Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations
UDC 517.925.53 For systems of non-Lipschitz differential equations, we establish conditions for the existence of invariant sets. To obtain this result, we use the Green – Samoilenko function and the corresponding operator.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6482 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512401191862272 |
|---|---|
| author | Perestyuk , M. O. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк , М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. |
| author_facet | Perestyuk , M. O. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк , М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. |
| author_sort | Perestyuk , M. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 517.925.53
For systems of non-Lipschitz differential equations, we establish conditions for the existence of invariant sets. To obtain this result, we use the Green – Samoilenko function and the corresponding operator. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.6482 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.6482
УДК 517.925.53
М. О. Перестюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА
ДО ДОСЛIДЖЕННЯ НЕЛIПШИЦЕВИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
For systems of non-Lipschitz differential equations, we establish conditions for the existence of invariant sets. To obtain
this result, we use the Green – Samoilenko function and the corresponding operator.
Для систем нелiпшицевих диференцiальних рiвнянь встановлено умови iснування iнварiантних множин. При до-
слiдженнi цих систем використано функцiю та оператор Грiна – Самойленка.
1. Вступ. Однiєю з основних проблем теорiї нелiнiйних коливань є проблема iнварiантних
множин динамiчних систем. Цю проблему детально вивчено в [1] у випадку систем звичай-
них диференцiальних рiвнянь, нелiнiйнi частини яких задовольняють умови гладкостi. Методи
вивчення iнварiантних множин, побудованi в [1], не застосовнi до нелiпшицевих диференцiаль-
них рiвнянь. Для вирiшення цiєї проблеми в загальному випадку автори статтi запропонували
метод, що базується на функцiональному аналiзi з використанням функцiї й оператора Грiна –
Самойленка та c-неперервних операторiв.
2. Основний об’єкт дослiджень. Нехай \BbbR — множина всiх дiйсних чисел, \Phi i X — скiн-
ченновимiрнi банаховi простори з нормами \| \cdot \| \Phi i \| \cdot \| X вiдповiдно i L(X,X) — банахова
алгебра всiх лiнiйних неперервних операторiв A : X \rightarrow X з нормою
\| A\| L(X,X) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| X=1
\| Ax\| X .
Розглянемо нелiнiйну систему диференцiальних рiвнянь
d\varphi
dt
= a(\varphi ) + b(\varphi , x),
dx
dt
= P (\varphi )x+ F (\varphi , x), t \in \BbbR ,
(1)
де a : \Phi \rightarrow \Phi , b : \Phi \times X \rightarrow \Phi , P : \Phi \rightarrow L(X,X) i F : \Phi \times X \rightarrow X — неперервнi вiдображення.
Множина \scrM \subset \Phi \times X називається iнварiантною множиною системи рiвнянь (1), якщо для
кожної точки (\varphi 0, x0) \in \scrM для розв’язку
\varphi = \varphi (t, \varphi 0, x0), x = x(t, \varphi 0, x0)
цiєї системи, що задовольняє умови
\varphi (0, \varphi 0, x0) = \varphi 0, x(0, \varphi 0, x0) = x0,
виконується спiввiдношення
\{ (\varphi (t, \varphi 0, x0), x(t, \varphi 0, x0)) \in \Phi \times X : t \in \BbbR \} \subset \scrM .
c\bigcirc М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12 1673
1674 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Метою цiєї роботи є з’ясування умов iснування в системi (1) iнварiантної множини \scrM , для
якої
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| X : (\varphi , x) \in \scrM \} < +\infty .
Це спiввiдношення означає, що проєкцiя множини \scrM на \{ 0\} \times X паралельно \Phi \times \{ 0\} [2] є
обмеженою (\{ 0\} \times X i \Phi \times \{ 0\} — пiдпростори простору \Phi \times X ). Множини, що задовольняють
таку умову, називатимемо X -обмеженими.
При з’ясуваннi умов iснування в системi (1) X -обмеженої iнварiантної множини \scrM крiм
неперервностi вiдображень a, b,P i F ми вимагатимемо, щоб виконувалися додатковi умови.
Нехай Y i Z — довiльнi банаховi простори, BY [0, \rho ] — замкнена куля радiуса \rho з центром
у точцi O у просторi Y, тобто множина \{ y \in Y : \| y\| Y \leq \rho \} , i C0(Y, Z) — банаховий простiр
неперервних i обмежених на Y функцiй u = u(y) зi значеннями в Z з нормою
\| u\| C0(Y,Z) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in Y
\| u(y)\| Z .
Зафiксуємо довiльне число
r > 0.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
d\varphi
dt
= a(\varphi ) + b(\varphi , z),
dx
dt
= P (\varphi )x+ F (\varphi , x), t \in \BbbR ,
(2)
де z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r].
Будемо вважати, що ця система для кожної точки (\varphi 0, x0) \in \Phi \times BX [0, r] має єдиний
розв’язок
\varphi = \varphi t(\varphi 0, z), x = xt(\varphi 0, x0),
що задовольняє умови
\varphi 0(\varphi 0, z) = \varphi 0, x0(\varphi 0, x0) = x0.
Зауважимо, що функцiя \varphi = \varphi t(\varphi 0, z), як розв’язок першого рiвняння системи (2), залежить
вiд \varphi 0 \in \Phi та функцiї z i не залежить вiд x.
У подальшому будемо вважати, що виконуються такi умови.
Умова А. Для кожних \varphi 0 \in \Phi i z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] розв’язок \varphi = \varphi t(\varphi 0, z) диференцiального
рiвняння
d\varphi
dt
= a(\varphi ) + b(\varphi , z), t \in \BbbR ,
як функцiя змiнних \varphi 0 i z, є неперервним на \Phi \times BC0(\BbbR ,X)[0, r] i для довiльних b > 0, T > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi 0\| \Phi \leq b, | t| \leq T
\| \varphi t(\varphi 0, zn) - \varphi t(\varphi 0, z)\| \Phi = 0,
якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq a
\| zn(t) - z(t)\| X = 0 (3)
для всiх a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1675
Умова Б. \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\varphi \in \Phi \| P (\varphi )\| L(X,X) < +\infty .
Умова В. Для кожної обмеженої множини G \subset X
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\varphi ,x)\in \Phi \times G
\| F (\varphi , x)\| X < +\infty .
Зазначимо, що задачу про iнварiантнi множини системи рiвнянь (1) у випадку \Phi = \BbbR m,
X = \BbbR n, b(\varphi , x) \equiv 0 i 2\pi -перiодичних за змiнними \varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi m та диференцiйовних a(\varphi ),
P (\varphi ) i F (\varphi , x) (тут \varphi = (\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi m)) детально дослiдив А. М. Самойленко [1].
3. Функцiя i оператор Грiна – Самойленка. Нехай \frakM (Y, Z) — банаховий простiр обме-
жених на Y функцiй z = z(y) зi значеннями в Z i нормою
\| z\| \frakM (Y,Z) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in Y
\| z(y)\| Z ,
де Y i Z — банаховi простори, що використовувалися в п. 2, i \varphi t(\varphi , z) — розв’язок першого
рiвняння системи (2), для якого
\varphi 0(\varphi , z) = \varphi .
Позначимо через \Omega t
\tau (\varphi , z) операторний розв’язок задачi
dX(t)
dt
= P (\varphi t(\varphi , z))X(t), t \in \BbbR ,
X(\tau ) = I,
(4)
де I — одиничний елемент алгебри L(X,X). Завдяки неперервностi вiдображення P : \Phi \rightarrow
\rightarrow L(X,X) та умовам А i Б операторна функцiя P (\varphi t(\varphi , z)) неперервна за змiнною t на \BbbR i
обмежена на \BbbR . Тому задача (4) для кожних \varphi \in \Phi i z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] має єдиний розв’язок
(див., наприклад, [3]), визначений на \BbbR .
Розглянемо операторну функцiю
G0(\tau , \varphi , z) =
\left\{ \Omega 0
\tau (\varphi , z)C(\varphi \tau (\varphi , z)), якщо \tau \leq 0,
- \Omega 0
\tau (\varphi , z)(I - C(\varphi \tau (\varphi , z))), якщо \tau > 0,
де C \in C0(\Phi , L(X,X)).
Будемо вважати, що iнтеграл
+\infty \int
- \infty
\| G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X)d\tau
збiгається для кожних (\varphi , z) \in \Phi \times BC0(\BbbR ,X)[0, r] i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in \Phi , z\in BC0(\BbbR ,X)[0,r]
+\infty \int
- \infty
\| G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X)d\tau < +\infty . (5)
Ця функцiя називається функцiєю Грiна – Самойленка системи рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1676 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
d\varphi
dt
= a(\varphi ) + b(\varphi , z),
dx
dt
= P (\varphi )x, t \in \BbbR ,
(6)
у випадку b(\varphi , z) \equiv 0 [4]. Збережемо цю назву для G0(\tau , \varphi , z) i у випадку b(\varphi , z) \not \equiv 0.
Виконання спiввiдношення (5) означає, що згiдно з [1] функцiя Грiна – Самойленка є грубою.
Зауважимо, що система рiвнянь (6) має функцiю Грiна – Самойленка, якщо iнварiантна
множина
\scrK = \{ (\varphi , 0) \in \Phi \times X : \varphi \in \Phi \}
цiєї системи експоненцiально дихотомiчна, тобто виконується така умова.
Умова Г. Iснують пiдпростори X+(\tau , \varphi , z), X+(\tau , \varphi , z) \subset X, де (\tau , \varphi , z) \in \BbbR \times \Phi \times
\times BC0(\BbbR ,X)[0, r], i додатнi сталi K, N i \nu , для яких:
1) для кожних (\tau , \varphi , z) \in \BbbR \times \Phi \times BC0(\BbbR ,X)[0, r] простiр X є прямою сумою пiдпросторiв
X+(\tau , \varphi , z) i X - (\tau , \varphi , z):
X = X+(\tau , \varphi , z)\oplus X - (\tau , \varphi , z),
причому проєктори P+(\tau , \varphi , z) i P - (\tau , \varphi , z), породженi цiєю сумою, рiвномiрно обмеженi,
тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(\tau ,\varphi ,z)\in \BbbR \times \Phi \times BC0(\BbbR ,X)[0,r]
\bigl\{
\| P+(\tau , \varphi , z)\| L(X,X), \| P - (\tau , \varphi , z)\| L(X,X)
\bigr\}
\leq K;
2) для всiх t, \tau \in \BbbR , t \geq \tau , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] i x0 \in X - (\tau , \varphi , z) виконується
нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| \Omega t
\tau (\varphi , z)x0
\bigm\| \bigm\|
X
\leq Ne - \nu (t - \tau )\| x0\| X ;
3) для всiх t, \tau \in \BbbR , t \leq \tau , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] i x0 \in X+(\tau , \varphi , z) виконується
нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| \Omega t
\tau (\varphi , z)x0
\bigm\| \bigm\|
X
\leq Ne - \nu (\tau - t)\| x0\| X .
У випадку виконання умови Г функцiя Грiна – Самойленка системи рiвнянь (6) має вигляд
G0(\tau , \varphi , z) =
\left\{ \Omega 0
\tau (\varphi , z)P - (\tau , \varphi , z), якщо \tau \leq 0,
- \Omega 0
\tau (\varphi , z)P+(\tau , \varphi , z), якщо \tau > 0,
(7)
i для неї
\| G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X) \leq Ne - \nu | \tau | (8)
для всiх \tau \in \BbbR , \varphi \in \Phi i z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r].
Згiдно з [4] оператором Грiна – Самойленка назвемо оператор \scrG z, що дiє з простору
C0(\Phi , X) у простiр \frakM (\Phi , X) i визначається рiвнiстю
(\scrG zu)(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)u(\varphi \tau (\varphi , z))d\tau .
У подальшому покажемо, що для кожного z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1677
\scrG zC
0(\Phi , X) \subset C0(\Phi , X),
тобто оператор \scrG z дiє в просторi C0(\Phi , X).
Зазначимо, що оператор Грiна – Самойленка розглядався в [4] у випадку b(\varphi , x) \equiv 0.
У подальшому крiм умови Г будемо використовувати таку умову.
Умова Ґ. Для довiльних z, zn \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], n \in \BbbN , \theta > 0 i T > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| \Phi \leq \theta , | \tau | \leq T
\| G0(\tau , \varphi , zn) - G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X) = 0,
якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq a
\| zn(t) - z(t)\| X = 0 (9)
для всiх a > 0.
Зазначимо, що оператор \scrG z вiдiграватиме важливу роль у з’ясуваннi iснування X -обмежених
iнварiантних множин у системi диференцiальних рiвнянь (1). Наведемо одну властивiсть цього
оператора.
4. \bfitc -Неперервнiсть оператора \bfscrG \bfitz . Будемо говорити, що послiдовнiсть (zn)n\geq 1 елементiв
простору C0(Y,Z) локально збiгається до z \in C0(Y,Z), i позначатимемо
zn
loc., C0(Y,Z) - - - - - - - - \rightarrow z при n \rightarrow \infty , (10)
якщо ця послiдовнiсть обмежена i для кожного числа p > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow +\infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| y\| Y \leq p
\| zn(y) - z(y)\| Z = 0.
Аналогiчно визначаються локально збiжнi послiдовностi елементiв простору \frakM (Y, Z).
Оператор B : E1 \rightarrow E2 (E1 i E2 — банаховi простори, кожен з яких збiгається з одним iз
просторiв C0(Y1, Z1), C
0(Y2, Z2), \frakM (Y1, Z1) i \frakM (Y2, Z2), де Y1, Y2, Z1 i Z2 — також банаховi
простори) називається c-неперервним, якщо для довiльних x \in E1 i xn \in E1, n \geq 1, для яких
xn
loc., E1 - - - - - \rightarrow x при n \rightarrow \infty ,
виконується спiввiдношення
Bxn
loc., E2 - - - - - \rightarrow Bx при n \rightarrow \infty .
Якщо для c-неперервного оператора B : C0(Y1, Z1) \rightarrow C0(Y2, Z2) у випадку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Z2 < \infty
для кожної обмеженої множини M \subset C0(Y1, Z1) функцiї з множини BM є рiвностепене-
во неперервними на кожному вiдрiзку [ - \gamma , \gamma ], \gamma > 0, то цей оператор називається c-цiлком
неперервним.
Поняття c-неперервного i c-цiлком неперервного оператора увiв до розгляду (на мовi „\varepsilon , \delta ")
Е. Мухамадiєв [5, 6]; його вивчення було продовжено в багатьох працях (див., наприклад, [7 –
12]). Означення c-неперервного оператора, в якому використано локально збiжнi послiдовностi,
запропонував один iз авторiв статтi (див., наприклад, [13 – 15]).
Зазначимо, що c-неперервний оператор може не бути неперервним i в умовах А i Ґ спiввiд-
ношення (3) i (9) за допомогою (10) можна записати у виглядi
zn
loc., C0(\BbbR ,X) - - - - - - - - \rightarrow z при n \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1678 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 1. Нехай a : \Phi \rightarrow \Phi , b : \Phi \times X \rightarrow \Phi i P : \Phi \rightarrow L(X,X) — неперервнi вiдображен-
ня i виконуються умови А, Б i Г.
Тодi множина значень R(\scrG z) оператора \scrG z для кожного z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] є пiдмножиною
простору C0(\Phi , X) i цей оператор є лiнiйним, обмеженим та c-неперервним.
Доведення. Зафiксуємо довiльну функцiю z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r]. Розглянемо довiльнi функцiї
un \in C0(\Phi , X), n \geq 0, для яких
un
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow u0 при n \rightarrow \infty . (11)
Покажемо, що
\scrG zun
loc., \frakM (\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow \scrG zu0 при n \rightarrow \infty . (12)
Зафiксуємо довiльнi числа R > 0 i \varepsilon > 0. Завдяки (11) iснує таке число c > 0, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 0
\| un\| C0(\Phi ,X) \leq c. (13)
Виберемо таке додатне число a, щоб
4Nc
\nu
e - \nu a <
\varepsilon
2
. (14)
Запишемо (\scrG zun)(\varphi ) - (\scrG zu0)(\varphi ) у виглядi
(\scrG zun)(\varphi ) - (\scrG zu0)(\varphi ) = I1(n, \varphi ) + I2(n, \varphi ),
де
I1(n, \varphi ) =
a\int
- a
G0(\tau , \varphi , z)(un(\varphi \tau (\varphi , z)) - u0(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau
i
I2(n, \varphi ) =
\int
| \tau | \geq a
G0(\tau , \varphi , z)(un(\varphi \tau (\varphi , z)) - u0(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau .
На пiдставi (13), (14) i оцiнки (8) норми функцiї Грiна – Самойленка (тут використано умову Г)
отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1, \varphi \in \Phi
\| I1(n, \varphi )\| X <
\varepsilon
2
. (15)
Покажемо, що при досить великих n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| \Phi \leq R
\| I2(n, \varphi )\| X <
\varepsilon
2
. (16)
Використаємо умову А. Завдяки неперервностi \varphi t(\varphi , z) по (t, \varphi ) на множинi K = [ - a, a]\times
\times B\Phi [0, R] (ця множина компактна, оскiльки простiр \Phi скiнченновимiрний) функцiя \| \varphi t(\varphi , z)\| \Phi
обмежена на K деяким числом \gamma . Виберемо такий номер n0, щоб
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1679
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq n0, \| \varphi \| \Phi \leq \gamma
\| un(\varphi ) - u0(\varphi )\| \Phi <
\nu \varepsilon
2N
. (17)
Такий номер iснує на пiдставi (11). Тодi завдяки (17)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq n0, | \tau | \leq a, \| \varphi \| \Phi \leq R
\| un(\varphi \tau (\varphi , z)) - u0(\varphi \tau (\varphi , z))\| X <
\nu \varepsilon
2N
.
Звiдси та з (8) випливає (16).
Iз (15) i (16) отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq n0, \| \varphi \| \Phi \leq R
\| (\scrG zun)(\varphi ) - (\scrG zu0)(\varphi )\| X < \varepsilon .
Отже, на пiдставi довiльностi числа \varepsilon виконується спiввiдношення (12), що означає c-
неперервнiсть оператора \scrG z.
Тепер покажемо, що
R(\scrG z) \subset C0(\Phi , X). (18)
Зафiксуємо довiльну функцiю v \in C0(\Phi , X). Покажемо, що \scrG zv \in C0(\Phi , X).
Розглянемо вектори \varphi n \in \Phi , n \geq 1, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| \varphi n\| \Phi = 0, (19)
i послiдовнiсть vn = v(\varphi +\varphi n), n \geq 1, елементiв простору C0(\Phi , X). Завдяки (19) i скiнченнiй
розмiрностi простору \Phi
vn
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow v при n \rightarrow \infty . (20)
Покажемо, що
\scrG zvn
loc., \frakM (\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow \scrG zv при n \rightarrow \infty ,
тобто для кожного числа r > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| \Phi \leq r
\| (\scrG zv)(\varphi + \varphi n) - (\scrG zv)(\varphi )\| X = 0. (21)
Звiдси випливатиме неперервнiсть (\scrG zv)(\varphi ) в кожнiй точцi \varphi \in \Phi , тобто включення (18).
Запишемо (\scrG v)(\varphi + \varphi n) - (\scrG zv)(\varphi ) у виглядi
(\scrG zv)(\varphi + \varphi n) - (\scrG zv)(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi + \varphi n, z)v(\varphi \tau (\varphi + \varphi n, z))d\tau -
-
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)v(\varphi \tau (\varphi , z))d\tau = An(\varphi ) +Bn(\varphi ),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1680 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
An(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)(v(\varphi \tau (\varphi + \varphi n, z)) - v(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau
i
Bn(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
(G0(\tau , \varphi + \varphi n, z) - G0(\tau , \varphi , z))v(\varphi \tau (\varphi + \varphi n, z))d\tau .
На пiдставi (8) i (20)
An
loc., \frakM (\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . (22)
Покажемо, що також
Bn
loc., \frakM (\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . (23)
Використаємо умови А i Б. Завдяки цим умовам та неперервностi вiдображення P : \Phi \rightarrow
\rightarrow L(X,X) для кожного числа r > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq r, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| P (\varphi t(\varphi + \varphi n, z)) - P (\varphi t(\varphi , z))\| L(X,X) = 0.
Тому внаслiдок неперервної залежностi розв’язкiв лiнiйного рiвняння
dX(t)
dt
= P (\varphi t(\varphi , z))X(t), t \in \BbbR ,
вiд початкових умов [16, 17] для кожного числа r > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \tau | \leq r, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| \Omega 0
\tau (\varphi + \varphi n, z) - \Omega 0
\tau (\varphi , z)\| L(X,X) = 0
i, отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \tau | \leq r, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| G0(\tau , \varphi + \varphi n, z) - G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X) = 0 (24)
для всiх r > 0. Оскiльки
\| Bn(\varphi )\| X =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \int
- \infty
(G0(\tau , \varphi + \varphi n, z) - G0(\tau , \varphi , z))v(\varphi \tau (\varphi + \varphi n, z))d\tau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L(X,X)
\leq
\leq
+\infty \int
- \infty
\| G0(\tau , \varphi + \varphi n, z) - G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X)d\tau \| v\| C0(\Phi ,X),
то на пiдставi (8) i (24)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| \varphi \| \Phi \leq r
\| Bn(\varphi )\| X = 0.
Отже, спiввiдношення (23) виконується. Iз (22) i (23) випливає (21).
Лiнiйнiсть i обмеженiсть оператора \scrG z випливають з означення цього оператора.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1681
5. Оператор \bfscrG \bfitz \circ \bfscrF . Розглянемо оператор \scrF : C0(\Phi , X) \rightarrow C0(\Phi , X), що визначається
рiвнiстю
(\scrF v)(\varphi ) = F (\varphi , v(\varphi )),
де F : \Phi \times X \rightarrow X — те саме вiдображення, що й у системах рiвнянь (1), (2). Внаслiдок
неперервностi F та виконання умови В оператор \scrF є c-неперервним. Однак цей оператор може
не бути неперервним, якщо для деякого додатного числа \rho для функцiї F (\varphi , x) не виконується
умова рiвномiрної неперервностi на множинi \Phi \times BX [0, \rho ]. Прикладом такого оператора є
оператор \scrF 1 : C0(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ), що визначається рiвнiстю
(\scrF 1v)(\varphi ) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\varphi 3v(\varphi )
\bigr)
.
При з’ясуваннi умов iснування X -обмежених iнварiантних множин систем рiвнянь (1), (2)
важливою для подальшого є композицiя \scrG z \circ \scrF операторiв \scrF i Грiна – Самойленка \scrG z, що
завдяки включенню R(\scrF ) \subset C0(\Phi , X) та теоремi 1 дiє в просторi C0(\Phi , X) i є c-неперервною.
Композицiю \scrG z \circ \scrF можна записати у виглядi
((\scrG z \circ \scrF )v)(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau . (25)
Зауважимо, що завдяки умовi В оператор \scrF є обмеженим, тобто для кожного числа \rho > 0
множина \scrF BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] є обмеженою пiдмножиною простору C0(\Phi , X). Тому обмеженим є
й оператор \scrG z \circ \scrF .
Будемо вважати, що виконується така умова.
Умова Д. Справджується спiввiдношення
2N\omega
\nu
\leq r, (26)
де N i \nu — сталi, що використовуються в умовi Г, i
\omega = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
v\in BC0(\Phi ,X)[0,r]
\| \scrF v\| C0(\Phi ,X).
Позначимо через \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x} (\scrG z \circ \scrF ) множину всiх нерухомих точок оператора \scrG z \circ \scrF .
На пiдставi (25), (26) та умови Г замкнена куля BC0(\Phi ,X)[0, r] є iнварiантною щодо оператора
\scrG z \circ \scrF . Тому при виконаннi певних умов (див. п. 7)
\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x} (\scrG z \circ \scrF ) \not = \varnothing . (27)
У подальшому з використанням умови Г ми покажемо iснування X -обмежених iнварiант-
них множин системи рiвнянь (1).
6. Зв’язок мiж точками множини \bfF \bfi \bfx (\bfscrG \bfitz \circ \bfscrF ) i \bfitX -обмеженими iнварiантними мно-
жинами системи рiвнянь (2). Правильним є таке твердження.
Теорема 2. Нехай a : \Phi \rightarrow \Phi , b : \Phi \times X \rightarrow \Phi , P : \Phi \rightarrow L(X,X) i F : \Phi \times X \rightarrow X —
неперервнi вiдображення i виконуються умови А, Б, В i Г.
Тодi кожною точкою uz \in \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x} (\scrG z \circ \scrF ), де z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], визначається X -обмежена
iнварiантна множина
\scrM uz = \{ (\varphi , x) \in \Phi \times X : x = uz(\varphi ), \varphi \in \Phi \}
системи рiвнянь (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1682 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Нехай неперервна функцiя uz(\varphi ) є нерухомою точкою оператора \scrG z \circ \scrF , тобто
uz(\varphi ) =
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau (28)
для всiх \varphi \in \Phi . Завдяки умовам В i Г ця функцiя є елементом простору C0(\Phi , X).
Покажемо, що функцiя uz(\varphi t(\varphi , z)) є розв’язком диференцiального рiвняння
dx(t)
dt
= P (\varphi t(\varphi , z))x(t) + F (\varphi t(\varphi , z), x(t)), t \in \BbbR . (29)
Використаємо функцiю Грiна – Самойленка G0(\tau , \varphi , z) (див. (7)), функцiю
Gt(\tau , \varphi , z) =
\left\{ \Omega t
\tau (\varphi , z)P - (\tau , \varphi , z), якщо \tau \leq t,
- \Omega t
\tau (\varphi , z)P+(\tau , \varphi , z), якщо \tau > t,
(30)
для якої на пiдставi умови Г
\| Gt(\tau , \varphi , z)\| L(X,X) \leq Ne - \nu | t - \tau | , \tau , t \in \BbbR , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], (31)
а також допомiжнi спiввiдношення
\varphi \tau (\varphi t(\varphi , z), z) = \varphi \tau +t(\varphi , z), \tau , t \in \BbbR , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], (32)
G0(\tau , \varphi t(\varphi , z), z) = Gt(\tau + t, \varphi , z), \tau , t \in \BbbR , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], (33)
Gt(t - 0, \varphi , z) - Gt(t+ 0, \varphi , z) = I, t \in \BbbR , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r], (34)
i
dGt(\tau , \varphi , z)
dt
= P (\varphi t(\varphi , z))Gt(\tau , \varphi , z), t, \tau \in \BbbR , t \not = \tau , \varphi \in \Phi , z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r]. (35)
Цi спiввiдношення випливають iз властивостей розв’язкiв диференцiальних рiвнянь (див. [16])
та означення функцiї Gt(\tau , \varphi , z).
Завдяки спiввiдношенням (28), (32) i (33)
uz(\varphi t(\varphi , z)) \equiv
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi t(\varphi , z), z)F (\varphi \tau (\varphi t(\varphi , z), z), uz(\varphi \tau (\varphi t(\varphi , z))))d\tau \equiv
\equiv
+\infty \int
- \infty
Gt(\tau + t, \varphi , z)F (\varphi \tau +t(\varphi , z), uz(\varphi \tau +t(\varphi , z)))d\tau \equiv
\equiv
+\infty \int
- \infty
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau .
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1683
uz(\varphi t(\varphi , z)) \equiv
t\int
- \infty
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau +
+
+\infty \int
t
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau . (36)
Диференцiюючи обидвi частини цiєї тотожностi по t i враховуючи спiввiдношення (34), (35),
отримуємо
duz(\varphi t(\varphi , z))
dt
\equiv Gt(t - 0, \varphi , z)F (\varphi t(\varphi , z), uz(\varphi t(\varphi , z)))+
+P (\varphi t(\varphi , z))
t\int
- \infty
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau -
- Gt(t+ 0, \varphi , z)F (\varphi t(\varphi , z), uz(\varphi t(\varphi , z)))+
+P (\varphi t(\varphi , z))
+\infty \int
t
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), uz(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau \equiv
\equiv P (\varphi t(\varphi , z))uz(\varphi t(\varphi , z)) + F (\varphi t(\varphi , z), u(\varphi t(\varphi , z))).
Операцiю диференцiювання можна застосовувати до правої частини тотожностi (36) на пiдставi
(31), (35), умов А, Б i неперервностi вiдображення P : \Phi \rightarrow L(X,X).
Отже, функцiя x = uz(\varphi t(\varphi , z)) є розв’язком диференцiального рiвняння (29).
Далi виберемо довiльну точку (\varphi 0, x0) \in \scrM uz . З означення множини \scrM uz випливає, що
x0 = uz(\varphi 0). Тодi \varphi = \varphi t(\varphi 0, z), x = uz(\varphi t(\varphi 0, z)) — розв’язок системи (2), для якого \varphi (0) =
= \varphi 0, x(0) = x0 i (\varphi t(\varphi 0, z), uz(\varphi t(\varphi 0, z))) \in \scrM uz для всiх t \in \BbbR .
Звiдси з урахуванням включення uz \in C0(\Phi , X) випливає, що \scrM uz — X -обмежена iнва-
рiантна множина системи диференцiальних рiвнянь (2).
Теорему 2 доведено.
7. Умови виконання спiввiдношення (27). Спочатку наведемо твердження про нерухомi
точки c-цiлком неперервних операторiв.
Оператор \scrA : C0(\Phi , X) \rightarrow C0(\Phi , X) називається c-цiлком неперервним, якщо цей оператор
c-неперервний i для кожних чисел R > 0 i a > 0 всi функцiї z \in \scrA BC0(\Phi ,X)[0, a] рiвностепенево
неперервнi [18] на кулi B\Phi [0, R].
Важливим для подальшого є таке твердження.
Теорема 3. Нехай оператор \scrA : C0(\Phi , X) \rightarrow C0(\Phi , X) c-цiлком неперервний i замкнена
куля BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] iнварiантна по вiдношенню до цього оператора.
Тодi оператор \scrA має хоча б одну нерухому точку z\ast \in BC0(\Phi ,X)[0, \rho ].
Доведення. Використаємо неперервний оператор PR, що дiє в просторi C0(\Phi , X) i визна-
чається рiвнiстю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1684 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
(PRx)(\varphi ) =
\left\{
x(\varphi ), якщо \| \varphi \| \Phi < R,\biggl(
2 - \| \varphi \| \Phi
R
\biggr)
x(\varphi ), якщо R \leq \| \varphi \| \Phi \leq 2R,
0, якщо \| \varphi \| \Phi > 2R,
де R — довiльне додатне число.
Розглянемо оператор PR\scrA : BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] \rightarrow BC0(\Phi ,X)[0, \rho ]. Оскiльки оператор \scrA c-цiлком
неперервний, то оператор PR\scrA неперервний i цiлком неперервний. Куля BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] є iнва-
рiантною по вiдношенню до цього оператора. Тому для кожного R > 0 за теоремою Шаудера
про нерухому точку [19]
\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x} (PR\scrA )
\bigcap
BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] \not = \varnothing .
Розглянемо додатнi числа Rn > 0, n \geq 1, для яких \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty Rn = +\infty . Нехай z\ast n — нерухома
точка оператора PRn\scrA , тобто
PRn\scrA z\ast n = z\ast n, (37)
i
\| z\ast n\| C0(\Phi ,X) \leq \rho .
Оскiльки оператор \scrA c-цiлком неперервний i простiр \Phi скiнченновимiрний, то iснують
функцiя z\ast \in BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] i зростаюча послiдовнiсть (nk)k\geq 1 натуральних чисел, для яких
z\ast nk
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow z\ast при k \rightarrow \infty . (38)
Покажемо, що
\scrA z\ast = z\ast . (39)
Згiдно з (37)
\scrA z\ast - z\ast =
\bigl(
\scrA z\ast - \scrA z\ast nk
\bigr)
+
\Bigl(
\scrA z\ast nk
- PRnk
\scrA z\ast nk
\Bigr)
+
\bigl(
z\ast nk
- z\ast
\bigr)
, k \geq 1.
Оскiльки
\scrA z\ast - \scrA z\ast nk
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty ,
\scrA z\ast nk
- PRnk
\scrA z\ast nk
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty
i
z\ast nk
- z\ast
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty
(тут враховано (38), c-неперервнiсть оператора \scrA та означення оператора PR), то справджу-
ється рiвнiсть (39).
Теорему 3 доведено.
Зауважимо, що у випадку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\Phi = 1 твердження, аналогiчнi теоремi 3, було розглянуто в
[14, 20, 21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1685
Далi наведемо одне важливе твердження, що отримується за допомогою теореми 3. Будемо
вважати, що виконується така умова.
Умова Е. Для кожного числа \theta > 0 iснують такi числа \mu \in (0, 1) i K > 0, що для довiльних
функцiй v \in BC0(\Phi ,X)[0, r] i z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] справджується спiввiдношення
\| ((\scrG z \circ \scrF )v) (\varphi ) - ((\scrG z \circ \scrF )v) ( \~\varphi )\| \Phi \leq K \| \varphi - \~\varphi \| \mu \Phi
для всiх \varphi , \~\varphi \in B\Phi [0, \theta ], для яких \| \varphi - \~\varphi \| \Phi \leq 1.
Теорема 4. Нехай виконуються умови А, Б, В, Г, Д i Е.
Тодi для кожної функцiї z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r]
\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x} (\scrG z \circ \scrF )
\bigcap
BC0(\Phi ,X)[0, r] \not = \varnothing . (40)
Доведення. Завдяки умовi Е для кожної функцiї z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] всi елементи мно-
жини
\bigl\{
(\scrG z \circ \scrF )v \in C0(\Phi , X) : v \in BC0(\Phi ,X)[0, r]
\bigr\}
рiвностепенево неперервнi на \Phi . Тому c-
неперервний оператор \scrG z \circ \scrF (на пiдставi теореми 1, в якiй використано умови А, Б, Г, та
c-неперервностi оператора \scrF (див. п. 5, де використано умову В)) є неперервним i c-цiлком
неперервним. Замкнена куля BC0(\Phi ,X)[0, r] iнварiантна по вiдношенню до оператора \scrG z \circ \scrF
(завдяки умовi Д). Тому за теоремою 3 справджується спiввiдношення (40).
Теорему 4 доведено.
Зауважимо, що функцiя uz \in C0(\Phi , X) як нерухома точка оператора \scrG z \circ \scrF може не бути
диференцiйовною за змiнною \varphi навiть у випадку аналiтичних a, b, P i F. Такою властивiстю
надiлено систему диференцiальних рiвнянь
d\varphi
dt
= - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ,
dx
dt
= - x+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ,
(41)
дослiджену в [22] (див. також [1, c. 125; 23]). Однак складна функцiя uz(\varphi t(\varphi , z)) завжди є
неперервно диференцiйовною за змiнною t. Умова Е у випадку системи (41) виконується.
8. Умови iснування iнварiантної \bfitX -обмеженої множини системи рiвнянь (1). Будемо
вважати, що виконуються умови А, Б, В, Г, Ґ, Д i Е. Цi умови завдяки попереднiм твердженням
дадуть змогу розглянути i дослiдити оператор
\frakA : BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r] \rightarrow BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r],
що визначається рiвнiстю
(\frakA (v, z))(\varphi , t) = ((\frakA 1(v, z))(\varphi ), (\frakA 2(v, z))(t)), (42)
де з урахуванням результатiв п. 6
(\frakA 1(v, z))(\varphi ) = ((\scrG z \circ \scrF )v)(\varphi ) =
=
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau , (43)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1686 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
(\frakA 2(v, z))(t) = (\frakA 1(v, z))(\varphi t(\varphi , z)) = ((\scrG z \circ \scrF )v)(\varphi t(\varphi , z)) =
=
+\infty \int
- \infty
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau (44)
i (v, z) \in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r].
На пiдставi теореми 2 задача знаходження iнварiантної X -обмеженої множини системи рiв-
нянь (1) зводиться до задачi знаходження нерухомих точок оператора \frakA . Iснування нерухомих
точок цього оператора ми встановимо за допомогою наступного твердження, що аналогiчне
теоремi 3.
Теорема 5. Нехай \frakB : C0(\Phi , X)\times C0(\BbbR , X) \rightarrow C0(\Phi , X)\times C0(\BbbR , X) — c-цiлком неперерв-
ний оператор i множина BC0(\Phi ,X)[0, \rho ] \times BC0(\BbbR ,X)[0, \rho ] iнварiантна по вiдношенню до цього
оператора.
Тодi оператор \frakB має хоча б одну нерухому точку (v\ast , z\ast ) \in BC0(\Phi ,X)[0, \rho ]\times BC0(\BbbR ,X)[0, \rho ].
Обґрунтування цього твердження ми не наводимо, оскiльки воно аналогiчне доведенню
теореми 3. Обмежимося лише наведенням означення c-цiлком неперервностi оператора \frakB .
Оператор \frakB : C0(\Phi , X) \times C0(\BbbR , X) \rightarrow C0(\Phi , X) \times C0(\BbbR , X) c-цiлком неперервний, якщо
цей оператор c-неперервний i для кожних чисел R > 0 i a > 0 всi функцiї
(v, z) \in \frakB (BC0(\Phi ,X)[0, a]\times BC0(\BbbR ,X)[0, a])
рiвностепенево неперервнi на B\Phi [0, R]\times [ - R,R].
Далi покажемо, що оператор \frakA має такi властивостi:
1) замкнена опукла множина BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r] iнварiантна щодо \frakA ;
2) оператор \frakA c-цiлком неперервний.
Справдi, перша властивiсть оператора \frakA виконується завдяки умовi Д.
Встановимо правильнiсть другої властивостi оператора \frakA . Тут ми використаємо умови А,
Б, В, Г, Ґ, Д i Е.
Спочатку покажемо c-неперервнiсть оператора \frakA . Згiдно з рiвностями (42) – (44) цей опе-
ратор c-неперервний тодi i лише тодi, коли аналогiчну властивiсть мають оператори \frakA 1 i \frakA 2.
Покажемо c-неперервнiсть оператора \frakA 1.
Розглянемо довiльнi (v, z), (vn, zn) \in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r], n \geq 1, для яких
vn
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow v при n \rightarrow \infty (45)
i
zn
loc., C0(\BbbR ,X) - - - - - - - - \rightarrow z при n \rightarrow \infty . (46)
Покажемо, що
(\scrG zn \circ \scrF ) vn
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow (\scrG z \circ \scrF ) v при n \rightarrow \infty . (47)
Згiдно з (43)
((\scrG zn \circ \scrF )vn) (\varphi ) - ((\scrG z \circ \scrF )v) (\varphi ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1687
=
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , zn)F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn))) d\tau -
-
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z))) d\tau =
=
+\infty \int
- \infty
(G0(\tau , \varphi , zn) - G0(\tau , \varphi , z))F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn)))d\tau +
+
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z) (F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn))) - F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))) d\tau . (48)
Оскiльки (vn, zn) \in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r], n \geq 1, то на пiдставi умови Д
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1, \varphi \in \Phi
\| F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn)))\| X \leq \omega .
Тому \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
+\infty \int
- \infty
(G0(\tau , \varphi , zn) - G0(\tau , \varphi , z))F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn)))d\tau
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
\leq
\leq \omega
+\infty \int
- \infty
\| G0(\tau , \varphi , zn) - G0(\tau , \varphi , z)\| L(X,X).
Звiдси з урахуванням умови Ґ i спiввiдношень (8), (46) отримуємо, що
+\infty \int
- \infty
(G0(\tau , \varphi , zn) - G0(\tau , \varphi , z))F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn)))d\tau
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 (49)
при n \rightarrow \infty .
Далi покажемо, що
+\infty \int
- \infty
G0(\tau , \varphi , z)(F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn))) -
- F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z))))d\tau
loc., C0(\Phi ,X) - - - - - - - - \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . (50)
Зафiксуємо множину [ - T, T ]\times BC0(\Phi ,X)[0, r], де T — довiльне додатне число. На пiдставi
(46) та умови А
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \tau | \leq T, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| \varphi \tau (\varphi , zn) - \varphi \tau (\varphi , z)\| \Phi = 0, (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1688 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
а на пiдставi (45) i (51)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \tau | \leq T, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| vn(\varphi \tau (\varphi , zn)) - v(\varphi \tau (\varphi , z))\| \Phi = 0.
Тому завдяки неперервностi функцiї F (\varphi , x) на [ - T, T ] \times BC0(\Phi ,X)[0, r], а отже i рiвномiрної
неперервностi функцiї F (\varphi , x) на цiй множинi,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| \tau | \leq T, \| \varphi \| \Phi \leq r
\| F (\varphi \tau (\varphi , zn), vn(\varphi \tau (\varphi , zn))) - F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))\| \Phi = 0.
Звiдси, з нерiвностi (8) i довiльностi вибору числа T випливає (50). На пiдставi (48) – (50)
отримуємо (47).
Отже, оператор \frakA 1 є c-неперервним.
Оператор \frakA 2 також є c-неперервним.
Звернемо увагу на те, що спiввiдношення (43) i (44), що визначають оператори \frakA 1 i \frakA 2, вiд-
рiзняються лише операторними множниками G0(\tau , \varphi , z) i Gt(\tau , \varphi , z) в невласних iнтегралах.
Тому обґрунтування c-неперервностi оператора \frakA 2 аналогiчне обґрунтуванню c-неперервностi
оператора \frakA 1. Потрiбно лише замiсть умови Ґ використати аналогiчну умову виконання спiв-
вiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq T, | \tau | \leq T, \| \varphi \| \Phi \leq \theta
\| Gt(\tau , \varphi , zn) - Gt(\tau , \varphi , z)\| L(X,X) = 0 (52)
при довiльних \theta > 0 i T > 0 у випадку
zn
loc., C0(\BbbR ,X) - - - - - - - - \rightarrow z при n \rightarrow \infty ,
а також нерiвнiсть (31). Спiввiдношення (52) випливає з умови Ґ та означення функцiї Gt(\tau , \varphi , z)
(див. (30)).
Згiдно з цим зауваженням обґрунтування c-неперервностi оператора \frakA 2 ми не наводимо.
Iз c-неперервностi операторiв \frakA 1 i \frakA 2 випливає c-неперервнiсть оператора \frakA .
Покажемо, що оператор \frakA c-цiлком неперервний. Очевидно, що цей оператор c-цiлком
неперервний тодi й лише тодi, коли аналогiчну властивiсть мають оператори \frakA 1 i \frakA 2.
Оператор \frakA 1 c-цiлком неперервний завдяки умовi Е.
Оператор \frakA 2 також c-цiлком неперервний. Справдi, для кожної пари функцiй (v, z) \in
\in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r] диференцiйовна по t функцiя
Vv,z(t) = (\frakA 2(v, z))(t) =
+\infty \int
- \infty
Gt(\tau , \varphi , z)F (\varphi \tau (\varphi , z), v(\varphi \tau (\varphi , z)))d\tau ,
яка на пiдставi першої властивостi оператора \frakA є елементом кулi BC0(\BbbR ,X)[0, r], згiдно з наве-
деними в п. 6 мiркуваннями задовольняє спiввiдношення
dVv,z(t)
dt
\equiv P (\varphi t(\varphi , z))Vv,z(t) + F (\varphi t(\varphi , z), v(\varphi t(\varphi , z))). (53)
Оскiльки Vv,z \in BC0(\BbbR ,X)[0, r] для всiх (v, z) \in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦIЇ ТА ОПЕРАТОРА ГРIНА – САМОЙЛЕНКА . . . 1689
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR , (v,z)\in BC0(\Phi ,X)[0,r]\times BC0(\BbbR ,X)[0,r]
\| F (\varphi t(\varphi , z), v(\varphi t(\varphi , z)))\| X < +\infty
на пiдставi умови В i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR , z\in BC0(\BbbR ,X)[0,r]
\| P (\varphi t(\varphi , z))\| L(X,X) < +\infty
на пiдставi умови Б, то для правої частини тотожностi (53) маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR , (v,z)\in BC0(\Phi ,X)[0,r]\times BC0(\BbbR ,X)[0,r]
\| P (\varphi t(\varphi , z))Vv,z(t)+
+F (\varphi t(\varphi , z), v(\varphi t(\varphi , z)))\| X < +\infty .
Тому
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR , (v,z)\in BC0(\Phi ,X)[0,r]\times BC0(\BbbR ,X)[0,r]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dVv,z(t)
dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
X
< +\infty . (54)
Отже, всi функцiї з множини\bigl\{
(\frakA 2(v, z))(t) : (v, z) \in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r]
\bigr\}
не лише рiвномiрно обмеженi на \BbbR за першою властивiстю оператора \frakA , а i рiвностепенево
неперервнi на \BbbR завдяки (54). Це означає, що оператор \frakA 2 c-цiлком неперервний.
Отже, друга властивiсть оператора \frakA також є правильною.
Зауважимо, що при дослiдженнi властивостей оператора \frakA також використано умову Г
(неявно), що пiдтверджується використанням функцiї Грiна – Самойленка G0(\tau , \varphi , z).
На пiдставi теореми 5 i наведених властивостей оператора \frakA справджується така теорема.
Теорема 6. Нехай виконуються умови А, Б, В, Г, Ґ, Д i E.
Тодi оператор \frakA : C0(\Phi , X)\times C0(\BbbR , X) \rightarrow C0(\Phi , X)\times C0(\BbbR , X) має хоча б одну нерухому
точку
\bigl(
v\ast , z\ast
\bigr)
\in BC0(\Phi ,X)[0, r]\times BC0(\BbbR ,X)[0, r].
Iз цiєї теореми випливає, що є хоча б одна пара функцiй v\ast \in BC0(\Phi ,X)[0, r] i z\ast \in
\in BC0(\BbbR ,X)[0, r], для яких
(\scrG z\ast \circ \scrF ) v\ast = v\ast ,
((\scrG z\ast \circ \scrF ) v\ast ) (\varphi t (\varphi , z
\ast )) \equiv z\ast (t)
i, отже,
v\ast (\varphi t (\varphi , z
\ast )) \equiv z\ast (t).
Це означає, що
d\varphi
dt
= a(\varphi ) + b (\varphi , z\ast ) ,
dz\ast
dt
= P (\varphi )z\ast + F (\varphi , z\ast ) , t \in \BbbR ,
а згiдно з теоремою 2 множина
\scrM v\ast
z\ast
= \{ (\varphi , x) \in \Phi \times X : x = v\ast z\ast (\varphi ), \varphi \in \Phi \}
є iнварiантною X -обмеженою множиною системи рiвнянь (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1690 М. О. ПЕРЕСТЮК, В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Лiтература
1. А. М. Самойленко, Элементы математической теории многочастотных колебаний, Наука, Москва (1987).
2. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, Москва (1972).
3. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространс-
тве, Наука, Москва (1970).
4. М. О. Перестюк, В. Ю. Слюсарчук, Оператор Грiна – Самойленка в теорiї iнварiантних множин нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь, Укр. мат. журн., 61, № 7, 948 – 957 (2009).
5. Э. Мухамадиев, Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций,
Мат. заметки, 11, № 3, 269 – 274 (1972).
6. Э. Мухамадиев, Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравне-
ний, Мат. заметки, 30, № 3, 443 – 460 (1981).
7. В. Е. Слюсарчук, Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов, Мат. сб.,
116, № 4, 483 – 501 (1981).
8. В. Е. Слюсарчук, Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов, Докл. АН УССР. Сер.
А, № 8, 34 – 37 (1981).
9. В. Е. Слюсарчук, Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов, Мат. сб., 130,
№ 1, 86 – 104 (1986).
10. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов, Мат. заметки, 42, № 2, 262 – 267 (1987).
11. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов, Укр. мат. журн., 41, № 2, 201 – 205 (1989).
12. В. Г. Курбатов, Линейные дифференциально-разностные уравнения, Изд-во Воронеж. ун-та, Воронеж (1990).
13. В. Е. Слюсарчук, Метод c-непрерывных операторов в теории импульсных систем, Тез. докл. Всесоюз. конф.
по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, Душанбе, 102 – 103 (1987).
14. В. Е. Слюсарчук, Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-дифференциальных
и дискретных уравнений, Укр. мат. журн., 39, № 5, 660 – 662 (1987).
15. В. Ю. Слюсарчук, Оборотнicть нелiнiйних рiзницевих операторiв, Вид-во Нац. ун-ту водн. госп-ва та приро-
докористування, Рiвне (2006).
16. А. М. Самойленко, М. О. Перестюк, I. О. Парасюк, Диференцiальнi рiвняння, Либiдь, Київ (2003).
17. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, Москва (1971).
18. А. М. Колмогоров, С. В. Фомiн, Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу, Вища шк., Київ (1974).
19. Л. Ниренберг, Лекции по нелинейному функциональному анализу, Мир, Москва (1977).
20. В. Е. Слюсарчук, Слабо нелинейные возмущения импульсных систем, Мат. физика и нелиней. механика,
вып. 15, 32 – 35 (1991).
21. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь, Укр. мат. журн., 61, № 11, 1541 – 1556 (2009).
22. Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, Исследование линейных систем дифференциальных
уравнений с помощью квадратичных форм, Препринт, ИМ АН УССР, Киев, № 82.10 (1982).
23. Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, Исследования дихотомии линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с помощью функций Ляпунова, Наук. думка, Киев (1990).
Одержано 23.12.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6482 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:12Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/00/954a06c32541a8ceca2be3d9af960500.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-64822025-03-31T08:46:08Z Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations Применение функции и оператора Грина–Самойленка к исследованию нелипшицевых дифференциальных уравнений Застосування функції та оператора Гріна–Самойленка до дослідження неліпшіцевих диференціальних рівнянь Perestyuk , M. O. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк , М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. Функція і оператор Гріна-Самойленка The Green-Samoilenko function and operator UDC 517.925.53 For systems of non-Lipschitz differential equations, we establish conditions for the existence of invariant sets. To obtain this result, we use the Green – Samoilenko function and the corresponding operator. Для систем нелипшицевих дифференциальных уравнений встановлены условия существования инвариантных множеств. При исследовании этих систем использованы функцию и оператор Грина-Самойленка. УДК 517.925.53Для систем нелiпшiцевих диференцiальних рiвнянь встановлено умови iснування iнварiантних множин. При дослiдженнi цих систем використано функцiю та оператор Грiна – Самойленка. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6482 10.37863/umzh.v73i12.6482 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1673 - 1690 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1673 - 1690 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6482/9163 Copyright (c) 2021 В. Ю. Слюсарчук, М. О. Перестюк |
| spellingShingle | Perestyuk , M. O. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк , М. О. Слюсарчук, В. Ю. Slyusarchuk, V. Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title | Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title_alt | Применение функции и оператора Грина–Самойленка к исследованию нелипшицевых дифференциальных уравнений Застосування функції та оператора Гріна–Самойленка до дослідження неліпшіцевих диференціальних рівнянь |
| title_full | Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title_fullStr | Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title_full_unstemmed | Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title_short | Application of the Green–Samoilenko function and operator to the study of non-Lipschitz differential equations |
| title_sort | application of the green–samoilenko function and operator to the study of non-lipschitz differential equations |
| topic_facet | Функція і оператор Гріна-Самойленка The Green-Samoilenko function and operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6482 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukmo applicationofthegreensamoilenkofunctionandoperatortothestudyofnonlipschitzdifferentialequations AT slyusarchukvyu applicationofthegreensamoilenkofunctionandoperatortothestudyofnonlipschitzdifferentialequations AT perestûkmo applicationofthegreensamoilenkofunctionandoperatortothestudyofnonlipschitzdifferentialequations AT slûsarčukvû applicationofthegreensamoilenkofunctionandoperatortothestudyofnonlipschitzdifferentialequations AT slyusarchukv applicationofthegreensamoilenkofunctionandoperatortothestudyofnonlipschitzdifferentialequations AT perestyukmo primeneniefunkciiioperatoragrinasamojlenkakissledovaniûnelipšicevyhdifferencialʹnyhuravnenij AT slyusarchukvyu primeneniefunkciiioperatoragrinasamojlenkakissledovaniûnelipšicevyhdifferencialʹnyhuravnenij AT perestûkmo primeneniefunkciiioperatoragrinasamojlenkakissledovaniûnelipšicevyhdifferencialʹnyhuravnenij AT slûsarčukvû primeneniefunkciiioperatoragrinasamojlenkakissledovaniûnelipšicevyhdifferencialʹnyhuravnenij AT slyusarchukv primeneniefunkciiioperatoragrinasamojlenkakissledovaniûnelipšicevyhdifferencialʹnyhuravnenij AT perestyukmo zastosuvannâfunkcíítaoperatoragrínasamojlenkadodoslídžennânelípšícevihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slyusarchukvyu zastosuvannâfunkcíítaoperatoragrínasamojlenkadodoslídžennânelípšícevihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT perestûkmo zastosuvannâfunkcíítaoperatoragrínasamojlenkadodoslídžennânelípšícevihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû zastosuvannâfunkcíítaoperatoragrínasamojlenkadodoslídžennânelípšícevihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slyusarchukv zastosuvannâfunkcíítaoperatoragrínasamojlenkadodoslídžennânelípšícevihdiferencíalʹnihrívnânʹ |