Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation
UDC 517.54; 517.12 We investigate regular solutions of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation in terms of lower limits and solve an extreme problem for the disk image area functional on a certain class of solutions to the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami system.
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6403 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512347245772800 |
|---|---|
| author | Salimov , R. R. Stefanchuk , M. V. Р. Р. Стефанчук, М. В. Салімов, Р. Р. Стефанчук, М. В. |
| author_facet | Salimov , R. R. Stefanchuk , M. V. Р. Р. Стефанчук, М. В. Салімов, Р. Р. Стефанчук, М. В. |
| author_sort | Salimov , R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:21Z |
| description | UDC 517.54; 517.12
We investigate regular solutions of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation in terms of lower limits and solve an extreme problem for the disk image area functional on a certain class of solutions to the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami system. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i3.6403 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i3.6403
УДК 517.54; 517.12
Р. Р. Салiмов, М. В. Стефанчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО
РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI
We investigate regular solutions of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation in terms of lower limits and solve
an extreme problem for the disk image area functional on a certain class of solutions to the nonlinear Cauchy – Riemann –
Beltrami system.
Дослiджуються регулярнi розв’язки нелiнiйної системи Кошi – Рiмана – Бельтрамi на логарифмiчну асимптотику у
термiнах нижнiх границь. Розв’язано екстремальну задачу для функцiонала площi образу круга на деякому класi
розв’язкiв нелiнiйної системи Кошi – Рiмана – Бельтрамi.
1. Вступ. Нехай G — область у комплекснiй площинi \BbbC , тобто зв’язна та вiдкрита пiдмножина
\BbbC , i \mu : G \rightarrow \BbbC — вимiрна функцiя з | \mu (z)| < 1 майже скрiзь (м.с.) у G. Нагадаємо, що
рiвнянням Бельтрамi називається рiвняння вигляду
fz = \mu (z)fz, (1)
де fz =
1
2
(fx + ify), fz =
1
2
(fx - ify), z = x+ iy, fx i fy — частиннi похiднi вiдображення f
по x i y вiдповiдно.
Теореми iснування гомеоморфних розв’язкiв класу Соболєва W 1,1
loc були нещодавно доведенi
методом модулiв для багатьох лiнiйних та квазiлiнiйних вироджених рiвнянь Бельтрамi (див.,
наприклад, [1 – 5]). Щодо зв’язку дослiджень просторових класiв Соболєва методом модулiв
див. [6 – 11].
Нехай \sigma : D \rightarrow \BbbC — вимiрна функцiя i m \geq 0. Розглянемо у полярнiй системi координат
(r, \theta ) рiвняння
fr = \sigma (rei\theta ) | f\theta | m f\theta , (2)
де fr i f\theta — частиннi похiднi вiдображення f по r i \theta вiдповiдно. Враховуючи формули (21.25)
у [12, с. 611], маємо
rfr = zfz + zfz, f\theta = i(zfz - zfz).
Тодi рiвняння (2) можна записати у комплекснiй формi
fz =
z
z
\sigma (z) | z| i| zfz - zfz| m - 1
\sigma (z) | z| i| zfz - zfz| m + 1
fz. (3)
Зауважимо, що подiбнi нелiнiйнi рiвняння зустрiчаються у роботi [13] (див. теорему 5.7).
При m = 0 рiвняння (3) зводиться до звичайного рiвняння Бельтрамi (1) iз комплексним
коефiцiєнтом
\mu (z) =
z
z
\sigma (z) | z| i - 1
\sigma (z) | z| i+ 1
.
Якщо у рiвняннi (3) покласти m = 0 i \sigma = - i/| z| , то отримаємо вiдому систему Кошi – Рiмана.
При m > 0 рiвняння (3) є частковим випадком загальної нелiнiйної комплексної системи
рiвнянь (7.33) в [12] (п. 7.7). Скрiзь далi будемо вважати, що m > 0.
c\bigcirc Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3 395
396 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Нелiнiйне рiвняння (3) є частковим випадком нелiнiйної системи двох дiйсних рiвнянь у
частинних похiдних (див. (1) у [14, 15], а також [16]). Зауважимо, що нелiнiйнi системи рiвнянь
у частинних похiдних, як i ранiше, вивчаються у рiзноманiтних аспектах (див., наприклад,
[12 – 28, 31]).
Вiдображення f : G \rightarrow \BbbC називається регулярним у точцi z0 \in G, якщо в цiй точцi f
має повний диференцiал i його якобiан Jf = | fz| 2 - | f\=z| 2 \not = 0 (див., наприклад, I. 1.6 в [32]).
Гомеоморфiзм f класу Соболєва W 1,1
loc називається регулярним, якщо Jf > 0 м.с.
Вiдображення f : G \rightarrow \BbbC має N -властивiсть (Лузiна), якщо з умови | E| = 0 випливає, що
| f(E)| = 0.
Означення 1. Регулярним гомеоморфним розв’язком рiвняння (3) будемо називати регу-
лярний гомеоморфiзм f : G \rightarrow \BbbC , який м.с. в областi G задовольняє рiвняння (3).
Скрiзь далi будемо вважати, що
Br = \{ z \in \BbbC : | z| \leq r\} , \BbbB = \{ z \in \BbbC : | z| < 1\}
i
\gamma r = \{ z \in \BbbC : | z| = r\} , \BbbA (0, \varepsilon 1, \varepsilon 2) = \{ z \in \BbbC : \varepsilon 1 < | z| < \varepsilon 2\} .
Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфiзм класу Соболєва W 1,1
loc , p > 1. Будемо називати
p-кутовою дилатацiєю вiдображення f вiдносно точки z0 = 0 величину
Dp,f (z) = Dp,f (re
i\theta ) =
| f\theta (rei\theta )| p
rpJf (rei\theta )
(див. [27], а також [29 – 31]). Тут z = rei\theta , Jf — якобiан вiдображення f.
Для z = 0 i r \in (0, 1) позначимо
dp,f (r) =
\left( 1
2\pi r
\int
\gamma r
D
1
p - 1
p,f (z) ds
\right) p - 1
. (4)
При p = 2 кутова дилатацiя використовувалася при дослiдженнi локальних властивостей
квазiконформних вiдображень [33 – 38] та p \not = 2 [27, 28, 30, 39, 40]. Вiдомо, що кутова дилатацiя
у точках регулярностi збiгається з дотичною дилатацiєю (див. п. 6.1 i лему 6.1 в [1]), яка далi
використовувалася при дослiдженнi локальної та межової поведiнки гомеоморфних розв’язкiв
з узагальненими похiдними та у задачi Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi з виродженням [41, 42].
Позначимо через L(r) довжину кривої f(rei\theta ), 0 \leq \theta \leq 2\pi , а через S(r) = | f(Br)| площу
множини f(Br). Наступне твердження мiстить диференцiальну нерiвнiсть для функцiї S(r)
(див. лему 2.1 у [27]).
Твердження 1. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфiзм класу Соболєва W 1,1
loc , який
має N -властивiсть, i p > 1. Тодi
S\prime (r) \geq 2\pi
2 - p
2 r1 - p d - 1
p,f (r)S
p
2 (r) (5)
для майже всiх (м.в.) r \in [0, 1).
З твердження 1 випливає така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 397
Лема 1. Нехай m > 0 i f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу
Соболєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Тодi
S\prime (r) \geq 2m+2\pi
m
2
+1
\left( \int
\gamma r
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
- (m+1)
S
m+2
2 (r) (6)
для м.в. r \in [0, 1).
Доведення. Нехай p = m + 2. Зауважимо, що згiдно з наслiдком В iз роботи [43] гомео-
морфiзм f \in W 1,2
loc має N -властивiсть. Далi, враховуючи те, що f — регулярний гомеоморфний
розв’язок рiвняння (2), знаходимо
Jf (re
i\theta ) =
1
r
\mathrm{I}\mathrm{m}(f r f\theta ) =
1
r
| f\theta | m+2 \mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (rei\theta ) > 0 м.с.
(див. формулу (21.52) в [12]) i
Dp,f (z) = Dp,f (re
i\theta ) =
| f\theta (rei\theta )| m+2
rm+2 Jf (rei\theta )
=
1
| z| m+1\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
для м.в. z \in \BbbB .
За формулою (4) отримуємо рiвнiсть
dp,f (r) =
\left( 1
2\pi r
\int
\gamma r
D
1
p - 1
p,f (z) ds
\right) p - 1
=
\left( 1
2\pi r
\int
\gamma r
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
.
Тодi нерiвнiсть (5) можна записати у виглядi (6).
2. Асимптотична поведiнка розв’язкiв нелiнiйного рiвняння Бельтрамi. У даному пунк-
тi наведено кiлька теорем про асимптотичну поведiнку регулярних гомеоморфних розв’язкiв
нелiнiйного рiвняння Бельтрамi вигляду (3).
Наступний результат є аналогом вiдомої леми Iкоми – Шварца про оцiнку нижньої границi
(див. теорему 2 в [44]).
Лема 2. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу Со-
болєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Якщо для деяких чисел \tau > 0 i \alpha > 1 виконується
умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
= M < \infty , (7)
де
Im,\sigma (t) =
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
\leq c0M
1
m < \infty , (8)
де c0 — додатна стала, яка залежить тiльки вiд m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
398 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Доведення. З леми 1 випливає оцiнка
\Biggl(
S - m
2 (t)
- m/2
\Biggr) \prime
=
S\prime (t)
S
m+2
2 (t)
\geq 2m+2\pi
m
2
+1
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
- (m+1)
для м.в. t \in (0, 1). Iнтегруючи обидвi частини нерiвностi по t \in (\varepsilon , \varepsilon
1
\alpha ), \varepsilon \in (0, 1), отримуємо
\varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
\Biggl(
S - m
2 (t)
- m/2
\Biggr) \prime
dt \geq 2m+2\pi
m
2
+1
\varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
- (m+1)
dt. (9)
Зауважимо, що gm(t) =
S - m
2 (t)
- m/2
є неспадною. Тодi
\varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
\Biggl(
S - m
2 (t)
- m/2
\Biggr) \prime
dt =
\varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
g\prime m(t)dt \leq gm(\varepsilon
1
\alpha ) - gm(\varepsilon ) =
2
m
\Bigl(
S - m
2 (\varepsilon ) - S - m
2 (\varepsilon
1
\alpha )
\Bigr)
(10)
(див. теорему IV 7.4 в [45]).
Комбiнуючи нерiвностi (9) i (10), одержуємо
S - m
2 (\varepsilon ) \geq S - m
2 (\varepsilon ) - S - m
2 (\varepsilon
1
\alpha ) \geq 2m+1m\pi
m
2
+1
\varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
,
де Im,\sigma (t) =
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
. Звiдси отримуємо оцiнку
S(\varepsilon ) \leq 2 -
2(m+1)
m m - 2
m\pi - m+2
m
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 2
m
. (11)
Покладемо lf (\varepsilon ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}| z| =\varepsilon | f(z)| , \varepsilon \in (0, 1). Тодi, враховуючи оцiнку (11) i те, що f(0) = 0,
маємо
\pi l2f (\varepsilon ) \leq S(\varepsilon ) \leq 2 -
2(m+1)
m m - 2
m \pi - m+2
m
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 2
m
.
Звiдси
lf (\varepsilon ) \leq 2 -
m+1
m m - 1
m \pi - m+1
m
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
m
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 399
Таким чином,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
lf (\varepsilon )
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
m
\leq
\leq 2 -
m+1
m m - 1
m \pi - m+1
m \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
m \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
m
= c0M
1
m ,
де c0 = 2 -
m+1
m m - 1
m \pi - m+1
m > 0 — стала, яка залежить тiльки вiд m.
Приклад 1. Припустимо, що m < 2\tau . Розглянемо рiвняння
fr = - \tau i
mr
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \tau - 1
| f\theta | mf\theta (12)
в одиничному крузi \BbbB . Покажемо, що вiдображення f =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - \tau
m
ei\theta належить простору
W 1,2
loc (\BbbB ). Дiйсно, f є гомеоморфiзмом класу C1 в \BbbB \setminus \{ 0\} . Звiдси, зокрема, випливає, що
f \in W 1,2
loc (\BbbB \setminus \{ 0\} ). Покладемо Br0 = \{ z \in \BbbC : | z| \leq r0\} , r0 \in (0, 1), i R(r) =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - \tau
m
. Тодi
знаходимо
fr = R\prime (r)ei\theta , f\theta = iR(r)ei\theta ,
R\prime (r) =
\tau
m
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - \tau
m
- 1 1
r
i за формулою в [12, с. 611] маємо\int
Br0
\bigl(
| fz| 2 + | fz| 2
\bigr)
dxdy =
1
2
\int
Br0
\bigl(
| fr| 2 + r - 2| f\theta | 2
\bigr)
rdrd\theta =
= \pi
r0\int
0
r
\bigl(
R\prime (r)
\bigr) 2
dr + \pi
r0\int
0
R2(r)
r
dr = \pi
\Bigl( \tau
m
\Bigr) 2 r0\int
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2\tau
m
- 2 dr
r
+ \pi
r0\int
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2\tau
m dr
r
.
Очевидно, що обидва iнтеграли збiгаються, якщо m < 2\tau .
Перевiримо, що вiдображення f =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - \tau
m
ei\theta є розв’язком рiвняння (12). Дiйсно, справ-
джується рiвнiсть \sigma =
fr
f\theta | f\theta | m
= - \tau i
mr
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \tau - 1
. Далi знаходимо
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
=
\tau
1
m+1
m
1
m+1 | z|
1
m+1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau - 1
m+1
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
400 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Im,\sigma (t) =
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
=
(2\pi )m+1mt
\tau
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{n} 1
t
\bigr) \tau - 1 .
Перевiримо, що умова (7) виконується. Дiйсно,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
=
(2\pi )m+1m
\tau
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) \tau - 1 dt
t
\right)
- 1
=
=
(2\pi )m+1m
\tau
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( ln 1
\varepsilon \int
1
\alpha
ln 1
\varepsilon
s\tau - 1ds
\right)
- 1
=
(2\pi )m+1m\alpha \tau
\alpha \tau - 1
< \infty .
З iншого боку, легко бачити, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow 0 | f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
= 1.
Твердження 2. Припустимо, що \delta > 0, \tau - \delta m >
m
2
. Тодi рiвняння (2) з \sigma =
=
\Bigl(
\delta - \tau
m
\Bigr) i
r
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \tau - m\delta - 1
має регулярний гомеоморфний розв’язок f : \BbbB \rightarrow \BbbC класу Со-
болєва W 1,2
loc (\BbbB ) з нормуванням f(0) = 0 такий, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
= \infty , (13)
до того ж
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
= \infty , (14)
де Im,\sigma (t) =
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
.
Доведення. Покажемо, що вiдображення f =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - ( \tau
m
- \delta )
ei\theta належить простору W 1,2
loc (\BbbB ).
Дiйсно, f є гомеоморфiзмом класу C1 в \BbbB \setminus \{ 0\} . Звiдси, зокрема, випливає, що f \in
\in W 1,2
loc (\BbbB \setminus \{ 0\} ). Покладемо Br0 = \{ z \in \BbbC : | z| \leq r0\} , r0 \in (0, 1), i R(r) =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - ( \tau
m
- \delta )
.
Тодi знаходимо
fr = R\prime (r)ei\theta , f\theta = iR(r)ei\theta ,
R\prime (r) =
\Bigl( \tau
m
- \delta
\Bigr) \biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \delta - \tau
m
- 1 1
r
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 401
i за формулою в [12, с. 611] маємо\int
Br0
\bigl(
| fz| 2 + | fz| 2
\bigr)
dxdy =
1
2
\int
Br0
\bigl(
| fr| 2 + r - 2| f\theta | 2
\bigr)
rdrd\theta =
= \pi
r0\int
0
r
\bigl(
R\prime (r)
\bigr) 2
dr + \pi
r0\int
0
R2(r)
r
dr = c0
r0\int
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2(1+ \tau
m
- \delta ) dr
r
+ \pi
r0\int
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2( \tau
m
- \delta ) dr
r
,
де c0 = \pi
\Bigl( \tau
m
- \delta
\Bigr) 2
. Очевидно, що обидва iнтеграли збiгаються, якщо
\tau
m
- \delta >
1
2
.
Легко перевiрити, що вiдображення f =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \delta - \tau
m
ei\theta є розв’язком рiвняння (2) з \sigma =
=
\Bigl(
\delta - \tau
m
\Bigr) i
r
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) \tau - m\delta - 1
. Далi знаходимо
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
=
\Bigl( \tau
m
- \delta
\Bigr) 1
m+1 1
| z|
1
m+1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau - m\delta - 1
m+1
i
Im,\sigma (t) =
\left( \int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
=
(2\pi )m+1m
\tau - \delta m
t
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) - \tau +m\delta +1
.
Перевiримо виконання умови (14). Дiйсно,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
=
(2\pi )m+1m
\tau - \delta m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
t
\biggr) \tau - m\delta - 1 dt
t
\right)
- 1
=
=
(2\pi )m+1m
\tau - \delta m
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( ln 1
\varepsilon \int
1
\alpha
ln 1
\varepsilon
s\tau - m\delta - 1ds
\right)
- 1
=
(2\pi )m+1m\alpha \tau - m\delta
\alpha \tau - m\delta - 1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) m\delta
= \infty .
З iншого боку, легко бачити, що \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow 0 | f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
= \infty .
З леми 2 випливає таке твердження.
Наслiдок 1. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу
Соболєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Якщо для деяких чисел \tau > 0 i \alpha > 1 виконується
умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left( \varepsilon
1
\alpha \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
= 0, (15)
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) \tau
m
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
402 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Приклад 2. Припустимо, що m > 0, \tau = 1. Розглянемо рiвняння
fr = - i
m r2
| f\theta | mf\theta (16)
в одиничному крузi \BbbB .
Легко перевiрити, що f = r
1
m ei\theta є регулярним гомеоморфним розв’язком рiвняння (16)
класу Соболєва W 1,2
loc (\BbbB ). Зауважимо, що коефiцiєнт \sigma = - i
m r2
задовольняє умову (15). З
iншого боку, легко бачити \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow 0 | f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) 1
m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow 0 r
1
m
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) 1
m
= 0.
Лема 3. Нехай \lambda : \BbbR \rightarrow (0,+\infty ) — вимiрна функцiя i p > 1. Тодi\left( r2\int
r1
dt
(\lambda (t))
1
p - 1
\right) - (p - 1)
\leq
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
r2
r1
\biggr) - p
r2\int
r1
\lambda (t)dt
tp
(17)
для будь-яких 0 < r1 < r2 < \infty .
Доведення. Дiйсно, застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, маємо
\mathrm{l}\mathrm{n}
r2
r1
=
r2\int
r1
dt
t
=
r2\int
r1
\lambda
1
p (t)
t
\lambda
- 1
p (t)dt \leq
\left( r2\int
r1
\lambda (t)
tp
\right) 1
p
\left( r2\int
r1
dt
(\lambda (t))
1
p - 1
\right)
p - 1
p
.
Звiдси отримуємо нерiвнiсть (17).
Теорема 1. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу
Соболєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Якщо для деяких чисел c0 > 0, \kappa \in
\biggl[
0,
m+ 2
m+ 1
\biggr)
виконується умова \int
\BbbA (0, \varepsilon 1, \varepsilon 2)
dxdy
| z|
2m+3
m+1
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\leq c0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
\biggr) \kappa
для будь-яких 0 < \varepsilon 1 < \varepsilon 2 < \varepsilon 0, \varepsilon 0 \in (0, 1), то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) m+2 - \kappa (m+1)
m
\leq \nu 0c
m+1
m
0 < \infty ,
де \nu 0 — додатна стала, яка залежить тiльки вiд m i \kappa .
Доведення. Вибираючи у лемi 3
p =
m+ 2
m+ 1
, r1 = \varepsilon , r2 =
\surd
\varepsilon , \lambda (t) =
\int
\gamma t
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
i застосовуючи теорему Фубiнi, отримуємо\left(
\surd
\varepsilon \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
m+1
\leq 2
m+2
m+1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - m+2
m+1
\int
\BbbA (0, \varepsilon ,
\surd
\varepsilon )
dxdy
| z| 1+
m+2
m+1
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 403
Тодi з умови теореми випливає оцiнка\left(
\surd
\varepsilon \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) m+2 - (m+1)k
\leq 2m+2 - k(m+1)cm+1
0 .
Звiдси випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) \tau
\left(
\surd
\varepsilon \int
\varepsilon
dt
Im,\sigma (t)
\right)
- 1
\leq 2m+2 - k(m+1)cm+1
0 ,
де \tau = m+ 2 - (m+ 1)k.
Насамкiнець, застосовуючи лему 2, завершуємо доведення теореми.
Теорема 2. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу
Соболєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Якщо для деякого r0 \in (0, 1) виконується умова
I0 =
\int
Br0
dxdy
| z|
2(m+1)
m
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 2
m
< \infty ,
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) m+2
2m
\leq \nu 0
\sqrt{}
I0, (18)
де \nu 0 — додатна стала, яка залежить тiльки вiд m.
Доведення. Дiйсно, за нерiвнiстю Гельдера при p =
2(m+ 1)
m+ 2
i p\prime =
2(m+ 1)
m
отримуємо
\int
\BbbA
dxdy
| z|
2m+3
m+1
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\leq
\left( \int
\BbbA
dxdy
| z| 2
\right) m+2
2(m+1)
\left( \int
\BbbA
dxdy
| z|
2(m+1)
m
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 2
m
\right)
m
2(m+1)
,
де \BbbA = \BbbA (0, \varepsilon 1, \varepsilon 2).
Отже,
\int
\BbbA
dxdy
| z|
2m+3
m+1
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\leq
\biggl(
2\pi \mathrm{l}\mathrm{n}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
\biggr) m+2
2(m+1)
\left( \int
\BbbA
dxdy
| z|
2(m+1)
m
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 2
m
\right)
m
2(m+1)
\leq
\leq (2\pi )
m+2
2(m+1) I
m
2(m+1)
0
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
\biggr) m+2
2(m+1)
,
де I0 =
\int
Br0
dxdy
| z|
2(m+1)
m
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 2
m
, Br0 = \{ z \in \BbbC : | z| < r0\} . Застосувавши теорему 1, в якiй
виберемо k =
m+ 2
2(m+ 1)
i c0 = (2\pi )
m+2
2(m+1) I
m
2(m+1)
0 , отримаємо оцiнку (18).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
404 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Теорема 3. Нехай f : \BbbB \rightarrow \BbbC — регулярний гомеоморфний розв’язок рiвняння (3) класу
Соболєва W 1,2
loc з нормуванням f(0) = 0. Якщо для деякого числа M0 > 0 виконується умова\int
B\varepsilon 0
dxdy
| z|
2m+3
m+1
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\leq M0
для деякого \varepsilon 0 \in (0, 1), то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) m+2
m
\leq \nu 0M
m+1
m
0 < \infty ,
де \nu 0 — додатна стала, яка залежить тiльки вiд m i \kappa .
3. Екстремальний випадок. Нехай q > 0, 0 < m < 2 i H — множина всiх регулярних
гомеоморфiзмiв f : \BbbB \rightarrow \BbbB класу Соболєва W 1,2
loc (\BbbB ) , якi задовольняють рiвняння (3) м.с.,
f(0) = 0 i \left( \int
\gamma r
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
m+1
\leq q r (19)
для м.в. r \in [0, 1).
Теорема 4. Для будь-якого вiдображення f \in H виконується нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) 1
m
\leq
\Bigl( q
m
\Bigr) 1
m
.
При цьому знак рiвностi досягається на вiдображеннi
f\ast (z) =
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) - 1
m z
| z|
. (20)
Доведення. Нехай f належить H. З умови (19) i леми 1 випливає оцiнка
S\prime (r)
S
m+2
2 (r)
\geq 2m+2\pi
m
2
+1
\left( \int
\gamma r
ds
| z|
\Bigl(
\mathrm{I}\mathrm{m}\sigma (z)
\Bigr) 1
m+1
\right)
- (m+1)
\geq 2
q\pi
m
2 r
для м.в. r \in [0, 1). Iнтегруючи обидвi частини останньої нерiвностi по t \in (r, 1), отримуємо
1\int
r
\Biggl(
S - m
2 (t)
- m/2
\Biggr) \prime
dt \geq 2
\pi
m
2 q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
. (21)
Зазначимо, що gm(t) =
S - m
2 (t)
- m/2
є неспадною. Тодi
1\int
r
\Biggl(
S - m
2 (t)
- m/2
\Biggr) \prime
dt =
1\int
r
(gm(t))\prime dt \leq gm(1) - gm(r) =
2
m
\Bigl(
S - m
2 (r) - S - m
2 (1)
\Bigr)
(22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 405
(див. теорему IV 7.4 в [45]). Комбiнуючи нерiвностi (22) i (21), маємо
2
m
\Bigl(
S - m
2 (r) - S - m
2 (1)
\Bigr)
\geq 2
\pi
m
2 q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
.
Звiдси, враховуючи умову S(1) \leq \pi , приходимо до оцiнки
S(r) \leq \pi
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2
m
для всiх r \in [0, 1).
Покладемо lf (\varepsilon ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}| z| =\varepsilon | f(z)| , \varepsilon \in (0, 1). Тодi, враховуючи попередню оцiнку i те, що
f(0) = 0, маємо
\pi l2f (\varepsilon ) \leq S(\varepsilon ) \leq \pi
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - 2
m
.
Звiдси
lf (\varepsilon ) \leq
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - 1
m
.
Таким чином,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\rightarrow 0
| f(z)|
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
| z|
\biggr) 1
m
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
lf (\varepsilon )
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 1
m
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) - 1
m
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\varepsilon
\biggr) 1
m
=
\Bigl( q
m
\Bigr) 1
m
.
Очевидно, що остання оцiнка досягається на вiдображеннi f\ast =
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
m
ei\theta .
Перевiримо, що вiдображення f\ast належить класу H. Оскiльки f\ast є гомеоморфiзмом класу
C1 в \BbbB \setminus \{ 0\} , то f\ast \in W 1,2
loc (\BbbB \setminus \{ 0\} ). Покладемо Br0 = \{ z \in \BbbC : | z| \leq r0\} , r0 \in (0, 1), i
R(r) =
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
m
.
Тодi знаходимо
(f\ast )r = R\prime (r)ei\theta , (f\ast )\theta = iR(r)ei\theta , R\prime (r) =
1
qr
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
m
- 1
.
За формулою в [12, с. 611] маємо
\int
Br0
\bigl(
| fz| 2 + | fz| 2
\bigr)
dxdy =
1
2
\int
Br0
\bigl(
| fr| 2 + r - 2| f\theta | 2
\bigr)
rdrd\theta = \pi
r0\int
0
r
\bigl(
R\prime (r)
\bigr) 2
dr + \pi
r0\int
0
R2(r)
r
dr =
=
\pi
q
r0\int
0
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2(1+ 1
m) dr
r
+ \pi
r0\int
0
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 2
m dr
r
.
Очевидно, що обидва iнтеграли збiгаються, якщо 0 < m < 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
406 Р. Р. САЛIМОВ, М. В. СТЕФАНЧУК
Далi знаходимо
(f\ast )\theta =
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
m
iei\theta , | (f\ast )\theta | m =
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
i
(f\ast )r =
1
qr
\biggl(
1 +
m
q
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
r
\biggr) - 1
m
- 1
ei\theta .
Звiдси випливає, що знайдене вiдображення f\ast є розв’язком рiвняння (3) з \sigma = - i
q| z|
, тому
f\ast \in H.
Теорему 4 доведено.
Лiтература
1. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equations: a geometric approach, Dev. Math., 26,
Springer, New York etc. (2012).
2. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer,
New York (2009).
3. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On recent advances in the degenerate Beltrami equations, Ukr.
Mat. Visn., 4, № 7, 467 – 515 (2010).
4. U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation, Handbook in Complex Analysis: Geometric Function Theory, 2,
555 – 597 (2005).
5. E. A. Sevost’yanov, On quasilinear Beltrami-type equations with degeneration, Math. Notes, 90, № 3-4, 431 – 438
(2011).
6. E. A. Sevost’yanov, Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings, Ukr. Math. J., 61, № 7,
1151 – 1157 (2009).
7. Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории отображений классов Соболева и Орлича –
Соболева, Наук. думка, Киев (2013).
8. M. Cristea, Local homeomorphisms having local ACLn inverses, Complex Var. and Elliptic Equat., 53, № 1, 77 – 99
(2008).
9. M. Cristea, Open, discrete mappings having local ACLn inverses, Complex Var. and Elliptic Equat., 55, № 1-3,
61 – 90 (2010).
10. M. Cristea, Local homeomorphisms satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Elliptic Equat.,
59, № 2, 232 – 246 (2014).
11. M. Cristea, Some properties of open, discrete generalized ring mappings, Complex Var. and Elliptic Equat., 61, № 5,
623 – 643 (2016).
12. K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin, Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane,
Princeton Math. Ser., 48 (2009).
13. C.-Y. Guo, M. Kar, Quantitative uniqueness estimates for p-Laplace type equations in the plane, Nonlinear Anal.:
Theory, Methods and Appl., 143, 19 – 44 (2016).
14. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными
производными, Докл. АН СССР, 112, № 5, 810 – 811 (1957).
15. М. А. Лаврентьев, Общая задача теории квазиконформных отображений плоских областей, Мат. сб., 21(63),
№ 2, 285 – 320 (1947).
16. М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа,
Изд-во АН СССР, Москва (1962).
17. Б. В. Шабат, Геометрический смысл понятия эллиптичности, Успехи мат. наук, 12, № 6 (78), 181 – 188 (1957).
18. Б. В. Шабат, К понятию производной системы в смысле М. А. Лаврентьева, Докл. АН СССР, 136, № 6,
1298 – 1301 (1961).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА АСИМПТОТИКА НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ КОШI – РIМАНА – БЕЛЬТРАМI 407
19. R. Kuhnau, Minimal surfaces and quasiconformal mappings in the mean, Зб. праць Iн-ту математики НАН України,
7, № 2, 104 – 131 (2010).
20. С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау, Квазиконформные отображения — новые методы и приложения, Наука, Москва
(1984).
21. T. Adamowicz, On p-harmonic mappings in the plane, Nonlinear Anal., 71, № 1-2, 502 – 511 (2009).
22. G. Aronsson, On certain p-harmonic functions in the plane, Manuscripta Math., 61, № 1, 79 – 101 (1988).
23. А. С. Романов, Емкостные соотношения в плоском четырехстороннике, Сиб. мат. журн., 49, № 4, 886 – 897
(2008).
24. B. Bojarski, T. Iwaniec, p-Harmonic equation and quasiregular mappings, Banach Center Publ., 19, № 1, 25 – 38
(1987).
25. K. Astala, A. Clop, D. Faraco, J. Jääskeläinen, A. Koski, Nonlinear Beltrami operators. Schauder estimates and
bounds for the Jacobian, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 34, № 6, 1543 – 1559 (2017).
26. M. Carozza, F. Giannetti, A. Passarelli di Napoli, C. Sbordone, R. Schiattarella, Bi-Sobolev mappings and Kp-
distortions in the plane, J. Math. Anal. and Appl., 457, № 2, 1232 – 1246 (2018).
27. A. Golberg, R. Salimov, M. Stefanchuk, Asymptotic dilation of regular homeomorphisms, Complex Anal. and Oper.
Theory, 13, № 6, 2813 – 2827 (2019).
28. R. R. Salimov, M. V. Stefanchuk, On the local properties of solutions of the nonlinear Beltrami equation, J. Math.
Sci., 248, 203 – 216 (2020).
29. Е. А. Севостьянов, Р. Р. Салимов, О неравенстве типа Вяйсяля для угловой дилатации отображений и
некоторых его приложениях, Укр. мат. вiсн., 12, № 4, 511 – 538 (2015).
30. M. Cristea, On Poleckii-type modular inequalities, Complex Var. and Elliptic Equat., DOI: 10.1080/
17476933.2020.1783660.
31. A. Golberg, R. Salimov, Nonlinear Beltrami equation, Complex Var. and Elliptic Equat., 65, № 1, 6 – 21 (2019).
32. O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal mappings in the plane, Springer-Verlag, New York (1973).
33. B. Bojarski, V. Gutlyanskii, O. Martio, V. Ryazanov, Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz
mappings in the plane, Tracts Math., 19, Warsaw etc. (2013).
34. E. Reich, H. Walczak, On the behavior of quasiconformal mappings at a point, Trans. Amer. Math. Soc., 117,
338 – 351 (1965).
35. A. Schatz, On the local behavior of homeomorphic solutions of Beltrami equation, Duke Math. J., 35, 289 – 306
(1968).
36. C. Andreian Cazacu, Influence of the orientation of the characteristic ellipses on the properties of the quasiconformal
mappings, Proc. Rom. Finn. Sem., Romania (1969), Publ. House Acad. Soc. Rep. Rom., Bucharest (1971), p. 65 – 85.
37. M. A. Brakalova, J. A. Jenkins, On solutions of the Beltrami equation, J. Anal. Math., 76, 67 – 92 (1998).
38. V. Gutlyanskii, T. Sugawa, On Lipschitz continuity of quasiconformal mappings, Rep. Univ. Jyväskylä Dep. Math.
Stat., 83, 91 – 108 (2001).
39. V. Gutlyanskii, A. Golberg, On Lipschitz continuity of quasiconformal mappings in space, J. Anal. Math., 109,
233 – 251 (2009).
40. V. Gutlyanskii, A. Golberg, Rings and Lipschitz continuity of quasiconformal mappings, Analysis and Math. Phys.
Trends Math., Birkhäuser, Basel (2009), p. 187 – 192.
41. V. Gutlyanskii, O. Martio, T. Sugawa, M. Vuorinen, On the degenerate Beltrami equation, Trans. Amer. Math. Soc.,
357, 875 – 900 (2005).
42. V. Ryazanov, R. Salimov, U. Srebro, E. Yakubov, On boundary value problems for the Beltrami equations, Contemp.
Math., 591, 211 – 242 (2013).
43. J. Maly, O. Martio, Lusin’s condition N and mappings of the class W 1,n
loc , J. reine und angew. Math., 458, 19 – 36
(1995).
44. K. Ikoma, On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space, Nagoya Math. J., 25,
175 – 203 (1965).
45. С. Сакс, Теория интеграла, Изд-во иностр. лит., Москва (1949).
Одержано 28.11.20,
пiсля доопрацювання — 17.02.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6403 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:20Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9b/444068fe7e31245f06a2e49f553be99b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-64032025-03-31T08:48:21Z Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation Логарифмічна асимптотика нелінійного рівняння Коші – Рімана – Бельтрамі Salimov , R. R. Stefanchuk , M. V. Р. Р. Стефанчук, М. В. Салімов, Р. Р. Стефанчук, М. В. UDC 517.54; 517.12 We investigate regular solutions of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation in terms of lower limits and solve an extreme problem for the disk image area functional on a certain class of solutions to the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami system. УДК 517.54; 517.12Дослiджуються регулярнi розв’язки нелiнiйної системи Кошi – Рiмана – Бельтрамi на логарифмiчну асимптотику у термiнах нижнiх границь. Розв’язано екстремальну задачу для функцiонала площi образу круга на деякому класi розв’язкiв нелiнiйної системи Кошi – Рiмана – Бельтрамi. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-03-19 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6403 10.37863/umzh.v73i3.6403 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 3 (2021); 395 - 407 Український математичний журнал; Том 73 № 3 (2021); 395 - 407 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6403/8983 Copyright (c) 2021 Марія Стефанчук, Руслан Салімов |
| spellingShingle | Salimov , R. R. Stefanchuk , M. V. Р. Р. Стефанчук, М. В. Салімов, Р. Р. Стефанчук, М. В. Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title | Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title_alt | Логарифмічна асимптотика нелінійного рівняння Коші – Рімана – Бельтрамі |
| title_full | Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title_fullStr | Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title_full_unstemmed | Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title_short | Logarithmic asymptotics of the nonlinear Cauchy – Riemann – Beltrami equation |
| title_sort | logarithmic asymptotics of the nonlinear cauchy – riemann – beltrami equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6403 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT stefanchukmv logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT rr logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT stefančukmv logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT salímovrr logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT stefančukmv logarithmicasymptoticsofthenonlinearcauchyriemannbeltramiequation AT salimovrr logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí AT stefanchukmv logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí AT rr logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí AT stefančukmv logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí AT salímovrr logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí AT stefančukmv logarifmíčnaasimptotikanelíníjnogorívnânnâkošírímanabelʹtramí |