукцiйних крокiв записуються значно простiше за змiни у дискретних даних, а саме:
для \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta маємо v\prime \alpha = v\alpha - v\beta , тодi як для \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta v\prime \beta = v\beta - v\alpha , всi iншi довжини
не змiнюються;
для \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta маємо A\prime
s\ast = As\ast +v\beta , а для \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta A\prime
s\ast = As\ast +v\alpha , i лiвi краї всiх iнших промiжкiв,
крiм Js\ast , не змiнюються, тодi як для обрiзань справа \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta жоден iз лiвих країв промiжкiв
Js, 1 \leq s \leq N, не змiнюється.
Зауважимо, що елементарнi iндукцiйнi кроки дiють на дискретну компоненту даних ПI
(\pi \mathrm{b}, \pi \mathrm{e},\bfk \mathrm{b},\bfk \mathrm{e}) незалежно вiд значення дiйсної компоненти його даних (\bfv ,\bfA ).
4. Означення перекладального ансамблю iнтервалiв. У наступних пунктах мотивацiя
для узагальнюючої конструкцiї, яку ми зараз опишемо, стане бiльш зрозумiлою, але зараз
поглянемо на дискретну компоненту даних ПI з дещо iншої точки зору.
Для початку перетворимо дворядковий запис (3) на запис в один рядок, спорядивши символи
алфавiту з верхнього та нижнього рядкiв лiтерами b та e вiдповiдно i записавши їх у N
скiнченних послiдовностях, по однiй для кожного промiжку Js : спочатку символи верхнього
рядка злiва направо, а за ними (тобто праворуч вiд них) символи нижнього рядка, але справа
налiво. Наприклад, замiсть
\biggl(
\alpha \beta
\gamma \delta \varepsilon
\biggr)
пишемо (\alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{b}, \varepsilon \mathrm{e}, \delta \mathrm{e}, \gamma \mathrm{e}).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 253
Вiдповiдно до цiєї форми запису, кодуємо кожен промiжок Js, 1 \leq s \leq N, який є
об’єднанням початкових iнтервалiв з мiтками (злiва направо) \pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + . . . + k(s - 1)\mathrm{b} + 1), . . .
. . . , \pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + . . . + ks\mathrm{b}) i водночас об’єднанням кiнцевих iнтервалiв з мiтками
\pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + . . .+ k(s - 1)\mathrm{e} + 1), . . . , \pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + . . .+ ks\mathrm{e}), як один цикл\Bigl(
\pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + . . .+ k(s - 1)\mathrm{b} + 1)\mathrm{b}, . . . , \pi - 1
\mathrm{b} (k1\mathrm{b} + . . .+ ks\mathrm{b})\mathrm{b},
\pi - 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + . . .+ ks\mathrm{e})\mathrm{e}, . . . , \pi
- 1
\mathrm{e} (k1\mathrm{e} + . . .+ k(s - 1)\mathrm{e} + 1)\mathrm{e}
\Bigr)
у подвоєному алфавiтi \=\scrA = \scrA \times \{ \mathrm{b}, \mathrm{e}\} . (Далi позначатимемо елементи \=\scrA як \=\xi = \alpha \mathrm{m} = (\alpha ,\mathrm{m}),
де \alpha \in \scrA , \mathrm{m} \in \{ \mathrm{b}, \mathrm{e}\} .) Ми називаємо цi скiнченнi послiдовностi циклами, маючи на увазi
цикли у перестановцi множини \=\scrA . Мова йде про вiдношення порядку, за яким кожна з таких
скiнченних послiдовностей є зiмкненою в кiльце (тобто її перший елемент слiдує за її останнiм
елементом).
Зрозумiло, що в нашiй конструкцiї для ПI кожен елемент подвоєного алфавiту \=\scrA належить в
точностi до одного циклу, а отже схема (дискретнi данi) ПI може бути означена як перестановка
на \=\scrA така, що кожен її цикл можна розбити на двi дуги, одна з яких мiстить лише елементи з
множини \scrA \times \{ \mathrm{b}\} , а друга — лише елементи з \scrA \times \{ \mathrm{e}\} .
Наше узагальнення позбувається останнього обмеження: ми розглядаємо будь-яку пере-
становку \sigma на \=\scrA як схему ПАI, де остання абревiатура позначає перекладальний ансамбль
iнтервалiв — новий математичний об’єкт, який ми презентуємо.
Формально схема ПАI \sigma може еквiвалентно розглядатися або як бiєктивне вiдображення \=\scrA
на себе, або як (2d \times 2d)-матриця \=\scrA 2 \rightarrow \{ 0, 1\} , у якiй кожен рядок i кожен стовпчик мiстять
рiвно по однiй одиницi, або ж як вiдповiдний орiєнтований граф iз 2d вершинами \=\scrA , який є
об’єднанням попарно неперетинних циклiв. Коли \sigma (\=\xi ) = \=\eta , кажемо, що \=\xi стоїть просто (чи
одразу) перед \=\eta , а \=\eta стоїть одразу (чи просто) пiсля \=\xi , \=\xi , \=\eta \in \=\scrA .
Означення. Перекладальний ансамбль iнтервалiв — це пара (\sigma ,\bfx ), у якiй \sigma : \=\scrA \rightarrow \=\scrA є
дискретним бiєктивним вiдображенням (перестановкою), а \bfx \in \BbbR \=\scrA — вектором, координати
якого задовольняють рiвностi
x\alpha \mathrm{b} + x\alpha \mathrm{e} - x\sigma (\alpha \mathrm{b}) + x\sigma (\alpha \mathrm{e}) = 0 для всiх \alpha \in \scrA . (4)
Зрозумiло, що для кожної заданої перестановки \sigma множина всiх векторiв країв \bfx , що задо-
вольняють рiвностi (4) (ми називаємо такi вектори дозволеними схемою \sigma ), складає лiнiйний
простiр X\sigma \subset \BbbR \=\scrA .
Вектор довжин \bfv \in \BbbR \scrA для даного ПАI (\sigma ,\bfx ) означується як
v\alpha = x\sigma (\alpha \mathrm{b}) - x\alpha \mathrm{b} = x\alpha \mathrm{e} - x\sigma (\alpha \mathrm{e}), \alpha \in \scrA , (5)
вiдповiдно до (4). Множина всiх векторiв \bfv , дозволених схемою \sigma (тобто породжених шляхом
пiдстановки у рiвностi (5) координат дозволених векторiв країв \bfx ), складає лiнiйний простiр
V\sigma \subset \BbbR \scrA .
Ми називаємо пару (\sigma ,\bfv ), iз вектором довжин \bfv \in V\sigma , плаваючим ПАI, маючи на увазi, що
рiзнi промiжки (якi вiдповiдають циклам iнтервалiв у схемi \sigma ) можуть вiльним чином соватися
уздовж осi координат незалежно один вiд одного, на вiдмiну вiд закрiпленого ПАI (\sigma ,\bfx ), де
кожен промiжок (цикл) займає фiксоване положення на координатнiй осi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
254 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
Зауваження 2. Можна записати (5) у виглядi x\sigma (\=\xi ) = x\=\xi \pm v\alpha для кожного \=\xi = \alpha \mathrm{m} \in \=\scrA ,
де знак плюс вiдповiдає випадку \mathrm{m} = \mathrm{b}, а знак мiнус — випадку \mathrm{m} = \mathrm{e}. Така форма запису
дозволяє вiдновити вектор \bfx за вiдомим вектором \bfv i одним-єдиним значенням краю x\=\xi для
кожного циклу в перестановцi \sigma ; решта країв у цьому циклi обраховуватимуться за формулами
x\sigma i(\=\xi ) = x\=\xi \pm v\alpha 0 \pm . . .\pm v\alpha i - 1 , (6)
де \alpha j \in \scrA є першою компонентою \sigma j(\=\xi ) \in \=\scrA , а знак перед v\alpha j визначається другою компо-
нентою \sigma j(\=\xi ), 0 \leq j < i.
Будемо називати ПАI додатним, якщо v\alpha > 0 для всiх \alpha \in \scrA . Схему ПАI будемо називати
додатною, якщо вона дозволяє додатний ПАI.
Додатний ПАI слiд уявляти як ансамбль iз 2d iнтервалiв, спарованих у d пар iз мiтками \alpha \in
\in \scrA . У кожнiй такiй парi початковий iнтервал I\alpha \mathrm{b} = [x\alpha \mathrm{b}, x\sigma (\alpha \mathrm{b})) та кiнцевий I\alpha \mathrm{e} = [x\sigma (\alpha \mathrm{e}), x\alpha \mathrm{e})
з тiєю ж самою мiткою \alpha мають однакову довжину v\alpha . Усi цi iнтервали вiдповiдно до циклiв
у схемi є зчепленими своїми краями в одну чи кiлька зiмкнених одновимiрних ламаних лiнiй,
якi ми також коротко називатимемо циклами (у випадку ПI цi ламанi вкривають промiжки Js,
1 \leq s \leq N, проходячи кожен iз них двiчi: по початкових та по кiнцевих iнтервалах).
5. ПАI як динамiчнi системи. У цьому пунктi ми покажемо, якi динамiчнi системи асо-
цiюються з ПАI.
Для схеми ПАI \sigma називатимемо кожне мiсце \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, \alpha , \beta \in \scrA , поворотом назад у \beta \mathrm{e},
i кожне мiсце \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{b}, \alpha , \beta \in \scrA , поворотом уперед у \alpha \mathrm{b}. Очевидно, що кожен iз циклiв у
перестановцi \sigma мiстить однакову кiлькiсть поворотiв назад та поворотiв уперед. Назвемо цикл
покрученим, якщо вiн мiстить бiльше нiж один поворот назад. Означимо число покручення
циклу як кiлькiсть поворотiв назад у ньому мiнус один. Число покручення T = T (\sigma ) схеми
ПАI \sigma є сумою чисел покручень усiх її циклiв, а отже дорiвнює загальнiй кiлькостi поворотiв
назад у нiй мiнус кiлькiсть циклiв у цiй схемi N = N(\sigma ).
Зауваження 3. У виродженому випадку, коли цикл складається лише з початкових або
лише з кiнцевих iнтервалiв, його покручення дорiвнює - 1. Кожна схема ПАI, яка мiстить у
собi такий цикл, не є додатною.
Якщо кожен цикл у схемi додатного ПАI не є покрученим, то цей ПАI є ПI на багатьох
промiжках (вiн є класичним ПI, якщо його схема складається з єдиного циклу, i єдиний поворот
уперед трапляється в ньому на символi \alpha \mathrm{b} такому, що x\alpha \mathrm{b} = 0). ПАI такого типу визначає
динамiчну систему, описану в п. 3: цикли вiдповiдають промiжкам, кожен iз яких роздiлено,
з одного боку, на початковi, а з iншого — на кiнцевi iнтервали, i вiдображення f вiдображає
першi на другi.
Але у випадку, коли додатний ПАI не є ПI, тобто його схема мiстить хоча б один по-
кручений цикл, деякi з початкових iнтервалiв у цьому циклi обов’язково перекриваються мiж
собою, так само, як i деякi з кiнцевих iнтервалiв цього ж циклу (кожна точка на осi є покри-
тою рiвною кiлькiстю початкових i кiнцевих iнтервалiв кожного циклу). Така конструкцiя не
визначає динамiчну систему однозначно. Найбiльш природно асоцiювати ПАI з сiм’єю дина-
мiчних систем, що фактично являють собою ПI на деревах. Щоб отримати дерево з кожного
окремого циклу додатного ПАI, треба зафiксувати набiр спецiальних точок у кiлькостi, що
дорiвнює числу покручення цього циклу. Iнтервали, що перекриваються, будуть з’єднаними у
цих точках i роз’єднаними поза ними. Результуючий фазовий простiр являтиме собою дерево з
диз’юнктними компонентами, якi вiдповiдають циклам ПАI (деякi автори називають дерево з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 255
декiлькома вiдокремленими компонентами „лiсом”, але ми не будемо цього робити). Це дерево
буде об’єднанням усiх початкових iнтервалiв, а також об’єднанням усiх кiнцевих iнтервалiв, iз
розгалуженнями у спецiальних точках. Динамiчна система на ньому визначатиметься „майже
бiєктивним” розривним вiдображенням, що зсуває кожен початковий iнтервал на вiдповiдний
кiнцевий iнтервал, але точки розгалуження мають кiлька (в загальному розташуваннi — два)
образiв та прообразiв.
5.1. Перетворення ПАI у ПI на деревi. Опишемо один iз можливих алгоритмiв, що транс-
формує додатний ПАI у динамiчну систему, неформально описану в попередньому абзацi як
ПI на деревi. У випадку, коли цикл непокручений, його початковi та кiнцевi iнтервали наочно
розглядати як пiдклеєнi першi до других, бо кожна точка промiжку, покритого цим циклом, є
покритою рiвно одним початковим i рiвно одним кiнцевим iнтервалом. Якщо ж цикл покруче-
ний, то iснують цiлi пiдпромiжки точок, покритих бiльше нiж одним початковим iнтервалом (i
такою ж кiлькiстю кiнцевих), i ми маємо штучно визначити, як саме початковi i кiнцевi iнтер-
вали будуть пiдклеєними першi до других у кожнiй iз таких точок. Для цього буде використано
наступну iндуктивну процедуру, яку слiд застосувати окремо до кожного покрученого циклу.
Почнемо з розгляду зiмкненої ламаної лiнiї (x\alpha 1\mathrm{b}, x\beta 1\mathrm{e}, x\alpha 2\mathrm{b}, x\beta 2\mathrm{e}, . . . , x\alpha t+1\mathrm{b}, x\beta t+1\mathrm{e}, x\alpha 1\mathrm{b})
з вершинами у послiдовних поворотах нашого циклу (поворот уперед у \alpha 1\mathrm{b}, потiм назад у
\beta 1\mathrm{e}, далi вперед у \alpha 2\mathrm{b}, назад у \beta 2\mathrm{e} i т. д.). Тут t позначає число покручення циклу. Ланки цiєї
ламаної складаються почергово з початкових i кiнцевих точок (тобто точок, якi належать до
початкових i кiнцевих iнтервалiв). Знаходимо найкоротшу з цих 2(t+1) ланок. Припустимо, для
визначеностi, що нею виявилася ланка початкових точок [x\alpha i\mathrm{b}, x\beta i\mathrm{e}] (для ланки кiнцевих точок
[x\beta i\mathrm{e}, x\alpha i+1\mathrm{b}] процедура аналогiчна). Виберемо на нiй точку c1 довiльним чином i оголосимо,
що кожна точка, яка належить до одного з початкових iнтервалiв iз мiтками мiж \alpha i\mathrm{b} i \beta i\mathrm{e}
у нашому циклi (\beta i\mathrm{e} не включається, а всi решта є початковими, оскiльки мiж вершинами
означеної ламаної немає iнших поворотiв циклу) та лежить лiворуч вiд c1, пiдклеюється до
вiдповiдної точки з такою ж координатою, яка належить до одного з кiнцевих iнтервалiв iз
мiтками мiж \beta i - 1\mathrm{e} та \alpha i\mathrm{b} у цьому циклi. Кожна ж точка, яка належить до одного з початкових
iнтервалiв iз мiтками мiж \alpha i\mathrm{b} i \beta i\mathrm{e} та лежить праворуч вiд c1, пiдклеюється до вiдповiдної
точки з такою ж координатою, яка належить до одного з кiнцевих iнтервалiв iз мiтками мiж
\beta i\mathrm{e} та \alpha i+1\mathrm{b}; власне початкова точка з координатою c1 при цьому пiдклеюється до обох
вiдповiдних кiнцевих водночас, вона буде точкою розгалуження майбутнього дерева. (Тут ми
вважаємо \beta 0\mathrm{e} = \beta t+1\mathrm{e}, \alpha t+2\mathrm{b} = \alpha 1\mathrm{b}, оскiльки вся конструкцiя циклiчна.) Тепер, вирiшивши
долю склеєних на описаному кроцi початкових i кiнцевих точок, ми виключаємо їх з розгляду
i повертаємо c1 як кiнцеву (об’єднану з колишнiх двох), зводячи нашу задачу до коротшої
ламаної (x\alpha 1\mathrm{b}, x\beta 1\mathrm{e}, . . . , x\alpha i - 1\mathrm{b}, x\beta i - 1\mathrm{e}, x\alpha i+1\mathrm{b}, x\beta i+1\mathrm{e}, . . . , x\alpha t+1\mathrm{b}, x\beta t+1\mathrm{e}, x\alpha 1\mathrm{b}), у якiй так само,
як i ранiше, чергуються ланки з початкових i кiнцевих точок, але яка тепер складається лише
з 2t ланок. Ми знову вiдшукуємо найкоротшу ланку, вибираємо точку c2 на нiй i робимо
аналогiчне пiдклеювання, отримуючи ламану з 2(t - 1) ланок. Продовжуємо процедуру до
тих пiр, поки не залишиться ламана з двома ланками (x\alpha m\mathrm{b}, x\beta n\mathrm{e}, x\alpha m\mathrm{b}). Тодi ми пiдклеюємо
кожну початкову точку до кiнцевої точки з такою ж координатою, завершуючи процес. Точки
розгалуження c1, . . . , ct визначено, i цикл став деревом.
Застосувавши описану процедуру до кожного з циклiв у \sigma , одержимо динамiчну систему (зi
скiнченною кiлькiстю траєкторiй, що розгалужуються), яка по сутi є перекладанням iнтервалiв
на деревi. Загальна кiлькiсть точок розгалуження дорiвнює числу покручення T (\sigma ). Важливою
рисою цього алгоритму є те, що кожен початковий (кiнцевий) iнтервал розбивається на скiн-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
256 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
ченну кiлькiсть пiдiнтервалiв, кожен з яких цiлком пiдклеюється до якогось одного кiнцевого
(початкового) iнтервалу. Докладний опис прикладу такого пiдклеювання наведено в п. 10.
Зауваження 4. Розумним питанням могло б бути таке: для чого вивчати ПI на деревi,
якщо його можна трансформувати в ПI на багатьох промiжках шляхом вiдрiзання всiх гiлок
у точках розгалуження iз перетворенням їх на окремi промiжки? Вiдповiдь на нього стане
бiльш зрозумiлою пiсля того, як ми опишемо iндукцiю, дуальнiсть, натуральне розширення
та вiдповiднi потоки для ПАI в наступних пунктах. Кажучи коротко, ПАI має розглядатися
як одновимiрний перерiз Пуанкаре для певної двовимiрної системи з неперервним часом, i
вiдрiзання гiлок на цьому перерiзi не може спростити розширену картину: якщо поверхня
мiстить спецiальнi точки, то їх не можна з неї усунути, а можна лише зсунути з або на обраний
конкретний перерiз.
Докладнiше пояснимо це в наступних пунктах, а зараз дослiдимо простори X\sigma i V\sigma .
6. Розмiрностi просторiв дiйсних даних. Назвемо схему ПАI \sigma з алфавiтом \scrA звiдною,
якщо iснує пiдмножина \scrA 0 \subset \scrA , \scrA 0 \not \in \{ \varnothing ,\scrA \} , така, що \sigma ( \=\scrA 0) = \=\scrA 0
\bigl(
тут \=\scrA 0 = \scrA 0 \times \{ \mathrm{b}, \mathrm{e}\}
\bigr)
.
Обмеження \sigma на \=\scrA 0 являє собою окрему схему ПАI, так само, як i обмеження \sigma на \=\scrA \setminus \=\scrA 0, i
будь-який ПАI з цiєю схемою \sigma можна звести до двох незалежних ПАI зi зменшеними алфа-
вiтами \scrA 0 та \scrA \setminus \scrA 0. Якщо ж такої пiдмножини не iснує, називатимемо схему ПАI незвiдною.
Зрозумiло, що для будь-якої схеми \sigma її алфавiт \scrA єдиним чином розкладається на пiдалфавiти
\scrA i, 1 \leq i \leq P, такi, що
\bigcup P
i=1\scrA i = \scrA , i кожне обмеження \sigma i = \sigma | \=\scrA i
, 1 \leq i \leq P, є незвiдним.
Назвемо \{ \sigma i\} 1\leq i\leq P розкладом \sigma на незвiднi компоненти. Трохи зловживаючи термiнологiєю,
будемо й самi множини символiв \scrA i, 1 \leq i \leq P, називати незвiдними компонентами (алфавiту).
Очевидно, що кiлькiсть P = P (\sigma ) незвiдних компонент схеми \sigma лежить у межах 1 \leq P \leq d.
Твердження 1. \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(X\sigma ) = d+ P.
Доведення. Запишемо систему лiнiйних рiвнянь (4) у матричнiй формi
\Delta \bfx = 0
i зазначимо деякi властивостi означеної таким чином матрицi \Delta розмiру d \times 2d, розмiрнiсть
ядра якої необхiдно порахувати. Легко бачити, що кожен її стовпчик мiстить або один елемент 1,
один елемент - 1, а всi решта 0, або ж лише однi 0. Кожен з її рядкiв \Delta \alpha , \alpha \in \scrA , мiстить або два
елементи 1, два елементи - 1, всi решта 0, або один елемент 1, один елемент - 1, всi решта 0,
або ж усi 0. Сума її рядкiв
\sum
\alpha \in \scrA 0
\Delta \alpha по будь-якiй пiдмножинi \scrA 0 \subset \scrA мiстить рiвну кiлькiсть
елементiв 1 та - 1, всi решта 0;
\sum
\alpha \in \scrA 0
\Delta \alpha = 0 тодi й лише тодi, коли \sigma ( \=\scrA 0) = \=\scrA 0, тобто
коли \scrA 0 є об’єднанням незвiдних компонент. З останнього твердження, зокрема, випливає, що
коядро матрицi \Delta мiстить вектори \bfc (i) \in \BbbR \scrA iз c
(i)
\alpha = 1 для \alpha \in \scrA i i рештою елементiв 0,
де \scrA i, 1 \leq i \leq P, — незвiднi компоненти. Доведемо, що цi P лiнiйно незалежних векторiв
породжують усе коядро матрицi \Delta .
Припустимо, що
\sum
\alpha \in \scrA
c\alpha \Delta \alpha = 0 з певними коефiцiєнтами \bfc \in \BbbR \scrA i c\alpha (1) = c \not = 0 для
деякого \alpha (1) \in \scrA . Якщо \Delta \alpha (1) = 0, то \{ \alpha (1)\} є незвiдною компонентою. В iншому випадку
\Delta \alpha (1) мiстить елемент 1, й iснує єдине \alpha (2) \in \scrA таке, що рядок \Delta \alpha (2) мiстить - 1 у цiй самiй
позицiї. Звiдси маємо c\alpha (2) = c. Якщо сума \Delta \alpha (1) + \Delta \alpha (2) = 0, то \{ \alpha (1), \alpha (2)\} є об’єднанням
незвiдних компонент. В iншому випадку \Delta \alpha (1)+\Delta \alpha (2) мiстить елемент 1, й iснує єдине \alpha (3) \in \scrA
таке, що \Delta \alpha (3) мiстить - 1 у цiй самiй позицiї. Звiдси c\alpha (3) = c. Продовжуємо цей процес до тих
пiр, поки вiн не зупиниться. Зупинкою є визначення об’єднання незвiдних компонент такого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 257
\scrA 0 , що c\alpha = c для всiх \alpha \in \scrA 0. Оскiльки
\sum
\alpha \in \scrA 0
\Delta \alpha = 0, ми видаляємо цi компоненти
з вихiдної суми й отримуємо натомiсть суму
\sum
\alpha \in \scrA \setminus \scrA 0
c\alpha \Delta \alpha = 0 по зменшенiй множинi
iндексiв. Якщо в нiй ще залишився ненульовий коефiцiєнт, то за такою ж процедурою видiлимо
ще одне об’єднання незвiдних компонент. Продовжуючи вiддiляти такi об’єднання, врештi-
решт одержимо, що вектор коефiцiєнтiв \bfc справдi є лiнiйною комбiнацiєю векторiв \bfc (i), 1 \leq
i \leq P.
Отже, ми в явному виглядi описали коядро матрицi \Delta i показали, що його розмiрнiсть
дорiвнює P. Ранг цiєї матрицi є d - P i розмiрнiсть ядра — d+ P.
Твердження 1 доведено.
Вище ми позначили N = N(\sigma ) кiлькiсть циклiв у перестановцi \sigma . Маємо обмеження
N \geq P, оскiльки кожна незвiдна компонента \sigma i, 1 \leq i \leq P, є перестановкою, а отже мiстить
хоча б один цикл.
Твердження 2. \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(V\sigma ) = d+ P - N.
Доведення. Лiнiйний простiр V\sigma є образом лiнiйного простору X\sigma пiд дiєю лiнiйного
оператора, визначеного за рiвностями (5). Ми в явному виглядi опишемо ядро цього лiнiйного
оператора. Перестановка \sigma складається з N циклiв, i розширений алфавiт \=\scrA розкладається
на вiдповiднi пiдмножини Si, 1 \leq i \leq N. Для кожного \=\xi \in Si маємо Si =
\bigcup \infty
j=0 \sigma
j(\=\xi ). З
рiвностей (5) випливає, що \bfv = 0 тодi й лише тодi, коли x\sigma (\=\xi ) = x\=\xi для всiх \=\xi \in \=\scrA . Отже,
описуване нами ядро складається з усiх векторiв
\sum N
i=1
ci\bfx
(i), де x
(i)
\=\xi
= 1 для \=\xi \in Si, а решта
елементiв 0, ci \in \BbbR , 1 \leq i \leq N. Оскiльки вектори \bfx (i), 1 \leq i \leq N, належать до X\sigma , є лiнiйно
незалежними i породжують усе ядро, його розмiрнiсть дорiвнює N. Тепер iз твердження 1
випливає, що розмiрнiсть V\sigma є d+ P - N.
Твердження 2 доведено.
Зауважимо, що з цього доведення випливає неочевидна нерiвнiсть N \leq d+ P.
Воно також виправдовує концепцiю плаваючих ПАI (\sigma ,\bfv ) як результат факторизацiї про-
стору закрiплених ПАI (\sigma ,\bfx ) щодо вiльного совання їхнiх циклiв уздовж осi координат (хоча
кiлькiсть циклiв рiзна для рiзних схем).
7. Iндукцiя для ПАI. Означимо чотири елементарних iндукцiйних кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta
i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta в рамках концепцiї ПАI. Їхнiй змiст є безпосереднiм узагальненням таких крокiв, що
ми означили для ПI у п. 3. Отже, ми залишимо для них тi ж самi позначення, хоча зараз
цi оператори дiють на iншi данi, як дискретнi, так i дiйснi. Взагалi, не вдаючися до зайвих
формальностей, будемо однаково позначати i називати цi кроки iндукцiї в їхнiй дiї на схеми
ПАI \sigma (а на схему вони дiють незалежно вiд дiйсної компоненти), на власне ПАI, як закрiпленi
(\sigma ,\bfx ), так i плаваючi (\sigma ,\bfv ), i навiть окремо на дiйснi компоненти ПАI (якщо схему зафiксовано
контекстом). У п. 9 ми означимо натуральнi розширення ПАI, на якi також дiятимуть цi чотири
кроки iндукцiї.
Кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta застосовуються у випадку \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e} (поворот назад у \beta \mathrm{e}, див. п. 5), а
кроки \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta — у випадку \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{b} (поворот назад у \alpha \mathrm{b}).
У термiнах циклiв перестановки \sigma елементарнi кроки iндукцiї дiють таким чином: крок \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta \bigl(
кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta
\bigr)
перемiщує елемент \beta \mathrm{e} (елементи \alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{b}) з його поточної позицiї
у позицiю просто перед \alpha \mathrm{e} (просто пiсля \beta \mathrm{b}, просто пiсля \alpha \mathrm{e}, просто перед \beta \mathrm{b}). Можливi
ситуацiї, в яких початкова i кiнцева позицiї перемiщуваного елемента збiгаються (наприклад,
коли застосовується крок \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta , а \beta \mathrm{e} вже стоїть просто перед \alpha \mathrm{e}), тодi схема залишається без
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
258 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
змiн. (Кажучи, що \=\xi стоїть просто перед \=\eta , а \=\eta стоїть просто пiсля \=\xi , ми маємо на увазi, що
\sigma (\=\xi ) = \=\eta , \=\xi , \=\eta \in \=\scrA .)
Формально, нехай \sigma \prime — схема ПАI, яку отримано зi схеми \sigma в результатi iндукцiйного кроку.
Дiя чотирьох крокiв на схемах описується таким чином:
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta : якщо \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}, то \sigma \prime = \sigma ; iнакше \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \sigma (\beta \mathrm{e}), \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}, \sigma \prime (\sigma - 1(\alpha \mathrm{e})) = \beta \mathrm{e},
\sigma \prime (\=\xi ) = \sigma (\=\xi ) для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{e}, \sigma - 1(\alpha \mathrm{e})\} ,
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta : якщо \sigma (\beta \mathrm{b}) = \alpha \mathrm{b}, то \sigma \prime = \sigma ; iнакше \sigma \prime (\sigma - 1(\alpha \mathrm{b})) = \beta \mathrm{e}, \sigma \prime (\beta \mathrm{b}) = \alpha \mathrm{b},
\sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \sigma (\beta \mathrm{b}), \sigma \prime (\=\xi ) = \sigma (\=\xi ) для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \sigma - 1(\alpha \mathrm{b}), \beta \mathrm{b}, \alpha \mathrm{b}\} ,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta : якщо \sigma (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e}, то \sigma \prime = \sigma ; iнакше \sigma \prime (\sigma - 1(\beta \mathrm{e})) = \alpha \mathrm{b}, \sigma \prime (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e}, \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \sigma (\alpha \mathrm{e}),
\sigma \prime (\=\xi ) = \sigma (\=\xi ) для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \sigma - 1(\beta \mathrm{e}), \alpha \mathrm{e}, \beta \mathrm{e}\} ,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta : якщо \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{b}, то \sigma \prime = \sigma ; iнакше \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \sigma (\alpha \mathrm{b}), \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{b},
\sigma \prime (\sigma - 1(\beta \mathrm{b})) = \alpha \mathrm{b}, \sigma \prime (\=\xi ) = \sigma (\=\xi ) для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{b}, \sigma - 1(\beta \mathrm{b})\} .
Твердження 3. Елементарний крок iндукцiї \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta , \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta ) дiє на схемах
ПАI як бiєкцiя з множини всiх \sigma , для яких \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e} (для яких \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{b},
\sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{b}), на множину всiх \sigma \prime , для яких \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e} (для яких \sigma \prime (\beta \mathrm{b}) = \alpha \mathrm{b}, \sigma \prime (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e},
\sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{b}).
Кожен iз цих крокiв зберiгає кiлькiсть циклiв та множину незвiдних компонент схеми.
Доведення проведемо для \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (три iнших випадки доводяться аналогiчно).
Отже, проаналiзуємо перший блок iз наведених вище формул. За припущення, що \sigma (\alpha \mathrm{b}) =
= \beta \mathrm{e}, легко бачити, що з них в обох випадках випливає \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}. Очевидно, що множини
перестановок \{ \sigma : \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}\} i \{ \sigma \prime : \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}\} мiстять однакову кiлькiсть елементiв (а
саме, (2d - 1)! елементiв), тому достатньо довести, що \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta вiдображає першу множину на
другу, тобто є сюр’єкцiєю. Вiзьмемо довiльне \sigma \prime таке, що \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}, i визначимо вiдповiдне
\sigma таким чином:
якщо \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, то \sigma = \sigma \prime ;
iнакше \sigma (\beta \mathrm{e}) = \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}), \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, \sigma ((\sigma \prime ) - 1(\beta \mathrm{e})) = \alpha \mathrm{e}, (7)
\sigma (\=\xi ) = \sigma \prime (\=\xi ) для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{b}, (\sigma \prime ) - 1(\beta \mathrm{e})\} .
Неважко перевiрити, що ми отримаємо \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e} в обох випадках, i \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ) = \sigma \prime , отже, \sigma \prime
справдi має прообраз. (Зазначимо, що ми навели явнi формули для оберненого вiдображення
(\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1 на схемах i скористаємося ними в наступному пунктi.)
Щодо циклiв у \sigma i \sigma \prime : один-єдиний елемент \beta \mathrm{e} спочатку видаляється з циклу, що мiстить
\alpha \mathrm{b}, а потiм вставляється в цикл, що мiстить \alpha \mathrm{e}. Це може бути один i той самий цикл, але
жоден iз них не є i не стає порожнiм, тому загальна кiлькiсть циклiв не змiнюється.
Зрештою, щодо незвiдних компонент: два вищезгаданих цикли (якi можуть збiгатися мiж
собою) належать до однiєї й тiєї ж незвiдної компоненти (а саме тiєї, що мiстить мiтку \alpha ), i
тому перемiщення мiтки \beta \mathrm{e} не змiнює жодної з незвiдних компонент.
Твердження 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 259
Тепер опишемо дiю елементарних крокiв iндукцiї на дiйсних даних. Описовою мовою, пiд
дiєю \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta ) два iнтервали з мiткою \alpha (\beta , \alpha , \beta ) обрiзаються справа (справа,
злiва, злiва) на довжину двох iнтервалiв iз мiткою \beta (\alpha , \beta , \alpha ) i iнтервал I\beta \mathrm{e} (I\alpha \mathrm{b}, I\beta \mathrm{e}, I\alpha \mathrm{b})
перемiщується в положення просто справа (просто справа, просто злiва, просто злiва) вiд
обрiзаного вказаним чином iнтервалу I\alpha \mathrm{e} (I\beta \mathrm{b}, I\alpha \mathrm{e}, I\beta \mathrm{b}).
Формально, нехай (\sigma \prime ,\bfx \prime ) — ПАI, отриманий з ПАI (\sigma ,\bfx ) в результатi застосування iндук-
цiйного кроку, а \bfv обчислено за формулами (5). Нашi чотири iндукцiйних кроки дiють на
векторах країв таким чином:
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta : x\prime \beta \mathrm{e} = x\alpha \mathrm{e}, x
\prime
\alpha \mathrm{e} = x\alpha \mathrm{e} - v\beta , x
\prime
\=\xi
= x\=\xi для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{e}\} ,
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta : x\prime \beta \mathrm{e} = x\alpha \mathrm{b}, x
\prime
\alpha \mathrm{b} = x\sigma (\beta \mathrm{b}) - v\alpha , x
\prime
\=\xi
= x\=\xi для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{b}\} ,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta : x\prime \alpha \mathrm{b} = x\beta \mathrm{e}, x
\prime
\beta \mathrm{e} = x\sigma (\alpha \mathrm{e}) + v\beta , x
\prime
\=\xi
= x\=\xi для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{e}\} ,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta : x\prime \alpha \mathrm{b} = x\beta \mathrm{b}, x
\prime
\beta \mathrm{b} = x\beta \mathrm{b} + v\alpha , x
\prime
\=\xi
= x\=\xi для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{b}\} .
Нехай нарештi \bfv \prime — вектор довжин для ПАI (\sigma \prime ,\bfx \prime ). На векторах довжин елементарнi кроки
iндукцiї дiють так:
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta : v\prime \alpha = v\alpha - v\beta , v
\prime
\xi = v\xi для \xi \in \scrA \setminus \{ \alpha \} ,
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta : v\prime \beta = v\beta - v\alpha , v
\prime
\xi = v\xi для \xi \in \scrA \setminus \{ \beta \} .
Твердження 4. Коли елементарний iндукцiйний крок перетворює схему \sigma на схему \sigma \prime , на
дiйсних компонентах ПАI вiн дiє як лiнiйна бiєкцiя мiж просторами дозволених країв X\sigma i X\sigma \prime
та як лiнiйна бiєкцiя мiж просторами дозволених довжин V\sigma i V\sigma \prime .
Доведення. Нехай \sigma — фiксований елемент iз множини означення фiксованого кроку
iндукцiї (тобто \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, а крок — це \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta чи \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta ; або ж \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{b}, а крок — це \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta чи
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta , з певними \alpha , \beta \in \scrA ).
Наведенi вище формули для \bfx \prime i \bfv \prime справдi є лiнiйними. Внаслiдок другої частини твер-
дження 3 та з огляду на твердження 1 i 2 простори дозволених країв X\sigma i X\sigma \prime мають однакову
розмiрнiсть; те ж саме є правильним щодо просторiв дозволених довжин V\sigma i V\sigma \prime . Отже,
достатньо показати, що крок iндукцiї вiдображає X\sigma на X\sigma \prime i V\sigma на V\sigma \prime сюр’єктивно.
У випадку кроку \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta для даного \bfx \prime \in X\sigma \prime (i вiдповiдного \bfv \prime \in V\sigma \prime , заданого рiвностями
v\prime \xi = x\prime \sigma \prime (\xi \mathrm{b}) - x\prime \xi \mathrm{b} = x\prime \xi \mathrm{e} - x\prime \sigma \prime (\xi \mathrm{e}), \xi \in \scrA ) покладемо
x\alpha \mathrm{e} = x\prime \beta \mathrm{e}, x\beta \mathrm{e} = x\prime \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) + v\prime \beta , x\=\xi = x\prime \=\xi для \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \alpha \mathrm{e}, \beta \mathrm{e}\} ,
v\alpha = v\prime \alpha + v\prime \beta , v\xi = v\prime \xi для \xi \in \scrA \setminus \{ \alpha \} .
Неважко перевiрити, що \bfx \in X\sigma , \bfv \in V\sigma узгоджується з \bfx вiдповiдно до (5) i \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta справдi
перетворює \bfx на \bfx \prime , а \bfv на \bfv \prime .
Для трьох iнших елементарних iндукцiйних крокiв оберненi формули на дiйсних даних
можна отримати та перевiрити аналогiчним чином.
Твердження 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
260 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
Зауваження 5. Перетворення довжин V\sigma \rightarrow V\sigma \prime вiдбувається незалежно вiд перетворення
країв X\sigma \rightarrow X\sigma \prime , тому можна з однаковим успiхом дослiджувати iндукцiю на плаваючих ПАI
(\sigma ,\bfv ) та на закрiплених ПАI (\sigma ,\bfx ), i кожен має право вибрати той пiдхiд, що бiльше пасує до
мети дослiдження.
Зауваження 6. Якщо пiд час iндукцiї необхiдно забезпечувати додатнiсть ПАI, то кроки
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta можна застосовувати лише за умови v\alpha > v\beta , а кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta — лише за умови
v\alpha < v\beta . Легко бачити, що якщо ПАI (\sigma ,\bfv ) є додатним та загального положення (в тому
сенсi, що довжини v\xi , \xi \in \scrA , є попарно рiзними), то для кожного повороту назад чи вперед
у циклi перестановки \sigma iз сусiднiми елементами \alpha \mathrm{b} i \beta \mathrm{e}, \alpha \not = \beta , в точностi один iз чотирьох
елементарних крокiв \Pi \cdot \cdot
\alpha \beta можна застосувати зi збереженням додатностi.
8. Дуальнiсть та симетрiя обернення часу. Означимо дуальнiсть мiж схемами ПАI, яка є
нарiжним каменем нашої конструкцiї, тому що дозволяє обертати процес iндукцiї в часi.
Двi схеми ПАI \sigma i \sigma \ast назвемо дуальними одна до одної (або взаємодуальними), якщо
\sigma \ast (\alpha \mathrm{b}) = \sigma (\alpha \mathrm{e}), \sigma \ast (\alpha \mathrm{e}) = \sigma (\alpha \mathrm{b}) для всiх \alpha \in \scrA . (8)
Спiввiдношення (8) визначають iнволюцiю дуальностi \scrI у просторi всiх схем як \scrI \sigma = \sigma \ast .
Можна записати її у виглядi \scrI \sigma = \sigma \circ \iota , де \iota — перестановка подвоєного алфавiту \=\scrA , яка мiняє
мiсцями \alpha \mathrm{b} з \alpha \mathrm{e} для кожного \alpha \in \scrA .
З означення одразу випливає, що взаємодуальнi схеми мають однi й тi самi незвiднi компо-
ненти, але кiлькiсть циклiв у \sigma й \sigma \ast є, взагалi кажучи, рiзною.
Наш основний результат описує симетрiю обернення часу для iндукцiї на схемах.
Теорема 1. Кожна з наступних рiвностей має мiсце на множинi всiх тих схем, для яких
її лiва частина визначена (див. твердження 3):
(\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1 = \scrI \circ \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha \circ \scrI ,
(\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta )
- 1 = \scrI \circ \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta \circ \scrI ,
(\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1 = \scrI \circ \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta \circ \scrI ,
(\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta )
- 1 = \scrI \circ \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\beta \alpha \circ \scrI .
Доведення. Встановимо першу рiвнiсть (решта доводяться аналогiчно).
Вiдповiдно до твердження 3, лiва частина цiєї рiвностi є визначеною на множинi схем
\{ \sigma \prime : \sigma \prime (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}\} . Розглянемо довiльну схему \sigma \prime з цiєї множини. По-перше, \scrI \sigma \prime (\beta \mathrm{b}) = \alpha \mathrm{e},
що робить \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha визначеним на \scrI \sigma \prime . Схема \sigma = (\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1\sigma \prime задається формулами (7). Маємо
перевiрити, що \scrI \circ \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha \circ \scrI \sigma \prime є тим самим \sigma .
Якщо \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, то \sigma = \sigma \prime . З iншого боку, \scrI \sigma \prime (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e}, тому \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha \circ \scrI \sigma \prime = \scrI \sigma \prime , а
\scrI \circ \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha \circ \scrI \sigma \prime = \scrI \circ \scrI \sigma \prime = \sigma \prime = \sigma . Рiвнiсть має мiсце.
Тепер розглянемо випадок, коли \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) \not = \beta \mathrm{e}. Позначимо \tau = \scrI \sigma \prime i \tau \prime = \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha \tau . Оскiль-
ки \tau (\alpha \mathrm{e}) \not = \beta \mathrm{e}, то \tau \prime (\beta \mathrm{b}) = \tau (\alpha \mathrm{e}), \tau \prime (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e}, \tau \prime (\tau - 1(\beta \mathrm{e})) = \alpha \mathrm{e} i \tau \prime (\=\xi ) = \tau (\=\xi ) для
решти \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{b}, \alpha \mathrm{e}, \tau - 1(\beta \mathrm{e})\} . Пiдставляючи \tau = \sigma \prime \circ \iota , одержуємо \tau \prime (\beta \mathrm{b}) = \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) i
\tau \prime (\iota ((\sigma \prime ) - 1(\beta \mathrm{e}))) = \alpha \mathrm{e}. Отже, маємо \scrI \tau \prime (\beta \mathrm{e}) = \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}), \scrI \tau \prime (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, \scrI \tau \prime ((\sigma \prime ) - 1(\beta \mathrm{e})) = \alpha \mathrm{e}
i \scrI \tau \prime (\=\xi ) = \sigma \prime (\=\xi ) для решти \=\xi \in \=\scrA \setminus \{ \beta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{b}, (\sigma \prime ) - 1(\beta \mathrm{e})\} . Таким чином, знову приходимо до
рiвностi \scrI \tau \prime = \sigma .
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 261
На початку п. 5 ми означили повороти назад i вперед, а також число покручення T = T (\sigma )
схеми ПАI \sigma .
Твердження 5. Сумарна кiлькiсть поворотiв назад (як i поворотiв уперед) у двох взаємо-
дуальних схемах ПАI дорiвнює d.
Доведення. Розглянемо довiльну схему ПАI \sigma разом iз дуальною до неї схемою \sigma \ast = \scrI \sigma .
Для кожного \alpha \in \scrA двоточковi множини \{ \sigma (\alpha \mathrm{b}), \sigma (\alpha \mathrm{e})\} i \{ \sigma \ast (\alpha \mathrm{b}), \sigma \ast (\alpha \mathrm{e})\} збiгаються одна з
одною; позначимо їх M\alpha . Поворот (назад або вперед) у схемi \sigma має мiсце тодi, коли \sigma (\xi 1\mathrm{b}) =
= \xi 2\mathrm{e} або \sigma (\xi 1\mathrm{e}) = \xi 2\mathrm{b} для деяких \xi 1, \xi 2 \in \scrA , i аналогiчно для \sigma \ast . Два елементи множини
M\alpha можуть мати другою компонентою або обидва b, або обидва e, або ж один b, а другий e.
Легко перевiряється, що в усiх трьох випадках сумарна кiлькiсть поворотiв у елементах M\alpha
i вперед, i назад, i для \sigma , i для \sigma \ast завжди дорiвнює 2. Оскiльки є d множин M\alpha , \alpha \in \scrA , а\bigcup
\alpha \in \scrA M\alpha (\sigma ) = \=\scrA , то сумарна кiлькiсть поворотiв (знову ж таки i вперед, i назад, i для \sigma , i
для \sigma \ast ) дорiвнює 2d. Оскiльки поворотiв уперед i поворотiв назад завжди однакова кiлькiсть,
твердження доведено.
Назвемо повним покрученням схеми ПАI \sigma значення суми T (\sigma ) + T (\sigma \ast ), тобто суму чисел
покручення взаємодуальних схем \sigma i \sigma \ast = \scrI \sigma . З твердження 5 випливає рiвнiсть
T (\sigma ) + T (\sigma \ast ) +N(\sigma ) +N(\sigma \ast ) = d, (9)
де N(\sigma ) i N(\sigma \ast ) — кiлькостi циклiв у \sigma i \sigma \ast вiдповiдно. Ми приходимо до наступного важли-
вого спостереження.
Твердження 6. Елементарнi iндукцiйнi кроки \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta , \Pi
\mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta i \Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta у своїй дiї на схеми
ПАI зберiгають їхнє повне покручення.
Доведення. Згiдно з теоремою 1, якщо схема \sigma перетворюється на \sigma \prime в результатi засто-
сування кроку iндукцiї, то схема (\sigma \prime )\ast перетворюється на \sigma \ast також у результатi застосування
кроку iндукцiї. Тому N(\sigma \prime ) = N(\sigma ), N((\sigma \prime )\ast ) = N(\sigma \ast ) за твердженням 3. Тепер iз рiвностi (9)
випливає, що T (\sigma ) + T (\sigma \ast ) = T (\sigma \prime ) + T ((\sigma \prime )\ast ).
Твердження 6 доведено.
Останнє твердження означає, що кожного разу, коли крок iндукцiї видаляє зi схеми ПАI
поворот, цей поворот насправдi не зникає, а швидше передається в дуальну схему. Покажемо
як це вiдбувається.
Розглянемо крок \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (нагадаємо, що \alpha \not = \beta за означенням); три iнших випадки аналогiчнi.
Легко бачити, що \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta видаляє поворот зi схеми \sigma тодi й лише тодi, коли \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, а
\sigma (\beta \mathrm{e}) = \gamma \mathrm{b} для деякого \gamma \in \scrA . У цьому випадку \beta \mathrm{e} перемiщується з позицiї промiж \alpha \mathrm{b} i
\gamma \mathrm{b} на позицiю просто справа вiд \alpha \mathrm{e}, один поворот назад (як i один поворот уперед) зникає,
а число покручення зменшується на одиницю. Формально маємо \sigma \prime (\alpha \mathrm{b}) = \gamma \mathrm{b} i \sigma \prime (\alpha \mathrm{e}) = \beta \mathrm{e}
для \sigma \prime = \Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta \sigma . За дуальнiстю \scrI \sigma (\beta \mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e} i \scrI \sigma (\beta \mathrm{b}) = \gamma \mathrm{b}; \scrI \sigma \prime (\beta \mathrm{b}) = \alpha \mathrm{e} i \scrI \sigma \prime (\alpha \mathrm{e}) = \gamma \mathrm{b},
отже, в результатi дiї кроку (\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha )
- 1 на \scrI \sigma елемент \alpha \mathrm{e} перемiщується з позицiї просто справа
вiд \beta \mathrm{e} на позицiю промiж \beta \mathrm{b} i \gamma \mathrm{b}, один поворот назад (як i один поворот уперед) додається, i
число покручення збiльшується на одиницю. (Можна перевiрити, що це все працює також i у
вироджених випадках \gamma = \alpha i \gamma = \beta .)
Зауваження 7. Останнє твердження додає ще один аргумент на користь необхiдностi роз-
глядати саме ПАI, а не ПI: як правило, дуальна до непокрученої схеми ПI схема не є схемою
ПI, будучи покрученою, а повне покручення характеризує пару взаємодуальних схем (\sigma , \scrI \sigma )
як єдине цiле i не змiнюється пiд час iндукцiї. Природно узагальнити класичне поняття класiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
262 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
Розi для ПI на схеми ПАI: якщо одна схема ПАI одержується з iншої в результатi застосування
елементарного iндукцiйного кроку, то вони належать до одного класу Розi. Тепер кожен клас
Розi може мiстити як непокрученi, так i покрученi схеми ПАI, але повне покручення є однако-
вим для всього класу. Iндукцiя може перекидати повороти мiж схемою ПАI та дуальною до неї
схемою, але повне покручення залишається незмiнним.
Твердження 7. Сумарна кiлькiсть циклiв у двох взаємодуальних схемах має парнiсть числа
d. Повне покручення завжди є парним числом.
Доведення. Як вiдомо, кожна перестановка розкладається у добуток транспозицiй i є або
парною, або непарною вiдповiдно до кiлькостi таких транспозицiй. Множення перестановки
на транспозицiю змiнює парнiсть цiєї перестановки, а також парнiсть кiлькостi циклiв у нiй.
Кожен цикл довжини l \geq 1 є добутком l - 1 транспозицiї, а тому будь-яка перестановка d
елементiв є добутком d - N транспозицiй, де N \geq 1 — кiлькiсть циклiв у нiй. Розглянемо
наступну „хiрургiчну” процедуру на схемах ПАI.
Для схеми \sigma припустимо, що \sigma (\=\xi 0) \not = \=\xi 0, \=\xi 0 \in \=\scrA . Позначимо \=\xi 1 = \sigma - 1(\=\xi 0), \=\xi 2 = \sigma (\=\xi 0).
Вiдщепимо елемент \=\xi 0 вiд циклу, якому вiн належить, перетворивши \sigma на \sigma \prime таку, що \sigma \prime (\=\xi 1) =
= \=\xi 2, \sigma
\prime (\=\xi 0) = \=\xi 0, \sigma
\prime (\=\xi ) = \sigma (\=\xi ) для \=\xi \not \in \{ \=\xi 0, \=\xi 1\} . Легко бачити, що \sigma \prime = (\=\xi 0 \updownarrow \=\xi 2)\circ \sigma , де \=\xi 0 \updownarrow \=\xi 2
позначає транспозицiю елементiв \=\xi 0 i \=\xi 2. Оскiльки за нашим припущенням \=\xi 2 \not = \=\xi 0, кiлькiсть
циклiв у схемi \sigma \prime має iншу парнiсть, нiж у схемi \sigma . Для дуальних схем маємо \scrI \sigma (\=\xi \ast 1) = \=\xi 0,
\scrI \sigma (\=\xi \ast 0) = \=\xi 2, \scrI \sigma \prime (\=\xi \ast 1) = \=\xi 2, \scrI \sigma \prime (\=\xi \ast 0) = \=\xi 0, \scrI \sigma (\=\xi ) = \scrI \sigma \prime (\=\xi ) для решти \=\xi \not \in \{ \=\xi \ast 0 , \=\xi \ast 1\} (тут ми
позначили \=\xi \ast 0 = \iota (\=\xi 0), \=\xi \ast 1 = \iota (\=\xi 1)). Бачимо, що \scrI \sigma \prime = (\=\xi 0 \updownarrow \=\xi 2) \circ \scrI \sigma , а отже кiлькiсть циклiв у
схемi \scrI \sigma \prime має iншу парнiсть, нiж у схемi \scrI \sigma . З цього випливає, що сумарна кiлькiсть циклiв у
схемах \sigma i \scrI \sigma має таку ж саму парнiсть, як сумарна кiлькiсть циклiв у схемах \sigma \prime i \scrI \sigma \prime .
Ми показали, що описана процедура зберiгає парнiсть сумарної кiлькостi циклiв у схемi та
дуальнiй до неї схемi. Послiдовно застосувавши таке вiдщеплювання до кожного з елементiв
\=\scrA , якi перестановка не залишає на мiсцi, ми зрештою отримаємо тотожну перестановку, а
дуальною до неї є нiщо iнше як \iota (яку ми означили на початку цього пункту). Кiлькiсть циклiв
у тотожнiй перестановцi дорiвнює 2d, тодi як у \iota їх d. Отже, парнiсть сумарної кiлькостi циклiв
дорiвнює парностi d.
Друге твердження випливає з першого з огляду на рiвнiсть (9).
Твердження 7 доведено.
У п. 10 показано, що натуральне число
g = g(\sigma ) =
T (\sigma ) + T (\scrI \sigma )
2
+ 1
є топологiчним родом трансляцiйних поверхонь, асоцiйованих iз ПАI зi схемою \sigma .
Зауваження 8. Дуже особливий клас складають додатнi схеми ПАI з нульовим повним по-
крученням, якi ми називаємо ротацiйними за їхнiй зв’язок iз iррацiональними поворотами кола.
Ротацiйнi схеми ПАI можна еквiвалентно означити як схеми для ПI (на багатьох промiжках)
такi, що дуальнi до них є так само схемами для ПI.
9. Натуральне розширення ПАI. Показавши дуальнiсть та симетрiю обернення часу на
схемах ПАI, природним наступним кроком буде означити натуральне розширення ПАI як пару
з двох ПАI [(\sigma ,\bfx ), (\sigma \ast ,\bfy )] (або, коротко, як трiйку (\sigma ,\bfx ,\bfy )), де \sigma \ast = \scrI \sigma , \bfx \in X\sigma , \bfy \in X\sigma \ast , з
такою динамiкою щодо iндукцiї:
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfx ), (\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ,\bfx ), (\Pi
\mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha )
- 1(\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 263
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfx ), (\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta (\sigma ,\bfx ), (\Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1(\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfx ), (\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ,\bfx ), (\Pi
\mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta )
- 1(\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfx ), (\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta (\sigma ,\bfx ), (\Pi
\mathrm{l}\mathrm{e}
\beta \alpha )
- 1(\sigma \ast ,\bfy )
\bigr]
.
Коректнiсть цього означення узгоджується з теоремою 1.
Оскiльки кроки iндукцiї перетворюють довжини незалежно вiд країв, можна так само роз-
глянути плаваючi натуральнi розширення ПАI як пари [(\sigma ,\bfv ), (\sigma \ast ,\bfw )] (або, коротко, як трiйки
(\sigma ,\bfv ,\bfw )), де \sigma \ast = \scrI \sigma , \bfv \in V\sigma , \bfw \in V\sigma \ast . Довжини обраховуються з країв за формулами (5) i
w\alpha = y\sigma (\alpha \mathrm{b}) - y\alpha \mathrm{b}
= y\alpha \mathrm{e} - y\sigma (\alpha \mathrm{e}), \alpha \in \scrA . Iндукцiйна динамiка аналогiчна:
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfv ), (\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{r}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ,\bfv ), (\Pi
\mathrm{r}\mathrm{b}
\beta \alpha )
- 1(\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
,
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfv ), (\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta (\sigma ,\bfv ), (\Pi
\mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta )
- 1(\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfv ), (\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ,\bfv ), (\Pi
\mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta )
- 1(\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
,
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta
\bigl[
(\sigma ,\bfv ), (\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
=
\bigl[
\Pi \mathrm{l}\mathrm{e}
\alpha \beta (\sigma ,\bfv ), (\Pi
\mathrm{l}\mathrm{e}
\beta \alpha )
- 1(\sigma \ast ,\bfw )
\bigr]
.
Площа натурального розширення ПАI — дiйсне число
S = \bfv \cdot \bfw =
\sum
\alpha \in \scrA
v\alpha w\alpha ,
яке iндукцiя залишає без змiн.
Твердження 8. Елементарнi кроки iндукцiї на натуральних розширеннях ПАI зберiгають
їхнi площi.
Доведення проведемо для \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta (для трьох iнших крокiв доведення аналогiчне).
Розглянемо довiльну перестановку \sigma , яка задовольняє \sigma (\alpha \mathrm{b}) = \beta \mathrm{e}, \alpha \not = \beta (умова засто-
совностi даного кроку iндукцiї), i довiльнi вектори \bfv \in V\sigma , \bfw \in V\scrI \sigma . Нехай (\sigma \prime ,\bfv \prime ,\bfw \prime ) =
= \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta (\sigma ,\bfv ,\bfw ). Як ми вже знаємо з п. 7, \bfv \prime = \Pi \mathrm{l}\mathrm{b}
\alpha \beta \bfv означає, що v\prime \alpha = v\alpha - v\beta , v
\prime
\xi = v\xi для
решти \xi \in \scrA \setminus \{ \alpha \} . З iншого боку, \scrI \sigma = \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta \scrI \sigma \prime за теоремою 1, (\Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta )
- 1(\scrI \sigma ,\bfw ) = (\scrI \sigma \prime ,\bfw \prime ) за
означенням iндукцiї на натуральних розширеннях i \bfw = \Pi \mathrm{r}\mathrm{e}
\alpha \beta \bfw
\prime означає, що w\beta = w\prime
\beta - w\prime
\alpha ,
w\xi = w\prime
\xi для решти \xi \in \scrA \setminus \{ \beta \} , а отже, w\prime
\beta = w\beta + w\alpha , w\prime
\xi = w\xi для решти \xi \in \scrA \setminus \{ \beta \} .
Вiдповiдно, для площi маємо
S\prime = \bfv \prime \cdot \bfw \prime =
\sum
\xi \not \in \{ \alpha ,\beta \}
v\prime \xi w
\prime
\xi + v\prime \alpha w
\prime
\alpha + v\prime \beta w
\prime
\beta =
=
\sum
\xi \not \in \{ \alpha ,\beta \}
v\xi w\xi + (v\alpha - v\beta )w\alpha + v\beta (w\beta + w\alpha ) =
\sum
\xi \in \scrA
v\xi w\xi = S.
Твердження 8 доведено.
10. Поверхнi та потоки, асоцiйованi з ПАI. Вiч у [6] запропонував конструкцiю поверхнi
та потоку, пiдвiшеного над (класичним) ПI, у формi так званих zippered rectangles (дослiвно
„зчеплених застiбками-блискавками прямокутникiв”), яку потiм без змiн використовували у
своїх роботах багато дослiдникiв ПI (див. добре iлюстрований виклад цiєї теорiї в оглядовiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
264 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
статтi Вiани [7], що є у вiльному доступi в мережi iнтернет з iнiцiативи автора). Зараз ми опише-
мо наше узагальнення цiєї класичної конструкцiї i пояснимо, чому воно є навiть природнiшим
за оригiнал.
Нехай ми маємо додатне натуральне розширення ПАI (\sigma ,\bfx ,\bfy ), тобто обидва ПАI (\sigma ,\bfx )
i (\sigma \ast ,\bfy ) є додатними, де \sigma \ast = \scrI \sigma . Розглянемо диз’юнктний набiр iз d прямокутникiв R\xi =
= [0, v\xi ]\times [0, w\xi ], \xi \in \scrA . Iдентифiкуємо їхнi нижнi та верхнi сторони з початковими i кiнцевими
iнтервалами I\xi \mathrm{b} та I\xi \mathrm{e}, \xi \in \scrA , ПАI (\sigma ,\bfx ) вiдповiдно, а їхнi лiвi та правi сторони — з початко-
вими i кiнцевими iнтервалами I\ast \xi \mathrm{b} та I\ast \xi \mathrm{e}, \xi \in \scrA , ПАI (\sigma \ast ,\bfy ) вiдповiдно.
У п. 5 ми описали алгоритм перетворення додатного ПАI на динамiчну систему на дере-
вi, який включав у себе довiльний вибiр T (\sigma ) точок розгалуження на певних пiдпромiжках.
Застосуємо цей алгоритм спочатку до (\sigma ,\bfx ), а потiм до (\sigma \ast ,\bfy ) (що включатиме вибiр точок
розгалуження у кiлькостi, яка дорiвнює повному покрученню схеми \sigma ).
Тепер склеїмо мiж собою сторони прямокутникiв R\xi , \xi \in \scrA , вiдповiдно до того, як склеєно
промiжки у двох ПАI згiдно з нашим вибором точок розгалуження. Тобто якщо початкову
точку x \in I\xi \mathrm{b} пiдклеєно до кiнцевої точки x\prime \in I\xi \prime \mathrm{e} для деяких \xi , \xi \prime \in \scrA , то точка (x - x\xi \mathrm{b}, 0)
нижньої сторони прямокутника R\xi пiдклеюється до точки (x\prime - x\sigma (\xi \prime \mathrm{e}), w\xi \prime ) верхньої сторони
прямокутника R\xi \prime ; якщо початкову точку y \in I\ast \eta \mathrm{b} пiдклеєно до кiнцевої точки y\prime \in I\eta \prime \mathrm{e} для
деяких \eta , \eta \prime \in \scrA , то точка (0, y - y\eta \mathrm{b}) лiвої сторони прямокутника R\eta пiдклеюється до точки
(v\eta \prime , y
\prime - y\sigma \ast (\eta \prime \mathrm{e})) правої сторони прямокутника R\eta \prime .
Внаслiдок такої операцiї внутрiшностi прямокутникiв залишаються роз’єднаними, тодi як
кожна точка їхнiх лiвих сторiн є iдентифiкованою з деякою точкою їхнiх правих сторiн i навпаки,
а кожна точка їхнiх нижнiх сторiн є iдентифiкованою з деякою точкою їхнiх верхнiх сторiн
i навпаки. Та навiть бiльше, всi сторони всiх прямокутникiв можуть бути роздiленими на
скiнченну кiлькiсть фрагментiв — вiдрiзкiв, кожен iз яких пiдклеєно до вiдповiдної протилежної
сторони цiлим, тобто шляхом паралельного переносу на координатнiй площинi.
Топологiчна поверхня, яку при цьому отримано, являє собою двовимiрний орiєнтовний
многовид без краю, а геометрично це плоска рiманова поверхня з T (\sigma ) + T (\sigma \ast ) особливими
точками з повним кутом 4\pi у кожнiй. (Це випадок загального положення, але нiщо не заважає
деяким з особливих точок збiгатися мiж собою, i якщо деякi k iз них справдi збiглися, то вони
зливаються в одну особливу точку з повним кутом 2(k + 1)\pi у нiй.) Топологiчний рiд цiєї
поверхнi g, очевидно, задовольняє рiвнiсть
2g - 2 = T (\sigma ) + T (\scrI \sigma ),
як було вказано наприкiнцi п. 8. (Читач може знайти у [6] чи [7] бiльш докладну iнтерпретацiю
властивостей таких поверхонь у термiнах рiманових многовидiв i голоморфних 1-форм.)
На побудованiй нами плоскiй поверхнi розглянемо два трансверсальних потоки: верти-
кальний потiк iз вектором швидкостi, паралельним
- - - \rightarrow
(0, 1), i горизонтальний потiк iз вектором
швидкостi, паралельним
- - - \rightarrow
(1, 0) (обидва потоки природно розгалужуються в особливих точках).
Обидва потоки можна взяти сталими за швидкiстю чи нi, в залежностi вiд мети дослiджен-
ня. Згiдно з конструкцiєю, горизонтальнi сторони прямокутникiв є склеєними в горизонтальне
дерево, i асоцiйована з ПАI (\sigma ,\bfx ) динамiчна система є в точностi перерiзом Пуанкаре для опи-
саного вище вертикального потоку крiзь трансверсальне до нього горизонтальне дерево. Ана-
логiчно, вертикальнi сторони прямокутникiв є склеєними у вертикальне дерево, й асоцiйована
з дуальним ПАI (\sigma \ast ,\bfy ) динамiчна система є перерiзом Пуанкаре для горизонтального потоку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 265
крiзь трансверсальне до нього вертикальне дерево. Вертикальний потiк можна розглядати як
пiдвiшений потiк над асоцiйованим iз ПАI (\sigma ,\bfx ) перекладанням iнтервалiв на горизонтально-
му деревi, а горизонтальний потiк — як пiдвiшений над асоцiйованим iз дуальним ПАI (\sigma \ast ,\bfy )
перекладанням iнтервалiв на вертикальному деревi.
Оскiльки класичне ПI на одному промiжку є частинним випадком з точки зору концепцiї
ПАI, наш алгоритм може бути застосований i до класичного ПI. Цiкаво порiвняти результат
застосування нашого алгоритму з оригiнальною конструкцiєю Вiча. Таке порiвняння показує,
що означена у [6] перестановка (2.1) насправдi описує дуальну до вихiдної перестановку в
нашому розумiннi, а вектор висот h у [6] вiдповiдає нашому вектору довжин \bfw для дуального
ПАI. Але основна вiдмiннiсть полягає у специфiчних обмеженнях, накладених Вiчем на його
конструкцiю без жодних пояснень. У нашiй термiнологiї: для кожного циклу дуальної схеми
ПАI чомусь вимагається, щоб усi точки розгалуження, належнi до iнтервалiв цього циклу,
мали однакову координату, тобто склеювалися всi в одну. (Є також друге обмеження, але воно
не настiльки важливе: згiдно з конструкцiєю Вiча одна з точок розгалуження повинна мати
координату x\alpha \mathrm{b}, де \alpha — мiтка крайнього лiвого початкового iнтервалу ПI.) Результатом цього
неприродного обмеження, з одного боку, є те, що кiлькiсть та кратнiсть особливих точок на
поверхнi зчеплених прямокутникiв однозначно визначаються за дискретною компонентою ПI. З
iншого боку, це обмеження накладає вiдповiднi обмеження на вектор висот: у нашiй конструкцiї
ним може бути будь-який додатний вектор, дозволений дуальною схемою, тодi як у Вiча цей
вектор повинен належати до певного вужчого конуса в \BbbR d
+ (описаного в п. 3 статтi [6]), а якщо
не належить, то прямокутники неможливо склеїти так, як хоче автор.
10.1. Приклад. Для кращого розумiння описаних вище вiдмiнностей нашої конструкцiї вiд
запропонованої Вiчем розглянемо найбiльш класичний приклад — ПI на одному промiжку, в
якому чотири iнтервали перекладаються в оберненому порядку слiдування, тобто як\Biggl(
\alpha \beta \gamma \delta
\delta \gamma \beta \alpha
\Biggr)
у дворядковому записi. У термiнах ПАI його схема \sigma складається з єдиного циклу
(\alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{b}, \gamma \mathrm{b}, \delta \mathrm{b}, \alpha \mathrm{e}, \beta \mathrm{e}, \gamma \mathrm{e}, \delta \mathrm{e}).
Дуальна схема \sigma \ast = \scrI \sigma = \sigma \circ \iota так само складається з єдиного циклу
(\alpha \mathrm{b}, \beta \mathrm{e}, \gamma \mathrm{b}, \delta \mathrm{e}, \alpha \mathrm{e}, \beta \mathrm{b}, \gamma \mathrm{e}, \delta \mathrm{b}).
Вiн мiстить три повороти назад, отже, число покручення дуальної схеми T (\sigma \ast ) = 2, i оскiльки
схема \sigma не є покрученою, то повне покручення T (\sigma )+T (\sigma \ast ) так само дорiвнює 2. Отже, пiсля
склеювання прямокутникiв за нашою процедурою отримана поверхня матиме топологiчний
рiд 2 i мiститиме або двi особливi точки з повними кутами 4\pi у кожнiй, або єдину особливу
точку з повним кутом 6\pi .
За твердженням 2 для обох схем \sigma i \sigma \ast всi вектори довжин є дозволеними, тому нехай \bfv
i \bfw будуть довiльними додатними векторами. Довiльний вибiр координат x\alpha \mathrm{b} i y\alpha \mathrm{b} однознач-
но визначає додатнi ПАI (\sigma ,\bfx ) i (\sigma \ast ,\bfy ) з векторами довжин \bfv i \bfw . (Альтернативою може
бути розгляд плаваючих ПАI (\sigma ,\bfv ) i (\sigma \ast ,\bfw ) без фiксованих координат, лише з фiксованими
довжинами.) Склеїмо цi два ПАI у дерева вiдповiдно до алгоритму з пп. 5.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
266 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
Для непокрученого ПАI (\sigma ,\bfx ) ми просто пiдклеюємо кожну точку кожного початкового
iнтервалу до єдиної точки кiнцевого сегмента, яка має ту ж саму координату. Дерево у цьому
випадку є промiжком.
Для покрученого дуального ПАI (\sigma \ast ,\bfy ) почнемо з розгляду зiмкненої ламаної з вершинами
у точках поворотiв: (y\delta \mathrm{b}, y\beta \mathrm{e}, y\gamma \mathrm{b}, y\delta \mathrm{e}, y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}, y\delta \mathrm{b}). Її складають шiсть послiдовних ланок дов-
жин w\alpha + w\delta , w\beta , w\gamma , w\alpha + w\delta , w\beta , w\gamma . Для визначеностi припустимо, що w\beta є найменшою
з цих довжин (в iнших випадках алгоритм дiє аналогiчно з вiдповiдними змiнами). Виберемо
довiльну точку c1 \in [y\gamma \mathrm{b}, y\beta \mathrm{e}] (це найкоротша ланка; насправдi їх двi, обидвi довжини w\beta , i
не має значення, з якої починати). Пiдклеїмо кожну точку iнтервалу I\ast \beta \mathrm{e}, яка лежить лiворуч
вiд c1, до точки iнтервалу I\ast \gamma \mathrm{b} з такою ж координатою, а кожну точку iнтервалу I\ast \beta \mathrm{e}, яка ле-
жить праворуч вiд c1, до точки iнтервалу I\ast \delta \mathrm{b} чи I\ast \alpha \mathrm{b} з такою ж координатою. Виключивши
з розгляду склеєнi точки, ми залишимося з чотириланковою ламаною (y\delta \mathrm{b}, y\delta \mathrm{e}, y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}, y\delta \mathrm{b}) i
виберемо довiльну точку c2 \in [y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}] (це друга найкоротша ланка довжини w\beta у початковiй
ламанiй). Пiдклеїмо кожну точку iнтервалу I\ast \beta \mathrm{b}, яка лежить лiворуч вiд c2, до точки iнтервалу
I\ast \delta \mathrm{e} чи I\ast \alpha \mathrm{e} з такою ж координатою, а кожну точку iнтервалу I\ast \beta \mathrm{b}, яка лежить праворуч вiд c2, до
точки iнтервалу I\ast \gamma \mathrm{e} з такою ж координатою. Не склеєнi до сих пiр точки складають дволанкову
ламану (y\delta \mathrm{b}, y\delta \mathrm{e}, y\delta \mathrm{b}), i ми завершуємо процес пiдклеюванням кожної початкової точки, що
залишилася, до кiнцевої з такою ж координатою.
Тепер, у випадку c1 = c2 = x\alpha \mathrm{b}, ми одержали в точностi зчепленi прямокутники Вiча.
Звiсно, можливiсть такої рiвностi вимагає додаткових обмежень на \bfw : w\alpha \leq w\beta \leq w\alpha + w\gamma i
w\delta \leq w\gamma \leq w\delta + w\beta . Результуюча поверхня (вiзуалiзована на рис. 25 у статтi [7]) має єдину
особливу точку з повним кутом 6\pi у нiй.
Якщо c1 \not = c2, то наш алгоритм приводить до геометрично iншої поверхнi такого ж то-
пологiчного роду. Iнтервали дуального ПАI склеюються в цьому алгоритмi рiзним чином в
залежностi вiд порядку взаєморозташування їхнiх країв на координатнiй прямiй (який визна-
чається вектором довжин) i вибору точок c1 i c2 в процесi застосування алгоритму.
Як iлюстрацiю розглянемо один iз багатьох можливих порядкiв розташування точок, а саме
випадок y\delta \mathrm{b} < y\beta \mathrm{b} < y\gamma \mathrm{b} < y\alpha \mathrm{e} < y\alpha \mathrm{b} < y\gamma \mathrm{e} < y\beta \mathrm{e} < y\delta \mathrm{e} (неважко навести вiдповiдний
набiр нерiвностей мiж довжинами w\alpha , w\beta , w\gamma , w\delta , використавши зображення (6) країв через
довжини), i нехай в процесi застосування алгоритму ми вибрали c1 \in (y\alpha \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}) i c2 \in (y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{b}).
Тодi, крок за кроком цiєї процедури, ми здiйснили наступнi iдентифiкацiї.
На першому кроцi алгоритму вибрано c1 \in (y\alpha \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}) \subset [y\gamma \mathrm{b}, y\beta \mathrm{e}], пiсля чого на промiжку
[c1, y\beta \mathrm{e}] кiнцевий iнтервал I\ast \beta \mathrm{e} пiдклеєно до початкового iнтервалу I\ast \alpha \mathrm{b}, а на [y\gamma \mathrm{b}, c1] iнтервал
I\ast \beta \mathrm{e} — до I\ast \gamma \mathrm{b}.
На другому кроцi вибрано c2 \in (y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{b}) \subset [y\beta \mathrm{b}, y\gamma \mathrm{e}], пiсля чого на промiжку [c2, y\gamma \mathrm{e}]
iнтервал I\ast \beta \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \gamma \mathrm{e}, а на [y\beta \mathrm{b}, c2] iнтервал I\ast \beta \mathrm{b} — до I\ast \alpha \mathrm{e}.
На завершальному кроцi здiйснено решту iдентифiкацiй:
на [y\delta \mathrm{b}, c2] iнтервал I\ast \delta \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \gamma \mathrm{e},
на [c2, y\alpha \mathrm{e}] iнтервал I\ast \delta \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \alpha \mathrm{e},
на [y\alpha \mathrm{e}, y\alpha \mathrm{b}] iнтервал I\ast \delta \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \delta \mathrm{e},
на [y\alpha \mathrm{b}, c1] iнтервал I\ast \alpha \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \delta \mathrm{e},
на [c1, y\delta \mathrm{e}] iнтервал I\ast \gamma \mathrm{b} пiдклеєно до I\ast \delta \mathrm{e}.
У точцi розгалуження c1 зiйшлися чотири iнтервали I\ast \alpha \mathrm{b}, I
\ast
\gamma \mathrm{b}, I
\ast
\beta \mathrm{e} i I\ast \delta \mathrm{e}, а в точцi розгалу-
ження c2 — чотири iнтервали I\ast \beta \mathrm{b}, I
\ast
\delta \mathrm{b}, I
\ast
\gamma \mathrm{e} i I\ast \alpha \mathrm{e}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
ПЕРЕКЛАДАЛЬНI АНСАМБЛI IНТЕРВАЛIВ 267
Нарештi можна перейти до прямокутникiв R\xi , \xi \in \{ \alpha , \beta , \gamma , \delta \} , та описати яким чином
зчеплюються мiж собою їхнi вертикальнi сторони, асоцiйованi з вiдповiдними початковими I\ast \xi \mathrm{b}
та кiнцевими I\ast \xi \mathrm{e} iнтервалами дуальної ПАI (\sigma \ast ,\bfy ).
Лiва сторона прямокутника R\alpha , яка є вiдрiзком \{ 0\} \times [0, w\alpha ], роздiлюється на два фрагменти:
нижнiй фрагмент \{ 0\} \times [0, c1 - y\alpha \mathrm{b}] пiдклеюється до фрагмента \{ v\delta \} \times [y\alpha \mathrm{b} - y\alpha \mathrm{e}, c1 - y\alpha \mathrm{e}] правої
сторони прямокутника R\delta , а верхнiй \{ 0\} \times [c1 - y\alpha \mathrm{b}, w\alpha ] — до фрагмента \{ v\beta \} \times [c1 - y\gamma \mathrm{b}, w\beta ]
правої сторони R\beta .
Лiва сторона R\beta , яка є вiдрiзком \{ 0\} \times [0, w\beta ], роздiлюється на два фрагменти: нижнiй
\{ 0\} \times [0, c2 - y\beta \mathrm{b}] пiдклеюється до фрагмента \{ v\alpha \} \times [0, c2 - y\beta \mathrm{b}] правої сторони R\alpha , а верхнiй
\{ 0\} \times [c2 - y\beta \mathrm{b}, w\beta ] — до фрагмента \{ v\gamma \} \times [c2 - y\delta \mathrm{b}, w\gamma ] правої сторони R\gamma .
Лiва сторона R\gamma , яка є вiдрiзком \{ 0\} \times [0, w\gamma ], роздiлюється на два фрагменти: нижнiй
\{ 0\} \times [0, c1 - y\gamma \mathrm{b}] пiдклеюється до фрагмента \{ v\beta \} \times [0, c1 - y\gamma \mathrm{b}] правої сторони R\beta , а верхнiй
\{ 0\} \times [c1 - y\gamma \mathrm{b}, w\gamma ] — до фрагмента \{ v\delta \} \times [c1 - y\alpha \mathrm{e}, w\delta ] правої сторони R\delta .
Лiва сторона R\delta , яка є вiдрiзком \{ 0\} \times [0, w\delta ], роздiлюється на три фрагменти: нижнiй
\{ 0\} \times [0, c2 - y\delta \mathrm{b}] пiдклеюється до фрагмента \{ v\gamma \} \times [0, c2 - y\delta \mathrm{b}] правої сторони R\gamma , середнiй
\{ 0\} \times [c2 - y\delta \mathrm{b}, y\alpha \mathrm{e} - y\delta \mathrm{b}] — до фрагмента \{ v\alpha \} \times [c2 - y\beta \mathrm{b}, w\alpha ] правої сторони R\alpha , а верхнiй
\{ 0\} \times [y\alpha \mathrm{e} - y\delta \mathrm{b}, w\delta ] — до фрагмента \{ v\delta \} \times [0, y\alpha \mathrm{b} - y\alpha \mathrm{e}] правої сторони R\delta .
Легко перевiрити, що дев’ять перелiчених вище фрагментiв правих сторiн прямокутникiв
покривають цi сторони без перекриттiв (хiба що крайнiми точками) чи пробiлiв мiж ними.
Пiсля того, як верхнi сторони прямокутникiв також пiдклеєно до нижнiх вiдповiдно до
вихiдного класичного ПI, ми одержуємо многовид топологiчного роду 2, що геометрично є
плоскою поверхнею з двома особливими точками. Перша вiдповiдає вибранiй нами точцi роз-
галуження c1 i є результатом iдентифiкацiї мiж собою чотирьох точок (0, c1 - y\alpha \mathrm{b}) \in R\alpha ,
(v\beta , c1 - y\gamma \mathrm{b}) \in R\beta , (0, c1 - y\gamma \mathrm{b}) \in R\gamma i (v\delta , c1 - y\alpha \mathrm{e}) \in R\delta . Друга особлива точка вiдпо-
вiдає c2 з нашого алгоритму i так само є результатом склеювання в одну чотирьох точок
(v\alpha , c2 - y\beta \mathrm{b}) \in R\alpha , (0, c2 - y\beta \mathrm{b}) \in R\beta , (v\gamma , c2 - y\delta \mathrm{b}) \in R\gamma i (0, c2 - y\delta \mathrm{b}) \in R\delta . Повний кут у
кожнiй iз цих двох особливих точок дорiвнює 4\pi .
В оглядi [7] (який, як зазначено вище, знаходиться у вiльному доступi в мережi iнтернет)
можна знайти iлюстрований опис конструкцiї Вiча для цього ж самого прикладу i наочно
побачити вiдмiннiсть мiж двома алгоритмами.
11. Висновки. У цiй статтi ми презентували нову концепцiю перекладального ансамблю
iнтервалiв (ПАI), що є узагальненням класичної конструкцiї перекладання iнтервалiв (ПI).
На вiдмiну вiд останньої, ПАI, взагалi кажучи, не є динамiчною системою, але може бути
перетвореним на неї шляхом склеювання його iнтервалiв у дерево, з певною кiлькiстю ступенiв
свободи вибору.
Наша конструкцiя є дуже природною i не була помiчена попереднiми дослiдниками напев-
но тому, що вони обмежувалися розглядом ПI на одному промiжку. Її майже реалiзував Вiч
у [6], працюючи з вертикальними сторонами „зчеплених прямокутникiв”, але не розпiзнав їхню
конфiгурацiю як дуальну до вихiдного ПI на горизонтальних сторонах.
До ПАI є застосовною iндукцiя типу Розi – Вiча (а на її базi можна означити i ту чи iншу
ренормалiзацiю). Елементарнi кроки iндукцiї на схемах (так ми називаємо дискретну компо-
ненту даних ПАI) є спряженими з оберненими до них простою iнволюцiєю, яка задає таким
чином дуальнiсть мiж схемами. Натуральне розширення ПАI можна розглядати як пару ПАI з
взаємодуальними схемами, а елементарнi iндукцiйнi кроки на натуральних розширеннях також
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
268 ОЛЕКСIЙ ТЕПЛIНСЬКИЙ
є оборотними в часi i спряженi з оберненими кроками iнволюцiєю, яка просто мiняє мiсцями
елементи такої пари.
Коли ми беремо набiр паралельних мiж собою прямокутникiв iз розмiрами, визначеними
згiдно з довжинами iнтервалiв у даному натуральному розширеннi ПАI, склеюємо кожне з
двох взаємодуальних ПАI в дерево i вiдповiдним чином зчеплюємо прямокутники мiж собою
сторонами, то одержуємо плоску трансляцiйну поверхню з певною кiлькiстю особливих то-
чок. На цiй поверхнi визначено два трансверсальних потоки сталого напрямку. Кожен iз цих
потокiв тече паралельно одному з двох дерев, у якi ми склеїли сторони прямокутникiв, i про-
дукує на другому деревi перерiз Пуанкаре, який є нiчим iншим, як тiєю динамiчною системою
перекладання iнтервалiв на деревi, в яку ми склеїли вiдповiдний ПАI.
У спецiальному випадку ротацiйного ПАI (тобто ПI на багатьох промiжках, що є вiдобра-
женням першого повернення на об’єднання скiнченної кiлькостi дуг для iррацiонального по-
вороту кола) дуальний ПАI також є ротацiйним, i вiдповiдна трансляцiйна поверхня має топо-
логiчний рiд 1, тобто є тором, без особливих точок.
Лiтература
1. M. Keane, Interval exchange transformations, Math. Z., 141, 25 – 31 (1975).
2. W. A. Veech, Interval exchange transformations, J. Anal. Math., 33, 222 – 272 (1978).
3. G. Rauzy, Échanges d’intervalles et transformations induites, Acta Arith., 34, 315 – 328 (1979).
4. M. S. Keane, G. Rauzy, Stricte ergodicité des échanges d’intervalles, Math. Z., 174, 203 – 212 (1980).
5. H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations, Ann. Math., 115, 169 – 200 (1982).
6. W. A. Veech, Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps, Ann. Math., 115, 201 – 242
(1982).
7. M. Viana, Ergodic theory of interval exchange maps, Rev. Mat. Complut., 19, 7 – 100 (2006).
8. А. Ю. Теплинский, К. М. Ханин, Жесткость для диффеоморфизмов окружности с особенностями, Успехи
мат. наук, 59, № 2, 137 – 160 (2004).
9. О. Ю. Теплiнський, Гiперболiчна пiдкова для дифеоморфiзмiв кола зi зламом, Нелiнiйнi коливання, 11, № 1,
112 – 127 (2008).
10. K. Khanin, A. Teplinsky, Renormalization horseshoe and rigidity for circle diffeomorphisms with breaks, Comm.
Math. Phys., 320, 347 – 377 (2013).
11. K. Cunha, D. Smania, Renormalization for piecewise smooth homeomorphisms on the circle, Ann. Inst. H. Poincaré
Anal. Non Linéaire, 30, 441 – 462 (2013).
12. K. Cunha, D. Smania, Rigidity for piecewise smooth homeomorphisms on the circle, Adv. Math., 250, 193 – 226
(2014).
Одержано 14.06.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-6341 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:10Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/40/a2d126cc803255fc12ad5c3dfcaa2c40.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63412023-03-06T14:26:58Z Interval rearrangement ensembles Перекладальні ансамблі інтервалів Teplinsky, A. Теплінський, Олексій перекладання інтервалів, індукція Розі-Віча, трансляційні поверхні, симетрія обертання часу динамічні системи UDC 517.5 We introduce a new concept of interval rearrangement ensembles (IRE), which is a generalization of interval exchange transformations (IET). This construction expands the space of IETs in accordance with the natural duality that we pinpoint. Induction of Rauzy–Veech kind is applicable to IREs. It is conjugate to the reverse operation by the duality mentioned above. A natural extension of an IRE is associated with two transversal flows on a flat translation surface with branching points. УДК 517.5 Запропоновано нову концепцію перекладального ансамблю інтервалів (ПАІ), що є узагальненням класичного перекладання інтервалів (ПІ). Ця конструкція розширює простір ПІ відповідно до природної дуальності, на яку ми вказуємо. Індукція типу Розі–Віча є застосовною до ПАІ, і згадана вище дуальність спрягає її з оберненою опера\-цією. Натуральне розширення ПАІ може бути реалізоване як пара трансверсальних потоків на плоскій трансляційній поверхні з особливими точками.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-03-02 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6341 10.37863/umzh.v75i2.6341 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 2 (2023); 247 - 268 Український математичний журнал; Том 75 № 2 (2023); 247 - 268 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6341/9368 Copyright (c) 2023 Alexey Teplinsky |
| spellingShingle | Teplinsky, A. Теплінський, Олексій Interval rearrangement ensembles |
| title | Interval rearrangement ensembles |
| title_alt | Перекладальні ансамблі інтервалів |
| title_full | Interval rearrangement ensembles |
| title_fullStr | Interval rearrangement ensembles |
| title_full_unstemmed | Interval rearrangement ensembles |
| title_short | Interval rearrangement ensembles |
| title_sort | interval rearrangement ensembles |
| topic_facet | перекладання інтервалів індукція Розі-Віча трансляційні поверхні симетрія обертання часу динамічні системи |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6341 |
| work_keys_str_mv | AT teplinskya intervalrearrangementensembles AT teplínsʹkijoleksíj intervalrearrangementensembles AT teplinskya perekladalʹníansamblííntervalív AT teplínsʹkijoleksíj perekladalʹníansamblííntervalív |