Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends
УДК 517.5For mappings with branching points that satisfy the Poletsky inverse inequality, we obtain some results related to their continuous boundary extension in terms of prime ends. Under certain conditions, the specified classes of mappings are also equicontinuous in the closure of a given domain...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6507 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512420893556736 |
|---|---|
| author | Sevost’yanov , E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. |
| author_facet | Sevost’yanov , E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. |
| author_sort | Sevost’yanov , E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:53Z |
| description | УДК 517.5For mappings with branching points that satisfy the Poletsky inverse inequality, we obtain some results related to their continuous boundary extension in terms of prime ends. Under certain conditions, the specified classes of mappings are also equicontinuous in the closure of a given domain. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i7.6507 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i7.6507
УДК 517.5
Є. О. Севостьянов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка;
Iн-т прикл. математики i механiки НАН України, Слов’янськ)
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ
З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО ПО ПРОСТИХ КIНЦЯХ
For mappings with branching points that satisfy the Poletsky inverse inequality, we obtain some results related to their
continuous boundary extension in terms of prime ends. Under certain conditions, the specified classes of mappings are also
equicontinuous in the closure of a given domain.
Для вiдображень iз розгалуженням, якi задовольняють обернену нерiвнiсть Полецького, отримано результати про
їхнє неперервне межове продовження в термiнах простих кiнцiв. За певних умов вказанi класи вiдображень є також
одностайно неперервними в замиканнi заданої областi.
1. Вступ. Дану статтю присвячено подальшому розвитку теорiї вiдображень методом моду-
лiв у межах загальної геометричної теорiї функцiй (див., наприклад, [1 – 5]). У роботах [6 – 8]
отримано неперервне продовження на межу й одностайну неперервнiсть гомеоморфiзмiв, обер-
ненi до яких задовольняють певну оцiнку спотворення модуля сiмей кривих. Тут розглянуто
областi з поганими межами, вiдносно яких вiдображення не має звичайного неперервного про-
довження, але має його в сенсi так званих простих кiнцiв. Основна iдея даної статтi полягає
в доведеннi аналогiчних тверджень не тiльки для гомеоморфiзмiв, а й для доволi широкого
класу вiдображень iз розгалуженням. Умови на вiдображення сформульовано таким чином,
щоб основнi твердження робiт [6 – 8] можна було iнтерпретувати як наслiдки з отриманих далi
результатiв. Зауважимо, що отримати новi результати по аналогiї з попереднiми неможливо,
оскiльки їхня методологiя iстотно спиралася на наявнiсть у вiдображення оберненого до ньо-
го. З приводу неперервного продовження квазiконформних вiдображень i їхнiх узагальнень по
простих кiнцях див., наприклад, [9 – 12].
Наведемо деякi означення. Нехай y0 \in \BbbR n, 0 < r1 < r2 < \infty i
A(y0, r1, r2) = \{ y \in \BbbR n : r1 < | y - y0| < r2\} , (1)
B(y0, r) =
\bigl\{
y \in \BbbR n : | y - y0| < r
\bigr\}
, S(y0, r) =
\bigl\{
y \in \BbbR n : | y - y0| = r
\bigr\}
.
Якщо f : D \rightarrow \BbbR n — задане вiдображення, y0 \in f(D) i 0 < r1 < r2 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}y\in f(D) | y -
- y0| , то через \Gamma f (y0, r1, r2) позначимо сiм’ю всiх кривих \gamma в областi D таких, що f(\gamma ) \in
\in \Gamma (S(y0, r1), S(y0, r2), A(y0, r1, r2)). Нехай Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — вимiрна за Лебегом функцiя.
Будемо говорити, що f задовольняє обернену нерiвнiсть Полецького в точцi y0 \in f(D), якщо
спiввiдношення
M(\Gamma f (y0, r1, r2)) \leq
\int
f(D)\cap A(y0,r1,r2)
Q(y)\eta n(| y - y0| ) dm(y) (2)
виконується для довiльної вимiрної за Лебегом функцiї \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такої, що
c\bigcirc Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7 951
952 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
r2\int
r1
\eta (r) dr \geq 1. (3)
Зауважимо, що нерiвностi (2) добре вiдомi в теорiї квазiрегулярних вiдображень i викону-
ються для них при Q = N(f,D)K, де N(f,D) — максимальна кратнiсть вiдображення f
в D, а K \geq 1 — деяка стала, яку можна обчислити як K = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}KO(x, f), KO(x, f) =
= \| f \prime (x)\| n/| J(x, f)| при J(x, f) \not = 0, KO(x, f) = 1 при f \prime (x) = 0 i KO(x, f) = \infty при
f \prime (x) \not = 0, але J(x, f) = 0 (див., наприклад, [13], теорема 3.2, або [14], теорема 6.7.II). Вi-
дображення f : D \rightarrow \BbbR n називається дискретним, якщо прообраз
\bigl\{
f - 1(y)
\bigr\}
кожної точки
y \in \BbbR n складається з iзольованих точок, i вiдкритим, якщо образ будь-якої вiдкритої множини
U \subset D є вiдкритою множиною в \BbbR n. Вiдображення f областi D на область D\prime називається
замкненим, якщо f(E) є замкненим в D\prime для будь-якої замкненої множини E \subset D (див.,
наприклад, [15], розд. 3).
Нехай \omega — вiдкрита множина в \BbbR k, k = 1, . . . , n - 1. Неперервне вiдображення \sigma : \omega \rightarrow \BbbR n
називається k-вимiрною поверхнею в \BbbR n . Поверхнею будемо називати довiльну (n - 1)-вимiрну
поверхню \sigma в \BbbR n. Поверхня \sigma називається жордановою поверхнею, якщо \sigma (x) \not = \sigma (y) при
x \not = y . Далi ми iнодi будемо використовувати \sigma для позначення всього образу \sigma (\omega ) \subset \BbbR n
при вiдображеннi \sigma , \sigma замiсть \sigma (\omega ) в \BbbR n i \partial \sigma замiсть \sigma (\omega ) \setminus \sigma (\omega ). Жорданова поверхня \sigma :
\omega \rightarrow D в областi D називається розрiзом областi D, якщо \sigma роздiляє D, тобто D \setminus \sigma має
бiльше однiєї компоненти, \partial \sigma \cap D = \varnothing i \partial \sigma \cap \partial D \not = \varnothing .
Послiдовнiсть \sigma 1, \sigma 2, . . . , \sigma m, . . . розрiзiв областi D називається ланцюгом, якщо:
(i) множина \sigma m+1 мiститься в точностi в однiй компонентi dm множини D\setminus \sigma m, при цьому
\sigma m - 1 \subset D \setminus (\sigma m \cup dm);
(ii)
\infty \bigcap
m=1
dm = \varnothing .
З означення ланцюга розрiзiв випливає, що d1 \supset d2 \supset d3 \supset . . . \supset dm - 1 \supset dm \supset dm+1 \supset . . . .
Два ланцюги розрiзiв \{ \sigma m\} i \{ \sigma \prime
k\} називаються еквiвалентними, якщо для кожного m = 1, 2, . . .
область dm мiстить всi областi d\prime k, за винятком скiнченної кiлькостi, i для кожного k = 1, 2, . . .
область d\prime k також мiстить всi областi dm, за винятком скiнченної кiлькостi.
Кiнець областi D — це клас еквiвалентних ланцюгiв розрiзiв областi D. Нехай K — кiнець
областi D в \BbbR n, тодi множина I(K) =
\infty \bigcap
m=1
dm називається тiлом кiнця K . Скрiзь далi, як
зазвичай, \Gamma (E,F,D) позначає сiм’ю всiх таких кривих \gamma : [a, b] \rightarrow D, що \gamma (a) \in E i \gamma (b) \in F,
крiм того, M(\Gamma ) позначає модуль сiм’ї кривих \Gamma в \BbbR n, а запис \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma означає, що функцiя
\rho борелева, невiд’ємна i має довжину, не меншу за одиницю в метрицi \rho (див. [12, 16]). Наслi-
дуючи [12], будемо говорити, що кiнець K є простим кiнцем, якщо K мiстить ланцюг розрiзiв
\{ \sigma m\} такий, що M(\Gamma (\sigma m, \sigma m+1, D)) < \infty при всiх m \in \BbbN i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty M
\bigl(
\Gamma (C, \sigma m, D)
\bigr)
= 0 для
деякого континуума C в D. Далi будемо використовувати такi позначення: множина простих
кiнцiв, що вiдповiдають областi D, позначається символом ED, а поповнення областi D її
простими кiнцями — символом DP . Будемо говорити, що межа областi D в \BbbR n є локально
квазiконформною, якщо кожна точка x0 \in \partial D має окiл U в \BbbR n, який можна вiдобразити ква-
зiконформним вiдображенням \varphi на одиничну кулю \BbbB n := B(0, 1) \subset \BbbR n так, що \varphi (\partial D \cap U) є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 953
перетином \BbbB n з координатною гiперплощиною. Для множин E \subset \BbbR n i A,B \subset \BbbR n покладемо
d(E) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x,y\in E
| x - y| , d(A,B) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in A,y\in B
| x - y| .
Наведемо таке означення (див. [10, 11]). Будемо називати ланцюг розрiзiв \{ \sigma m\} регулярним,
якщо \sigma m \cap \sigma m+1 = \varnothing при кожному m \in \BbbN i, крiм того, d(\sigma m) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . Якщо кiнець
K мiстить принаймнi один регулярний ланцюг, то K будемо називати регулярним. Говоримо,
що обмежена область D в \BbbR n регулярна, якщо D може бути квазiконформно вiдображена на
область з локально квазiконформною межею, замикання якої є компактом в \BbbR n, крiм того, кожен
простий кiнець P \subset ED є регулярним. Зауважимо, що у просторi \BbbR n кожний простий кiнець
регулярної областi мiстить ланцюг розрiзiв iз властивiстю d(\sigma m) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty i, навпаки,
якщо кiнець має вказану властивiсть, то вiн є простим (див. [17], лема 3.1, а також [12], тео-
рема 5.1). Крiм того, замикання DP регулярної областi D є метризовним, при цьому якщо g :
D0 \rightarrow D — квазiконформне вiдображення областi D0 з локально квазiконформною межею на
область D, то для x, y \in DP покладемо
\rho (x, y) :=
\bigm| \bigm| g - 1(x) - g - 1(y)
\bigm| \bigm| , (4)
де для x \in ED елемент g - 1(x) розумiється як деяка (єдина) точка межi D0, коректно визначена
з огляду на [17] (теорема 2.1) (див. також [12], теорема 4.1). Зокрема, будемо говорити, що
послiдовнiсть xm \in D, m = 1, 2, . . . , збiгається до простого кiнця P \in ED при m \rightarrow \infty , якщо
для будь-якого натурального k \in \BbbN всi елементи послiдовностi xm, крiм скiнченної кiлькостi,
належать областi dk (де dk, k = 1, 2, . . . , — послiдовнiсть вкладених областей з означення
простого кiнця P ). Межа областi D називається слабко плоскою в точцi x0 \in \partial D, якщо для
кожного P > 0 i будь-якого околу U точки x0 знайдеться окiл V \subset U цiєї ж самої точки
такий, що M
\bigl(
\Gamma (E,F,D)
\bigr)
> P для будь-яких континуумiв E,F \subset D, якi перетинають \partial U i
\partial V. Межа областi D називається слабко плоскою, якщо вiдповiдна властивiсть виконується в
будь-якiй точцi межi D. Справедливим є такий результат.
Теорема 1. Нехай D \subset \BbbR n, n \geq 2, — область, яка має слабко плоску межу, а область
D\prime \subset \BbbR n є регулярною. Припустимо, що f — вiдкрите дискретне i замкнене вiдображення
областi D на D\prime , що задовольняє спiввiдношення (2) в кожнiй точцi y0 \in D\prime , де Q \in L1(D\prime ).
Тодi вiдображення f має неперервне продовження до вiдображення f : D \rightarrow D\prime
P , причому
f(D) = D\prime
P .
Справедливим також є результат про одностайну неперервнiсть сiмей вiдображень вигля-
ду (2) в замиканнi даної областi. З метою формулювання вiдповiдного результату розгляне-
мо такi означення. Нехай h — хордальна вiдстань в \BbbR n (див., наприклад, означення 12.1
в [16]). У подальшому для множин A,B \subset \BbbR n покладемо h(A,B) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x\in A,y\in B h(x, y),
h(A) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,y\in A h(x, y). Для числа \delta > 0, областей D,D\prime \subset \BbbR n, n \geq 2, континуума A \subset D\prime i
довiльної вимiрної за Лебегом функцiї Q : D\prime \rightarrow [0,\infty ] позначимо через S\delta ,A,Q(D,D\prime ) сiм’ю
всiх вiдкритих дискретних i замкнених вiдображень f областi D на D\prime , що задовольняють
умову (2) для кожного y0 \in D\prime , i таких, що h(f - 1(A), \partial D) \geq \delta . Справджується таке тверд-
ження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
954 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Теорема 2. Припустимо, що область D має слабко плоску межу. Якщо Q \in L1(D\prime ) i
область D\prime є регулярною, то будь-яке f \in S\delta ,A,Q(D,D\prime ) неперервно продовжується до вi-
дображення f : D \rightarrow D\prime
P , причому f(D) = D\prime
P i сiм’я S\delta ,A,Q(D,D\prime ), яка складається з усiх
продовжених вiдображень f : D \rightarrow D\prime
P , одностайно неперервна в D.
Зауважимо, що для випадку гарних меж теореми 1 i 2 доведено в роботi [18] (теореми 1.1 i
1.2), а для випадку гомеоморфiзмiв — у [8] (теорема 1.1).
2. Доведення теореми 1. Зафiксуємо довiльним чином точку x0 \in \partial D. Необхiдно пока-
зати можливiсть неперервного продовження вiдображення f в точку x0. Використовуючи при
необхiдностi мебiусове перетворення \varphi : \infty \mapsto \rightarrow 0 i враховуючи iнварiантнiсть модуля M у лiвiй
частинi спiввiдношення (2) (див. [16], теорема 8.1), можемо вважати, що x0 \not = \infty .
Припустимо, що висновок про неперервне продовження вiдображення f в точку x0 не
є правильним. Тодi будь-який простий кiнець P0 \in ED\prime не є границею f в точцi x0, тобто
знайдуться послiдовнiсть xk \rightarrow x0 при k \rightarrow \infty i число \varepsilon 0 > 0 такi, що \rho (f(xk), P0) \geq \varepsilon 0 при
всiх k \in \BbbN , де \rho — одна з метрик у (4). Оскiльки за умовою область D\prime є регулярною, її мож-
на вiдобразити на обмежену область D\ast з локально квазiконформною межею за допомогою
деякого квазiконформного вiдображення h : D\prime \rightarrow D\ast . Оскiльки мiж точками межi областей
з локально квазiконформними межами i їхнiми простими кiнцями є взаємно однозначна вiд-
повiднiсть (див. [17], теорема 2.1, а також [12], теорема 4.1) i за умовою D\ast є компактом в
\BbbR n, метричний простiр (D\prime
P , \rho ) є компактним. Отже, можна вважати, що f(xk) збiгається до
якогось елемента P1 \not = P0, P1 \in D\prime
P при k \rightarrow \infty . Оскiльки, за припущенням, вiдображення f
не має границi в точцi x0, iснує принаймнi ще одна послiдовнiсть yk \rightarrow x0 при k \rightarrow \infty така,
що \rho (f(yk), P1) \geq \varepsilon 1 при всiх k \in \BbbN i деякому \varepsilon 1 > 0. Знову-таки, оскiльки метричний простiр
(D\prime
P , \rho ) є компактним, можемо вважати, що f(yk) \rightarrow P2 при k \rightarrow \infty , P1 \not = P2, P2 \in D\prime
P .
Оскiльки вiдображення f замкнене, воно зберiгає межу областi (див. [15], теорема 3.3). Отже,
P1, P2 \in ED\prime .
Нехай \sigma m i \sigma \prime
m, m = 0, 1, 2, . . . , — послiдовностi розрiзiв, якi вiдповiдають простим кiнцям
P1 i P2 вiдповiдно. Нехай також розрiзи \sigma m, m = 0, 1, 2, . . . , лежать на сферах S(z0, rm) iз
центром у деякiй точцi z0 \in \partial D\prime , де rm \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty (така послiдовнiсть \sigma m iснує
за лемою 3.1 [17], див. також [11], лема 1). Нехай dm i gm, m = 0, 1, 2, . . . , — вiдповiднi
послiдовностi областей в D\prime , що вiдповiдають розрiзам \sigma m i \sigma \prime
m вiдповiдно. З огляду на те, що
простiр (D\prime
P , \rho ) є метричним, можна вважати, що всi dm i gm не перетинаються мiж собою
для кожного m = 0, 1, 2, . . . , зокрема
d0 \cap g0 = \varnothing . (5)
Оскiльки f(xk) збiгається до P1 при k \rightarrow \infty , то для кожного m \in \BbbN iснує k = k(m) :
f(xk) \in dm при k \geq k = k(m). Шляхом перенумерацiї послiдовностi xk в разi необхiдностi
ми можемо досягти того, щоб f(xk) \in dk при кожному натуральному k. Аналогiчно, можна
вважати, що f(yk) \in gk при всiх k \in \BbbN . Зафiксуємо точки f(x1) i f(y1). Оскiльки, за означен-
ням простого кiнця,
\infty \bigcap
k=1
dk =
\infty \bigcap
l=1
gl = \varnothing , iснують номери k1 i k2 \in \BbbN такi, що f(x1) \not \in dk1
i f(y1) \not \in gk2 . Зважаючи на те, що, за означенням, послiдовностi областей dk \subset dk0 при всiх
k \geq k1 i gk \subset gk2 при k \geq k2, маємо
f(x1) \not \in dk, f(y1) \not \in gk, k \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ k1, k2\} . (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 955
x0
z0P1
P2
R0
D
f
f(D) = D′
yk
βk
αk
xk
Γ(αk, βk, D)
σk
γk
σ1σ0
γk
f(xk)
f(yk)
′
Рис. 1
Нехай \gamma k — крива, що з’єднує f(x1) i f(xk) в областi d1, а \gamma \prime k — крива, що з’єднує f(y1)
i f(yk) в областi g1. Нехай також \alpha k i \beta k — повнi f -пiдняття кривих \gamma k i \gamma \prime k в областi
D з початком у точках xk i yk вiдповiдно (такi пiдняття iснують за лемою 3.7 [15], див.
рис. 1). Зауважимо, що у точок f(x1) i f(y1) в областi D може бути не бiльше скiнченного
числа прообразiв при вiдображеннi f (див. [15], лема 3.2). Тодi знайдеться таке R0 > 0, що
\alpha k(1), \beta k(1) \in D\setminus B(x0, R0) при всiх k = 1, 2, . . . . Оскiльки межа областi D є слабко плоскою,
для кожного P > 0 знайдеться таке k = kP \geq 1, що
M(\Gamma (| \alpha k| , | \beta k| , D)) > P \forall k \geq kP . (7)
Покажемо, що умова (7) суперечить (2). Справдi, нехай \gamma \in \Gamma (| \alpha k| , | \beta k| , D), тодi \gamma : [0, 1] \rightarrow D,
\gamma (0) \in | \alpha k| i \gamma (1) \in | \beta k| . Зокрема, f(\gamma (0)) \in | \gamma k| i f(\gamma (1)) \in | \gamma \prime k| . В такому випадку зi
спiввiдношень (5) i (7) випливає, що | f(\gamma )| \cap d1 \not = \varnothing \not = | f(\gamma )| \cap (D\prime \setminus d1) при k \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ k1, k2\} . З
огляду на теорему 1.I.5.46 [19] | f(\gamma )| \cap \partial d1 \not = \varnothing , тобто | f(\gamma )| \cap S(z0, r1) \not = \varnothing , бо \partial d1\cap D\prime \subset \sigma 1 \subset
\subset S(z0, r1) за визначенням розрiзу \sigma 1. Нехай t1 \in (0, 1) таке, що f(\gamma (t1)) \in S(z0, r1) i f(\gamma )| 1 :=
:= f(\gamma )| [t1,1]. Без обмеження загальностi можна вважати, що f(\gamma )| 1 \subset \BbbR n\setminus B(z0, r1). Мiркуючи
так само для кривої f(\gamma )| 1, можна знайти таку точку t2 \in (t1, 1), що f(\gamma (t2)) \in S(z0, r0).
Покладемо f(\gamma )| 2 := f(\gamma )| [t1,t2]. Тодi крива f(\gamma )| 2 є пiдкривою кривої f(\gamma ) i, крiм того,
f(\gamma )| 2 \in \Gamma (S(z0, r1), S(z0, r0), D
\prime ). Без обмеження загальностi можна вважати, що f(\gamma )| 2 \subset
\subset B(z0, r0). Тодi \Gamma (| \alpha k| , | \beta k| , D) > \Gamma f (z0, r1, r0). З останнього спiввiдношення по мiноруванню
модуля (див., наприклад, [20], теорема 1(c)) маємо
M(\Gamma (| \alpha k| , | \beta k| , D)) \leq M(\Gamma f (z0, r1, r0)). (8)
Покладемо \eta (t) =
\left\{
1
r0 - r1
, t \in [r1, r0],
0, t \not \in [r1, r0].
Зауважимо, що \eta задовольняє спiввiдношення (3)
при r1 := r1 i r2 := r0. Тодi з (2) i (8) отримуємо
M(\Gamma (| \alpha k| , | \beta k| , D)) \leq 1
(r0 - r1)n
\int
D\prime
Q(y) dm(y) := c < \infty \forall k \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ k1, k2\} , (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
956 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
x2
x0
x1
d1
y0d2
xm
ymgk0
dk0
y2 y1
g1
g2
D
γ2,m
γ1,m
Рис. 2
оскiльки Q \in L1(D\prime ). Спiввiдношення (9) суперечить умовi (7). Отримана суперечнiсть спро-
стовує припущення про вiдсутнiсть границi вiдображення f в точцi x0.
Залишилось перевiрити рiвнiсть f(D) = D\prime
P . Очевидно, що f(D) \subset D\prime
P . Покажемо, що
D\prime
P \subset f(D). Справдi, нехай y0 \in D\prime
P , тодi або y0 \in D\prime , або y0 \in ED\prime . Якщо y0 \in D\prime , то
y0 = f(x0) i y0 \in f(D), оскiльки за умовою f — вiдображення областi D на D\prime . Нарештi,
нехай y0 \in ED\prime , тодi внаслiдок регулярностi областi D\prime знайдеться така послiдовнiсть yk \in D\prime ,
що \rho (yk, y0) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , yk = f(xk) i xk \in D, де \rho — одна з можливих метрик у D\prime
P .
Через компактнiсть простору \BbbR n можемо вважати, що xk \rightarrow x0, де x0 \in D. Зазначимо, що
x0 \in \partial D, оскiльки вiдображення f є вiдкритим. Тодi f(x0) = y0 \in f(\partial D) \subset f(D).
Теорему 1 доведено.
3. Допомiжнi леми. Наступну лему доведено у [8] (лема 2.1, див. також [7], лема 2.1).
Лема 1. Нехай D\prime \subset \BbbR n, n \geq 2, — регулярна область i xm \rightarrow P1, ym \rightarrow P2 при m \rightarrow \infty ,
P1, P2 \in D\prime
P , P1 \not = P2. Припустимо, що dm, gm, m = 1, 2, . . . , — двi послiдовностi спадних
областей, якi вiдповiдають P1 i P2, d1 \cap g1 = \varnothing i x0, y0 \in D\prime \setminus (d1 \cup g1). Тодi iснують як
завгодно великi номери k0 \in \BbbN , M0 = M0(k0) \in \BbbN i 0 < t1 = t1(k0), t2 = t2(k0) < 1, для яких
виконується така умова: для будь-якого m \geq M0 знайдуться неперетиннi кривi
\gamma 1,m(t) =
\left\{ \widetilde \alpha (t), t \in [0, t1],
\widetilde \alpha m(t), t \in [t1, 1],
\gamma 2,m(t) =
\left\{
\widetilde \beta (t), t \in [0, t2],\widetilde \beta m(t), t \in [t2, 1],
такi, що:
1) \gamma 1,m(0) = x0, \gamma 1,m(1) = xm, \gamma 2,m(0) = y0 i \gamma 2,m(1) = ym;
2) | \gamma 1,m| \cap gk0 = \varnothing = | \gamma 2,m| \cap dk0 ;
3) \widetilde \alpha m(t) \in dk0+1 при t \in [t1, 1] i \widetilde \beta m(t) \in gk0+1 при t \in [t2, 1] (див. рис. 2).
Нехай \gamma 1,m i \gamma 2,m — кривi з леми 1, а | \gamma 1,m| i | \gamma 2,m| — їхнi образи в \BbbR n вiдповiдно. Наступне
твердження доведено у [8] (лема 2.2) для випадку гомеоморфiзмiв.
Лема 2. Нехай D i D\prime — областi в \BbbR n, n \geq 2, область D\prime є регулярною i f — вiдкрите,
дискретне i замкнене вiдображення областi D на D\prime , яке задовольняє умову (2) в кожнiй точцi
y0 \in D\prime i з деякою функцiєю Q \in L1(D\prime ). Нехай також dm — послiдовнiсть спадних областей,
якi вiдповiдають ланцюгу розрiзiв \sigma m, m = 1, 2, . . . , що лежать на сферах S(x0, rm), i таких,
що x0 \in \partial D\prime , причому rm \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . Тодi в умовах i позначеннях леми 1 можна вибрати
номер k0 \in \BbbN , для якого iснує 0 < N = N(k0, Q,D\prime ) < \infty , незалежне вiд m i f, таке, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 957
M(\Gamma m) \leq N, m \geq M0 = M0(k0),
де \Gamma m — сiм’я кривих \gamma : [0, 1] \rightarrow D в областi D таких, що f(\gamma ) \in \Gamma
\bigl(
| \gamma 1,m| , | \gamma 2,m| , D\prime \bigr) .
Доведення. Нехай k0 — довiльний номер, для якого лема 1 є справедливою. За означенням
кривої \gamma 1,m i сiм’ї \Gamma m ми можемо записати, що
\Gamma m = \Gamma 1
m \cup \Gamma 2
m, (10)
де \Gamma 1
m — сiм’я кривих \gamma \in \Gamma m таких, що f(\gamma ) \in \Gamma
\bigl(
| \widetilde \alpha | , | \gamma 2,m| , D\prime \bigr) , i \Gamma 2
m — сiм’я кривих \gamma \in \Gamma m
таких, що f(\gamma ) \in \Gamma
\bigl(
| \widetilde \alpha m| , | \gamma 2,m| , D\prime \bigr) .
Врахувавши позначення з леми 1, покладемо \varepsilon 0 := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
| \widetilde \alpha | , gk0\bigr) ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} \bigl( | \widetilde \alpha | , | \widetilde \beta | \bigr) \bigr\} > 0.
Розглянемо тепер покриття множини | \widetilde \alpha | вигляду
\bigcup
x\in | \widetilde \alpha | B(x, \varepsilon 0/4). Оскiльки | \widetilde \alpha | є компактом в
D\prime , знайдуться номери i1, . . . , iN0 такi, що | \widetilde \alpha | \subset N0\bigcup
i=1
B(zi, \varepsilon 0/4), де zi \in | \widetilde \alpha | при 1 \leq i \leq N0. З
огляду на теорему 1.I.5.46 [19] можемо записати
\Gamma
\bigl(
| \widetilde \alpha | , | \gamma 2,m| , D\prime \bigr) > N0\bigcup
i=1
\Gamma
\bigl(
S(zi, \varepsilon 0/4), S(zi, \varepsilon 0/2), A(zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2)
\bigr)
. (11)
Зафiксуємо \gamma \in \Gamma 1
m, \gamma : [0, 1] \rightarrow D, \gamma (0) \in | \widetilde \alpha | , \gamma (1) \in | \gamma 2,m| . Зi спiввiдношення (11) випливає,
що f(\gamma ) має пiдкриву f(\gamma )1 := f(\gamma )| [p1,p2] таку, що
f(\gamma )1 \in \Gamma
\bigl(
S(zi, \varepsilon 0/4), S(zi, \varepsilon 0/2), A(zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2)
\bigr)
при деякому 1 \leq i \leq N0. Тодi \gamma | [p1,p2] є такою кривою, яка, з одного боку, є пiдкривою \gamma , а з
iншого — належить до сiм’ї \Gamma f
\bigl(
zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2
\bigr)
, бо
f(\gamma | [p1,p2]) = f(\gamma )| [p1,p2] \in \Gamma
\bigl(
S(zi, \varepsilon 0/4), S(zi, \varepsilon 0/2), A(zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2)
\bigr)
.
Тому
\Gamma 1
m >
N0\bigcup
i=1
\Gamma f (zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2). (12)
Покладемо
\eta (t) =
\left\{ 4/\varepsilon 0, t \in [\varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2],
0, t \not \in [\varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2].
Зауважимо, що функцiя \eta задовольняє спiввiдношення (3). Тодi за визначенням вiдображення
f у (2), а також за спiввiдношенням (12) i з огляду на напiвадитивнiсть модуля сiмей кривих
(див. [16], теорема 6.2) отримуємо
M(\Gamma 1
m) \leq
N0\sum
i=1
M(\Gamma f (zi, \varepsilon 0/4, \varepsilon 0/2)) \leq
N0\sum
i=1
N04
n\| Q\| 1
\varepsilon n0
, m \geq M0, (13)
де \| Q\| 1 =
\int
D\prime
Q(x) dm(x). Далi за теоремою 1.I.5.46 [19] \Gamma 2
m > \Gamma f (x0, rk0+1, rk0). Мiркуючи
так, як i вище, покладаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
958 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
\eta (t) =
\left\{ 1/(rk0 - rk0+1), t \in [rk0+1, rk0 ],
0, t \not \in [rk0+1, rk0 ].
Тодi з останнього спiввiдношення випливає, що
M(\Gamma 2
m) \leq \| Q\| 1
(rk0 - rk0+1)n
, m \geq M0. (14)
Отже, з (10), (13) i (14), внаслiдок напiвадитивностi модуля сiмей кривих, випливає, що
M(\Gamma m) \leq
\biggl(
N04
n
\varepsilon n0
+
1
(rk0 - rk0+1)n
\biggr)
\| Q\| 1, m \geq M0.
Права частина останнього спiввiдношення не залежить вiд m, тому ми можемо покласти
N :=
\biggl(
N04
n
\varepsilon n0
+
1
(rk0 - rk0+1)n
\biggr)
\| Q\| 1.
Лему 2 доведено.
4. Доведення теореми 2. Можливiсть неперервного продовження вiдображення
f \in S\delta ,A,Q(D,D\prime ) на межу областi D випливає з теореми 1. Одностайну неперервнiсть сiм’ї
вiдображень S\delta ,A,Q(D,D\prime ) у внутрiшнiх точках областi D доведено у [18] (теорема 1.1).
Покажемо одностайну неперервнiсть сiм’ї S\delta ,A,Q(D,D\prime ) на \partial D. Припустимо протилежне.
Тодi знайдуться точка z0 \in \partial D, число \varepsilon 0 > 0, послiдовнiсть zm \in D i вiдображення fm \in
\in S\delta ,A,Q(D,D\prime ) такi, що zm \rightarrow z0 при m \rightarrow \infty , при цьому
\rho (fm(zm), fm(z0)) \geq \varepsilon 0, m = 1, 2, . . . , (15)
де \rho — одна з можливих метрик в D\prime
P , яку визначено в (4). Оскiльки fm = fm| D продовжу-
ється по неперервностi на D, можемо вважати, що zm \in D i, крiм того, знайдеться ще одна
послiдовнiсть z\prime m \in D, z\prime m \rightarrow z0 при m \rightarrow \infty , така, що \rho (fm(z\prime m), fm(z0)) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty .
В такому випадку з (15) випливає, що
\rho
\bigl(
fm(zm), fm(z\prime m)
\bigr)
\geq \varepsilon 0/2, m \geq m0. (16)
Оскiльки область D\prime є регулярною, метричний простiр D\prime
P є компактним. Отже, можна
вважати, що послiдовностi fm(zm) i fm(z\prime m) збiгаються при m \rightarrow \infty до деяких елемен-
тiв P1, P2 \in D\prime
P , P1 \not = P2. Нехай dm i gm — послiдовностi спадних областей, якi вiдповiдають
простим кiнцям P1 i P2 вiдповiдно. З огляду на лему 3.1 [17] (див. також [11], лема 1) можна
вважати, що послiдовнiсть розрiзiв \sigma m, яка вiдповiдає областям dm, m = 1, 2, . . . , лежить на
сферах S(x0, rm), де x0 \in \partial D\prime i rm \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . Виберемо x0, y0 \in A так, щоб x0 \not = y0 i
x0 \not = P1 \not = y0, де континуум A \subset D\prime взято з умов теореми 2. Без обмеження загальностi можна
вважати, що d1 \cap g1 = \varnothing i x0, y0 \not \in d1 \cup g1.
За лемами 1, 2 знайдуться неперетиннi кривi \gamma 1,m : [0, 1] \rightarrow D\prime i \gamma 2,m : [0, 1] \rightarrow D\prime i число
N > 0 такi, що \gamma 1,m(0) = x0, \gamma 1,m(1) = fm(zm), \gamma 2,m(0) = y0, \gamma 2,m(1) = fm(z\prime m), причому
M(\Gamma m) \leq N, m \geq M0, (17)
де \Gamma m складається з тих i тiльки тих кривих \gamma в D, для яких fm(\gamma ) \in \Gamma (| \gamma 1,m| , | \gamma 2,m| , D\prime )
(див. рис. 3). З iншого боку, нехай \gamma \ast 1,m i \gamma \ast 2,m — повнi пiдняття кривих \gamma 1,m i \gamma 2,m при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 959
fm
fm (A)
Γm
fm(zm)
fm(zm)
d1
y2 y1
y0
x0
z0
g2
d2 g1dk0
gk0
x1
x2
D′
A
U
D
V
′
′
*
γ2,m
γ2,m
*γ1,m
γ1,m
zm
zm–1
Рис. 3
вiдображеннi fm з початком у точках zm i z\prime m вiдповiдно (такi пiдняття iснують за лемою 3.7
[15]). Тодi \gamma \ast 1,m(1) \in f - 1
m (A) i \gamma \ast 2,m(1) \in f - 1
m (A) i, оскiльки за умовою h(f - 1
m (A), \partial D) > \delta > 0,
m = 1, 2, . . . , будемо мати
h
\bigl(
| \gamma \ast 1,m|
\bigr)
\geq h
\bigl(
zm, \gamma \ast 1,m(1)
\bigr)
\geq (1/2)h(f - 1
m (A), \partial D) > \delta /2,
h(| \gamma \ast 2,m| ) \geq h
\bigl(
z\prime m, \gamma \ast 2,m(1)
\bigr)
\geq (1/2)h(f - 1
m (A), \partial D) > \delta /2
(18)
для достатньо великих m \in \BbbN . Виберемо кулю U := Bh(z0, r0) =
\bigl\{
z \in \BbbR n : h(z, z0) < r0
\bigr\}
,
де r0 > 0 i r0 < \delta /4. Зауважимо, що | \gamma \ast 1,m| \cap U \not = \varnothing \not = | \gamma \ast 1,m| \cap (D \setminus U) для достатньо
великих m \in \BbbN , оскiльки h
\bigl(
fm(| \gamma 1,m| )
\bigr)
\geq \delta /2 i zm \in | \gamma \ast 1,m| , zm \rightarrow z0 при m \rightarrow \infty . Мiркуючи
аналогiчно, можна зробити висновок, що | \gamma \ast 2,m| \cap U \not = \varnothing \not = | \gamma \ast 2,m| \cap (D \setminus U). Оскiльки | \gamma \ast 1,m| i
| \gamma \ast 2,m| є континуумами, з огляду на теорему 1.I.5.46 [19] отримуємо
| \gamma \ast 1,m| \cap \partial U \not = \varnothing , | \gamma \ast 2,m| \cap \partial U \not = \varnothing . (19)
Зафiксуємо P := N > 0, де N — число зi спiввiдношення (17). Оскiльки межа областi D
є слабко плоскою, знайдеться такий окiл V \subset U точки z0, що для будь-яких континуумiв
E,F \subset D з умовами E \cap \partial U \not = \varnothing \not = E \cap \partial V i F \cap \partial U \not = \varnothing \not = F \cap \partial V виконується нерiвнiсть
M
\bigl(
\Gamma (E,F,D)
\bigr)
> N. (20)
Зауважимо, що для достатньо великих m \in \BbbN
| \gamma \ast 1,m| \cap \partial V \not = \varnothing , | \gamma \ast 2,m| \cap \partial V \not = \varnothing . (21)
Справдi, zm \in | \gamma \ast 1,m| i z\prime m \in | \gamma \ast 2,m| , де zm, z\prime m \rightarrow z0 \in V при m \rightarrow \infty . Отже, | \gamma \ast 1,m| \cap V \not =
\not = \varnothing \not = | \gamma \ast 2,m| \cap V для достатньо великих m \in \BbbN . Крiм того, h(V ) \leq h(U) = 2r0 < \delta /2 i,
оскiльки за (18) h
\bigl(
| \gamma \ast 1,m|
\bigr)
> \delta /2, то | \gamma \ast 1,m| \cap (D \setminus V ) \not = \varnothing . Тодi | \gamma \ast 1,m| \cap \partial V \not = \varnothing (див. [19],
теорема 1.I.5.46). Аналогiчно, h(V ) \leq h(U) = 2r0 < \delta /2 i, оскiльки за (18) h(| \gamma \ast 2,m| ) > \delta /2, то
| \gamma \ast 2,m| \cap (D \setminus V ) \not = \varnothing . Згiдно з теоремою 1.I.5.46 [19] отримуємо, що | \gamma \ast 1,m| \cap \partial V \not = \varnothing . Отже,
(21) встановлено. З огляду на (19) – (21) одержуємо, що
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
| \gamma \ast 1,m| , | \gamma \ast 2,m| , D
\bigr) \bigr)
> N. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
960 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
f
g
dm
σm
σ2
σ1
y0 d2
d1 P
x0
0
1/k 1/3 1/2
D = \ Ik
k=2
Ik = z = (x, y) R2 : x = 1/k, 0 < y < 1/2{ }
= [0,1] [0,1]
Рис. 4
Нерiвнiсть (22) суперечить (17), бо \Gamma
\bigl(
| \gamma \ast 1,m| , | \gamma \ast 2,m| , D
\bigr)
\subset \Gamma m, отже,
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
| \gamma \ast 1,m| , | \gamma \ast 2,m| , D
\bigr) \bigr)
\leq M(\Gamma m) \leq N.
Отримана суперечнiсть свiдчить про хибнiсть припущення в (15).
Теорему 2 доведено.
5. Деякi приклади.
Приклад 1. Отримаємо спочатку вiдображення, яке задовольняє умови теореми 1. По-
перше, розглянемо випадок, коли це вiдображення є гомеоморфiзмом, а функцiя Q — обме-
женою. Для спрощення розглянемо плоский випадок. Нехай D\prime — одиничний квадрат iз вилу-
ченими вiдрiзками Ik =
\bigl\{
z = (x, y) \in \BbbR 2 : x = 1/k, 0 < y < 1/2
\bigr\}
, k = 2, 3, . . . (див. рис. 4).
Розглянемо простий кiнець P областi D\prime , створений за допомогою розрiзiв
\sigma m =
\biggl\{
z = x0 +
ei\varphi
m+ 1
, x0 = (0, 1/2), 0 \leq \varphi \leq \pi /2
\biggr\}
, m = 1, 2, . . . .
Можна показати, що кiнець P є простим. За теоремою Рiмана про вiдображення iснує конформ-
не вiдображення g одиничного круга \BbbD = \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} на область D\prime , крiм того, за теоре-
мою Каратеодорi простому кiнцю P вiдповiдає деяка точка y0 \in \partial \BbbD така, що C(f, y0) = I(P ),
f = g - 1 (див. [21], теорема 9.4). Отже, можна вибрати принаймнi двi послiдовностi zk, wk \in D\prime ,
k = 1, 2, . . . , такi, що zk, wk \rightarrow P, zk \rightarrow z0 i wk \rightarrow w0 при k \rightarrow \infty , z0 \not = w0, причому
f(zk) \rightarrow y0 i f(wk) \rightarrow y0 при k \rightarrow \infty . В цьому випадку вiдображення f := g - 1 не має непе-
рервного продовження у точку y0 в поточковому сенсi, але g має неперервне продовження g :
\BbbD \rightarrow D\prime
P .
Оскiльки g — конформне вiдображення, воно задовольняє спiввiдношення (2) при Q \equiv 1
(див., наприклад, [13], теорема 3.2).
Зауважимо, що вiдображення f задовольняє всi умови теореми 1. Область \BbbD має слабко
плоску межу (див., наприклад, [16], теореми 17.10, 17.12), а область D\prime є регулярною за
означенням, крiм того, функцiя Q \equiv 1 є iнтегровною в D\prime .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 961
Приклад 2. Для того щоб отримати аналогiчне вiдображення з розгалуженням у (2), по-
кладемо f1(z) = (f \circ g)(z), де g(z) = z2. Зауважимо, що KO(z, f1) = 1 i N(f1,\BbbD ) = 2,
тому f1 також задовольняє спiввiдношення (2) з Q \equiv 2. Знову-таки, f1 задовольняє всi умови
теореми 1.
Приклад 3. На основi прикладiв 1, 2 побудуємо вiдображення з розгалуженням, яке має
необмежену характеристику i задовольняє всi умови теореми 1. Розглянемо таку конструкцiю:
нехай \varphi 1(z) =
1
e
\surd
2
(z - (1/2, 1/2)), z \in D\prime , тодi \varphi переводить D\prime у деяку область D\prime \prime , що
повнiстю лежить у крузi B(0, 1/e). Цю область D\prime \prime перетворимо на деяку iншу однозв’язну
область D\prime \prime \prime за допомогою гомеоморфiзму \varphi 2(z) =
z
| z| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1
| z|
, \varphi 2(0) := 0. Тепер цю область D\prime \prime \prime
перетворимо за допомогою деякого конформного вiдображення \varphi 3 на одиничний круг \BbbD (таке
конформне вiдображення iснує завдяки теоремi Рiмана). Нарештi, в \BbbD покладемо \varphi 4(z) = z2.
Тепер розглянемо вiдображення
F (z) =
\bigl(
\varphi - 1
1 \circ \varphi - 1
2 \circ \varphi - 1
3 \circ \varphi 4
\bigr)
(z) (23)
i окремо F1(z) =
\bigl(
\varphi - 1
1 \circ \varphi - 1
2
\bigr)
(z) i F2(z) =
\bigl(
\varphi - 1
3 \circ \varphi 4
\bigr)
(z). Насамперед зауважимо, що
KO(z, F1) = KO(z, \varphi
- 1
2 ), оскiльки вiдображення \varphi - 1
1 є конформним. Використовуючи технiку,
застосовану при розглядi твердження 6.3 [3], можна встановити, що \varphi - 1
2 =
z
| z|
e
- 1
| z| , причому
KO(z, F1) = KO(z, \varphi
- 1
2 ) =
1
| z|
. Тодi
KO(F
- 1
1 (z), F1) = KO
\bigl(
(\varphi 2 \circ \varphi 1)(z), F1
\bigr)
.
Маємо
KO
\bigl(
(\varphi 2 \circ \varphi 1)(z), F1
\bigr)
=
1
| z|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| z \mapsto \rightarrow z - (1/2,1/2)
| z - (1/2,1/2)| log e
\surd
2
| z - (1/2,1/2)|
= \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
\surd
2
| z - (1/2, 1/2)|
.
Зазначимо, що F1 є вiдображенням класу C1 в \BbbD \setminus \{ 0\} , крiм того, якобiан | J(z, F1)| = | z| - 3 \times
\times e - 2/| z| є локально обмеженим в \BbbD \setminus \{ 0\} . В такому випадку, за наслiдком 8.5 в [3], вiдображення
F1 є вiдображенням зi скiнченним спотворенням довжини в \BbbD \setminus \{ 0\} . Отже, за теоремою 8.5 [3]
вiдображення F1 задовольняє спiввiдношення
M(\Gamma \prime \prime ) \leq
\int
D\prime
Q(z)\rho \ast (z) dm(z) (24)
для будь-якої сiм’ї \Gamma \prime \prime локально спрямлюваних кривих \gamma в областi D\prime \prime i будь-якої функцiї
\rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}F1(\Gamma
\prime \prime ), де Q(z) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
\surd
2
| z - (1/2, 1/2)|
.
З iншого боку, вiдображення F2 задовольняє спiввiдношення
M(\Gamma ) \leq 2M(F2(\Gamma )), (25)
оскiльки N(F2,\BbbD ) = 2 i KO(F2, z) = 1 (див. [13], теорема 3.2). Тодi, об’єднуючи (24) i (25),
маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
962 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
M(\Gamma ) \leq
\int
D\prime
2Q(z)\rho \ast (z) dm(z) (26)
для будь-якої сiм’ї \Gamma локально спрямлюваних кривих \gamma в \BbbD i будь-якої функцiї \rho \ast \in
\in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}F1(F2(\Gamma )) = \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}F (\Gamma ), де Q(z) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
\surd
2
| z - (1/2, 1/2)|
. Зауважимо, що функцiя Q(z) =
= \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
e
\surd
2
| z - (1/2, 1/2)|
є iнтегровною в областi D\prime . Також зазначимо, що нерiвнiсть (26) є част-
ковим випадком спiввiдношення (2), оскiльки в (26) сiм’я кривих є будь-якою, отже, замiсть
\Gamma можна взяти \Gamma f (y0, r1, r2). Крiм того, ми можемо покласти в (26) \rho \ast (z) = \eta (| z - y0| ) при
r1 < | z - y0| < r2 i z \in D\prime , \rho \ast (z) = 0 — в iнших випадках. Якщо \eta задовольняє (3), то можна
показати, що \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma для \Gamma = \Gamma f (y0, r1, r2) (див. [16], теорема 5.7).
Отже, всi умови теореми 1 виконуються. За цiєю теоремою вiдображення F продовжується
до неперервного вiдображення F : \BbbD \rightarrow D\prime
P .
Приклад 4. Тепер побудуємо приклад, що стосується теореми 2. Як вiдомо, дробово-лiнiйнi
автоморфiзми одиничного круга мають вигляд
f(z) = ei\theta
z - a
1 - az
, z \in \BbbD , a \in \BbbD , \theta \in [0, 2\pi ).
Покладемо \theta = 0, a = 1/n, n = 1, 2, . . . . Розглянемо сiм’ю вiдображень \widetilde fn(z) = z - 1/n
1 - z/n
=
=
nz - 1
n - z
. Нехай \widetilde A = [0, 1/2] i t \in [0, 1/2], тодi \widetilde fn(t) =
t - 1/n
1 - t/n
. Оскiльки похiдна \widetilde f \prime
n(t) =
=
1 - 1
n2\biggl(
1 - t
n
\biggr) 2 невiд’ємна скрiзь, найменше значення функцiї \widetilde fn(t) на A дорiвнює - 1/n, а
найбiльшим є
1/2 - 1/n
1 - 1/2n
\rightarrow 1/2 при n \rightarrow \infty . Отже, iснує таке \delta > 0, що h( \widetilde fn( \widetilde A), \partial \BbbD ) > \delta > 0.
Нехай тепер fn := \widetilde f - 1
n i A = F ( \widetilde A), де F — вiдображення з прикладу 3 (див. спiввiдношен-
ня (23)). Тодi сiм’я вiдображень Fn := F \circ fn задовольняє всi умови теореми 2. Зауважимо,
що кожне з вiдображень Fn не має навiть неперервного евклiдового продовження на одиничне
коло, але має це продовження як вiдображення Fn : \BbbD \rightarrow D\prime
P . Бiльше того, сiм’я вiдображень\bigl\{
Fn
\bigr\} \infty
n=1
є одностайно неперервною в D.
Лiтература
1. A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains, Ukr. Math. J., 71, № 7,
1138 – 1145 (2019).
2. A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Estimation of the maximum product of inner radii of mutually disjoint domains, Ukr.
Math. J., 72, № 2, 191 – 202 (2020).
3. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci. + Business Media,
LLC, New York (2009).
4. R. Salimov, B. Klishchuk, An extremal problem for the volume functional, Mat. Stud., 50, № 1, 36 – 43 (2018).
5. Б. А. Клищук, Р. Р. Салимов, Нижние оценки объема образа шара, Укр. мат. журн., 71, № 6, 774 – 785 (2019).
6. R. R. Salimov, E. A. Sevost’yanov, On the equicontinuity of one family of inverse mappings in terms of prime ends,
Ukr. Math. J., 70, № 9, 1456 – 1466 (2019).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
МЕЖОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ ВIДОБРАЖЕНЬ З ОБЕРНЕНОЮ НЕРIВНIСТЮ ПОЛЕЦЬКОГО . . . 963
7. Є. О. Севостьянов, С. О. Скворцов, Н. С. Iлькевич, Про поведiнку обернених гомеоморфiзмiв в термiнах
простих кiнцiв, Працi Iн-ту прикл. математики i механiки НАН України, 33, 188 – 203 (2019).
8. N. S. Ilkevych, E. A. Sevost’yanov, S. O. Skvortsov, On the global behavior of inverse mappings in terms of prime
ends, Ann. Fenn. Math., 46, № 1, 371 – 388 (2021).
9. V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and prime ends, Укр. мат. вiсн., 12, № 1, 27 – 66
(2015).
10. Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, К теории простых концов для пространственных областей, Укр. мат. журн.,
67, № 4, 467 – 479 (2015).
11. D. A. Kovtonyuk, V. I. Ryazanov, Prime ends and Orlicz – Sobolev classes, St. Petersburg Math. J., 27, № 5, 765 – 788
(2016).
12. R. Näkki, Prime ends and quasiconformal mappings, J. Anal. Math., 35, 13 – 40 (1979).
13. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 448, 1 – 40
(1969).
14. S. Rickman, Quasiregular mappings, Springer-Verlag, Berlin (1993).
15. M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space, Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. Diss., 11, 1 – 44 (1976).
16. J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229, Springer-Verlag, Berlin
etc. (1971).
17. D. P. Ilyutko, E. A. Sevost’yanov, On prime ends on Riemannian manifolds, J. Math. Sci., 241, № 1, 47 – 63 (2019).
18. E. O. Sevost’yanov, S. O. Skvortsov, O. P. Dovhopiatyi, On nonhomeomorphic mappings with the inverse Poletsky
inequality, J. Math. Sci., 252, № 4, 541 – 557 (2021).
19. К. Куратовский, Топология, т. 2, Мир, Москва (1969).
20. B. Fuglede, Extremal length and functional completion, Acta Math., 98, 171 – 219 (1957).
21. Э. Коллингвуд, А. Ловатер, Теория предельных множеств, Мир, Москва (1971).
Одержано 03.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-6507 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:31Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/eb9baf9fe380567c993fa3dc4507e535.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65072025-03-31T08:47:53Z Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends Межове продовження відображень з оберненою нерівністю Полецького по простих кінцях Sevost’yanov , E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. відображення з обмеженим і скінченним спотоворенням, межова поведінка, прості кінці mappings with a bounded and finite distortion boundary behavior prime ends УДК 517.5For mappings with branching points that satisfy the Poletsky inverse inequality, we obtain some results related to their continuous boundary extension in terms of prime ends. Under certain conditions, the specified classes of mappings are also equicontinuous in the closure of a given domain. Для отображений с ветвлением, удовлетворяющих обратному неравенствуПолецкого, получены результаты об их непрерывном граничномпродолжении в терминах простых концов. При определённых условияхпоказано, что указанные классы отображений являются такжеравностепенно непрерывными в замыкании заданной области. UDC 517.5 Для вiдображень iз розгалуженням, якi задовольняють обернену нерiвнiсть Полецького, отримано результати про їхнє неперервне межове продовження в термiнах простих кiнцiв. За певних умов вказанi класи вiдображень є також одностайно неперервними в замиканнi заданої областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-07-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6507 10.37863/umzh.v73i7.6507 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 7 (2021); 951 - 963 Український математичний журнал; Том 73 № 7 (2021); 951 - 963 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6507/9088 Copyright (c) 2021 Євген Олександрович Севостьянов |
| spellingShingle | Sevost’yanov , E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title_alt | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends Межове продовження відображень з оберненою нерівністю Полецького по простих кінцях |
| title_full | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title_fullStr | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title_full_unstemmed | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title_short | Boundary extension of mappings that satisfy the Poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| title_sort | boundary extension of mappings that satisfy the poletsky inverse inequality in terms of prime ends |
| topic_facet | відображення з обмеженим і скінченним спотоворенням межова поведінка прості кінці mappings with a bounded and finite distortion boundary behavior prime ends |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6507 |
| work_keys_str_mv | AT sevostyanovea boundaryextensionofmappingsthatsatisfythepoletskyinverseinequalityintermsofprimeends AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič boundaryextensionofmappingsthatsatisfythepoletskyinverseinequalityintermsofprimeends AT sevostʹânovêo boundaryextensionofmappingsthatsatisfythepoletskyinverseinequalityintermsofprimeends AT sevostyanovea mežoveprodovžennâvídobraženʹzobernenoûnerívnístûpolecʹkogopoprostihkíncâh AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič mežoveprodovžennâvídobraženʹzobernenoûnerívnístûpolecʹkogopoprostihkíncâh AT sevostʹânovêo mežoveprodovžennâvídobraženʹzobernenoûnerívnístûpolecʹkogopoprostihkíncâh |