Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order
UDC 517.956.4 For $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-parabolic equations with continuous coefficients, the problem of finding classical solutions that satisfy a modified initial condition with generalized data such as the Gelfand and Shilov distributions is considered.This condition linearl...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6521 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512426168942592 |
|---|---|
| author | Unguryan, G. M. Унгурян , Г. М. |
| author_facet | Unguryan, G. M. Унгурян , Г. М. |
| author_sort | Unguryan, G. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.956.4
For $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-parabolic equations with continuous coefficients, the problem of finding classical solutions that satisfy a modified initial condition with generalized data such as the Gelfand and Shilov distributions is considered.This condition linearly combines the values of the solution at the initial and an intermediate points in time.The conditions for the correct solvability of this problem are clarified and the formula for its solution is found.With the help of the obtained results, the corresponding problem with impulse action is solved. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.6521 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.6521
УДК 517.956.4
Г. М. Унгурян (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ВЕКТОРНОГО ПОРЯДКУ
For \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -parabolic equations with continuous coefficients, the problem of finding classical solutions that satisfy a
modified initial condition with generalized data such as the Gelfand and Shilov distributions is considered. This condition
linearly combines the values of the solution at the initial and an intermediate points in time. The conditions for the correct
solvability of this problem are clarified and the formula for its solution is found. With the help of the obtained results, the
corresponding problem with impulse action is solved.
Для \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -параболiчних рiвнянь з неперервними коефiцiєнтами розглядається задача про знаходження класичних
розв’язкiв, якi задовольняють модифiковану початкову умову з узагальненими даними типу розподiлiв Гельфанда
i Шилова. Ця умова лiнiйно поєднує в собi значення розв’язку в початковий та деякий промiжний моменти часу.
З’ясовано умови коректної розв’язностi цiєї задачi та знайдено формулу її розв’язку. З допомогою одержаних
результатiв розв’язано вiдповiдну задачу з iмпульсною дiєю.
Вступ. Нехай \BbbN — множина натуральних чисел, \BbbN m := \{ 1, . . . ,m\} ; \BbbR n — дiйсний простiр
розмiрностi n \geq 1 зi скалярним добутком (\cdot , \cdot ) та нормою \| x\| := (x, x)1/2, \BbbR := \BbbR 1; \BbbZ n
+ —
множина всiх n-вимiрних мультиiндексiв, \BbbZ + := \BbbZ 1
+; i — уявна одиниця; | x+iy| := (x2+y2)1/2,
якщо \{ x, y\} \subset \BbbR ; zl := zl11 . . . zlnn , \| z\| l := | z1| l1 + . . . + | zn| ln , | l| := l1 + . . . + ln, 1/l :=
:= (1/l1, . . . , 1/ln), якщо z := (z1, . . . , zn) \in \BbbR n, l := (l1, . . . , ln) \in \BbbZ n
+; \partial
k
x — частинна похiдна
за змiнною x порядку k.
Зафiксуємо довiльно вектор - \rightarrow p \in \BbbZ n
+ iз компонентами pj > 1 i розглянемо диференцiальне
рiвняння вигляду
\partial tu(t;x) = P (t; i\partial x)u(t;x), (t;x) \in \Pi (0;T ] := (0;T ]\times \BbbR n, (1)
в якому
P (t; i\partial x) =
\sum
k1/p1+...+kn/pn\leq 1
ak(t)i
| k| \partial k
x
(тут коефiцiєнти ak(\cdot ) — неперервнi на множинi [0;T ] функцiї).
Вважатимемо, що рiвняння (1) на множинi \Pi [0;T ] є рiвномiрно \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -параболiчним iз
показником параболiчностi
- \rightarrow
h \in \BbbZ n
+, 0 < hj \leq pj , тобто таким, що [15]
\exists \delta > 0 \exists \delta 0 \geq 0 \forall t \in [0;T ] \forall \xi \in \BbbR n : \mathrm{R}\mathrm{e}P (t; \xi ) \leq - \delta \| \xi \|
- \rightarrow
h + \delta 0.
У [15] з’ясовано, що кожне
- \rightarrow
2b-параболiчне (за Ейдельманом) рiвняння (1) є також \{
- \rightarrow
2b;
- \rightarrow
2b\} -
параболiчним, а кожне параболiчне за Шиловим рiвняння порядку p з показником параболiч-
ностi h — \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -параболiчним з pj = p i hj = h.
Для рiвняння (1) задамо початкову умову
u(t; \cdot )| t=0
= f. (2)
c\bigcirc Г. М. УНГУРЯН, 2021
1532 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1533
Дослiдження задачi Кошi (1), (2) у випадку, коли початкова функцiя f є узагальненою функ-
цiєю типу розподiлiв Гельфанда i Шилова, проводилось у працi [15], де встановлено коректну
розв’язнiсть цiєї задачi та описано всi класичнi розв’язки рiвняння (1) у просторах типу S
основних функцiй Гельфанда i Шилова. Подiбнi результати для параболiчних за Шиловим рiв-
нянь одержано в [14]. У працях [16, 17] також наведено альтернативнi методи дослiдження
фундаментального розв’язку задачi Кошi для параболiчних за Шиловим систем, якi дозволя-
ють уникнути поняття роду рiвняння та труднощiв, пов’язаних iз його знаходженням. Коректну
розв’язнiсть задачi Кошi для параболiчних за Шиловим та
- \rightarrow
2b-параболiчних рiвнянь у прос-
торах розподiлiв Гельфанда i Шилова, а також принцип локалiзацiї розв’язку на початковiй
гiперплощинi встановлено в [5, 6]. Властивостi стабiлiзацiї розв’язкiв параболiчного рiвнян-
ня (1) при спецiальних \Lambda -умовах вивчалися в [7, 10]. Класи єдиностi та коректностi задачi Кошi
для рiвняння (1) зi скалярною параболiчнiстю описано в [3, 35]. Працi [11, 18 – 22] присвячено
побудовi теорiї задачi Кошi для рiвняння (1) з коефiцiєнтами, залежними вiд просторової змiн-
ної. Результати цих дослiджень природно доповнюють i узагальнюють класичну теорiю задачi
Кошi для параболiчних за Петровським рiвнянь [9, 27, 33].
Деякi задачi теплофiзики, астрономiї, дифузiї, демографiї, математичної бiологiї тощо (див.
[1, 2, 26, 30]) своєю специфiкою приводять до узагальнення початкової умови (2), зокрема до
формулювання її у виглядi
u(t; \cdot )| t=0
+ \nu u(t; \cdot )| t=t1
= f. (3)
Тут \nu i f — вiдомi величини, a t1 — фiксований промiжний момент часу, t1 \in (0;T ].
Для параболiчних за Петровським рiвнянь, тобто рiвнянь (1) зi скалярною параболiчнiстю,
в яких p = h = 2b, задачi з умовою (3) та умовами бiльш загальної форми розглядались у
[8, 12, 13, 24, 31, 34]. Тут з’ясовуються рiзноманiтнi питання про коректнiсть постановки таких
задач та методи їх розв’язування за тих чи iнших умов на вхiднi данi.
Метою даної роботи є встановлення для параболiчного диференцiального рiвняння (1) век-
торного порядку коректної розв’язностi задачi з еволюцiйною умовою (3) у класi узагальнених
початкових даних типу розподiлiв Гельфанда i Шилова, а також розв’язання цiєї задачi з наяв-
ним часовим iмпульсом, який може вiдбутися як до моменту часу t1, так i пiсля нього.
Зазначимо, що задачi з iмпульсною дiєю для диференцiальних рiвнянь дослiджувались у
багатьох працях, зокрема в [29, 32], при цьому задача Кошi з iмпульсною дiєю для параболiчних
рiвнянь розглядалась у [23, 25, 28].
Опишемо коротку структуру роботи. У першому пунктi наведено необхiдну iнформацiю про
простори основних i узагальнених функцiй, якi слугуватимуть тут середовищем дослiдження
еволюцiйної задачi, а також вiдомостi про коректну розв’язнiсть задачi Кошi для параболiчних
за Шиловим рiвнянь (1). У другому пунктi шляхом зведення до вiдповiдної задачi Кошi (1), (2)
знайдено класичнi розв’язки еволюцiйної задачi (1), (3) з узагальненими початковими даними
f. Задачу (1), (3) з iмпульсною пiслядiєю та переддiєю розв’язано вiдповiдно в пунктах 3 i 4.
Останнiй пункт мiстить висновки.
1. Попереднi вiдомостi. Нехай \BbbC \infty (\BbbR n) — клас усiх нескiнченно диференцiйовних на \BbbR n
функцiй, S — простiр Л. Шварца елементiв з \BbbC \infty (\BbbR n), якi швидко спадають на нескiнченностi,
a S\prime — вiдповiдний простiр розподiлiв Шварца [4].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1534 Г. М. УНГУРЯН
Для \alpha i \beta з \BbbR n iз додатними компонентами \alpha j , \beta j покладемо
S\alpha = \{ \varphi \in S| \exists A > 0 \forall k \in \BbbZ n
+ \exists ck > 0 \forall q \in \BbbZ n
+ \forall x \in \BbbR n : | xq\partial k
x\varphi (x)| \leq ckA
| q| q\alpha q\} ,
S\beta = \{ \varphi \in S| \exists B > 0 \forall q \in \BbbZ n
+ \exists cq > 0 \forall k \in \BbbZ n
+ \forall x \in \BbbR n : | xq\partial k
x\varphi (x)| \leq cqB
| k| k\beta k\} ,
S\beta
\alpha = \{ \varphi \in S| \exists A > 0 \exists B > 0 \exists c > 0 \forall \{ k, q\} \subset \BbbZ n
+ \forall x \in \BbbR n : | xq\partial k
x\varphi (x)| \leq cA| q| B| k| q\alpha qk\beta k\} .
Множини S\alpha , S
\beta i S\beta
\alpha з вiдповiдними топологiями [4] є злiченно-нормованими повними дос-
коналими просторами, якi називаються просторами типу S Гельфанда i Шилова.
Простiр S\beta
\alpha нетривiальний при \alpha j + \beta j \geq 1, j \in \BbbN n, i складається лише з тих функцiй
\varphi \in \BbbC \infty (\BbbR n), що задовольняють нерiвнiсть
| \partial k
x\varphi (x)| \leq cB| k| k\beta ke - \delta \| x\| 1/\alpha , k \in \BbbZ n
+, x \in \BbbR n,
з додатними сталими c, B i \delta , залежними тiльки вiд функцiї \varphi [4].
У просторах типу S визначенi та неперервнi операцiї додавання, множення, згортки й
оператор F перетворення Фур’є, причому виконуються топологiчнi рiвностi F [S\alpha ] = S\alpha ,
F [S\beta ] = S\beta , F [S\beta
\alpha ] = S\alpha
\beta [4].
Позначимо через \Phi \prime простiр, топологiчно спряжений iз простором \Phi \in
\bigl\{
S1/
- \rightarrow
h ;S
1/
- \rightarrow
h
- \rightarrow
\beta
, \beta j \geq
\geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}l\in \BbbN n pl/hl - 1/hj
\bigr\}
. Перетворення Фур’є узагальненої функцiї f \in \Phi \prime , а також згортку
f \ast g елементiв \{ f, g\} \subset \Phi \prime визначимо спiввiдношеннями [4]
\langle F [f ], F [\varphi ]\rangle = (2\pi )n\langle f, \varphi \rangle , \langle f \ast g, \varphi \rangle = \langle f, g \ast \varphi \rangle , \varphi \in \Phi
(тут кутовими дужками \langle \rangle позначено дiю узагальненої функцiї на основну). Очевидно, що
операцiя згортки f \ast g у просторi \Phi \prime iснуватиме, якщо узагальнена функцiя g є згортувачем у
просторi \Phi , тобто такою, що:
1) (g \ast \varphi )(\cdot ) := \langle g(x), \varphi (x+ \cdot )\rangle \in \Phi (\forall \varphi \in \Phi );
2) операцiя згортки g з елементами \varphi \in \Phi є неперервною в просторi \Phi .
Звiдси приходимо до рiвностi F [f \ast g] = F [f ]F [g], з якої зрозумiло, що елемент g \in
\in \Phi \prime є згортувачем у \Phi лише тодi, коли його перетворення Фур’є F [g] — мультиплiкатор у
вiдповiдному просторi F [\Phi ].
Правильним є такий критерiй мультиплiкатора [15]: Нехай \theta t\tau (\cdot ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{ \int t
\tau
P (\tau ; \cdot )d\tau
\biggr\}
,
0 \leq \tau < t \leq T. Тодi для того, щоб функцiя \mu (\cdot ) \in \BbbC \infty (\BbbR n) була мультиплiкатором у просторi
F [\Phi ], необхiдно й достатньо, щоб для кожного фiксованого t, 0 < t < 1, добуток (\mu \theta t0)(\cdot )
належав до простору F [\Phi ].
У [15] дослiджено властивостi функцiї \theta t\tau (\cdot ). Зокрема, встановлено належнiсть \theta t\tau (\cdot ) до
простору S
- \rightarrow
\lambda
1/
- \rightarrow
h
, \lambda j := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}l\in \BbbN n pl/hl - 1/hj , при кожному фiксованому t > \tau та одержано
оцiнки\bigm| \bigm| \partial k
\xi \theta
t
\tau (\xi )
\bigm| \bigm| \leq ce\delta (t - \tau )A| k| k
- \rightarrow
\lambda k(t - \tau )n+\gamma (k)e - \delta 0(t - \tau )\| \xi \|
- \rightarrow
h
, k \in \BbbZ n
+, \xi \in \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T,
(4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1535
з додатними сталими c, \delta , \delta 0 i A. Тут \gamma (k) = 1 +
\sum n
j=1
kj(1 - \lambda j), якщо 0 < t - \tau < 1, i
\gamma (k) =
\sum n
j=1
kj(1 + 1/hj) при 1 \leq t - \tau .
Розглянемо задачу Кошi для рiвняння (1) з початковою умовою (2), в якiй f — функцiонал
iз простору \Phi \prime .
Означення. Розв’язком задачi Кошi (1), (2) на множинi \Pi (0;T ] називається функцiя u,
яка на \Pi (0;T ] задовольняє рiвняння (1) у звичайному розумiннi, а початкову умову (2) у сенсi
збiжностi в просторi \Phi \prime .
Фундаментальним розв’язком задачi Кошi для рiвняння (1) є функцiя
G(t, \tau ; \cdot ) = F - 1[\theta t\tau (\xi )](t, \tau ; \cdot ), 0 \leq \tau < t \leq T.
Справджується таке твердження.
Теорема 1 [15]. Нехай f — дiйснозначний функцiонал iз простору \Phi \prime . Тодi вiдповiдна за-
дача Кошi (1), (2) на множинi \Pi (0;T ] коректно розв’язна, її розв’язок u(t;x) є диференцiйовною
за змiнною t та нескiнченно диференцiйовною за змiнною x функцiєю, для якої виконуються
такi умови:
1) F [\partial tu(t; \cdot )] = \partial tF [u(t; \cdot )], t \in (0;T ];
2) u(t;x) = f \ast G(t, 0;x), (t;x) \in \Pi (0;T ].
Цi результати ми використаємо при встановленнi розв’язностi вiдповiдної еволюцiйної за-
дачi Кошi (1), (3).
2. Еволюцiйна задача Кошi. Зафiксуємо довiльно дiйснозначний функцiонал f iз простору
\Phi \prime та параметр \nu \in \BbbR i для рiвняння (1) задамо еволюцiйну початкову умову (3), яку, з огляду
на диференцiйовнiсть функцiї u у точцi t1, розумiтимемо як слабку збiжнiсть у \Phi \prime :
\langle u(t;x), \varphi (x)\rangle - \rightarrow
t\rightarrow +0
\langle f(x) - \nu u(t1;x), \varphi (x)\rangle (\forall \varphi \in \Phi ).
Розв’яжемо одержану задачу (1), (3) методом перетворення Фур’є. Для цього запишемо
вiдповiдну двоїсту за Фур’є задачу
\partial tv(t; \xi ) = P (t; \xi )v(t; \xi ), (t; \xi ) \in \Pi (0;T ], (5)
\langle v(t; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle - \rightarrow
t\rightarrow +0
\langle F [f ](\xi ) - \nu v(t1; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle (\forall F [\varphi ] \in F [\Phi ]), (6)
де v = F [u].
Згiдно з класичною теоремою Кошi, всi розв’язки рiвняння (5) описуються формулою
v(t; \cdot ) = c(\cdot )\theta t0(\cdot ) з довiльною функцiєю c(\cdot ). Звiдси при 1 + \nu \theta t10 (\xi ) \not = 0, \xi \in \BbbR n, прихо-
димо до рiвносильностi умови (6) такiй початковiй умовi:
\langle v(t; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle - \rightarrow
t\rightarrow +0
\biggl\langle
F [f ](\xi )
1 + \nu \theta t10 (\xi )
, F [\varphi ](\xi )
\biggr\rangle
(\forall F [\varphi ] \in F [\Phi ]). (7)
Отже, при 1+\nu \theta t10 (\xi ) \not = 0, \xi \in \BbbR n, двоїста за Фур’є задача (5), (6) еквiвалентна задачi Кошi
(5), (7), при цьому єдиним розв’язком цих задач є функцiя
v(t; \xi ) =
F [f ](\xi )
1 + \nu \theta t10 (\xi )
\theta t0(\xi ), (t; \xi ) \in \Pi (0;T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1536 Г. М. УНГУРЯН
Тодi з огляду на теорему 1 для доведення коректної розв’язностi вихiдної задачi (1), (3) достат-
ньо обґрунтувати належнiсть функцiонала g = F - 1
\bigl[
(1+\nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast f до простору \Phi \prime та його
дiйснозначнiсть. Для цього, очевидно, досить показати, що функцiя \mu (\cdot ) = (1 + \nu \theta t10 (\cdot )) - 1 —
мультиплiкатор у просторi F [\Phi ].
Лема 1. Нехай параметр \nu такий, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\xi \in \BbbR n | 1 + \nu \theta t10 (\xi )| = b \not = 0. Тодi функцiя \mu (\cdot ) =
= (1 + \nu \theta t10 (\cdot )) - 1 — мультиплiкатор у просторi S
- \rightarrow
\lambda
1/
- \rightarrow
h
.
Доведення. Для спрощення викладок наведемо схему доведення при n = 1, скориставшись
iдеєю дослiдження фундаментального розв’язку для \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -параболiчних рiвнянь, запропо-
нованою в [15]. Зазначимо, що в цьому випадку S
- \rightarrow
\lambda
1/
- \rightarrow
h
= S
p1 - 1
h1
1/h1
.
Згiдно з вiдомою формулою Фаа де Бруно диференцiювання складеної функцiї
\partial k
xf(\varphi (x)) =
k\sum
r
k!
q!j! . . .m!
drf(\varphi )
d\varphi r
\Bigl( d\varphi (x)
1!dx
\Bigr) q\Bigl( d2\varphi (x)
2!dx
\Bigr) j
. . .
\Bigl( dl\varphi (x)
l!dx
\Bigr) m
, k \in \BbbZ +, x \in \BbbR
(тут знак суми поширюється на всi цiлочисловi невiд’ємнi розв’язки рiвняння k = q + 2j + . . .
. . .+ lm, a r = q + j + . . .+m), одержуємо
| \partial k
\xi \mu (\xi )| \leq
k\sum
r
k!(r - 1)!
q!j! . . .m!
\Bigl( | \nu |
b
\Bigr) r\bigm| \bigm| \bigm| d\theta t10 (\xi )
1!dx
\bigm| \bigm| \bigm| q\bigm| \bigm| \bigm| d2\theta t10 (\xi )
2!dx
\bigm| \bigm| \bigm| j . . . \bigm| \bigm| \bigm| dl\theta t10 (\xi )
l!dx
\bigm| \bigm| \bigm| m, k \in \BbbZ +, \xi \in \BbbR .
Звiдси, згiдно з формулою Стiрлiнга
n! =
\surd
2\pi n(n/e)n(1 +O(1/n)),
оцiнкою (4) i тим, що
r!
q!j! . . .m!
\leq 2k,
приходимо до висновку про iснування додатних сталих c, A таких, що для всiх k \in \BbbZ + i \xi \in \BbbR
виконується нерiвнiсть
| \partial k
\xi \mu (\xi )| \leq cAkk
p1 - 1
h1
k
,
яка у поєднаннi з оцiнкою (4) забезпечує належнiсть добутку (\mu \theta t0)(\cdot ) до простору S
p1 - 1
h1
1/h1
при
кожному фiксованому t \in (0; 1).
Лему доведено.
Отже, справджується таке твердження.
Теорема 2. Нехай параметр \nu такий, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\xi \in \BbbR n | 1 + \nu \theta t10 (\xi )| = b \not = 0, а f — дiйсно-
значний функцiонал iз простору \Phi \prime . Тодi вiдповiдна еволюцiйна задача (1), (3) на множинi
\Pi (0;T ] коректно розв’язна, її розв’язок u(t;x) є диференцiйовною за змiнною t та нескiнченно
диференцiйовною за змiнною x функцiєю, для якої виконуються такi умови:
1) F [\partial tu(t; \cdot )] = \partial tF [u(t; \cdot )], t \in (0;T ];
2) u(t;x) = g \ast G(t, 0;x), (t;x) \in \Pi (0;T ], де g = f \ast F - 1
\bigl[
(1+\nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1537
Перейдемо до розгляду еволюцiйної задачi Кошi (1), (3) з одинарною iмпульсною дiєю, яка
вiдбувається в момент часу t0 \in (0;T ). У цьому випадку рiвняння (1) розглядатиметься вже на
множинi \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} з додатковою умовою iмпульсу
u(t; \cdot )| t=t0+0
- u(t; \cdot )| t=t0 - 0
= \chi , (8)
де \chi \in \BbbR \setminus \{ 0\} . Вважатимемо, що розв’язок u в точцi t0 неперервний злiва. Тодi умову (8)
розумiтимемо в такому граничному сенсi:
\langle u(t;x), \varphi (x)\rangle - \rightarrow
t\rightarrow t0+0
\langle \chi + u(t0 - 0;x), \varphi (x)\rangle (\forall \varphi \in \Phi ).
З огляду на специфiку умови (3) при t1 \not = T можливi два випадки: t1 < t0 — iмпульсна
пiслядiя; t0 < t1 — iмпульсна переддiя.
Розглянемо окремо кожен iз цих випадкiв.
3. Еволюцiйна задача з iмпульсною пiслядiєю. Дослiдимо випадок, коли iмпульс вiдбувся
пiсля „контрольного замiру” еволюцiї u(t; \cdot ) розглядуваного процесу, тобто при t1 < t0. У цьому
випадку на множинi \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} маємо задачу (1), (3) i (8) при t1 < t0.
Перейдемо до розв’язування цiєї задачi. Якщо врахувати неперервнiсть злiва функцiї u(t; \cdot )
у точцi t0, то на часовому промiжку (0; t0] вихiдна задача (1), (3) i (8), очевидно, зведеться
до задачi (1), (3) з T = t0. Тодi, згiдно з теоремою 2, за вiдповiдних умов шуканий розв’язок
можемо записати у виглядi
u(t;x) = f \ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, 0;x), (t;x) \in \Pi (0;t0],
причому цей розв’язок єдиний на множинi \Pi (0;t0].
Далi, умова iмпульсу (8) набирає вигляду
u(t; \cdot )| t=t0+0
= \varrho , (9)
де \varrho = \chi + f \ast F - 1
\bigl[
(1+ \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t0, 0; \cdot ) — регулярний функцiонал iз простору \Phi \prime . Тому
знаходження розв’язку u задачi (1), (3) i (8) на промiжку (t0;T ] зводиться до розв’язування
задачi Кошi (1), (9) на множинi \Pi (t0;T ]. Скориставшись теоремою 1, знайдемо
u(t;x) = \varrho \ast G(t, t0;x), (t;x) \in \Pi (t0;T ],
i цей розв’язок також єдиний на \Pi (t0;T ].
Використання функцiї Хевiсайда
H(t) =
\Biggl\{
1, 0 < t,
0, t < 0,
дозволяє записати знайдений розв’язок на множинi \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} у виглядi
u(t;x) = H(t0 - t)
\Bigl(
f \ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, 0;x)
\Bigr)
+
+H(t - t0)
\Bigl( \bigl(
\chi + f \ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t0, 0; \cdot )
\bigr)
\ast G(t, t0;x)
\Bigr)
. (10)
Пiдсумуємо попереднi мiркування у виглядi такого твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1538 Г. М. УНГУРЯН
Теорема 3. Якщо параметр \nu такий, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\xi \in \BbbR n | 1+\nu \theta t10 (\xi )| = b \not = 0, а f — дiйснозначний
функцiонал iз простору \Phi \prime , то при t1 < t0 вiдповiдна задача (1), (3), (8) на множинi \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\}
коректно розв’язна. Її розв’язок u(t;x) зображується формулою (3); вiн є диференцiйовним за
змiнною t один раз i нескiнченно диференцiйовним за змiнною x, для якого виконується умова
F [\partial tu(t; \cdot )] = \partial tF [u(t; \cdot )], t \in (0;T ] \setminus \{ t0\} .
4. Еволюцiйна задача з iмпульсною переддiєю. Розглянемо тепер випадок, коли iмпульс
вiдбувся до „контрольного замiру” еволюцiї u(t; \cdot ) : t0 < t1. Тодi на множинi \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} маємо
задачу (1), (3), (8) при t0 < t1. Розв’язуючи її методом перетворення Фур’є, приходимо до
вiдповiдної двоїстої за Фур’є задачi:
\partial tv(t; \xi ) = P (t; \xi )v(t; \xi ), (t; \xi ) \in \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} , (11)
\langle v(t; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle - \rightarrow
t\rightarrow +0
\langle F [f ](\xi ) - \nu v(t1; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle , (12)
\langle v(t; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle - \rightarrow
t\rightarrow t0+0
\langle F [\chi ](\xi ) + v(t0 - 0; \xi ), F [\varphi ](\xi )\rangle (\forall F [\varphi ] \in F [\Phi ]). (13)
Шукаючи розв’язок цiєї задачi у виглядi
v(t; \cdot ) = H(t0 - t)c0(\cdot )\theta t0(\cdot ) +H(t - t0)c1(\cdot )\theta tt0(\cdot ), t \in (0;T ] \setminus \{ t0\} ,
безпосередньо з умов (12), (13) знаходимо
v(t; \xi ) = H(t0 - t)
F [f ](\xi ) - \nu F [\chi ](\xi )\theta t1t0 (\xi )
1 + \nu \theta t10 (\xi )
\theta t0(\xi )+
+H(t - t0)
F [f ](\xi )\theta t00 (\xi ) + F [\chi ](\xi )
1 + \nu \theta t10 (\xi )
\theta tt0(\xi ), (t; \xi ) \in \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} .
Звiдси приходимо до рiвносильностi на промiжку (0; t0) задачi (11) – (13) i задачi Кошi для
рiвняння (11) з початковою умовою
v(t; \cdot )| t=0
=
F [f ](\cdot ) - \nu F [\chi ](\cdot )\theta t1t0 (\cdot )
1 + \nu \theta t10 (\cdot )
.
Зазначимo, що згiдно з лемою 1 функцiонал F - 1
\bigl[
(1+\nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
(\cdot ) — згортувач у просторi
\Phi , a \nu \chi G(t1, t0; \cdot ) \in \Phi , тому на пiдставi теореми 1 вихiдна задача (1), (3), (8) на множинi \Pi (0;t0)
має єдиний розв’язок
u(t;x) =
\bigl(
f - \nu \chi G(t1, t0;x)
\bigr)
\ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, 0;x).
Далi, на промiжку (t0;T ] задачa (11) – (13) рiвносильна задачi Кошi для рiвняння (11) з
початковою умовою
v(t; \cdot )| t=t0
= \rho ,
в якiй \rho =
F [f ](\cdot )\theta t00 (\cdot ) + F [\chi ](\cdot )
1 + \nu \theta t10 (\cdot )
. Оскiльки F - 1[\rho ] — дiйснозначний функцiонал iз простору
\Phi \prime , то, згiдно з теоремою 1, єдиним розв’язком задачi (1), (3), (8) на множинi \Pi (t0;T ] є функцiя
u(t;x) =
\bigl(
f \ast G(t0, 0;x) + \chi
\bigr)
\ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, t0;x).
Отже, справджується таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ . . . 1539
Теорема 4. Нехай параметр \nu такий, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\xi \in \BbbR n | 1 + \nu \theta t10 (\xi )| = b \not = 0, а f — дiйснознач-
ний функцiонал iз простору \Phi \prime . Тодi вiдповiдна задача (1), (3), (8) при t0 < t1 на множинi
\Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} коректно розв’язна, її розв’язок u(t;x) є диференцiйовною за змiнною t та нескiн-
ченно диференцiйовною за змiнною x функцiєю, для якої виконуються такi умови:
1) F [\partial tu(t; \cdot )] = \partial tF [u(t; \cdot )], t \in (0;T ] \setminus \{ t0\} ;
2) u(t;x) = H(t0 - t)
\Bigl[ \bigl(
f - \nu \chi G(t1, t0;x)
\bigr)
\ast F - 1
\bigl[
(1+ \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, 0;x)
\Bigr]
+H(t - t0)\times
\times
\Bigl[ \bigl(
f \ast G(t0, 0;x) + \chi
\bigr)
\ast F - 1
\bigl[
(1 + \nu \theta t10 (\xi )) - 1
\bigr]
\ast G(t, t0;x)
\Bigr]
, (t;x) \in \Pi (0;T ]\setminus \{ t0\} .
5. Висновки. Для \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -параболiчних рiвнянь з неперервно залежними вiд часу коефi-
цiєнтами знайдено достатнi умови, за яких нелокальна двоточкова за часом задача має єдиний
класичний розв’язок у класi узагальнених початкових даних типу розподiлiв Гельфанда i Шило-
ва. Крiм того, встановлено коректну розв’язнiсть цiєї задачi iз наявним одинарним iмпульсом,
при цьому окремо розглянуто випадки з iмпульсною пiслядiєю та переддiєю щодо моменту
контрольного замiру еволюцiї процесу, що описується вихiдним параболiчним рiвнянням. Цi
результати важливi для подальших дослiджень параболiчних рiвнянь iз еволюцiйними умовами
загальнiшої структури.
Лiтература
1. С. М. Алексеева, Н. И. Юрчук, Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для
уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием, Дифференц. уравнения, 34, № 4, 495 – 502
(1998).
2. И. А. Белавин, С. П. Капица, С. П. Курдюмов, Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения, Журн. вычисл. математики и мат. физики, 38, № 6, 885 – 902
(1998).
3. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, Москва
(1958).
4. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, Москва (1958).
5. В. В. Городецкий, Задача Коши для параболических по Шилову уравнений в классах обобщенных периодических
функций, Изв. вузов. Математика, № 5, 82 – 84 (1988).
6. В. В. Городецкий, О локализации решений задачи Коши для
- \rightarrow
2b-параболических систем в классах обобщенных
функций, Дифференц. уравнения, 24, № 2, 348 – 350 (1988).
7. В. В. Городецкий, Некоторые теоремы о стабилизации решений задачи Коши для параболических по Шилову
систем в классах обобщенных функций, Укр. мат. журн., 40, № 1, 43 – 48 (1988).
8. В. В. Городецький, Р. I. Колiсник, О. В. Мартинюк, Нелокальна задача для рiвнянь з частинними похiдними
параболчного типу, Буков. мат. журн., 8, № 2, 24 – 39 (2020); https://doi.org/10.31861/bmj2020.02.03.
9. С. Д. Эйдельман, Параболические системы, Наука, Москва (1964).
10. С. Д. Эйдельман, С. Д. Ивасишен, Ф. О. Порпер, Теоремы Лиувилля для параболических в смысле Шилова
систем, Изв. вузов. Математика, № 6, 169 – 179 (1961).
11. Я. И. Житомирский, Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е. Шилову систем линейных
уравнений в частных производных с непрерывными коэффициентами, Изв. АН СССР. Сер. мат., 23, 925 – 932
(1959).
12. N. I. Ivanchov, Boundary value problems for a parabolic equation with integral conditions, Diffеrent. Equat., 40,
591 – 609 (2004); https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035796.56467.44.
13. Л. I. Корбут, М. I. Матiйчук, Про зображення розв’язкiв нелокальних крайових задач для параболiчних, Укр.
мат. журн., 46, № 7, 947 – 951 (1994).
14. V. Litovchenko, The Cauchy problem for parabolic equations by Shilov, Sib. Mat. Zh., 45, № 4, 809 – 821 (2004);
DOI: 10.1023/B:SIMJ.0000035831.63036.bb.
15. V. Litovchenko, Cauchy problem for \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -parabolic equations with time-dependent coefficients, Math. Notes,
77, № 3-4, 364 – 379 (2005); DOI: 10.1007/s11006-005-0036-9.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1540 Г. М. УНГУРЯН
16. V. A. Litovchenko, One method for the investigation of fundamental solution of the Cauchy problem for parabolic
systems, Ukr. Math. J., 70, 922 – 934 (2018); https://doi.org/10.1007/s11253-018-1542-8.
17. V. A. Litovchenko, Fundamental solution of the Cauchy problem for \{ - \rightarrow p ;
- \rightarrow
h \} -parabolic systems with variable
coefficients, J. Math. Sci., 243, № 2, 230 – 239 (2019); https://doi.org/10.1007/s10958-019-04537-x.
18. V. A. Litovchenko, I. M. Dovzhitska, The fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for a class of
parabolic systems of the Shilov type with variable coefficients, J. Math. Sci., 175, № 4, 450 – 476 (2011); DOI:
10.1007/s10958-011-0356-0.
19. V. Litovchenko, I. Dovzhytska, Cauchy problem for a class of parabolic systems of Shilov type with variable
coefficients, Cent. Eur. J. Math., 10, № 3, 1084 – 1102 (2012); DOI: 10.2478/s11533-012-0025-7.
20. V. A. Litovchenko, I. M. Dovzhytska, Stabilization of solutions to Shilov-type parabolic systems with nonnegative
genus, Sib. Mat. J., 55, № 2, 276 – 283 (2014); https://doi.org/10.1134/S0037446614020104.
21. V. A. Litovchenko, G. M. Unguryan, Conjugate Cauchy problem for parabolic shilov type systems with nonnegative
genus, Different. Equat., 54, 335 – 351 (2018); DOI: 10.1134/S0012266118030060.
22. V. Litovchenko, G. Unguryan, Some properties of Green’s functions of Shilov-type parabolic systems, Miskolc Math.
Notes, 20, № 1, 365 – 379 (2019); DOI: 10.18514/MMN.2019.2089.
23. L. P. Luo, Y. Q. Wang, Z. G. Gong, New criteria for oscillation of vector parabolic equations with the influence of
impulse and delay, Acta Sci. Natur. Univ. Sunyatseni, 51, № 2, 45 – 48 (2012).
24. О. В. Мартинюк, Задача Кошi та нелокальнi багатоточковi задачi для еволюцiйних рiвнянь першого порядку
за часовою змiнною: дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Чернiвцi (2017).
25. М. I. Матiйчук, В. М. Лучко, Задача Кошi для параболiчних систем з iмпульсною дiєю, Укр. мат. журн., 58,
№ 11, 1525 – 1535 (2006); https://doi.org/10.1007/s11253-006-0165-7.
26. А. М. Нахушев, Уравнения математической биологии, Высш. шк., Москва (1995).
27. И. Г. Петровский, О проблеме Коши для систем уравнений с частными производными в области неаналити-
ческих функций, Бюлл. МГУ. Математика и механика, 1, № 7, 1 – 72 (1938).
28. I. D. Pukal’skii, B. O. Yashan, The Cauchy problem for parabolic equations with degeneration, Adv. Math. Phys.,
2020, Article ID 1245143 (2020), 7 p.; https://doi.org/10.1155/2020/1245143.
29. А. М. Самойленко, M. A. Перестюк, Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием, Вища шк.,
Киев (1987).
30. J. Cannon, Ivan der Hoek, Diffusion subject to the specification of mass, J. Math. Anal. and Appl., 115, № 2, 517 – 529
(1986).
31. J. Chabrowski, On the non-local problems with a functional for parabolic equation, Funkcial. Ekvac., 27, 101 – 123
(1984).
32. В. Е. Слюсарчук, Общие теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием, Укр. мат. журн., 52, № 7, 954 – 964 (2000).
33. А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, Москва (1968).
34. В. В. Шелухин, Нелокальная по времени задача для уравнений динамики баротропного океана, Сиб. мат.
журн., 36, № 3, 701 – 724 (1995).
35. Г. Е. Шилов, Об условиях корректности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами, Успехи мат. наук., 10, № 4, 89 – 101 (1955).
Одержано 12.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-6521 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:36Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/a70b50825a991d92a9a00d5b12579307.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65212025-03-31T08:46:33Z Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order Нелокальная задача с импульсным воздействием для параболических уравнений векторного порядка Нелокальна задача з імпульсною дією для параболічних рівнянь векторного порядку Unguryan, G. M. Унгурян , Г. М. Нелокальна за часом задача, параболічні рівняння, коректна розв'язність, імпульсна дія, простори Гельфанда і Шилова. Time-nonlocal problem, parabolic equations, correct solvability, impulsive action, Gelfand and Shilov spaces. UDC 517.956.4 For $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-parabolic equations with continuous coefficients, the problem of finding classical solutions that satisfy a modified initial condition with generalized data such as the Gelfand and Shilov distributions is considered.This condition linearly combines the values of the solution at the initial and an intermediate points in time.The conditions for the correct solvability of this problem are clarified and the formula for its solution is found.With the help of the obtained results, the corresponding problem with impulse action is solved. Для $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-параболических уравнений с непрерывными коэффициентами рассматривается задача о нахождении классических решений, которые удовлетворяют модифицированному начальному условию с обобщенными данными типа распределений Гельфанда и Шилова. Это условие линейно сочетает в себе значение решения в начальный и некоторый промежуточный момент времени. Выяснены условия корректной разрешимости этой задачи и найдена формула её решения. С помощью полученных результатов решена соответствующая задача с импульсным воздействием. УДК 517.956.4 Для $\{\overrightarrow{p};\overrightarrow{h}\}$-параболічних рівнянь з неперервними коефіцієнтами розглядається задача про знаходження класичних розв'язків, які задовольняють модифіковану початкову умову з узагальненими даними типу розподілів Гельфанда і Шилова. Ця умова лінійно поєднує в собі значення розв'язку в початковий та деякий проміжний моменти часу. З'ясовано умови коректної розв'язності цієї задачі та знайдено формулу її розв'язку. З допомогою одержаних результатів розв'язано відповідну задачу з імпульсною дією. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6521 10.37863/umzh.v73i11.6521 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1532 - 1540 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1532 - 1540 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6521/9151 Copyright (c) 2021 Galina Unguryan |
| spellingShingle | Unguryan, G. M. Унгурян , Г. М. Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title | Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title_alt | Нелокальная задача с импульсным воздействием для параболических уравнений векторного порядка Нелокальна задача з імпульсною дією для параболічних рівнянь векторного порядку |
| title_full | Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title_fullStr | Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title_full_unstemmed | Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title_short | Nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| title_sort | nonlocal problem with impulse action for parabolic equations of vector order |
| topic_facet | Нелокальна за часом задача параболічні рівняння коректна розв'язність імпульсна дія простори Гельфанда і Шилова. Time-nonlocal problem parabolic equations correct solvability impulsive action Gelfand and Shilov spaces. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6521 |
| work_keys_str_mv | AT unguryangm nonlocalproblemwithimpulseactionforparabolicequationsofvectororder AT ungurângm nonlocalproblemwithimpulseactionforparabolicequationsofvectororder AT unguryangm nelokalʹnaâzadačasimpulʹsnymvozdejstviemdlâparaboličeskihuravnenijvektornogoporâdka AT ungurângm nelokalʹnaâzadačasimpulʹsnymvozdejstviemdlâparaboličeskihuravnenijvektornogoporâdka AT unguryangm nelokalʹnazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnihrívnânʹvektornogoporâdku AT ungurângm nelokalʹnazadačazímpulʹsnoûdíêûdlâparabolíčnihrívnânʹvektornogoporâdku |