Descriptive theory of determined chaos
UDC 519.14 Descriptive theory of sets – a classical branch of mathematics that arose at the beginning of the last century. This article offers the basics of descriptive chaos theory. It is shown that a dynamic system, if the topological entropy is positive: 1) has many different trajectory attractor...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6515 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512425928818688 |
|---|---|
| author | Sharkovs’kyi , О. М. Шарковський, О. М. |
| author_facet | Sharkovs’kyi , О. М. Шарковський, О. М. |
| author_sort | Sharkovs’kyi , О. М. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-01-26T14:03:59Z |
| description | UDC 519.14
Descriptive theory of sets – a classical branch of mathematics that arose at the beginning of the last century. This article offers the basics of descriptive chaos theory. It is shown that a dynamic system, if the topological entropy is positive:
1) has many different trajectory attractors, namely, a continuum of attractors;
2) the basins of most attractors have an overly complex structure, namely, are sets of the third class according to the terminology of descriptive set theory;
3) the basins of different attractors are too strongly intertwined and cannot be separated from each other by any open or closed sets, but only by sets of the second complexity class
and
4) the set of all attractors of the dynamical system forms an attractor grid (network) in the space of closed sets of the state space (with the Hausdorff metric), the cells of which are created by Cantor sets from the attractors themselves. \end{enumerate} |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i12.6515 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i12.6515
УДК 519.14
О. М. Шарковський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДЕСКРИПТИВНА ТЕОРIЯ ДЕТЕРМIНОВАНОГО ХАОСУ
Descriptive theory of sets — a classical branch of mathematics that arose at the beginning of the last century. This article
offers the basics of descriptive chaos theory. It is shown that a dynamic system, if the topological entropy is positive:
1) has many different trajectory attractors, namely, a continuum of attractors;
2) the basins of most attractors have an overly complex structure, namely, are sets of the third class according to the
terminology of descriptive set theory;
3) the basins of different attractors are too strongly intertwined and cannot be separated from each other by any open
or closed sets, but only by sets of the second complexity class
and
4) the set of all attractors of the dynamical system forms an attractor grid (network) in the space of closed sets of the
state space (with the Hausdorff metric), the cells of which are created by Cantor sets from the attractors themselves.
Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин — класичний роздiл математики, який виник на початку минулого
столiття. У цiй статтi запропоновано основи дескриптивної теорiї хаосу. Показано, що динамiчна система, якщо
топологiчна ентропiя додатна:
1) має дуже багато рiзних атракторiв траєкторiй, а саме, континуум атракторiв;
2) басейни бiльшостi атракторiв мають надскладну будову, а саме, є множинами 3-го класу за термiнологiєю
дескриптивної теорiї множин;
3) басейни рiзних атракторiв дуже сильно переплiтаються, i їх неможливо вiдокремити один вiд одного нiякими
вiдкритими чи замкненими множинами, а можна лише множинами 2-го класу складностi
та
4) множина всiх атракторiв динамiчної системи утворює в просторi замкнених множин простору станiв (з
метрикою Гаусдорфа) атракторну сiтку (мережу), комiрки якої створюються канторовими множинами з самих
атракторiв.
На початку 2017 року з’явилася книга С. Рюетт „Хаос на iнтервалi” [1], в якiй для неперервних
вiдображень iнтервалу запропоновано, за словами автора, огляд спiввiдношень мiж рiзними
видами хаосу та пов’язаних з ними понять. Саме ця книга стала для автора даної статтi останнiм
i вирiшальним поштовхом до того, щоб осмислити результати, отриманi ним ще в серединi
60-х рокiв минулого столiття, i подивитися на те, що було зроблено в той час [2 – 4] з позицiй
„хаосу”.
Як вiдомо, слово хаос як математичний термiн уперше з’явилось у статтi Li, Yorke „Period
three implies chaos” [5], де основними характеристиками хаосу були вказанi наявнiсть в систе-
мi (а) перiодичних траєкторiй всiх перiодiв та (б) так званої збовтаної (scrambled) множини
точок (що визначалось як iснування континуума пар точок, траєкторiї яких то зближувалися
необмежено, то знову розходилися).
На появу термiна хаос вiдразу вiдреагував P. Kloeden з колегами [6] статтею „A precise
definition of chaos” в журналi „Nature”, де, зокрема, зазначено, що в роботi автора [7] про
перiодичнi траєкторiї отримано бiльш точний результат щодо циклiв i для iснування хаосу,
можливо, не є необхiдним наявнiсть циклiв усiх перiодiв.
Зауважимо ще, що в книзi С. Рюетт [1] є кiлька посилань на роботи автора, а саме, дев’ять,
з яких лише в однiй [4] безпосередньо використовується термiнологiя дескриптивної теорiї
множин i йдеться саме про хаос, але не про той, про який йде мова в книзi [1].
c\bigcirc О. М. ШАРКОВСЬКИЙ , 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12 1709
1710 О. М. ШАРКОВСЬКИЙ
Можна, звiсно, подискутувати щодо використання слова дескриптивна (descriptive) в нашо-
му контекстi, але, на думку автора, слова descriptive theory, в перекладi українською описова
теорiя, досить точно характеризують те, про що йдеться в статтi, i вiдповiдають усталенiй в
математицi термiнологiї.
У статтi розглядаються динамiчнi системи на компактi X, породжуванi неперервним вi-
дображенням f : X \rightarrow X, переважно у випадку, коли X — це iнтервал I \subset R.
Асимптотичну поведiнку кожної траєкторiї f i(x), i = 0, 1, 2, . . . , x \in X, звичайно визна-
чає так звана \omega -гранична множина, або, простiше, атрактор траєкторiї, а саме, iнварiантна
замкнена множина \scrA x =
\bigcap
m>0
\bigl\{ \bigcup
i>m f i(x)
\bigr\}
, яка притягує цю траєкторiю, коли час прямує
до нескiнченностi: для будь-якого її околу U iснує i0 = i0(U) таке, що f i(x) \in U при i \geq i0.
Кожна з множин \scrA x, x \in X, може бути атрактором для багатьох траєкторiй. Множину всiх
траєкторiй, що притягуються одним i тим же атрактором, називають басейном цього атракто-
ра: якщо \scrA — атрактор, то \frakB (\scrA ) = \{ x \in X | \scrA x = \scrA \} — басейн атрактора.
Бiльшiсть результатiв, наведених у цiй роботi, отриманi й опублiкованi ще в 60-х роках
минулого столiття, але i сьогоднi, здається, мало вiдомi, хоча всi вони тодi ж були перекладенi
англiйською.
Тепер добре вiдомо, що в одновимiрнiй динамiчнiй системi хаос є тодi, коли топологiчна
ентропiя системи додатна. Також вiдомо, що для одновимiрних систем має мiсце таке тверджен-
ня.
Для динамiчної системи, яку задає вiдображення f \in C0(I, I), де I — замкнений iнтервал,
наступнi твердження еквiвалентнi:
(1) топологiчна ентропiя додатна, h(f) > 0;
(2) f має цикл перiоду \not = 2i, i \geq 0;
(3) f має гомоклiнiчну траєкторiю;
(4) iснують m \geq 1 i замкненi iнтервали J,K \subset I такi, що fmJ \cap fmK \supset J \cup K,
i з них випливають ще два еквiвалентних твердження:
(5) iснують такi x, y \in I, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
i\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \rho [f i(x), f i(y)] > 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
i\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \rho [f i(x), f i(y)] = 0;
(6) iснує континуум пар траєкторiй з властивiстю (5).
Як зазначено вище, слово хаос як математичний термiн уперше з’явилось у статтi Li, Yorke
„Period three implies chaos” [5], i саме властивiсть (6) фiгурувала там як одна з основних при
визначеннi хаосу.
Отже, кожне з тверджень (1) – (5) може слугувати критерiєм присутностi хаосу в системi.
Але властивiсть (6) не може бути визначальною для хаосу. Наприклад, проста система рiвнянь
\.r = r(1 - r), \.\varphi = \alpha (в полярних координатах) має перiодичну траєкторiю r = 1, яка є атрак-
тором цiєї системи. Пiсля множення обох правих частин системи на множник h(r, \varphi ) такий,
що h(1, 0) = 0 i h(r, \varphi ) > 0 для iнших r, \varphi , майже кожна пара траєкторiй буде мати власти-
вiсть (5), тобто нова система матиме властивiсть (6). Справдi, пiсля множення на h фазовий
портрет системи залишиться незмiнним, лише перiодична траєкторiя r = 1 трансформується в
гомоклiнiчну траєкторiю до точки спокою (1, 0) (див. рис. 1). Саме присутнiсть точки спокою,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ДЕСКРИПТИВНА ТЕОРIЯ ДЕТЕРМIНОВАНОГО ХАОСУ 1711
поблизу якої швидкiсть руху суттєво спадає, приводить до бажаного ефекту: коли траєкторiї
наближаються до цiєї точки, вони зближуються, а потiм знову розходяться. Звiсно, нiякого
хаосу в цiй системi немає.
Рис. 1
1. Елементи дескриптивної теорiї множин. У теорiї динамiчних систем поряд з вiдкрити-
ми множинами (наприклад, басейни притягувальних циклiв, блукаючi множини) та замкненими
множинами (\omega -граничнi множини, неблукаючi множини, центри динамiчних систем) розгляда-
ються множини бiльш складної структури [8 – 13].
З’являються F\sigma -множини, якi є об’єднанням не бiльш нiж зчисленної кiлькостi замкне-
них множин, наприклад, як множина всiх перiодичних точок; G\delta -множини, якi є перетинами
не бiльш нiж зчисленної кiлькостi вiдкритих множин, як множина всiх транзитивних точок
системи; F\sigma \delta -множини, якi є перетинами не бiльш нiж зчисленної кiлькостi F\sigma -множин, i т. д.
Ми використовуємо класифiкацiю множин за Бером, вiдповiдно до якої перший клас скла-
дають вiдкритi i замкненi множини разом iз множинами, що є як F\sigma -, так i G\delta -множинами
одночасно. Другий клас складається з множин, якi є або F\sigma -, або G\delta -множинами, але не є
одним i другим, разом з множинами, якi, навпаки, є одночасно F\sigma \delta - i G\delta \sigma -множинами, але не
належать до першого класу. Третiй клас складається з множин, що є F\sigma \delta - або G\delta \sigma -множинами,
але не є обома, i множин, що. . . (аналогiчно до визначення другого класу). Подальшi класи
визначаються аналогiчним чином.
2. Структура басейнiв атракторiв. Атрактори будь-яких траєкторiй, коли простiр X є
компакт, звiсно, є замкненими множинами за визначенням, тобто простими, першого класу за
термiнологiєю дескриптивної теорiї множин (за Бером), яку ми використовуємо. А ось питання
щодо структури басейнiв є слушним. Верхнi дескриптивнi оцiнки складностi будови басейнiв
для рiзних атракторiв, як правило, отримати досить легко навiть для динамiчних систем на
довiльному просторi X зi зчисленним базисом, i в [2] такi верхнi оцiнки для систем, заданих
неперервним вiдображенням T : X \rightarrow X, на довiльних компактах, були отриманi. А саме:
(a) якщо атрактор \scrA \subset X є максимальним, тобто не iснує атракторiв \~\scrA \subset X \~\scrA \supset \scrA , то
басейн \scrB (\scrA ) є G\delta -множиною;
(b) якщо атрактор \scrA є локально максимальним, тобто iснує окiл \scrA , який не мiстить атрак-
торiв \~\scrA \supset \scrA , то басейн \scrB (\scrA ) є одночасно як F\sigma \delta -, так i G\delta \sigma -множиною;
(c) в будь-якому випадку басейн \scrB (\scrA ) є (не бiльш складним в X, нiж) F\sigma \delta -множина, тобто
завжди може бути представлений як перетин не бiльш нiж зчисленного числа об’єднань не
бiльш нiж зчисленного числа замкнених множин.
Цi твердження є наслiдком наступних теорем [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1712 О. М. ШАРКОВСЬКИЙ
Теорема 1.
\bigcup
\scrA \prime \supseteq \scrA
\frakB (\scrA \prime ) — множина типу G\delta .
Нехай \Sigma = \{ \sigma i\} \infty i=1 — система вiдкритих (в X ) множин таких, що:
1) \sigma i \cap \scrA \not = \varnothing , i = 1, 2, . . . ,
2) для будь-якого околу U точки з множини \scrA знайдеться \sigma \in \Sigma , яка мiститься в U.
Для кожної \sigma i \in \Sigma побудуємо послiдовнiсть вiдкритих множин \sigma 0
i , \sigma
1
i , \sigma
2
i , . . . , i \sigma k
i скла-
дають точки x \in X, для яких T kx \in \sigma i, k = 0, 1, 2, . . . . Множина Qi =
\infty \bigcup
k=0
\sigma k
i є вiдкритою.
Якщо x \in \frakB (\scrA \prime ), де \scrA \prime \supseteq \scrA , то x \in Qi, i = 1, 2, . . . . Якщо x \in \frakB (\scrA \prime \prime ) та \scrA \prime \prime не мiстить \scrA ,
тобто iснує точка y \in \scrA , яка не належить \scrA \prime \prime , то знайдеться \sigma i\prime \ni y, що не мiстить жодної
точки послiдовностi \{ T jx\} \infty j=0. Отже, x /\in Qi\prime i x /\in
\infty \bigcap
i=1
Qi. Таким чином,
\bigcup
\scrA \prime \supseteq \scrA
\frakB (\scrA \prime ) =
\bigcap
i
Qi
i є множиною типу G\delta .
Теорема 2.
\bigcup
\scrA \prime \subseteq \scrA
\frakB (\scrA \prime ) — множина типу F\sigma \delta .
Якщо F \subseteq X — довiльна замкнена множина, то множина p0(F ), що складається з точок
x \in F, для яких T jx \in F, j = 1, 2, . . . , також замкнена. Множини pj(F ), j = 1, 2, . . . , що
складаються з точок x \in X, для яких T jx \in p0(F ), також замкненi. Отже, p(F ) =
\infty \bigcup
j=0
pj(F ) —
множина типу F\sigma . Точка x \in X належить p(F ) тодi й лише тодi, коли iснує номер jx : T jx \in F
при j \geq jx.
Розглянемо послiдовнiсть вiдкритих множин U1 \supset U2 \supset U3 \supset . . . таких, що
\infty \bigcap
i=1
Ui = \scrA .
Нехай Fi — замикання множини Ui. Побудуємо множини p(Fi), i = 1, 2, . . . . Стверджується,
що
\bigcup
\scrA \prime \subseteq \scrA
\frakB (\scrA \prime ) =
\infty \bigcap
i=1
p(Fi).
Справдi, якщо x \in \frakB (\scrA \prime ), \scrA \prime \subseteq \scrA , то x \in p(Fi), i = 1, 2, . . . . Якщо x \in \frakB (\scrA \prime \prime ) та iснує
точка y \in \scrA \prime \prime , яка не належить \scrA , то знайдеться номер i\prime такий, що y /\in Fi\prime , i тодi x /\in p(Fi\prime ).
Висновок 1. \frakB (\scrA ) — множина типу F\sigma \delta .
Вiдразу ж виникає питання про iснування вiдображень, для яких досягаються знайденi тут
верхнi оцiнки для структури басейнiв атракторiв. Атрактори \scrA , для яких басейни \frakB (\scrA ) є
G\delta \sigma -множинами, можуть слугувати деяким базисом у просторi всiх атракторiв.
Вкажемо деякi умови, за яких басейни атракторiв мають бiльш просту структуру.
З теореми 1 безпосередньо випливають такi висновки.
Висновок 2. Якщо не iснує множин \scrA \prime \supset \scrA , то \frakB (\scrA ) — множина типу G\delta .
Висновок 3. Якщо iснує окiл множини \scrA , який не мiстить множин \scrA \prime \supset \scrA , то \frakB (\scrA ) —
множина типу G\delta \sigma .
Справдi, розглянемо вiдкриту в X множину U \supset \scrA таку, що для будь-якої множини \scrA \prime \supset \scrA ,
\scrA \prime \not \subset U. Позначимо X \prime множину точок x \in U, для яких T jx \in U, j = 1, 2, . . . . Множина X \prime
замкнена i TX \prime \subseteq X \prime . Множина Q = X \prime \cap
\bigcup
\scrA \prime \supseteq \scrA
\frakB (\scrA \prime ) є множиною типу G\delta . Якщо x \in \frakB (\scrA \prime ),
\scrA \prime \supset \scrA , то x /\in Q. Отже, Q = X \prime \cap \frakB (\scrA ). Для будь-якої точки x \in \frakB (\scrA ) iснує номер jx :
T jx \in U при j \geq jx. Це означає, що T jxx \in Q. Таким чином, \frakB (\scrA ) =
\infty \bigcup
j=0
T - jQ, де T - jQ —
множина точок x \in X, для яких T jx \in Q, i є множиною типу G\delta \sigma .
Якщо множина \scrA \cap \frakB (\scrA ) не порожня, то множина \frakB (\scrA ) на \scrA , як випливає з теореми 1, є
множиною типу G\delta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ДЕСКРИПТИВНА ТЕОРIЯ ДЕТЕРМIНОВАНОГО ХАОСУ 1713
Висновок 4. Якщо \scrA \cap \frakB (\scrA ) \not = \varnothing та iснує замкнена множина F \subset \scrA : F \not = \scrA , TF = F,
то \frakB (\scrA ) не є F\sigma -множиною.
Справдi, множина \scrA \cap \frakB (\scrA ) скрiзь щiльна на \scrA i є G\delta -множиною. Множина \scrA \cap (X\setminus \frakB (\scrA ))
також скрiзь щiльна на \scrA [14] (теорема 1.1.6). Отже, \scrA \cap (X \setminus \frakB (\scrA )) не є G\delta -множиною (бо
будь-якi двi G\delta -множини, замикання яких спiвпадають, мають непорожнiй перетин). Оскiльки
\scrA — замкнена множина, то X \setminus \frakB (\scrA ) не є G\delta -множиною, а \frakB (\scrA ) — F\sigma -множиною.
Отже, всi розглянутi тут множини, принаймнi, є F\sigma \delta - або ж G\delta \sigma -множинами. Таким чином,
навiть достатньо тонкий аналiз динамiчних систем не виводить нас за межi множин 3-го класу
класифiкацiї Бера – Валле-Пуссена.
3. Приклади множин 3-го класу i вище третього. Вочевидь, можна навести алгоритми
побудови пiдмножин множин \frakB (\scrA ), що належать класам вище третього. На пiдтвердження
цього розглянемо приклад Бера множини 3-го класу [15] i приклади Л. В. Келдиш множин
класу вище третього [16].
Нехай X складається з iррацiональних точок iнтервалу (0, 1). У цьому випадку X не є
компактом (у звичайнiй топологiї), а лише абсолютною G\delta -множиною. Будь-якiй точцi з X
вiдповiдає єдиний ланцюговий дрiб
1
n1 +
1
n2 +
1
n3 + . . .
.
Множина Бера \BbbB 3-го класу складається з точок ланцюгового дробу, в яких nj \rightarrow \infty .
I цей же приклад „з точки зору” динамiчних систем. Нехай вiдображення g : X \rightarrow X
задається формулою g : x \mapsto \rightarrow \{ 1/x\} , де \{ . . .\} позначає дробову частину числа. Вiдображен-
ня g неперервне на X (метрика для ланцюгових дробiв) i g(X) = X. Справдi, якщо x =
=
1
n1 +
1
n2 +
1
n3 + . . .
, то g(x) =
1
n2 +
1
n3 + . . .
. Отже, множина Бера \BbbB третього класу скла-
дається з точок x \in X, для яких gjx \rightarrow 0, коли j \rightarrow \infty , тобто, в наших позначеннях, множина
\BbbB є басейном атрактора \{ x = 0\} .
Множини Л. В. Келдиш класiв вище третього є пiдмножинами множини Бера, i, отже, точки
цих пiдмножин повиннi вiдрiзнятися ще й тим чи iншим способом наближення траєкторiї \{ T jx\}
до точки x = 0. Наприклад, множина 4-го класу складається з точок множини Бера, для яких,
яким би не було число i, знайдеться таке n(i), що для всiх n > n(i) кiлькiсть чисел nj , рiвних
n, кратне 2i [16]. Iншими словами, вона складається з точок x \in X : T jx \rightarrow 0 i для будь-якого
i iснує таке n(i), що число попадань точки x в iнтервал
\biggl(
1
n+ 1
,
1
n
\biggr)
при n > n(i) кратне 2i.
Чи досягаються цi верхнi оцiнки хоча б для деяких класiв динамiчних систем i, отже, ма-
тимемо для таких систем складне переплетення траєкторiй, якi прямують до рiзних атракторiв
— це досить складна задача навiть для одновимiрних систем. . .
Проте, як з’ясувалося, всi цi оцiнки досягаються одновимiрними системами, коли система
має цикл перiоду \not = 2i. А саме, в [3, 4, 17] було показано, що в цьому випадку iснує макси-
мальний атрактор A\itm \ita \itx , який мiстить цикли i континуум рiзних атракторiв типу (c); басейн
кожного такого (типу (с)) атрактора є множиною 3-го класу, тобто є F\sigma \delta -множиною i не є
G\delta \sigma -множиною. Це означає, що:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1714 О. М. ШАРКОВСЬКИЙ
1) тут ми маємо дуже складне переплетення траєкторiй з рiзною асимптотичною поведiн-
кою,
2) з точки зору дескриптивної теорiї, одновимiрний хаос настiльки ж складний, як i бага-
товимiрний та навiть нескiнченновимiрний хаос.
4. Критерiй Бера належностi множини до 3-го класу. Нехай Pj1j2...jk , k = 1, 2, . . . ,
jk = 1, 2, . . . , — довершенi нiде не щiльнi множини на R (або на множинi iррацiональних
чисел J ) та
1) Pj1...jkjk+1
\subset Pj1...jk ,
2) Pj1...jkjk+1
нiде не щiльнi на Pj1...jk ,
3) Qk =
\infty \bigcup
jk+1=1
Pj1...jkjk+1
, k = 1, 2, . . . , скрiзь щiльнi на Pj1...jk .
Тодi множина
\infty \bigcap
k=1
Qk є множиною Бера третього класу.
Теорема А. Якщо вiдображення має притягувально-вiдштовхувальну нерухому точку, то
басейн цiєї точки є множиною Бера третього класу.
0
00
Рис. 2. Дорога до хаосу через „повзучий feedback” (негладка реалiзацiя).
На рис. 2 показано, як вiдбувається вiдштовхування вiд нерухомої точки x = 0 та притягу-
вання до неї („повзучий зворотний зв’язок”).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ДЕСКРИПТИВНА ТЕОРIЯ ДЕТЕРМIНОВАНОГО ХАОСУ 1715
Залишилося показати, що множину точок x, для яких f i(x) \rightarrow 0, коли i \rightarrow \infty , можна
представити як суму двох множин, а саме, множини, що задовольняє критерiй Бера бути
множиною третього класу, та множини класу \leq 2. Саме ця досить складна задача розв’язується
в [3] та [14, с. 114 – 133].
Теорема Б. Якщо атрактор \scrA не є максимальним або локально максимальним (тобто
будь-який окiл \scrA мiстить атрактор \~\scrA \supset \scrA ) i мiстить цикл, то басейн \scrB (\scrA ) є множиною
Бера третього класу.
Теорему доведено в [4], базуючись на доведеннi вiдповiдної теореми для циклiв у [3].
Для одновимiрних систем тiльки необерненiсть \bfitf надає зворотний зв’язок, який вiд-
криває дорогу до хаосу.
Тут ми вже маємо „швидкий зворотний зв’язок” як для циклiв, так i для локально мак-
симальних атракторiв. Проте „повзучий зворотний зв’язок” залишається визначальним для
атракторiв, якi не є локально максимальними.
Найпростiшим прикладом такого атрактора може бути гомоклiнiчна траєкторiя разом iз
циклом, до якого вона прямує. . .
Як же виникає цей „повзучий зворотний зв’язок”? Пояснення досить складнi навiть у
випадку гладких систем.
5. Як можна вiдокремити (роздiлити) басейни рiзних атракторiв. Для будь-яких двох
атракторiв \scrA \prime ,\scrA \prime \prime \subset \scrA \itm \ita \itx , що не перетинаються, iснують локально максимальнi атрактори
\scrA \prime
l\itm \ita \itx ,\scrA \prime \prime
l\itm \ita \itx , якi не перетинаються i мiстять, вiдповiдно, \scrA \prime та \scrA \prime \prime [14] (роздiл 4). Тому їхнi
басейни можна вiдокремити один вiд одного множинами \scrB \prime i \scrB \prime \prime другого класу Бера, а саме,
F\sigma -множинами
\scrB \prime =
\infty \bigcup
i=0
f - i(\scrA \prime
l\itm \ita \itx ) =
\bigcup
\scrA \subseteq \scrA \prime
l\itm \ita \itx
\scrB (\scrA ),
\scrB \prime \prime =
\infty \bigcup
i=0
f - i(\scrA \prime \prime
l\itm \ita \itx ) =
\bigcup
\scrA \subseteq \scrA \prime \prime
l\itm \ita \itx
\scrB (\scrA ).
Отже, басейни будь-яких двох атракторiв, якi є множинами 3-го класу, завжди можна вiд-
окремити один вiд одного множинами 2-го класу.
6. Сiм’я всiх атракторiв i сiм’я всiх локально максимальних атракторiв. Звiсно, iн-
формацiя про самi атрактори та їхнi взаємозв’язки має складати суттєву частину дескриптивної
теорiї хаосу.
В [17] та [14] (роздiл 4) розглянуто сiм’ї \frakM i \frakM \prime всiх атракторiв та, вiдповiдно, всiх локально
максимальних атракторiв, якi мiстяться в \scrA \itm \ita \itx .
\frakM мiстить континуум локально максимальних атракторiв, вiдмiнних вiд циклiв; кожен з
них є канторовою множиною, на якiй перiодичнi точки скрiзь щiльнi.
\frakM мiстить континуум мiнiмальних атракторiв, вiдмiнних вiд циклiв, i, отже, всi вони є
канторовими множинами.
Iснує природний частковий порядок в \frakM : якщо \scrA \prime \supset \scrA , то \scrA \prime передує \scrA у \frakM .
Максимальний атрактор \scrA \itm \ita \itx i кожний локально максимальний атрактор не мають безпосе-
реднього наступника в будь-якому максимальному ланцюгу. Кожний атрактор такого ланцюга,
вiдмiнний вiд \scrA \itm \ita \itx , має континуум безпосереднiх попередникiв (див. рис. 3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1716 О. М. ШАРКОВСЬКИЙ
Кожний максимальний ланцюг з \frakM \prime мiстить зчисленну кiлькiсть локально максимальних
атракторiв i подiбний до множини рацiональних точок:
для кожних \scrA \prime \subset \scrA \prime \prime iснує \scrA \prime \prime \prime такий, що \scrA \prime \subset \scrA \prime \prime \prime \subset \scrA \prime \prime . . . .
MMА
позначає локально максимальний атрактор, який є канторовою множиною
позначає локально максимальний атрактор, який є скінченною множиною (циклом)
↓ замінює знак ⊃
Рис. 3
7. Множина \bffrakM всiх атракторiв у просторi \bftwo \bfitX з метрикою Гаусдорфа. Цiкаво виглядає
сiм’я всiх атракторiв \frakM як множина у просторi 2X з метрикою Гаусдорфа.
Сiм’я \frakM утворює в просторi 2I (з метрикою Гаусдорфа) замкнену множину [18]. Ця мно-
жина нiде не щiльна на 2X .
Сiм’я \frakM \prime та сiм’я всiх циклiв \frakP утворюють у просторi 2X множини, скрiзь щiльнi на
множинi \frakM , тобто \frakP = \frakM \prime = \frakM .
8. Атракторна сiтка з локально максимальних атракторiв. Кожний максимальний лан-
цюг \frakL з \frakM \prime \setminus \frakP пiсля його замикання в метрицi Гаусдорфа перетворюється в множину Кантора
на 2X , яка починається в точцi, що вiдповiдає атрактору \scrA \itm \ita \itx , i закiнчується точкою, яка вiд-
повiдає мiнiмальному або майже мiнiмальному атрактору, на яких всi або майже всi траєкторiї
скрiзь щiльнi.
Рiзнi максимальнi ланцюги з \frakM \prime \setminus \frakP перетинаються на деяких локально максимальних
атракторах, що приводить у просторi 2X до перетину в певних точках рiзних канторових
множин i утворення канторовими множинами сiтки, вузлам якої вiдповiдають саме локально
максимальнi атрактори.
Отже, \frakM , як множина у просторi 2X , є сiткою зi сплетених канторових множин, що беруть
початок у точцi, яка вiдповiдає атрактору \scrA \itm \ita \itx , та зчисленної кiлькостi iзольованих точок, якi
вiдповiдають циклам з \frakP . Якщо \frakP \subset \frakM \prime , то \frakM \setminus \frakP є замкненою щiльною в собi множиною в
2X (див. рис. 4).
Множина \frakM має певну самоподiбнiсть (див. рис. 5). Наприклад, якщо X = S1 i f :
x \mapsto \rightarrow 2x \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1, то наступне твердження здається правдоподiбним: якщо \scrA \ast \in \frakM \prime є локально
максимальним атрактором i \frakM \scrA \ast = \{ \scrA \in \frakM | \scrA \subseteq \scrA \ast \} , то на 2X iснує гомеоморфiзм \phi \scrA \ast
такий, що \phi \scrA \ast (\frakM ) = \frakM \scrA \ast .
Однак доведення результатiв, якi мiстилися у [17], на жаль, нiколи не були опублiкованi, хоча
всi доведення були повнiстю наведенi в докторськiй дисертацiї автора (1966 рiк). Публiчний
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
ДЕСКРИПТИВНА ТЕОРIЯ ДЕТЕРМIНОВАНОГО ХАОСУ 1717
Рис. 4
захист цiєї дисертацiї вiдбувся у травнi 1967 року, i тодi, ймовiрно, мало сенс „зупинитися”,
„озирнутися” i, можливо, приєднатися до бiльш популярної на той час тематики, наприклад,
долучитися до дослiдження гладких динамiчних систем.
Рис. 5
У 1971 роцi автор був органiзатором лiтньої школи з динамiчних систем. Лекцiї, прочитанi
в цiй школi, були опублiкованi у 1972 i 1976 роках (2-е вид.), а пiзнiше перекладенi англiйською
мовою Amer. Math. Society (В. М. Алексєєв, А. Б. Каток, А. Г. Кушнiренко, Три статтi про
динамiчнi системи, AMS Transl. (2), 116 (1981)).
А вже в 1974 роцi аспiрант автора В. С. Бондарчук захистив дисертацiю „Iнварiантнi мно-
жини гладких динамiчних систем” [19]. Суттєву частину цiєї дисертацiї було опублiковано в
статтях [20, 21].
Стаття [21] мiстила майже всi твердження з [17] i використовувала тi ж методи доведен-
ня, що i в [14] (роздiл 4.1). Таким чином, методи доведення основних результатiв [17] були
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
1718 О. М. ШАРКОВСЬКИЙ
фактично опублiкованi ще в 1973 роцi, хоча i в застосуваннi вже до дещо iнших об’єктiв. При
цьому В. С. Бондарчук використав також ще один метод, а саме, метод марковських розбиттiв
i топологiчних ланцюгiв Маркова, розроблений Я. Г. Сiнаєм i вiдповiдним чином модернiзова-
ний для розширюючих ендоморфiзмiв В. С. Бондарчуком. У [20] був використаний алгоритм
для реконструкцiї (вiдновлення) вiдображення f, застосований у [14] (роздiл. 4.2). Динамiчна
система, породжувана f, має так багато атракторiв (тобто, \omega -граничних множин), що функцiя
f(x) справдi може бути вiдновлена (поточково!) для кожного x, якщо мати тiльки атрактори її
траєкторiй!
Лiтература
1. S. Ruette, Chaos on the interval, Amer. Math.Soc., Ser. Univ. Lect., 67 (2017).
2. А. Н. Шарковский, О притягивающих и притягивающихся множествах, Докл. АН СССР, 160, № 5, 1036 – 1038
(1965) (переклад: Soviet Math. Dokl., 6, 268 – 270 (1965)).
3. А. Н. Шарковский, Об одной классификации неподвижных точек, Укр. мат. журн., 17, № 5, 80 – 95 (1965)
(переклад: Amer. Math. Soc. Transl. (2), 97, 159 – 179 (1970)).
4. А. Н. Шарковский, Поведение отображения в окрестности притягивающего множества, Укр. мат. журн.,
18, № 2, 60 – 83 (1966) (переклад: Amer. Math. Soc. Transl. (2), 97, 227 – 258 (1970)).
5. T.-Y. Li, J.A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82, № 10, 985 – 992 (1975).
6. P. Kloeden, M. Deakin, A. Tirkel, A precise definition of chaos, Nature, 264 (1976), p. 295.
7. A. N. Sharkovsky, Coexistence of the cycles of a continuous map of the line into itself, Ukr. Math. J., 16, № 1,
61 – 71 (1964); Intern. J. Bifurcation and Chaos, 5, № 5, 1263 – 1273 (1995); Reprint of the paper in World Sci. Ser.
Nonlinear Sci. Ser. B, 8, Thirty years after Sharkovskii’s theorem: new perspectives (Murcia, 1994), 1 – 11 (1995).
8. А. Н. Шарковский, Строение эндоморфизма на \omega -предельном множестве, Intern. Math. Congress (Moscow,
1966), секц. 6, тез., с. 51.
9. A. N. Shakovsky, How complicated can be one-dimensional dynamical systems: descriptive estimates of sets,
Dynamical Systems and Ergodic Theory (Warsaw, 1986), Banach Center Publ., 23, Warsaw, 447 – 453 (1989).
10. А. Г. Сивак, Дескриптивные оценки для статистически предельных множеств динамических систем, Дина-
мические системы и турбулентность, Ин-т математики НАН Украины, Киев (1989), с. 100 – 102.
11. А. Г. Сивак, О структуре множества траекторий, порождающих инвариантную меру, Динамические систе-
мы и нелинейные явления, Ин-т математики НАН Украины, Киев (1990), с. 39 – 43.
12. А. Г. Сивак, \sigma -Аттракторы траекторий и их бассейны, Добавление, гл. 7, в [14], с. 281 – 310.
13. A. N. Sharkovsky, A. G. Sivak, Basins of attractors of trajectories, J. Difference Equat. and Appl., 22, № 2, 159 – 163
(2016).
14. А. Н. Шарковский, Аттракторы траекторий и их бассейны, Наук. думка, Киев (2013).
15. R. Baire, Sur la representation des fonctions discontinues, Acta Math., 30 (1905).
16. Л. В. Келдыш, Структура B-множеств, Тр. Мат. ин-та им. Стеклова, 17 (1945).
17. А. Н. Шарковский, Частично упорядоченная система притягивающих множеств, Докл. АН СССР, 170, № 6,
1276 – 1278 (1966) (переклад: Soviet Math. Dokl., 7, 1384 – 1386 (1966)).
18. A. M. Blokh, A. M. Bruckner, P. D. Humke, J. Smital, Space of \omega -limit sets of a continuous map of the interval,
Trans. Amer. Math. Soc., 348, № 4, 1357 – 1372 (1996).
19. В. С. Бондарчук, Инвариантные множества гладких динамических систем, Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Киев
(1974).
20. В. С. Бондарчук, А. Н. Шарковский, Восстанавливаемость расширяющих эндоморфизмов по системе \omega -
предельных множеств, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравне-
ний, Ин-т математики АН УССР, Киев (1973), с. 28 – 34.
21. А. Н. Шарковский, В. С. Бондарчук, Частично упорядоченная система \omega -предельных множеств растягиваю-
щих эндоморфизмов, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений,
Ин-т математики АН УССР, Киев (1973), с. 128 – 164.
Одержано 26.03.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-6515 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:35Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f5/11726b7ff5079a0bb0578c1a562207f5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65152023-01-26T14:03:59Z Descriptive theory of determined chaos Дескриптивна теорія детермінованого хаосу Sharkovs’kyi , О. М. Шарковський, О. М. Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин Descriptive (that is, descriptive) theory of sets UDC 519.14 Descriptive theory of sets – a classical branch of mathematics that arose at the beginning of the last century. This article offers the basics of descriptive chaos theory. It is shown that a dynamic system, if the topological entropy is positive: 1) has many different trajectory attractors, namely, a continuum of attractors; 2) the basins of most attractors have an overly complex structure, namely, are sets of the third class according to the terminology of descriptive set theory; 3) the basins of different attractors are too strongly intertwined and cannot be separated from each other by any open or closed sets, but only by sets of the second complexity class and 4) the set of all attractors of the dynamical system forms an attractor grid (network) in the space of closed sets of the state space (with the Hausdorff metric), the cells of which are created by Cantor sets from the attractors themselves. \end{enumerate} УДК 519.14 Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин --- класичний роздiл математики, який виник на початку минулого століття. У цій статті запропоновано основи дескриптивної теорiї хаосу. Показано, що динамiчна система, якщо топологiчна ентропiя додатна: 1) має дуже багато рiзних атракторів траєкторiй, а саме, континуум атракторів;  2) басейни бiльшостi атракторів мають надскладну будову, а саме, є множинами 3-го класу за термiнологiєю дескриптивної теорiї множин;  3) басейни рiзних атракторів дуже сильно переплiтаються, i їх неможливо вiдокремити один вiд одного нiякими вiдкритими чи замкненими множинами, а можна лише множинами 2-го класу складностi та 4) множина всiх атракторів динамiчної системи утворює в просторi замкнених множин простору станiв (з метрикою Гаусдорфа) атракторну сiтку (мережу), комiрки якої створюються канторовими множинами з самих атракторів.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-01-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6515 10.37863/umzh.v74i12.6515 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 12 (2022); 1709 - 1718 Український математичний журнал; Том 74 № 12 (2022); 1709 - 1718 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6515/9346 Copyright (c) 2023 Олександр Шарковський |
| spellingShingle | Sharkovs’kyi , О. М. Шарковський, О. М. Descriptive theory of determined chaos |
| title | Descriptive theory of determined chaos |
| title_alt | Дескриптивна теорія детермінованого хаосу |
| title_full | Descriptive theory of determined chaos |
| title_fullStr | Descriptive theory of determined chaos |
| title_full_unstemmed | Descriptive theory of determined chaos |
| title_short | Descriptive theory of determined chaos |
| title_sort | descriptive theory of determined chaos |
| topic_facet | Дескриптивна (тобто описова) теорiя множин Descriptive (that is descriptive) theory of sets |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6515 |
| work_keys_str_mv | AT sharkovskyiom descriptivetheoryofdeterminedchaos AT šarkovsʹkijom descriptivetheoryofdeterminedchaos AT sharkovskyiom deskriptivnateoríâdetermínovanogohaosu AT šarkovsʹkijom deskriptivnateoríâdetermínovanogohaosu |