Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations
UDC 517.9 In this paper, we discusses various definitions and properties of the derivative of a set-valued mapping. Also, we consider a linear set-valued differential equation and investigate the problem of existence of solutions of this equation with Hukuhara derivative, PS-derivative and BG-deriva...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6356 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512343967924224 |
|---|---|
| author | Komleva, T. A. Plotnikov, A. B. Plotnikova, L. I. Skripnik, N. V. Комлева, Т. A. Плотников, А. В. Плотникова, Лилия Скрипник, Н. В. Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. Плотнікова, Л. І. Скрипник , Н. В. |
| author_facet | Komleva, T. A. Plotnikov, A. B. Plotnikova, L. I. Skripnik, N. V. Комлева, Т. A. Плотников, А. В. Плотникова, Лилия Скрипник, Н. В. Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. Плотнікова, Л. І. Скрипник , Н. В. |
| author_sort | Komleva, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:07Z |
| description | UDC 517.9
In this paper, we discusses various definitions and properties of the derivative of a set-valued mapping. Also, we consider a linear set-valued differential equation and investigate the problem of existence of solutions of this equation with Hukuhara derivative, PS-derivative and BG-derivative. The obtained results are illustrated with model examples. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i5.6356 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i5.6356
УДК 517.9
Т. О. Комлєва, А. В. Плотнiков (Одес. держ. акад. буд-ва та архiтектури),
Л. I. Плотнiкова (Одес. нац. полiтех. ун-т),
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова)
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
In this paper, we discusses various definitions and properties of the derivative of a set-valued mapping. Also, we consider a
linear set-valued differential equation and investigate the problem of existence of solutions of this equation with Hukuhara
derivative, PS-derivative and BG-derivative. The obtained results are illustrated with model examples.
Розглянуто рiзнi означення похiдної множиннозначного вiдображення та їхнi властивостi. Вивчається лiнiйне мно-
жиннозначне диференцiальне рiвняння та дослiджується iснування розв’язкiв цього рiвняння з похiдною Хукухари,
PS-похiдною та BG-похiдною. Отриманi результати проiлюстровано на модельних прикладах.
1. Вступ. У 1969 р. F. S. de Blasi та F. Iervolino розглянули множиннозначнi диференцiальнi
рiвняння з похiдною Хукухари [1]. У подальшому множиннозначнi диференцiальнi, iнтегральнi
та дискретнi рiвняння i включення стали важливою частиною теорiї множиннозначного аналiзу
i вивчались у багатьох роботах (див. [2 – 9] та наведену в них бiблiографiю).
У цiй статтi ми спочатку розглянемо деякi означення похiдної множиннозначного вiдобра-
ження (похiдної Хукухари [10], PS-похiдної [12, 13] i BG-похiдної [14 – 18]) та деякi їхнi вла-
стивостi. Потiм дослiдимо лiнiйнi множиннозначнi диференцiальнi рiвняння з цими похiдними
та отримаємо умови iснування розв’язкiв цих рiвнянь.
2. Основнi означення i позначення. Нехай \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) — простiр непорожнiх опуклих ком-
пактних пiдмножин простору \BbbR n з метрикою Гаусдорфа
h(A,B) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r \geq 0 : A \subset B +Br(\bfzero ), B \subset A+Br(\bfzero )\} ,
де A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n), Br(\bfc ) = \{ x \in \BbbR n : \| x - c\| \leq r\} — куля радiуса r > 0 з центром у c \in \BbbR n.
Крiм звичайних теоретико-множинних операцiй розглянемо у просторi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) ще двi
операцiї: суму Мiнковського множин A + B = \{ a + b : a \in A, b \in B\} i добуток скаляра на
множину \lambda A = \{ \lambda a : a \in A, \lambda \in \BbbR 1\} .
Цi операцiї задовольняють такi властивостi [5 – 7, 19]:
1) A+ \{ \bfzero \} = A;
2) A+B = B +A;
3) 1A = A, 0A = \{ \bfzero \} ;
4) (\lambda + \mu )A = \lambda A+ \mu A;
5) \beta (A+B) = \beta A+ \beta B;
6) h(A+ C,B + C) = h(A,B);
7) h(\beta A, \beta B) = | \beta | h(A,B);
8) h(\beta A, \gamma A) \leq | \beta - \gamma | h(A, \{ \bfzero \} )
c\bigcirc Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5 651
652 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
для всiх A,B,C \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n), \lambda , \mu \in \BbbR 1
+ i \beta , \gamma \in \BbbR 1, де \{ \bfzero \} — нульова множина, що мiстить
лише нульовий вектор \bfzero = (0, . . . , 0)T \in \BbbR n.
Як вiдомо [19], метричний простiр (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n), h) є повним метричним простором. Однак
простiр \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) не є лiнiйним простором щодо наведених операцiй, тому що в загальному
випадку не можна ввести поняття протилежного елемента для A \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) [2, 5 – 7, 19].
Елемент ( - 1)A, очевидно, таким не є, тому що в загальному випадку A+ ( - 1)A \not = \{ \bfzero \} , хоча
якщо A = \{ a\} , a \in \BbbR n, то ( - 1)A = \{ - a\} — протилежний елемент. Вiдсутнiсть протилежного
елемента в просторi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) призводить до неоднозначного введення поняття рiзницi множин
i умов її iснування. Як наслiдок запропоновано альтернативнi означення рiзницi [10, 19, 21, 23],
але кожна з них має свої як позитивнi, так i негативнi властивостi.
У данiй статтi ми будемо використовувати рiзницю Хукухари [10], яка є окремим випадком
рiзницi Мiнковського [11].
Означення 1 [19]. Нехай A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n). Максимальна множина C \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) така,
що B + C \subseteq A, називається рiзницею Мiнковського множин A i B та позначається A \ast B,
тобто C = \{ c \in \BbbR n : c+B \subseteq A\} .
Наприклад, якщо A = \{ a \in \BbbR 2 : | ai| \leq 3, i = 1, 2\} — квадрат зi стороною, яка дорiвнює 6,
B = \{ b \in \BbbR 2 : \| b\| \leq 1\} — одиничний круг, то A \ast B = C = \{ c \in \BbbR 2 : | ci| \leq 2, i = 1, 2\} —
квадрат зi стороною, яка дорiвнює 4. Зазначимо, що B + C \subset A, але B + C \not = A.
Рiзниця Мiнковського задовольняє такi властивостi [19]:
1) A \ast A = \{ \bfzero \} для всiх A \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n);
2) якщо A \ast B iснує, то (A \ast B) +B \subseteq A;
3) якщо A \ast B iснує, то (\lambda A) \ast B = (\lambda B) = \lambda (A \ast B);
4) якщо A \ast (B + C) iснує, то A \ast (B + C) = A \ast B \ast C = A \ast C \ast B.
Зауваження 1. Якщо рiзниця Мiнковського A \ast B iснує i виконується рiвнiсть (A \ast B) +
+B = A, то говорять, що множина B повнiстю вимiтає множину A [19].
Зрозумiло, що рiзниця Мiнковського не завжди iснує. Але якщо для множин A i B рiзниця
Мiнковського A \ast B iснує, то виконується така нерiвнiсть для дiаметрiв множин A i B :
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A) \geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(B),
де \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\| \psi \| =1
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}a\in A\langle a, \psi \rangle +\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}a\in A\langle a, - \psi \rangle
\bigr)
, \langle a, \psi \rangle — скалярний добуток векторiв
a, \psi \in \BbbR n.
Очевидно, що в деяких випадках для рiзницi Мiнковського C = A \ast B може виконуватись
умова B + C = A. Наприклад, якщо A =
\bigl\{
a \in \BbbR 2 : \| a\| \leq 3
\bigr\}
, B =
\bigl\{
b \in \BbbR 2 : \| b\| \leq 1
\bigr\}
, то
A \ast B = C =
\bigl\{
c \in \BbbR 2 : \| c\| \leq 2
\bigr\}
та, очевидно, що B + C = A.
Означення 2 [10]. Нехай A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n). Множина C \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) така, що A = B+C,
називається рiзницею Хукухари множин A i B та позначається A H B.
Зауваження 2. Рiзниця Хукухари є окремим випадком рiзницi Мiнковського, коли B пов-
нiстю вимiтає множину A [5 – 7, 19].
Наведемо деякi властивостi рiзницi Хукухари [2, 5 – 7, 19]:
1) якщо рiзниця Хукухари A H B двох множин A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) iснує, то вона єдина;
2) A H A = \{ \bfzero \} для всiх A \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n);
3) (A+B) H B = A для всiх A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n);
4) якщо рiзниця Хукухари A H B двох множин A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) iснує, то знайдеться таке
\alpha 0 \geq 1, що для всiх \alpha \in (0, \alpha 0] буде iснувати рiзниця Хукухари A H \alpha B;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 653
5) якщо рiзниця Хукухари A H (B + C) iснує, то рiзницi Хукухари A H B та A H C
також iснують i A H (B + C) = A H B H C = A H C H B;
6) якщо рiзницi Хукухари A H B та A H C iснують, то знайдеться таке \alpha > 0, що рiзниця
Хукухари A H \alpha (B + C) iснує;
7) якщо множини A i B є центрально-симетричними (центрально-симетричнiсть розу-
мiється у сенсi [34]) i рiзниця Хукухари A H B iснує, то рiзницi Хукухари A H ( - 1)A,
B H ( - 1)B, ( - 1)A H B, A H ( - 1)B i ( - 1)A H ( - 1)B iснують;
8) якщо множини A i B не є центрально-симетричними i рiзниця Хукухари A H B iснує,
то рiзниця Хукухари ( - 1)A H ( - 1)B iснує, а рiзницi Хукухари A H ( - 1)A, B H ( - 1)B,
( - 1)A H B, A H ( - 1)B не iснують.
Зауваження 3. Очевидно, що:
1) якщо рiзниця Хукухари A H B iснує та одна з множин центрально-симетрична, то друга
множина також є центрально-симетричною;
2) якщо рiзниця Хукухари A H B iснує та одна з множин не є центрально-симетричною,
то друга множина також не є центрально-симетричною.
Бiльш детально властивостi рiзницi Хукухари розглянуто в [2, 5 – 7, 12, 19].
Означення 3 [10]. Множиннозначне вiдображення X(\cdot ) : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) має похiдну
Хукухари (H-похiдну) в точцi t \in (0, T ), якщо для всiх достатньо малих \Delta > 0 iснують
вiдповiднi H-рiзницi i множина DHX(t) \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta \rightarrow 0+
\Delta - 1(X(t+\Delta ) H X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta \rightarrow 0+
\Delta - 1(X(t) H X(t - \Delta )) = DHX(t).
Зауваження 4. Властивостi похiдної Хукухари докладнiше розглянуто в [5 – 7, 12, 19].
Теорема 1 [10]. Якщо вiдображення X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) є H-диференцiйовним на [0, T ],
то X(t) = X(0) +
\int t
0
DHX(s)ds, де iнтеграл розумiється у сенсi [10].
Наслiдок 1. Якщо вiдображення X(\cdot ) є H-диференцiйовним на [0, T ], то функцiя
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(\cdot )) є неспадною на [0, T ].
Зауваження 5. Обернене твердження не є правильним. Наприклад, нехай X : [0, 1] \rightarrow
\rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) таке, що X(t) = A(t)Ct(\bfzero ), де A(t) =
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t) - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(t)
\biggr)
— матриця обертання,
Ct(\bfzero ) =
\bigl\{
x \in \BbbR 2 : | xi| \leq t, i = 1, 2
\bigr\}
— квадрат зi стороною 2t. Очевидно, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) =
= 2
\surd
2t. Однак вiдображення X(\cdot ) не є H-диференцiйовним на [0, 1].
Наслiдок 2. Якщо функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(\cdot )) є спадною на [0, T ], то вiдображення X(\cdot ) не є
H-диференцiйовним на [0, T ].
Для подолання цих недолiкiв похiдної Хукухари було введено iншi типи похiдних для
множиннозначних вiдображень (Huygens-похiдна [20], \pi -похiдна [21, 22], T-похiдна [23]). Їхнi
властивостi вивчались у статтях [5, 7, 24 – 27]. Однак диференцiальнi рiвняння з похiдними
таких типiв виявилися дуже складними навiть на етапi формулювання [5 – 7, 23 – 27].
Пiзнiше А. В. Плотнiков i Н. В. Скрипник використали пiдходи, якi були запропонованi в
[23] для означення T -похiдної, i ввели нове означення похiдної.
Означення 4 [12, 13]. Нехай X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n). Будемо казати, що X(\cdot ) має PS-
похiдну DpsX(t) \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) у точцi t \in (0, T ), якщо для всiх достатньо малих \Delta > 0
вiдповiднi H-рiзницi iснують i виконується щонайменше одна з таких рiвностей:
1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t+\Delta ) H X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t - \Delta )) = DpsX(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
654 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t+\Delta )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t - \Delta ) H X(t)) = DpsX(t),
3) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t+\Delta ) H X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t - \Delta ) H X(t)) = DpsX(t),
4) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t+\Delta )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t - \Delta )) = DpsX(t).
Властивостi цiєї похiдної було отримано в [12, 13, 35 – 37].
Пiзнiше M. T. Malinowski [15, 16], H. Vu i L. S. Dong [17], H. Vu i N. V. Hoa [18], N. V. Hoa i
N. D. Phu [28], N. D. Phu i N. N. Hung [29], Ş. E. Amrahov, A. Khastan, N. Gasilov i A. G. Fatullayev
[14] адаптували концепцiю Bede – Gal-похiдної [30 – 32] для вiдображень з iнтервальними зна-
ченнями на множиннозначнi вiдображення X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) i отримали її властивостi
[14, 18].
Означення 5 [14, 17]. Нехай X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n). Будемо казати, що X(\cdot ) має BG-
похiдну DbgX(t) \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) у точцi t \in (0, T ), якщо для всiх достатньо малих \Delta > 0
вiдповiднi H-рiзницi iснують i виконується щонайменше одна з таких рiвностей:
1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t+\Delta ) H X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t - \Delta )) = DbgX(t),
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0( - \Delta ) - 1(X(t) H X(t+\Delta )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0( - \Delta ) - 1(X(t - \Delta ) H X(t)) = DbgX(t),
3) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t+\Delta ) H X(t)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0( - \Delta ) - 1(X(t - \Delta ) H X(t)) = DbgX(t),
4) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0( - \Delta ) - 1(X(t) H X(t+\Delta )) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\Delta \rightarrow 0\Delta
- 1(X(t) H X(t - \Delta )) = DbgX(t).
Зауваження 6. У статтях [15, 16] розглянуто множиннозначнi вiдображення, що задоволь-
няють умову 4 означення 5, i названо цю похiдну похiдною Хукухари другого типу.
Далi наведемо деякi властивостi цих похiдних.
Зауваження 7. Якщо множиннозначне вiдображення X(\cdot ) H-диференцiйовне на [0, T ], то
воно BG-диференцiйовне на [0, T ] i PS-диференцiйовне на [0, T ], а також DHX(t) = DpsX(t) =
= DbgX(t).
Зауваження 8. Iснують множиннозначнi вiдображення, якi BG-диференцiйовнi i PS-дифе-
ренцiйовнi, але не H-диференцiйовнi.
Приклад 1. Множиннозначне вiдображення X(t) = B| t| (\bfzero ) є PS-диференцiйовним на \BbbR 1
та BG-диференцiйовним на \BbbR 1 i DpsX(t) \equiv DbgX(t) \equiv B1(\bfzero ). Але множиннозначне вiдобра-
ження X(\cdot ) є H-диференцiйовним лише на iнтервалi (0,+\infty ) i DHX(t) \equiv B1(\bfzero ). На iнтер-
валi ( - \infty , 0) множиннозначне вiдображення X(\cdot ) не є H-диференцiйовним, оскiльки функцiя
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(\cdot )) є спадною на цьому промiжку.
Теорема 2 [13]. Якщо множиннозначне вiдображення X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) є PS-диферен-
цiйовним на [0, T ], то для всiх t \in [0, T ]:
1) якщо функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) є неспадною на [0, T ], то
X(t) = X(0) +
t\int
0
DpsX(s)ds;
2) якщо функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) є спадною на [0, T ], то
X(t) = X(0) H
t\int
0
DpsX(s)ds.
Теорема 3 [14]. Якщо множиннозначне вiдображення X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) є BG-диферен-
цiйовним на [0, T ], то для всiх t \in [0, T ]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 655
2
0,5 1 01,5
x1
t
0
0
0,5
1,5
2,5
3,5
1
2
x2
3
Рис. 1. Графiк множиннозначного вiдображення X(t),
t \in [0, 2].
1) якщо функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) є неспадною на [0, T ], то
X(t) = X(0) +
t\int
0
DbgX(s)ds;
2) якщо функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) є спадною на [0, T ], то
X(t) = X(0) H ( - 1)
t\int
0
DbgX(s)ds.
Зауваження 9. Iснують множиннозначнi вiдображення X(\cdot ) такi, що DbgX(t) \not = DpsX(t)
для всiх t.
Приклад 2. Нехай X : [0, 2] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) i X(t) = B| 1 - t| (g(t)), де g(t) = (t+ 1, t+ 1)T .
Очевидно, що на промiжку [0, 1] функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) = 2 - 2t є спадною, а на промiжку
[1, 2] функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) = 2t - 2 — зростаючою (рис. 1).
Множиннозначне вiдображення X(\cdot ) є BG-диференцiйовним на промiжку (0, 2) i DbgX(t) \equiv
\equiv B1(a), де a = (1, 1)T . Очевидно, що множиннозначне вiдображення DbgX(t) є непе-
рервним на промiжку (0, 2) (див. рис. 2, а). Але множиннозначне вiдображення X(\cdot ) є PS-
диференцiйовним на промiжку (0, 1) i DpsX(t) \equiv B1(b) \not = DbgX(t), де b = ( - 1, - 1)T , а також
на промiжку (1, 2) i DpsX(t) \equiv B1(a) = DbgX(t). Тобто PS-похiдна DpsX(t) не iснує в точцi
t = 1 (рис. 2, б).
Приклад 3. Нехай X : [0, 2] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) таке, що
X(t) =
\left\{
\bigl\{
x \in \BbbR 2 : x21 + x22 \leq t, x2 \geq 0
\bigr\}
, t \in [0, 1],\bigl\{
x \in \BbbR 2 : x21 + x22 \leq 2 - t, x2 \geq 0
\bigr\}
, t \in (1, 2].
Очевидно, що на промiжку [0, 1] функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) = 2t є зростаючою, а на промiжку
[1, 2] функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) = 4 - 2t — спадною (рис. 3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
656 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
–2
–1
0
0
1
x2
0
0,5 1 –21,5
x1
t
0
–2
–1
0
1
x2
0
1 –2
x1
t0,5 1,5
а б
Рис. 2. Графiки множиннозначних вiдображень DbgX(t) (a) i DpsX(t) (б), t \in [0, 2].
0,2
–0,2
0
0,4
0,6
0,8
0
x2
0
–2
–1
1
0,5 1
1,5
x1
t
Рис. 3. Графiк множиннозначного вiдображення X(t),
t \in [0, 2].
Множиннозначне вiдображення X(\cdot ) є PS-диференцiйовним на промiжку (0, 2) i DpsX(t) \equiv
\equiv \{ x \in R2 : x21 + x22 \leq 1, x2 \geq 0\} . Очевидно, що множиннозначне вiдображення DpsX(t) є
неперервним на промiжку (0, 2) (рис. 4, а).
Але множиннозначне вiдображення X(\cdot ) є BG-диференцiйовним на (0, 1) i DbgX(t) \equiv
\equiv DpsX(t), а також BG-диференцiйовним на промiжку (1, 2) i DbgX(t) \equiv ( - 1)DpsX(t).
Тобто BG-похiдна DbgX(t) не iснує в точцi t = 1 (рис. 4, б).
3. Лiнiйнi множиннозначнi диференцiальнi рiвняння. Розглянемо лiнiйне множиннознач-
не диференцiальне рiвняння
DX(t) = aX(t) + F, X(0) = X0, (1)
де a \in \BbbR 1, F \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n), X : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR n) — множиннозначне вiдображення; DX(t) є
однiєю з розглянутих ранiше похiдних
\bigl(
DHX(t), DpsX(t), DbgX(t)
\bigr)
.
Зауваження 10. У статтi [12] розглянуто систему (1) для випадку, коли F \equiv \{ \bfzero \} .
Означення 6. Множиннозначне вiдображення X(\cdot ) називається розв’язком системи (1)
на промiжку [0, T ], якщо воно неперервно диференцiйовне i задовольняє систему (1) на [0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 657
–1
–0,5
0,5
0
x2
00 0,5 1,51 –2
x1
t
x2
–1
–0,5
0,5
0
0
0 –21
x1
t0,5 1,5
а б
Рис. 4. Графiки множиннозначних вiдображень DpsX(t) (a) i DbgX(t) (б), t \in [0, 2].
Як вiдомо, лiнiйне диференцiальне рiвняння з похiдною Хукухари
DHX(t) = aX(t) + F, X(0) = X0, (2)
має єдиний розв’язок на промiжку [0, T ], який є також розв’язком iнтегрального рiвняння [5, 6]
X(t) = X0 + a
t\int
0
X(s)ds+ tF. (3)
Звiдси видно, що:
1) початкова множина X0 i множина F визначають геометричну форму поперечного пе-
рерiзу розв’язку X(t) в кожен момент часу t \in [0, T ], тобто X(t) = \alpha (t)X0 + \beta (t)F, де \alpha , \beta :
[0, T ] \rightarrow \BbbR 1
+ — деякi неперервнi функцiї;
2) функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)) є неспадною на [0, T ].
Зауваження 11 [5]. Якщо a > 0, то X(t) = eatX0 +
eat - 1
a
F для всiх t \in [0, T ], тобто
\alpha (t) = eat i \beta (t) =
eat - 1
a
.
Приклад 4. Нехай n = 2, a = 1, X0 — трикутник iз вершинами ( - 1, 0)T , (0, 1)T , (1, 0)T ,
F =
\bigl\{
f \in \BbbR 2 : | f1| \leq 0,5, | f2| \leq 1
\bigr\}
— прямокутник зi сторонами, якi дорiвнюють 1 i 2, T = 1.
Тодi розв’язок X(t) вiдповiдної системи (2) на промiжку [0, 1] має вигляд X(t) = etX0 +
+ (et - 1)F для всiх t \in [0, T ]. Отже, при t = 0 множина X(0) збiгається з трикутником X0, а
в кожен момент часу t \in (0, 1] множина X(t) дорiвнює сумi трикутника X0 i прямокутника F
з коефiцiєнтами \alpha (t) = et i \beta (t) = et - 1 i має вигляд, зображений на рис. 5.
Зауваження 12 [33]. Система (2) може не бути еквiвалентною системi iнтервальнозначних
диференцiальних рiвнянь з похiдною Хукухари
DHX1(t) = aX1(t) + F1, X1(0) = X01,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DHXn(t) = aXn(t) + Fn, Xn(0) = X0n,
(4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
658 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
–2
–1
0
1
2
3
x2
200 0,2 –20,4 0,6 0,8 –4
x1
t
Рис. 5. Розв’язок X(t) диференцiального рiвняння (2)
з похiдною Хукухари на промiжку [0, 1].
де Xi : [0, T ] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 1) — iнтервальнозначне вiдображення, X0i — проєкцiя множини X0 на
вiсь Oxi, Fi — проєкцiя множини F на вiсь Oxi, i = 1, n.
Якщо X(\cdot ) — розв’язок системи (2) i Xi(\cdot ), i = 1, n, — розв’язки системи (4), то X(t) \subset
\subset X1(t)\times . . .\times Xn(t) для всiх t \in [0, T ].
Якщо X0 = X01 \times . . .\times X0n i F = F1 \times . . .\times Fn, то система (2) еквiвалентна системi (4).
Продемоструємо це на такому прикладi.
Приклад 5. Нехай n = 2, a = 1, F = \{ \bfzero \} , X0 = B1(\bfzero ). Тодi системи (2) i (4) мають вигляд
DHX(t) = X(t), X(0) = B1(\bfzero ), t \in [0, 2], (5)
i
DHX1(t) = X1(t), X1(0) = X01 = [ - 1, 1],
DHX2(t) = X2(t), X2(0) = X02 = [ - 1, 1],
(6)
де X : [0, 2] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) — множиннозначне вiдображення, Xi : [0, 2] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 1) — iнтерваль-
нозначне вiдображення, X0i — проєкцiя множини X0 на вiсь Oxi, i = 1, 2.
Множиннозначне вiдображення X(t) = Bet(\bfzero ) є розв’язком системи (5). Iнтервальнозначнi
вiдображення Xi(t) = [ - et, et], i = 1, 2, є розв’язками системи (6). Очевидно, що X(t) \subset
\subset X1(t)\times X2(t) для всiх t \in [0, 2] (рис. 6).
Але якщо початкова множина X(0) =
\bigl\{
x \in R2 : | xi| \leq 1, i = 1, 2
\bigr\}
є квадратом, то
X0 \equiv X01 \times X02 i X(t) \equiv X1(t) \times X2(t) для всiх t \in [0, 2], тобто розв’язки систем (5) i (6)
будуть збiгатися мiж собою (рис. 7).
Тепер розглянемо лiнiйне диференцiальне рiвняння (1) iз PS- i BG-похiдною. Як вiдомо з
[13, 14, 35 – 37], цi диференцiальнi рiвняння мають принаймнi один розв’язок. Бiльш того, один
iз цих розв’язкiв (дiаметр якого є функцiєю, що не спадає) збiгається з розв’язком вiдповiдного
диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари (2).
Проiлюструємо це на такому прикладi.
Приклад 6. Нехай
DX(t) = X(t) +B1(\bfzero ), X(0) = B1(\bfzero ), t \in [0, 1], (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 659
–6
–8
–4
–2
0
2
0
4
6
x2
0 5
–10 –5
0,5 1 1,5
x1
t
Рис. 6. Розв’язки систем (5) i (6) у випадку X(t) \subset
\subset X1(t)\times X2(t), t \in [0, 2]. Графiк X1(t)\times X2(t)
зображено штрихом.
–6
–8
–4
–2
0
2
6
4
x2
0 50,5 –5–10
1 1,5
x1
t
Рис. 7. Розв’язки систем (5) i (6) у випадку X0 \equiv X01\times X02.
де X : [0, 1] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) — множиннозначне вiдображення, DX(t) — одна з похiдних\bigl(
DHX(t), DpsX(t), Dbg(t)
\bigr)
.
Множиннозначне вiдображення X(t) = B2et - 1(\bfzero ) є розв’язком диференцiального рiвнян-
ня (7) iз похiдною Хукухари (рис. 8).
Множиннозначнi вiдображення X1(t) = B2et - 1(\bfzero ) i X2(t) = B2e - t - 1(\bfzero ) є розв’язками
диференцiального рiвняння (7) iз PS- i BG-похiдною (рис. 9, 10).
У цьому випадку розв’язки диференцiального рiвняння з PS-похiдною будуть також розв’яз-
ками диференцiального рiвняння з BG-похiдною i навпаки. Для першого розв’язку X1(\cdot )
функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X1(t)) є неспадною на промiжку [0, 1]. Для другого розв’язку X2(\cdot ) функцiя
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X2(t)) є спадною на промiжку [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)]. Також зазначимо, що перший розв’язок X1(\cdot )
можна продовжити на промiжок [0,+\infty ), а другий розв’язок X2(\cdot ) iснує лише на промiжку
[0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)]. Очевидно, що перший розв’язок X1(\cdot ) є розв’язком диференцiального рiвняння з
похiдною Хукухари, тобто X(t) = X1(t) для всiх t \in [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
660 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
–4
–2
0
2
4
x2
00 0,2 0,4 0,6 0,8 –5
x1
t
Рис. 8. Розв’язок X(t) диференцiального рiвняння
(7) iз похiдною Хукухари на промiжку [0, 1].
–4
–2
0
2
4
x2
00 0,2 0,4 0,6 0,8 –5
x1
t
Рис. 9. Перший базовий розв’язок X1(t) диферен-
цiального рiвняння (7) iз PS- i BG-похiдною
на промiжку [0, 1].
–1
0
0,5
–0,5
x2
0
–10 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
x1
t
Рис. 10. Другий базовий розв’язок X2(t) диференцi-
ального рiвняння (7) з PS- i BG-похiдною на
промiжку [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 661
–3
0
–2
–1
0
1
2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 –5
x1
x2
t
Рис. 11. Мiшаний розв’язок Y1(t) диференцiального
рiвняння (7) iз PS- i BG-похiдною на промiжку
[0, 1].
–3
0
–2
–1
0
1
2
x2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 –2
x1
t
Рис. 12. Мiшаний розв’язок Y2(t) диференцiального
рiвняння (7) iз PS- i BG-похiдною на промiж-
ку [0, 1].
Розв’язки X1(\cdot ) i X2(\cdot ) називаються базовими розв’язками. Розв’язок X1(\cdot ) називається
першим базовим розв’язком, а розв’язок X2(\cdot ) — другим базовим розв’язком.
Також зазначимо, що множиннозначнi вiдображення
Y1(t) =
\left\{ B2et - 1(\bfzero ), t \in [0; 0,5],
B2e1 - t - 1(\bfzero ), t \in [0,5; 1],
Y2(t) =
\left\{ B2e - t - 1(\bfzero ), t \in [0; 0,5],
B2et - 1 - 1(\bfzero ), t \in [0,5; 1],
також будуть розв’язками диференцiального рiвняння (7) iз PS- i BG-похiдною (рис. 11, 12).
Очевидно, що такi розв’язки легко побудувати завдяки базовим розв’язкам, i для даної сис-
теми таких розв’язкiв буде безлiч. Такi розв’язки Y (\cdot ) називаються мiшаними розв’язками, i
функцiя \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(Y (\cdot )) не є монотонно спадною або монотонно зростаючою на всьому розгляну-
тому iнтервалi (або на iнтервалi, на якому вони iснують).
Зазначимо також, що форма поперечного перерiзу розв’язкiв вiдповiдає формi початкової
множини X0 i множини F.
Також зауважимо, що в попередньому прикладi розв’язки для лiнiйних диференцiальних
рiвнянь iз PS- та BG-похiдною збiгалися мiж собою, тому що початкова множина X0 i множина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
662 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
0
0
0,5
1
1,5
2
x2
1
0,1 0,2
0
0,3 0,4 0,5 –10,6
x1
t
Рис. 13. Другий базовий розв’язок Xps
2 (t) диференцiаль-
ного рiвняння (8) iз PS-похiдною на промiжку
[0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
0
0
1
0,5
1,5
2
x2
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 t
0
1
–1
x1
Рис. 14. Другий базовий розв’язок Xbg
2 (t) диференцiального рiв-
няння (9) iз BG-похiдною на промiжку [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
F є центрально-симетричними i X0 = ( - 1)X0, F = ( - 1)F. Однак в iнших випадках другi
базовi розв’язки можуть бути рiзними, якщо ця умова не виконується.
Приклад 7. Нехай
DpsX(t) = X(t) +B1(\bfone ), X(0) = B1(\bfzero ), t \in [0, 1], (8)
DbgX(t) = X(t) +B1(\bfone ), X(0) = B1(\bfzero ), t \in [0, 1], (9)
де B1(\bfone ) =
\bigl\{
b \in R2 : (b1 - 1)2 + (b2 - 1)2 \leq 1
\bigr\}
.
Очевидно, що B1(\bfone ) \not = ( - 1)B1(\bfone ), i тому другi базовi розв’язки цих рiвнянь будуть задо-
вольняти рiзнi вiдповiднi iнтегральнi рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 663
–4
–2
0
2
4
x2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 –5t 0
x1
Рис. 15. Розв’язок X(t) диференцiального рiвняння (10) iз похi-
дною Хукухари на промiжку [0, 1].
Xps
2 (t) = B1(\bfzero )
H
t\int
0
Xps
2 (s)ds H tB1(\bfone ),
Xbg
2 (t) = B1(\bfzero )
H ( - 1)
t\int
0
Xbg
2 (s)ds H ( - 1)tB1(\bfone ),
а отже, вони будуть рiзними (рис. 13, 14). Також диференцiальнi рiвняння (8) i (9) будуть мати
рiзнi мiшанi розв’язки.
Варто зауважити, що другий базовий розв’язок для таких рiвнянь може не iснувати.
Приклад 8. Нехай
DX(t) = X(t) + C1(\bfzero ), X(0) = B1(\bfzero ), t \in [0, 1], (10)
де C1(\bfzero ) =
\bigl\{
v \in \BbbR 2 : | vi| \leq 1, i = 1, 2
\bigr\}
— квадрат, X : [0, 1] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) — множиннозначне
вiдображення, DX(t) — вiдповiдна похiдна
\bigl(
DHX(t), DpsX(t), Dbg(t)
\bigr)
.
Множиннозначне вiдображення X(t) = Bet(\bfzero ) + Cet - 1(\bfzero ) є розв’язком диференцiального
рiвняння (10) iз похiдною Хукухари (рис. 15).
Це диференцiальне рiвняння з BG- i PS-похiдною має лише перший базовий розв’язок, який
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари.
Других базових розв’язкiв для цих рiвнянь не буде, оскiльки множиннозначнi вiдображення,
що задовольняють вiдповiднi iнтегральнi рiвняння
Xbg
2 (t) = B1(\bfzero )
H ( - 1)
t\int
0
DbgX
bg
2 (s)ds = B1(\bfzero )
H ( - 1)
t\int
0
[Xbg
2 (s) + C1(\bfzero )]ds =
= B1(\bfzero )
H ( - 1)tC1(\bfzero )
H ( - 1)
t\int
0
Xbg
2 (s)ds, (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
664 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
–3
0
–2
–1
0
1
2
x2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 –2
x1
t
–3
–2
–1
0
1
2
x2
00 0,2 0,4 0,6 –210,8 t
x1
а б
Рис. 16. Мiшанi розв’язки Y1(t) (а) i Y2(t) (б) диференцiального рiвняння (10) iз PS- i BG-похiдною на промiжку
[0, 1].
Xps
2 (t) = B1(\bfzero )
H
t\int
0
DpsX
ps
2 (s)ds = B1(\bfzero )
H
t\int
0
[Xps
2 (s) + C1(\bfzero )]ds =
= B1(\bfzero )
H tC1(\bfzero )
H
t\int
0
Xps
2 (s)ds, (12)
не iснують, тому що рiзницi Хукухари B1(\bfzero )
H tC1(\bfzero ) i B1(\bfzero )
H ( - 1)tC1(\bfzero ) мiж кругом
B1(\bfzero ) i квадратом tC1(\bfzero ) не iснують для всiх t > 0.
Але мiшанi розв’язки для цих диференцiальних рiвнянь будуть iснувати. Наприклад, мно-
жиннозначнi вiдображення Y1(t) i Y2(t) (рис. 16) є мiшаними розв’язками диференцiального
рiвняння (10) iз PS- i BG-похiдною.
Очевидно, що в цьому прикладi таких розв’язкiв можна побудувати нескiнченно багато. Для
цих мiшаних розв’язкiв Y (\cdot ) функцiя дiаметра \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(Y (\cdot )) не збiльшується i не зменшується
в усьому iнтервалi. Проте дiаметр будь-якого мiшаного розв’язку Y (\cdot ) повинен збiльшуватися
на початку iнтервалу.
Далi ми будемо розглядати лише базовi розв’язки.
Виникає питання: в яких випадках такi диференцiальнi рiвняння мають два базових роз-
в’язки?
Спочатку розглянемо випадок, коли a = 0. Тодi система (1) набирає вигляду
DX(t) = F, X(0) = X0. (13)
Очевидно, що множиннозначне вiдображення X1(t) = X0 + tF буде розв’язком диференцiаль-
ного рiвняння (13) iз похiдною Хукухари, а також першим базовим розв’язком диференцiаль-
ного рiвняння (13) iз PS- i BG-похiдною.
Також очевидно, що другий базовий розв’язок X2(\cdot ) диференцiального рiвняння (13) з
PS-похiдною, якщо вiн iснує, має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 665
X2(t) = X0
H
t\int
0
Fds = X0
H tF.
Тобто для iснування розв’язку X2(t) на деякому промiжку [0, T ] повинна виконуватись умова:
для всiх t \in [0, T ] має iснувати рiзниця Хукухари
X0
H tF. (14)
Аналогiчно, другий базовий розв’язок X2(\cdot ) диференцiального рiвняння (13) iз BG-похiдною,
якщо вiн iснує, має вигляд
X2(t) = X0
H ( - 1)
t\int
0
Fds = X0
H ( - 1)tF.
Тобто для iснування розв’язку X2(t) на деякому промiжку [0, T ] повинна виконуватись умова:
для всiх t \in [0, T ] має iснувати рiзниця Хукухари
X0
H ( - 1)tF. (15)
Варто зазначити, що з властивостей рiзницi Хукухари випливають такi умови:
1) якщо рiзниця X0
H TF iснує, множина F є центрально-симетричною i F = ( - 1)F, то
рiзниця X0
H ( - 1)TF iснує i X0
H ( - 1)tF = X0
H tF для всiх t \in [0, T ]. Тобто в цьому
випадку другi базовi розв’язки диференцiальних рiвнянь (13) iз PS- i PG-похiдною iснують на
промiжку [0, T ] i збiгаються мiж собою;
2) якщо рiзниця X0
H TF iснує, множина F є центрально-симетричною i F \not = ( - 1)F, то
рiзниця X0
H ( - 1)TF iснує, але X0
H ( - 1)tF \not = X0
H tF для всiх t \in (0, T ]. Тобто в цьому
випадку другi базовi розв’язки диференцiальних рiвнянь (13) iз PS- i PG-похiдною iснують на
промiжку [0, T ], але не збiгаються мiж собою (рiзнi);
3) якщо рiзниця X0
H TF iснує i множина F не є центрально-симетричною, то рiзниця
X0
H ( - 1)tF не iснує для всiх t \in (0, T ]. Тобто в цьому випадку другий базовий розв’язок
диференцiального рiвняння (13) iз PS-похiдною iснує, а другий базовий розв’язок диференцi-
ального рiвняння (13) iз PG-похiдною не iснує;
4) якщо рiзниця X0
H ( - 1)TF iснує i множина F не є центрально-симетричною, то рiз-
ниця X0
H tF не iснує для всiх t \in (0, T ]. Тобто в цьому випадку другий базовий розв’язок
диференцiального рiвняння (13) iз PG-похiдною iснує, а другий базовий розв’язок диференцi-
ального рiвняння (13) iз PS-похiдною не iснує.
Тепер розглянемо випадок, коли a \not = 0. Як було зазначено ранiше, множиннозначне вiдо-
браження X(\cdot ), яке задовольняє iнтегральне рiвняння
X(t) = X0 + a
t\int
0
X(s)ds+ tF,
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння (1) iз похiдною Хукухари, а також iз пер-
шими базовими розв’язками диференцiальних рiвнянь (1) iз PS- i BG-похiдною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
666 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
Також множиннозначнi вiдображення Xps
2 (\cdot ) i Xbg
2 (\cdot ) (якщо вони iснують), якi задовольня-
ють на деякому промiжку [0, T ] вiдповiдне iнтегральне рiвняння
Xps
2 (t) = X0
H
\left( a t\int
0
Xps
2 (s)ds+ tF
\right) ,
Xbg
2 (t) = X0
H ( - 1)
\left( a t\int
0
Xbg
2 (s)ds+ tF
\right) ,
збiгаються з другим базовим розв’язком Xps
2 (\cdot ) диференцiального рiвняння (1) iз PS-похiдною
та другим базовим розв’язком Xbg
2 (\cdot ) диференцiального рiвняння (1) iз BG-похiдною.
Оскiльки
X0
H
\left( a t\int
0
Xps
2 (s)ds+ tF
\right) = X0
H a
t\int
0
Xps
2 (s)ds H tF,
X0
H ( - 1)
\left( a t\int
0
Xps
2 (s)ds+ tF
\right) = X0
H ( - 1)a
t\int
0
Xps
2 (s)ds H ( - 1)tF,
то, очевидно, що можливiсть iснування цих розв’язкiв також залежить вiд виконання умов (14)
i (15), а також вiд iснування множиннозначних вiдображень X
ps
2 (\cdot ) i X
bg
2 (\cdot ), якi задовольняють
на деякому промiжку [0, T ] вiдповiднi iнтегральнi рiвняння
X
ps
2 (t) = X0
H a
t\int
0
X
ps
2 (s)ds,
X
bg
2 (t) = X0
H ( - 1)a
t\int
0
X
bg
2 (s)ds,
що було розглянуто в роботi [12].
Тепер розглянемо приклади, коли a = 1 (a > 0).
Приклад 9. Розглянемо рiвняння
DpsX(t) = X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1], (16)
DbgX(t) = X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1], (17)
де X : [0, 1] \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(\BbbR 2) — множиннозначне вiдображення, K =
\bigl\{
x \in \BbbR 2 : x21+x
2
2 \leq 1, x2 \geq 0
\bigr\}
— верхнє пiвколо.
Диференцiальне рiвняння (16) iз PS-похiдною має два базових розв’язки X1(\cdot ) i X2(\cdot )
(рис. 17, 18).
Також зауважимо, що другий базовий розв’язок X2(\cdot ) iснує лише на iнтервалi [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 667
–10
t
0
1
2
3
4
x2
0,2 0,4 0,6 0,8 –5
0
x1
Рис. 17. Перший базовий розв’язок X1(t) диференцiального
рiвняння (16) iз PS-похiдною та диференцiального
рiвняння (17) iз BG-похiдною на промiжку [0, 1].
–0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x2
00 0,2 0,4 –20,6 t
x1
Рис. 18. Другий базовий розв’язок X2(t) диференцiального
рiвняння (16) iз PS-похiдною на промiжку [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
Диференцiальне рiвняння (17) iз BG-похiдною має лише один базовий розв’язок, який
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари та першим базовим
розв’язком X1(\cdot ) диференцiального рiвняння з PS-похiдною (див. рис. 17).
Оскiльки множина K не є центрально-симетричною, то рiзниця Хукухари K H ( - 1)tK не
iснує для t > 0. Вiдповiдно, другий базовий розв’язок не iснує, оскiльки не iснує множинно-
значного вiдображення, що задовольняє iнтегральне рiвняння
X(t) = K H ( - 1)
t\int
0
DbgX(s)ds = K H ( - 1)
t\int
0
[X(s) +K]ds =
= K H ( - 1)
\left( t\int
0
X(s)ds+ tK
\right) = K H ( - 1)tK H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
668 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
–2
–1
0
1
2
0
0
–50,2 0,4 0,6 0,8
x1
x2
t
Рис. 19. Перший базовий розв’язок X(t) диференцiальних
рiвнянь (18) i (19) iз PS- i BG-похiдною на промiжку
[0, 1].
Приклад 10. Нехай
DpsX(t) = X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1], (18)
DbgX(t) = X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1], (19)
де K = ( - 1)K =
\bigl\{
x \in \BbbR 2 : x21 + x22 \leq 1, x2 \leq 0
\bigr\}
— нижнє пiвколо.
Цi диференцiальнi рiвняння з PS- i BG-похiдною мають лише один базовий розв’язок, який
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари (рис. 19).
Других базових розв’язкiв для диференцiальних рiвнянь (18) та (19) не iснує, оскiльки не
iснує множиннозначних вiдображень, що вiдповiдають iнтегральним рiвнянням
X(t) = K H
t\int
0
DpsX(s)ds = K H
t\int
0
\bigl[
X(s) +K
\bigr]
ds =
= K H
t\int
0
X(s)ds H tK = K H tK H
t\int
0
X(s)ds, (20)
X(t) = K H ( - 1)
t\int
0
DbgX(s)ds = K H ( - 1)
t\int
0
\bigl[
X(s) +K
\bigr]
ds =
= K H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds H ( - 1)tK = K H ( - 1)tK H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds. (21)
У рiвняннi (20) не буде iснувати рiзниця Хукухари K H tK для всiх t > 0, а для рiв-
няння (21) не буде iснувати розв’язок iнтегрального рiвняння X(t) = K H ( - 1)
\int t
0
X(s)ds,
оскiльки множини K i X(t) не є центрально-симетричними [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 669
–2
–1
0
1
2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 –5
x1
x2
t
Рис. 20. Перший базовий розв’язок X(t) диференцiальних
рiвнянь (22) i (23) iз PS- i BG-похiдною на про-
мiжку [0, 1].
Тепер розглянемо приклад, коли a = - 1 (a < 0).
Приклад 11. Нехай
DpsX(t) = ( - 1)X(t) +K X(0) = K, t \in [0, 1], (22)
DbgX(t) = ( - 1)X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1]. (23)
Цi диференцiальнi рiвняння з PS- i BG-похiдною мають лише один базовий розв’язок, який
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари (рис. 20).
Другi базовi розв’язки для диференцiальних рiвнянь (22) i (23) не iснують, оскiльки не
iснують множиннозначнi вiдображення, що вiдповiдають iнтегральним рiвнянням
X(t) = K H
t\int
0
DpsX(s)ds = K H
t\int
0
[( - 1)X(s) +K]ds =
= K H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds H tK, (24)
X(t) = K H ( - 1)
t\int
0
DbgX(s)ds = K H ( - 1)
t\int
0
[( - 1)X(s) +K]ds =
= K H
t\int
0
X(s)ds H ( - 1)tK = K H ( - 1)tK H
t\int
0
X(s)ds. (25)
Для рiвняння (24) не буде iснувати розв’язок iнтегрального рiвняння
X(t) = K H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
670 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
0–3
–2
–1
0
1
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 –5
x1
x2
t
Рис. 21. Перший базовий розв’язок X1(t) диференцiальних
рiвнянь (26) i (27) iз PS- i BG-похiдною на промiжку
[0, 1].
x2
–0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x1
t
0
0 0,2 0,4 0,6 –2
Рис. 22. Другий базовий розв’язок X2(t) диференцiального
рiвняння (26) iз BG-похiдною на промiжку [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
а в рiвняннi (25) не буде iснувати рiзниця Хукухари K H ( - 1)tK для всiх t > 0, оскiльки
множини K i X(t) не є центрально-симетричними [12].
Приклад 12. Нехай
DbgX(t) = ( - 1)X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1], (26)
DpsX(t) = ( - 1)X(t) +K, X(0) = K, t \in [0, 1]. (27)
Диференцiальне рiвняння (26) iз BG-похiдною має два базових розв’язки X1(\cdot ) i X2(\cdot )
(рис. 21, 22).
Також зауважимо, що другий базовий розв’язок X2(\cdot ) iснує лише на iнтервалi [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(2)].
Диференцiальне рiвняння (27) iз PS-похiдною має лише перший базовий розв’язок, який
збiгається з розв’язком диференцiального рiвняння з похiдною Хукухари та першим базовим
розв’язком X1(\cdot ) диференцiального рiвняння з BG-похiдною (див. рис. 21).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 671
Другий базовий розв’язок не iснує, оскiльки вiдсутнє множиннозначне вiдображення, що
задовольняє вiдповiдне iнтегральне рiвняння
X(t) = K H
t\int
0
DpsX(s)ds = K H
t\int
0
\bigl[
( - 1)X(s) +K
\bigr]
ds =
= K H ( - 1)
t\int
0
X(s)ds H tK.
Оскiльки множини K i K не є центрально-симетричними, то рiзниця Хукухари K H tK
не iснує для t > 0, а також не буде iснувати розв’язок iнтегрального рiвняння X(t) =
= K H
\int t
0
( - 1)X(s)ds [12].
На пiдставi викладеного вище можна сформулювати таке твердження.
Твердження 1. 1. Якщо множини X0 i F є центрально-симетричними, aX0 = ( - 1)aX0,
F = ( - 1)F i знайдеться \alpha > 0 таке, що H-рiзниця X0
H \alpha F iснує, то диференцiальне
рiвняння (1) iз PS-похiдною та диференцiальне рiвняння (1) iз BG-похiдною мають два базових
розв’язки i вони будуть однаковими.
2. Якщо множини X0 i F є центрально-симетричними, aX0 \not = ( - 1)aX0 i (або) F \not = ( - 1)F
та знайдеться \alpha > 0 таке, що H-рiзниця X0
H \alpha F iснує, то диференцiальне рiвняння (1) iз
PS-похiдною та диференцiальне рiвняння (1) iз BG-похiдною мають два базових розв’язки, але
їхнi другi базовi розв’язки будуть рiзними.
3. Якщо множини X0 i F не є центрально-симетричними, a \geq 0 i знайдеться \alpha > 0 таке,
що H-рiзниця X0
H \alpha F iснує, то диференцiальне рiвняння (1) iз PS-похiдною має два базових
розв’язки, а диференцiальне рiвняння (1) iз BG-похiдною має лише перший базовий розв’язок.
4. Якщо множини X0 i F не є центрально-симетричними, a \leq 0 i знайдеться \alpha > 0
таке, що H-рiзниця X0
H \alpha ( - 1)F iснує, то диференцiальне рiвняння (1) iз BG-похiдною має
два базових розв’язки, а диференцiальне рiвняння (1) iз PS-похiдною має лише перший базовий
розв’язок.
5. Якщо для всiх \alpha > 0 H-рiзницi X0
H \alpha F та X0
H \alpha ( - 1)F не iснують, то диферен-
цiальне рiвняння (1) iз BG-похiдною i диференцiальне рiвняння (1) iз PS-похiдною мають лише
першi базовi розв’язки, якi збiгаються iз розв’язком диференцiального рiвняння (1) iз похiдною
Хукухари.
4. Висновки. У статтi показано, що лiнiйнi множиннозначнi диференцiальнi рiвняння ма-
ють суттєвi вiдмiнностi вiд звичайних та iнтервальнозначних лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь. Тобто кiлькiсть розв’язкiв для цих рiвнянь може залежати вiд розглядуваної похiдної,
геометричної форми початкової множини X0, геометричної форми множини F та коефiцiєнта
у правiй частинi диференцiального рiвняння.
Також зауважимо, що в статтях [13, 35 – 37] було розглянуто iнший тип диференцiальних
рiвнянь з PS-похiдною, для яких може iснувати не бiльше нiж один розв’язок, i цей розв’язок
буде збiгатися з одним iз розв’язкiв системи (1) iз PS-похiдною.
Лiтература
1. F. S. de Blasi, F. Iervolino, Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso, Boll. Unione Mat. Ital.,
2, № 4-5, 491 – 501 (1969).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
672 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, Л. I. ПЛОТНIКОВА , Н. В. СКРИПНИК
2. V. Lakshmikantham, T. Granna Bhaskar, J. Vasundhara Devi, Theory of set differential equations in metric spaces,
Cambridge Sci. Publ. (2006).
3. V. Lupulescu, D. O’Regan, A new derivative concept for set-valued and fuzzy-valued functions. Differential and
integral calculus in quasilinear metric spaces, Fuzzy Sets and Syst., 404, 75 – 110 (2021).
4. A. A. Martynyuk, Qualitative analysis of set-valued differential equations, Springer Nature Switzerland AG, Birk-
häuser, Cham (2019).
5. N. A. Perestyuk, V. A. Plotnikov, A. M. Samoilenko, N. V. Skripnik, Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities, De Gruyter Stud. Math., 40, Walter De Gruyter GmbH& Co., Berlin,
Boston (2011).
6. А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы, АстроПринт, Одесса (2009).
7. В. А. Плотников, А. В. Плотников, А. Н. Витюк, Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы, АстроПринт, Одесса (1999).
8. A. Tolstonogov, Differential inclusions in a Banach space, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (2000).
9. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, Averaging of a system of set-valued differential equations with the
Hukuhara derivative, J. Uncertain Syst., 13, 3 – 13 (2019).
10. M. Hukuhara, Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe, Funkcial. Ekvac., 10,
205 – 223 (1967).
11. H. Minkowski, Zur Geometrie der Zahlen, Verhandlungen des III Internationalen Mathematiker-Kongresses in
Heidelberg, Heidelberg, Berlin (1904), p. 164 – 173.
12. T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, N. V. Skripnik, A. V. Plotnikov, Some remarks on linear set-valued differential equati-
ons, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 65, № 3, 415 – 431 (2020); DOI: https://doi.org/10.24193/subbmath.2020.3.09.
13. A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Set-valued differential equations with generalized derivative, J. Adv. Res. Pure Math.,
3, № 1, 144 – 160 (2011); DOI: https://doi.org/10.5373/jarpm.475.062210.
14. Ş. E. Amrahov, A. Khastan, N. Gasilov, A. G. Fatullayev, Relationship between Bede – Gal differentiable set-valued
functions and their associated support functions, Fuzzy Sets and Syst., 265, 57 – 72 (2016); DOI: https://doi.org/
10.1016/j.fss.2015.12.002.
15. M. T. Malinowski, Second type Hukuhara differentiable solutions to the delay set-valued differential equations, Appl.
Math. and Comput., 218, 9427 – 9437 (2012); DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2012.03.027.
16. M. T. Malinowski, On set differential equations in Banach spaces — a second type Hukuhara differentiability
approach, Appl. Math. and Comput., 219, 289 – 305 (2012); DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2012.06.019.
17. H. Vu, L. S. Dong, Initial value problem for second-order random fuzzy differential equations, Adv. Difference
Equat., 2015, Article 373 (2015), 23 p.; DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-015-0710-5.
18. H. Vu, N. Van Hoa, On impulsive fuzzy functional differential equations, Iran. J. Fuzzy Syst., 13, № 4, 79 – 94 (2016);
DOI: https://doi.org/10.22111/IJFS.2016.2597.
19. Е. С. Половинкин, Многозначный анализ и дифференциальные включения, Физматлит, Москва (2014).
20. T. F. Bridgland, Trajectory integrals of set valued functions, Pacif. J. Math., 33, № 1, 43 – 68 (1970).
21. H. T. Banks, M. Q. Jacobs, A differential calculus for multifunctions, J. Math. Anal. and Appl., 29, 246 – 272 (1970);
DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(70)90078-8.
22. Yu. N. Tyurin, Mathematical statement of the simplified model of industrial planning (in Russian), Econ. Math. Meth.,
3, 391 – 409 (1965).
23. А. В. Плотников, Дифференцирование многозначных отображений, T -производная, Укр. мат. журн., 52, № 8,
1119 – 1126 (2000).
24. Y. Chalco-Cano, H. Roman-Flores, M. D. Jimenez-Gamero, Generalized derivative and \pi -derivative for set-valued
functions, Inform. Sci., 181, № 11, 2177 – 2188 (2011); DOI: https://doi.org/10.1016/j.ins.2011.01.023.
25. A. Lasota, A. Strauss, Asymptotic behavior for differential equations which cannot be locally linearized, J. Different.
Equat., 10, 152 – 172 (1971); DOI: https://doi.org/10.1016/0022-0396(71)90103-3.
26. M. Martelli, A. Vignoli, On differentiability of multi-valued maps, Boll. Unione Mat. Ital., 10, 701 – 712 (1974).
27. N. V. Plotnikova, Systems of linear differential equations with \pi -derivative and linear differential inclusions, Sb.
Math., 196, № 11, 1677 – 1691 (2005); DOI: https://doi.org/10.1070/SM2005v196n11ABEH003727.
28. N. V. Hoa, N. D. Phu, Fuzzy functional integro-differential equations under generalized H-differentiability, J. Intell.
Fuzzy Syst., 26, 2073 – 2085 (2014); DOI: https://doi.org/10.3233/IFS-130883.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
УМОВИ IСНУВАННЯ БАЗОВИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ МНОЖИННОЗНАЧНИХ . . . 673
29. N. D. Phu, N. N. Hung, Minimum stability control problem and time-optimal control problem for fuzzy linear control
systems, Fuzzy Sets and Syst., 371, 1 – 24 (2019); DOI: https://doi.org/10.1016/j.fss.2018.09.005.
30. B. Bede, S. G. Gal, Almost periodic fuzzy-number-valued functions, Fuzzy Sets and Syst., 147, 385 – 403 (2004);
DOI: https://doi.org/ 10.1016/j.fss.2003.08.004.
31. B. Bede, S. G. Gal, Generalizations of the differentiability of fuzzy number valued functions with applications to fuzzy
differential equation, Fuzzy Sets and Syst., 151, 581 – 599 (2005); DOI: https://doi.org/ 10.1016/j.fss.2004.08.001.
32. L. Stefanini, B. Bede, Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential
equations, Nonlinear Anal., 71, 1311 – 1328 (2009); DOI: https://doi.org/10.1016/j.na.2008.12.005.
33. Н. В. Плотникова, Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений, Нелiнiйнi колива-
ння, 9, № 3, 386 – 400 (2006).
34. V. G. Boltyanski, J. Jerónimo Castro, Centrally symmetric convex sets, J. Convex Anal., 14, № 2, 345 – 351 (2007).
35. A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Existence and uniqueness theorems for generalized set differential equations, Int. J.
Control Sci. and Eng., 2, № 1, 1 – 6 (2012); DOI: https://doi.org/10.5923/j.control.20120201.01.
36. A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, An existence and uniqueness theorem to the Cauchy problem for generalized set
differential equations, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst., Ser. A, Math. Anal., 20, № 4, 433 – 445 (2013).
37. А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Многозначные дифференциальные уравнения с обобщенной производной,
Укр. мат. журн., 65, № 10, 1350 – 1362 (2013).
Одержано 03.11.20,
пiсля доопрацювання — 23.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6356 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:17Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/48318df0e7d00ad11a85c3bb961adb84.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63562025-03-31T08:48:07Z Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ БАЗОВЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВЕННОЗНАЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Умови iснування базових розв’язкiв лiнiйних множиннозначних диференцiальних рiвнянь Komleva, T. A. Plotnikov, A. B. Plotnikova, L. I. Skripnik, N. V. Комлева, Т. A. Плотников, А. В. Плотникова, Лилия Скрипник, Н. В. Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. Плотнікова, Л. І. Скрипник , Н. В. множиннозначне диференціальне рівняння похідна Хукухари умови існування set-valued differential equation Hukuhara derivative conditions of existence UDC 517.9 In this paper, we discusses various definitions and properties of the derivative of a set-valued mapping. Also, we consider a linear set-valued differential equation and investigate the problem of existence of solutions of this equation with Hukuhara derivative, PS-derivative and BG-derivative. The obtained results are illustrated with model examples. В статье обсуждаются различные определения производной множественнозначного отображения и их свойства. Также рассматривается линейное множественнозначное дифференциальное уравнение и исследуется существование решений для этого уравнения с производной Хукухары, производной PS и производной BG. Полученные результаты проиллюстрированы модельными примерами. УДК 517.9 Розглянуто різні означення похідної множиннозначного відображеннята їхні властивості. Вивчається лінійне множиннозначне диференціальне рівняння та досліджується існування розв'язків цього рівняння з похідною Хукухари, PS-похідноюта BG-похідною. Отримані результати проілюстровано на модельних прикладах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6356 10.37863/umzh.v73i5.6356 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 5 (2021); 651 - 673 Український математичний журнал; Том 73 № 5 (2021); 651 - 673 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6356/9017 Copyright (c) 2021 Тетян Комлєва, Андрій Плотніков, Лілія Плотнікова, Наталія Скрипник |
| spellingShingle | Komleva, T. A. Plotnikov, A. B. Plotnikova, L. I. Skripnik, N. V. Комлева, Т. A. Плотников, А. В. Плотникова, Лилия Скрипник, Н. В. Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. Плотнікова, Л. І. Скрипник , Н. В. Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title | Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title_alt | УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ БАЗОВЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВЕННОЗНАЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Умови iснування базових розв’язкiв лiнiйних множиннозначних диференцiальних рiвнянь |
| title_full | Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title_fullStr | Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title_full_unstemmed | Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title_short | Conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| title_sort | conditions for the existence of basic solutions of linear multivalued differential equations |
| topic_facet | множиннозначне диференціальне рівняння похідна Хукухари умови існування set-valued differential equation Hukuhara derivative conditions of existence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6356 |
| work_keys_str_mv | AT komlevata conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotnikovab conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotnikovali conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT skripniknv conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT komlevata conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotnikovav conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotnikovaliliâ conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT skripniknv conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT komlêvato conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotníkovav conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT plotníkovalí conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT skripniknv conditionsfortheexistenceofbasicsolutionsoflinearmultivalueddifferentialequations AT komlevata usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotnikovab usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotnikovali usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT skripniknv usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT komlevata usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotnikovav usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotnikovaliliâ usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT skripniknv usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT komlêvato usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotníkovav usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT plotníkovalí usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT skripniknv usloviâsuŝestvovaniâbazovyhrešenijlinejnyhmnožestvennoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT komlevata umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotnikovab umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotnikovali umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT skripniknv umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT komlevata umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotnikovav umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotnikovaliliâ umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT skripniknv umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT komlêvato umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotníkovav umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT plotníkovalí umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ AT skripniknv umoviisnuvannâbazovihrozvâzkivlinijnihmnožinnoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹ |