Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs
UDC 512.552.4We study the configurations of subspaces of a Hilbert space associated with a unicyclic graph, which is a cycle of length $m\geqslant 3$ and has, at each vertex of the cycle, a chains of length $s\geqslant 1$ glued to the vertex. There is a one-to-one correspondence between the vertices...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6354 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512337909252096 |
|---|---|
| author | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрелец, Александр Попова, Н. Д. Стрілець, О. В. |
| author_facet | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрелец, Александр Попова, Н. Д. Стрілець, О. В. |
| author_sort | Popova, N. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:15Z |
| description | UDC 512.552.4We study the configurations of subspaces of a Hilbert space associated with a unicyclic graph, which is a cycle of length $m\geqslant 3$ and has, at each vertex of the cycle, a chains of length $s\geqslant 1$ glued to the vertex. There is a one-to-one correspondence between the vertices and subspaces. If an edge connects two vertices, then the angle between subspaces is equal to $\psi\in(0;\pi/2),$ otherwise the subspaces are orthogonal. Applying the theorem on reduction of unicyclic graph, we prove that nonzero configurations exist if and only if $\cos\psi\in(0;\tau_{m,s}].$ We obtain formulas for $\tau_{m,s}$ and show that~$\bigcap\limits_{m,s}(0;\tau_{m,s}] = (0;2/5].$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i4.6354 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i4.6354
УДК 512.552.4
Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець (Iн-т математики НАН України, Київ)
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ,
ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ УНIЦИКЛIЧНИХ ГРАФIВ
We study the configurations of subspaces of a Hilbert space associated with a unicyclic graph, which is a cycle of length
m \geq 3 and has, at each vertex of the cycle, a chains of length s \geq 1 glued to the vertex. There is a one-to-one
correspondence between the vertices and subspaces. If an edge connects two vertices, then the angle between subspaces
is equal to \psi \in (0;\pi /2), otherwise the subspaces are orthogonal. Applying the theorem on reduction of unicyclic graph,
we prove that nonzero configurations exist if and only if \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi \in (0; \tau m,s]. We obtain formulas for \tau m,s and show
that
\bigcap
m,s
(0; \tau m,s] = (0; 2/5].
Дослiджуються конфiгурацiї пiдпросторiв гiльбертового простору, пов’язанi з унiциклiчним графом, що є циклом
довжини m \geq 3, до кожної вершини якого приєднано ланцюги довжини s \geq 1. Вершинам графа вiдповiдають
пiдпростори. Якщо вершини поєднанi ребром, то кут мiж пiдпросторами дорiвнює деякому числу \psi з iнтерва-
лу (0;\pi /2), iнакше пiдпростори ортогональнi. За допомогою теореми про редукцiю унiциклiчного графа доведено,
що такi ненульовi конфiгурацiї iснують тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi \in (0; \tau m,s]. Отримано формули для пiдрахун-
ку \tau m,s i показано, що
\bigcap
m,s
(0; \tau m,s] = (0; 2/5].
1. Попереднi вiдомостi. У цiй статтi ми продовжуємо вивчення конфiгурацiй пiдпросторiв у
гiльбертовому просторi. А саме, нехай H — комплексний сепарабельний гiльбертiв простiр,
Hk, 1 \leq k \leq n, — набiр його пiдпросторiв такий, що кут мiж кожними двома пiдпросторами є
фiксованим. Будемо казати, що кут мiж Hj та Hk фiксований i дорiвнює \psi jk \in [0;\pi /2], якщо
для ортопроекторiв PHj , PHk
на цi пiдпростори маємо
PHjPHk
PHj = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\psi jk)PHj , PHk
PHjPHk
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2(\psi jk)PHk
.
Зауважимо, що у випадку, коли простори Hj i Hk є скiнченновимiрними, ця умова означає, що
серiя канонiчних кутiв складається з однакових чисел, що дорiвнюють \psi jk. У подальшому ми
виключаємо випадок, коли пiдпростори Hj i Hk збiгаються мiж собою, тобто вважаємо, що
\psi jk \not = 0.
Вивчення конфiгурацiй пiдпросторiв, або, бiльш загально, систем пiдпросторiв
S = (H;H1, . . . ,Hn)
гiльбертового простору H (наборiв вiдповiдних ортопроекторiв P1, . . . , Pn) є важливою за-
дачею функцiонального аналiзу, якiй присвячено багато робiт (див., наприклад, бiблiографiю
в [1]). Пов’язанi з цiєю задачею питання виникають при дослiдженнi багатьох проблем сучасної
математики, зокрема статистичної механiки (алгебра Темперлi – Лiба), теорiї наближень, теорiї
iнформацiї (фрейми), томографiї, теорiї сингулярних iнтегральних рiвнянь тощо.
Конфiгурацiї пiдпросторiв зручно задавати за допомогою скiнченного неорiєнтованого гра-
фа \Gamma без кратних ребер i петель з числами на його ребрах. Пiдпростори вiдповiдають вершинам
графа, а кут \psi jk \in (0;\pi /2) мiж двома пiдпросторами задається числом \tau jk \in (0; 1) з рiвнян-
ня \tau jk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\psi jk, що стоїть на вiдповiдному ребрi. Якщо вершини не є сумiжними, вважаємо,
що вiдповiднi пiдпростори є ортогональними. Вивчення конфiгурацiй є вивченням \ast -зображень
c\bigcirc Н. Д. ПОПОВА, О. В. СТРIЛЕЦЬ, 2021
556 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ, ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ . . . 557
вiдповiдних алгебр
TL\Gamma ,\tau ,\bot = \BbbC
\Bigl\langle
p1, . . . , pn | p2j = p\ast j = pj , j \in V ;
pjpkpj = \tau 2jkpj , pkpjpk = \tau 2jkpk, якщо \gamma jk \in E;
pjpk = pkpj = 0 в iншому випадку
\Bigr\rangle
,
де \Gamma = (V,E) — скiнченний неорiєнтований зв’язний граф без кратних ребер та петель: V =
= \{ 1, . . . , n\} — множина вершин графа, а E = \{ \gamma jk = \gamma kj\} — множина його ребер; \tau (\cdot ) —
функцiя, означена на ребрах графа:
\tau : E \rightarrow (0; 1) : \gamma jk \mapsto \rightarrow \tau jk.
Питання про iснування конфiгурацiї з заданими параметрами зводиться до питання не-
вiд’ємної визначеностi вiдповiдної (операторної) матрицi Грама (див. [1]).
Нагадаємо (див. [1 – 3]), що для ланцюжка довжини n за умови, що функцiя \tau (\cdot ) є сталою,
r
1
\tau r
2
\tau r
3
. . . r
n
\tau r
n+ 1
матриця Грама має вигляд
BAn+1,\tau =
\left(
1 - \tau 0 . . . 0
- \tau 1 - \tau . . . 0
0 - \tau 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
\right)
.
Доведено, що вона є невiд’ємно визначеною тодi i тiльки тодi, коли \tau \in (0;\lambda - 1
n+2], де
\lambda k = 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
k
, k \in \BbbN .
Також нагадаємо (див. [1, 4]), що у випадку, коли \Gamma є циклом довжини m \geq 3 i функцiя
\tau (\cdot ) є сталою,
r
r
r r
r
r\tau
\tau
\tau
\tau
\tau
1 2
3
4m - 1
m
. . .
матриця Грама має вигляд
BC,\tau ,\varphi =
\left(
1 - \tau 0 . . . - \tau ei\varphi
- \tau 1 - \tau . . . 0
0 - \tau 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
- \tau e - i\varphi 0 0 . . . 1
\right)
, \varphi \in [0; 2\pi ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
558 Н. Д. ПОПОВА, О. В. СТРIЛЕЦЬ
i вiдповiдна нетривiальна система SC,\tau ,\varphi iснує хоча б при одному \varphi тодi i тiльки тодi, коли
\tau \in (0;\lambda - 1
m ].
У цiй статтi ми будемо дослiджувати випадок унiциклiчного графа \Gamma m,s, m, s \in \BbbN , m \geq 3,
такого, що цикл має m вершин i до кожної вершини циклу приєднано ланцюг довжини s, всi
числа \tau jk рiвнi мiж собою i дорiвнюють \tau :
rr. . .rr\underbrace{} \underbrace{}
s
\tau \tau r r . . . r r\underbrace{} \underbrace{}
s
\tau \tau
r
r
\cdot \cdot
\cdot r
r \underbrace{}
\underbrace{}
s
\tau
\tau
r
r\cdot \cdot \cdot
r
r
\underbrace{}
\underbrace{}
s
\tau
\tau
r
r
\cdot \cdot \cdot r
r
\underbrace{}
\underbrace{}
s
\tau
\tau
r
r \cdot \cdot \cdot
r
r
\underbrace{}
\underbrace{}
s
\tau
\tau
. . .
\tau
\tau
\tau
\tau
\tau
Ми нагадаємо теорему про редукцiю унiциклiчного графа до циклу (пункт 2) i, застосувавши
її до розглядуваного випадку, покажемо (пункт 4), що множини \Omega m,s тих \tau , для яких iснують
вiдповiднi нетривiальнi конфiгурацiї, є непорожнiми для всiх m та s i дорiвнюють певним
iнтервалам (0; \tau m,s], а також пiдрахуємо \tau m,s (пункт 5). Крiм того, покажемо (пункт 3), що
вiдповiднi нетривiальнi конфiгурацiї iснують для довiльного s тодi i тiльки тодi, коли \tau не
перевищує
\tau m,\infty =
1
\lambda - 1
m + \lambda m
.
2. Редукцiя унiциклiчного графа до циклу. Нехай \Gamma = (C; \Gamma 1, . . . ,\Gamma m), C — цикл, до
кожної вершини j \in \{ 1, . . . ,m\} якого приєднано дерево \Gamma j . Тодi для кожної вершини j унiцик-
лiчного графа можна визначити вiдстань d(j) вiд вершини до циклу як довжину вiдповiдного
найкоротшого шляху. Для кожної вершини j, що не належить вершинам циклу, однозначно
визначається попередня вершина p(j) — вершина, що поєднана з j i знаходиться ближче до
циклу. Тодi (можливо порожня) множина наступних вершин \scrV j визначається формулою
\scrV j = \{ k \in V | p(k) = j\} .
Матриця Грама B\Gamma ,\tau ,\varphi = (bjk) для унiциклiчного графа \Gamma має вигляд (див. [1, 2])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ, ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ . . . 559
bjk =
\left\{
1, j = k,
- \tau jk, \gamma jk \in E \setminus \{ \gamma 1,m\} ,
- ei\varphi \tau 1m, j = 1, k = m,
- e - i\varphi \tau 1m, j = m, k = 1,
0, j i k не поєднанi ребром.
У роботi [5] доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай \Gamma — унiциклiчний граф. Матриця B\Gamma ,\tau ,\varphi невiд’ємно визначена тодi i
тiльки тодi, коли виконуються такi умови:
(i) для всiх вершин j \in V числа
\nu j = 1 -
\sum
k\in \scrV j
\tau 2jk
\nu k
є додатними;
(ii) матриця BC,\mu ,\varphi , де \mu визначено на ребрах E0 циклу C рiвнiстю
\mu jk =
\tau jk\surd
\nu j\nu k
,
є невiд’ємно визначеною.
Через S\Gamma m,s,\tau ,\varphi позначимо конфiгурацiю пiдпросторiв, пов’язану з унiциклiчним графом
\Gamma m,s = (C; \Gamma 1, . . . ,\Gamma m),
де C — цикл довжини m, \Gamma i — ланцюжки довжини s, \varphi \in [0; 2\pi ).
Зважаючи на те, що в розглядуваному випадку всi дерева \Gamma i є ланцюгами довжини s i всi
числа на ребрах графа однаковi, маємо рiвнiсть
\nu j =
\left\{ 1, d(j) = s,
1 - \tau 2/\nu k, d(j) < s, \scrV j = \{ k\} .
Таким чином, числа \nu j залежать тiльки вiд вiдстанi вершини j до циклу:
\nu j = \^\nu s - d(j), де \^\nu 0 = 1, \^\nu r = 1 - \tau 2
\^\nu r - 1
, r = 1, . . . , s,
а \mu jk — вiд довжини ланцюжкiв
\mu jk = \mu s = \mu s(\tau ) =
\tau
\^\nu s
.
Позначимо \BbbN 0 = \BbbN \cup \{ 0\} , зафiксуємо \tau > 0 i розглянемо послiдовнiсть cj = cj(\tau ), що
задана рекурентними спiввiдношеннями
c0 = 0, cj+1 = f\tau (cj), j \in \Lambda \tau ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
560 Н. Д. ПОПОВА, О. В. СТРIЛЕЦЬ
де функцiя f\tau (x) i множина \Lambda \tau задаються формулами
f\tau (x) =
\tau 2
1 - x
, \Lambda \tau =
\bigl\{
j \in \BbbN 0 | ck < 1, k \in \{ 0, . . . , j\}
\bigr\}
.
Множина \Lambda \tau є непорожньою, можливо, скiнченною множиною. Зауважимо, що cj < cj+1 для
довiльного j \in \Lambda \tau , оскiльки c0 = 0 < \tau 2 = c1, а функцiя f\tau (x) при фiксованому \tau > 0 є
зростаючою на iнтервалi [0; 1).
Лема 1. За умови s \in \Lambda \tau виконуються рiвностi
\^\nu r = 1 - cr, r \in \{ 0, . . . , s\} , \mu s(\tau ) =
\tau
1 - cs
=
cs+1
\tau
.
Доведення. База iндукцiї: \^\nu 0 = 1 = 1 - c0. Iндуктивний крок:
\^\nu r = 1 - \tau 2
\^\nu r - 1
= 1 - \tau 2
1 - cr - 1
= 1 - f\tau (cr - 1) = 1 - cr.
Друга рiвнiсть доводиться безпосередньо:
\mu s(\tau ) =
\tau
\^\nu s
=
1
\tau
\tau 2
1 - cs
=
cs+1
\tau
.
Таким чином, множина чисел \tau \in (0; 1), для яких iснують \varphi \in [0; 2\pi ) такi, що матри-
ця B\Gamma m,s,\tau ,\varphi є невiд’ємно визначеною, збiгається з множиною
\Omega m,s =
\bigl\{
\tau \in (0; 1) | s \in \Lambda \tau , \mu s(\tau ) \leq \lambda - 1
m
\bigr\}
.
Дослiдимо, як влаштованi множини \Omega m,s та їхнi перетини
\Omega m,\infty =
\infty \bigcap
s=1
\Omega m,s, \Omega \infty ,s =
\infty \bigcap
m=3
\Omega m,s, \Omega =
\infty \bigcap
m=3
\Omega m,\infty .
3. Критерiй iснування конфiгурацiй з ланцюгами довiльної довжини. Почнемо з дослi-
дження множини \Omega m,\infty . Зрозумiло, що довiльне s повинно належати \Lambda \tau , якщо \tau \in \Omega m,\infty .
Лема 2. \Lambda \tau = \BbbN 0 тодi i тiльки тодi, коли \tau \in (0; 1/2]. За цих умов iснує границя
c = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
cj =
1 -
\surd
1 - 4\tau 2
2
.
Доведення. Нехай \Lambda \tau = \BbbN 0, тодi cj , j \in \BbbN 0, є зростаючою обмеженою зверху послiдовнiс-
тю, отже, iснує границя
c = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
cj = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
cj+1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
f\tau (cj) \leq 1.
Оскiльки функцiя f\tau (x) є неперервною в iнтервалi [0; 1) i зростає необмежено в околi одиницi,
переконуємося, що c < 1 i є нерухомою точкою функцiї f\tau (x).
Квадратне рiвняння f\tau (x) = x не має розв’язкiв, якщо \tau > 1/2. Таким чином, \tau \leq 1/2, а
числа
x1,2 =
1\pm
\surd
1 - 4\tau 2
2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ, ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ . . . 561
є розв’язками цього рiвняння. Оскiльки обидва коренi додатнi, а послiдовнiсть cj стартує з 0,
то вона прямує до меншого з коренiв, отже,
c =
1 -
\surd
1 - 4\tau 2
2
.
Навпаки, якщо \tau \in (0; 1/2], то c є нерухомою точкою f\tau (x) i cj < c < 1 для довiльного
j \in \BbbN 0.
Теорема 2. Множина \Omega m,\infty збiгається з iнтервалом (0; \tau m,\infty ], де
\tau m,\infty =
1
\lambda - 1
m + \lambda m
.
Доведення. Якщо \tau \in \Omega m,\infty , то за попередньою лемою \tau \in (0; 1/2] i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}j\rightarrow \infty cj = c.
Покажемо, що \tau \in \Omega m,\infty тодi i тiльки тодi, коли c \leq \tau /\lambda m. Справдi, за цiєї умови
\mu s =
cs+1
\tau
<
c
\tau
\leq 1
\lambda m
.
Таким чином, умова є достатньою. Припустимо, що c > \tau /\lambda m, тодi \varepsilon = c - \tau /\lambda m > 0 i
знайдеться таке s0, що для довiльного s > s0
c - cs+1 < \varepsilon = c - \tau
\lambda m
\Rightarrow \mu s(\tau ) =
cs+1
\tau
>
1
\lambda m
.
Отже, умова є також необхiдною.
Безпосередньо пiдраховується, що умова c \leq \tau /\lambda m виконується тодi i тiльки тодi, коли
1 - 2\tau \lambda - 1
m \leq
\sqrt{}
1 - 4\tau 2 \leftrightarrow \tau 2(\lambda m + \lambda - 1
m ) - \tau \leq 0,
що, в свою чергу, еквiвалентно умовi \tau \in [0; \tau m,\infty ].
Наслiдок 1. \Omega = (0; 2/5].
Доведення. Зауважимо, що послiдовнiсть \tau m,\infty спадає i збiгається до 2/5.
4. Властивостi множин \bfOmega \bfitm ,\bfits . Iз доведеної у попередньому пунктi теореми випливає, що
всi множини \Omega m,s є непорожнiми.
Наступна лема та її наслiдки дозволяють дослiдити множини \Omega m,s.
Лема 3. Для довiльних r \in \BbbN i \tau \in (1/2;\lambda - 1
r+1) маємо рiвнiсть
cr = cr
\bigl(
\tau (\theta )
\bigr)
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 1)\theta
, \tau (\theta ) =
1
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta
, \theta \in
\biggl(
0;
\pi
r + 1
\biggr)
.
При цьому cr < 1 тодi i тiльки тодi, коли \theta < \pi /(r + 2).
Доведення. База iндукцiї. Якщо r = 1 i \tau \in (1/2;+\infty ), то виконуються рiвностi
c1 = \tau 2(\theta ) =
1
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta
, \theta \in
\Bigl(
0;
\pi
2
\Bigr)
,
при цьому c1 < 1 тодi i тiльки тодi, коли \theta < \pi /3.
Iндуктивний крок. Припустимо, що лема справджується для r - 1 \in \BbbN i \tau \in
\bigl(
1/2;\lambda - 1
r
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
562 Н. Д. ПОПОВА, О. В. СТРIЛЕЦЬ
Тодi
cr - 1 =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r - 1)\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
, \theta \in
\Bigl(
0;
\pi
r
\Bigr)
,
при цьому cr - 1 < 1 тодi i тiльки тодi, коли \theta < \pi /(r + 1). Зважаючи на те, що
1 - cr - 1 =
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r - 1)\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 1)\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
,
за умови \theta \in
\bigl(
0;\pi /(r + 1)
\bigr)
маємо
cr =
\tau 2
1 - cr - 1
=
1
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 1)\theta
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} r\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 1)\theta
.
При цьому cr < 1 тодi i тiльки тодi, коли
1 - cr =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 2)\theta
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 1)\theta
> 0 \leftrightarrow \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r + 2)\theta > 0,
що еквiвалентно умовi \theta < \pi /(r + 2).
Наслiдок 2. Для довiльного s \in \BbbN включення s \in \Lambda \tau виконується тодi i тiльки тодi, коли
\tau \in
\bigl(
0;\lambda - 1
s+2
\bigr)
.
Доведення. Випадок \tau > 1/2 є безпосереднiм наслiдком попередньої леми. Якщо ж
\tau \leq 1/2, то за лемою 2 \Lambda \tau = \BbbN 0, а з iншого боку, 1/2 < \lambda - 1
s+2.
Наслiдок 3. Для довiльного r \in \BbbN 0 функцiї cr+1(\tau ) i \mu r(\tau ) є зростаючими та неперервними
на iнтервалi
\bigl(
0;\lambda - 1
r+2
\bigr)
.
Доведення. База iндукцiї. Функцiї c1(\tau ) = \tau 2 i \mu 0(\tau ) = \tau є очевидно зростаючими та
неперервними на iнтервалi (0;+\infty ).
Iндуктивний крок. Скористаємось тим, що на множинi (0;+\infty )\times (0; 1) функцiя
\Phi (t, x) =
t
1 - x
є зростаючою по кожному аргументу та неперервною. Тодi функцiї
cr+1(\tau ) = \Phi
\bigl(
\tau 2, cr(\tau )
\bigr)
i \mu r(\tau ) = \Phi (\tau , cr(\tau ))
є неперервними та зростаючими на iнтервалi
\bigl(
0;\lambda - 1
r+2
\bigr)
.
Твердження 1. Для довiльних s,m \in \BbbN , m \geq 3, iснує число \tau m,s \in
\bigl(
0;\lambda - 1
s+3
\bigr)
таке, що
\Omega m,s = (0; \tau m,s]. При цьому \mu s(\tau m,s) = \lambda - 1
m .
Доведення. Нехай \tau \in \Omega m,s, тобто \tau < \lambda - 1
s+2 i \mu s(\tau ) \leq \lambda - 1
m . Зважаючи на те, що функ-
цiя \mu s(\tau ) зростає, приходимо до висновку, що \tau \prime \in \Omega m,s для довiльного \tau \prime < \tau .
Покажемо, що \Omega m,s \subset
\bigl(
0;\lambda - 1
s+3
\bigr)
. Справдi, якщо \tau \in \Omega m,s, то
cs+1(\tau ) = \tau \mu s(\tau ) < \lambda - 1
s+2\lambda
- 1
m \leq 1,
таким чином, s+ 1 \in \Lambda \tau , отже, \tau \in
\bigl(
0;\lambda - 1
s+3
\bigr)
.
Покладемо \tau m,s = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\Omega m,s. Тодi \tau m,s \leq \lambda - 1
s+3 < \lambda - 1
s+2, отже, s \in \Lambda \tau m,s . Оскiльки функцiя
\mu s(\tau ) є неперервною, то \mu s(\tau m,s) \leq \lambda - 1
m . Таким чином, \tau m,s \in \Omega m,s, а отже, \Omega m,s = (0; \tau m,s].
Припустимо, що \mu s(\tau m,s) < \lambda - 1
m . Тодi завдяки неперервностi функцiї \mu s(\tau ) iснує число
\tau \prime \in
\bigl(
\tau m,s;\lambda
- 1
s+2
\bigr)
таке, що \mu s(\tau
\prime ) < \lambda - 1
m . Отже, \tau \prime \in \Omega m,s, але це означає, що \tau \prime \leq \tau m,s, i ми
прийшли до суперечностi. Таким чином, \mu s(\tau m,s) = \lambda - 1
m .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ, ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ . . . 563
Наслiдок 4. Мають мiсце точнi включення
\Omega m\prime ,s \subset \Omega m,s, m\prime > m \geq 3, i \Omega m,s\prime \subset \Omega m,s, s\prime > s \geq 1.
Доведення. Якщо m\prime > m, то \mu s(\tau m\prime ,s) = \lambda - 1
m\prime < \lambda - 1
m = \mu s(\tau m,s), отже, \tau m\prime ,s < \tau m,s.
Для довiльного фiксованого \tau \in
\bigl(
0;\lambda - 1
s\prime +2
\bigr)
послiдовнiсть \mu r = cr+1/\tau , r = 1, 2, . . . , s\prime ,
зростає. Таким чином, якщо s\prime > s, то \mu s(\tau m,s\prime ) < \mu s\prime (\tau m,s\prime ) = \lambda - 1
m = \mu s(\tau m,s), отже, \tau m,s\prime <
< \tau m,s.
5. Критерiї iснування конфiгурацiй, пов’язаних iз графом \bfGamma \bfitm ,\bfits . Наступнi два тверджен-
ня дають повну вiдповiдь для граничних випадкiв (s = 1 або m = 3).
Твердження 2. Для довiльного m \geq 3
\Omega m,1 =
\Biggl(
0;
\sqrt{}
\lambda 2m + 4 - \lambda m
2
\Biggr]
.
Доведення. Згiдно з твердженням 1 потрiбно знайти таке \tau \in
\bigl(
0;\lambda - 1
4
\bigr)
, що \mu 1(\tau ) = \lambda - 1
m :
\mu 1(\tau ) =
\tau
1 - \tau 2
= \lambda - 1
m \leftrightarrow \tau 2 + \lambda m\tau - 1 = 0 \leftrightarrow
\biggl(
\tau +
\lambda m
2
\biggr) 2
- \lambda 2m + 4
4
= 0.
Таким чином, \tau m,1 =
\Bigl( \sqrt{}
\lambda 2m + 4 - \lambda m
\Bigr) \Big/
2.
Наслiдок 5. \Omega \infty ,1 =
\bigl(
0;
\surd
2 - 1
\bigr]
.
Доведення. Достатньо зауважити, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty \tau m,1 =
\surd
2 - 1.
Твердження 3. Для довiльного s \in \BbbN
\Omega 3,s =
\bigl(
0;\lambda - 1
2s+3
\bigr]
.
Доведення. Згiдно з твердженням 1 потрiбно знайти таке \tau \in
\bigl(
0;\lambda - 1
s+3
\bigr)
, що \mu s(\tau ) = 1.
Зауважимо, що
(0; 1/2] = \Omega 3,\infty \subset \Omega 3,s,
отже, шукаємо \tau > 1/2.
За цiєї умови за лемою 3 маємо
\mu s =
cs+1
\tau
=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s+ 1)\theta
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s+ 2)\theta
, \theta \in
\biggl(
0;
\pi
s+ 2
\biggr)
.
Отже, рiвняння \mu s(\tau ) = 1, \tau \in
\bigl(
1/2;\lambda - 1
s+3
\bigr)
, еквiвалентне умовi
0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s+ 2)\theta - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s+ 1)\theta = 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\theta
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
(2s+ 3)\theta
2
, \theta \in
\biggl(
0;
\pi
s+ 3
\biggr)
.
Таким чином, отримуємо \tau 3,s = \lambda - 1
2s+3.
Наступна теорема мiстить алгоритм пiдрахунку \tau m,s для решти випадкiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
564 Н. Д. ПОПОВА, О. В. СТРIЛЕЦЬ
Теорема 3. Для довiльних s,m \in \BbbN , s \geq 2, m \geq 4,
\Omega m,s =
\biggl(
0;
1
u - 1
m,s + um,s
\biggr]
, um,s = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
u(k)m,s,
де послiдовностi uk = u
(k)
m,s задано рекурентними формулами
u1 = \lambda - 1
m , uk+1 = uk -
gm,s(uk)
g\prime m,s(uk)
,
gm,s(u) = u2s+4 - \lambda mu
2s+3 + \lambda mu - 1.
Доведення. 1. За лемою 1 маємо cs = \tau \mu s - 1, отже, \mu s визначаються рекурентно:
\mu 0(\tau ) = \tau , \mu s(\tau ) =
1
\tau - 1 - \mu s - 1(\tau )
.
2. Безпосередньо пiдраховується, що
\mu 2
\biggl(
1
2
\biggr)
=
3
4
>
\surd
2
2
= \lambda - 1
4 ,
отже, за умов s \geq 2 i m \geq 4 маємо вкладення \Omega m,s \subset \Omega 4,2 \subset (0; 1/2) \subset
\bigl(
0;\lambda - 1
s+3
\bigr)
.
3. За iндукцiєю легко показати, що
\mu s
\biggl(
1
2
\biggr)
=
s+ 1
s+ 2
.
Отже, за умов s \geq 2 i m \geq 4
\lambda m \cdot s+ 1
s+ 2
> 1.
4. В подальшому розглядаємо \tau \in (0; 1/2). Функцiя
h(u) =
1
u - 1 + u
зростає на iнтервалi (0; 1) i вiдображає його в iнтервал (0; 1/2). Отже, можна перейти вiд
параметра \tau до параметра u:
\tau (u) =
1
u - 1 + u
, u \in (0; 1).
Покажемо, що
\mu s = \mu s(\tau (u)) =
u - (s+1) - us+1
u - (s+2) - us+2
.
База iндукцiї:
\mu 0 = \tau =
1
u - 1 + u
=
u - 1 - u1
u - 2 - u2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
КРИТЕРIЇ IСНУВАННЯ СИСТЕМ ПIДПРОСТОРIВ, ЩО ПОВ’ЯЗАНI З ПЕВНИМ КЛАСОМ . . . 565
Iндуктивний крок:
\mu s =
1
\tau - 1 - \mu s - 1
=
1
(u - 1 + u) - u - s - us
u - (s+1) - us+1
=
=
u - (s+1) - us+1
(u - 1 + u)(u - (s+1) - us+1) - (u - s - us)
=
u - (s+1) - us+1
u - (s+2) - us+2
.
5. Таким чином, рiвнiсть \mu s(u) = \lambda - 1
m , u \in (0; 1), виконується тодi i тiльки тодi, коли
виконується рiвнiсть gm,s(u) = 0, u \in (0; 1).
Похiдна функцiї gm,s(u)
g\prime m,s(u) = (2s+ 4)u2s+3 - \lambda m(2s+ 3)u2s+2 + \lambda m
на iнтервалi (0; 1) монотонно спадає, оскiльки
g\prime \prime m,s(u) = (2s+ 4)(2s+ 3)u2s+2 - \lambda m(2s+ 3)(2s+ 2)u2s+1 =
= 2(s+ 2)(2s+ 3)u2s+1
\biggl(
u - \lambda m
s+ 1
s+ 2
\biggr)
< 0.
Зважаючи на те, що
gm,s(0) = - 1, g\prime m,s(0) = \lambda m > 0,
gm,s(1) = 0, g\prime m,s(1) = 2(s+ 2)
\biggl(
1 - \lambda m
s+ 1
s+ 2
\biggr)
< 0,
приходимо до висновку, що функцiя gm,s(u) на iнтервалi (0; 1) спочатку монотонно зростає, а
потiм монотонно спадає, прямуючи до 0, отже, вона має єдиний максимум на цьому iнтервалi.
Позначимо його через umax i зауважимо, що gm,s(umax) > 0. Тодi на iнтервалi (0; 1) функцiя
gm,s(u) має єдиний корiнь um,s, i вiн лежить злiва вiд umax. На iнтервалi [0;umax) функ-
цiя gm,s(u) монотонно зростає, отже, можемо застосувати алгоритм Ньютона для знаходження
кореня um,s :
um,s = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
uk, uk+1 = uk -
gm,s(uk)
g\prime m,s(uk)
,
при цьому в якостi u0 можна взяти довiльну точку iнтервалу [0;umax). Покладемо u0 = 0,
тодi u1 = \lambda - 1
m , що завершує доведення теореми.
Лiтература
1. Ю. С. Самойленко, А. В. Стрелец, О простых n-ках подпространств гильбертова пространства, Укр. мат.
журн., 61, № 12, 1668 – 1703 (2009).
2. М. А. Власенко, Н. Д. Попова, О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с фиксирован-
ными углами между ними, Укр. мат. журн., 56, № 5, 606 – 615 (2004).
3. H. Wenzl, On sequences of projections, C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., 9, № 1, 5 – 9 (1987).
4. N. D. Popova, On finite-dimensional representations of one algebra of Temperley – Lieb type, Methods Funct. Anal.
and Topology, 7, № 3, 80 – 92 (2001).
5. Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець, Про системи пiдпросторiв гiльбертового простору, що пов’язанi з унiциклiчним
графом, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 1, № 1, 166 – 177 (2015).
Одержано 02.11.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-6354 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:11Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/69/eba8aae3b07afa9a58abccce6c7c0269.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63542025-03-31T08:48:15Z Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs Критерії існування систем підпросторів, що пов'язані з певним класом уніциклічних графів Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрелец, Александр Попова, Н. Д. Стрілець, О. В. . UDC 512.552.4We study the configurations of subspaces of a Hilbert space associated with a unicyclic graph, which is a cycle of length $m\geqslant 3$ and has, at each vertex of the cycle, a chains of length $s\geqslant 1$ glued to the vertex. There is a one-to-one correspondence between the vertices and subspaces. If an edge connects two vertices, then the angle between subspaces is equal to $\psi\in(0;\pi/2),$ otherwise the subspaces are orthogonal. Applying the theorem on reduction of unicyclic graph, we prove that nonzero configurations exist if and only if $\cos\psi\in(0;\tau_{m,s}].$ We obtain formulas for $\tau_{m,s}$ and show that~$\bigcap\limits_{m,s}(0;\tau_{m,s}] = (0;2/5].$ В работе исследуются конфигурации подпространств гильбертова&nbsp;пространства связанные з уницикличным графом, который является циклом&nbsp;дины~$m\geqslant3$, к каждой вершине которого присоединены цепочки&nbsp;длины~$s\geqslant1$. Вершинам графа соответствуют&nbsp;подпространства. Если вершины соединены ребром, то угол между&nbsp;подпространствами равен~$\psi\in(0;\pi/2)$, иначе подпространства&nbsp;ортогональны. С помощью теоремы о редукции уницикличного графа&nbsp;доказано, что такие ненулевые конфигурации существуют тогда и только&nbsp;тогда, когда~$\cos\psi\in(0;\tau_{m,s}]$, получены формулы для&nbsp;подсчета~$\tau_{m,s}$, показано,&nbsp;что~$\bigcap\limits_{m,s}(0;\tau_{m,s}]=(0;2/5].$ УДК 512.552.4 Досліджуються конфігурації підпросторів гільбертового простору, пов'язані з уніциклічним графом, що є циклом довжини $m\geqslant3,$ до кожної вершини якого приєднано ланцюги довжини $s\geqslant1.$ Вершинам графа відповідають підпростори. Якщо вершини поєднані ребром, то кут між підпросторами дорівнює деякому числу $\psi$ з інтервалу $(0;\pi/2),$ інакше підпросториортогональні. За допомогою теореми про редукцію уніциклічного графа доведено, що такі ненульові конфігурації існують тоді і тільки тоді, коли $\cos\psi\in(0;\tau_{m,s}].$ Отримано формули дляпідрахунку $\tau_{m,s}$ і показано, що $\bigcap\limits_{m,s}(0;\tau_{m,s}] = (0;2/5].$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-04-21 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6354 10.37863/umzh.v73i4.6354 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 4 (2021); 556 - 565 Український математичний журнал; Том 73 № 4 (2021); 556 - 565 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6354/9008 Copyright (c) 2021 Олександр Стрілець, Наталія Попова |
| spellingShingle | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрелец, Александр Попова, Н. Д. Стрілець, О. В. Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title_alt | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs Критерії існування систем підпросторів, що пов'язані з певним класом уніциклічних графів |
| title_full | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title_fullStr | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title_full_unstemmed | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title_short | Criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| title_sort | criteria for the existence of systems of subspaces related to a certain class of unicyclic graphs |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6354 |
| work_keys_str_mv | AT popovand criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT striletsov criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT popovand criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT strelecaleksandr criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT popovand criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT strílecʹov criteriafortheexistenceofsystemsofsubspacesrelatedtoacertainclassofunicyclicgraphs AT popovand kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív AT striletsov kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív AT popovand kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív AT strelecaleksandr kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív AT popovand kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív AT strílecʹov kriterííísnuvannâsistempídprostorívŝopov039âzanízpevnimklasomuníciklíčnihgrafív |