Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$
UDC 517.5 We obtain exact Jackson-type inequalities in terms of best approximations and averaged values of generalized moduli of smoothness in spaces ${\mathcal S}^p$. For classes of periodic functions defined by certain conditions on the averaged values of the generalized moduli of smoothness, the...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6432 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512366108606464 |
|---|---|
| author | Abdullayev, F. Serdyuk, Anatolii Shidlich, A. Абдуллаев, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. Абдуллаєв, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Abdullayev, F. Serdyuk, Anatolii Shidlich, A. Абдуллаев, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. Абдуллаєв, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Abdullayev, F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:05Z |
| description | UDC 517.5
We obtain exact Jackson-type inequalities in terms of best approximations and averaged values of generalized moduli of smoothness in spaces ${\mathcal S}^p$. For classes of periodic functions defined by certain conditions on the averaged values of the generalized moduli of smoothness, the Kolmogorov, Bernstein, linear, and projective widths in the spaces ${\mathcal S}^p$ are found. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6432 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:27:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6432
УДК 517.5
Ф. Г. Абдуллаєв (Киргиз.-Тур. ун-т „Манас”, Бiшкек, Киргизстан; Мерсiн. ун-т, Туреччина),
А. С. Сердюк, А. Л. Шидлiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ,
ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОДУЛIВ ГЛАДКОСТI
У ПРОСТОРАХ \bfscrS \bfitp *
We obtain exact Jackson-type inequalities in terms of best approximations and averaged values of generalized moduli of
smoothness in spaces \scrS p. For classes of periodic functions defined by certain conditions on the averaged values of the
generalized moduli of smoothness, the Kolmogorov, Bernstein, linear, and projective widths in the spaces \scrS p are found.
Отримано точнi нерiвностi типу Джексона в термiнах найкращих наближень функцiй та усереднених значень їхнiх
узагальнених модулiв гладкостi у просторах \scrS p. Знайдено точнi значення колмогоровських, бернштейнiвських,
лiнiйних i проєктивних поперечникiв у просторах \scrS p класiв перiодичних функцiй, визначених деякими умовами на
усередненi значення їхнiх узагальнених модулiв гладкостi.
1. Вступ. Нехай \scrS p, 1 \leq p < \infty (див., наприклад, [17], [18], гл. 11) — простiр визначених на
дiйснiй осi 2\pi -перiодичних комплекснозначних iнтегровних за Лебегом на [0, 2\pi ] функцiй f
(f \in L) зi скiнченною нормою
\| f\| \scrS p :=
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ
| \widehat f(k)| p\Biggr) 1/p
, (1.1)
де \widehat f(k) = 1
2\pi
\int 2\pi
0
f(x)e - ikxdx — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
У випадку p = 2 простори \scrS 2 є звичайними просторами L2 сумовних iз квадратом функцiй
iз нормою
\| f\|
L2
= \| f\|
\scrS 2 =
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
| f(x)| 2dx
\right) 1/2
.
При довiльному 1 \leq p < \infty цi простори наслiдують деякi важливi властивостi гiльбертових
просторiв, зокрема мiнiмальну властивiсть сум Фур’є (див. спiввiдношення (2.8)).
Активне вивчення апроксимативних властивостей просторiв \scrS p бере свiй початок вiд робiт
О. I. Степанця (див., наприклад, [17], [18] (гл. 11), [19]). О. I. Степанець i А. С. Сердюк [20]
ввели поняття k-го модуля гладкостi в \scrS p i довели прямi та оберненi теореми наближення в
термiнах цих модулiв гладкостi та найкращих наближень функцiй. Ця тематика також активно
розвивалась у багатьох роботах (див., наприклад, [2, 7, 8, 11, 15, 16], [18] (гл. 11), [21], [25]
* Виконано за часткової пiдтримки Киргизько-Турецького унiверситету „Манас” (проєкт № KTMÜ-BAP-
2019.FBE.02) та Фонду Фолькцваген (проєкт “From Modeling and Analysis to Approximation”).
c\bigcirc Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6 723
724 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
(гл. 3)). В данiй роботi ми продовжуємо такi дослiдження. Зокрема, отримано точнi нерiвно-
стi типу Джексона в термiнах найкращих наближень функцiй та усереднених значень їхнiх
узагальнених модулiв гладкостi у просторах \scrS p. Знайдено точнi значення колмогоровських,
бернштейнiвських, лiнiйних i проєктивних поперечникiв у просторах \scrS p класiв перiодичних
функцiй, визначених деякими умовами на усередненi значення їхнiх узагальнених модулiв
гладкостi.
2. Попереднi вiдомостi та позначення. 2.1. Узагальненi модулi гладкостi та їхнi усеред-
ненi значення. Нехай \Phi — множина всiх неперервних обмежених невiд’ємних парних функцiй
\varphi (t) таких, що \varphi (0) = 0 i мiра Лебега множини \{ t \in \BbbR : \varphi (t) = 0\} дорiвнює нулю.
Розвиваючи iдеї робiт [5, 6, 28], для фiксованої функцiї \varphi \in \Phi означимо узагальнений
модуль гладкостi функцiї f \in \scrS p рiвнiстю
\omega \varphi (f, t)\scrS p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ
\varphi p(kh)| \widehat f(k)| p\Biggr) 1/p
, t \geq 0. (2.1)
Нехай \omega \alpha (f, t)\scrS p — класичний модуль гладкостi функцiї f \in \scrS p порядку \alpha > 0, тобто
\omega \alpha (f, t)\scrS p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\| \Delta \alpha
hf\| \scrS p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
j=0
( - 1)j
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
f(\cdot - jh)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\scrS p
, (2.2)
де
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
=
\alpha (\alpha - 1) . . . (\alpha - j + 1)
j!
при j \in \BbbN i
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
= 1 при j = 0.
Оскiльки для коефiцiєнтiв Фур’є функцiї \Delta \alpha
hf справджуються рiвностi
| \widehat \Delta \alpha
hf(k)| = | 1 - e - ikh| \alpha | \widehat f(k)| = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh)
\alpha
2 | \widehat f(k)| , k \in \BbbZ ,
то з огляду на (1.1) i (2.1) маємо
\omega \alpha (f, t)\scrS p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ
2
\alpha p
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh)
\alpha p
2 | \widehat f(k)| p\Biggr) 1/p
= \omega \varphi \alpha (f, \delta )\scrS p ,
де \varphi \alpha (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 . Iншими словами, класичнi модулi гладкостi \omega \alpha (f, t)\scrS p є частинним
випадком модулiв (2.1). У загальному випадку подiбнi модулi розглядались, наприклад, у [4, 9,
10, 13].
Далi, нехай M(\tau ), \tau > 0, — множина всiх функцiй \mu , обмежених неспадних i вiдмiнних
вiд сталої на вiдрiзку [0, \tau ]. Через \Omega \varphi (f, \tau , \mu , u)\scrS p , u > 0, позначимо усереднене значення
узагальненого модуля гладкостi \omega \varphi функцiї f з вагою \mu \in M(\tau ), тобто величину вигляду
\Omega \varphi (f, \tau , \mu , u)\scrS p :=
\left( 1
\mu (\tau ) - \mu (0)
u\int
0
\omega p\varphi (f, t)\scrS pd\mu
\biggl(
\tau t
u
\biggr) \right) 1/p
. (2.3)
Зокрема, \Omega \alpha (f, \tau , \mu , u)\scrS p позначає усереднене значення класичного модуля гладкостi порядку
\alpha функцiї f з вагою \mu \in M(\tau ), тобто \Omega \alpha (f, \tau , \mu , u)\scrS p := \Omega \varphi (f, \tau , \mu , u)\scrS p при \varphi (t) = \varphi \alpha (t) =
= 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 725
Зазначимо, що для довiльних f \in \scrS p, \tau > 0, \mu \in M(\tau ) та u > 0 функцiонали \Omega \varphi (f, \tau , \mu , u)\scrS p
не перевищують значення \omega \varphi (f, u)\scrS p , i тому в деяких випадках вони можуть бути бiльш ефек-
тивними для характеризацiї структурних та апроксимативних властивостей функцiї f.
2.2. Означення \bfitpsi -похiдних i функцiональних класiв. Нехай \psi = \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ — довiльна
послiдовнiсть комплексних чисел. Якщо для даної функцiї f \in L з рядом Фур’є
\sum
k\in \BbbZ
\widehat f(k)eikx
ряд
\sum
k\in \BbbZ
\psi (k) \widehat f(k)eikx є рядом Фур’є деякої функцiї F \in L, то F називається (див., наприк-
лад, [18], гл. 11) \psi -iнтегралом функцiї f i позначається F = \scrJ \psi (f, \cdot ). В свою чергу функцiя
f називається \psi -похiдною функцiї F i позначається f = F\psi . У цьому випадку коефiцiєнти
Фур’є функцiй f i f\psi пов’язанi рiвностями
\widehat f(k) = \psi (k) \widehat f\psi (k), k \in \BbbZ . (2.4)
Множина \psi -iнтегралiв функцiй f iз L позначається L\psi . Якщо \frakN \subset L, то через L\psi \frakN познача-
ють множину \psi -iнтегралiв функцiй f \in \frakN . Зокрема, L\psi \scrS p — множина \psi -iнтегралiв функцiй
f \in \scrS p.
У випадку, коли \psi (k) = (\mathrm{i}k) - r, r = 0, 1, . . . , будемо позначати L\psi =: Lr i L\psi \frakN =: Lr\frakN .
Для довiльних фiксованих \varphi \in \Phi , \tau > 0 та \mu \in M(\tau ) розглянемо такi фунцiональнi класи:
L\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p :=
\biggl\{
f \in L\psi \scrS p : \Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
\leq 1, n \in \BbbN
\biggr\}
, (2.5)
L\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p :=
\Bigl\{
f \in L\psi \scrS p : \Omega \varphi (f
\psi , \tau , \mu , u)\scrS p \leq \Omega (u), 0 \leq u \leq \tau
\Bigr\}
, (2.6)
де \Omega (u) — фiксована неперервна монотонно зростаюча функцiя змiнної u \geq 0 така, що
\Omega (0) = 0. Також ми позначаємо L\psi (\alpha , \tau , \mu , n)\scrS p := L\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p i L\psi (\alpha , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p :=
:= L\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p при \varphi (t) = \varphi \alpha (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh)
\alpha
2 .
Зазначимо, що у випадку, коли p = 2, \psi (k) = k - r, r \in \BbbN i вагова функцiя \mu (t) = t,
класи, подiбнi до класiв L\psi (\alpha , \tau , \mu , n)\scrS p та L\psi (\alpha , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p , вперше розглянув Л. В. Тайков
[22, 23]. Вiн знайшов точнi значення деяких поперечникiв таких класiв у просторах L2 у
випадку, коли мажоранти \Omega усереднених значень модулiв гладкостi задовольняють певнi умови.
Згодом питання знаходження точних значень поперечникiв у просторах L2 та \scrS p аналогiчних
функцiональних класiв, породжених рiзними ваговими функцiями \mu , вивчались у багатьох
роботах (див., наприклад, [3, 7, 9, 12], [14] (гл. 4), [16, 27, 29, 30]).
2.3. Найкращi наближення та поперечники функцiональних класiв. Нехай T2n+1, n =
= 0, 1, . . . , — множина всiх тригонометричних полiномiв Tn(x) =
\sum
| k| \leq n
cke
ikx порядку n, де
ck — довiльнi комплекснi числа.
Для будь-якої функцiї f \in \scrS p позначимо через En(f)\scrS p її найкраще наближення тригоно-
метричними полiномами Tn - 1 \in T2n - 1 у просторi \scrS p, тобто
En(f)\scrS p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Tn - 1\in T2n - 1
\| f - Tn - 1\| \scrS p . (2.7)
Iз спiввiдношення (1.1) випливає (див., наприклад, [18], гл. 11, формула (11.4)), що для будь-якої
функцiї f \in \scrS p при всiх n = 0, 1, . . .
Epn(f)\scrS p = \| f - Sn - 1(f)\| p\scrS p =
\sum
| k| \geq n
| \widehat f(k)| p, (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
726 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
де Sn - 1(f) = Sn - 1(f, \cdot ) =
\sum
| k| \leq n - 1
\widehat f(k)eik\cdot — частинна сума Фур’є порядку n - 1 функцiї f.
Далi, нехай K — опукла центрально-симетрична пiдмножина простору \scrS p i B — одинична
куля простору \scrS p. Нехай також FN — довiльний N -вимiрний пiдпростiр простору \scrS p, N \in \BbbN ,
i L(\scrS p, FN ) — множина лiнiйних операторiв з \scrS p в FN . Через P(\scrS p, FN ) позначимо пiдмно-
жину проєктивних операторiв iз множини L(\scrS p, FN ), тобто множину операторiв A лiнiйного
проєктування на множину FN таких, що Af = f при f \in FN . Величини
bN (K,\scrS p) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
FN+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varepsilon > 0 : \varepsilon B \cap FN+1 \subset K\} ,
dN (K,\scrS p) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
FN
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in FN
\| f - u\| \scrS p ,
\lambda N (K,\scrS p) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
FN
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
A\in L(\scrS p,FN )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
\| f - Af\| \scrS p ,
\pi N (K,\scrS p) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
FN
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
A\in P(\scrS p,FN )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
\| f - Af\| \scrS p
називаються вiдповiдно бернштейнiвським, колмогоровським, лiнiйним i проєктивним N -попе-
речниками множини K у просторi \scrS p.
3. Основнi результати. 3.1. Нерiвностi типу Джексона. У цьому пiдпунктi отримано
нерiвностi типу Джексона в термiнах найкращих наближень функцiй та усереднених значень
їхнiх узагальнених модулiв гладкостi у просторах \scrS p.
Теорема 3.1. Нехай f \in L\psi \scrS p, 1 \leq p < \infty , \varphi \in \Phi , \tau > 0, \mu \in M(\tau ) i \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ —
довiльна послiдовнiсть комплексних чисел таких, що | \psi (k)| \leq K < \infty . Тодi для довiльного
n \in \BbbN справджується нерiвнiсть
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
\nu (n) \Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
, (3.1)
де \nu (n) := \nu (n, \psi ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| k| \geq n | \psi (n)| ,
In,\varphi ,p(\tau , \mu ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\tau \int
0
\varphi p
\biggl(
kt
n
\biggr)
d\mu (t). (3.2)
Якщо при цьому функцiя \varphi є неспадною на промiжку [0, \tau ], \nu (n) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \psi (n)| , | \psi ( - n)| \} i
виконується умова
In,\varphi ,p(\tau , \mu ) =
\tau \int
0
\varphi p(t)d\mu (t), (3.3)
то нерiвнiсть (3.1) не може бути покращена, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
=
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
\nu (n). (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 727
Доведення. Нехай f \in L\psi \scrS p, 1 \leq p <\infty . Внаслiдок (2.4) i (2.8) маємо
Epn(f)\scrS p =
\sum
| k| \geq n
| \widehat f(k)| p \leq \sum
| k| \geq n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \nu (n)\psi (k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
| \widehat f(k)| p =
= \nu p(n)
\sum
| k| \geq n
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat f(k)
\psi (k)
\bigm| \bigm| \bigm| p = \nu p(n)Epn(f
\psi )\scrS p . (3.5)
Як показано при доведеннi теореми 2 в роботi [1], для довiльної g \in \scrS p, 1 \leq p < \infty , \tau > 0,
\varphi \in \Phi , \mu \in M(\tau ) i n \in \BbbN
Epn(g)\scrS p \leq 1
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\tau \int
0
\omega p\varphi
\biggl(
g,
t
n
\biggr)
\scrS p
d\mu (t). (3.6)
Покладаючи в (3.6) g = f\psi , одержуємо
Epn(f
\psi )\scrS p \leq \mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\int \tau
0
\omega p\varphi
\Bigl(
f\psi ,
t
n
\Bigr)
\scrS p
d\mu (t)
\mu (\tau ) - \mu (0)
\leq
\leq \mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\Omega p\varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
. (3.7)
Об’єднуючи нерiвностi (3.5) i (3.7), отримуємо (3.1).
Нехай тепер функцiя \varphi є неспадною на [0, \tau ], виконується нерiвнiсть (3.3) i \nu (n) =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \psi (n)| , | \psi ( - n)| \} . Тодi на пiдставi (3.1) маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
\leq
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(u)d\mu (u)
\right)
1/p
\nu (n). (3.8)
Для доведення непокращуваностi нерiвностi (3.8) розглянемо функцiю
fn(x) = \gamma + \varepsilon - n\delta e
- inx + \varepsilon n\delta e
inx,
де \gamma i \delta — будь-якi комплекснi числа, а величина \varepsilon k, k \in \{ - n, n\} , дорiвнює 1 при \nu (n) = | \psi (k)|
i 0 при \nu (n) > | \psi (k)| .
Оскiльки функцiя \varphi (nt) є неспадною на
\Bigl[
0,
\tau
n
\Bigr]
, то внаслiдок (2.1) i (2.4) маємо
\omega \varphi (f
\psi
n , t) = | \delta | (\varepsilon - n + \varepsilon n)
1/p \varphi (nt)
\nu (n)
. (3.9)
Враховуючи (2.3), (3.9) i рiвнiсть En(fn)\scrS p = | \delta | (\varepsilon - n + \varepsilon n)
1/p, бачимо, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
\geq
En(fn)\scrS p
\Omega \varphi
\Bigl(
f\psi n , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
728 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
=
| \delta | (\varepsilon - n + \varepsilon n)
1/p(\mu (\tau ) - \mu (0))1/p\nu (n)\Biggl( \int \tau /n
0
| \delta | p(\varepsilon - n + \varepsilon n)\varphi
p(nt)d\mu (nt)
\Biggr) 1/p
=
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(u)d\mu (u)
\right)
1/p
\nu (n). (3.10)
Iз спiввiдношень (3.8) i (3.10) отримуємо (3.4).
Теорему 3.1 доведено.
Об’єднуючи спiввiдношення (3.5) i (3.6), у яких g = f\psi , i враховуючи неспадання модуля
\omega \varphi (f, t)\scrS p при t \geq 0, робимо висновок, що має мiсце таке твердження.
Наслiдок 3.1. Нехай f \in L\psi \scrS p, 1 \leq p < \infty , \varphi \in \Phi , \tau > 0, \mu \in M(\tau ) i \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ —
послiдовнiсть комплексних чисел таких, що | \psi (k)| \leq K <\infty . Тодi при будь-якому n \in \BbbN
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
\nu (n)\omega \varphi
\Bigl(
f,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
, (3.11)
де \nu (n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| k| \geq n | \psi (n)| , а величина In,\varphi ,p(\tau , \mu ) визначається рiвнiстю (3.2).
Функцiя \varphi \alpha (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 , \alpha > 0, є неспадною на вiдрiзку [0, \pi ]. Тому в цьому
випадку справджується таке твердження.
Наслiдок 3.2. Нехай f \in L\psi \scrS p, 1 \leq p <\infty , \tau > 0, \mu \in M(\tau ) i \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ — послiдовнiсть
комплексних чисел таких, що | \psi (k)| \leq K <\infty . Тодi для довiльних чисел \alpha > 0 i n \in \BbbN
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\alpha ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
\nu (n) \Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
, (3.1\prime )
де \nu (n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| k| \geq n | \psi (n)| , величина In,\alpha ,p(\tau , \mu ) визначається рiвнiстю (3.2) з \varphi (t) = \varphi \alpha (t) =
= 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 .
Якщо при цьому \nu (n) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \psi (n)| , | \psi ( - n)| \} i
In,\alpha ,p(\tau , \mu ) = 2
\alpha p
2
\tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 d\mu (t), (3.3\prime )
то при \tau \in (0, \pi ] нерiвнiсть (3.1\prime ) не може бути покращена, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \alpha
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
=
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2
\alpha p
2
\int \tau
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 d\mu (t)
\right)
1/p
\nu (n) =
=
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
d\mu (t)
\right)
1/p
\nu (n) . (3.4\prime )
Розглянемо деякi наслiдки з цього твердження для конкретних вагових функцiй \mu 1(t) =
= 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t i \mu 2(t) = t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 729
Наслiдок 3.3. Нехай f \in L\psi \scrS p, 1 \leq p < \infty , i \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ — послiдовнiсть комплексних
чисел таких, що | \psi (k)| \leq K <\infty . Тодi для довiльних \alpha > 0 i n \in \BbbN
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
2
In,\alpha ,p(\pi , \mu 1)
\biggr) 1/p
\Omega \alpha
\Bigl(
f\psi , \pi , \mu 1,
\pi
n
\Bigr)
\scrS p
\nu (n) , (3.12)
де \nu (n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| k| \geq n | \psi (n)| ,
In,\alpha ,p(\pi , \mu 1) = 2
\alpha p
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\pi \int
0
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
kt
n
\biggr) \alpha p
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t dt. (3.13)
Якщо при цьому \nu (n) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \psi (n)| , | \psi ( - n)| \} i
\alpha p
2
\in \BbbN , то нерiвнiсть (3.12) на множинi
L\psi \scrS p не може бути покращена i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \alpha
\Bigl(
f\psi , \pi , \mu 1,
\pi
n
\Bigr)
\scrS p
=
\Bigl( \alpha p
2
+ 1
\Bigr) 1/p
2\alpha
\nu (n). (3.14)
Доведення. Справдi, якщо в наслiдку 3.2 покласти \tau = \pi i \mu (t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, то спiввiдно-
шення (3.12) випливатиме з нерiвностi (3.1\prime ). Якщо число
\alpha p
2
є натуральним, то використаємо
формулу (див. [20], формула (52))
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\theta \geq 1
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta t)\lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t dt =
2\lambda +1
\lambda + 1
, \lambda \in \BbbN . (3.15)
Покладаючи \lambda =
\alpha p
2
i \theta =
k
n
, k = n, n+ 1, n+ 2, . . . , бачимо, що \theta \geq 1. Тому
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\tau \int
0
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
kt
n
\biggr) \alpha p
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t dt =
\tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t dt =
2
\alpha p
2
+1
\alpha p
2
+ 1
, (3.16)
i рiвнiсть (3.14) випливає iз спiввiдношення (3.4\prime ), в якому \mu (t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t i \tau = \pi .
Наслiдок 3.3 доведено.
У випадку, коли p = 2, \mu 1(t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, \tau = \pi i \varphi (t) = 2
1
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
1
2 , тобто коли
\omega \varphi — звичайний модуль неперервностi (модуль гладкостi порядку 1), нерiвнiсть вигляду (3.11)
отримав О. I. Степанець [18] (гл. 8). Як випливає з формули (3.16), у цьому випадку\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
= 2 - 1/2.
Зауваження 3.1. У випадку, коли p = 2 i \psi (k) = (\mathrm{i}k) - r, r = 0, 1, . . . , рiвнiсть (3.14) можна
записати у виглядi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr\scrS 2
f \not =const
En(f)\scrS 2
\Omega \alpha
\Bigl(
f (r), \pi , \mu 1,
\pi
n
\Bigr)
\scrS 2
=
\surd
\alpha + 1
2\alpha
n - r, \alpha > 0, n \in \BbbN . (3.14\prime )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
730 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
При \alpha = 1 це спiввiдношення випливає з результату М. I. Черних [26]. При довiльних \alpha = k \in
\in \BbbN i n \in \BbbN точнi значення величин у лiвiй частинi (3.14\prime ) отримали С. М. Васильєв [10], а
також Х. Юссеф [29] у дещо iншiй формi.
Наслiдок 3.4. Нехай 0 < \tau \leq 3\pi
4
, \mu 2(t) = t, числа 1 \leq p < \infty i \alpha > 0 такi, що
\alpha p \geq 1. Нехай також n \in \BbbN i \{ \psi (k)\} k\in \BbbZ — послiдовнiсть комплексних чисел таких, що
\nu (n) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}| k| \geq n | \psi (n)| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \psi (n)| , | \psi ( - n)| \} . Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi \scrS p
f \not =const
En(f)\scrS p
\Omega \alpha
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu 2,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
=
\left( \tau
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
dt
\right)
1/p
\nu (n). (3.17)
Доведення. Як показано в [11], при довiльних \tau \in
\Bigl(
0,
3\pi
4
\Bigr]
i \gamma \geq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\tau \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \nu t
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \gamma dt = \tau \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\gamma
t
2
dt.
Тому при \gamma = \alpha p i \tau \in
\Bigl(
0,
3\pi
4
\Bigr]
маємо
In,\alpha ,p(\tau , \mu 2) = 2
\alpha p
2 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\tau \int
0
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
kt
n
\biggr) \alpha p
2
dt = 2\alpha p \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\geq n
k\in \BbbN
\tau \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha pdt =
= 2\alpha p
\tau \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
2
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha pdt = 2
\alpha p
2
\tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 dt.
Отже, спiввiдношення (3.17) випливає з рiвностi (3.4\prime ), де \mu (t) = t i \tau \in
\Bigl(
0,
3\pi
4
\Bigr]
.
Наслiдок 3.4 доведено.
Зазначимо, що у випадку, коли p = 2, \psi (k) = (\mathrm{i}k) - r, r \geq 0 i k = 1 або r \geq 1/2 i k \in \BbbN ,
рiвнiсть (3.17) випливає з результатiв Л. В. Тайкова [22, 23].
3.2. Поперечники класiв \bfitL \bfitpsi (\bfitvarphi , \bfitmu , \bfittau , \bfitn )\bfscrS \bfitp . У цьому пiдпунктi знайдено значення кол-
могоровських, бернштейнiвських, лiнiйних i проєктивних поперечникiв означених формулою
(2.5) класiв L\psi (\varphi , \mu , \tau , n)\scrS p у випадку, коли послiдовностi \psi (k) задовольняють деякi природнi
умови. Для формулювання цих результатiв позначимо через \Psi множину всiх послiдовностей
\{ \psi (k)\} k\in \BbbZ комплексних чисел таких, що | \psi (k)| = | \psi ( - k)| \geq | \psi (k + 1)| при k \in \BbbN .
Теорема 3.2. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , \tau > 0, функцiя \varphi \in \Phi є неспадною на вiдрiзку
[0, \tau ] i \mu \in M(\tau ). Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} справджуються нерiвностi\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \leq PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 731
\leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| , (3.18)
де величина In,\varphi ,p(\tau , \mu ) визначається рiвнiстю (3.2) i PN — будь-який iз поперечникiв bN , dN ,
\lambda N чи \pi N .
Якщо при цьому виконується умова (3.3), то
PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| . (3.19)
Доведення. Використовуючи теорему 3.1, з огляду на означення множини \Psi для довiльної
функцiї f \in L\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p маємо
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
\Omega \varphi
\Bigl(
f\psi , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
| \psi (n)| \leq
\leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| . (3.20)
Тодi, враховуючи означення проєктивного поперечника \pi N , а також спiввiдношення (2.8),
(3.20), робимо висновок, що
\pi 2n - 1(L
\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) \leq En(L
\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p )\scrS p =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi (\varphi ,\tau , \mu , n)\scrS p
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| . (3.21)
Оскiльки поперечники bN , dN , \lambda N i \pi N не зростають iз зростанням N i
bN (K,X) \leq dN (K,X) \leq \lambda N (K,X) \leq \pi N (K,X) (3.22)
(див., наприклад, [24], гл. 4), то на пiдставi (3.21) отримуємо оцiнку зверху для PN у (3.18).
Для встановлення необхiдної оцiнки знизу достатньо показати, що
b2n(L
\psi (\varphi , \mu , \tau , n)\scrS p ,\scrS
p) \geq
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(u)d\mu (u)
\right)
1/p
| \psi (n)| =: Rn. (3.23)
У (2n+1)-вимiрному просторi T2n+1 тригонометричних полiномiв порядку n розглянемо кулю
B2n+1, радiус якої дорiвнює визначенiй у (3.23) величинi Rn,
B2n+1 =
\bigl\{
tn \in T2n+1 : \| tn\| \scrS p \leq Rn
\bigr\}
,
i покажемо виконання вкладення B2n+1 \subset L\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
732 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Для довiльного полiнома Tn \in B2n+1 внаслiдок (2.1) i парностi функцiї \varphi з \Phi маємо
\omega p\varphi (T
\psi
n , t)\scrS p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq v\leq t
\sum
| k| \leq n
\varphi p(kv)| \widehat T\psi n (k)| p.
Тодi, враховуючи спiввiдношення (2.4) i неспадання на [0, a] функцiї \varphi , при \tau \in (0, a] отриму-
ємо
(\mu (\tau ) - \mu (0))\Omega p\varphi
\Bigl(
T\psi n , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
=
\tau \int
0
\omega p\varphi
\biggl(
T\psi n ,
t
n
\biggr)
\scrS p
d\mu (t) =
=
\tau \int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq v\leq t
n
\sum
| k| \leq n
\varphi p(kv)| \widehat T\psi n (k)| pd\mu (t)= \tau \int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq v\leq t
\sum
| k| \leq n
\varphi p
\biggl(
kv
n
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \widehat Tn(k)
\psi (k)
\bigm| \bigm| \bigm| pd\mu (t) \leq
\leq 1
| \psi (n)| p
\tau \int
0
\sum
| k| \leq n
\varphi p(t)| \widehat Tn(k)| pd\mu (t) \leq \| Tn\| p\scrS p
| \psi (n)| p
\tau \int
0
\varphi p(t)d\mu (t).
Тому з включення Tn \in B2n+1 випливає нерiвнiсть \Omega \varphi
\Bigl(
T\psi n , \tau , \mu ,
\tau
n
\Bigr)
\scrS p
\leq 1. Таким чином, Tn \in
\in L\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p i виконується вкладення B2n+1 \subset L\psi (\varphi , \mu , \tau , n)\scrS p . На пiдставi означення
бернштейнiвського поперечника справджується нерiвнiсть (3.23). Отже, спiввiдношення (3.18)
доведено. Легко бачити з умови (3.3), що оцiнки зверху i знизу для величин
PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) збiгаються i тому має мiсце рiвнiсть (3.19).
Теорему 3.2 доведено.
У випадку, коли \varphi (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 , отримуємо таке твердження.
Наслiдок 3.5. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , \tau \in (0, \pi ], \alpha \in \BbbN i \mu \in M(\tau ). Тодi для довiльних
n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} справджуються нерiвностi\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \leq PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\alpha ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| ,
де величина In,\alpha ,p(\tau , \mu ) визначається рiвнiстю (3.2) з \varphi (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh)
\alpha
2 i PN — будь-який
iз поперечникiв bN , dN , \lambda N чи \pi N .
Якщо при цьому виконується умова (3.3\prime ), то
PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu , n)\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| .
Для вагових функцiй \mu 1(t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t i \mu 2(t) = t з наслiдку 3.5 одержуємо такi твердження.
Наслiдок 3.6. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , \alpha \in \BbbN i \mu 1(t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t. Тодi для довiльних
n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} \Bigl( \alpha p
2
+ 1
\Bigr) 1/p
2\alpha
| \psi (n)| \leq PN (L
\psi (\alpha , \pi , \mu 1, n)\scrS p ,\scrS
p) \leq
\biggl(
2
In,\alpha ,p(\pi , \mu 1)
\biggr) 1/p
| \psi (n)| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 733
де In,\alpha ,p(\pi , \mu 1) — величина вигляду (3.13) i PN — будь-який iз поперечникiв bN , dN , \lambda N чи \pi N .
Якщо при цьому
\alpha p
2
\in \BbbN , то
PN (L
\psi (\alpha , \pi , \mu 1, n)\scrS p ,\scrS
p) =
\Bigl( \alpha p
2
+ 1
\Bigr) 1/p
2\alpha
| \psi (n)| .
Наслiдок 3.7. Нехай \psi \in \Psi , 0 < \tau \leq 3\pi
4
, \mu 2(t) = t, числа \alpha > 0 i 1 \leq p < \infty такi, що
\alpha p \geq 1. Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\}
PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu 2, n)\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \tau
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
dt
\right)
1/p
| \psi (n)| ,
де PN — будь-який iз поперечникiв bN , dN , \lambda N чи \pi N .
3.3. Поперечники класiв \bfitL \bfitpsi (\bfitvarphi , \bfitmu , \bfittau ,\bfOmega )\bfscrS \bfitp . Знайдемо також значення поперечникiв класiв
L\psi (\varphi , \mu , \tau ,\Omega )\scrS p вигляду (2.6) при деяких обмеженнях на мажоранти \Omega .
Теорема 3.3. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , функцiя \varphi \in \Phi є неспадною на деякому вiдрiзку
[0, a], a > 0, i \varphi (a) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \varphi (t) : t \in \BbbR \} . Нехай також \tau \in (0, a], \mu \in M(\tau ) i при всiх \xi > 0 i
0 < u \leq a функцiя \Omega задовольняє умову
\Omega
\biggl(
u
\xi
\biggr) \left( \xi \tau \int
0
\varphi p\ast (t)d\mu
\biggl(
t
\xi
\biggr) \right) 1/p
\leq \Omega (u)
\left( \tau \int
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right) 1/p
, (3.24)
де
\varphi \ast (t) :=
\biggl\{
\varphi (t), 0 \leq t \leq a,
\varphi (a), t \geq a.
(3.25)
Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} \left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
\leq PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) \leq
\leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
, (3.26)
де величина In,\varphi ,p(\tau , \mu ) означена рiвнiстю (3.2) i PN — будь-який iз поперечникiв bN , dN , \lambda N
чи \pi N .
Якщо при цьому виконується умова (3.3), то
PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
. (3.27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
734 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Доведення даної теореми в основному повторює доведення теореми 3.2. На основi нерiв-
ностi (3.1) для довiльної функцiї f \in L\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
, (3.28)
звiдки, враховуючи означення поперечника \pi N i спiввiдношення (2.8), отримуємо
\pi 2n - 1(L
\psi (\varphi , \mu , \tau ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) = En(L
\psi (\varphi , \mu , \tau ,\Omega )\scrS p )\scrS p =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi (\varphi ,\mu ,\tau ,\Omega )\scrS p
En(f)\scrS p \leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
. (3.29)
Для отримання необхiдної оцiнки знизу покажемо, що
b2n(L
\psi (\varphi , \mu , \tau ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) \geq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\varphi ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
=: R\ast
n. (3.30)
Для цього в (2n + 1)-вимiрному просторi T2n+1 тригонометричних полiномiв порядку n роз-
глянемо кулю B2n+1, радiус якої дорiвнює визначенiй в (3.30) величинi R\ast
n,
B\ast
2n+1 =
\bigl\{
Tn \in T2n+1 : \| Tn\| \scrS p \leq R\ast
n
\bigr\}
,
i доведемо справедливiсть вкладення B\ast
2n+1 \subset L\psi (\varphi , \mu , \tau ,\Omega )\scrS p .
Припустимо, що Tn \in B\ast
2n+1. Враховуючи неспадання функцiї \varphi на [0, a], а також спiввiд-
ношення (2.4) i (3.25), маємо
(\mu (\tau ) - \mu (0))\Omega p\varphi (T
\psi
n , \tau , \mu , u)\scrS p =
u\int
0
\omega p\varphi (T
\psi
n , t)\scrS pd\mu
\biggl(
\tau t
u
\biggr)
=
=
u\int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq v\leq t
\sum
| k| \leq n
\varphi p(kv)| \widehat T\psi n (k)| pd\mu \biggl( \tau tu
\biggr)
=
u\int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq v\leq t
\sum
| k| \leq n
\varphi p(kv)
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat Tn(k)
\psi (k)
\bigm| \bigm| \bigm| pd\mu \biggl( \tau t
u
\biggr)
\leq
\leq 1
| \psi (n)| p
u\int
0
\sum
| k| \leq n
\varphi p\ast (nt)| \widehat Tn(k)| pd\mu \biggl( \tau tu
\biggr)
\leq
\| Tn\| p\scrS p
| \psi (n)| p
u\int
0
\varphi p\ast (nt)d\mu
\biggl(
\tau t
u
\biggr)
\leq
\leq
\| Tn\| p\scrS p
| \psi (n)| p
nu\int
0
\varphi p\ast (t)d\mu
\biggl(
\tau t
nu
\biggr)
.
Iз включення Tn \in B\ast
2n+1 i спiввiдношення (3.24) з \xi =
nu
\tau
випливає, що
\Omega \varphi (T
\psi
n , \tau , \mu , u)\scrS p \leq
\left(
\int nu
0
\varphi p\ast (t)d\mu
\Bigl( \tau t
nu
\Bigr)
\int \tau
0
\varphi p(t)d\mu (t)
\right)
1/p
\Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
\leq \Omega (u).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 735
Тому B\ast
2n+1 \subset L\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p i за означенням бернштейнiвського поперечника справджу-
ється спiввiдношення (3.30). Об’єднуючи спiввiдношення (3.22), (3.28) i (3.30) та враховуючи
монотонне незростання по N кожного з поперечникiв bN , dN , \lambda N i \pi N , отримуємо (3.26). За
умови (3.3) оцiнки зверху i знизу в (3.26) величин PN (L
\psi (\varphi , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) збiгаються i тому
виконуються нерiвностi (3.27).
Теорему 3.3 доведено.
У випадку \varphi (t) = \varphi \alpha (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha
2 справджується таке твердження.
Наслiдок 3.8. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , \tau \in (0, \pi ], \alpha > 0 i \mu \in M(\tau ). Нехай також при
всiх \xi > 0 i 0 < u \leq \pi функцiя \Omega задовольняє умову
\Omega
\biggl(
u
\xi
\biggr) \left( \xi \tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2
\ast d\mu
\biggl(
t
\xi
\biggr) \right) 1/p
\leq \Omega (u)
\left( \tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 d\mu (t)
\right) 1/p
, (3.24\prime )
де
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)\ast :=
\biggl\{
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, 0 \leq t \leq \pi ,
2, t \geq \pi .
(3.25\prime )
Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} справджуються нерiвностi\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
\leq PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) \leq
\leq
\biggl(
\mu (\tau ) - \mu (0)
In,\alpha ,p(\tau , \mu )
\biggr) 1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
,
де величина In,\alpha ,p(\tau , \mu ) означена рiвнiстю (3.2) з \varphi (t) = 2
\alpha
2 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh)
\alpha
2 i PN — будь-який iз
поперечникiв bN , dN , \lambda N чи \pi N .
Якщо при цьому виконується умова (3.3\prime ), то
PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu ,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \mu (\tau ) - \mu (0)
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
d\mu (t)
\right)
1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
.
Зазначимо, що для конкретних функцiй \mu \in M(\tau ) при певних обмеженнях на тi чи iншi
параметри задачi щодо iснування функцiй \Omega , якi задовольняють умови вигляду (3.24) i (3.24\prime ),
дослiджувались у багатьох роботах (див., наприклад, [3, 22, 23, 30]).
Для вагових функцiй \mu 1(t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t i \mu 2(t) = t з наслiдку 3.8 випливають такi твердження.
Наслiдок 3.9. Нехай 1 \leq p < \infty , \psi \in \Psi , \alpha > 0, \mu 1(t) = 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t i при всiх \xi > 0 i
0 < u \leq \pi функцiя \Omega задовольняє умову
\Omega
\biggl(
u
\xi
\biggr) \left( 1
\xi
\pi \xi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2
\ast \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
t
\xi
dt
\right) 1/p
\leq \Omega (u)
\left( \pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} tdt
\right) 1/p
, (3.31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
736 Ф. Г. АБДУЛЛАЄВ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
де функцiя (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)\ast задається спiввiдношенням (3.25\prime ).
Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\} \Bigl( \alpha p
2
+ 1
\Bigr) 1/p
2\alpha
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
\leq PN (L
\psi (\alpha , \pi , \mu 1,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) \leq 21/p| \psi (n)|
I
1/p
n,\alpha ,p(\pi , \mu 1)
\Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
,
де In,\alpha ,p(\pi , \mu 1) — величина вигляду (3.13) i PN -— будь-який iз поперечникiв bN , dN , \lambda N чи
\pi N .
Якщо при цьому
\alpha p
2
\in \BbbN , то
PN (L
\psi (\alpha , \pi , \mu 1,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) =
\Bigl( \alpha p
2
+ 1
\Bigr) 1/p
2\alpha
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
.
У випадку, коли p = 2, \psi (k) = (\mathrm{i}k) - r, r \in \BbbN , i \alpha = 1, наслiдок 3.9 отримано в [3], а також
доведено iснування функцiй \Omega , якi задовольняють (3.31) при наведених вище обмеженнях на
параметри p i \alpha .
Наслiдок 3.10. Нехай 1 \leq p <\infty , \psi \in \Psi , 0 < \tau \leq 3\pi
4
, \mu 2 = t i при всiх \xi > 0 i 0 < u \leq \pi
функцiя \Omega задовольняє умову
\Omega
\biggl(
u
\xi
\biggr) \left( 1
\xi
\xi \tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2
\ast dt
\right) 1/p
\leq \Omega (u)
\left( \tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
\alpha p
2 dt
\right) 1/p
. (3.32)
Тодi для довiльних n \in \BbbN i N \in \{ 2n - 1, 2n\}
PN (L
\psi (\alpha , \tau , \mu 2,\Omega )\scrS p ,\scrS
p) =
\left( \tau
2\alpha p
\int \tau
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha p
t
2
dt
\right)
1/p
| \psi (n)| \Omega
\Bigl( \tau
n
\Bigr)
,
де PN — будь-який iз поперечникiв bN , dN , \lambda N чи \pi N .
Зазначимо, що для \alpha \in \BbbN наслiдки 3.2 i 3.3 (при \psi \in \Psi ), а також 3.5, 3.8 i 3.9 встановив
ранiше А. С. Сердюк [16].
У випадку, коли p = 2, \psi (k) = (\mathrm{i}k) - r i r \geq 0, \alpha = 1 або r \geq 1/2, \alpha \in \BbbN , наслiдок
3.10 випливає з результатiв робiт [22, 23] (див. також [14], гл. 4), де також доведено iснування
функцiй \Omega , якi задовольняють нерiвнiсть (3.32) з вiдповiдними обмеженнями на параметри p,
\alpha i r.
Питання отримання нерiвностей типу Джексона у просторах \scrS p, а також знаходження
точних значень поперечникiв класiв, породжених обмеженнями на усередненi значення модулiв
гладкостi, аналогiчних до (2.3), розглядалися також у багатьох роботах (див., наприклад, [7,
8, 11]).
Лiтература
1. F. Abdullayev, S. Chaichenko, A. Shidlich, Direct and inverse approximation theorems of functions in the Musielak-
Orlicz type spaces, Math. Inequal. Appl., 24, № 2, 323 – 336 (2021).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПОПЕРЕЧНИКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ КЛАСIВ, ВИЗНАЧЕНИХ МАЖОРАНТАМИ . . . 737
2. F. G. Abdullayev, P. Özkartepe, V. V. Savchuk, A. L. Shidlich, Exact constants in direct and inverse approximation
theorems for functions of several variables in the spaces \scrS p , Filomat, 33, № 5, 1471 – 1484 (2019).
3. Н. Айнуллоев, Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в L2 , Докл. АН
ТаджССР, 29, № 8, 415 – 418 (1984).
4. В. Ф. Бабенко, С. В. Конарева, Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации элементов гиль-
бертова пространства, Укр. мат. журн., 70, № 9, 1155 – 1165 (2018).
5. J. Boman, H. S. Shapiro, Comparison theorems for a generalized modulus of continuity, Ark. Mat., 9, 91 – 116 (1971).
6. J. Boman, Equivalence of generalized moduli of continuity, Ark. Mat., 18, 73 – 100 (1980).
7. С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона и точные значения поперечников классов функций в пространст-
вах Sp, 1 \leq p <\infty , Укр. мат. журн., 56, № 5. 595 – 605 (2004).
8. С. Б. Вакарчук, А. Н. Щитов, О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций в про-
странствах Sp, 1 \leq p <\infty , Укр. мат. журн., 57, № 11, 1458 – 1466 (2005).
9. С. Б. Вакарчук, Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения
n-поперечников классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций в L2. I , Укр. мат. журн., 68, № 6, 723 – 745 (2016).
10. С. Н. Васильев, Неравенство Джексона – Стечкина в L2[ - \pi , \pi ], Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН,
7, № 1, 75 – 84 (2001).
11. В. Р. Войцехiвський, Нерiвностi типу Джексона при наближеннi функцiй з простору Sp сумами Зигмунда,
Працi Iн-ту математики НАН України, 35, 33 – 46 (2002).
12. М. Г. Есмаганбетов, Поперечники классов из L2[0, 2\pi ] и минимизация точных констант в неравенствах типа
Джексона, Мат. заметки, 66, № 6, 816 – 820 (1999).
13. А. И. Козко, А. В. Рождественский, О неравенстве Джексона в L2 с обобщенным модулем непрерывности,
Мат. сб., 195, № 8, 3 – 46 (2004).
14. A. Pinkus, n-Widths in approximation theory, Springer-Verlag (1985).
15. V. V. Savchuk, A. L. Shidlich, Approximation of functions of several variables by linear methods in the space Sp ,
Acta Sci. Math. (Szeged), 80, № 3-4, 477 – 489 (2014).
16. А. С. Сердюк, Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються модулями неперервностi їх \psi -
похiдних, Працi Iн-ту математики НАН України, 46, 229 – 248 (2003).
17. А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Sp\varphi , Укр. мат. журн., 53, № 3, 392 – 416
(2001).
18. A. I. Stepanets, Methods of approximation theory, VSP, Leiden, Boston (2005).
19. А. И. Степанец, Задачи теории приближений в линейных пространствах, Укр. мат. журн, 58, № 1, 47 – 92
(2006).
20. А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Прямые и обратные теоремы приближения функций в пространстве Sp , Укр.
мат. журн., 54, №1, 106 – 124 (2002).
21. М. Д. Стерлин, Точные постоянные в обратных теоремах теории приближений, Докл. АН СССР, 202, № 3,
545 – 547 (1972).
22. Л. В. Тайков, Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 ,
Мат. заметки, 20, № 3, 433 – 438 (1976).
23. Л. В. Тайков, Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 , Мат. заметки, 25, № 2, 217 – 223
(1979).
24. В. М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений, Изд-во Моск. гос. ун-та, Москва (1976).
25. М. Ф. Тиман, Аппроксимация и свойства периодических функций, Наук. думка, Киев (2009).
26. Н. И. Черных, О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 ,
Мат. заметки, 2, № 2, 513 – 522 (1967).
27. В. В. Шалаев, О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерыв-
ности высших порядков, Укр. мат. журн., 43, № 1, 125 – 129 (1991).
28. H. S. Shapiro, A Tauberian theorem related to approximation theory, Acta Math., 120, 279 – 292 (1968).
29. Х. Юссеф, О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2 , Применение
функционального анализа в теории приближений: Сб. науч.тр. Твер. гос. ун-та, 100 – 114 (1988).
30. Х. Юссеф, Поперечники классов функций в пространстве L2(0, 2\pi ), Применение функционального анализа в
теории приближений: Сб. науч. тр. Калинин. гос. ун-та, 167 – 175 (1990).
Одержано 11.12.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6432 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:27:38Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/ef550090753b32775cd7299d66864a46.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-64322022-03-26T11:03:05Z Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ Поперечники функциональных классов, определенных мажорантами обобщенных модулей гладкости в пространствах ${\mathcal S}^p$ Поперечники функціональних класів, визначених мажорантами узагальнених модулів гладкості в просторах ${\mathcal S}^{p}$ Abdullayev, F. Serdyuk, Anatolii Shidlich, A. Абдуллаев, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. Абдуллаєв, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. колмогоровський поперечник бернштейнівський поперечник найкраще наближення узагальнений модуль гладкості нерівність типу Джексона Kolmogorov width Bernstein width best approximation generelized module of smoothness Jackson-type inequality UDC 517.5 We obtain exact Jackson-type inequalities in terms of best approximations and averaged values of generalized moduli of smoothness in spaces ${\mathcal S}^p$. For classes of periodic functions defined by certain conditions on the averaged values of the generalized moduli of smoothness, the Kolmogorov, Bernstein, linear, and projective widths in the spaces ${\mathcal S}^p$ are found. Получены точные неравенства типа Джексона в терминах наилучших приближений функций и усредненных значений их обобщенных модулей гладкости в пространствах ${\mathcal S}^p$. Найдено точные значения колмогоровских, бернштейновских, линейных и проективних поперечников в пространствах ${\mathcal S}^p$ классов периодических функций, определенных некоторыми условиями на усредненные значения их обобщенных модулей гладкости. УДК 517.5 Отримано точні нерівності типу Джексона в термінах найкращих наближень функцій та усереднених значень їх узагальнених модулів гладкості в просторах ${\mathcal S}^p$. Знайдено точні значення колмогоровських, бернштейнівських, лінійних та проєктивних поперечників в просторах ${\mathcal S}^p$ класів періодичних функцій, визначених деякими умовами на усереднені значення їх узагальнених модулів гладкості. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6432 10.37863/umzh.v73i6.6432 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 723 - 737 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 723 - 737 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6432/9022 Copyright (c) 2021 Ф. Г. Абдуллаєв, А. С. Сердюк, А. Л. Шидліч |
| spellingShingle | Abdullayev, F. Serdyuk, Anatolii Shidlich, A. Абдуллаев, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. Абдуллаєв, Ф. Г. Сердюк, А. С. Шидліч, А. Л. Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title | Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_alt | Поперечники функциональных классов, определенных мажорантами обобщенных модулей гладкости в пространствах ${\mathcal S}^p$ Поперечники функціональних класів, визначених мажорантами узагальнених модулів гладкості в просторах ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_full | Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_fullStr | Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_full_unstemmed | Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_short | Widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal S}^{p}$ |
| title_sort | widths of functional classes defined by majorants of generalized moduli of smoothness in the spaces ${\mathcal s}^{p}$ |
| topic_facet | колмогоровський поперечник бернштейнівський поперечник найкраще наближення узагальнений модуль гладкості нерівність типу Джексона Kolmogorov width Bernstein width best approximation generelized module of smoothness Jackson-type inequality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6432 |
| work_keys_str_mv | AT abdullayevf widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT serdyukanatolii widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT shidlicha widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT abdullaevfg widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT serdûkas widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT šidlíčal widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT abdullaêvfg widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT serdûkas widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT šidlíčal widthsoffunctionalclassesdefinedbymajorantsofgeneralizedmoduliofsmoothnessinthespacesmathcalsp AT abdullayevf poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT serdyukanatolii poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT shidlicha poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT abdullaevfg poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT serdûkas poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT šidlíčal poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT abdullaêvfg poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT serdûkas poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT šidlíčal poperečnikifunkcionalʹnyhklassovopredelennyhmažorantamiobobŝennyhmodulejgladkostivprostranstvahmathcalsp AT abdullayevf poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT serdyukanatolii poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT shidlicha poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT abdullaevfg poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT serdûkas poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT šidlíčal poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT abdullaêvfg poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT serdûkas poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp AT šidlíčal poperečnikifunkcíonalʹnihklasívviznačenihmažorantamiuzagalʹnenihmodulívgladkostívprostorahmathcalsp |