Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems
UDC 517.927 We consider a wide class of linear boundary-value problems for systems of $m$ ordinary differential equations of order $r$ known as the general boundary-value problems. Their solutions $y\colon[a,b]\to \mathbb{C}^{m}$ belong to the Sobolev space $(W_1^{r})^m,$ and the boundary conditions...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6505 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512420362977280 |
|---|---|
| author | Murach, A. A. Pelekhata, O. B. Soldatov, V. O. Мурач, А. А. Пелехатая, О. Б. Солдатов, В. О. Мурач, О. О. Пелехата, О. Б. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Murach, A. A. Pelekhata, O. B. Soldatov, V. O. Мурач, А. А. Пелехатая, О. Б. Солдатов, В. О. Мурач, О. О. Пелехата, О. Б. Солдатов, В. О. |
| author_sort | Murach, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:21Z |
| description | UDC 517.927
We consider a wide class of linear boundary-value problems for systems of $m$ ordinary differential equations of order $r$ known as the general boundary-value problems. Their solutions $y\colon[a,b]\to \mathbb{C}^{m}$ belong to the Sobolev space $(W_1^{r})^m,$ and the boundary conditions are given in the form $By=q$ where $B\colon(C^{(r-1)})^{m}\to\mathbb{C}^{rm}$ is an arbitrary continuous linear operator. For such a problem, we prove that its solution can be approximated in $(W_1^{r})^m$ with arbitrary precision by solutions to multipoint boundary-value problems with the same right-hand sides. These multipoint problems are built explicitly and do not depend on the right-hand sides of the general boundary-value problem. For these problems, we obtain estimates of error of solutions in the normed spaces $(W_1^{r})^m$ and $(C^{(r-1)})^{m}.$
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i3.6505 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i3.6505
УДК 517.927
О. О. Мурач (Iн-т математики НАН України, Київ),
О. Б. Пелехата (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ),
В. О. Солдатов (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ
БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
We consider a wide class of linear boundary-value problems for systems of m ordinary differential equations of order r
known as the general boundary-value problems. Their solutions y : [a, b] \rightarrow \BbbC m belong to the Sobolev space (W r
1 )
m,
and the boundary conditions are given in the form By = q where B : (C(r - 1))m \rightarrow \BbbC rm is an arbitrary continuous
linear operator. For such a problem, we prove that its solution can be approximated in (W r
1 )
m with arbitrary precision
by solutions to multipoint boundary-value problems with the same right-hand sides. These multipoint problems are built
explicitly and do not depend on the right-hand sides of the general boundary-value problem. For these problems, we obtain
estimates of error of solutions in the normed spaces (W r
1 )
m and (C(r - 1))m.
Розглянуто широкий клас лiнiйних крайових задач для систем m звичайних диференцiальних рiвнянь порядку
r — так званi загальнi крайовi задачi. Їхнi розв’язки y : [a, b] \rightarrow \BbbC m належать до простору Соболєва (W r
1 )
m,
а крайовi умови задаються у виглядi By = q, де B :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm — довiльний неперервний лiнiйний
оператор. Доведено, що розв’язок такої задачi можна з довiльною точнiстю апроксимувати в
\bigl(
W r
1
\bigr) m
розв’язками
багатоточкових крайових задач iз тими ж правими частинами. Цi багатоточковi задачi будуються явно та не залежать
вiд правих частин загальної крайової задачi. Для цих задач отримано оцiнки похибки розв’язкiв у нормованих
просторах
\bigl(
W r
1
\bigr) m
i
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
.
1. Вступ. Граничний перехiд у системах диференцiальних рiвнянь часто використовується при
розв’язаннi рiзних математичних i прикладних задач, тому його обґрунтуванню i дослiдженню
його властивостей присвячено багато робiт. Найбiльш повно вивчено цю проблематику щодо
задачi Кошi для диференцiальних рiвнянь першого порядку. Iстотно менш дослiдженi крайовi
задачi, залежнi вiд параметра. Така ситуацiя пов’язана з великою рiзноманiтнiстю крайових
умов. Першi результати у цьому напрямку отримали I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] i М. Ашордiя [4]
щодо широкого класу так званих загальних лiнiйних крайових задач для систем звичайних
диференцiальних рiвнянь першого порядку. Було знайдено достатнi умови неперервностi за
параметром розв’язкiв цих задач у нормованому просторi C
\bigl(
[a, b],\BbbR m
\bigr)
, де m — кiлькiсть
рiвнянь у системi. У роботах В. А. Михайлеця i його учнiв [5 – 9] цi результати були iстотно
покращенi та узагальненi на випадок комплекснозначних функцiй i систем диференцiальних
рiвнянь високого порядку r. Розв’язки цих систем пробiгають простiр Соболєва
\bigl(
W r
1
\bigr) m
:=
:= W r
1
\bigl(
[a, b],\BbbC m
\bigr)
, а крайовi умови мають вигляд By = q, де B — довiльний неперервний
лiнiйний оператор на парi просторiв
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
:= C(r - 1)
\bigl(
[a, b],\BbbC m
\bigr)
i \BbbC rm. Iншi широкi класи
лiнiйних одновимiрних крайових задач уведено i дослiджено у роботах [10 – 17]. Розв’язки цих
задач розглядаються у нормованих просторах n разiв неперервно диференцiйовних функцiй,
де n \geq r, функцiональних просторах Гельдера порядку l > r або Соболєва – Слободецького
порядку l \geq r, причому на тих же самих просторах задано i неперервнi крайовi оператори.
Важливе мiсце серед згаданих задач належить багатоточковим крайовим задачам. З огляду
на досить простий явний вигляд крайових умов у цих задачах їхнi розв’язки знайти набагато
легше, нiж, наприклад, розв’язки задач з iнтегральними крайовими умовами. Тому виникає
c\bigcirc О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3 341
342 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
природне питання про можливiсть апроксимацiї розв’язками багатоточкових крайових задач
розв’язкiв бiльш загальних крайових задач. Мета цiєї роботи — показати, що розв’язки вказаних
вище загальних крайових задач можна з довiльною точнiстю апроксимувати у просторi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
розв’язками багатоточкових крайових задач iз тими ж правими частинами. Цi апроксимуючi
задачi будуються нами явно i не залежать вiд правих частин загальної крайової задачi. Для цих
задач отримано оцiнки похибки розв’язкiв у нормованих просторах
\bigl(
W r
1
\bigr) m
i
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
. Для
iншого класу лiнiйних крайових задач, розв’язки яких належать до простору
\bigl(
C(n)
\bigr) m
цiлого
порядку n \geq r, вiдповiдний результат про апроксимацiю в
\bigl(
C(n)
\bigr) m
доведено у статтi [18].
2. Постановка задачi та результати. Нехай a, b \in \BbbR i a < b. Будемо використовувати такi
позначення комплексних банахових просторiв функцiй x : [a, b] \rightarrow \BbbC та їхнiх норм:
(a) L1 — простiр усiх iнтегровних за Лебегом на [a, b] функцiй, надiлений нормою \| x\| 1 :=
:=
\int b
a
| x(t)| dt;
(b) C або C(0) — простiр усiх неперервних на [a, b] функцiй, надiлений нормою \| x\| C :=
:= \| x\| (0) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}a\leq t\leq b | x(t)| ;
(c) C(l), де l \in \BbbN , — простiр усiх l разiв неперервно диференцiйовних на [a, b] функцiй,
надiлений нормою \| x\| (l) :=
\sum l
j=0
\| x(j)\| C ;
(d) W r
1 , де r \in \BbbN , — простiр Соболєва усiх функцiй x \in C(r - 1) таких, що функцiя x(r - 1)
абсолютно неперервна на [a, b] (тодi x(r)(t) iснує для майже всiх t \in [a, b], причому x(r) \in L1);
простiр W r
1 надiлений нормою \| x\| r,1 :=
\sum r
j=0
\bigm\| \bigm\| x(j)\bigm\| \bigm\|
1
.
Комплекснi банаховi простори, утворенi вектор-функцiями вимiрностi m \geq 1 або мат-
рицями-функцiями розмiру m \times m, усi компоненти яких належать до одного з перелiчених
просторiв, позначаємо вiдповiдно через (\Psi )m або (\Psi )m\times m, де \Psi — один iз зазначених прос-
торiв скалярних функцiй. При цьому вектори iнтерпретуємо як стовпцi. Норма вектор-функцiї
у просторi (\Psi )m дорiвнює сумi норм усiх її компонент у \Psi , а норма матрицi-функцiї у прос-
торi (\Psi )m\times m дорiвнює максимуму норм усiх її стовпцiв у (\Psi )m. Норми у просторах (\Psi )m i
(\Psi )m\times m позначаємо так само, як i норму у просторi \Psi . З контексту завжди буде зрозумiло про
норму в якому просторi (скалярних функцiй, вектор-функцiй чи матриць-функцiй) йде мова.
Для числових векторiв i матриць використовуємо аналогiчнi норми, якi позначаємо через \| \cdot \| .
Нехай r,m \in \BbbN . На вiдрiзку [a, b] розглянемо лiнiйну крайову задачу вигляду
Ly(t) := y(r)(t) +
r\sum
l=1
Ar - l(t) y
(r - l)(t) = f(t) для м.в. t \in [a, b], (1)
By = q. (2)
Тут вектор-функцiя y класу
\bigl(
W r
1
\bigr) m
є невiдомою, а довiльно заданими є матрицi-функцiї Ar - l \in
\in (L1)
m\times m, де 1 \leq l \leq r, вектор-функцiя f \in (L1)
m, вектор q \in \BbbC rm i неперервний лiнiйний
оператор
B :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm. (3)
З умови y \in
\bigl(
W r
1
\bigr) m
випливає, що старша похiдна y(r) в рiвняннi (1) iснує майже скрiзь на
[a, b] (вiдносно мiри Лебега) i є вектор-функцiєю класу (L1)
m. Тому це рiвняння розглядається
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 343
для майже всiх (м.в.) t \in [a, b]. Оскiльки простiр
\bigl(
W r
1
\bigr) m
неперервно вкладений у
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
,
то крайова умова (2) має сенс. Таку задачу дослiджували в [7 – 9].
Далi припускаємо, що крайова задача (1), (2) має єдиний розв’язок y \in
\bigl(
W r
1
\bigr) m
для довiль-
них правих частин f \in (L1)
m i q \in \BbbC rm. Згiдно з результатами [7, с. 334], це припущення
еквiвалентне тому, що вiдповiдна однорiдна крайова задача (для f(\cdot ) \equiv 0 i q = 0) має лише
тривiальний розв’язок y(\cdot ) \equiv 0.
Нехай \scrX — довiльна щiльна пiдмножина простору (L1)
m\times m (наприклад, множина всiх
полiномiв або тригонометричних полiномiв, схiдчастих функцiй, полiгональних функцiй чи
сплайнiв). Розглянемо послiдовнiсть багатоточкових крайових задач вигляду
Lk yk(t) := y
(r)
k (t) +
r\sum
l=1
Ar - l,k(t)y
(r - l)
k (t) = f(t) для м.в. t \in [a, b], (4)
Bk yk :=
pk\sum
j=1
r - 1\sum
l=0
\beta j,l
k y(l)(tk,j) = q. (5)
Вони параметризованi натуральним числом k; їхнi правi частини не залежать вiд k i збiгаються
з правими частинами крайової задачi (1), (2). Щодо цих багатоточкових задач припускаємо, що
кожне Ar - l,k \in \scrX i, крiм того, pk \in \BbbN , \beta j,l
k \in \BbbC rm\times m та tk,j \in [a, b] для всiх припустимих
значень параметрiв k, j i l. Розв’язки yk цих задач розглядаються у класi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. Очевидно,
лiнiйний оператор Bk дiє неперервно з
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
в \BbbC rm.
Сформулюємо основний результат роботи.
Теорема 1. Для крайової задачi (1), (2) iснує послiдовнiсть багатоточкових крайових задач
вигляду (4), (5) таких, що вони є однозначно розв’язними для достатньо великих k i виконується
асимптотична властивiсть
yk \rightarrow y в
\bigl(
W r
1
\bigr) m
при k \rightarrow \infty . (6)
Цю послiдовнiсть можна вибрати незалежною вiд f i q та побудувати явно.
Далi у цьому пунктi припускаємо, що послiдовнiсть крайових задач (4), (5) задовольняє
висновок теореми 1 для довiльних правих частин f \in (L1)
m i q \in \BbbC rm, тобто цi задачi
однозначно розв’язнi у просторi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
при k \geq \widetilde \varrho i їхнi розв’язки мають властивiсть (6); тут\widetilde \varrho — деяке натуральне число.
Дослiдимо випадок, коли правi частини цих задач залежать вiд k. Отже, при k \geq \widetilde \varrho розгля-
даємо крайовi задачi вигляду
Lk xk(t) = fk(t) для м.в. t \in [a, b], (7)
Bk xk = qk, (8)
де fk \in (L1)
m i qk \in \BbbC rm, а розв’язок xk \in
\bigl(
W r
1
\bigr) m
.
Теорема 2. Нехай задано натуральне число \widehat \varrho \geq \widetilde \varrho i дiйсне число \varepsilon > 0. Припустимо, що
правi частини крайових задач (7), (8) задовольняють умови
\| fk - f\| 1 < \varepsilon i \| qk - q\| < \varepsilon при k \geq \widehat \varrho . (9)
Тодi iснують додатнi числа \varkappa i \varrho \geq \widehat \varrho такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
344 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
\| xk - y\| r,1 < \varkappa \varepsilon при k \geq \varrho . (10)
Число \varkappa можна вибрати незалежним вiд \varepsilon , \widehat \varrho , f, q, fk i qk, а число \varrho — незалежним вiд fk
i qk. Зокрема, якщо fk \rightarrow f в (L1)
m i qk \rightarrow q в \BbbC rm при k \rightarrow \infty , то xk \rightarrow y в
\bigl(
W r
1
\bigr) m
при
k \rightarrow \infty .
За деякої бiльш слабкої умови, нiж \| fk - f\| 1 < \varepsilon , можна замiсть (10) отримати оцiнку
похибки xk - y у нормi \| \cdot \| (r - 1) (яка у свою чергу слабша за соболєвську норму \| \cdot \| r,1).
Позначимо через F i Fk первiснi функцiй f i fk на [a, b], пiдпорядкованi умовам F (a) = 0 i
Fk(a) = 0.
Теорема 3. Нехай задано натуральне число \widehat \varrho \geq \widetilde \varrho i дiйсне число \varepsilon > 0. Припустимо, що
правi частини крайових задач (7), (8) задовольняють умови
\| Fk - F\| C < \varepsilon i \| qk - q\| < \varepsilon при k \geq \widehat \varrho . (11)
Крiм того, припустимо, що
\sigma := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| Bk :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| : k \geq \widehat \varrho \Bigr\} < \infty . (12)
Тодi iснують додатнi числа \varkappa i \varrho \geq \widehat \varrho такi, що
\| xk - y\| (r - 1) < \varkappa \sigma \varepsilon при k \geq \varrho . (13)
Число \varkappa можна вибрати незалежним вiд \varepsilon , \sigma , \widehat \varrho , f, q i задач (7), (8) (тодi \varkappa залежатиме
лише вiд L i B), а число \varrho — незалежним вiд fk i qk. Зокрема, якщо Fk \rightarrow F в (C)m i qk \rightarrow q
в \BbbC rm при k \rightarrow \infty , то xk \rightarrow y в
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
при k \rightarrow \infty .
Умова (11) слабша за умову (9), оскiльки \| Fk - F\| C \leq \| fk - f\| 1. Зауважимо, що умову (12)
задовольняє побудована у доведеннi теореми 1 апроксимуюча послiдовнiсть багатоточкових
крайових задач вигляду (4), (5).
3. Обґрунтування результатiв. Позначимо через \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V} комплексний лiнiйний простiр усiх
функцiй g : [a, b] \rightarrow \BbbC обмеженої варiацiї на [a, b], якi неперервнi злiва на (a, b) i задовольняють
умову g(a) = 0. Цей простiр надiлено нормою, яка дорiвнює повнiй варiацiї \mathrm{V}(g, [a, b]) функцiї
g на [a, b]. Вiн є повним, несепарабельним i нерефлексивним вiдносно цiєї норми [19] (розд. IV,
пп. 12 i 15).
За теоремою Ф. Рiсса кожний неперервний лiнiйний функцiонал \ell на комплексному бана-
ховому просторi C зображується єдиним чином у виглядi
\ell (x) =
b\int
a
x(t) d\varphi (t) для довiльного x \in C, (14)
де \varphi — деяка функцiя з класу \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V}. Бiльше того, вiдповiдне вiдображення \scrI : \varphi \mapsto \rightarrow \ell породжує
iзометричний iзоморфiзм \scrI : \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V} \updownarrow C \prime (див., наприклад, [19], розд. IV, п. 13, вправа 35). Тут,
як звичайно, C \prime — банахiв простiр, спряжений до C, надiлений нормою функцiоналiв. Iнтеграл у
(14) розумiється як iнтеграл Рiмана – Стiльтьєса або Лебега – Стiльтьєса за комплексною мiрою,
породженою функцiєю \varphi .
Простiр \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V} iзометрично iзоморфний банаховому простору всiх комплексних борелевих
мiр на [a, b] (норма в останньому просторi є повною варiацiєю мiри) [19] (розд. IV, п. 12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 345
Найпростiшим прикладом таких мiр є мiри Дiрака з одноточковими носiями. Позначимо через
\chi \gamma характеристичну функцiю (iндикатор) пiдмножини \gamma вiдрiзка [a, b]. За цим iзоморфiзмом
таким мiрам Дiрака вiдповiдають характеристичнi функцiї \chi (c,b], де a \leq c < b, i \chi \{ b\} . Позна-
чимо через S комплексну лiнiйну оболонку всiх цих характеристичних функцiй. У доведеннi
теореми 1 ключову роль вiдiграватиме такий результат.
Твердження 1. Множина \scrI (S) є секвенцiально щiльною у просторi C \prime у w\ast -топологiї,
тобто для кожного функцiонала \ell \in C \prime iснує послiдовнiсть (\varphi k)
\infty
k=1 \subset S така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
b\int
a
x(t)d\varphi k(t) = \ell (x) для довiльного x \in C. (15)
Як вiдомо (див., наприклад, [20, с. 114], п. IV.5), множина \scrI (S) щiльна у просторi C \prime у
w\ast -топологiї. Втiм, оскiльки вказана топологiя неметризовна, iз цiєї щiльностi не випливає
твердження 1. Його конструктивне доведення наведено у [18] (теореми 2 i 3), де запропоновано
явний алгоритм побудови апроксимуючої послiдовностi функцiй \varphi k \in S.
Доведення теореми \bfone . Оскiльки, за припущенням, множина \scrX щiльна у просторi (L1)
m\times m,
виберемо послiдовностi (Ar - l,k)
\infty
k=1 \subset \scrX , де 1 \leq l \leq r, якi задовольняють умову
\scrX \ni Ar - l,k \rightarrow Ar - l в (L1)
m\times m при k \rightarrow \infty . (16)
Побудуємо послiдовнiсть операторiв Bk вигляду (5) таку, що
Bk y \rightarrow By в \BbbC rm для кожного y \in
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
. (17)
Для цього використаємо однозначне зображення неперервного лiнiйного оператора (3) у виглядi
By =
r - 2\sum
l=0
\alpha l y
(l)(a) +
b\int
a
(d\Phi (t)) y(r - 1)(t) для всiх y \in (C(r - 1))m. (18)
Тут кожне \alpha l — деяка комплексна числова матриця розмiру rm\times m, а
\Phi (t) =
\bigl(
\varphi \lambda ,\mu (t)
\bigr)
\lambda =1,...,rm
\mu =1,...,m
— деяка матриця-функцiя цього ж розмiру така, що кожне \varphi \lambda ,\mu \in \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V}; при цьому iнтеграл
розумiється у сенсi Рiмана – Стiльтьєса. (Звiсно, якщо r = 1, то у (18) немає суми за iндексом
l.) Наведене зображення випливає безпосередньо з вiдомого опису простору, спряженого до
C(r - 1) (див., наприклад, [19, с. 344]).
Зафiксувавши \lambda \in \{ 1, . . . , rm\} i \mu \in \{ 1, . . . ,m\} , означимо функцiонал \ell \in C \prime за формулою
(14), у якiй покладемо \varphi (t) \equiv \varphi \lambda ,\mu (t). За твердженням 1 iснує послiдовнiсть
\Bigl(
\varphi \lambda ,\mu
k
\Bigr) \infty
k=1
\subset S,
яка задовольняє умову (15), де \varphi k(t) \equiv \varphi \lambda ,\mu
k (t). Отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
b\int
a
z(r - 1)(t) d\varphi \lambda ,\mu
k (t) =
b\int
a
z(r - 1)(t) d\varphi \lambda ,\mu (t) для всiх z \in C(r - 1). (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
346 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
Оскiльки \varphi \lambda ,\mu
k \in S, то лiвий iнтеграл є лiнiйною комбiнацiєю значень функцiї z(r - 1)(t) у деяких
точках вiдрiзка [a, b]. Тому, покладаючи
Bk y :=
r - 2\sum
l=0
\alpha l y
(l)(a) +
b\int
a
\Biggl(
d
\Bigl(
\varphi \lambda ,\mu
k (t)
\Bigr)
\lambda =1,...,rm
\mu =1,...,m
\Biggr)
y(r - 1)(t)
для кожного y \in
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
, бачимо, що лiнiйнi неперервнi оператори Bk :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm,
де k \in \BbbN , набирають вигляду (5) i задовольняють потрiбну властивiсть (17) з огляду на (18)
i (19).
Позначимо через \=B i \=Bk вiдповiдно звуження операторiв B i Bk на простiр Соболєва\bigl(
W r
1
\bigr) m
. Оскiльки вiн неперервно вкладений у простiр
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
, то лiнiйнi оператори \=B i
\=Bk неперервно дiють з
\bigl(
W r
1
\bigr) m
у \BbbC rm. Розглянемо задачу, яка складається з диференцiальної
системи (1) i крайової умови
\=By = q. (20)
Крiм того, для кожного k \in \BbbN розглянемо задачу, яка складається з диференцiальної системи
(4) i крайової умови
\=Bk yk = q. (21)
Розв’язки цих задач беруться у класi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. За припущенням перша з них однозначно розв’яз-
на у просторi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. Згiдно з (17) маємо збiжнiсть
\=Bk y \rightarrow \=By в \BbbC rm для кожного y \in
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. (22)
Граничнi властивостi цих задач дослiджено у статтях [12, 17]. На пiдставi теореми 3 [12] (або
теорема 2.3 [17]) робимо висновок, що з умов (16) i (22) випливає однозначна розв’язнiсть
задачi (4), (21) (а отже, i задачi (4), (5)) при k \gg 1 i потрiбна асимптотична властивiсть (6).
Зазначимо, що функцiї \varphi \lambda ,\mu
k (t), а отже, i оператори Bk не залежать вiд f i q i будуються
явно, як це було показано у [18] (доведення лем 1 i 2). Це стосується i матриць Ar - l,k.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Розглянемо крайовi задачi (1), (20) i (4), (21), де (як i ранiше)
\=B i \=Bk позначають вiдповiдно звуження операторiв B i Bk на простiр Соболєва
\bigl(
W r
1
\bigr) m
.
Пов’яжемо з цими задачами лiнiйнi оператори (L, \=B) i (Lk, \=Bk), якi неперервно дiють з
\bigl(
W r
1
\bigr) m
у (L1)
m \times \BbbC rm. Цi оператори оборотнi при k \geq \widetilde \varrho . Розглянемо оберненi до них оператори
(L, \=B) - 1 i (Lk, \=Bk)
- 1. Оскiльки за припущенням крайовi задачi (4), (5) задовольняють висновок
теореми 1, то
(Lk, \=Bk)
- 1(f, q) = yk \rightarrow y = (L, \=B) - 1(f, q) в
\bigl(
W r
1
\bigr) m
при k \rightarrow \infty (23)
для довiльних f \in (L1)
m i q \in \BbbC rm, тобто (Lk, \=Bk)
- 1 збiгається до (L, \=B) - 1 у сильнiй
операторнiй топологiї. Тому за теоремою Банаха – Штейнгауза
\widetilde \varkappa := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| (Lk, \=Bk)
- 1 : (L1)
m \times \BbbC rm \rightarrow
\bigl(
W r
1
\bigr) m\bigm\| \bigm\| : k \geq \widetilde \varrho \bigr\} < \infty .
Отже, на пiдставi (9) i (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 347
\| xk - y\| r,1 =
\bigm\| \bigm\| (Lk, \=Bk)
- 1(fk, qk) - (L, \=B) - 1(f, q)
\bigm\| \bigm\|
r,1
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| (Lk, \=Bk)
- 1(fk, qk) - (Lk, \=Bk)
- 1(f, q)
\bigm\| \bigm\|
r,1
+
+
\bigm\| \bigm\| (Lk, \=Bk)
- 1(f, q) - (L, \=B) - 1(f, q)
\bigm\| \bigm\|
r,1
\leq
\leq \widetilde \varkappa (\| fk - f\| 1 + \| qk - q\| ) + \| yk - y\| r,1 <
< 2\widetilde \varkappa \varepsilon + \varepsilon = \varkappa \varepsilon при k \geq \varrho \geq \widehat \varrho .
Тут \varkappa := 2\widetilde \varkappa + 1, а число \varrho \geq \widehat \varrho задовольняє iмплiкацiю k \geq \varrho \Rightarrow \| yk - y\| r,1 < \varepsilon . При цьому
\varrho не залежить вiд правих частин fk i qk, оскiльки вiд них не залежить yk - y. Таким чином,
розв’язок xk задачi (7), (8) має властивiсть (10).
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. Всi границi розглядаємо при k \rightarrow \infty . Дослiдимо спочатку випадок
r = 1. Якщо fk \rightarrow f в (L1)
m i qk \rightarrow q в \BbbC m, то xk \rightarrow y в
\bigl(
W 1
1
\bigr) m
згiдно з теоремою 2.
Отже, розглядаючи y i xk як розв’язки крайових задач (1), (20) i (7), \=Bk xk = qk, на пiдставi
теореми 2.3 [17] робимо висновок, що
A0,k \rightarrow A0 в (L1)
m\times m, (24)
Bkx \rightarrow Bx в \BbbC m для кожного x \in
\bigl(
W 1
1
\bigr) m
. (25)
Нехай натуральне k \geq \widehat \varrho . Нагадаємо, що yk — єдиний розв’язок задачi (4), (5). Маємо
\| xk - y\| C \leq \| xk - yk\| C + \| yk - y\| C , де \| yk - y\| C \rightarrow 0, (26)
згiдно з теоремою 1 i неперервним вкладенням
\bigl(
W 1
1
\bigr) m
\lhook \rightarrow (C)m. Оцiнимо норму \| xk - yk\| C .
Позначимо через Yk матрицант системи (4), вiднесений до точки t = a, тобто матриця-
функцiя Yk \in
\bigl(
W 1
1
\bigr) m\times m
є розв’язком задачi Кошi
Y \prime
k(t) = - A0,k(t)Yk(t) для м.в. t \in [a, b], Yk(a) = Em, (27)
де Em — одинична матриця порядку m. Як вiдомо, числова матриця Yk(t) невироджена для
кожного t \in [a, b]. Позначимо через [BkYk] квадратну числову матрицю порядку m, довiльний
j -й стовпець якої є результатом дiї оператора Bk на j -й стовпець матрицанту Yk. Оскiльки за-
дача (7), (8) однозначно розв’язна, то матриця [BkYk] невироджена згiдно з формулою (1.7) [2].
Як вiдомо [2] (формула (1.26)), розв’язок xk крайової задачi (7), (8) зображується у виглядi
xk(t) = zk(t, qk) + Yk(t)hk(fk) +Rk(t, fk) для всiх t \in [a, b]. (28)
Тут
zk(t, qk) := Yk(t)[BkYk]
- 1qk, (29)
hk(fk) := - [BkYk]
- 1BkRk(\cdot , fk), (30)
де
Rk(t, fk) := Yk(t)
t\int
a
Y - 1
k (\tau )fk(\tau )d\tau = Fk(t) - Yk(t)
t\int
a
Y - 1
k (\tau )A0,k(\tau )Fk(\tau )d\tau . (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
348 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
Узявши fk = f i qk = q у формулах (29) – (31), отримаємо розклад
yk(t) = zk(t, q) + Yk(t)hk(f) +Rk(t, f) для всiх t \in [a, b]. (32)
Позначимо через Y матрицант системи (1), вiднесений до точки t = a. З властивостi
(24) на пiдставi теореми 2.3 [17] випливає, що Yk \rightarrow Y в
\bigl(
W 1
1
\bigr) m\times m
\lhook \rightarrow (C)m\times m (вкладення
неперервне). Тому Y - 1
k \rightarrow Y - 1 в (C)m\times m. Окрiм того,
[BkYk] = [Bk(Yk - Y )] + [BkY ] \rightarrow [BY ] в \BbbC m\times m
згiдно з (12) i (25). Матриця [BY ] невироджена, оскiльки задача (1), (2) однозначно розв’язна.
Тому [BkYk]
- 1 \rightarrow [BY ] - 1 в \BbbC m\times m. Отже, iснує цiле число \varrho 1 \geq \widehat \varrho таке, що
\| Yk\| C
\bigm\| \bigm\| [BkYk]
- 1
\bigm\| \bigm\| \leq 1 + \| Y \| C
\bigm\| \bigm\| [BY ] - 1
\bigm\| \bigm\| =: c1 при k \geq \varrho 1 (33)
i, крiм того,
\| Yk\| C
\bigm\| \bigm\| Y - 1
k
\bigm\| \bigm\|
C
\| A0,k\| 1 \leq 1 + \| Y \| C
\bigm\| \bigm\| Y - 1
\bigm\| \bigm\|
C
\| A0\| 1 =: c2 - 1 при k \geq \varrho 1 (34)
на пiдставi (24). Число \varrho 1 не залежить вiд правих частин задач (1), (2) i (7), (8).
Використавши умови (11), (12) i властивостi (33), (34), оцiнимо рiзницi вiдповiдних доданкiв
у розкладах (28) i (32). Нехай натуральне k \geq \varrho 1. Тодi
\| zk(\cdot , qk) - zk(\cdot , q)\| C = \| Yk(\cdot )[BkYk]
- 1(qk - q)\| C \leq c1\| qk - q\| < c1\varepsilon .
Крiм того,
\| Rk(\cdot , fk) - Rk(\cdot , f)\| C \leq \| Fk - F\| C + \| Yk\| C
\bigm\| \bigm\| Y - 1
k A0,k(Fk - F )
\bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq \| Fk - F\| C + \| Yk\| C
\bigm\| \bigm\| Y - 1
k
\bigm\| \bigm\|
C
\| A0,k\| 1 \| Fk - F\| C < c2\varepsilon , (35)
тому
\| Yk(\cdot )hk(fk) - Yk(\cdot )hk(f)\| C =
\bigm\| \bigm\| Yk(\cdot )[BkYk]
- 1Bk(Rk(\cdot , fk) - Rk(\cdot , f))
\bigm\| \bigm\|
C
\leq
\leq \| Yk\| C
\bigm\| \bigm\| [BkYk]
- 1
\bigm\| \bigm\| \sigma \| Rk(\cdot , fk) - Rk(\cdot , f)\| C < c1c2 \sigma \varepsilon . (36)
Таким чином,
\| xk - yk\| C \leq (c1 + c2 + c1c2 \sigma )\varepsilon =
\bigl(
(c1 + c2)\sigma
- 1 + c1c2
\bigr)
\sigma \varepsilon \leq \varkappa 0\sigma \varepsilon при k \geq \varrho 1,
де число
\varkappa 0 := (c1 + c2) \| B : (C)m \rightarrow \BbbC m\| - 1 + c1c2
залежить лише вiд A0 i B. Звiдси на пiдставi (26) робимо висновок, що \| xk - y\| C < (1+\varkappa 0)\sigma \varepsilon
при k \geq \varrho , де число \varrho \geq \varrho 1 задовольняє iмплiкацiю k \geq \varrho \Rightarrow \| yk - y\| C < \sigma \varepsilon i не залежить вiд
fk, qk. Залишилося покласти \varkappa := 1 + \varkappa 0.
Теорему 3 доведено у випадку r = 1.
Перейдемо до випадку r \geq 2. Зведемо крайовi задачi (1), (2) i (7), (8) до крайових задач
для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Почнемо з першої з них. Як звичайно,
покладемо g := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, f) \in (L1)
rm i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 349
P :=
\left(
Om - Em Om . . . Om
Om Om - Em . . . Om
...
...
...
. . .
...
Om Om Om . . . - Em
A0 A1 A2 . . . Ar - 1
\right)
\in (L1)
rm\times rm, (37)
де Om — квадратна нуль-матриця порядку m. Використавши зображення (18) крайового опе-
ратора B, покладемо
Tv :=
r - 2\sum
l=0
\alpha l v
l(a) +
b\int
a
(d\Phi (t)) vr - 1(t) для довiльного v \in (C)rm, (38)
де v = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
v0, . . . , vr - 1
\bigr)
i vl \in (C)m для кожного l \in \{ 0, . . . , r - 1\} . Маємо обмежений лiнiйний
оператор T : (C)rm \rightarrow \BbbC rm. Якщо y \in (W r
1 )
m є розв’язком задачi (1), (2), то вектор-функцiя
v = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
y, y\prime , . . . , y(r - 1)
\Bigr)
\in
\bigl(
W 1
1
\bigr) rm
(39)
є розв’язком задачi
v\prime (t) + P (t)v(t) = g(t) для м.в. t \in [a, b], (40)
Tv = q. (41)
Навпаки, якщо v \in
\bigl(
W 1
1
\bigr) rm
є розв’язком задачi (40), (41), то вектор-функцiя y := v0 належить
до простору
\bigl(
W r
1
\bigr) m
i є розв’язком задачi (1), (2), причому виконується рiвнiсть (39).
Аналогiчно зведемо кожну задачу (7), (8) до крайової задачi
u\prime k(t) + Pk(t)uk(t) = gk(t) для м.в. t \in [a, b], (42)
Tkuk = qk. (43)
Тут розв’язок uk \in
\bigl(
W 1
1
\bigr) rm
, gk := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, fk) \in (L1)
rm, матриця-функцiя Pk \in (L1)
rm\times rm
означена за формулою (37), у якiй кожне Aj замiнено на Aj,k. Обмежений лiнiйний оператор
Tk : (C)rm \rightarrow \BbbC rm означено подiбно до оператора T за допомогою однозначного зображення
оператора Bk у виглядi
Bkx =
r - 2\sum
l=0
\alpha l,k x
(l)(a) +
b\int
a
(d\Phi k(t))x
(r - 1)(t) для довiльного x \in
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
, (44)
де кожне \alpha l,k — деяка комплексна числова матриця розмiру (rm\times m), а \Phi k(t) — деяка матриця-
функцiя такого ж розмiру така, що кожний її елемент належить до \mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{V}. А саме
Tku :=
r - 2\sum
l=0
\alpha l,k u
l(a) +
b\int
a
(d\Phi k(t))u
r - 1(t) для довiльного u \in (C)rm, (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
350 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
де u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
u0, . . . , ur - 1
\bigr)
i ul \in (C)m для кожного l \in \{ 0, . . . , r - 1\} .
Якщо fk \rightarrow f в (L1)
m i qk \rightarrow q в \BbbC rm, то xk \rightarrow y в
\bigl(
W r
1
\bigr) m
згiдно з теоремою 2. Тому на
пiдставi теореми 2.3 [17] Ar - l,k \rightarrow Ar - l в (L1)
m\times m для кожного l \in \{ 1, . . . , r\} i Bkx \rightarrow Bx в
\BbbC rm для кожного x \in
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. Отже,
Pk \rightarrow P в (L1)
(rm\times rm) (46)
i, крiм того,
Bkx \rightarrow Bx в \BbbC rm для кожного x \in
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
(47)
з урахуванням умови (12) i щiльностi множини
\bigl(
W r
1
\bigr) m
у просторi
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
. Згiдно iз зобра-
женнями (18) i (44) властивiсть (47) еквiвалентна системi таких умов:
(i) \alpha l,k \rightarrow \alpha l в \BbbC (rm\times m) для кожного l \in \{ 0, . . . , r - 2\} ;
(ii) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \| V (\Phi k, [a, b])\| : k \geq \widetilde \varrho \} < \infty ;
(iii) \Phi k(b) \rightarrow \Phi (b) в \BbbC (rm\times m) ;
(iv)
\int t
a
\Phi k(s)ds \rightarrow
\int t
a
\Phi (s)ds в \BbbC (rm\times m) для кожного t \in (a, b].
Тут числова матриця V (\Phi k, [a, b]) утворена повними варiацiями елементiв матрицi-функцiї
\Phi k. Ця еквiвалентнiсть випливає з критерiю Ф. Рiсса слабкої збiжностi неперервних лiнiйних
функцiоналiв на просторi C (див., наприклад, [21], розд. III, п. 55). Отже, (47) обумовлює
збiжнiсть
Tku \rightarrow Tu в \BbbC rm для кожного u \in (C)rm. (48)
Розглянемо крайовi задачi (40), (41) i (42), (43), де k \geq \widetilde \varrho , для довiльних правих частин
g, gk \in (L1)
rm i q, qk \in \BbbC rm. Вони належать до класу задач, дослiджених у цiй роботi у випадку
r = 1. Вони однозначно розв’язнi у просторi
\bigl(
W 1
1
\bigr) rm
, оскiльки мають лише тривiальний
розв’язок у випадку нульових правих частин, що випливає з наших припущень про однозначну
розв’язнiсть крайових задач (1), (2) i (7), (8) у просторi
\bigl(
W r
1
\bigr) m
. З властивостей (46) i (48) згiдно
з теоремою 2.3 [17] випливає, що
(gk \rightarrow g в (L1)
rm) \wedge (qk \rightarrow q в \BbbC rm) =\Rightarrow
\bigl(
uk \rightarrow v в
\bigl(
W 1
1
\bigr) rm\bigr)
.
Зокрема, послiдовнiсть задач (42), (43) задовольняє висновок теореми 1, розглянутої для задачi
(40), (41).
З формул (44) i (45) випливає, що\bigm\| \bigm\| \bigm\| Bk :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \| Tk : (C)rm \rightarrow \BbbC rm\| \leq \theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Bk :
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m \rightarrow \BbbC rm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де \theta — деяке додатне число, яке може залежати лише вiд r, m i b - a. Отже, умова (12)
обумовлює нерiвнiсть
\| Tk : (C)rm \rightarrow \BbbC rm\| \leq \theta \sigma при k \geq \widehat \varrho . (49)
Нехай знову g = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, f) i gk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, fk). Тодi
v = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
y, y\prime , . . . , y(r - 1)
\Bigr)
i uk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
xk, x
\prime
k, . . . , x
(r - 1)
k
\Bigr)
(50)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 351
— розв’язки задач (40), (41) i (42), (43) вiдповiдно. На пiдставi теореми 3, вже доведеної для
цих задач, робимо висновок, що з умов (11) i (49) випливає iснування додатних чисел \varkappa 1 i
\varrho \geq \widehat \varrho таких, що
\| uk - v\| C < \varkappa 1\theta \sigma \varepsilon при k \geq \varrho . (51)
Тут \varkappa 1 залежить лише вiд P i T (тобто лише вiд L i B), а число \varrho можна вибрати незалежним
вiд gk (тобто вiд fk ) i qk. З формул (50) i (51) безпосередньо випливає нерiвнiсть (13), де
\varkappa := \varkappa 1\theta .
Теорему 3 доведено.
4. Прикiнцевi зауваження. 1. У доведеннi теореми 1 побудовано послiдовнiсть багатоточ-
кових крайових операторiв Bk вигляду (5), яка збiгається до оператора B у топологiї сильної
збiжностi неперервних лiнiйних операторiв на парi просторiв
\bigl(
C(r - 1)
\bigr) m
i \BbbC rm. Для рiвно-
мiрної збiжностi (тобто збiжностi за операторною нормою) таку апроксимуючу послiдовнiсть
побудувати, взагалi кажучи, неможливо. Справдi, з огляду на зображення оператора B у ви-
глядi (18) його апроксимацiя операторами Bk є по сутi апроксимацiєю пiдiнтегральної функцiї
\Phi кусково-сталими функцiями. Якщо, наприклад, r = 1, m = 1 i \Phi (t) \equiv t, то рiвномiрна
збiжнiсть Bk \rightrightarrows B рiвносильна тому, що повна варiацiя \mathrm{V}(\Phi k - \Phi , [a, b]) \rightarrow 0 для деякої по-
слiдовностi кусково-сталих функцiй \Phi k на [a, b]. Для розглянутої функцiї \Phi (t) \equiv t остання
збiжнiсть неможлива, оскiльки \mathrm{V}(\Phi k - \Phi , [a, b]) \geq b - a.
2. Нехай цiле r \geq 2. Молодшi частини багатоточкових крайових диференцiальних операто-
рiв Bk, побудованих у доведеннi теореми 1, не залежать вiд k i набирають вигляду
r - 2\sum
l=0
\alpha l y
(l)(a),
де числовi матрицi \alpha l взято iз зображення (18) крайового оператора B.
3. Вкажемо допустиме значення сталої \varkappa у теоремi 3. Як видно з її доведення, у випадку
r = 1 можна взяти
\varkappa := (c1 + c2)\lambda + c1c2 + 1, (52)
де
c1 := 1 + \| Y \| C\| [BY ] - 1\| ,
c2 := 2 + \| Y \| C
\bigm\| \bigm\| Y - 1
\bigm\| \bigm\|
C
\| A0\| 1,
\lambda := \| B : (C)m \rightarrow \BbbC m\| - 1 .
У випадку r \geq 2 сталу \varkappa можна означити за формулою (52), де
c1 := 1 + \| V \| C
\bigm\| \bigm\| [BV \circ ] - 1
\bigm\| \bigm\| ,
c2 := 2 + \| V \| C
\bigm\| \bigm\| V - 1
\bigm\| \bigm\|
C
(b - a+ \| Ar - 1\| 1),
\lambda :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B :
\Bigl(
C(r - 1)
\Bigr) m
\rightarrow \BbbC rm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| - 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
352 О. О. МУРАЧ, О. Б. ПЕЛЕХАТА, В. О. СОЛДАТОВ
Тут V — матрицант системи (40), вiднесений до точки t = a (тобто V \in (W 1
1 )
rm\times rm — розв’язок
задачi Кошi V \prime (t) = - P (t)V (t) для м.в. t \in [a, b], V (a) = Erm), V \circ — матриця-функцiя розмiру
m\times rm, утворена першими m рядками матрицi-функцiї V (всi елементи матрицi V \circ належать
до простору W r
1 з огляду на (37)). Безпосереднє використання доведення теореми 3 у випадку
r \geq 2 приводить до грубої оцiнки \varkappa зверху. Проте, аналiзуючи доведення у випадку r = 1
щодо зведених крайових задач (40), (41) i (42), (43), приходимо до вказаного результату. При
цьому використовуємо такi факти:
3.1. Оскiльки усi стовпцi матрицанту V мають вигляд (50), то [BV \circ ] = [TV ] для оператора
T, означеного за формулою (38), що i дає оцiнку \| zk(\cdot , qk) - zk(\cdot , q)\| C \leq c1\varepsilon при k \gg 1.
3.2. Оцiнка (35) для зведених крайових задач набирає вигляду
\| Rk(\cdot , gk) - Rk(\cdot , g)\| C \leq \| Gk - G\| C + \| Vk\| C
\bigm\| \bigm\| V - 1
k Pk(Gk - G)
\bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq \| Fk - F\| C + \| Vk\| C
\bigm\| \bigm\| V - 1
k
\bigm\| \bigm\|
C
\| Pk(Gk - G)\| 1 =
= \| Fk - F\| C + \| Vk\| C
\bigm\| \bigm\| V - 1
k
\bigm\| \bigm\|
C
(\| F - Fk\| 1 + \| Ar - 1,k(Fk - F )\| 1) \leq
\leq \| Fk - F\| C + \| Vk\| C
\bigm\| \bigm\| V - 1
k
\bigm\| \bigm\|
C
(b - a+ \| Ar - 1,k\| 1)\| Fk - F\| C < c2\varepsilon
при k \gg 1. Тут Vk — матрицант системи (42), вiднесений до точки t = a, та Gk := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, Fk)
i G := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (0, F ) — вектор-функцiї вимiрностi rm.
3.3. Оцiнка (36) для зведених крайових задач набирає вигляду
\| Vk(\cdot )hk(gk) - Vk(\cdot )hk(g)\| C =
\bigm\| \bigm\| Vk(\cdot )[TkVk]
- 1Tk(Rk(\cdot , gk) - Rk(\cdot , g))
\bigm\| \bigm\|
C
=
=
\bigm\| \bigm\| Vk(\cdot )[BkV
\circ
k ]
- 1Bk (R
\circ
k(\cdot , gk) - R\circ
k(\cdot , g))
\bigm\| \bigm\|
C
\leq
\leq \| Vk\| C
\bigm\| \bigm\| [BkV
\circ
k ]
- 1
\bigm\| \bigm\| \sigma \| R\circ
k(\cdot , gk) - R\circ
k(\cdot , g)\| (r - 1) < c1c2 \sigma \varepsilon
при k \gg 1. Тут матриця-функцiя V \circ
k утворена першими m рядками матрицi-функцiї Vk, а
вектор-функцiя R\circ
k(\cdot , \cdot ) — першими m компонентами вектор-функцiї Rk(\cdot , \cdot ), причому з огляду
на формули (28) i (32) для зведених задач вектор-функцiї Rk(\cdot , gk) i Rk(\cdot , g) мають вигляд (50).
Лiтература
1. И. Т. Кигурадзе, Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений,
Изд-во Тбил. ун-та, Тбилиси (1975).
2. I. T. Kiguradze, Boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, J. Soviet Math., 43, 2259 –
2339 (1988).
3. I. T. Kiguradze, On boundary value problems for linear differential systems with singularities, Different. Equat., 39,
№ 2, 212 – 225 (2003).
4. M. Ashordia, Criteria of correctness of linear boundary value problems for systems of generalized ordinary differential
equations, Czechoslovak Math. J., 46, № 3, 385 – 404 (1996).
5. В. А. Михайлец, Н. В. Рева, Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых задач, Доп.
НАН України, № 9, 23 – 27 (2008).
6. T. I. Kodlyuk (Kodliuk), V. A. Mikhailets, N. V. Reva, Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems,
Ukr. Math. J., 65, № 1, 77 – 90 (2013).
7. V. A. Mikhailets, G. A. Chekhanova, Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems, J. Math.
Sci. (N. Y.), 204, № 3, 333 – 342 (2015).
8. V. A. Mikhailets, O. B. Pelekhata, N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of boundary-value problems, Ukr.
Math. J., 70, № 2, 243 – 251 (2018).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 353
9. O. B. Pelekhata, N. V. Reva, Limit theorems for the solutions of linear boundary-value problems for systems of
differential equations, Ukr. Math. J., 71, № 7, 1061 – 1070 (2019).
10. В. А. Михайлец, Н. В. Рева, Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений, Доп.
НАН України, № 8, 28 – 30 (2008).
11. T. I. Kodliuk, V. A. Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces, J. Math. Sci. (N. Y.), 190, № 4, 589 – 599 (2013).
12. E. V. Gnyp, T. I. Kodlyuk (Kodliuk), V. A. Mikhailets, Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev
spaces, Ukr. Math. J., 67, № 5, 658 – 667 (2015).
13. V. O. Soldatov, On the continuity in a parameter for the solutions of boundary-value problems total with respect to
the spaces C(n+r)[a, b], Ukr. Math. J., 67, № 5, 785 – 794 (2015).
14. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. O. Soldatov, Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems, Electron. J. Qual. Theory Different. Equat., № 87, 1 – 16 (2016).
15. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. O. Soldatov, A criterion for continuity in a parameter of solutions to generic
boundary-value problems for higher-order differential systems, Methods Funct. Anal. and Topology, 22, № 4, 375 – 386
(2016).
16. E. V. Gnip (Gnyp), Continuity with respect to the parameter of the solutions of one-dimensional boundary-value
problems in Slobodetskii spaces, Ukr. Math. J., 68, № 6, 849 – 861 (2016).
17. E. Hnyp (Gnyp), V. Mikhailets, A. Murach, Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in
Sobolev spaces, Electron. J. Different. Equat., № 81, 1 – 13 (2017).
18. H. Masliuk, O. Pelekhata, V. Soldatov, Approximation properties of multipoint boundary-value problems, Methods
Funct. Anal. and Topology, 26, № 2, 119 – 125 (2020).
19. N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators. Pt I. General theory, Intersci., New York (1958).
20. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis, Acad. Press, New York (1980).
21. F. Riesz, B. Sz-Nagy, Functional analysis, Dover Publ. Inc., New York (1990).
Одержано 30.12.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-6505 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:30Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d2/8748f42aded9cdec22d0994fb15defd2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65052025-03-31T08:48:21Z Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems Апроксимативні властивості розв’язків багатоточкових крайових задач Апроксимативні властивості розв’язків багатоточкових крайових задач Murach, A. A. Pelekhata, O. B. Soldatov, V. O. Мурач, А. А. Пелехатая, О. Б. Солдатов, В. О. Мурач, О. О. Пелехата, О. Б. Солдатов, В. О. UDC 517.927 We consider a wide class of linear boundary-value problems for systems of $m$ ordinary differential equations of order $r$ known as the general boundary-value problems. Their solutions $y\colon[a,b]\to \mathbb{C}^{m}$ belong to the Sobolev space $(W_1^{r})^m,$ and the boundary conditions are given in the form $By=q$ where $B\colon(C^{(r-1)})^{m}\to\mathbb{C}^{rm}$ is an arbitrary continuous linear operator. For such a problem, we prove that its solution can be approximated in $(W_1^{r})^m$ with arbitrary precision by solutions to multipoint boundary-value problems with the same right-hand sides. These multipoint problems are built explicitly and do not depend on the right-hand sides of the general boundary-value problem. For these problems, we obtain estimates of error of solutions in the normed spaces $(W_1^{r})^m$ and $(C^{(r-1)})^{m}.$ &nbsp; Рассмотрен широкий класс линейных краевых задач для систем $m$ обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $r$, так называемые общие краевые задачи. Их решения $y:[a,b]\to \mathbb{C}^{m}$ принадлежат пространству Соболева $(W_1^{r})^m$, а краевые условия задаются в виде $By=q$, где $B:(C^{(r-1)})^{m}\to\mathbb{C}^{rm}$ — произвольный непрерывный линейный оператор. Доказано, что решение такой задачи можно с произвольной точностью аппроксимировать в $(W_1^{r})^m$ решениями многоточечных краевых задач с теми же правыми частями. Эти многоточечные задачи строятся явно и не зависят от правых частей общей краевой задачи. Для этих задач получены оценки погрешности решений в нормированных пространствах $(W_1^{r})^m$ и $(C^{(r-1)})^{m}$. УДК 517.927 Розглянуто широкий клас лінійних крайових задач для систем $m$ звичайних диференціальних рівнянь порядку $r$ — так звані загальні крайові задачі.Їхні розв'язки $y\colon[a,b]\to\mathbb{C}^{m}$ належать до простору Соболєва $(W_1^{r})^m,$ а крайові умови задаються у вигляді $By=q,$ де$B\colon\big(C^{(r-1)}\big)^{m}\to\mathbb{C}^{rm}$ — довільний неперервний лінійний оператор.Доведено, що розв'язок такої задачі можна з довільною точністю апроксимувати в $\big(W_1^{r}\big)^m$ розв'язками багатоточкових крайових задач із тими ж правими частинами.Ці багатоточкові задачі будуються явно та не залежать від правих частин загальної крайової задачі.Для цих задач отримано оцінки похибки розв'язків у нормованих просторах $\big(W_1^{r}\big)^m$ і $\big(C^{(r-1)}\big)^{m}.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-03-11 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6505 10.37863/umzh.v73i3.6505 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 3 (2021); 341 - 353 Український математичний журнал; Том 73 № 3 (2021); 341 - 353 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6505/8980 Copyright (c) 2021 Віталій Солдатов, Олександр Мурач, Ольга Пелехата |
| spellingShingle | Murach, A. A. Pelekhata, O. B. Soldatov, V. O. Мурач, А. А. Пелехатая, О. Б. Солдатов, В. О. Мурач, О. О. Пелехата, О. Б. Солдатов, В. О. Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title | Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title_alt | Апроксимативні властивості розв’язків багатоточкових крайових задач Апроксимативні властивості розв’язків багатоточкових крайових задач |
| title_full | Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title_fullStr | Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title_short | Approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| title_sort | approximation properties of solutions to multipoint boundary-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6505 |
| work_keys_str_mv | AT murachaa approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT pelekhataob approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT soldatovvo approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT muračaa approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT pelehataâob approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT soldatovvo approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT muračoo approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT pelehataob approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT soldatovvo approximationpropertiesofsolutionstomultipointboundaryvalueproblems AT murachaa aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT pelekhataob aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT soldatovvo aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT muračaa aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT pelehataâob aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT soldatovvo aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT muračoo aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT pelehataob aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT soldatovvo aproksimativnívlastivostírozvâzkívbagatotočkovihkrajovihzadač |