On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree
UDC 517.9 We consider the Potts model on a Cayley tree and prove the existence of Gibbs measures built by using the method suggested in [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)]. In additi...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6408 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512347289812992 |
|---|---|
| author | Rahmatullaev, M. Rafikov , F. К. Azamov , Sh. Kh. Rahmatullaev, Muzaffar Рахматуллаєв , M. M. Рафiков, Ф. К. Азамов, Ш. Х. |
| author_facet | Rahmatullaev, M. Rafikov , F. К. Azamov , Sh. Kh. Rahmatullaev, Muzaffar Рахматуллаєв , M. M. Рафiков, Ф. К. Азамов, Ш. Х. |
| author_sort | Rahmatullaev, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | UDC 517.9
We consider the Potts model on a Cayley tree and prove the existence of Gibbs measures built by using the method suggested in [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)]. In addition, we prove that there exist $(k_0)$-translation invariant Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree and calculate the free energy of these Gibbs measures. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6408 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6408
УДК 517.9
М. М. Рахматуллаєв (Iн-т математики iм. В. I. Романовського АН Республiки Узбекистан, Ташкент;
Наманган. держ. ун-т, Узбекистан),
Ф. К. Рафiков, Ш. Х. Азамов (Коканд. держ. пед. iн-т, Узбекистан)
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА
ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI
We consider the Potts model on a Cayley tree and prove the existence of Gibbs measures built by using the method
suggested in [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree,
J. Stat. Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)]. In addition, we prove that there exist (k0)-translation invariant Gibbs measures
for the Potts model on a Cayley tree and calculate the free energy of these Gibbs measures.
Розглядається модель Поттса на деревi Келi. Доведено iснування мiр Гiббса, побудованих аналогiчним методом iз
[H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat.
Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)], i (k0)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса для моделi Поттса на деревi Келi.
Обчислено вiльнi енергiї цих мiр Гiббса.
1. Вступ. Поняття мiри Гiббса для моделi Поттса на деревi Келi вводиться стандартним чином
(див. [1 – 4]). У роботi [5] вивчено феромагнiтну модель Поттса з трьома станами на деревi
Келi другого порядку i показано iснування критичної температури Tc такої, що при T < Tc
iснують три трансляцiйно-iнварiантнi мiри Гiббса й незлiченна кiлькiсть мiр Гiббса, якi не є
трансляцiйно-iнварiантними. У роботi [6] узагальнено результати роботи [5] для моделi Поттса
зi скiнченним числом станiв на деревi Келi довiльного (скiнченного) порядку.
У роботi [7] доведено, що на деревi Келi трансляцiйно-iнварiантна мiра Гiббса антиферо-
магнiтної моделi Поттса iз зовнiшнiм полем єдина. Роботу [8] присвячено моделi Поттса зi
злiченним числом станiв i з ненульовим зовнiшнiм полем на деревi Келi. Доведено, що ця
модель має єдину трансляцiйно-iнварiантну мiру Гiббса.
У роботi [9] знайдено всi трансляцiйно-iнварiантнi мiри Гiббса для моделi Поттса з q
(q \geq 3) станами (спiнами) i, зокрема, показано, що при досить низьких температурах їхня
кiлькiсть дорiвнює 2q - 1. Доведено, що iснують [q/2] критичних температур, i вказано точну
кiлькiсть трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса для кожної промiжної температури.
У роботi [10] введено слабко перiодичну мiру Гiббса i для моделi Iзiнга знайдено деякi
такi мiри, а в роботi [11] для моделi Поттса вивчено слабко перiодичнi основнi стани й слабко
перiодичнi мiри Гiббса. У роботах [16, 17] вивчено слабко перiодичнi мiри Гiббса для моделi
Поттса iз зовнiшнiм полем. У роботах [15, 18] було вивчено вiльну енергiю для вiдомих мiр
Гiббса моделi Iзiнга й Поттса.
У роботi [12] побудовано деякi мiри Гiббса (далi названi мiрами Гiббса, отриманими ART-
конструкцiєю) для моделi Iзiнга на деревi Келi. У роботах [13, 14] для моделi Iзiнга за до-
помогою трансляцiйно-iнварiантної мiри Гiббса на деревi Келi порядку k0 побудовано нову
мiру Гiббса на деревi Келi порядку k (k0 < k), названу (k0)-трансляцiйно-iнварiантною мiрою
Гiббса.
Метою цiєї статтi є побудова мiри Гiббса, отриманої ART-конструкцiєю, i (k0)-трансляцiйно-
iнварiантної мiри Гiббса для моделi Поттса. Робота має таку структуру: у п. 2 введено основ-
c\bigcirc М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ, 2021
938 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 939
нi означення та вiдомi факти; у п. 3 наведено результати для мiр Гiббса, одержаних ART-
конструкцiєю; у п. 4 наведено результати, отриманi для (k0)-трансляцiйно-iнварiантних мiр
Гiббса; у п. 5 обчислено вiльнi енергiї для мiр Гiббса, одержаних ART-конструкцiєю та однiєю
(2)-трансляцiйно-iнварiантною мiрою Гiббса.
2. Означення й вiдомi факти. Дерево Келi T k порядку k \geq 1 — нескiнченне дерево, тобто
граф без циклiв, iз кожної вершини якого виходить рiвно k+ 1 ребро. Нехай T k = (V,L, i), де
V — множина вершин T k, L — множина його ребер, i — функцiя iнцидентностi, що зiставляє
кожному ребру l \in L його кiнцевi точки x, y \in V. Якщо i(l) = \{ x, y\} , то x i y називаються
найближчими сусiдами вершини i позначаються l = \langle x, y\rangle .
Вiдстань d(x, y), x, y \in V, на деревi Келi визначається формулою d(x, y) = min\{ d | \exists x =
= x0, x1, . . . , xd - 1, xd = y \in V таке, що \langle x0, x1\rangle , . . . , \langle xd - 1, xd\rangle \} .
Для фiксованого x0 \in V позначимо
Wn = \{ x \in V | d(x, x0) = n\} ,
Vn = \{ x \in V | d(x, x0) \leq n\} , Ln = \{ l = \langle x, y\rangle \in L | x, y \in Vn\} .
Для x \in Wn покладемо S(x) = \{ y \in Wn+1 : d(x, y) = 1\} .
Вiдомо, що iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж множиною V вершин дерева Келi
порядку k \geq 1 i групою Gk, що є вiльним добутком k + 1 циклiчної групи другого порядку з
твiрними a1, a2, . . . , ak+1 вiдповiдно (див. [4]).
Ми розглянемо модель, де спiновi змiннi набувають значень iз множини \Phi = \{ 1, 2, . . . , q\} ,
q \geq 2, i розташованi на вершинах дерева. Тодi конфiгурацiя \sigma на V визначається як функцiя
x \in V \rightarrow \sigma (x) \in \Phi ; множина всiх конфiгурацiй збiгається з \Omega = \Phi V . Нехай \Omega n = \Phi Vn позначає
простiр конфiгурацiй, визначених на Vn.
Гамiльтонiан моделi Поттса визначається як
H(\sigma ) = - J
\sum
\langle x,y\rangle \in L
\delta \sigma (x)\sigma (y), (1)
де J \in \BbbR , \langle x, y\rangle — найближчi сусiди i \delta ij — символ Кронекера:
\delta ij =
\left\{ 0, якщо i \not = j,
1, якщо i = j.
Розглянемо множину \Phi \prime = \{ \sigma 1, . . . , \sigma q\} , де \sigma i \in \BbbR q - 1, i задамо скалярний добуток \sigma i\sigma j як
\sigma i\sigma j =
\left\{ - 1
q - 1
, якщо i \not = j,
1, якщо i = j.
Тодi
\delta \sigma (x)\sigma (y) =
q - 1
q
\biggl(
\sigma (x)\sigma (y) +
1
q - 1
\biggr)
.
За допомогою цiєї формули гамiльтонiан моделi Поттса можна звести до гамiльтонiана
моделi Iзiнга з q значеннями спiна:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
940 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
H(\sigma ) = - J
\sum
\langle x,y\rangle \in L
\sigma (x)\sigma (y).
Зафiксуємо базис \{ e1, . . . , eq - 1\} в \BbbR q - 1 так, що ei = \sigma i, i = 1, 2, . . . , q - 1. Зрозумiло, що
q\sum
i=1
\sigma i = 0.
Зауважимо, що якщо h = (h1, . . . , hq - 1), то
h\sigma i =
\left\{
q
q - 1
hi -
1
q - 1
\sum q - 1
j=1
hj , якщо i = 1, . . . , q - 1,
- 1
q - 1
\sum q - 1
j=1
hj , якщо i = q.
Визначимо скiнченновимiрний розподiл iмовiрнiсної мiри \mu в об’ємi Vn як
\mu n(\sigma n) = Z - 1
n exp
\Biggl\{
- \beta Hn(\sigma n) +
\sum
x\in Wn
hx\sigma (x)
\Biggr\}
, (2)
де \sigma n \in \Omega n, \beta = 1/T, T > 0 — температура, hx \in \BbbR q - 1,
Hn(\sigma n) = - J
\sum
\langle x,y\rangle \in Ln
\sigma (x)\sigma (y)
i Z - 1
n — нормувальний множник,
Zn = Zn(\beta , h) =
\sum
\sigma n\in \Omega n
exp
\Biggl(
- \beta Hn(\sigma n) +
\sum
x\in Wn
hx\sigma (x)
\Biggr)
.
Сукупнiсть векторiв h = \{ hx \in \BbbR q - 1, x \in V \} задає (узагальнену) граничну умову.
Означення 1. Вiльною енергiєю, що вiдповiдає граничнiй умовi h, називається така гра-
ниця (якщо вона iснує):
E(\beta , h) = - lim
n\rightarrow \infty
1
\beta | Vn|
lnZn(\beta , h).
Кажуть, що ймовiрнiснi розподiли (2) є узгодженими, якщо для всiх n \geq 1 i \sigma n - 1 \in \Phi Vn - 1\sum
\sigma (n)\in \Phi Wn
\mu n(\sigma n - 1 \vee \sigma (n)) = \mu n - 1(\sigma n - 1), (3)
де \sigma n - 1 \vee \sigma (n) — об’єднання конфiгурацiй.
У цьому випадку iснує єдина мiра \mu на \Phi V така, що для всiх n i \sigma n \in \Phi Vn
\mu (\{ \sigma | Vn = \sigma n\} ) = \mu n(\sigma n).
Така мiра називається граничною мiрою Гiббса, що вiдповiдає гамiльтонiану (1) i векторнознач-
нiй функцiї hx, x \in V.
Наступне твердження описує умову на функцiю hx, яка забезпечує узгодженiсть мiр \mu n(\sigma n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 941
Теорема 1 [15]. Мiри (2) задовольняють умову (3) тодi й тiльки тодi, коли для всiх x \in
\in V \setminus \{ x0\} справджується рiвняння
hx =
\sum
y\in S(x)
F (hy, \theta ), (4)
де функцiя F : h = (h1, . . . , hq - 1) \in \BbbR q - 1 \rightarrow F (h, \theta ) = (F1, . . . , Fq - 1) \in \BbbR q - 1 визначається
формулою
Fi = ln
\left( (\theta - 1)ehi +
\sum q - 1
j=1
ehj + 1
\theta +
\sum q - 1
j=1
ehj
\right) , \theta = exp(J\beta ).
Кожному розв’язку hx функцiонального рiвняння (4) вiдповiдає одна мiра Гiббса i навпаки.
3. ART-конструкцiя. У роботi [12] побудовано деякi мiри Гiббса для моделi Iзiнга на
деревi Келi. Метою даного пункту є побудова аналогiчної мiри для моделi Поттса.
Нехай \mu — деяка мiра Гiббса на деревi Келi порядку k0 \leq k, hx(\mu ) \in \BbbR q - 1 — сукупнiсть
векторiв, що вiдповiдає мiрi \mu , i q \geq 2.
Тепер для \mu побудуємо мiру Гiббса \nu = \nu (\mu ) на деревi Келi порядку k \geq k0. Нехай V k —
множина всiх вершин T k i, вiдповiдно, V k0 — множина всiх вершин T k0 . Сукупнiсть векторiв
\~hx = \~hx(\nu ) \in \BbbR q - 1 на TK , що вiдповiдає мiрi \nu (\mu ), побудуємо таким чином:
\~hx =
\left\{ hx(\mu ), x \in V k0 ,
0, x \in V k \setminus V k0 ,
(5)
де 0 = (0, 0, . . . , 0) \in \BbbR q - 1.
Цю функцiю на деревi Келi порядку k = 3 показано на рисунку.
Для x \in V k через Sk0(x) позначимо довiльнi k0, 1 \leq k0 \leq k, елементiв S(x). Зауважимо,
що S(x) = Sk(x). Тепер перевiримо, чи (5) задовольняє (4) на деревi Келi T k.
Нехай x \in V k0 \subset V k. Тодi справджуються рiвностi
\~hx =
\sum
y\in Sk(x)
F (\~hy, \theta ) =
\sum
y\in Sk(x)\cap V k0
F (hx(\mu ), \theta ) +
+
\sum
y\in Sk(x)\cap (V k\setminus V k0 )
F (0, \theta ) =
\sum
y\in Sk0
(x)
F (hx(\mu ), \theta ) = hx(\mu ).
Тут ми скористалися рiвнiстю F (0, \theta ) = 0, тобто\sum
y\in S(x)\cap (V k\setminus V k0)
F
\bigl(
0, \theta
\bigr)
= 0.
Легко бачити, що якщо x \in V k \setminus V k0 , то S(x) \subset V k \setminus V k0 . Тому маємо
\~hx =
\sum
y\in S(x)
F (\~hy, \theta ) =
\sum
y\in S(x)
F (0, \theta ) = 0.
Отже, функцiя \~hx, визначена в (5), задовольняє функцiональне рiвняння (4). Через \nu = \nu (\mu )
позначимо мiру вiдповiдної сукупностi векторiв \~hx i назвемо її мiрою Гiббса, отриманою ART-
конструкцiєю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
942 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
hx(\mu )
hx(\mu )
hx(\mu )
hx(\mu ) hx(\mu ) 0
hx(\mu )
hx(\mu ) hx(\mu ) 0
0
0 0 0
hx(\mu )
hx(\mu ) hx(\mu ) 0
0
0 0 0
Зауваження 1. 1. На деревi Келi порядку 2 при \theta > \theta cr = 1 + 2
\surd
q - 1 iснують трансля-
цiйно-iнварiантнi мiри Гiббса, вiдмiннi вiд мiри \mu 0, яка вiдповiдає вектору hx = 0 \forall x \in V 2
(див. [9]). Мiру Гiббса, отримувану ART-конструкцiєю, побудуємо за допомогою цих мiр, тому
повинна виконуватись умова \theta > \theta cr = 1 + 2
\surd
q - 1. Побудованi таким чином мiри Гiббса
вiдрiзняються вiд вiдомих ранiше мiр (див. [9, 19, 20]).
2. У випадку k > 2 при iнших значеннях \theta можуть iснувати й iншi мiри Гiббса (див.
[11, 16, 17]). За допомогою цих мiр також можна побудувати мiру Гiббса, отримувану ART-
конструкцiєю.
В результатi ми довели таку теорему.
Теорема 2. Нехай k \geq 3. Якщо \theta > \theta cr = 1 + 2
\surd
q - 1, то для моделi Поттса на деревi
Келi iснує незлiченна множина мiр Гiббса, одержаних ART-конструкцiєю.
4. (\bfitk 0)-Трансляцiйно-iнварiантна мiра Гiббса. При будь-яких k i q трансляцiйно-iнварi-
антнi мiри Гiббса для моделi Поттса вивчено в роботi [9].
У випадку k = 2, q = 3 для сукупностi трансляцiйно-iнварiантних векторiв iз (4) отримуємо
систему рiвнянь
h1 =
\sum
y\in S(x)
ln
\theta eh1 + eh2 + 1
\theta + eh1 + eh2
,
h2 =
\sum
y\in S(x)
ln
\theta eh2 + eh1 + 1
\theta + eh1 + eh2
.
(6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 943
Враховуючи, що k = 2, одержуємо систему рiвнянь
h1 = 2 ln
\theta eh1 + eh2 + 1
\theta + eh1 + eh2
,
h2 = 2 ln
\theta eh2 + eh1 + 1
\theta + eh1 + eh2
.
Ця система має такi розв’язки:\bigl(
h
(i)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
0, h
(i)
1
\bigr)
,
\bigl(
- h
(i)
1 , - h
(i)
1
\bigr)
, (0, 0), i = 1, 2,
де
h
(i)
1 = 2 lnxi, x1 =
\theta - 1 -
\sqrt{}
(\theta - 1)2 - 8
2
, x2 =
\theta - 1 +
\sqrt{}
(\theta - 1)2 - 8
2
. (7)
У роботах [13, 14] для моделi Iзiнга за допомогою трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса
на деревi Келi порядку k0 побудовано нову мiру Гiббса на деревi Келi порядку k, k0 < k,
названу (k0)-трансляцiйно-iнварiантною мiрою Гiббса. У цьому пунктi для моделi Поттса за
допомогою трансляцiйно-iнварiантної мiри Гiббса на деревi Келi порядку 2 (k0 = 2) подiбно
до конструкцiї з [13, 14] доведемо iснування нових мiр Гiббса на деревi Келi п’ятого порядку,
якi також назвемо (k0)-трансляцiйно-iнварiантними.
Справедливою є така теорема.
Теорема 3. Для моделi Поттса на деревi Келi п’ятого порядку при q = 3 i \theta =
11
2
iснують
не менше шести (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса.
Доведення. Розглянемо дерево Келi п’ятого порядку. Нагадаємо, що для x \in V k через
Sk0(x) позначено довiльнi k0, 1 \leq k0 \leq k, елементiв S(x). Спочатку за допомогою
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
i
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
побудуємо сукупнiсть векторiв hx на V 5, якi задовольняють функцiональне рiвнян-
ня (4). Цю сукупнiсть векторiв hx визначимо таким чином:
(l1) Якщо на вершинi x \in V 5 маємо hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
, то вершинам S4(x) зiставимо вектор
hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин S1(x) — вектор hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
. Якщо на вершинi x \in V 5 маємо
hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, то вершинам S3(x) зiставимо вектор hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин S2(x) —
вектор hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
. В результатi з (4) отримаємо систему рiвнянь
h
(1)
1 = 4 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
h
(2)
1 = 2 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ 3 ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
.
(8)
Враховуючи, що
h
(i)
1 = 2 ln
\theta eh
(i)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(i)
1
, i = 1, 2, (9)
з (8) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
944 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
2 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
= 0. (10)
Зауважимо, що h
(i)
1 = h
(i)
1 (\theta ), i = 1, 2. Отже, лiва частина (10) залежить лише вiд \theta . При
значеннях \theta , що задовольняють (10) i \theta > \theta cr = 1 + 2
\surd
2, сукупнiсть векторiв hx на V 5,
побудованих за правилами (l1), задовольняє функцiональне рiвняння (4).
З (10) i (9) отримуємо
h
(1)
1 +
h
(2)
1
2
= 0. (11)
Отже, з (11) i (7) маємо рiвняння\Biggl(
\theta - 1 -
\sqrt{}
(\theta - 1)2 - 8
2
\Biggr) 2
=
2
\theta - 1 +
\sqrt{}
(\theta - 1)2 - 8
.
Розв’язком цього рiвняння є \theta =
11
2
, тобто при \theta =
11
2
сукупнiсть векторiв, побудована
за правилами (l1), задовольняє функцiональне рiвняння (4). Дотримуючись робiт [13, 14], для
моделi Поттса мiру, що вiдповiдає сукупностi векторiв i побудована за правилами (l1), назвемо
(2)-трансляцiйно-iнварiантною мiрою Гiббса. Аналогiчним чином для векторiв hx =
\bigl(
0, h
(i)
1
\bigr)
,
i = 1, 2, доводимо iснування ще однiєї (2)-трансляцiйно-iнварiантної мiри Гiббса при \theta =
11
2
.
Тепер за допомогою
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
i
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
побудуємо сукупнiсть векторiв hx
на V 5, яка задовольняє функцiональне рiвняння (4). Цю сукупнiсть векторiв hx визначимо
таким чином:
(l2) Якщо на вершинi x \in V 5 маємо hx =
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
, то вершинам S2(x) зiставимо
вектор hx =
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
, вершинам S2(x) — вектор hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин S1(x) —
вектор hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
. Якщо на вершинi x \in V 5 маємо
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
або hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, то вершинам
S(x) зiставимо вектори
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
i hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
за правилами (l1). В результатi з (4) отримаємо
систему рiвнянь
- h
(1)
1 = 2 ln
(\theta + 1)e - h
(1)
1 + 1
\theta + 2e - h
(1)
1
+ 2 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
- h
(2)
1 = 2 ln
(\theta + 1)e - h
(1)
1 + 1
\theta + 2e - h
(1)
1
,
h
(1)
1 = 4 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
h
(2)
1 = 2 ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ 3 ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
.
(12)
Враховуючи (9), iз (12) отримуємо рiвняння (10), а рiвняння (10) має розв’язок \theta =
11
2
, тоб-
то при \theta =
11
2
сукупнiсть векторiв, побудована за правилами (l2), задовольняє функцiональне
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 945
рiвняння (4). Аналогiчним чином для множини векторiв
\bigl\{ \bigl(
0, h
(1)
1
\bigr)
,
\bigl(
0, h
(2)
1
\bigr)
,
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr) \bigr\}
,\bigl\{ \bigl(
0, h
(1)
1
\bigr)
,
\bigl(
0, h
(2)
1
\bigr)
,
\bigl(
- h
(2)
1 , - h
(2)
1
\bigr) \bigr\}
,
\bigl\{ \bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
- h
(2)
1 , - h
(2)
1
\bigr) \bigr\}
можна показати
iснування ще трьох сукупностей векторiв, що задовольняють функцiональне рiвняння (4).
З викладеного випливає, що при \theta =
11
2
iснують шiсть (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр
Гiббса.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 2. На деревi Келi порядку k, k \geq 6, при \theta =
11
2
за допомогою (2)-трансля-
цiйно-iнварiантних мiр Гiббса, описаних у теоремi 3, можна побудувати мiру Гiббса, отриму-
вану ART-конструкцiєю.
Розглянемо дерево Келi порядку k = a+ b+ 2, a, B \in n. Нехай
B(a, b) =
\Bigl\{
\theta \in \BbbR + : \theta > 1 + 2
\surd
2 i ah
(1)
1 + bh
(2)
1 = 0
\Bigr\}
.
Зауважимо, що множина B(a, b) непорожня, оскiльки випадок a = 2, b = 1 розглянуто в
теоремi 2, тобто \theta =
11
2
\in B(2, 1).
Доведемо таку теорему.
Теорема 4. Для моделi Поттса на деревi Келi порядку k = a+ b+ 2, a, b \in n, при q = 3 i
\theta \in B(a, b) iснують не менше шести (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса.
Доведення. За допомогою
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
i
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
побудуємо сукупнiсть векторiв hx на V k,
k = a + b + 2, a, b \in n, яка задовольняє функцiональне рiвняння (4). Цю сукупнiсть векторiв
hx визначимо таким чином:
(l3) Нехай k = a + b + 2, a, B \in n. Якщо на вершинi x \in V k маємо hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
,
то вершинам Sa+2(x) зiставимо вектор hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин Sb(x) — вектор hx =\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
. Якщо на вершинi x \in V k маємо hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, то вершинам Sb+2(x) зiставимо вектор
hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин Sa(x) — вектор hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
. В результатi з (4) отримаємо
систему рiвнянь
h
(1)
1 = (a+ 2) ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ b ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
h
(2)
1 = a ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ (b+ 2) ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
.
(13)
Враховуючи (9), iз (13) одержуємо
a ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ b ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
= 0. (14)
Зауважимо, що h
(1)
1 i h(2)1 залежать вiд \theta i вони дiйснi при \theta > \theta cr = 1 + 2
\surd
2 (див. (19)).
Рiвняння (14) запишемо у виглядi
ah
(1)
1 + bh
(2)
1 = 0. (15)
Отже, сукупнiсть векторiв, побудованих за правилами (l2), при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
946 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
\theta \in B(a, b) =
\Bigl\{
\theta \in \BbbR + : \theta > 1 + 2
\surd
2 i ah
(1)
1 + bh
(2)
1 = 0
\Bigr\}
задовольняє функцiональне рiвняння (4).
Подiбно до попереднього випадку для моделi Поттса мiру, що вiдповiдає сукупностi век-
торiв, побудованих за правилами (l3), назвемо (2)-трансляцiйно-iнварiантною мiра Гiббса.
Аналогiчним чином для векторiв hx =
\bigl(
0, h
(i)
1
\bigr)
, i = 1, 2, доводиться iснування ще однiєї
(2)-трансляцiйно-iнварiантної мiри Гiббса при \theta \in B(a, b).
Тепер за допомогою
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
i
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
побудуємо сукупнiсть векторiв hx
на V k, якi задовольняють функцiональне рiвняння (4). Цю сукупнiсть векторiв hx визначимо
таким чином:
(l4) Якщо на вершинi x \in V k маємо hx =
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
, то вершинам S2(x) зiставимо
вектор hx =
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr)
, вершинам Sa(x) — вектор hx =
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
, а рештi вершин Sb(x) —
вектор hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
. Якщо на вершинi x \in V k маємо
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
або hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
, то вершинам
S(x) зiставимо вектори
\bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
i hx =
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
за правилами (l3). В результатi з (4) отримаємо
систему рiвнянь
- h
(1)
1 = 2 ln
(\theta + 1)e - h
(1)
1 + 1
\theta + 2e - h
(1)
1
+ a ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ b ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
- h
(2)
1 = 2 ln
(\theta + 1)e - h
(1)
1 + 1
\theta + 2e - h
(1)
1
,
h
(1)
1 = (a+ 2) ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ b ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
,
h
(2)
1 = a ln
\theta eh
(1)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(1)
1
+ (b+ 2) ln
\theta eh
(2)
1 + 2
\theta + 1 + eh
(2)
1
.
(16)
Враховуючи (9), iз (16) отримуємо рiвняння (15), еквiвалентне (14). Отже, при \theta \in B(a, b)
сукупнiсть векторiв hx, побудована за правилами (l4), задовольняє функцiональне рiвняння
(4). Аналогiчним чином для множини векторiв
\bigl\{ \bigl(
0, h
(1)
1
\bigr)
,
\bigl(
0, h
(2)
1
\bigr)
,
\bigl(
- h
(1)
1 , - h
(1)
1
\bigr) \bigr\}
,
\bigl\{ \bigl(
0, h
(1)
1
\bigr)
,\bigl(
0, h
(2)
1
\bigr)
,
\bigl(
- h
(2)
1 , - h
(2)
1
\bigr) \bigr\}
,
\bigl\{ \bigl(
h
(1)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
h
(2)
1 , 0
\bigr)
,
\bigl(
- h
(2)
1 , - h
(2)
1
\bigr) \bigr\}
можна показати iснування ще
трьох сукупностей векторiв, що задовольняють функцiональне рiвняння (4).
В результатi одержуємо, що при \theta \in B(a, b) на деревi Келi порядку k = a+ b+ 2, a, b \in n,
iснують шiсть (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса.
Теорему 4 доведено.
5. Вiльнi енергiї для мiр Гiббса, отриманих ART-конструкцiєю, i для (\bfitk 0)-трансляцiйно-
iнварiантних мiр Гiббса. У цьому пунктi обчислимо вiльнi енергiї для мiр Гiббса, отриманих
ART-конструкцiєю, i для (k0)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса моделi Поттса.
У роботi [15] доведено таку теорему, що дає загальний вигляд вiльної енергiї.
Теорема 5. Для сукупностi векторiв, що задовольняють умови (4), вiльна енергiя обчислю-
ється за формулою
E(\beta , h) = - lim
n\rightarrow \infty
1
| Vn|
\sum
x\in Vn
a(x), (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 947
де
a(x) =
1
q\beta
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp
\bigl\{
(J\beta \sigma i + hx)\sigma u
\bigr\} \Biggr)
. (18)
У цiй же роботi для трансляцiйно-iнварiантної сукупностi векторiв вигляду
h =
\bigl(
h\ast , h\ast , . . . , h\ast \underbrace{} \underbrace{}
m
, 0, 0, . . . , 0
\bigr)
, m \geq 0, (19)
обчислено вiльну енергiю i розглянуто такi випадки:
Випадок m = 0. У цьому випадку маємо h = 0 = (0, 0, . . . , 0) \in \BbbR q - 1. З (17) одержуємо
ETI(\beta , 0) = - a(x) = - 1
q\beta
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp(J\beta \sigma i\sigma u)
\Biggr)
=
= - 1
q\beta
q\sum
i=1
ln
\biggl(
exp(J\beta ) + (q - 1) exp
\biggl(
J\beta
1 - q
\biggr) \biggr)
=
= - 1
q\beta
q ln
\biggl(
exp(J\beta ) + (q - 1) exp
\biggl(
J\beta
1 - q
\biggr) \biggr)
=
= - J - 1
\beta
ln
\biggl(
1 + (q - 1) exp
\biggl(
Jq\beta
1 - q
\biggr) \biggr)
.
Випадок m \not = 0. У цьому випадку для векторiв вигляду (19) обчислено вiльну енергiю:
ETI(\beta ,m, hx) = - lim
n\rightarrow \infty
1
| Vn|
\sum
x\in Vn
a(x) = - a(x) =
= - 1
q\beta
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp
\bigl\{
(J\beta \sigma i + hx)\sigma u
\bigr\} \Biggr)
=
= - q - m
q\beta
ln
\biggl(
me
\Bigl(
- J\beta
q - 1
+ q - m
q - 1
h\ast
\Bigr)
+ e
\Bigl(
J\beta - m
q - 1
h\ast
\Bigr)
+ (q - m - 1)e
\Bigl(
- J\beta
q - 1
- m
q - 1
h\ast
\Bigr) \biggr)
-
- m
q\beta
ln
\biggl(
(m - 1)e
\Bigl(
- J\beta
q - 1
+ q - m
q - 1
h\ast
\Bigr)
+ e
\Bigl(
J\beta + q - m
q - 1
h\ast
\Bigr)
+ (q - m)e
\Bigl(
- J\beta
q - 1
- m
q - 1
h\ast
\Bigr) \biggr)
. (20)
5.1. У даному пiдпунктi обчислимо вiльну енергiю для мiри Гiббса, отриманої ART-
конструкцiєю, що вiдповiдає сукупностi векторiв вигляду (5). Через EART(\beta , \~h) позначимо
вiльну енергiю для мiри Гiббса, отриманої ART-конструкцiєю. Тодi з (17) i (18) одержимо
EART(\beta , \~h) = - lim
n\rightarrow \infty
1
| Vn|
\sum
x\in Vn
a(x) =
= - 1
q\beta
lim
n\rightarrow \infty
| V k
n | - | V k0
n |
| Vn|
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp
\bigl\{
(J\beta \sigma i + hx(\mu ))\sigma u
\bigr\} \Biggr)
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
948 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
- 1
q\beta
lim
n\rightarrow \infty
| V k0
n |
| Vn|
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp
\bigl\{
(J\beta \sigma i + 0)\sigma u
\bigr\} \Biggr)
. (21)
Оскiльки
lim
n\rightarrow \infty
| V k0
n |
| V k
n |
=
k - 1
k0 - 1
lim
n\rightarrow \infty
(k0 + 1)kn0 - 2
(k + 1)kn - 2
= 0,
то, враховуючи 0 \leq a(x) \leq Cb, отримуємо
0 \leq
\sum
x\in V k0
n
a(x) \leq | V k0
n | Cb.
Отже, маємо
lim
n\rightarrow \infty
1
| V k
n |
\sum
x\in V k0
n
a(x) = 0,
звiдки
EART(\beta , \~h) = E(\beta , hx(\mu )). (22)
Зазначимо, що коли в (5) як hx(\mu ) розглянути трансляцiйно-iнварiантну сукупнiсть векторiв
вигляду (19), то отримаємо
EART(\beta , \~h) = ETI(\beta ,m, hx), (23)
тобто вiльна енергiя для мiр Гiббса, одержаних ART-конструкцiєю, дорiвнює вiльнiй енергiї
для трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса.
5.2. Тепер для (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса, побудованих за правилами (l1),
обчислимо вiльну енергiю.
Введемо позначення hi = (h
(i)
1 , 0), i = 1, 2. Через V 5
n,i, i = 1, 2 (вiдповiдно W 5
n,i, i = 1, 2)
позначимо множини тих вершин Vn (вiдповiдно Wn), яким за правилами (l1) зiставлено вектори
hi, i = 1, 2.
Легко обчислити, що
| W 5
1,1| = 4, | W 5
2,1| = 20 = 4 \cdot 5, | W 5
3,1| = 100 = 4 \cdot 52, . . . , | W 5
n,1| = 4 \cdot 5n - 1.
Очевидно, що
| V 5
n,1| = 1 + | W 5
1,1| + | W 5
2,1| + | W 5
3,1| + . . .+ | W 5
n,1| = 1 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 52 + . . .+ 4 \cdot 5n - 1 = 5n.
Вiдомо (див. [4]), що для дерева Келi п’ятого порядку | Vn| =
3 \cdot 5n - 1
2
. Звiдси маємо
| V 5
n,2| = | Vn| - | V 5
n,1| =
5n - 1
2
.
Тепер обчислимо вiльну енергiю:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
ПРО КОНСТРУКТИВНI ОПИСИ МIР ГIББСА ДЛЯ МОДЕЛI ПОТТСА НА ДЕРЕВI КЕЛI 949
E(2)(\beta , h) = - lim
n\rightarrow \infty
1
| Vn|
\sum
x\in Vn
a(x) =
= - 1
q\beta
lim
n\rightarrow \infty
| V 5
n,1|
| Vn|
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp\{ (J\beta \sigma i + h1)\sigma u\}
\Biggr)
-
- 1
q\beta
lim
n\rightarrow \infty
| V 5
n,2|
| Vn|
q\sum
i=1
ln
\Biggl(
q\sum
u=1
exp\{ (J\beta \sigma i + h2)\sigma u\}
\Biggr)
.
Оскiльки
lim
n\rightarrow \infty
| V 5
n,1|
| Vn|
=
2
3
, lim
n\rightarrow \infty
| V 5
n,2|
| Vn|
=
1
3
,
то вiльна енергiя (2)-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса, побудованих за правилами (l1),
має вигляд
E(2)(\beta , h) =
2
3
ETI(\beta , 1, h1) +
1
3
ETI(\beta , 1, h2). (24)
Зауваження 3. Якщо h1 = h2, то вiдповiдна (2)-трансляцiйно-iнварiантна сукупнiсть ве-
кторiв є трансляцiйно-iнварiантною, i в цьому випадку вiльна енергiя (2)-трансляцiйно-iнварiантної
сукупностi векторiв дорiвнює вiльнiй енергiї трансляцiйно-iнварiантної сукупностi векторiв,
тобто виконується рiвнiсть
E(2)(\beta , h) = ETI(\beta , 1, h1).
Аналогiчним чином можна обчислити вiльнi енергiї, що вiдповiдають (2)-трансляцiйно-
iнварiантним мiрам Гiббса, отриманим у теоремах 3 i 4.
Лiтература
1. Х. О. Георги, Гиббсовские меры и фазовые переходы, Мир, Москва (1992).
2. C. J. Preston, Gibbs states on countable sets, Cambridge Tracts Math., 68, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1974).
3. Я. Г. Синай, Теория фазовых переходов. Строгие результаты, Наука, Москва (1980).
4. U. A. Rozikov, Gibbs measures on Cayley trees, World Sci. (2013).
5. N. N. Ganikhodzhaev, Pure phases of the ferromagnetic Potts model with three states on a second-order Bethe lattice,
Theor. and Math. Phys., 85, № 2, 1125 – 1134 (1990).
6. N. N. Ganikhodzhaev, Pure phases of the ferromagnetic Potts model on the Bethe lattice, Dokl. AN RUz, 6, 4 – 7
(1992).
7. Н. Н. Ганиходжаев, У. А. Розиков, Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных
моделей на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 111, № 1, 109 – 117 (1997).
8. N. N. Ganikhodjaev, U. A. Rozikov, On Potts model with countable set of spin values on Cayley tree, Lett. Math.
Phys., 75, № 1, 99 – 109 (2006).
9. C. Külske, U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, Description of translation-invariant splitting Gibbs measures for the
Potts model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 156, № 1, 189 – 200 (2014).
10. У. А. Розиков, М. М. Рахматуллаев, Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для модели
Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 160, № 3, 507 – 516 (2009).
11. М. М. Рахматуллаев, Слабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса с конку-
рирующими взаимодействиями на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 176, № 3, 477 – 493 (2013).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
950 М. М. РАХМАТУЛЛАЄВ, Ф. К. РАФIКОВ, Ш. Х. АЗАМОВ
12. H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat.
Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011).
13. М. М. Рахматуллаев, (k0)-Периодические меры Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли, Докл. АН РУз, 3,
9 – 12 (2016).
14. M. M. Rahmatullaev, Ising model on trees: (k0)-non translation-invariant Gibbs measures, J. Phys.: Conf. Ser., 819,
012019 (2017); DOI:10.1088/1742-6596/819/1/012019.
15. U. A. Rozikov, M. M. Rahmatullaev, On free energies of the Potts model on the Cayley tree, Theor. and Math. Phys.,
190, № 1, 98 – 108 (2017).
16. M. M. Rahmatullaev, On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree,
Ukr. Mat. Zh., 68, № 4, 529 – 541 (2016).
17. M. M. Rahmatullaev, On weakly periodic Gibbs measures of the Potts model with a special external field on a Cayley
tree, J. Math. Phys., Anal., Geom., 12, № 4, 302 – 314 (2016).
18. M. M. Rahmatullaev, D. Gandolfo, U. A. Rozikov, J. Ruiz, On free energies of the Ising model on the Cayley tree,
J. Stat. Phys., 150, № 6, 1201 – 1217 (2013).
19. У. А. Розиков, Р. М. Хакимов, Периодические меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли, Теор. и мат.
физика, 175, № 2, 300 – 312 (2013).
20. M. M. Rahmatullaev, The existence of weakly periodic Gibbs measures for the Potts model on the Cayley tree, Theor.
and Math. Phys., 180, № 3, 1019 – 1029 (2014).
Одержано 03.12.20,
пiсля доопрацювання — 13.05.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6408 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:20Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/58dc7f1ce426e4323b12f5b7ff7766d7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-64082025-03-31T08:47:53Z On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree Про конструктивні описи мір Гіббса для моделі Поттса на дереві Келі Про конструктивні описи мір Гіббса для моделі Поттса на дереві Келі Rahmatullaev, M. Rafikov , F. К. Azamov , Sh. Kh. Rahmatullaev, Muzaffar Рахматуллаєв , M. M. Рафiков, Ф. К. Азамов, Ш. Х. дерево Кэли мера Гиббса модель Поттса ART-мера Гиббса $(k_0)$-трансляционно-инвариантная мера Гиббса свободная энергия Cayley tree UDC 517.9 We consider the Potts model on a Cayley tree and prove the existence of Gibbs measures built by using the method suggested in [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)]. In addition, we prove that there exist $(k_0)$-translation invariant Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree and calculate the free energy of these Gibbs measures. УДК 517.9 Розглядається модель Поттса на деревi Келi. Доведено iснування мiр Гiббса, побудованих аналогiчним методом iз [H. Akin, U. A. Rozikov, S. Temir, A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 142, № 2, 314 – 321 (2011)] i $(k_0)$-трансляцiйно-iнварiантних мiр Гiббса для моделi Поттса на деревi Келi. Обчислено вiльнi енергiї цих мiр Гiббса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6408 10.37863/umzh.v73i7.6408 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 938 - 950 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 938 - 950 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6408/9068 Copyright (c) 2021 Muzaffar Rahmatullaev |
| spellingShingle | Rahmatullaev, M. Rafikov , F. К. Azamov , Sh. Kh. Rahmatullaev, Muzaffar Рахматуллаєв , M. M. Рафiков, Ф. К. Азамов, Ш. Х. On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title | On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title_alt | Про конструктивні описи мір Гіббса для моделі Поттса на дереві Келі Про конструктивні описи мір Гіббса для моделі Поттса на дереві Келі |
| title_full | On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title_fullStr | On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title_full_unstemmed | On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title_short | On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree |
| title_sort | on constructive description of gibbs measures for the potts model on a cayley tree |
| topic_facet | дерево Кэли мера Гиббса модель Поттса ART-мера Гиббса $(k_0)$-трансляционно-инвариантная мера Гиббса свободная энергия Cayley tree |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6408 |
| work_keys_str_mv | AT rahmatullaevm onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT rafikovfk onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT azamovshkh onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT rahmatullaevmuzaffar onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT rahmatullaêvmm onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT rafikovfk onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT azamovšh onconstructivedescriptionofgibbsmeasuresforthepottsmodelonacayleytree AT rahmatullaevm prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT rafikovfk prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT azamovshkh prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT rahmatullaevmuzaffar prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT rahmatullaêvmm prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT rafikovfk prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí AT azamovšh prokonstruktivníopisimírgíbbsadlâmodelípottsanaderevíkelí |