Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix
UDC 517.925 We study an $n$-dimensional system of ordinary differential equations with a hysteresis type relay nonlinearity and a periodic perturbation function in the right-hand side.It is supposed that the matrix of the system is real and symmetric and it has an eigenvalue of multiplicity two.In t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6379 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512345684443136 |
|---|---|
| author | Yevstafyeva , V. V. Євстаф’єва , В. В. Євстаф’єва , В. В. |
| author_facet | Yevstafyeva , V. V. Євстаф’єва , В. В. Євстаф’єва , В. В. |
| author_sort | Yevstafyeva , V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:07Z |
| description | UDC 517.925
We study an $n$-dimensional system of ordinary differential equations with a hysteresis type relay nonlinearity and a periodic perturbation function in the right-hand side.It is supposed that the matrix of the system is real and symmetric and it has an eigenvalue of multiplicity two.In the phase space of the system, we consider continuous bounded oscillatory solutions with two fixed points and the same return time to each of these points.For such solutions, we prove the existence and nonexistence theorems.These results are illustrated by a numerical example for a three-dimensional system. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i5.6379 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i5.6379
УДК 517.925
В. В. Євстаф’єва (Санкт-Петербур. держ. ун-т, Росiя)
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ З КРАТНИМ ВЛАСНИМ ЧИСЛОМ
ДIЙСНОЇ СИМЕТРИЧНОЇ МАТРИЦI
We study an n-dimensional system of ordinary differential equations with a hysteresis type relay nonlinearity and a periodic
perturbation function in the right-hand side. It is supposed that the matrix of the system is real and symmetric and it has
an eigenvalue of multiplicity two. In the phase space of the system, we consider continuous bounded oscillatory solutions
with two fixed points and the same return time to each of these points. For such solutions, we prove the existence and
nonexistence theorems. These results are illustrated by a numerical example for a three-dimensional system.
Дослiджено n-вимiрну систему звичайних диференцiальних рiвнянь з релейною нелiнiйнiстю гiстерезисного типу й
перiодичною функцiєю збурення у правiй частинi. Дiйсна симетрична матриця системи має власнi числа, серед яких
власне число кратностi два. Розглянуто неперервнi обмеженi коливальнi розв’язки з двома фiксованими точками
у фазовому просторi системи й однаковим часом повернення в кожну з цих точок. Доведено теореми iснування й
неiснування таких розв’язкiв. Числовий приклад демонструє отриманi результати для тривимiрної системи.
Вступ. Постановка задачi. Протягом багатьох рокiв вивчаються iстотно нелiнiйнi системи,
в тому числi релейнi системи з гiстерезисом. До цього часу їхнє дослiдження є актуальним
[1 – 13] (див. також наведену в них бiблiографiю). При розглядi релейних систем виникає ряд
задач, серед яких видiлимо аналiз реакцiї системи на зовнiшнє збурення та синтез систе-
ми з заданими динамiчними властивостями. Вiдомо [14], що при зовнiшньому перiодичному
збуреннi в нелiнiйних системах можуть iснувати перiодичнi розв’язки (гармонiчнi й субгармо-
нiчнi вимушенi коливання), а також неперiодичнi розв’язки (режим биття мiж автоколиваннями
й вимушеними коливаннями). Дослiдження релейних систем, якi пiддаються T -перiодичним
збуренням, проводилися в [1, 2, 5 – 8, 10, 13]. У [1, 2] встановлено iснування kT -перiодичних
розв’язкiв системи з матрицею, що має ненульовi дiйснi власнi числа й принаймнi одне додатне
власне число, де k — натуральне число. У [5] розглянуто матрицю системи з вiд’ємними влас-
ними числами. T -перiодичнi розв’язки системи з комплексними власними числами матрицi
дослiджено у статтi [6], а з дiйсними ненульовими кратними власними числами — у статтях
[7, 8]. У [10] вивчено kT -перiодичнi розв’язки системи, матриця якої має нульове власне чис-
ло. У зазначених вище роботах дослiджувалося двопозицiйне реле, а в [13] — трипозицiйне.
У цiй статтi розглядаються неперiодичнi розв’язки системи з двопозицiйним реле при сталому
перiодичному збуреннi.
Дослiджується n-вимiрна система звичайних диференцiальних рiвнянь (ЗДР)
\.Y = AY +BF (\sigma ) +Kf(t), \sigma = (C, Y ), (1)
де Y — вектор стану системи, матриця A й вектори B, K є дiйсними та сталими. Функцiя F (\sigma )
описує характеристику неiдеального двопозицiйного реле з двома пороговими значеннями \ell 1,
\ell 2 i двома значеннями виходу m1, m2, де \ell 1, \ell 2, m1, m2 — дiйснi числа. Нехай \ell 1 < \ell 2 i
m1 < m2. Функцiя F (\sigma (t)) визначається при неперервному входi \sigma (t) вiдповiдно до [15] для
t \geq 0 у класi кусково-неперервних функцiй i набуває сталого значення на промiжку [t1, t2]:
c\bigcirc В. В. ЄВСТАФ’ЄВА, 2021
640 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ . . . 641
F (\sigma (t1)) = m1 i \sigma (t) < \ell 2 або F (\sigma (t1)) = m2 i \sigma (t) > \ell 1 при t \in [t1, t2]. Петля гiстерезису на
площинi (\sigma , F (\sigma (t))) оббiгається проти годинникової стрiлки. Вектор C визначає зворотний
зв’язок у системi, є дiйсним i сталим. Функцiя збурення f(t) належить до класу неперервних
перiодичних функцiй.
Мета цiєї роботи — вивчити вимушенi коливання системи мiж двома фiксованими точками
у фазовому просторi з певною частотою в тому сенсi, що зображувальна точка коливального
розв’язку системи повертається в кожну фiксовану точку за один i той же промiжок часу.
Такi розв’язки будемо називати двоточково-коливальними. Iнтерес до дослiдження систем ЗДР
iз розривною правою частиною виник iз застосувань (див., наприклад, [3, 14, 16]). Зокрема,
автоматичнi системи керування описуються системою ЗДР вигляду (1) з матрицею, в елементах
якої закладено характеристики керованого об’єкта, наприклад судна. Нелiнiйна функцiя, що
описує релейну характеристику, вiдiграє роль управлiння у розв’язаннi задачi, наприклад, щодо
автоматичної стабiлiзацiї курсу судна. Елементи вектора, що стоїть при нелiнiйнiй функцiї,
задають коефiцiєнти посилення. При цьому на судно впливає неперервне хвилювання на водi,
яке можна описати неперервною перiодичною функцiєю зовнiшнього збурення.
Елементи векторiв C, B i K, а також \ell 1, \ell 2, m1 i m2 вибираються як параметри налашту-
вання.
Розглядається розв’язок системи у класi неперервних функцiй iз двома фiксованими точками
у фазовому просторi (далi — точками перемикання) на гiперплощинах вигляду \sigma (t) = \ell \mu ,
\mu = 1, 2 (далi — гiперплощинах перемикання). Пiд точкою перемикання розумiємо такий стан
системи, при якому \sigma (t) досягає одного з порогових значень; функцiя F (\sigma (t)) при цьому
змiнює значення виходу. Згiдно з методом припасовування для неперервностi розв’язку в точках
перемикання вiдбувається „склеювання” траєкторiй зображувальної точки розв’язку у фазовому
просторi завдяки лiнiйним системам
\.Y = AY +Bm\mu +Kf(t), \mu = 1, 2. (2)
Для аналiтичного зображення розв’язку системи (1) використовується форма Кошi
Y (t) = eA(t - t0)Y (t0) +
t\int
t0
e - A(\tau - t) (Bm\mu +Kf(\tau )) d\tau , \mu = 1, 2,
де t0 — початковий момент часу.
Задамо траєкторiю руху зображувальної точки розв’язку. Нехай, наприклад, зображувальна
точка розв’язку системи (1) починає свiй рух у точцi Y 1 на гiперплощинi \sigma = \ell 1 в момент
часу t = 0 i спочатку досягає точки Y 2 на гiперплощинi \sigma = \ell 2 в момент часу t = t1 завдяки
системi (2) при m\mu = m1, а потiм повертається в Y 1 у момент часу t = Tf завдяки (2) при
m\mu = m2. Моменти часу t1 i Tf , якi визначають перехiдний процес у системi, називаються
моментами перемикання. Зауважимо, що момент другого перемикання збiгається з часом по-
вернення зображувальної точки розв’язку в Y 1. Тут Y 1 i Y 2 — точки перемикання. Маємо
Y 1 = Y (0) = Y (Tf ) i Y 2 = Y (t1) = Y (t1 + Tf ). Позначимо час переходу зображувальної
точки з Y 1 в Y 2 через \tau 1, а час зворотного переходу з Y 2 в Y 1 через \tau 2, тобто \tau 1 = t1 i
\tau 2 = Tf - t1. Тодi Tf = \tau 1 + \tau 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
642 В. В. ЄВСТАФ’ЄВА
Далi будуємо систему рiвнянь руху зображувальної точки розв’язку системи (1) у фазовому
просторi за траєкторiєю в запропонованiй вище послiдовностi. Отримана система є системою
трансцендентних рiвнянь щодо параметрiв розв’язку (точок перемикання та часiв переходу),
при цьому вона мiстить i параметри початкової системи (1). Для дослiдження системи транс-
цендентних рiвнянь застосовується неособливе перетворення системи (1), що приводить власну
матрицю системи до дiагонального вигляду.
Робота складається з п’яти пунктiв. У пунктi 1 будується система рiвнянь руху зображу-
вальної точки розв’язку початкової й перетвореної систем. У пунктi 2 отримано необхiдну
умову iснування двоточково-коливальних розв’язкiв перетвореної системи (теорема 1). У пун-
ктi 3 встановлено достатню умову розв’язностi системи трансцендентних рiвнянь щодо часiв
переходу (теорема 2). У пунктi 4 доведено теорему iснування неперiодичного двоточково-
коливального розв’язку системи (1) (теорема 3). Встановлено також умови, за яких система (1)
не має двоточково-коливального розв’язку, зображувальна точка якого рухається по траєкторiї
в заданiй послiдовностi (теорема 4). У пунктi 5 наведено числовий приклад, що пiдтверджує
отриманi результати.
1. Побудова системи трансцендентних рiвнянь. Припустимо, що iснує двоточково-коли-
вальний розв’язок системи (1) такий, що його зображувальна точка рухається мiж гiперпло-
щинами вiдповiдно до заданої в постановцi задачi послiдовностi. Використовуючи аналiтичне
зображення розв’язку, будуємо систему трансцендентних рiвнянь щодо точок перемикання Y 1,
Y 2 i часiв переходу \tau 1, \tau 2. Тодi
\ell 1 = (C, Y 1), \ell 2 = (C, Y 2), (3)
де
Y 2 = eA\tau 1Y 1 +
\tau 1\int
0
eA(\tau 1 - \tau )(Bm1 +Kf(\tau ))d\tau ,
Y 1 = eA\tau 2Y 2 +
\tau 2\int
0
eA(\tau 2 - \tau )(Bm2 +Kf(\tau + \tau 1))d\tau .
Система (3) є складною для аналiтичного дослiдження, тому далi спрощуємо її. Скористаємося
неособливим лiнiйним перетворенням Y = SX, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}S \not = 0.
Нехай симетрична матриця A має ненульовi власнi числа \lambda i, i = 1, n, серед яких є одне
власне число кратностi два. Нехай, наприклад, \lambda 1 = \lambda 2. Iншi власнi числа — простi. Можна
завжди пiдiбрати таку матрицю S, щоб матриця A0 = S - 1AS мала дiагональний вигляд.
Запишемо перетворену систему
\.X = A0X +B0F (\sigma ) +K0f(t), \sigma = (\Gamma , X), (4)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ . . . 643
A0 =
\left(
\lambda 1 \cdot \cdot \cdot 0
0 \lambda 1 0
... \lambda 3
...
. . .
0 \cdot \cdot \cdot \lambda n
\right) ,
B0 = S - 1B =
\bigl(
b01, . . . , b
0
n
\bigr) \ast
, K0 = S - 1K =
\bigl(
k01, . . . , k
0
n
\bigr) \ast
, \Gamma = S\ast C = (\gamma 1, . . . , \gamma n)
\ast , символ \ast
означає транспонування.
Нехай \gamma s \not = 0 i \gamma j = 0, де j = 1, . . . , s - 1, s+1, . . . , n (s — деякий iндекс, s = 1, n), вектори
B0, K0 є ненульовими.
Канонiчне перетворення системи (1) i умови на вектор \Gamma дозволяють роздiлити систему (3)
на незалежну пiдсистему вiдносно \tau 1, \tau 2 i формули для розрахунку точок перемикання. Зва-
жаючи на те, що Tf = \tau 1 + \tau 2, отримуємо
\ell 2 =
\biggl(
\ell 1 +
\gamma sb
0
sm1
\lambda s
\biggr)
e\lambda s\tau 1 - \gamma sb
0
sm1
\lambda s
+ \gamma sk
0
s
\tau 1\int
0
e\lambda s(\tau 1 - \tau )f(\tau )d\tau ,
\ell 1 =
\biggl(
\ell 2 +
\gamma sb
0
sm2
\lambda s
\biggr)
e\lambda s\tau 2 - \gamma sb
0
sm2
\lambda s
+ \gamma sk
0
s
\tau 2\int
0
e\lambda s(\tau 2 - \tau )f(\tau + \tau 1)d\tau .
(5)
Точки перемикання X1 =
\bigl(
x11, . . . , x
1
n
\bigr) \ast
, X2 =
\bigl(
x21, . . . , x
2
n
\bigr) \ast
перетвореної системи (4) визна-
чаються за формулами x1s = \ell 1/\gamma s, x
2
s = \ell 2/\gamma s,
x1j =
e\lambda jTf
1 - e\lambda jTf
\left( b0jm1
\tau 1\int
0
d\tau
e\lambda j\tau
+ b0jm2
Tf\int
\tau 1
d\tau
e\lambda j\tau
+ k0j
Tf\int
0
f(\tau )d\tau
e\lambda j\tau
\right) ,
x2j =
e\lambda j\tau 1
1 - e\lambda jTf
\left( \tau 1\int
0
b0jm1 + k0j f(\tau )
e\lambda j\tau
d\tau +
Tf\int
\tau 1
b0jm2 + k0j f(\tau )
e\lambda j(Tf - \tau )
d\tau
\right) ,
j = 1, . . . , s - 1, s+ 1, . . . , n.
(6)
Система (5), (6) є об’єктом дослiдження у наступному пунктi для встановлення необхiдної
умови iснування шуканих розв’язкiв системи (4).
2. Необхiдна умова iснування розв’язкiв. Нехай функцiя f(t) має вигляд f(t) = f0 +
+ f1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+ \varphi 1) + f2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega t+ \varphi 2), де f0, f1, f2, \omega , \varphi 1 i \varphi 2 — дiйснi сталi, причому f0, f1,
f2 є ненульовими i \omega > 0.
Позначимо
H(t, \lambda i) =
f1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+ \varphi 1 + \delta i1)\sqrt{}
\lambda 2
i + \omega 2
+
f2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega t+ \varphi 2 + \delta i2)\sqrt{}
\lambda 2
i + 4\omega 2
,
де \delta i1 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\omega /\lambda i) + \pi qi, \delta
i
2 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(2\omega /\lambda i) + \pi qi, причому qi = 0 при \lambda i > 0 i qi = 1 при
\lambda i < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
644 В. В. ЄВСТАФ’ЄВА
Теорема 1. Нехай iснує розв’язок системи (4) з параметрами (\tau 1, \tau 2, X
1, X2), де \tau 1 =
= \pi m/\omega , \tau 2 = \pi k/\omega (m, k \in \BbbN i m + k непарнi), X1 i X2 знаходяться за формулами (6).
Тодi:
1) k0s \not = 0 i \varphi 1 + \delta s1 = \pi h, де h \in \BbbZ ;
2) k0j = 0, де j \not = s при s \not = 1, s \not = 2 i j = 3, . . . , n при s = 1 або s = 2.
Доведення. Cистема (5) з урахуванням уведеного позначення набирає вигляду
\ell 2 =
\biggl(
\ell 1 + \gamma s
\biggl(
b0sm1 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(0, \lambda s)
\biggr) \biggr)
e\lambda s\tau 1 - \gamma s
\biggl(
b0sm1 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(\tau 1, \lambda s)
\biggr)
,
\ell 1 =
\biggl(
\ell 2 + \gamma s
\biggl(
b0sm2 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(\tau 1, \lambda s)
\biggr) \biggr)
e\lambda s\tau 2 - \gamma s
\biggl(
b0sm2 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(Tf , \lambda s)
\biggr)
.
Зображувальна точка розв’язку кожного разу переходить iз гiперплощини \sigma = \ell 1 на гiперпло-
щину \sigma = \ell 2 за час \tau 1 i назад за час \tau 2 = Tf - \tau 1, якщо на промiжку [Tf , 2Tf ] при другому
обходi гiстерезисної петлi справджується система рiвностей
\ell 2 =
\biggl(
\ell 1 + \gamma s
\biggl(
b0sm1 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(Tf , \lambda s)
\biggr) \biggr)
e\lambda s\tau 1 - \gamma s
\biggl(
b0sm1 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(Tf + \tau 1, \lambda s)
\biggr)
,
\ell 1 =
\biggl(
\ell 2 + \gamma s
\biggl(
b0sm2 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(Tf + \tau 1, \lambda s)
\biggr) \biggr)
e\lambda s\tau 2 - \gamma s
\biggl(
b0sm2 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(2Tf , \lambda s)
\biggr)
.
Зауважимо, що при k0s \not = 0 зображувальна точка розв’язку кожного разу досягає гiперплощини
за один i той же промiжок часу, якщо
H(2Tf , \lambda s) = H(Tf , \lambda s) = H(0, \lambda s), H(\tau 1, \lambda s) = H(Tf + \tau 1, \lambda s). (7)
Система рiвностей (7) виконується, якщо
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\varphi 1 + \delta s1
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\omega Tf + \varphi 1 + \delta s1) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(2\omega Tf + \varphi 1 + \delta s1
\bigr)
,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\varphi 2 + \delta s2
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
2\omega Tf + \varphi 2 + \delta s2) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(4\omega Tf + \varphi 2 + \delta s2
\bigr)
,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\omega \tau 1 + \varphi 1 + \delta s1
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\omega (Tf + \tau 1) + \varphi 1 + \delta s1
\bigr)
,
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
2\omega \tau 1 + \varphi 2 + \delta s2
\bigr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
2\omega (Tf + \tau 1) + \varphi 2 + \delta s2
\bigr)
.
Перша рiвнiсть справджується за умови, що Tf = pT/2, де p — парне натуральне число (цей
випадок вiдповiдає перiодичному розв’язку i розглядався, наприклад, у роботi [2]) або p —
непарне натуральне число i додатково \varphi 1 + \delta s1 = \pi h, де h \in \BbbZ . Тодi з передостанньої рiвностi
системи випливає, що \tau 1 = mT/2, де m \in \BbbN i m < p. Враховуючи, що T = 2\pi /\omega i Tf = \tau 1+\tau 2,
маємо \tau 1 = \pi m/\omega i \tau 2 = \pi k/\omega , де m+ k = p. Перше твердження теореми доведено.
Зображувальна точка розв’язку системи (4) повинна повертатись у фазовому просторi на
гiперплощину вигляду \sigma = \ell \mu , \mu = 1, 2, не тiльки за один i той же час Tf , але й в одну й ту
ж точку X\mu , яка обчислюється за формулами (6) на вiдрiзку [0, Tf ]. Умови повернення мають
вигляд
x1j = xj(0) = xj(Tf ) = xj(2Tf ) = . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ . . . 645
x2j = xj(\tau 1) = xj(Tf + \tau 1) = xj(2Tf + \tau 1) = . . . .
Останнi умови мають мiсце при виконаннi системи рiвностей (7), у яких \lambda s слiд замiнити
на \lambda j . Оскiльки \lambda 1 = \lambda 2, а iншi власнi числа є простими, то друге твердження теореми 1
справджується при вiдповiдному виборi s. Тодi X1 i X2 є точками перемикання розв’язку
й на наступних часових промiжках, що повторюються через час Tf . Таким чином, знайдено
необхiдну умову iснування в системi (4) розв’язку iз зазначеними параметрами.
Теорему 1 доведено.
3. Достатня умова розв’язностi системи трансцендентних рiвнянь. Доведемо теорему
про достатню умову розв’язностi системи (5) при \lambda s < 0. Позначимо
Q =
b0sm1 + k0sf0
\lambda s
+ k0sH(0, \lambda s).
Теорема 2. Нехай \lambda s < 0, виконуються умова теореми 1 i такi умови:
1) мають мiсце нерiвнiсть \ell 2 + \gamma sQ < 0 i рiвнiсть
\ell 2(m) = (\ell 1 + \gamma sQ) e\lambda s(\pi m/\omega ) - \gamma sQ
для заданого m \in \BbbN ;
2) для \tau 1 = \pi m/\omega , яке задовольняє перше рiвняння системи (5), i \gamma sb0s < 0 справджується
рiвнiсть
m2(k) =
\lambda s
\gamma sb0s
e\lambda s\pi (m+k)/\omega - 1
1 - e\lambda s\pi k/\omega
(\ell 1 + \gamma sQ) +m1 (8)
для заданого k \in \BbbN , де m+ k є непарним.
Тодi система (5) має розв’язок (\tau 1, \tau 2) = (\pi m/\omega , \pi k/\omega ).
Доведення. Введемо позначення g1(t) = (\ell 1 + \gamma sQ) e\lambda st, C1 = \ell 2 + \gamma sQ. Зауважимо, що
H(0, \lambda s) = H(\tau 1, \lambda s) згiдно з умовою теореми 1. Тодi перше рiвняння системи (5) пiсля пе-
ретворення можна записати у виглядi рiвностi g1(\tau 1) = C1. Розглянемо взаємне розташування
функцiй y = g1(t) i y = C1. Очевидно, що g1(0) - C1 = \ell 1 - \ell 2 < 0. Звiдси випливає, що
g1(0) < C1. Перше рiвняння системи (5) має один розв’язок вигляду \tau 1 = \pi m/\omega , якщо коефiцi-
єнт перед експонентою є вiд’ємним i C1 < 0, тобто виконується нерiвнiсть в умовi 1 теореми 2,
оскiльки \ell 1 < \ell 2. Задамо число m i тим самим задамо час переходу \tau 1. Далi параметр \ell 2, який
у явному виглядi виражено у першiй рiвностi системи (5), зобразимо як функцiю вiд m i отри-
маємо рiвнiсть в умовi 1 теореми 2. Отже, нехай \tau 1 — розв’язок першого рiвняння системи (5)
з параметрами b0s, k
0
s , \ell 1, m1 i \ell 2, що задовольняють умови його розв’язностi, а саме умову 1
теореми 2.
Далi розглянемо систему (5) вiдносно \tau 2. Введемо ще одну функцiю
g2(t) =
\biggl(
\ell 1 + \gamma sQ+
\gamma sb
0
s(m2 - m1)
\lambda se\lambda s\tau 1
\biggr)
e\lambda st
i сталу
C2 = \ell 1 + \gamma sQ+
\gamma sb
0
s(m2 - m1)
\lambda s
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
646 В. В. ЄВСТАФ’ЄВА
Пiдставимо перше рiвняння системи (5) у друге й пiсля перетворення, врахувавши, що
H(0, \lambda s) = H(Tf , \lambda s), отримаємо рiвнiсть g2(Tf ) = C2.
Задамо число k так, що k+m є непарним, тим самим задамо час переходу \tau 2. Виразимо m2
з останньої рiвностi й отримаємо (8). Оскiльки m2 > m1, то повинна виконуватися нерiвнiсть
\lambda s
\gamma sb0s
e\lambda s\pi (m+k)/\omega - 1
1 - e\lambda s\pi k/\omega
(\ell 1 + \gamma sQ) > 0. (9)
Вираз у дужках є вiд’ємним згiдно з нерiвнiстю в умовi 1 теореми 2. Дрiб iз експонентами
також вiд’ємний. Нерiвнiсть (9) виконується тiльки при \gamma sb
0
s < 0.
Розглянемо рiзницю g2(0) - C2 = \gamma s/\lambda sb
0
s(m2 - m1)(e
- \lambda s\tau 1 - 1). Останнiй вираз у дужках
при \lambda s < 0 є додатним, m2 - m1 > 0 за умовою. Звiдси випливає, що g2(0) > C2, якщо
\gamma sb
0
s < 0. Друге рiвняння системи (5) має розв’язок вигляду \tau 2 = \pi k/\omega за умови, що C2 > 0 i
коефiцiєнт перед експонентою додатний, тобто
\ell 1 + \gamma sQ+
\gamma sb
0
s(m2 - m1)
\lambda se\lambda s\tau 1
> 0.
Звiдси випливає, що оскiльки e\lambda s\tau 1 < 1, то повинна виконуватися нерiвнiсть
m2 - m1 > - \lambda s(\ell 1 + \gamma sQ)
\gamma sb0s
. (10)
У (10) замiсть m2 пiдставимо рiвнiсть (8). Пiсля нескладних перетворень з огляду на нерiвнiсть
(1 - e\lambda sTf )/(1 - e\lambda s\tau 2) > 1 переконаємося, що (10) виконується при \gamma sb
0
s < 0. Отримано умову 2
теореми 2.
Тодi система (5) має розв’язок (\tau 1, \tau 2) = (\pi m/\omega , \pi k/\omega ) для заданих m, k \in \BbbN , причому
m+ k є непарним.
Теорему 2 доведено.
4. Теореми iснування й неiснування розв’язкiв. Спочатку доведемо теорему про iснуван-
ня розв’язку системи (1).
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi iснує неперiодичний двоточково-
коливальний розв’язок системи (1) з точками перемикання Y 1 i Y 2 у фазовому просторi, де
Y 1 = SX1, Y 2 = SX2, i часом повернення Tf = \tau 1 + \tau 2. При цьому система (1) має не бiльш
нiж зчисленну множину розглянутих розв’язкiв.
Доведення. Виконання умов теореми 2 означає, що система (5) має параметри \ell 1, \ell 2, m1,
m2, k
0
s , b
0
s i \gamma s, при яких зображувальна точка розв’язку системи (4) переходить iз поверхнi
\sigma = \ell 1 на поверхню \sigma = \ell 2 за час \tau 1 i назад за час \tau 2. За формулами (6) можна знайти точки
перемикання X1 i X2 при вiдомих значеннях \tau 1, \tau 2. Розглянемо траєкторiю зображувальної
точки розв’язку, наприклад, у випадку, коли s \not = 1 i s \not = 2.
На промiжках
\bigl[
(r - 1)Tf , (r - 1)Tf + \tau 1
\bigr]
для t \in [0, \tau 1] маємо пiвтраєкторiю
xs((r - 1)Tf + t) =
\bigl(
x1s +Q
\bigr)
e\lambda st - b0sm1 + k0sf0
\lambda s
- k0sH((r - 1)Tf + t, \lambda s),
xj((r - 1)Tf + t) =
\Biggl(
x1j +
b0jm1
\lambda j
\Biggr)
e\lambda jt -
b0jm1
\lambda j
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ . . . 647
а на промiжках
\bigl[
(r - 1)Tf + \tau 1, rTf
\bigr]
для t \in [0, \tau 2] — пiвтраєкторiю
xs((r - 1)Tf + \tau 1 + t) =
\biggl(
x2s +Q+
b0s(m2 - m1)
\lambda s
\biggr)
e\lambda st -
- b0sm2 + k0sf0
\lambda s
- k0sH((r - 1)Tf + \tau 1 + t, \lambda s),
xj((r - 1)Tf + \tau 1 + t) =
\Biggl(
x1j +
b0jm2
\lambda j
\Biggr)
e\lambda jt -
b0jm2
\lambda j
,
де r \in \BbbN .
Нагадаємо, що Tf = \pi p/\omega . Очевидно, що при непарному p кожна з пiвтраєкторiй вiд-
рiзняється на першому й наступних промiжках. Iншими словами, в iнтегральному просторi
розв’язку системи (4) вiдповiдає крива, яка складається з неперiодично повторюваних кускiв
iнтегральних кривих. Проєкцiя розв’язку у фазовий простiр системи — це замкненi траєкторiї,
що проходять через точки перемикання. Такий же висновок має мiсце й у випадку, коли s = 1
або s = 2.
Завдяки неособливому перетворенню з матрицею S система (1) i система (4) еквiвалентнi,
тому результати, отриманi для канонiчної системи є правильними й для вихiдної системи.
Розмiри петлi релейної характеристики з гiстерезисом визначаються параметрами \ell 1, \ell 2,
m1 i m2, значення яких, як випливає з теореми 2, залежать вiд наперед заданих значень часiв
переходу \tau 1 i \tau 2.
Параметри ci визначають зворотний зв’язок i знаходяться з неоднорiдної системи n лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь, яка будується, виходячи з того, що \Gamma = S\ast C = (\gamma 1, . . . , \gamma n)
\ast , де \gamma s \not = 0
i \gamma j = 0, j = 1, . . . , s - 1, s+ 1, . . . , n.
Параметри ki визначають вплив зовнiшнього збурення й як елементи вектора K знаходяться
за допомогою перетворення K = SK0 з урахуванням обмежень, встановлених у теоремi 1.
Параметри bi визначають коефiцiєнти посилення реле i як елементи вектора B знаходяться
за допомогою перетворення B = SB0 за умови, що \gamma sb
0
s < 0.
Таким чином, визначено умови на параметри системи (1), за яких iснує розв’язок iз точками
перемикання Y 1 i Y 2 у фазовому просторi на гiперплощинах (C, Y \mu ) = \ell \mu , \mu = 1, 2, i часом
повернення Tf = \tau 1 + \tau 2 в кожну з цих точок. При цьому точки знаходяться за формулами
Y 1 = SX1, Y 2 = SX2. Конфiгурацiя траєкторiї зображувальної точки розв’язку у фазовому
просторi системи (1) вiдповiдає неперiодичному розв’язку. Оскiльки Tf = \pi p/\omega , де p — не-
парне натуральне число, то система (1) має не бiльш нiж зчисленну множину розглядуваних
розв’язкiв.
Теорему 3 доведено.
Наведемо достатню умову того, що система (1) не має шуканих розв’язкiв.
Теорема 4. Припустимо, що виконується умова теореми 1. Нехай параметри системи (5)
задовольняють такi умови: \lambda s < 0 i або
1) \ell 1 < - \gamma sQ < \ell 2,
або
2) має мiсце умова 1 теореми 2 i для \tau 1 = \pi m/\omega , що задовольняє перше рiвняння систе-
ми (5), не виконується умова 2 теореми 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
648 В. В. ЄВСТАФ’ЄВА
Тодi система (1) не має двоточково-коливального розв’язку, зображувальна точка якого
починає свiй рух на гiперплощинi \sigma = \ell 1, рухається згiдно з запропонованою послiдовнiстю й
повертається через час Tf .
Доведення. Припустимо, що має мiсце умова теореми 1, тодi виконується необхiдна умова
iснування шуканих розв’язкiв. Нехай параметри системи (5) задовольняють умову 1 теореми 4
при \lambda s < 0. Це означає, що порушується нерiвнiсть в умовi 1 теореми 2, тобто \ell 2 + \gamma sQ > 0,
але при цьому коефiцiєнт перед експонентою в першому рiвняннi системи (5) є вiд’ємним,
тобто \ell 1 + \gamma sQ < 0. У цьому випадку не iснує розв’язку \tau 1 системи (5).
Припустимо, що умову 1 теореми 2 виконано й iснує розв’язок \tau 1 першого рiвняння систе-
ми (5), проте порушується умова 2 теореми 2, тобто \gamma sb
0
s > 0. Тодi не виконується нерiвнiсть (9),
а це суперечить умовi задачi, що m2 > m1.
Оскiльки достатня умова розв’язностi системи (5) є достатньою умовою iснування розв’язку,
зображувальна точка якого рухається по траєкторiї в заданiй послiдовностi, то й твердження
про те, що система (1) не має двоточково-коливальних розв’язкiв, стосується тiльки таких
розв’язкiв, зображувальна точка яких починає свiй рух на гiперплощинi \sigma = \ell 1, рухається по
траєкторiї у фазовому просторi згiдно з запропонованою їй послiдовнiстю i повертається через
час Tf .
Теорему 4 доведено.
Далi розглянемо числовий приклад iз матрицею системи третього порядку.
5. Приклад. Розглянемо систему (1) третього порядку iз симетричною дiйсною матрицею
A =
\left( 1 2 2
2 1 2
2 2 1
\right)
i вектором B = ( - 0,23; 2,73; 2,84)\ast . Знайдемо власнi числа матрицi A. Маємо \lambda 1 = \lambda 2 = - 1 i
\lambda 3 = 5.
Нехай матриця S має вигляд
S =
\left(
- 1/
\surd
2 - 1/
\surd
6 1/
\surd
3
1/
\surd
2 - 1/
\surd
6 1/
\surd
3
0 2/
\surd
6 1/
\surd
3
\right) ,
де \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}S = 1 \not = 0. Тодi B0 \approx (2,09; 1,30; 3,08)\ast .
Покладемо s = 1. Тодi \Gamma = (\gamma s, 0, 0)
\ast .
Нехай зовнiшнє збурення описує функцiя f(t) = 1+2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(6t+\varphi 1)+5 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(12t+1) iз перiодом
T = 2\pi /6 \approx 1,047197. Вiдповiдно до твердження 1 теореми 1 маємо \varphi 1 = - \delta 1+\pi \approx 1,405648,
де \delta 1 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}( - 6) + \pi \approx 1,735945. Згiдно з теоремою 1 покладемо K0 = ( - 2; - 1,4; 0)\ast .
Необхiдну умову iснування розв’язку з даними параметрами виконано.
Звернемося до умов теореми 2 i знайдемо розв’язок системи (5). Нехай \gamma s = - 1,2. Вибiр
\gamma s задовольняє умову 2 теореми 2, оскiльки \gamma sb
0
s \approx - 2,508 < 0. Нехай \ell 1 = - 4, m1 =
= - 3. Тодi Q \approx 7,880886. Задамо m = 1. Маємо \ell 2(1) \approx 1,485303. Нерiвнiсть в умовi 1
теореми 2 виконано, оскiльки - 7,971760 < 0. Отже, перше рiвняння системи (5) має розв’язок
\tau 1 = T/2 = \pi /6 \approx 0,523598. Задамо k = 2, тодi m+ k = 3 — непарне число. За формулою (8)
знаходимо m2(2) \approx 3,548105. Звiдси випливає, що умови теореми 2 виконано, i при зазначених
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
IСНУВАННЯ ДВОТОЧКОВО-КОЛИВАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ РЕЛЕЙНОЇ НЕАВТОНОМНОЇ СИСТЕМИ . . . 649
параметрах \ell 1, \ell 2, m1, m2, k01, b01 i \gamma 1 система трансцендентних рiвнянь (5) має розв’язок
(\tau 1, \tau 2) = (\pi /6, \pi /3).
За формулами (6) розраховуємо точки перемикання перетвореної системи (4). Маємо
X1 \approx
\left(
3,333333
3,816599
1,055316
\right) , X2 \approx
\left(
- 1,237752
- 0,754487
- 1,469599
\right) .
Тепер наведемо розрахунок траєкторiї розв’язку з параметрами (\tau 1, \tau 2, X
1, X2). Тут Tf = \pi /2.
Як початкову точку використовуємо точку перемикання X1 = (x1(t0), x2(t0), x3(t0))
\ast . Тодi для
t \in [(r - 1)Tf , \tau 1 + (r - 1)Tf ] i t0 = (r - 1)Tf отримуємо
x1(t) \approx e\lambda 1(t - t0) (x1(t0) + 7,880886) - (b01m1 + k01f0)/\lambda 1 - k01H(t, \lambda 1),
x2(t) \approx e\lambda 1(t - t0) (x2(t0) + 7,397620) - (b02m1 + k02f0)/\lambda 1 - k02H(t, \lambda 1),
x3(t) \approx e\lambda 3(t - t0) (x3(t0) - 1,254000) - b03m1/\lambda 3.
Для t \in [\tau 1 + (r - 1)Tf , rTf ] i t0 = \tau 1 + (r - 1)Tf одержуємо
x1(t) \approx e\lambda 1(t - t0) (x1(t0) - 5,804653) - (b01m2 + k01f0)/\lambda 1 - k01H(t, \lambda 1),
x2(t) \approx e\lambda 1(t - t0) (x2(t0) - 6,287918) - (b02m2 + k02f0)/\lambda 1 - k02H(t, \lambda 1),
x3(t) \approx e\lambda 3(t - t0) (x3(t0) + 1,483108) - b03m2/\lambda 3.
Далi знаходимо значення параметрiв вектора зворотного зв’язку C i вектора K. Маємо c1 \approx
\approx 0,848528, c2 \approx - 0,848528, c3 \approx 0 i K \approx (1,985761; - 0,842666; - 1,143095)\ast .
Таким чином, у системi (1) при вказаних \tau 1 = \pi /6, \tau 2 = \pi /3 визначено параметри \ell 1, \ell 2,
m1 i m2, а також елементи векторiв K i C, при яких згiдно з теоремою 3 iснує двоточково-
коливальний розв’язок iз часом повернення Tf = \pi /2 i точками перемикання
Y 1 \approx
\left(
- 3,305856
1,408190
3,725527
\right) , Y 2 \approx
\left(
0,334767
- 1,415679
- 1,464509
\right) .
Лiтература
1. В. В. Евстафьева, О необходимых условиях существования периодических решений в динамической системе с
разрывной нелинейностью и внешним периодическим воздействием, Уфим. мат. журн., 3, № 2, 20 – 27 (2011).
2. V. V. Yevstafyeva, Existence of the unique kT -periodic solution for one class of nonlinear systems, J. Sib. Fed. Univ.
Math. and Phys., 6, № 1, 136 – 142 (2013).
3. A. Visintin, PDES with hysteresis 30 years later, Discrete and Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 8, № 4, 793 – 816 (2015).
4. L. Fang, J. Wang, Q. Zhang, Identification of extended Hammerstein systems with hysteresis-type input nonlinearities
described by Preisach model, Nonlinear Dyn., 79, № 2, 1257 – 1273 (2015).
5. В. В. Евстафьева, Об условиях существования двухточечно-колебательного периодического решения в неав-
тономной релейной системе с гурвицевой матрицей, Автоматика и телемеханика, № 6, 42 – 56 (2015).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
650 В. В. ЄВСТАФ’ЄВА
6. A. M. Kamachkin, D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, Existence of periodic solutions to automatic control system with
relay nonlinearity and sinusoidal external influence, Int. J. Robust Nonlinear Control, 27, № 2, 204 – 211 (2017).
7. A. M. Kamachkin, D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, Existence of subharmonic solutions to a hysteresis system with
sinusoidal external influence, Electron. J. Different. Equat., № 140, 1 – 10 (2017).
8. A. M. Kamachkin, D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, On uniqueness and properties of periodic solution of second-
order nonautonomous system with discontinuous nonlinearity, J. Dyn. and Control Syst., 23, № 4, 825 – 837 (2017).
9. G. A. Leonov, M. M. Shumafov, V. A. Teshev, K. D. Aleksandrov, Differential equations with hysteresis operators,
Existence of solutions, stability, and oscillations, Different. Equat., 53, № 13, 1764 – 1816 (2017).
10. В. В. Евстафьева, Периодические решения системы дифференциальных уравнений с гистерезисной нелиней-
ностью при наличии нулевого собственного числа, Укр. мат. журн., 70, № 8, 1085 – 1096 (2018).
11. В. И. Уткин, Ю. В. Орлов, Системы управления с векторными реле, Автоматика и телемеханика, № 9, 143 – 155
(2019).
12. C. E. L. da Silva, A. Jacquemard, M. A. Teixeira, Periodic solutions of a class of non-autonomous discontinuous
second-order differential equations, J. Dyn. and Control Syst., 26, № 1, 17 – 44 (2020).
13. A. M. Kamachkin, D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, Existence of periodic modes in automatic control system with
a three-position relay, Int. J. Control, 93, № 4, 763 – 770 (2020).
14. Я. З. Цыпкин, Релейные автоматические системы, Наука, Москва (1974).
15. А. В. Покровский, Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах, Автоматика и теле-
механика, № 4, 16 – 23 (1986).
16. M. di Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk, Piecewise-smooth dynamical systems — theory and
applications, Springer-Verlag, London (2008).
Одержано 21.11.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-6379 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:19Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/41d44bc7b7c10a0a1ce61c70b280ce7d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-63792025-03-31T08:48:07Z Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВУТОЧЕЧНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ РЕЛЕЙНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С КРАТНЫМ СОБСТВЕННЫМ ЧИСЛОМ ВЕЩЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ Існування двоточково-коливальних розв’язків релейної неавтономної системи з кратним власним числом дійсної симетричної матриці Yevstafyeva , V. V. Євстаф’єва , В. В. Євстаф’єва , В. В. система ОДУ, релейная нелинейность с отрицательным гистерезисом, периодическая функция возмущения, ограниченное колебательное решение, симметрическая вещественная матрица системы, кратное собственное число, каноническое преобразование, метод припасовывания, метод фазовых траекторий UDC 517.925 We study an $n$-dimensional system of ordinary differential equations with a hysteresis type relay nonlinearity and a periodic perturbation function in the right-hand side.It is supposed that the matrix of the system is real and symmetric and it has an eigenvalue of multiplicity two.In the phase space of the system, we consider continuous bounded oscillatory solutions with two fixed points and the same return time to each of these points.For such solutions, we prove the existence and nonexistence theorems.These results are illustrated by a numerical example for a three-dimensional system. We study an $n$-dimensional system of ordinary differential equations with a hysteresis type relay nonlinearity and a periodic perturbation function in the right-hand side.It is supposed that the matrix of the system is real and symmetric and it has an eigenvalue of multiplicity two.In the phase space of the system, we consider continuous bounded oscillatory solutions with two fixed points and the same return time to each of these points.For such solutions, we prove the existence and nonexistence theorems.These results are illustrated by a numerical example for a three-dimensional system. &nbsp; УДК 517.925 Досліджено $n$-вимірну систему звичайних диференціальних рівнянь з релейною нелінійністю гістерезисного типу й періодичною функцією збурення у правій частині.Дійсна симетрична матриця системи має власні числа, серед яких власне число кратності два.Розглянуто неперервні обмежені коливальні розв'язки з двома фіксованими точками у фазовому просторі системи й однаковим часом повернення в кожну з цих точок.Доведено теореми існування й неіснування таких розв'язків.Числовий приклад демонструє отримані результати для тривимірної системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-05-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6379 10.37863/umzh.v73i5.6379 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 5 (2021); 640 - 650 Український математичний журнал; Том 73 № 5 (2021); 640 - 650 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6379/9016 Copyright (c) 2021 Victoria Евставьєва |
| spellingShingle | Yevstafyeva , V. V. Євстаф’єва , В. В. Євстаф’єва , В. В. Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title | Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title_alt | СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВУТОЧЕЧНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ РЕЛЕЙНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С КРАТНЫМ СОБСТВЕННЫМ ЧИСЛОМ ВЕЩЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ Існування двоточково-коливальних розв’язків релейної неавтономної системи з кратним власним числом дійсної симетричної матриці |
| title_full | Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title_fullStr | Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title_full_unstemmed | Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title_short | Existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| title_sort | existence of two-point oscillatory solutions of a relay nonautonomous system with a multiple eigenvalue of a real symmetric matrix |
| topic_facet | система ОДУ релейная нелинейность с отрицательным гистерезисом периодическая функция возмущения ограниченное колебательное решение симметрическая вещественная матрица системы кратное собственное число каноническое преобразование метод припасовывания метод фазовых траекторий |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6379 |
| work_keys_str_mv | AT yevstafyevavv existenceoftwopointoscillatorysolutionsofarelaynonautonomoussystemwithamultipleeigenvalueofarealsymmetricmatrix AT êvstafêvavv existenceoftwopointoscillatorysolutionsofarelaynonautonomoussystemwithamultipleeigenvalueofarealsymmetricmatrix AT êvstafêvavv existenceoftwopointoscillatorysolutionsofarelaynonautonomoussystemwithamultipleeigenvalueofarealsymmetricmatrix AT yevstafyevavv suŝestvovaniedvutočečnokolebatelʹnyhrešenijrelejnojneavtonomnojsistemyskratnymsobstvennymčislomveŝestvennojsimmetričeskojmatricy AT êvstafêvavv suŝestvovaniedvutočečnokolebatelʹnyhrešenijrelejnojneavtonomnojsistemyskratnymsobstvennymčislomveŝestvennojsimmetričeskojmatricy AT êvstafêvavv suŝestvovaniedvutočečnokolebatelʹnyhrešenijrelejnojneavtonomnojsistemyskratnymsobstvennymčislomveŝestvennojsimmetričeskojmatricy AT yevstafyevavv ísnuvannâdvotočkovokolivalʹnihrozvâzkívrelejnoíneavtonomnoísistemizkratnimvlasnimčislomdíjsnoísimetričnoímatricí AT êvstafêvavv ísnuvannâdvotočkovokolivalʹnihrozvâzkívrelejnoíneavtonomnoísistemizkratnimvlasnimčislomdíjsnoísimetričnoímatricí AT êvstafêvavv ísnuvannâdvotočkovokolivalʹnihrozvâzkívrelejnoíneavtonomnoísistemizkratnimvlasnimčislomdíjsnoísimetričnoímatricí |