Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation
UDC 517.9 <br> We establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for constructing solutions of a linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation.  We suggest an original scheme of regularization of...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/637 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507066363281408 |
|---|---|
| author | Chuiko, S. M. Kalinichenko , Ya. V. Boichuk , A. A. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, А. А. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, О. А. |
| author_facet | Chuiko, S. M. Kalinichenko , Ya. V. Boichuk , A. A. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, А. А. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, О. А. |
| author_sort | Chuiko, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-05-26T09:22:56Z |
| description | UDC 517.9 <br>
We establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for constructing solutions of a linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation.  We suggest an original scheme of regularization of a linear Noetherian boundary-value problem for a linear degenerate system of difference equations.  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i3.637 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:03:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Бойчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
С. М. Чуйко, Я. В. Калиниченко (Донбас. гос. пед. ун-т, Славянск)
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ*
We establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for constructing solutions of a linear
Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation. We suggest an original scheme of regularization of a
linear Noetherian boundary-value problem for a linear degenerate system of difference equations.
Встановлено конструктивнi умови розв’язностi та наведено схему побудови розв’язкiв лiнiйної нетерової крайової
задачi для матричного рiзницевого рiвняння. Запропоновано оригiнальну схему регуляризацiї лiнiйної нетерової
крайової задачi для лiнiйної виродженої системи рiзницевих рiвнянь.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о нахождении ограниченных решений [1, 2] Z(k) \in
\in \BbbR \alpha \times \beta , k \in \Omega := \{ 0, 1, 2, . . . , \omega \} линейной нетеровой (\alpha \not = \beta \not = \lambda \not = \mu ) краевой задачи [3]
Z(k + 1) = AZ(k) + Z(k)B + F (k), \scrL Z(\cdot ) = \scrA . (1)
Компоненты Z(i,j)(k), F (i,j)(k) : \Omega \rightarrow \BbbR 1 матриц Z(k) и F (k) \in \BbbR \alpha \times \beta предполагаем ограни-
ченными на множестве \Omega функциями. Здесь A \in \BbbR \alpha \times \alpha , B \in \BbbR \beta \times \beta и \BbbA \in \BbbR \lambda \times \mu — постоянные
матрицы, \scrL Z(\cdot ) — линейный ограниченный матричный функционал:
\scrL Z(\cdot ) :
\bigl\{
Z(k) : \Omega \rightarrow \BbbR \alpha \times \beta
\bigr\}
\rightarrow \BbbR \lambda \times \mu .
Конструктивные условия разрешимости и структура решения общей нетеровой краевой задачи
были получены в монографии [1]. Условия разрешимости, а также конструкция оператора
Грина нетеровой краевой задачи (1) для традиционного (\beta = \mu = 1) разностного уравнения
были получены в статье [3], как обобщение классических результатов для систем разностных
уравнений [4]. В свою очередь, условия разрешимости и структура периодического решения
систем матричного дифференциального уравнения получены в статье [2] с использованием
обобщенного обращения матриц и операторов, описанного в статье [5].
Общее решение полуоднородной задачи Коши
Z(k + 1) = AZ(k) + Z(k)B + F (k), Z(0) = \Theta , (2)
представимо в виде [6]
Z(k) = W (k,\Theta ) +K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k),
где
W (k,\Theta ) :=
k\sum
j=0
Ck - j
k Ak - j \Theta Bj
— общее решение однородной части матричного разностного уравнения (1) и
* Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины
(номер государственной регистрации 0118U003390).
c\bigcirc А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО 2020
340 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 341
K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k) :=
k - 1\sum
j=0
W
\bigl[
j, F (k - 1 - j)
\bigr]
— обобщенный оператор Грина задачи Коши (2).
Лемма 1. Общее решение линейной полуоднородной задачи Коши (2)
Z(k) = W (k,\Theta ) +K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k), \Theta \in \BbbR \alpha \times \beta ,
определяет обобщенный оператор Грина задачи Коши (2).
Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить общее решение в матричное разностное
уравнение (1).
Подставляя общее решение задачи Коши (2) в краевое условие (1), приходим к линейному
алгебраическому уравнению
\scrL W (\cdot ,\Theta ) = \scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot ) (3)
относительно матрицы \Theta \in \BbbR \alpha \times \beta . Обозначим через \Xi (j) \in \BbbR \alpha \times \beta , j = 1, 2, . . . , \alpha \beta , базис про-
странства \BbbR \alpha \times \beta , а через cj , j = 1, 2, . . . , \alpha \beta , константы, определяющие разложение матрицы
\Theta =
\alpha \beta \sum
j=1
\Xi (j)cj , cj \in \BbbR 1, j = 1, 2, . . . , \alpha \beta ,
по векторам \Xi (j) \in \BbbR \alpha \times \beta базиса пространства \BbbR \alpha \times \beta , при этом
\scrL W (\cdot ,\Theta ) =
\alpha \beta \sum
j=1
\scrL W
\bigl[
\cdot ,\Xi (j)
\bigr]
cj .
Итак, приходим к линейному алгебраическому уравнению
\alpha \beta \sum
j=1
\scrL W
\bigl[
\cdot ,\Xi (j)
\bigr]
cj = \scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
относительно \alpha \beta констант cj \in \BbbR 1, j = 1, 2, . . . , \alpha \beta . Определим оператор [7, 8]
\scrM [\scrB ] : \BbbR m\times n \rightarrow \BbbR mn,
как оператор, который ставит в соответствие матрице \scrB \in \BbbR m\times n вектор-столбец \scrM [\scrB ] \in \BbbR mn,
составленный из n столбцов матрицы \scrB , а также обратный оператор
\scrM - 1
\bigl\{
\scrM [\scrB ]
\bigr\}
: \BbbR mn \rightarrow \BbbR m\times n,
который ставит в соответствие вектору-столбцу \scrM [\scrB ] \in \BbbR mn матрицу \scrB \in \BbbR mn. Заметим, что
оператор \scrM [A], как и обратный оператор \scrM - 1[\scrB ], могут быть представлены в явном виде
[7, 8].
2. Условие разрешимости нетеровой краевой задачи для матричного разностного урав-
нения. В новых обозначениях приходим к линейному алгебраическому уравнению
\scrQ c = \scrM
\bigl[
\scrA
\bigr]
- \scrM
\bigl\{
\scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
342 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
относительно вектора c \in \BbbR \alpha \beta . Здесь
\scrQ :=
\bigl[
\scrM
\bigl[
\scrQ (1)
\bigr]
\scrM
\bigl[
\scrQ (2)
\bigr]
. . . \scrM
\bigl[
\scrQ (\alpha \beta )
\bigr] \bigr]
,
где
\scrQ \in \BbbR \lambda \mu \times \alpha \beta , \scrQ (j) := \scrL W
\bigl[
\cdot ,\Xi (j)
\bigr]
\in \BbbR \lambda \times \mu , j = 1, 2, . . . , \alpha \beta .
Как известно [1, 7], последнее уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда
P\scrQ \ast
d
\scrM
\bigl\{
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
= 0. (4)
Здесь P\scrQ \ast — ортопроектор: \BbbR \lambda \mu \rightarrow \BbbN (\scrQ \ast ), матрица P\scrQ \ast
d
составлена из d линейно независи-
мых строк матрицы-ортопроектора P\scrQ \ast . При условии (4), и только при нем, общее решение
уравнения (3)
c = \scrQ +\scrM
\bigl\{
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\}
+ P\scrQ rcr, cr \in \BbbR r,
определяет общее решение нетеровой краевой задачи (1)
Z(k,\Theta r) = W (k,\Theta r) +G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k), \Theta r := \scrM - 1
\bigl[
P\scrQ rcr
\bigr]
,
где [6]
\Theta = \scrM - 1
\bigl\{
\scrQ +\scrM
\bigl\{
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\} \bigr\}
+\scrM - 1
\bigl[
P\scrQ rcr
\bigr]
,
P\scrQ — ортопроектор: \BbbR \alpha \beta \times \alpha \beta \rightarrow \BbbN (\scrQ ), матрица P\scrQ r \in \BbbR \alpha \beta \times r составлена из r линейно неза-
висимых столбцов ортопроектора P\scrQ ,
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k) := W
\bigl\{
k,\scrM - 1
\bigl\{
\scrQ +\scrM
\bigl[
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr] \bigr\} \bigr\}
+K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k)
— обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи (1).
Таким образом, доказана следующая теорема [6].
Теорема. При условии (4), и только при нем, общее решение линейной нетеровой краевой
задачи (1)
Z(k,\Theta r) = W (k,\Theta r) +G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k),
\Theta r := \scrM - 1
\bigl[
P\scrQ rcr
\bigr]
, cr \in \BbbR r,
определяет обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи (1).
При условии P\scrQ \ast \not = 0 будем говорить, что для краевой задачи (1) имеет место критический
случай, при этом задача (1) разрешима лишь для тех неоднородностей F (k) и \scrA , для которых
выполнено условие (4). При условии P\scrQ \ast = 0 будем говорить, что для краевой задачи (1) имеет
место некритический случай, при этом задача (1) разрешима для любых неоднородностей F (k)
и \scrA .
Доказанная теорема является обобщением [6] соответствующих утверждений [3] на случай
матричной краевой задачи (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 343
Пример 1. Условия теоремы выполнены для матричной трехточечной разностной краевой
задачи
Z(k + 1) = AZ(k) + Z(k)B + F (k), \scrL Z(\cdot ) = \scrA , (5)
где
A =
\biggl(
1 1
0 1
\biggr)
, B =
\left( 0 0 1
1 0 0
0 0 1
\right) , F (k) =
\biggl(
k 0 1
1 0 k
\biggr)
,
\scrA =
\bigl(
0 0 1 0 0
\bigr)
, \tau 1 := 1, \tau 2 := 2, \tau 3 := 4,
а также
\scrL Z(\cdot ) :=
3\sum
i=1
MiZ(\tau i)Ni, M1 :=
\bigl(
0 1
\bigr)
, M2 :=
\bigl(
1 1
\bigr)
, M3 :=
\bigl(
1 0
\bigr)
,
N1 :=
\left( 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
\right) , N2 :=
\left( 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
\right) ,
N3 :=
\left( 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
\right) .
Общее решение однородной части матричного разностного уравнения (5) определяют
матрицы
W (0,\Theta ) = \Theta :=
\biggl(
c11 c12 c13
c21 c22 c23
\biggr)
,
W (1,\Theta ) =
\biggl(
c11 + c12 + c21 c12 + c22 c11 + 2c13 + c23
c21 + c22 c22 c21 + 2c23
\biggr)
,
W (2,\Theta ) =
\biggl(
c11 + 2(c12 + c21 + c22) c12 + 2c22 3c11 + c12 + 4c13 + 2c21 + 4c23
c21 + 2c22 c22 3c21 + c22 + 4c23
\biggr)
,
W (3,\Theta ) =
=
\biggl(
c11 + 3(c12 + c21 + 2c22) c12 + 3c22 7c11 + 4c12 + 8c13 + 9c21 + 3c22 + 12c23
c21 + 3c22 c22 7c21 + 4c22 + 8c23
\biggr)
,
W (4,\Theta ) :=
=
\biggl(
c11 + 4(c12 + c21 + 3c22) c12 + 4c22 15c11 + 11c12 + 4(4c13 + 7c21 + 4c22 + 8c23)
c21 + 4c22 c22 15c21 + 11c22 + 16c23
\biggr)
.
Пусть
\Xi (1) =
\biggl(
1 0 0
0 0 0
\biggr)
, \Xi (2) =
\biggl(
0 0 0
1 0 0
\biggr)
, . . . , \Xi (6) =
\biggl(
0 0 0
0 0 1
\biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
344 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
— естественный базис [9] пространства \BbbR 2\times 3 и cj , j = 1, 2, . . . , 6, — константы, определяющие
разложение матрицы \Theta по векторам \Xi (j) \in \BbbR 2\times 3 базиса пространства \BbbR 2\times 3. Поскольку
P\scrQ \ast =
1
2
\left(
1 0 0 0 - 1
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
- 1 0 0 0 1
\right) \not = 0,
то для краевой задачи (5) имеет место критический случай. Общее решение
W (k,\Theta r), \Theta r := \scrM - 1
\bigl[
P\scrQ rcr
\bigr]
, cr \in \BbbR 4,
однородной части задачи (5) определяют матрица
\scrQ =
\left(
1 4 5 15 0 1
0 0 0 0 0 0
19 37 14 21 20 40
0 0 0 0 0 0
1 4 5 15 0 1
\right)
и ее ортопроектор
P\scrQ =
\left(
741 273
819 892
- 34 744
204 973
- 28 595
819 892
8 715
819 892
- 22 500
204 973
- 173 119
819 892
- 34 744
204 973
139 590
204 973
- 20 873
204 973
- 22 992
204 973
- 37 740
204 973
- 74 371
204 973
- 28 595
819 892
- 20 873
204 973
741 069
819 892
- 219 837
819 892
- 3 960
204 973
- 45 227
819 892
8 715
819 892
- 22 992
204 973
- 219 837
819 892
92 089
819 892
16 260
204 973
77 007
819 892
- 22 500
204 973
- 37 740
204 973
- 3 960
204 973
16 260
204 973
178 173
204 973
- 50 640
204 973
- 173 119
819 892
- 74 371
204 973
- 45 227
819 892
77 007
819 892
- 50 640
204 973
434 085
819 892
\right)
.
Матрица
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 345
P\scrQ r =
\left(
741 273
819 892
- 34 744
204 973
- 28 595
819 892
8 715
819 892
- 34 744
204 973
139 590
204 973
- 20 873
204 973
- 22 992
204 973
- 28 595
819 892
- 20 873
204 973
741 069
819 892
- 219 837
819 892
8 715
819 892
- 22 992
204 973
- 219 837
819 892
92 089
819 892
- 22 500
204 973
- 37 740
204 973
- 3 960
204 973
16 260
204 973
- 173 119
819 892
- 74 371
204 973
- 45 227
819 892
77 007
819 892
\right)
составлена из r = 4 линейно независимых столбцов ортопроектора P\scrQ . Частное решение
полуоднородной задачи Коши Z(0) = \Theta для системы (5) представляет обобщенный оператор
Грина задачи Коши
K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(0) = 0, K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(1) =
\biggl(
0 0 1
1 0 0
\biggr)
, K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(2) =
\biggl(
2 0 3
2 0 2
\biggr)
,
K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(3) =
\biggl(
6 0 11
3 0 8
\biggr)
, K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(4) =
\biggl(
12 0 37
4 0 22
\biggr)
.
Условие (4) в случае неоднородной задачи (5) выполнено, поэтому общее решение
Z(k,\Theta r) = W (k,\Theta r) +G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k), cr \in \BbbR 4,
неоднородной задачи (5) определяет обобщенный оператор Грина
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k) := W
\bigl\{
k,\scrM - 1
\bigl\{
\scrQ +\scrM
\bigl[
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr] \bigr\} \bigr\}
+K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k)
краевой задачи (5). Здесь
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(0) = - 1
204 973
\biggl(
29 982 49 551 24 780
71 607 122 634 56 001
\biggr)
,
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(1) =
1
204 973
\biggl(
- 151 140 - 172 185 69 430
10 732 - 122 634 183 609
\biggr)
,
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(2) =
1
204 973
\biggl(
- 107 620 - 294 819 9 084
93 071 - 122 634 - 151 513
\biggr)
,
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(3) =
1
204 973
\biggl(
100 578 - 417 453 - 35 992
175 410 - 122 634 199 991
\biggr)
,
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(4) =
1
204 973
\biggl(
473 454 - 540 087 433 558
257 749 - 122 634 1 190 311
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
346 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
В некритическом случае, при условии P\scrQ \ast = 0, задача (1) разрешима для любых неодно-
родностей F (k) и \scrA .
3. Регуляризация нетеровой краевой задачи для матричного разностного уравнения.
Для решения задачи о нахождении ограниченных решений линейной матричной краевой за-
дачи (1) в критическом случае применима техника регуляризации [10 – 12]. Таким образом,
поставим задачу о нахождении малого возмущения краевого условия (1) таким образом, чтобы
возмущенная краевая задача стала разрешимой для любых неоднородностей краевой задачи
для системы разностных уравнений (1). Возмущение функционала
\scrL Z(\cdot ) : \BbbR \alpha \times \beta \rightarrow \BbbR \lambda \times \mu
будем искать в виде линейного ограниченного векторного функционала
\v \scrL Z(\cdot , \varepsilon ) := \scrL Z(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon
q\sum
j=1
\Phi jZ(\tau j)\Psi j , \tau j \in \Omega ,
определенного на пространстве ограниченных функций z(k, \varepsilon ). Здесь
\Phi j \in \BbbR \lambda \times \alpha , \Psi j \in \BbbR \mu \times \beta , j = 1, 2, . . . , q,
— неизвестные постоянные матрицы. Таким образом, возмущенную матрицу \scrQ (\varepsilon ) будем искать
в виде
\scrQ (\varepsilon ) := Q+\varepsilon
\left[ \scrM q\sum
j=1
\Phi j W (\tau j ,\Xi
(1))\Psi j \scrM
q\sum
j=1
\Phi j W (\tau j ,\Xi
(2))\Psi j . . . \scrM
q\sum
j=1
\Phi j W (\tau j ,\Xi
(1))\Psi j
\right] ,
предполагая матрицу \scrQ (\varepsilon ) матрицей полного ранга:
P\scrQ \ast (\varepsilon ) = 0, 0 < \varepsilon \ll 1,
в частности, в случае \alpha \beta = \lambda \mu невырожденной матрицей. В общем случае \alpha \beta \not = \lambda \mu условие
полноты ранга матрицы \scrQ (\varepsilon ) равносильно уравнению
\scrQ (\varepsilon )\scrQ +(\varepsilon ) = I\lambda \mu (6)
относительно матриц \Phi j , \Psi j , определяющих матрицу \scrQ (\varepsilon ). Заметим, что в случае PQ\ast \not = 0
уравнение (6) разрешимо лишь для \alpha \beta \leq \lambda \mu . Таким образом, приходим к задаче о нахождении
ограниченных решений
Z(k, \varepsilon ) \in \BbbR \alpha \times \beta
регуляризованной краевой задачи для системы матричных разностных уравнений
Z(k + 1, \varepsilon ) = AZ(k, \varepsilon ) + Z(k, \varepsilon )B + F (k), \v \scrL Z(\cdot , \varepsilon ) = \scrA . (7)
В силу равенства P\scrQ \ast (\varepsilon ) = 0 для любого действительного корня \Phi j , \Psi j уравнения (6) регу-
ляризованная краевая задача (7) разрешима для любых неоднородностей краевого условия и
системы разностных уравнений (7).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 347
Следствие. Линейная нетерова краевая задача для линейной системы разностных урав-
нений первого порядка (1) в критическом случае
PQ\ast \not = 0, \alpha \beta \leq \lambda \mu
может быть регуляризована возмущением краевого условия
\v \scrL Z(\cdot , \varepsilon ) := \scrL Z(\cdot , \varepsilon ) + \varepsilon
q\sum
j=1
\Phi jZ(\tau j)\Psi j , \tau j \in \BbbN \cap [a, b].
Для любых действительных корней \Phi j , \Psi j уравнения (6) регуляризованная краевая задача (7)
разрешима для любых неоднородностей краевого условия и системы разностных уравнений
(7), при этом решение Z(k, \varepsilon ) линейной нетеровой краевой задачи (7) представимо в виде
Z(k, \varepsilon ) = W (k,\Theta r(\varepsilon )) + \scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon ), \Theta r(\varepsilon ) := \scrM - 1
\bigl[
P\scrQ r(\varepsilon )cr
\bigr]
,
где
\Theta (\varepsilon ) = \scrM - 1
\bigl\{
\scrQ +(\varepsilon )\scrM
\bigl\{
\scrA - \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot )
\bigr\} \bigr\}
+\scrM - 1(\varepsilon )
\bigl[
P\scrQ rcr
\bigr]
,
P\scrQ (\varepsilon ) — ортопроектор:
\BbbR \alpha \beta \times \alpha \beta \rightarrow \BbbN (\scrQ (\varepsilon )),
матрица P\scrQ r(\varepsilon ) \in \BbbR \alpha \beta \times r составлена из r линейно независимых столбцов ортопроектора
P\scrQ (\varepsilon ),
G
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon ) := W
\bigl\{
k,\scrM - 1
\bigl\{
\scrQ +(\varepsilon )\scrM
\bigl[
\scrA - \v \scrL K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(\cdot , \varepsilon )
\bigr] \bigr\} \bigr\}
+K
\bigl[
F (s)
\bigr]
(k)
— обобщенный оператор Грина регуляризованной краевой задачи (7) для системы матричных
уравнений.
Пример 2. Условия следствия выполнены для матричной трехточечной разностной краевой
задачи (5), исследованной в примере 1.
Поскольку PQ\ast \not = 0, то для краевой задачи (5) имеет место критический случай, кроме
того, в силу равенства \alpha \beta = \lambda \mu для любых действительных корней \Phi j , \Psi j уравнения (6)
регуляризованная краевая задача разрешима для любых неоднородностей краевого условия и
системы разностных уравнений (5). В данном случае корнями уравнения (6) являются матрицы
\Phi 1 = \Phi 3 =
\bigl(
1 0
\bigr)
, \Phi 2 = \Phi 4 =
\bigl(
0 1
\bigr)
,
\Psi 1 =
\left( 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 1 0
\right) , \Psi 2 =
\left( 0 0 1 0 0
0 1 2 1 0
1 0 1 0 1
\right) ,
\Psi 3 =
\left( 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
\right) , \Psi 4 =
\left( 1 0 1 0 0
0 2 0 2 0
0 1 1 0 1
\right) ,
а также константы \tau 1 := 0, \tau 2 := 1, \tau 3 := 2, \tau 4 := 3. Таким образом, получаем непрерывную
матрицу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
348 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
\scrQ (\varepsilon ) =
\bigl(
\scrQ 1(\varepsilon ) \scrQ 2(\varepsilon )
\bigr)
\in \BbbC 5\times 6[0, \varepsilon 0]
полного ранга:
P\scrQ \ast (\varepsilon ) = 0, 0 < \varepsilon 0 \ll 1.
Здесь
\scrQ 1(\varepsilon ) :=
\left(
2 + 3\varepsilon 3 + 5 \varepsilon 6 + 4 \varepsilon
8 \varepsilon 12 \varepsilon 10 \varepsilon
16 + 10 \varepsilon 27 + 17 \varepsilon 10 + 9 \varepsilon
\varepsilon 0 6 \varepsilon
2 + 7 \varepsilon 3 + 12 \varepsilon 6 + 4 \varepsilon
\right)
,
\scrQ 2(\varepsilon ) =
\left(
11 + 8 \varepsilon \varepsilon 1 + 2 \varepsilon
12 \varepsilon 11 \varepsilon 16 \varepsilon
15 + 13 \varepsilon 18 + 11 \varepsilon 29 + 18 \varepsilon
8 \varepsilon \varepsilon 0
11 + 6 \varepsilon 9 \varepsilon 1 + 15 \varepsilon
\right)
.
Так как
P\scrQ r(\varepsilon ) =
\left(
2
\bigl(
- 224 - 107\varepsilon + 25\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
-
\bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 400 - 201\varepsilon + 46\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)\bigl(
- 220 - 76\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
-
\bigl(
- 200 - 72\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
-
11
\bigl(
- 28 - 14\varepsilon + 3\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4\bigl(
288 + 155\varepsilon - 32\varepsilon 2
\bigr) 2
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
\not = 0,
то регуляризованная краевая задача разрешима для любых неоднородностей краевого условия
и системы разностных уравнений (5), причем неоднозначно: решение Z(k, \varepsilon ) однородной части
возмущенной нетеровой краевой задачи (5) представимо в виде
Z(k, \varepsilon ) = W (k,\Theta r(\varepsilon )), \Theta r(\varepsilon ) := \scrM - 1
\bigl[
P\scrQ r(\varepsilon )cr
\bigr]
, cr \in \BbbR 1,
где
W \ast (k,\Theta r(\varepsilon )) =
\bigl(
W1(k,\Theta r(\varepsilon )) W2(k,\Theta r(\varepsilon ))
\bigr)
\in \BbbC 3\times 2[0, \varepsilon 0];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 349
W1(1,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
- 51 840 + 63 900\varepsilon + 5 263\varepsilon 2 - 8 495\varepsilon 3 + 928\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
-
\bigl(
- 200 - 72\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
163 584 + 167 240\varepsilon + 5 441\varepsilon 2 - 19 030\varepsilon 3 + 2 112\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
W2(1,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
85 248 + 90 520\varepsilon + 3 897\varepsilon 2 - 10 695\varepsilon 3 + 1184\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
2 880 + 2 126\varepsilon - 10\varepsilon 2 - 64\varepsilon 3
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
- 126 720 + 125 512\varepsilon + 2 941\varepsilon 2 - 13 808\varepsilon 3 + 1536\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
W1(2,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
27 648 + 38 784\varepsilon + 4 033\varepsilon 2 - 5 756\varepsilon 3 + 640\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
2 880 + 2 126\varepsilon - 10\varepsilon 2 - 64\varepsilon 3
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
- 14 976 + 22 172\varepsilon + 2 763\varepsilon 2 - 3 273\varepsilon 3 + 352\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
W2(2,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
19 584 + 15 436\varepsilon - 693\varepsilon 2 - 1 164\varepsilon 3 + 128\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
-
\bigl(
- 180 - 68\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 4 608 + 6 736\varepsilon + 3 456\varepsilon 2 - 2 109\varepsilon 3 + 224\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
W1(3,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
22 464 + 17 562\varepsilon - 703\varepsilon 2 - 1 228\varepsilon 3 + 128\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
-
\bigl(
- 180 - 68\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
4 032 + 11 674\varepsilon + 2 363\varepsilon 2 - 2 296\varepsilon 3 + 256\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
\right)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
350 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
W2(3,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
\bigl(
- 52 - 49\varepsilon + 11\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
-
\bigl(
- 160 - 64\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
14 976 + 22 172\varepsilon + 2 763\varepsilon 2 - 3 273\varepsilon 3 + 352\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
W1(4,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
-
\bigl(
- 128 - 19\varepsilon + 6\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
-
\bigl(
- 160 - 64\varepsilon + 17\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
67 968 + 80 644\varepsilon + 6 083\varepsilon 2 - 10 321\varepsilon 3 + 1120\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
W2(4,\Theta r(\varepsilon )) =
\left(
\bigl(
- 48 - 23\varepsilon + 2\varepsilon 2
\bigr) \bigl(
- 288 - 155\varepsilon + 32\varepsilon 2
\bigr)
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 48 960 - 45 358\varepsilon + 106\varepsilon 2 + 4 747\varepsilon 3 - 544\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
52 992 + 89 864\varepsilon + 13 015\varepsilon 2 - 14 411\varepsilon 3 + 1568\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
.
Решение Z(k, \varepsilon ) неоднородной возмущенной нетеровой краевой задачи (5) представимо в виде
Z(k, \varepsilon ) = W (k,\Theta r(\varepsilon )) + \scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon ),
где
\scrG \ast \bigl[ F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon ) =
\bigl(
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon ) \scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, \varepsilon )
\bigr)
;
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(0) =
\left(
557 152 + 1 045 392\varepsilon + 544 532\varepsilon 2 + 54 060\varepsilon 3 - 27 576\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
354 688 - 1 929 512\varepsilon - 1 251 740\varepsilon 2 + 145 189\varepsilon 3 + 20 627\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
1 319 776 + 1 573 512\varepsilon + 544 296\varepsilon 2 - 7 639\varepsilon 3 - 24 093\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
\right)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 351
\scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(0) =
\left(
- 2 227 304 + 2 979 216\varepsilon + 548 281\varepsilon 2 - 246 869\varepsilon 3 + 12 224\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 735 248 + 792 408\varepsilon + 666 598\varepsilon 2 - 120 497\varepsilon 3 - 2 553\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 1 696 024 + 1 639 328\varepsilon + 619 823\varepsilon 2 + 89 341\varepsilon 3 - 43 080\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(1) =
\left(
- 1 872 616 - 4 908 728\varepsilon - 1 800 021\varepsilon 2 + 392 058\varepsilon 3 + 8403\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 735 248 + 792 408\varepsilon + 666 598\varepsilon 2 - 120 497\varepsilon 3 - 2 553\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
3 571 448 + 5 057 232\varepsilon + 1581 243\varepsilon 2 - 156 199\varepsilon 3 - 42 184\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
\scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(1) =
\left(
- 334 632 + 1 362 728\varepsilon + 123 0791\varepsilon 2 + 74 792\varepsilon 3 - 51 855\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 190 280 - 568 552\varepsilon - 292 571\varepsilon 2 + 12 346\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
- 2 979 800 - 3 110 848\varepsilon - 699 335\varepsilon 2 + 52 909\varepsilon 3 + 25 750\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(2) =
\left(
443 736 + 3 613 888\varepsilon + 1920 799\varepsilon 2 - 205 405\varepsilon 3 - 36 334\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 190 280 - 568 552\varepsilon - 292 571\varepsilon 2 + 12 346\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
232 648 - 1 503 592\varepsilon - 894 703\varepsilon 2 + 129 068\varepsilon 3 + 10 043\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
\scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(2) =
\left(
- 537 096 + 1 612 176\varepsilon + 565 481\varepsilon 2 - 165 921\varepsilon 3 + 3 652\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
- 1 115 808 - 344 696\varepsilon + 81 456\varepsilon 2 - 95 805\varepsilon 3 + 15 521\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 1 209 168 + 1 657 016\varepsilon + 1436 774\varepsilon 2 - 135 289\varepsilon 3 - 24 465\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
352 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(3) =
\left(
786 240 - 721 976\varepsilon - 834 642\varepsilon 2 + 18 567\varepsilon 3 + 23 459\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
- 1 115 808 - 344 696\varepsilon + 81 456\varepsilon 2 - 95 805\varepsilon 3 + 15 521\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
490 416 + 2 613 032\varepsilon + 1243 140\varepsilon 2 - 185 663\varepsilon 3 - 16 341\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
\right)
,
\scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(3) =
\left(
- 232 648 + 1 503 592\varepsilon + 894 703\varepsilon 2 - 129 068\varepsilon 3 - 10 043\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 1496 368 + 1 481 800\varepsilon + 503 686\varepsilon 2 + 71 113\varepsilon 3 - 33 595\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 232 648 + 1 503 592\varepsilon + 894 703\varepsilon 2 - 129 068\varepsilon 3 - 10 043\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
;
\scrG 1
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(4) =
\left(
3 192 392 + 5 535 152\varepsilon + 1046 389\varepsilon 2 - 703 973\varepsilon 3 + 59 700\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 1 496 368 + 1 481 800\varepsilon + 503 686\varepsilon 2 + 71 113\varepsilon 3 - 33 595\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
3 834 280 + 6 744 456\varepsilon + 1735 109\varepsilon 2 - 622 960\varepsilon 3 + 22 267\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
,
\scrG 2
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(4) =
\left(
1 357 080 + 36 592\varepsilon - 1 254 857\varepsilon 2 - 322 747\varepsilon 3 + 88 544\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
- 1 306 088 + 913 248\varepsilon + 211 115\varepsilon 2 + 83 459\varepsilon 3 - 24 558\varepsilon 4
756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4
4 823 736 + 14 113 096\varepsilon + 5 240 619\varepsilon 2 - 1 237 630\varepsilon 3 - 8 589\varepsilon 4
2 (756 808 + 729 376\varepsilon + 11 705\varepsilon 2 - 79 850\varepsilon 3 + 9 037\varepsilon 4)
\right)
.
Найденное ограниченное решение Z(k, \varepsilon ) регуляризованной краевой задачи для матричной
краевой задачи (5) определяет ограниченное решение \scrZ (k) этой краевой задачи:
\scrZ (k) := Z(k, 0) = W (k,\Theta r(0)) + \scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(k, 0), cr \in \BbbR 1,
где
W (0,\Theta r(0)) = \Theta r(0) cr =
\left(
16 128
94 601
3 960
94 601
- 11 088
94 601
- 7 200
94 601
- 3 600
94 601
5 184
94 601
\right) cr,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 353
W (1,\Theta r(0)) =
\left(
- 3 240
94 601
- 3 600
94 601
10 224
94 601
5 328
94 601
360
94 601
- 7 920
94 601
\right) cr,
W (2,\Theta r(0)) =
\left(
1 728
94 601
360
94 601
- 72
7 277
2 448
94 601
- 3 240
94 601
- 288
94 601
\right) cr,
W (3,\Theta r(0)) =
\left(
216
7 277
- 3 240
94 601
504
94 601
72
7 277
- 2 880
94 601
72
7 277
\right) cr,
W (4,\Theta r(0)) =
\left(
- 2 304
94 601
- 2 880
94 601
4 248
94 601
864
94 601
- 6 120
94 601
3 312
94 601
\right) cr,
кроме того,
\scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(0, 0) =
\left(
69 644
94 601
22 168
94 601
164 972
94 601
- 278 413
189 202
- 45 953
94 601
- 212 003
189 202
\right) ,
\scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(1, 0) =
\left(
- 234 077
189 202
- 45 953
94 601
446 431
189 202
- 41 829
189 202
- 23 785
94 601
- 372 475
189 202
\right) ,
\scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(2, 0) =
\left(
55 467
189 202
- 23 785
94 601
2 237
14 554
- 67 137
94 601
- 69 738
94 601
- 75 573
94 601
\right) ,
\scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(3, 0) =
\left(
7 560
7 277
- 69 738
94 601
61 302
94 601
- 2 237
14 554
- 93 523
94 601
- 2 237
14 554
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
354 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО, Я. В. КАЛИНИЧЕНКО
\scrG
\bigl[
F (s);\scrA
\bigr]
(4, 0) =
\left(
399 049
189 202
- 93 523
94 601
479 285
189 202
169 635
189 202
- 163 261
94 601
602 967
189 202
\right) .
Найденное с помощью техники регуляризации ограниченное решение \scrZ (k) матричной кра-
евой задачи (5) однопараметрично в отличие от ограниченного решения краевой задачи (5),
найденного в примере 1, содержащего четыре произвольные скалярные константы.
Полученные в статье результаты исследования задачи о построении решений матричной
разностной краевой задачи (1) могут быть аналогично [13 – 15] перенесены на матричные
краевые задачи для разностно-алгебраических уравнений.
Литература
1. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2th ed.,
De Gruyter, Berlin; Boston (2016).
2. A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, A critical periodic boundary value problem for a matrix Riccati equations, Different.
Equat., 37, № 4, 464 – 471 (2001).
3. А. А. Бойчук, Краевые задачи для систем разностных уравнений, Укр. мат. журн., 49, № 6, 832 – 835 (1997).
4. Д. И. Мартынюк, Лекции по качественной теории разностных уравнений, Наук. думка, Киев (1972).
5. A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type, Ukr. Math. J.,
50, № 8, 1162 – 1169 (1998).
6. С. М. Чуйко, Обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матричного разностного
уравнения, Тавр. вестн. информатики и математики, № 1 (26), 104 – 116 (2015).
7. С. М. Чуйко, Обобщенное матричное дифференциально-алгебраическое уравнение, Укр. мат. вiсн., 12, № 1,
11 – 26 (2015).
8. S. M. Chuiko, The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem,
Siberian Math. J., 56, № 4, 752 – 760 (2015).
9. В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов, Матрицы и вычисления, Наука, Москва (1984).
10. С. Г. Крейн, Линейные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва (1971).
11. А. Н.Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, Москва (1986).
12. S. M. Chuiko, E. V. Chuiko, A. V. Belushenko, On a regularization method for solving linear matrix equation, Bull.
Taras Shevchenko Nat. Univ. Ser. Math., 1, 12 – 14 (2014).
13. A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, V. F. Chistyakov, Application of perturbation theory to the solvability analysis of
differential algebraic equations, Comput. Math. and Math. Phys., 53, № 6, 777 – 788 (2013).
14. S. M. Chuiko, On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-value problem, J. Math. Sci., 220,
№ 5, 591 – 602 (2017).
15. S. Chuiko, Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation, Miskolc Math. Notes, 17,
№ 1, 139 – 150 (2016).
Получено 06.01.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-637 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:03:24Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f0/f7b738a50641c81d4409a619a9eda9f0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-6372020-05-26T09:22:56Z Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation Линейная нетерова краевая задача для матричного разностного уравнения Лінійна нетерова крайова задача для матричного різницевого рівняння Chuiko, S. M. Kalinichenko , Ya. V. Boichuk , A. A. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, А. А. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, О. А. UDC 517.9 &lt;br&gt; We establish constructive conditions for the solvability and propose a scheme for constructing solutions of a linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation.&nbsp;&nbsp;We suggest an original scheme of regularization of a linear Noetherian boundary-value problem for a linear degenerate system of difference equations.&nbsp; УДК 517.9&nbsp; Найдены конструктивные условия разрешимости и схема построения решений линейной нетеровой краевой задачи для матричного разностного уравнения. Предложена оригинальная схема регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для линейной вырожденной системы разностных уравнений. УДК 517.9&nbsp; Встановлено конструктивні умови розв'язності та наведено схему побудови розв'язків лінійної нетерової крайової задачі для матричного різницевого рівняння.&nbsp; Запропоновано оригінальну схему регуляризації лінійної нетерової крайової задачі для лінійної виродженої системи різницевих рівнянь.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/637 10.37863/umzh.v72i3.637 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 3 (2020); 340-354 Український математичний журнал; Том 72 № 3 (2020); 340-354 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/637/8666 Copyright (c) 2020 Сергій Михайлович Чуйко |
| spellingShingle | Chuiko, S. M. Kalinichenko , Ya. V. Boichuk , A. A. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, А. А. Чуйко, С. М. Калиниченко, Я. В. Бойчук, О. А. Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title | Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title_alt | Линейная нетерова краевая задача для матричного разностного уравнения Лінійна нетерова крайова задача для матричного різницевого рівняння |
| title_full | Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title_fullStr | Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title_full_unstemmed | Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title_short | Linear Noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| title_sort | linear noetherian boundary-value problem for a matrix difference equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/637 |
| work_keys_str_mv | AT chuikosm linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT kalinichenkoyav linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT boichukaa linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT čujkosm linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT kaliničenkoâv linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT bojčukaa linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT čujkosm linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT kaliničenkoâv linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT bojčukoa linearnoetherianboundaryvalueproblemforamatrixdifferenceequation AT chuikosm linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT kalinichenkoyav linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT boichukaa linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT čujkosm linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT kaliničenkoâv linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT bojčukaa linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT čujkosm linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT kaliničenkoâv linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT bojčukoa linejnaâneterovakraevaâzadačadlâmatričnogoraznostnogouravneniâ AT chuikosm líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT kalinichenkoyav líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT boichukaa líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT čujkosm líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT kaliničenkoâv líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT bojčukaa líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT čujkosm líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT kaliničenkoâv líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ AT bojčukoa líníjnaneterovakrajovazadačadlâmatričnogoríznicevogorívnânnâ |