Differential invariants, hidden and conditional symmetry
UDC 517.958:512.86 We provide a review on the development of hidden symmetry concept in the field of partial differential equations including a series of results previously obtained by the author. We also adduce new examples of classes of equations having type II hidden symmetry, and explain the nat...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6377 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512342310125568 |
|---|---|
| author | Yehorchenko, I. A. Єгорченко, І. A. |
| author_facet | Yehorchenko, I. A. Єгорченко, І. A. |
| author_sort | Yehorchenko, I. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:35Z |
| description | UDC 517.958:512.86
We provide a review on the development of hidden symmetry concept in the field of partial differential equations including a series of results previously obtained by the author. We also adduce new examples of classes of equations having type II hidden symmetry, and explain the nature of known non-classical symmetry of some equations.We suggest an algorithm for description of classes of equations having specified conditional or hidden symmetry and/or reducible to equations with smaller number of independent variables by using a specific ansatz. We consider reductions that exist due to Lie, conditional and type II hidden symmetry. We also discuss relations between the concepts of hidden and conditional symmetry. It is proved that the type II hidden symmetry, which is previously regarded to be a special type of non-Lie symmetry, arises from the non-trivial $Q$-conditional symmetry of reduced equations. This approach allows not only to find the hidden symmetry and new reductions of known equations, but also makes it possible to describe a general form of equations from the specified $Q$-conditional and type II hidden symmetry.As an example, we describe the general classes of equations with hidden and conditional symmetry under rotations in the Lorentz and Euclid groups, for which the relevant hidden and conditional symmetry allows reduction to radial equations with a smaller number of independent variables. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i8.6377 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.6377
УДК 517.958:512.86
I. A. Єгорченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ
We provide a review on the development of hidden symmetry concept in the field of partial differential equations including
a series of results previously obtained by the author. We also adduce new examples of classes of equations having type II
hidden symmetry, and explain the nature of known non-classical symmetry of some equations.
We suggest an algorithm for description of classes of equations having specified conditional or hidden symmetry and/or
reducible to equations with smaller number of independent variables by using a specific ansatz. We consider reductions
that exist due to Lie, conditional and type II hidden symmetry. We also discuss relations between the concepts of hidden
and conditional symmetry. It is proved that the type II hidden symmetry, which is previously regarded to be a special type
of non-Lie symmetry, arises from the non-trivial Q-conditional symmetry of reduced equations. This approach allows not
only to find the hidden symmetry and new reductions of known equations, but also makes it possible to describe a general
form of equations from the specified Q-conditional and type II hidden symmetry.
As an example, we describe the general classes of equations with hidden and conditional symmetry under rotations in
the Lorentz and Euclid groups, for which the relevant hidden and conditional symmetry allows reduction to radial equations
with a smaller number of independent variables.
Наведено огляд розвитку поняття прихованої симетрiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та резуль-
татiв, отриманих автором ранiше, а також новi приклади класiв рiвнянь, що мають приховану симетрiю II типу, i
пояснено природу ранiше знайденої некласичної симетрiї деяких рiвнянь.
Наведено конструктивний алгоритм для опису класiв рiвнянь, якi мають визначену умовну або приховану
симетрiю, та/або можуть бути редукованi до рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних з використанням
заданого анзацу. Розглянуто редукцiї, якi виникають завдяки лiївськiй та умовнiй симетрiї, а також завдяки прихо-
ванiй симетрiї II типу. Обговорено взаємозв’язки мiж поняттями прихованої та умовної симетрiї. Встановлено, що
прихована симетрiя II типу, яка ранiше розглядалась як окремий тип нелiївської симетрiї, насправдi виникає внаслi-
док нетривiальної Q-умовної симетрiї редукованих рiвнянь. Такий пiдхiд дозволяє не тiльки знаходити приховану
симетрiю та новi редукцiї вiдомих рiвнянь, але й описувати загальний вигляд рiвнянь iз заданою Q-умовною та
прихованою симетрiєю II типу.
Як приклади описано загальнi класи рiвнянь, що мають порушену симетрiю вiдносно поворотiв у групах
Лоренца та Eвклiда, для яких вiдповiдна прихована та умовна симетрiя дозволяє редукцiю до радiальних рiвнянь з
меншою кiлькiстю незалежних змiнних.
1. Основнi поняття. Однiєю з ключових проблем у галузi симетрiйного аналiзу диференцi-
альних рiвнянь є опис рiвнянь iз заздалегiдь визначеними симетрiйними властивостями. Задачi
опису рiвнянь, iнварiантних вiдносно певної групи, почав розглядати основоположник симет-
рiйного аналiзу диференцiальних рiвнянь Софус Лi, наприклад, у роботi [1]. Вибiр рiвнянь iз
визначеними симетрiйними властивостями може означати, що такi рiвняння матимуть розв’язки
визначеної структури.
Поняття умовної та прихованої симетрiї дослiджувалися багатьма авторами (щодо умовної
симетрiї див. роботи [2 – 7]). При цьому розробцi теорiї та формальних означень передувала
поява прикладiв, якi явно були симетрiями диференцiальних рiвнянь, проте не вiдповiдали кла-
сичному означенню симетрiї в сенсi Лi. Поняття „прихована симетрiя” щодо диференцiальних
рiвнянь або математичних моделей має рiзнi значення у рiзних контекстах, i звичайно це симет-
рiя, яку не можна отримати шляхом застосування якоїсь стандартної процедури. Використання
цього термiна є подiбним до iнших термiнiв типу „умовна симетрiя”, „наближена симетрiя” та
„симетрiя” або „iнварiантнiсть”, коли однаковi слова у рiзних авторiв можуть означати рiзнi
поняття.
c\bigcirc I. A. ЄГОРЧЕНКО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8 1023
1024 I. A. ЄГОРЧЕНКО
Для розгляду умовної симетрiї будемо використовувати поняття Q-умовної симетрiї в тому
сенсi, в якому воно описане в книзi В. I. Фущича, В. М. Штеленя та М. I. Сєрова [8].
Поняття прихованої симетрiї I та II типу для звичайних диференцiальних рiвнянь (далi
ЗДР) введено в роботах [9, 10]. Щодо ЗДР така симетрiя виникає як симетрiя рiвнянь меншого
порядку, яка не породжується симетрiєю початкового рiвняння. Подiбним чином, для диферен-
цiальних рiвнянь з частинними похiдними (далi ДРЧП) це є симетрiя редукованого рiвняння
(зi зменшеною кiлькiстю незалежних змiнних), яка вiдсутня у початковому рiвняннi. Проте для
пошуку прихованих симетрiй ми будемо розглядати не тiльки симетрiйнi редукцiї.
Для ДРЧП така симетрiя має певнi особливостi. Вперше поняття прихованої симетрiї II типу
та вiдповiдне формальне означення саме для ДРЧП було запроваджене автором у роботi [11]. Це
симетрiя редукованого рiвняння, яка не буде анi класичною лiївською симетрiєю початкового
ДРЧП, анi Q-умовною симетрiєю початкового рiвняння. Проте приклад нелiївської симетрiї,
яка є прихованою симетрiєю, наведено в роботi [12], хоча цей тип симетрiї не визначено в цiй
роботi окремо.
Означення 1 [11]. Диференцiальне рiвняння має приховану симетрiю вiдносно оператора
X, якщо пiсля виконання редукцiї кiлькостi незалежних змiнних отримане редуковане рiвняння
буде iнварiантним вiдносно оператора X1 (який є проєкцiєю оператора X на новi змiннi),
тодi як початкове рiвняння не є iнварiантним вiдносно X.
У роботi [13] знайдено прихованi симетрiї II типу для рiвнянь Лапласа, хоча зауважено, що
це iнший тип симетрiї, нiж визначений у роботi [11]. На думку автора, таке трактування не є
коректним, тому що прихованi симетрiї II типу i в роботi [13] знайдено саме як новi симетрiї
редукованих рiвнянь (розглянуто радiальнi рiвняння, отриманi в результатi редукцiї початково-
го рiвняння Лапласа), проте тi самi редукованi рiвняння (ДРЧП iз меншим числом незалежних
змiнних чи ЗДР) можуть бути отриманi i як розв’язки системи початкового рiвняння та додатко-
вих умов, що визначаються операторами Q-умовної iнварiантностi. Таке трактування збiгається
з означенням прихованої симетрiї II типу [11]. При цьому новi оператори, якi включають новi
змiннi редукованого рiвняння, можна отримати як проєкцiї оператора прихованої симетрiї на
простiр цих нових змiнних. Трактування прихованої симетрiї II типу як „слабкої” (умовної)
симетрiї початкового рiвняння, аналогiчне [11], було пiзнiше наведено також в роботi [14].
Прихована симетрiя може бути „класичною” в тому сенсi, що повна прихована симетрiя ЗДР
або ДРЧП може знаходитись шляхом послiдовної симетрiйної редукцiї початкового рiвняння та
дослiдження лiївської симетрiї редукованих рiвнянь, як, наприклад, описано у програмi „Пiдмо-
делi” Л. В. Овсяннiкова [15]. „Симетрiя” або „лiївська симетрiя” визначається у вiдповiдностi
з процедурами, якi мiстяться, наприклад, у [16, 17].
Трактування поняття прихованої симетрiї II типу для ДРЧП бiльш детально розвинено
в роботi [18], де також уперше було викладено алгоритм побудови класiв рiвнянь з такою
симетрiєю та розглянуто новi приклади опису таких класiв. Огляд деяких нових результатiв
щодо прихованих симетрiй диференцiальних рiвнянь наведено в роботi [19].
У роботi [20] доведено, що редукцiя ДРЧП (прямий метод анзацiв) еквiвалентна класичнiй
(або Q-умовнiй) симетрiї. Таким чином, умовна iнварiантнiсть диференцiального рiвняння
вiдносно iнволютивної сiм’ї диференцiальних операторiв першого порядку Qa еквiвалентна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ 1025
можливостi редукцiї цього рiвняння з використанням анзацу, який вiдповiдає цiй сiм’ї опера-
торiв.
Таким чином, опис усiх рiвнянь з певного класу, що мають визначену умовну симетрiю
(якщо бiльш строго, тут розглядатимемо тiльки Q-умовну симетрiю, згiдно з визначенням [8]),
дає можливiсть отримати всi рiвняння з цього класу, якi можуть бути редукованi з використан-
ням анзацу, що вiдповiдає цим операторам умовної симетрiї.
Означення 2 [8]. Рiвняння F (x, u, u
1
, . . . , u
l
) = 0, де u
k
— множина всiх частинних похiдних
порядку k функцiї u = (u1, u2, . . . , um), назвемо Q-умовно iнварiантним вiдносно оператора
Q = \xi i(x, u)\partial xi+\eta r(x, u)\partial ur , якщо система двох рiвнянь F = 0, Qu = O iнварiантна вiдносно
оператора Q. Необхiдно враховувати всi диференцiальнi наслiдки умови Qu = 0 до порядку
l - 1.
Зазначимо, що саме таке означення умовної симетрiї є потрiбним, якщо хочемо описати
рiвняння, якi можуть бути редукованi з використанням певного анзацу. Проте можемо викорис-
тати бiльш загальне означення умовної симетрiї з довiльною додатковою умовою та описати
класи рiвнянь, якi мають таку симетрiю.
Означення 3 [8]. Рiвняння F (x, u, u
1
, . . . , u
l
) = 0, де u
k
— множина всiх частинних похiд-
них порядку k функцiї u = (u1, u2, . . . , um), назвемо умовно iнварiантним, якщо iснує така
додаткова умова G(x, u, u
1
, . . . , u
l1
) = 0, що система двох рiвнянь F = 0, G = 0 iнварiантна
вiдносно певного оператора Q = \xi i(x, u)\partial xi + \eta r(x, u)\partial ur , який не є оператором лiївської
iнварiантностi для рiвняння F = 0. Всi диференцiальнi наслiдки умови G = 0 необхiдно
враховувати до порядку l - l1.
Групова класифiкацiя класiв диференцiальних рiвнянь спрямована на визначення рiвнянь,
якi мають бiльш широку симетрiю, нiж рiвняння всього класу в цiлому. Огляд задач групової
класифiкацiї та ґрунтовний список вiдповiдних посилань наведено в роботi [21]. Зазвичай
розглядають два типи таких задач: знаходження рiвнянь, що належать до загального класу та є
iнварiантними вiдносно заданої групи симетрiї, та опис усiх симетрiй (з точнiстю до адекват-
ним чином визначеного спiввiдношення еквiвалентностi) рiвнянь, якi належать до конкретного
класу. На основi вiдомих алгоритмiв групової класифiкацiї диференцiальних рiвнянь у сенсi
Лi ми розробили пiдхiд до систематичного опису класiв нелiнiйних ДРЧП, якi мають умовну
та приховану симетрiю. Означення умовних диференцiальних iнварiантiв, наведене нижче,
базується на означеннi обох описаних типiв умовної симетрiї.
Означення 4 [22]. Клас рiвнянь назвемо загальним, якщо будь-якi локальнi перетворення
залежних та незалежних змiнних трансформують будь-яке рiвняння з цього класу у рiвняння
з цього ж класу.
Прикладом загального класу рiвнянь є клас усiх ДРЧП порядку k F = F (x, u, u
1
, . . . , u
k
) = 0,
де x i u — вiдповiдно n-вимiрна та m-вимiрна незалежна та залежна змiннi, u
r
— множина
всiх частинних похiдних порядку r функцiї u =
\bigl(
u1, u2, . . . , um
\bigr)
.
Групова класифiкацiя для загальних класiв, навiть вiдносно лiївської симетрiї, є дуже склад-
ним завданням. Задачу групової класифiкацiї для загального класу було повнiстю розв’язано
для одного ЗДР другого порядку Софусом Лi [23]. Обмеженою, проте практично важливою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1026 I. A. ЄГОРЧЕНКО
задачею для загальних класiв рiвнянь є опис усiх рiвнянь в такому класi, iнварiантних вiдносно
певної групи симетрiї, що можна здiйснити шляхом опису всiх диференцiальних iнварiантiв
(абсолютних та вiдносних) для такої групи. Аналогiчно, опис рiвнянь, якi мають визначену
умовну симетрiю, можна здiйснити через опис умовних диференцiальних iнварiантiв, як було
продемонстровано у [22].
Для певних класiв може бути можливим здiйснення повної групової класифiкацiї системи,
яка складається з початкового рiвняння та умов редукцiї типу Qa[u] = 0 (з вiдповiдними
продовженнями умов редукцiї).
Означення 5 [22]. Функцiя F (x, u, u
1
, . . . , u
k
) є умовним диференцiальним iнварiантом опе-
ратора Q, якщо за умови G(x, u, u
1
, . . . , u
r
) = 0 виконано спiввiдношення Q[F ] = 0, Q[G] = 0.
Використовуємо продовження операторiв порядку \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(k, r).
Множину iнварiантiв порядку r \leq k оператора Q з умовами G = 0 назвемо генеруючою
множиною умовних диференцiальних iнварiантiв k-го порядку оператора Q, якщо всi iншi
iнварiанти можна представити як функцiї iнварiантiв з цiєї множини.
Iнварiанти з такої генеруючої множини можуть бути абсолютними iнварiантами оператора
Q або G-умовними iнварiантами вигляду G(l)\times R(l), де G(l) — похiднi вiд G порядку l \leq k - r,
а R(l) — довiльнi функцiї, визначенi на многовидах G(k) = 0 для всiх значень k.
Кiлькiсть функцiонально незалежних Q-абсолютних iнварiантiв у генеруючiй множинi
умовних диференцiальних iнварiантiв можна розрахувати подiбно до кiлькостi iнварiантiв у
функцiональному базисi абсолютних диференцiальних iнварiантiв як s - 1, де s — кiлькiсть
змiнних у множинi x, u, u
1
, . . . , u
k
. Кiлькiсть незалежних чисто G-умовних iнварiантiв дорiвнює
кiлькостi незалежних умов типу G(l) = 0 та їхнiх диференцiальних наслiдкiв.
У деяких випадках можна побудувати функцiональний базис умовних диференцiальних
iнварiантiв, тобто максимальний набiр функцiонально незалежних умовних iнварiантiв. Це
можливо, наприклад, у випадку, якщо поставимо вимогу, щоб шуканi умовнi диференцiальнi
iнварiанти також були абсолютними iнварiантами деякої алгебри Лi L i додатковi умови G = 0
в означеннi 3 та їхнi вiдповiднi диференцiальнi наслiдки були неiнварiантними вiдносно L.
2. Взаємозв’язок прихованої та умовної симетрiї. Далi будемо розглядати приховану си-
метрiю II типу як частковий випадок умовної симетрiї та обговоримо систематичний пiдхiд до
опису рiвнянь з певною прихованою симетрiєю, або рiвнянь, якi можуть мати таку симетрiю
в рамках такого пiдходу. У роботi [24] наведено цiкаве обговорення джерела та природи при-
хованої симетрiї II типу. Проте ми вважаємо, що для того, щоб чiтко усвiдомлювати природу
прихованої симетрiї, необхiдно завжди враховувати додатковi умови (якi стосуються лiївських
або некласичних симетрiй), якi породжують редукцiю до нових симетрiй i є прихованими
симетрiями початкового рiвняння.
В рамках означення 1 додаткова симетрiя вiдносно оператора X1 редукованого рiвняння
(прихована симетрiя вiдносно оператора X для початкового рiвняння) є умовною симетрiєю
початкового рiвняння за умови Qa[u] = 0 (Qa[u] означають характеристики векторного поля
Qa) з усiма вiдповiдними диференцiальними наслiдками. Зазначимо, що X1 — це лiївська
симетрiя редукованого рiвняння, але ми не додаємо умову X[u] = 0 до множини умов, i, таким
чином, цей оператор не буде власне Q-умовною симетрiєю в сенсi означення 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ 1027
Q-умовна симетрiя також може бути прихованою, тобто новою Q-умовною симетрiєю
редукованого рiвняння [25].
Можемо описати рiвняння з повнiстю визначеними прихованими симетрiями з використан-
ням умовних диференцiальних iнварiантiв. У якостi умов для пошуку таких iнварiантiв повиннi
використовуватись як умови редукцiї, так i оператори прихованої симетрiї.
Наведемо алгоритм групової класифiкацiї вiдносно прихованої симетрiї вiдповiдно до [11],
коли прихованi симетрiї невiдомi чи не заданi спочатку.
Крок 1. Отримуємо редукованi рiвняння для початкового класу ДРЧП, використовуючи
наявнi лiївськi та умовнi симетрiї. Цей крок потребує стандартної групової класифiкацiї.
Крок 2. Групова класифiкацiя редукованих рiвнянь. На цьому кроцi можуть бути знайденi
новi симетрiї редукованих рiвнянь (нових симетрiй може i не бути; у цьому випадку клас
рiвнянь не матиме прихованих симетрiй). Цей крок включає знаходження груп еквiвалентностi
для даного класу та його пiдкласiв.
Крок 3. Розмноження нееквiвалентних iнварiантних редукованих рiвнянь перетвореннями з
групи еквiвалентностi цього класу.
Крок 4. Повернення до початкового класу рiвнянь: знаходимо рiвняння з початкового класу
ДРЧП, якi вiдповiдають цим розмноженим редукованим рiвнянням.
Крок 5. Знаходимо всi нееквiвалентнi рiвняння вiдносно перетворень з групи еквiвалентнос-
тi для початкового класу ДРЧП.
Нетривiальна прихована симетрiя для диференцiальних рiвнянь породжується наявнiстю у
редукованих рiвнянь бiльш широкої групи еквiвалентностi, нiж мають початковi рiвняння (див.
[26, 27]). Отже, групова класифiкацiя вiдносно прихованої симетрiї включає дослiдження груп
еквiвалентностi для таких класiв таким же чином, як i у процесi групової класифiкацiї вiдносно
лiївської симетрiї.
В роботi [28] наведено бiльш обмежений алгоритм опису рiвнянь, що мають заданi при-
хованi симетрiї шляхом побудови нових ДРЧП iз бiльшою кiлькiстю незалежних змiнних, якi
редукуються до визначеного рiвняння.
„Простi” прихованi симетрiї (лiївськi симетрiї редукованих рiвнянь) для конкретного класу
рiвнянь можуть бути знайденi шляхом послiдовних лiївських редукцiй та послiдовного знахо-
дження лiївських симетрiй редукованих рiвнянь. Групова класифiкацiя вiдносно прихованих
симетрiй редукованих рiвнянь включатиме опис усiх можливих редукцiй та групових класифi-
кацiй для вiдповiдних класiв редукованих рiвнянь.
У роботi [11] розглянуто приклад нелiнiйного хвильового рiвняння для двох просторових
змiнних
\Box u = f(t, x, y, u). (1)
Тут ми використовуємо звичайнi позначення для частинних похiдних та для оператора Далам-
бера.
Проведено групову класифiкацiю рiвняння (1) вiдносно прихованих симетрiй для редукцiї
з використанням оператора \partial y. Така редукцiя приводить до двовимiрного хвильового рiвнян-
ня utt - uxx = f(t, x, u). Наступним кроком є звичайна групова класифiкацiя редукованого
рiвняння з точнiстю до перетворень з групи еквiвалентностi рiвняння (див. [16] (fuu = 0) та
[29] (fuu \not = 0)). Умовну симетрiю рiвняння (1) було дослiджено в роботi [30]. „Розширення”
розмiрностi знайдених рiвнянь з нетривiальними умовними симетрiями в цьому класi дасть
можливiсть отримати новi багатовимiрнi рiвняння з прихованими симетрiями.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1028 I. A. ЄГОРЧЕНКО
3. Приклад групової класифiкацiї для загального класу: прихована симетрiя вiдносно
перетворень зсуву. В якостi прикладу ми використовуємо загальний клас усiх ДРЧП другого
порядку для скалярної функцiї u та трьох незалежних змiнних t, x, y [22]:
F = F (t, x, y, u, u
1
, u
2
) = 0. (2)
Цей клас включає багато хвильових та еволюцiйних рiвнянь, якi є цiкавими з точки зору
фiзики. Викладенi iдеї можна узагальнити для рiвнянь з бiльшою кiлькiстю змiнних та iнших
операторiв симетрiї.
Опишемо рiвняння, якi мають лiївську симетрiю вiдносно оператора \partial x та приховану си-
метрiю вiдносно оператора \partial y пiсля редукцiї з використанням оператора \partial x. Умовою такої
лiївської та прихованої симетрiї, згiдно з означенням 2, є iнварiантнiсть рiвняння (2) вiдносно
оператора \partial y за умови ux = 0:
\partial xF
\bigm| \bigm|
F=0
= 0, \partial yF
\bigm| \bigm|
F=0, ux=0
= 0. (3)
Загальним розв’язком рiвняння (3) є функцiя всiх iнварiантiв операторiв \partial x i \partial y, тобто t, u,
ut, ux, uy (якi є абсолютними iнварiантами оператора \partial x), та умовних iнварiантiв
q1 = uxR
1, q2 = uxtR
2, q3 = uxxR
3, q4 = uxyR
4,
де Rk = Rk(t, y, u, u
1
, u
2
) — довiльнi функцiї, визначенi на многовидi ux = 0, uxt = 0, uxx = 0,
uxy = 0:
F (qk, t, u, u
1
, u
2
) = 0. (4)
F повинна бути функцiєю iнварiантiв оператора прихованої симетрiї на многовидi, визначе-
ному умовою редукцiї, та мати довiльну форму на iнших многовидах. Зазначимо, що функцiї qk
у виразi (4) не є повнiстю довiльними: не можна взяти, наприклад, q1 = uxR
1 = ux
\widetilde R1
ux
, тому
що таку функцiю R1 =
\widetilde R1
ux
у загальному випадку не можна визначити на многовидi ux = 0.
Рiвняння (4) редукується з використанням оператора \partial x до рiвняння
F1(t, u, ut, uy, utt, uty, uyy) = 0,
яке є iнварiантним вiдносно \partial y. Якщо Rk
y \not = 0 у як мiнiмум одному виразi для qk у (4), то
це рiвняння не буде iнварiантним вiдносно оператора \partial y, i вiдповiдна прихована симетрiя є
власною прихованою симетрiєю.
Нижче наведено бiльш конкретнi приклади рiвнянь з прихованою трансляцiйною симетрiєю
(цi рiвняння не будуть iнварiантними в сенсi Лi вiдносно зсувiв по y, тому що коефiцiєнти цих
рiвнянь залежать вiд y):
ut + uxK1(t, y, u) + uyK2(t, u) + uxx + uyy = 0,
utt - (K1(t, y, u)ux)x - (K2(t, u)uy)y = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ 1029
4. Рiвняння, якi можна редукувати з використанням радiальних змiнних. Як проде-
монстровано, наприклад, у [25], а також у [31], редукцiя з використанням радiальних змiнних
часто дає редукованi рiвняння з новими симетрiями, яких не мають початковi рiвняння. Ця
властивiсть означає наявнiсть вiдповiдних прихованих симетрiй початкових рiвнянь.
Наведемо огляд результатiв, отриманих у роботi [18], щодо опису всiх рiвнянь вигляду (2),
якi можуть бути редукованi за допомогою радiальних змiнних
r = x2 + y2, (5)
\rho = t2 - x2 - y2. (6)
Можливiсть редукцiї рiвняння (2) з використанням нової змiнної (5) еквiвалентна його
умовнiй iнварiантностi вiдносно оператора поворотiв
J = x\partial y - y\partial x. (7)
Умовнi диференцiальнi iнварiанти з умовою
xuy - yux = 0. (8)
можна описати за допомогою об’єднання двох множин iнварiантiв: функцiонального базису
абсолютних диференцiальних iнварiантiв для оператора поворотiв (7) (див., наприклад, [32], де
такi базиси будувалися для групи поворотiв довiльної розмiрностi)
t, u, ut, utt, r = x2 + y2, xux + yuy, u2x + u2y, uxx + uyy,
u2xuxx + 2uxuyuxy + u2yuyy, xuxuxx + (xuy + yux)uxy + yuyuyy, (9)
u2xt + u2yt, xuxt + yuyt
(ми використовували позначення x1 = x, x2 = y, u1 = ux, u2 = uy та iн.; \varepsilon kl = 1, якщо k = l,
або \varepsilon kl = 0, якщо k \not = l) та набору власних умовних диференцiальних iнварiантiв з умовою (8)
uk
xk
,
ukt
xk
,
ukl
xkxl
- \varepsilon kl
uk
x3k
. (10)
Легко перевiрити безпосередньо, що цi вирази є диференцiальними iнварiантами за умови
(7). Наведенi власнi умовнi диференцiальнi iнварiанти не представляють функцiональний базис;
наприклад, iснують функцiональнi спiввiдношення мiж такими виразами:
ux
x
=
uy
y
, проте саме
цей набiр наводимо для того, щоб показати загальну структуру iнварiантiв.
Рiвняння вигляду (2), яке редукується з застосуванням анзацу
u = \phi (t, r), (11)
можна записати так:
F
\biggl(
IA,
uk
xk
,
ukt
xk
,
ukl
xkxl
- \varepsilon kl
uk
x3k
\biggr)
= 0, (12)
де IA — функцiональний базис абсолютних диференцiальних iнварiантiв (9), а iншi змiннi
представлено власними умовними диференцiальними iнварiантами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1030 I. A. ЄГОРЧЕНКО
Легко перевiрити, що рiвняння (12) можуть бути редукованi за допомогою анзацу (11) до
вигляду
f(t, r, \phi , \phi t, \phi r, \phi tt, \phi tr, \phi rr) = 0,
i можна дослiдити цей клас з метою знаходження рiвнянь, якi мають новi симетрiї. Таким
чином, рiвняння, що мають прихованi симетрiї, можна описати умовними диференцiальними
iнварiантами вiдносно (8) та цих нових симетрiй.
Редукцiя рiвняння (2) з використанням нової змiнної (6) еквiвалентна його умовнiй iнварi-
антностi вiдносно операторiв з алгебри Лоренца
J01 = t\partial x + x\partial t, J02 = t\partial y + y\partial t, J = x\partial y - y\partial x. (13)
Умовнi диференцiальнi iнварiанти з умовами
tux + xut = 0, tuy + yut = 0, xuy - yux = 0 (14)
можна вибрати у формi
u, x\mu x\mu , x\mu u\mu , u\mu u\mu , \Box u, u\mu u\mu \nu u\nu , u\mu u\mu \nu u\nu \alpha u\alpha , (15)
u\mu \nu u\nu \alpha u\mu \alpha , x\mu u\mu \nu u\nu , x\mu u\mu \nu u\nu \alpha u\alpha ,
u\mu
x\mu
,
u\mu \nu
x\mu x\nu
- g\mu \nu
u\mu
x3\mu
. (16)
Тут \mu , \nu , \alpha набувають значень вiд 0 до 2; x0 = t, x1 = x, x2 = y, u0 = ut, u1 = ux, u2 = uy
та iн.; g\mu \nu = (1, - 1, - 1).
Iнварiанти (15) представляють функцiональний базис абсолютних диференцiальних iнварi-
антiв для оператора (13). Iнварiанти (16) є власними умовними диференцiальними iнварiантами
вiдносно умови (14) (це легко перевiрити безпосередньо). Наведенi власнi умовнi диференцi-
альнi iнварiанти не складають функцiональний базис. Наприклад, iснують спiввiдношення мiж
такими виразами (14):
ux
x
=
uy
y
. Проте наведено список таких iнварiантiв, щоб показати їхню
загальну структуру.
Загальне рiвняння вигляду (2), яке може бути редуковане анзацем
u = \phi (\rho ), (17)
можна записати у формi
F
\biggl(
IA,
u\mu
x\mu
,
u\mu \nu
x\mu x\nu
- g\mu \nu
u\mu
x3\mu
\biggr)
= 0, (18)
де IA — функцiональний базис абсолютних диференцiальних iнварiантiв (15), а iншi змiннi —
власнi умовнi диференцiальнi iнварiанти.
Рiвняння (18) може бути редуковане анзацем (17) до вигляду
f(\rho , \phi , \phi \prime , \phi \prime \prime ) = 0. (19)
Клас (19) можна дослiджувати далi, щоб знайти рiвняння, якi мають новi симетрiї. Рiвняння з
прихованими симетрiями будуть описуватись умовними диференцiальними iнварiантами вiд-
носно операторiв (14) та цими новими симетрiями. Наведенi результати можна узагальнити для
довiльної кiлькостi просторових змiнних.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ 1031
Приклад хвильового рiвняння, яке має умовну симетрiю вiдносно групи Лоренца типу (13)
з n просторовими змiнними, наведено у [4]:
\Box u =
\lambda 0u
2
0
x20
+
\lambda 1u
2
1
x21
+ . . .+
\lambda nu
2
n
x2n
. (20)
Легко бачити, що це рiвняння побудоване з умовних диференцiальних iнварiантiв першого
порядку
u\mu
x\mu
, що дозволяє встановити природу некласичної симетрiї в цьому випадку.
5. Використання переходу до радiальних координат для пошуку розв’язкiв рiвнянь
з порушеною симетрiєю. Розглянуто загальний алгоритм побудови рiвнянь з порушеною
симетрiєю вiдносно груп Евклiда або Пуанкаре для пошуку часткових розв’язкiв, для чого
можна використати перехiд до радiальних координат, незважаючи на вiдсутнiсть необхiдної
симетрiї в сенсi Лi.
В лiтературi для пошуку часткових розв’язкiв чи для вiдокремлення змiнних часто засто-
совують перехiд до радiальних координат. Наприклад, в [33] розглянуто стацiонарне рiвняння
Шрьодiнгера \biggl[
- 1
2
\Delta - Z1
r1
- Z2
r2
+ \omega 2(r21 + r22)
\biggr]
\Psi = E(R)\Psi
для двоцентрової задачi з потенцiалом конфайнментного типу i здiйснено перехiд до нових
радiальних координат.
У статтi [34] розглянуто рiвняння
1
v
\partial \phi
\partial t
=
1
rn
\partial
\partial r
\biggl[
rnD(r, t)
\partial \phi
\partial r
\biggr]
+ [v\Sigma f (r, t) - \Sigma a(r, t)] , (21)
де \phi — скалярний нейтронний потiк, який представлено функцiєю часу та загальної просторової
одновимiрної координати r; n = 0, 1, 2 для декартових, цилiндричних i сферичних координат
вiдповiдно; v — швидкiсть нейтрона; функцiї D, \Sigma f i \Sigma a вiдображають матерiальнi властивостi
процесу дифузiї. Рiвняння (21) не є iнварiантним вiдносно операторiв зсувiв i масштабних
перетворень, але автори шукають додатковi умови на рiвняння, якi забезпечують наявнiсть
вiдповiдних симетрiй, тобто шукають саме прихованi симетрiї, але без використання цього
поняття. Аналогiчно, в роботi [35] розглянуто рiвняння транспорту нейтронiв uxx + uyy =
= a(x, y)\Phi (u, ut), де рiзнi типи радiальних координат використовують для пошуку симетрiй
(якi по сутi є прихованими симетрiями) та точних розв’язкiв.
6. Приклади рiвнянь з прихованими симетрiями. Наведемо приклади дослiджень рiв-
нянь, якi можна узагальнити з використанням запропонованого алгоритму. В роботi [36] розгля-
нуто рiвняння Шрьодiнгера з нелiнiйностями, аналогiчними (20) [4]. Запропонований алгоритм
дозволить провести повну класифiкацiю аналогiчних рiвнянь, iнварiантних вiдносно алгебри
Шрьодiнгера.
В [37, 38] проведено дослiдження рiвнянь Лапласа та теплопровiдностi в деяких класах
рiманових просторiв та прихованих симетрiй цих рiвнянь.
У [39, 40] розглянуто рiвняння uxx + uyy +
a
x
ux = \alpha (x, y)F1(u) + F2(u) — узагальнення
рiвняння Града – Шлютера – Шафранова, яке описує баланс магнiтогiдродинамiчних сил у маг-
нiтно обмеженiй тороїдальнiй плазмi, де вивченo лише класичнi симетрiї. Проте таке рiвняння
мiстить у лiвiй частинi диференцiальнi iнварiанти (9), (8) i при певному виборi довiльних функ-
цiй у правiй частинi (вони повиннi залежати вiд виразу x2 + y2) матиме приховану симетрiю
вiдносно поворотiв (7), хоча не матиме такої лiївської симетрiї.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1032 I. A. ЄГОРЧЕНКО
7. Висновки. Наведено огляд дослiджень поняття прихованої симетрiї II типу для ДРЧП
i новi приклади опису рiвнянь, якi мають певну приховану симетрiю, алгоритми групового
опису класiв рiвнянь вiдносно умовної та прихованої симетрiї, а також огляд деяких ранiше
розглянутих прикладiв.
Подальшi дослiдження в цьому напрямку включають класифiкацiю вiдносно лiївської та
умовної симетрiї цiкавих класiв редукованих рiвнянь, зокрема, для наведених симетрiй та
рiвнянь.
Лiтература
1. S. Lie, Klassifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von
Transformationen gestatten, III, Arch. Mat. Naturvidenskab, 8, № 4, 371 – 427 (1883), Reprinted in Lie’s Gessammelte
Abhandlungen, 5, 362 – 427 (1924).
2. G. W. Bluman, J. D. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. and Mech., 18, 1025 – 1042
(1969).
3. P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett. A, 114,
107 – 112 (1986); https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90534-7.
4. W. I. Fushchych, I. M. Tsyfra, On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken symmetry,
J. Phys. A, 20, L45 – L48 (1987); https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/2/001.
5. W. I. Fushchych, R. Z. Zhdanov, Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equations, Phys. Rep., 172,
123 – 174 (1989); https://doi.org/10.1016/0370-1573(89)90090-2.
6. P. Clarkson, M. D. Kruskal, New similarity reductions of the Boussinesq equation, J. Math. Phys., 30, 2201 – 2213
(1989); https://doi.org/10.1063/1.528613.
7. D. Levi, P. Winternitz, Non-classical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation, J. Phys. A, 22,
2915 – 2924 (1989); https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/15/010.
8. W. I. Fushchych, W. M. Shtelen, N. I. Serov, Symmetry analysis and exact solutions of nonlinear equations of
mathematical physics [in Russian], Naukova Dumka, Kyiv (1989).
9. B. Abraham-Shrauner, A. Guo, Hidden symmetries associated with the projective group of nonlinear first-order ordi-
nary differential equations, J. Phys. A, 25, № 21, 5597 – 5608 (1992); https://doi.org/10.1088/0305-4470/25/21/018.
10. B. Abraham-Shrauner, Hidden symmetries and nonlocal group generators for ordinary differential equations,
IMA J. Appl. Math., 56, 235 – 252 (1996); https://doi.org/10.1093/imamat/56.3.235.
11. I. A. Yehorchenko, Group classification with respect to hidden symmetry, Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in
Nonlinear Mathematical Physics” (23 – 29 June, 2003, Kyiv), Proc. Inst. Mat. NAS Ukraine, 50, Pt 1, 290 – 297
(2004).
12. P. Basarab-Horwath, L. F. Barannyk, W. I. Fushchych, New solutions of the wave equation by reduction to the heat
equation, J. Phys. A, 28, № 18, 5291 – 5304 (1995); https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/18/018.
13. B. Abraham-Shrauner, Type II hidden symmetries of some partial differential equations, 1005th AMS Meeting,
Newark, Delaware, 22 – 37 (2005).
14. M. L. Gandarias, Type-II hidden symmetries through weak symmetries for nonlinear partial differential equations,
J. Math. Anal. and Appl., 348, 752 – 759 (2008); https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.07.067.
15. L. V. Ovsyannikov, Program SUBMODELS. Gas dynamics, J. Appl. Math. and Mech., 58, № 4, 30 – 55 (1994);
https://doi.org/10.1016/0021-8928(94)90137-6.
16. L. V. Ovsyannikov, Group analysis of differential equations, Acad. Press, New York (1982).
17. P. J. Olver, Application of Lie groups to differential equations, Springer-Verlag, New York (1987).
18. I. A. Yehorchenko, Differential invariants and hidden symmetry; ArXiv preprint arXiv:1010.5313 (2010).
19. N. I. Bujela, An overview of hidden symmetries, Doct. diss., Univ. Kwazulu-Natal, South Africa (2012).
20. R. Z. Zhdanov, I. M. Tsyfra, R. O. Popovych, A precise definition of reduction of partial differential equations,
J. Math. Anal. and Appl., 238, № 1, 101 – 123 (1999); https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6511.
21. R. O. Popovych, N. M. Ivanova, New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations,
J. Phys. A, 37, 7547 – 7565 (2004); https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/30/011.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI IНВАРIАНТИ, ПРИХОВАНА ТА УМОВНА СИМЕТРIЯ 1033
22. I. A. Yehorchenko, Differential invariants and construction of conditionally invariant equations, Symmetry in
Nonlinear Mathematical Physics, Proc. Fourth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (9 – 15 July,
2001, Kyiv), Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 43, Pt 1, 256 – 262 (2002).
23. S. Lie, Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung, Arch.
Math., 6, № 3, 328 – 368 (1881) (Transl. by N. H. Ibragimov: S. Lie, On integration of a class of linear partial
differential equations by means of definite integrals, CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations,
2, 473 – 508 (1994)).
24. B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, On the origins of symmetries of partial differential equations:
the example of the Korteweg – de Vries equation, J. Nonlinear Math. Phys., 15, Suppl. 1, 60 – 68 (2008);
https://doi.org/10.2991/jnmp.2008.15.s1.5.
25. I. A. Yehorchenko, A. I. Vorobyova, Sets of conditional symmetry operators and exact solutions for wave and
generalised heat equations, Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (23 – 29 June,
2003, Kyiv), Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 50, Pt 1, 298 – 303 (2004).
26. I. G. Lisle, Equivalence transformations for classes of differential equations, Thesis, Univ. British Columbia (1992);
http://www.ise.canberra.edu.au/mathstat/StaffPages/LisleDissertation.pdf.
27. I. G. Lisle, G. J. Reid, Symmetry classification using noncommutative invariant differential operators, Found. Comput.
Math., 6, 353 – 386 (2006); https://doi.org/10.1007/s10208-005-0186-x.
28. B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, Master partial differential equations for a type II hidden symmetry,
J. Math. Anal. and Appl., 343, № 1, 525 – 530 (2008); https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.01.074.
29. V. I. Lahno, R. Z. Zhdanov, O. V. Magda, Group classification and exact solutions of nonlinear wave equations, Acta
Appl. Math., 251, 253 – 313 (2006); https://doi.org/10.1007/s10440-006-9039-0.
30. I. A. Yehorchenko, Conditional symmetry and reductions for the two-dimensional nonlinear wave equation, I. General
case; arXiv:1010.4913 (2010).
31. B. Abraham-Shrauner, K. S. Govinder, D. J. Arrigo, Type-II hidden symmetries of the linear 2D and 3D wave
equations, J. Phys. A, 39, 5739—5747 (2006); https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/20/008.
32. W. I. Fushchych, I. A. Yehorchenko, Second-order differential invariants of the rotation group O(n) and of its
extension E(n), P (l, n), Acta Appl. Math., 28, 69 – 92 (1992); https://doi.org/10.1007/BF00047031.
33. Y. Y. Lazur, V. M. Dobosh, V. V. Rubish, S. Chalupka, M. Salak, Hidden symmetry and separation of variables in
the two-centre problem with a confinement-type potential, Acta Phys. Slovaca, 52, № 2, 41 – 54 (2002).
34. J. F. Giron, S. D. Ramsey, B. A. Temple, Conditions for translation and scaling invariance of the neutron diffusion
equation, Progr. Nucl. Energy, 110, 333 – 340 (2019); https://doi.org/10.1016/j.pnucene.2018.10.005.
35. I. M. Tsyfra, T. Czyżycki, Symmetry and solution of neutron transport equations in nonhomogeneous media, Abstr. and
Appl. Anal., 2014, Article ID 724238 (2014), 9 p.; https://doi.org/10.1155/2014/724238.
36. W. I. Fushchych, Z. I. Symenoh, I. M. Tsyfra, Symmetry of the Schrödinger equation with variable potential,
J. Nonlinear Math. Phys., 5, 13 – 22 (1998); https://doi.org/10.2991/jnmp.1998.5.1.3.
37. A. Paliathanasis, M. Tsamparlis, The reduction of the Laplace equation in certain Riemannian spaces and the resulting
Type II hidden symmetries, J. Geom. Phys., 76, 107 – 123 (2014); https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.10.016.
38. M. Tsamparlis, A. Paliathanasis, Type II hidden symmetries for the homogeneous heat equation in some general
classes of Riemannian spaces, J. Geom. Phys., 73, 209 – 221 (2013); https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.06.008.
39. G. Cicogna, Symmetry classification of quasi-linear PDE’s containing arbitrary functions, Nonlinear Dynam., 51,
309 – 316 (2008); https://doi.org/10.1007/s11071-007-9212-7.
40. G. Cicogna, F. Ceccherini, F. Pegoraro, Applications of symmetry methods to the theory of plasma physics, SIGMA,
2, Paper 017 (2006), 17 p.; https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.017.
Одержано 20.11.20,
пiсля доопрацювання — 11.05.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-6377 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:16Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/49/9b914c29dfe41c2633270c16e5a7a649.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63772025-03-31T08:47:35Z Differential invariants, hidden and conditional symmetry Дифференциальные инварианты, скрытая и условная симметрия Диференціальні інваріанти, прихована та умовна симетрія Yehorchenko, I. A. Єгорченко, І. A. умовна симетрія прихована симетрія диференціальні інваріанти Симетрія диференціальних рівнянь conditional symmetry hidden symmetry differential invariants Symmetry of differential equations UDC 517.958:512.86 We provide a review on the development of hidden symmetry concept in the field of partial differential equations including a series of results previously obtained by the author. We also adduce new examples of classes of equations having type II hidden symmetry, and explain the nature of known non-classical symmetry of some equations.We suggest an algorithm for description of classes of equations having specified conditional or hidden symmetry and/or reducible to equations with smaller number of independent variables by using a specific ansatz. We consider reductions that exist due to Lie, conditional and type II hidden symmetry. We also discuss relations between the concepts of hidden and conditional symmetry. It is proved that the type II hidden symmetry, which is previously regarded to be a special type of non-Lie symmetry, arises from the non-trivial $Q$-conditional symmetry of reduced equations. This approach allows not only to find the hidden symmetry and new reductions of known equations, but also makes it possible to describe a general form of equations from the specified $Q$-conditional and type II hidden symmetry.As an example, we describe the general classes of equations with hidden and conditional symmetry under rotations in the Lorentz and Euclid groups, for which the relevant hidden and conditional symmetry allows reduction to radial equations with a smaller number of independent variables. Приведен обзор развития понятия скрытой симметрии дифференциальных уравнений в частных производных и результатов, полученных ранее автором. Получены также новые примеры классов уравнений, имеющих скрытую симметрию II типа, и объяснена природа ранее найденной неклассической симметрии некоторых уравнений. Мы демонстрируем конструктивный алгоритм для описания классов уравнений, имеющих определенную условную или скрытую симметрию, и/или редуцируемых к уравнениям с меньшим количеством независимых переменных с использованием заданного анзаца. Мы рассматриваем редукции, которые возникают благодаря лиевской и условной симметрии, а также благодаря скрытой симметрии II типа. Мы также обсуждаем взаимосвязи между понятиями скрытой и условной симметрии. Установлено, что скрытая симметрия II типа, которая ранее рассматривалась как отдельный тип нелиевской симметрии, на самом деле возникает вследствие нетривиальной $Q$-условной симметрии редуцированных уравнений. Такой подход позволяет не только находить скрытую симметрию и новые редукции известных уравнений, но и описывать общий вид уравнений с заданной $Q$-условной и скрытой симметрией II типа. В качестве примеров мы описываем общие классы уравнений, имеющих нарушенную симметрию относительно поворотов в группах Лоренца и Евклида, для которых соответствующая скрытая и условная симметрия позволяет редукцию к радиальным уравнениям с меньшим количеством независимых переменных. УДК 517.958:512.86 Наведено огляд розвитку поняття прихованої симетрiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та результатiв, отриманих автором ранiше, а також новi приклади класiв рiвнянь, що мають приховану симетрiю II типу, i пояснено природу ранiше знайденої некласичної симетрiї деяких рiвнянь.Наведено конструктивний алгоритм для опису класiв рiвнянь, якi мають визначену умовну або приховану симетрiю, та/або можуть бути редукованi до рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних з використанням заданого анзацу. Розглянуто редукцiї, якi виникають завдяки лiївськiй та умовнiй симетрiї, а також завдяки прихованiй симетрiї II типу. Обговорено взаємозв’язки мiж поняттями прихованої та умовної симетрiї. Встановлено, що прихована симетрiя II типу, яка ранiше розглядалась як окремий тип нелiївської симетрiї, насправдi виникає внаслiдок нетривiальної $Q$-умовної симетрiї редукованих рiвнянь. Такий пiдхiд дозволяє не тiльки знаходити прихованусиметрiю та новi редукцiї вiдомих рiвнянь, але й описувати загальний вигляд рiвнянь iз заданою $Q$-умовною та прихованою симетрiєю II типу.Як приклади описано загальнi класи рiвнянь, що мають порушену симетрiю вiдносно поворотiв у групах Лоренца та Eвклiда, для яких вiдповiдна прихована та умовна симетрiя дозволяє редукцiю до радiальних рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6377 10.37863/umzh.v73i8.6377 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 8 (2021); 1023 - 1033 Український математичний журнал; Том 73 № 8 (2021); 1023 - 1033 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6377/9092 Copyright (c) 2021 Ірина Єгорченко |
| spellingShingle | Yehorchenko, I. A. Єгорченко, І. A. Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title | Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title_alt | Дифференциальные инварианты, скрытая и условная симметрия Диференціальні інваріанти, прихована та умовна симетрія |
| title_full | Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title_fullStr | Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title_full_unstemmed | Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title_short | Differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| title_sort | differential invariants, hidden and conditional symmetry |
| topic_facet | умовна симетрія прихована симетрія диференціальні інваріанти Симетрія диференціальних рівнянь conditional symmetry hidden symmetry differential invariants Symmetry of differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6377 |
| work_keys_str_mv | AT yehorchenkoia differentialinvariantshiddenandconditionalsymmetry AT êgorčenkoía differentialinvariantshiddenandconditionalsymmetry AT yehorchenkoia differencialʹnyeinvariantyskrytaâiuslovnaâsimmetriâ AT êgorčenkoía differencialʹnyeinvariantyskrytaâiuslovnaâsimmetriâ AT yehorchenkoia diferencíalʹníínvaríantiprihovanataumovnasimetríâ AT êgorčenkoía diferencíalʹníínvaríantiprihovanataumovnasimetríâ |