On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials
UDC 517.587 If $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x),$ is a formal series of orthonormal polynomials $g_k(x)$ on the real line that has positive coefficients $c_k,$ then its partial sums $u_n(x)$ are associated with Jacobi type pencils.Therefore, they possess a recurrence relation and...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6527 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512429523337216 |
|---|---|
| author | Zagorodnyuk, S. M. Zagorodnyuk, Sergey Загороднюк , С. М. |
| author_facet | Zagorodnyuk, S. M. Zagorodnyuk, Sergey Загороднюк , С. М. |
| author_sort | Zagorodnyuk, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:03:06Z |
| description | UDC 517.587
If $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x),$ is a formal series of orthonormal polynomials $g_k(x)$ on the real line that has positive coefficients $c_k,$ then its partial sums $u_n(x)$ are associated with Jacobi type pencils.Therefore, they possess a recurrence relation and special orthonormality conditions.The cases where $g_k(x)$ are Jacobi or Laguerre polynomials will be of a special interest.For a suitable choice of parameters~$c_k,$ the partial sums $u_n(x)$ are Sobolev orthogonal polynomials with a $(3\times 3)$ matrix measure.A~further selection of parameters gives differential equations for $u_n.$In this case, polynomials $u_n(x)$ are solutions to generalized eigenvalue problems both in $x$ and in $n.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i6.6527 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:28:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i6.6527
УДК 517.587
С. М. Загороднюк (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна)
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ КЛАСИЧНОГО ТИПУ
If
\sum \infty
k=0
ckgk(x), is a formal series of orthonormal polynomials gk(x) on the real line that has positive coefficients
ck, then its partial sums un(x) are associated with Jacobi type pencils. Therefore, they possess a recurrence relation and
special orthonormality conditions. The cases where gk(x) are Jacobi or Laguerre polynomials will be of a special interest.
For a suitable choice of parameters ck, the partial sums un(x) are Sobolev orthogonal polynomials with a (3\times 3) matrix
measure. A further selection of parameters gives differential equations for un. In this case, polynomials un(x) are solutions
to generalized eigenvalue problems both in x and in n.
Якщо
\sum \infty
k=0
ckgk(x) — формальний ряд за ортонормованими многочленами gk(x) на дiйснiй осi з додатними ко-
ефiцiєнтами ck, то вiдповiднi частковi суми un(x) будуть асоцiйованими зi жмутками якобiєвого типу. Отже, вони
мають рекурентне спiввiдношення та спецiальнi спiввiдношення ортонормальностi. Випадки, коли gk(x) є много-
членами Якобi або Лагерра, мають додатковий iнтерес. Придатний пiдбiр параметрiв ck забезпечує те, що un(x)
будуть соболевськими ортогональними многочленами з (3 \times 3) матричною мiрою. Бiльше того, подальший вiдбiр
параметрiв забезпечує диференцiальнi рiвняння для un. В останньому випадку многочлени un(x) є розв’язками
узагальнених задач на власнi значення вiдносно x та n.
1. Вступ. Теорiя ортогональних полiномiв на дiйснiй осi має дуже великий об’єм дослiджень i
багато застосувань в рiзних галузях науки (див. [3, 8, 9, 15 – 17]). Нехай \{ gn(x)\} \infty n=0, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} gn = n,
— ортонормованi полiноми на дiйснiй осi з додатними старшими коефiцiєнтами:\int
\BbbR
gn(x)gm(x)d\mu g(x) = \delta n,m, n,m \in \BbbZ +. (1)
Тут \mu g — (невiд’ємна) мiра на \frakB (\BbbR ). Як вiдомо, полiноми gn задовольняють рекурентне спiв-
вiдношення \widehat an - 1gn - 1(x) +\widehat bngn(x) + \widehat angn+1(x) = xgn(x), n \in \BbbZ +, (2)
де \widehat aj > 0, \widehat bj \in \BbbR , j \in \BbbZ +, i \widehat a - 1 = 0, g - 1(x) = 0. Спiввiдношення (2) можна записати у
матричному виглядi
G\vec{}g(x) = x\vec{}g(x), (3)
де \vec{}g(x) = (g0(x), g1(x), . . .)
T . Тут G позначає матрицю Якобi з \widehat bk на головнiй дiагоналi, та з\widehat ak на першiй пiддiагоналi [1]. Полiноми
Kn(t, x) =
n\sum
k=0
gk(t)gk(x), n \in \BbbZ +,
вiдомi як ядернi полiноми (див., наприклад, [17, с. 39]). Зауважимо, що ми користуємося дещо
вiдмiнним позначенням для цих полiномiв. Ядернi полiноми (або полiномiальне ядро) мають
вiдновлювальну властивiсть та iншi важливi властивостi. Зокрема, якщо носiй мiри лежить в
( - \infty , b] i t = t0 \geq b, то ядернi полiноми Kn(t0, x) є ортогональними на \BbbR вiдносно (t0 - x)d\mu g
(див. [17, с. 40]).
Нехай \vec{}c = \{ ck\} \infty k=0 — вектор-рядок довiльних додатних чисел. Розглянемо полiноми
c\bigcirc С. М. ЗАГОРОДНЮК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6 799
800 С. М. ЗАГОРОДНЮК
un(x) = un(\vec{}c;x) :=
n\sum
k=0
ckgk(x), n \in \BbbZ +. (4)
Зрозумiло, що полiноми un(x) є частковими сумами формального ряду за ортогональними
полiномами:
\infty \sum
k=0
ckgk(x).
З iншого боку, у випадку ck = gk(t0) > 0 полiноми un(x) узагальнюють наведенi вище полiно-
ми Kn(t0, x). Полiноми un(x) можно також називати модифiкованими ядерними полiномами.
Як ми побачимо далi, полiноми un(x) не повиннi бути ортогональними на дiйснiй осi. Проте
вони мають ряд цiкавих властивостей. У випадку, коли ck =
\int
\BbbR
f(t)gk(t)d\mu g, полiном un(x)
можна компактно записати з використанням полiномiального ядра пiд iнтегралом.
Окрiм рядiв за ортогональними полiномами полiноми un(x) можуть виникати при викорис-
таннi формули Грiна для розв’язкiв рiзницевого рiвняння, пов’язаного з (2) [1, с. 9]. Наприклад,
можна вибрати c0 = 1, ck = qk(t0), k \geq 1, у випадку, коли останнi числа додатнi. Тут qk
позначають полiноми другого роду для gk. Використання формули Грiна також забезпечує
компактне зображення для полiномiв un(x).
У данiй статтi ми побудуємо приклади полiномiв un(x), якi приводять до соболевських
ортогональних полiномiв класичного типу. Теорiя соболевських ортогональних полiномiв на
даний час розвивається i викликає великий iнтерес. Короткий огляд теорiї наведено в [5], а
бiльш повний виклад теорiї можно знайти в [13]. Нам знадобиться таке означення.
Означення 1 [18]. Набiр \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ) , де \alpha > 0, \beta \in \BbbR , J3 — матриця Якобi та
J5 — напiвнескiнченна дiйсна симетрична п’ятидiагональна матриця з додатними числами на
другiй пiддiагоналi, називається жмутком (матриць) якобiєвого типу.
Матрицi J3 i J5 мають вигляд
J3 =
\left(
b0 a0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
a0 b1 a1 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 a1 b2 a2 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
. . .
\right) , ak > 0, bk \in \BbbR , k \in \BbbZ +, (5)
J5 =
\left(
\alpha 0 \beta 0 \gamma 0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
\beta 0 \alpha 1 \beta 1 \gamma 1 0 0 \cdot \cdot \cdot
\gamma 0 \beta 1 \alpha 2 \beta 2 \gamma 2 0 \cdot \cdot \cdot
0 \gamma 1 \beta 2 \alpha 3 \beta 3 \gamma 3 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right) , \alpha n, \beta n \in \BbbR , \gamma n > 0, n \in \BbbZ +. (6)
Iз жмутком якобiєвого типу \Theta асоцiюють таку систему полiномiв \{ pn(\lambda )\} \infty n=0, що
p0(\lambda ) = 1, p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta
i
(J5 - \lambda J3)\vec{}p(\lambda ) = 0, (7)
де \vec{}p(\lambda ) = (p0(\lambda ), p1(\lambda ), p2(\lambda ), . . .)
T . Полiноми \{ pn(\lambda )\} \infty n=0 називають асоцiйованими для жмут-
ка матриць якобiєвого типу \Theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ . . . 801
Спiввiдношення (7) показує, що \vec{}p(\lambda ) є узагальненим власним вектором лiнiйного опера-
торного жмутка (або операторного полiнома) J5 - \lambda J3, який вiдповiдає власному значенню \lambda .
Спiввiдношення (7) є узагальненням спiввiдношення (3). Воно є дискретизацiєю диференцi-
ального рiвняння четвертого порядку, яке виникає в деяких фiзичних задачах [19]. Запишемо
спiввiдношення (7) у скалярнiй формi
\gamma n - 2pn - 2(\lambda ) + (\beta n - 1 - \lambda an - 1)pn - 1(\lambda ) + (\alpha n - \lambda bn)pn(\lambda )+
+ (\beta n - \lambda an)pn+1(\lambda ) + \gamma npn+2(\lambda ) = 0, n \in \BbbZ +, (8)
де p - 2(\lambda ) = p - 1(\lambda ) = 0, \gamma - 2 = \gamma - 1 = a - 1 = \beta - 1 = 0. Полiноми pn мають спецiальнi
спiввiдношення ортонормованостi [20].
Iншим можливим узагальненням спiввiдношення (3) є таке:
J2N+1\vec{}p(\lambda ) = \lambda N\vec{}p(\lambda ),
де J2N+1 — (2N+1)-дiагональна комплексна напiвнескiнченна ермiтова матриця. Воно виникає
при вивченнi ортогональних полiномiв на радiальних променях у комплекснiй площинi (див.,
наприклад, [4, 6, 14] та наведену там бiблiографiю). Зазначимо, що жмутки тридiагональних
матриць та пов’язанi з ними бiортогональнi рацiональнi функцiї вивчались у [23].
Опишемо коротко змiст даної роботи. Модифiкованi ядернi полiноми un(x) задовольняють
рекурентне спiввiдношення типу (8) (теорема 1). Для доведення ми використовуємо облямо-
вування спiввiдношення (3) дводiагональними матрицями спецiального вигляду. Iдею облямо-
вування дводiагональними матрицями для побудови систем полiномiв, якi задовольняють (7),
запропонував автору один iз рецензентiв статтi [19].
Спецiальнi випадки, коли gk є многочленами Якобi аба Лагерра, мають додатковi переваги.
Придатний вибiр параметрiв ck приводить до того, що un будуть соболевськими ортогональ-
ними многочленами. Тут ми користуємося iдеями з [21].
Подальший вiдбiр параметрiв ck дає диференцiальнi рiвняння для un. Вiдповiднi результа-
ти мiстяться в теоремах 2 i 3. Оскiльки un будуть (узагальненими) власними функцiями як для
рiзницевого, так i для диференцiального операторiв, то можна говорити про соболевськi орто-
гональнi многочлени класичного типу. Як вiдомо, класичнi системи полiномiв Якобi, Лагерра
та Ермiта задовольняють диференцiальне рiвняння (крiм рiзницевого рiвняння). Починаючи з
20-го столiття багато уваги придiляється подiбним системам, що є розв’язками (узагальнених)
спектральних задач. Зокрема, це стосується i систем соболевських ортогональних многочленiв.
Загальну постановку вiдповiдної спектральної задачi можна знайти, наприклад, у [22] (задачi
1, 2), де також наведено iсторичнi коментарi. Крiм наведених у списку лiтератури в [22] праць
можна вказати, наприклад, роботи [7, 10, 11]. У багатьох iз вищезгаданих робiт вивчалися кла-
сичнi мiри, збуренi додаванням атомiчних мiр, з можливим використанням похiдних до певного
порядку, i будувалися диференцiальнi рiвняння (можливо, нескiнченного порядку) для них. У
розглядуваному випадку матрична мiра у спiввiдношеннях ортогональностi соболевського типу
не є атомiчною (див. теореми 2 i 3).
Як зазвичай, через \BbbR , \BbbC , \BbbN , \BbbZ i \BbbZ + ми позначаємо множини дiйсних, комплексних, на-
туральних, цiлих i невiд’ємних чисел вiдповiдно. Верхнiй iндекс T означає транспонування
матрицi. Пiд \BbbZ k,l ми розумiємо всi цiлi числа j, що задовольняють нерiвнiсть k \leq j \leq l,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
802 С. М. ЗАГОРОДНЮК
k, l \in \BbbZ . Через \frakB (\BbbR ) позначається множина всiх борелевських пiдмножин \BbbR , а через \BbbP — мно-
жина всiх полiномiв iз комплексними коефiцiєнтами. Для комплексного числа c ми позначаємо
(c)0 = 1, (c)k = c(c+ 1) . . . (c+ k - 1), k \in \BbbN (зсунутий факторiал або символ Похгаммера).
Узагальнена гiпергеометрична функцiя позначається так:
mFn(a1, . . . , am; b1, . . . , bn;x) =
\infty \sum
k=0
(a1)k . . . (am)k
(b1)k . . . (bn)k
xk
k!
,
де m,n \in \BbbN , aj , bl \in \BbbC . Через \Gamma (z) i \mathrm{B}(z) ми позначаємо гамма- та бета-функцiї вiдповiдно.
Пiд J\nu (z) ми розумiємо функцiю Бесселя першого роду.
2. Частковi суми рядiв за ортогональними полiномами. Спочатку отримаємо рекурентне
спiввiдношення для полiномiв (4).
Теорема 1. Нехай \{ gn(x)\} \infty n=0, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} gn = n, — ортонормованi полiноми на дiйснiй осi з
додатними старшими коефiцiєнтами, якi задовольняють спiввiдношення (2). Нехай \{ ck\} \infty k=0
— множина з довiльних додатних чисел, а un — модифiкованi ядернi полiноми з (4). Полiноми
pn(x) :=
1
c0g0
un(x) =
1
c0g0
n\sum
j=0
cjgj(x), n \in \BbbZ +, (9)
є асоцiйованими для жмутка якобiєвого типу
\widetilde \Theta =
\Bigl(
\bfJ 3,\bfJ 5, \widetilde \alpha , \widetilde \beta \Bigr) ,
де
\widetilde \alpha =
c1
c0\widehat a0 , \widetilde \beta = 1 - c1\widehat b0
c0\widehat a0 , (10)
матрицi \bfJ 3 i \bfJ 5 мають вигляд (5) i (6) вiдповiдно з
an =
1
c2n+1
, bn = - 1
c2n
- 1
c2n+1
, (11)
\alpha n =
2\widehat an
cncn+1
-
\widehat bn
c2n
-
\widehat bn+1
c2n+1
, \beta n =
\widehat bn+1
c2n+1
- \widehat an+1
cn+1cn+2
- \widehat an
cncn+1
,
\gamma n =
\widehat an+1
cn+1cn+2
, n \in \BbbZ +.
(12)
Полiноми pn та un задовольняють спiввiдношення (8) з наведеними вище коефiцiєнтами
з (12).
Доведення. Нехай \{ gn(x)\} \infty n=0, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} gn = n, — ортонормованi полiноми на дiйснiй осi з
додатними старшими коефiцiєнтами i виконано спiввiдношення (1) – (3). Визначимо модифiко-
ванi ядернi полiноми через спiввiдношення (4), де \{ ck\} \infty k=0 — набiр довiльних додатних чисел.
Розглянемо напiвнескiнченну дводiагональну матрицю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ . . . 803
C =
\left(
1
c0
0 0 0 \cdot \cdot \cdot
- 1
c1
1
c1
0 0 \cdot \cdot \cdot
0 - 1
c2
1
c2
0 \cdot \cdot \cdot
0 0 - 1
c3
1
c3
\cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right)
.
Зазначимо, що
\vec{}g(x) = C\vec{}u(x), (13)
де \vec{}g(x) = (g0(x), g1(x), . . .)
T , \vec{}u(x) = (u0(x), u1(x), . . .)
T . Спiввiдношення (13) можна перевi-
рити безпосередньо, використавши спiввiдношення (4). Пiдставимо \vec{}g(x) iз (13) у (3):
(GC)\vec{}u(x) = xC\vec{}u(x).
Позначимо через C\ast матрицю, формально спряжену до C :
C\ast =
\left(
1
c0
- 1
c1
0 0 \cdot \cdot \cdot
0
1
c1
- 1
c2
0 \cdot \cdot \cdot
0 0
1
c2
- 1
c3
\cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right)
.
Тодi
( - C\ast GC)\vec{}u(x) = x( - C\ast C)\vec{}u(x). (14)
Позначимо
\bfJ 3 = - C\ast C, \bfJ 5 = - C\ast GC.
Обчислимо елементи матриць \bfJ 3 i \bfJ 5. Позначимо через \vec{}en напiвнескiнченний вектор-стовпець
(\delta j,n)
\infty
j=0, n \in \BbbZ +. Нехай \vec{}e - 1 = \vec{}e - 2 будуть вектор-стовпцями, що складаються з нулiв. Маємо
C\vec{}en =
1
cn
\vec{}en - 1
cn+1
\vec{}en+1, n \in \BbbZ +, (15)
C\ast \vec{}em = - 1
cm
\vec{}em - 1 +
1
cm
\vec{}em, m \in \BbbZ +. (16)
Тодi
\bfJ 3\vec{}en =
1
c2n
\vec{}en - 1 -
\biggl(
1
c2n
+
1
c2n+1
\biggr)
\vec{}en +
1
c2n+1
\vec{}en+1, n \in \BbbZ +. (17)
Записуємо
G\vec{}ek = \widehat ak - 1\vec{}ek - 1 +\widehat bk\vec{}ek + \widehat ak\vec{}ek+1, k \in \BbbZ +. (18)
З (15), (16) i (18) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
804 С. М. ЗАГОРОДНЮК
\bfJ 5\vec{}en =
\widehat an - 1
cncn - 1
\vec{}en - 2 +
\Biggl( \widehat bn
c2n
- \widehat an
cncn+1
- \widehat an - 1
cncn - 1
\Biggr)
\vec{}en - 1+
+
\Biggl(
2\widehat an
cncn+1
-
\widehat bn
c2n
-
\widehat bn+1
c2n+1
\Biggr)
\vec{}en +
\Biggl( \widehat bn+1
c2n+1
- \widehat an+1
cn+1cn+2
- \widehat an
cncn+1
\Biggr)
\vec{}en+1+
+
\widehat an+1
cn+1cn+2
\vec{}en+2, n \in \BbbZ +, (19)
де c - 1 := 1, \widehat a - 1 := 0. Iз (17) i (19) видно, що матрицi \bfJ 3 i \bfJ 5 мають вигляд (5) i (6)
вiдповiдно. Їхнi елементи задаються спiввiдношеннями (11) i (12). Визначимо полiноми pn за
формулою (9). Тодi p0 = 1, а p1 можна обчислити безпосередньо, що приводить до \widetilde \alpha i \widetilde \beta з (10).
Iз (14) випливає, що pn є асоцiйованими для жмутка якобiєвого типу
\Bigl(
\bfJ 3,\bfJ 5, \widetilde \alpha , \widetilde \beta \Bigr) .
Теорему 1 доведено.
Нагадаємо, що многочлени Якобi
P (\alpha ,\beta )
n (x) =
\biggl(
n+ \alpha
n
\biggr)
2F1
\biggl(
- n, n+ \alpha + \beta + 1;\alpha + 1;
1 - x
2
\biggr)
, n \in \BbbZ +,
є ортогональними на [ - 1, 1] вiдносно ваги w(x) = (1 - x)\alpha (1 + x)\beta , \alpha , \beta > - 1 [2]. Ортонор-
мованi многочлени мають вигляд
\widehat P (\alpha ,\beta )
0 (x) =
1\sqrt{}
2\alpha +\beta +1\mathrm{B}(\alpha + 1, \beta + 1)
,
\widehat P (\alpha ,\beta )
n (x) =
\sqrt{}
(2n+ \alpha + \beta + 1)n!\Gamma (n+ \alpha + \beta + 1)
2\alpha +\beta +1\Gamma (n+ \alpha + 1)\Gamma (n+ \beta + 1)
P (\alpha ,\beta )
n (x), n \in \BbbN .
Многочлени P
(\alpha ,\beta )
n (x) i \widehat P (\alpha ,\beta )
n (x) є розв’язками диференцiального рiвняння
(1 - x2)y\prime \prime + [\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x]y\prime + n(n+ \alpha + \beta + 1)y = 0. (20)
Нехай c > 0 — довiльне додатне число. Запишемо рiвняння (20) у виглядi
D\alpha ,\beta ,cy(x) = ln,cy(x), n \in \BbbZ +, (21)
де
D\alpha ,\beta ,c := (x2 - 1)
d2
dx2
+ [(\alpha + \beta + 2)x+ \alpha - \beta ]
d
dx
+ c, (22)
ln,c := c+ n(n+ \alpha + \beta + 1). (23)
Тут для наших цiлей буде важливим, що ln,c є додатними. Взагалi, спiввiдношення (21) – (23)
можна записати i для всiх дiйсних значень параметра. Визначимо полiноми
Pn(\alpha , \beta , c, t0;x) :=
n\sum
k=0
1
lk,c
\widehat P (\alpha ,\beta )
k (t0) \widehat P (\alpha ,\beta )
k (x), n \in \BbbZ +, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ . . . 805
де t0 \geq 1 — довiльний параметр. Оскiльки
1
lk,c
\widehat P (\alpha ,\beta )
k (t0) > 0, то Pn(\alpha , \beta , c, t0;x) — модифiко-
ванi ядернi полiноми типу (4). Зазначимо, що нормованi через власнi значення полiномiальнi
ядра деяких соболевських ортогональних полiномiв виникали ранiше (див. [12]). Маємо
D\alpha ,\beta ,cPn(\alpha , \beta , c, t0;x) =
n\sum
k=0
\widehat P (\alpha ,\beta )
k (t0) \widehat P (\alpha ,\beta )
k (x) =: pn(\alpha , \beta , t0;x), n \in \BbbZ +. (25)
Полiноми pn(\alpha , \beta , t0;x) є звичайними ядерними полiномами. Як зазначено у вступi, вони є
ортогональними на \BbbR . Таким чином, полiноми Pn(\alpha , \beta , c, t0;x) пiдходять для схеми дiй зi стат-
тi [21, с. 3] (див. означення 1). Це означає, що Pn(\alpha , \beta , c, t0;x) є соболевськими ортогональними
полiномами.
Випадок t0 = 1 має додаткову перевагу. Справдi, pn(\alpha , \beta , 1;x) є кратним полiному Якобi з
iндексами (\alpha +1, \beta ). В цьому випадку диференцiальне рiвняння для pn(\alpha , \beta , 1;x) разом з (25)
дають диференцiальне рiвняння для Pn(\alpha , \beta , c, 1;x).
Теорема 2. Нехай \alpha , \beta > - 1, c > 0 i t0 \geq 1 — довiльнi параметри. Полiноми Pn(x) =
= Pn(\alpha , \beta , c, t0;x), що заданi спiввiдношенням (24), є соболевськими ортогональними много-
членами на \BbbR :
1\int
- 1
(Pn(x), P
\prime
n(x), P
\prime \prime
n (x))M\alpha ,\beta ,c(x)
\left( Pm(x)
P \prime
m(x)
P \prime \prime
m(x)
\right) (t0 - x)(1 - x)\alpha (1 + x)\beta dx =
= An\delta n.m, n,m \in \BbbZ +,
де An — деякi додатнi числа i
M\alpha ,\beta ,c =
\left( c
(\alpha + \beta + 2)x+ \alpha - \beta
x2 - 1
\right) \bigl( c, (\alpha + \beta + 2)x+ \alpha - \beta , x2 - 1
\bigr)
.
Для Pn(\alpha , \beta , c, 1;x) справджується диференцiальне рiвняння
D\alpha +1,\beta ,0D\alpha ,\beta ,cPn(\alpha , \beta , c, 1;x) = ln,0D\alpha ,\beta ,cPn(\alpha , \beta , c, 1;x), n \in \BbbZ +, (26)
де D\alpha ,\beta ,c, ln,c визначено так, як у (22), (23).
Доведення. Всi твердження теореми випливають iз мiркувань, наведених перед її форму-
люванням.
Приклад 1. Розглянемо полiном вигляду
w2(c;x) =
2\sum
k=0
\widetilde ak\widetilde bk + c
\widetilde gk(x), c > 0, (27)
де \widetilde ak > 0, \widetilde bk \geq 0, а \widetilde gk — дiйсний полiном степеня k з додатним старшим коефiцiєнтом,
k = 0, 1, 2. Многочлен P2(\alpha , \beta , c, t0;x) iз деякими фiксованими допустимими параметрами
\alpha , \beta , t0 має вигляд (27). Iнший многочлен вигляду (27) буде наведено нижче. Нехай
\widetilde gk =
k\sum
j=0
\mu k;jx
j , k = 0, 1, 2, (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
806 С. М. ЗАГОРОДНЮК
з \mu k;j \in \BbbR , \mu k;k > 0. Пiдставивши \widetilde gk з (28) у (27), отримаємо
w2(c;x) =
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;2x
2 +
\biggl( \widetilde a1\widetilde b1 + c
\mu 1;1 +
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;1
\biggr)
x+
+
\widetilde a0\widetilde b0 + c
\mu 0;0 +
\widetilde a1\widetilde b1 + c
\mu 1;0 +
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;0.
Дискримiнант D останнього квадратичного рiвняння дорiвнює
D =
\biggl( \widetilde a1\widetilde b1 + c
\mu 1;1 +
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;1
\biggr) 2
-
- 4
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;2
\biggl( \widetilde a0\widetilde b0 + c
\mu 0;0 +
\widetilde a1\widetilde b1 + c
\mu 1;0 +
\widetilde a2\widetilde b2 + c
\mu 2;0
\biggr)
. (29)
У випадку P2(\alpha , \beta , c, t0;x) маємо \widetilde b0 = 0, тодi як \widetilde b1,\widetilde b2 > 0. Отже, для деяких малих додатних
значень c дискримiнант D є вiд’ємним. Таким чином, полiноми Pn(\alpha , \beta , c, t0;x) (для деяких
малих значень c) не є ортогональними многочленами на дiйснiй осi.
Нагадаємо, що (узагальненi) многочлени Лагерра
L\alpha
n(x) =
\biggl(
n+ \alpha
n
\biggr)
1F1 ( - n;\alpha + 1;x) , n \in \BbbZ +,
ортогональнi на [0,+\infty ) вiдносно ваги w(x) = x\alpha e - x, \alpha > - 1 [2]. Ортонормованi многочлени\widehat L\alpha
n(x) мають вигляд
\widehat L\alpha
n(x) =
( - 1)n\sqrt{}
\Gamma (\alpha + 1)
\biggl(
n+ \alpha
n
\biggr) L\alpha
n(x), n \in \BbbZ +.
Многочлени L\alpha
n(x) задовольняють диференцiальне рiвняння
xy\prime \prime + (\alpha + 1 - x)y\prime = - ny. (30)
Полiноми
\scrL n(x) = \scrL n(\alpha ;x) :=
1\sqrt{}
\Gamma (\alpha + 1)
\biggl(
n+ \alpha
n
\biggr) L\alpha
n( - x), n \in \BbbZ +,
є ортонормованими на ( - \infty , 0] вiдносно ваги ( - x)\alpha ex (див. [17], роздiл 2.3). Використовую-
чи (30), отримуємо, що \scrL n(x) є розв’язками диференцiального рiвняння
x\scrL \prime \prime
n(x) + (\alpha + 1 + x)\scrL \prime
n(x) = n\scrL n(x). (31)
Нехай знову c > 0 — довiльне додатне число. Рiвняння (31) запишемо у виглядi
D\alpha ,c\scrL n(x) = \lambda n,c\scrL n(x), n \in \BbbZ +,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ . . . 807
D\alpha ,c := x
d2
dx2
+ (\alpha + 1 + x)
d
dx
+ c, (32)
\lambda n,c := c+ n. (33)
Зауважимо, що \lambda n,c є додатними. Визначимо полiноми
Ln(\alpha , c, t0;x) :=
n\sum
k=0
1
\lambda k,c
\scrL k(\alpha ; t0)\scrL k(\alpha ;x), n \in \BbbZ +, (34)
де t0 \geq 0 — довiльний параметр. Оскiльки
1
\lambda k,c
\scrL k(\alpha ; t0) > 0, то Ln(\alpha , c, t0;x) є модифiкова-
ними ядерними полiномами типу (4). Ми можемо записати
D\alpha ,cLn(\alpha , c, t0;x) =
n\sum
k=0
\scrL k(\alpha ; t0)\scrL k(\alpha ;x) =: pn(\alpha , t0;x), n \in \BbbZ +.
Многочлени pn(\alpha , t0;x) — звичайнi ядернi полiноми. Оскiльки t0 \geq 0, вони є ортогональними
на дiйснiй осi. Полiноми Ln(\alpha , c, t0;x) потрапляють у згадувану вище схему з [21] i, отже,
Ln(\alpha , c, t0;x) — соболевськi ортогональнi полiноми.
Розглянемо випадок t0 = 0. У цьому випадку pn(\alpha , 0;x) є скалярним кратним \scrL n(\alpha +1;x).
Диференцiальне рiвняння для pn(\alpha , 0;x) разом iз (31) дають диференцiальне рiвняння для
Ln(\alpha , c, 0;x).
Теорема 3. Нехай \alpha > - 1, c > 0 i t0 \geq 0 — довiльнi параметри. Полiноми Ln(x) =
= Ln(\alpha , c, t0;x), визначенi спiввiдношенням (34), є соболевськими ортогональними полiномами
на \BbbR :
0\int
- \infty
(Ln(x), L
\prime
n(x), L
\prime \prime
n(x))M\alpha ,c(x)
\left( Lm(x)
L\prime
m(x)
L\prime \prime
m(x)
\right) (t0 - x)( - x)\alpha exdx =
= Bn\delta n.m, n,m \in \BbbZ +,
де Bn — деякi додатнi числа i
M\alpha ,c =
\left( c
\alpha + 1 + x
x
\right) (c, \alpha + 1 + x, x) .
Для Ln(\alpha , c, 0;x) справджується диференцiальне рiвняння
D\alpha +1,0D\alpha ,cLn(\alpha , c, 0;x) = \lambda n,0D\alpha ,cLn(\alpha , c, 0;x), n \in \BbbZ +,
де D\alpha ,c i \lambda n,c визначенi формулами (32) i (33). Для довiльного x < 0 i c \in \BbbN полiноми
Ln(\alpha , c, 0;x) мають iнтегральне зображення
Ln(\alpha , c, 0;x) =
1
\Gamma (\alpha + 1)n!
e - x( - x) -
\alpha
2 \ast
\ast
\infty \int
0
t\int
0
e - tt
\alpha
2
- c\theta n+c - 1J\alpha
\bigl(
2
\surd
- tx
\bigr)
2F0
\biggl(
- n, 1; - ; - 1
\theta
\biggr)
d\theta dt, n \in \BbbZ +. (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
808 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Доведення. Всi твердження теореми, окрiм останнього, випливають iз мiркувань, наведених
перед її формулюванням. Зафiксуємо довiльне \alpha > - 1, c \in \BbbN . Використовуючи означення
Ln(\alpha , c, 0;x),\scrL k(\alpha ; t0) i значення L\alpha
n(0) =
(\alpha + 1)n
n!
, отримуємо
Ln(\alpha , c, 0;x) =
1
\Gamma (\alpha + 1)
n\sum
k=0
1
k + c
L\alpha
k ( - x).
Якщо x < 0, то (див. [16, с. 206])
L\alpha
n( - x) =
1
n!
e - x( - x) -
\alpha
2
\infty \int
0
e - ttn+
\alpha
2 J\alpha
\bigl(
2
\surd
- tx
\bigr)
dt.
Отже,
Ln(\alpha , c, 0;x) =
1
\Gamma (\alpha + 1)
e - x( - x) -
\alpha
2 \ast
\ast
\infty \int
0
\Biggl(
n\sum
k=0
1
k + c
tk
k!
\Biggr)
e - tt
\alpha
2 J\alpha
\bigl(
2
\surd
- tx
\bigr)
dt, x < 0, n \in \BbbZ +. (36)
Розглянемо полiноми
fn(t) = fn(c; t) :=
n\sum
k=0
1
k + c
tk
k!
, n \in \BbbZ +, c \in \BbbN .
Зауважимо, що
(fn(t)t
c)\prime = tc - 1 \widetilde fn(t), t \in \BbbR , (37)
де \widetilde fn(t) := n\sum
k=0
tk
k!
, n \in \BbbZ +.
Многочлен \widetilde fn(t) має зображення
\widetilde fn(t) = 1
n!
tn2F0
\biggl(
- n, 1; - ; - 1
t
\biggr)
, (38)
де при t = 0 ми розумiємо граничне значення. Спiввiдношення (38) можна перевiрити через
запис 2F0(. . .) у виглядi ряду, що обривається, при замiнi iндексу суми. Iнтегруючи (37) i
використовуючи (38), бачимо, що
fn(t) =
1
n!
t - c
t\int
0
\theta n+c - 1
2F0
\biggl(
- n, 1; - ; - 1
\theta
\biggr)
d\theta , t > 0. (39)
Далi, використовуючи (39) i (36), одержуємо потрiбне iнтегральне зображення (35). Зазначимо,
що при t = 0 формула (39) не є правильною, проте на значення iнтеграла в (35) це не впливає.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
ПРО РЯДИ ЗА ОРТОГОНАЛЬНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТА СИСТЕМИ МНОГОЧЛЕНIВ . . . 809
Приклад 2. Розглянемо многочлен
L2(\alpha , c, t0;x) :=
2\sum
k=0
\scrL k(\alpha ; t0)
k + c
\scrL k(\alpha ;x).
Вiн має вигляд (27). Тут \widetilde b0 = 0 i \widetilde b1,\widetilde b2 > 0. Таким чином, для деяких малих додатних значень
c дискримiнант D з (29) є вiд’ємним. Отже, многочлени Ln(\alpha , c, t0;x) (принаймнi для деяких
значень c) не є ортогональними многочленами на дiйснiй осi.
Зауваження 1. У формулах (24), (34) замiсть
1
lk,c
,
1
\lambda k,c
можна взяти степенi або навiть
додатнi полiноми r(x) вiд цих виразiв. Потiм можна застосувати полiном r вiд вiдповiдного
диференцiального оператора D\alpha ,\beta ,c або D\alpha ,c до многочленiв з (24), (34) i далi дiяти подiбним
чином.
Розглянемо многочлени Pn(\alpha , \beta , c, 1;x) (див. (24)) з \alpha = \beta = - 1
2
. Позначимо через
Tn(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x), n \in \BbbZ +, x \in [ - 1, 1],
многочлени Чебишова першого роду. Ортонормованi многочлени мають вигляд [16]
\widehat T0(x) =
1\surd
\pi
, \widehat Tn(x) =
\sqrt{}
2
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x), n \in \BbbN , x \in [ - 1, 1]. (40)
Тодi
tn(c;x) = tn(x) := Pn
\biggl(
- 1
2
, - 1
2
, c, 1;x
\biggr)
=
=
1
\pi c
+
2
\pi
n\sum
k=1
1
k2 + c
Tk(x), n \in \BbbZ +, c > 0; x \in \BbbC . (41)
Тут ми використали спiввiдношення (24), (40) i рiвнiсть Tk(1) = 1. Зображення (41) показує,
що
| tn(c;x)| \leq
1
\pi c
+
2
\pi
n\sum
k=1
1
k2
\leq 1
\pi c
+
2
\pi
\infty \sum
k=1
1
k2
, n \in \BbbZ +, c > 0, x \in [ - 1, 1].
Оскiльки [16, с. 91]
| T \prime
n(x)| \leq n2, x \in [ - 1, 1],
то
| t\prime n(c;x)| \leq
2
\pi
n\sum
k=1
k2
c+ k2
\leq 2
\pi
n, n \in \BbbN , c > 0, x \in [ - 1, 1].
Зазначимо, що
\pi t1(c;x) =
1
c
+
2
c+ 1
x,
\pi t2(c;x) =
4
c+ 4
x2 +
2
c+ 1
x+
1
c
- 2
c+ 4
.
Корiнь t1 є x1 = - c+ 1
2c
\rightarrow - 1
2
при c \rightarrow +\infty . Ми бачимо, що вiн не повинен лежати в [ - 1, 1]
при малих значеннях c. Коренi t2 можуть бути недiйсними при малих c. Iншi властивостi
полiномiв tn(c;x) також є цiкавими для подальших дослiджень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
810 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Лiтература
1. N. I. Akhiezer, The classical moment problem and some related questions in analysis, Hafner Publ. Co., New York
(1965).
2. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, Vols. I, II, McGraw-Hill
Book Co., Inc., New York etc. (1953).
3. T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Math. and its Appl., Vol. 13, Gordon and Breach Sci.
Publ., New York etc. (1978).
4. A. E. Choque Rivero, S. M. Zagorodnyuk, Orthogonal polynomials on rays: Christoffel’s formula, Bol. Soc. Mat.
Mex., 15, № 3, 149 – 164 (2009).
5. R. S. Costas-Santos, J. J. Moreno-Balcázar, The semiclassical Sobolev orthogonal polynomials: a general approach,
J. Approx. Theory, 163, № 1, 65 – 83 (2011).
6. A. J. Durán, W. Van Assche, Orthogonal matrix polynomials and higher-order recurrence relations, Linear Algebra
and Appl., 219, 261 – 280 (1995).
7. W. D. Evans, L. L. Littlejohn, F. Marcellán, C. Markett, A. Ronveaux, On recurrence relations for Sobolev orthogonal
polynomials, SIAM J. Math. Anal., 26, № 2, 446 – 467 (1995).
8. G. Freud, Orthogonal polynomials, Pergamon Press, Oxford etc. (1971).
9. M. E. H. Ismail, Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Encyclopedia Math. and Appl., 98,
Cambridge Univ. Press, Cambridge (2005).
10. J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, On differential equations for Sobolev-type Laguerre polynomials, Trans. Amer.
Math. Soc., 350, № 1, 347 – 393 (1998).
11. R. Koekoek, H. G. Meijer, A generalization of Laguerre polynomials, SIAM J. Math. Anal., 24, № 3, 768 – 782
(1993).
12. L. L. Littlejohn, J. F. Mañas-Mañas, J. J. Moreno-Balcázar, R. Wellman, Differential operator for discrete
Gegenbauer – Sobolev orthogonal polynomials: eigenvalues and asymptotics, J. Approx. Theory, 230, 32 – 49 (2018).
13. F. Marcellán, Y. Xu, On Sobolev orthogonal polynomials, Expo. Math., 33, № 3, 308 – 352 (2015).
14. G. V. Milovanović, Orthogonal polynomials on the radial rays in the complex plane and applications, Proc. Fourth
Intern. Conf. Funct. Anal. and Approx. Theory, vol. I (Potenza, 2000), Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl., № 68,
part I, 65 – 94 (2002).
15. P. G. Nevai, Orthogonal polynomials, Mem. Amer. Math. Soc., 18, № 213 (1979).
16. П. К. Суетин, Классические ортогональные многочлены, 3-е изд., Физматлит, Москва (2005).
17. G. Szegö, Orthogonal polynomials, fourth ed., Colloq. Publ., 23, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1975).
18. С. М. Загороднюк, Ортогональные многочлены, ассоциированные с некоторыми пучками якобиевого типа,
Укр. мат. журн., 68, № 9, 1180 – 1190 (2016).
19. S. M. Zagorodnyuk, The inverse spectral problem for Jacobi-type pencils, SIGMA Symmetry Integrability Geom.
Methods and Appl., 13, Paper 085 (2017), 16 p.
20. S. M. Zagorodnyuk, Difference equations related to Jacobi-type pencils, J. Difference Equat. and Appl., 24, № 10,
1664 – 1684 (2018).
21. S. M. Zagorodnyuk, On some classical type Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory, 250, Article 105337
(2020).
22. S. M. Zagorodnyuk, On some Sobolev spaces with matrix weights and classical type Sobolev orthogonal polynomials,
J. Difference Equat. and Appl., 27, № 2, 261 – 283 (2021).
23. A. Zhedanov, Biorthogonal rational functions and the generalized eigenvalue problem, J. Approx. Theory, 101, № 2,
303 – 329 (1999).
Одержано 15.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-6527 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:28:39Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/3896bfd67a607faa01813efdf75f5459.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-65272022-03-26T11:03:06Z On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials Про ряди за ортогональними многочленами та системи многочленів класичного типу Zagorodnyuk, S. M. Zagorodnyuk, Sergey Загороднюк , С. М. соболевські ортогональні многочлени поліноміальне ядро дифференціальні рівняння Sobolev orthogonal polynomials polynomial kernel differential equations UDC 517.587 If $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x),$ is a formal series of orthonormal polynomials $g_k(x)$ on the real line that has positive coefficients $c_k,$ then its partial sums $u_n(x)$ are associated with Jacobi type pencils.Therefore, they possess a recurrence relation and special orthonormality conditions.The cases where $g_k(x)$ are Jacobi or Laguerre polynomials will be of a special interest.For a suitable choice of parameters~$c_k,$ the partial sums $u_n(x)$ are Sobolev orthogonal polynomials with a $(3\times 3)$ matrix measure.A~further selection of parameters gives differential equations for $u_n.$In this case, polynomials $u_n(x)$ are solutions to generalized eigenvalue problems both in $x$ and in $n.$ &nbsp; Якщо $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x)$ --- формальний ряд за ортонормованими многочленами $g_k(x)$ на дійсній осі з додатними коефіцієнтами $c_k,$ товідповідні часткові суми $u_n(x)$ будуть асоційованими зі жмутками якобієвого типу.Отже, вони мають рекурентне співвідношення та спеціальні співвідношення ортонормальності.Випадки, коли $g_k(x)$ є многочленами Якобі або Лагерра, мають додатковий інтерес.Придатний підбір параметрів $c_k$ забезпечує те, що $u_n(x)$ будуть соболевськими ортогональними многочленамиз $(3\times 3)$ матричною мірою.Більше того, подальший відбір параметрів забезпечує диференціальні рівняння для $u_n.$В останньому випадку многочлени $u_n(x)$ є розв'язками узагальнених задач на власні значення відносно $x$ та $n.$ УДК 517.587 Якщо $\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^\infty c_k g_k(x)$ --- формальний ряд за ортонормованими многочленами $g_k(x)$ на дійсній осі з додатними коефіцієнтами $c_k,$ товідповідні часткові суми $u_n(x)$ будуть асоційованими зі жмутками якобієвого типу.Отже, вони мають рекурентне співвідношення та спеціальні співвідношення ортонормальності.Випадки, коли $g_k(x)$ є многочленами Якобі або Лагерра, мають додатковий інтерес.Придатний підбір параметрів $c_k$ забезпечує те, що $u_n(x)$ будуть соболевськими ортогональними многочленамиз $(3\times 3)$ матричною мірою.Більше того, подальший відбір параметрів забезпечує диференціальні рівняння для $u_n.$В останньому випадку многочлени $u_n(x)$ є розв'язками узагальнених задач на власні значення відносно $x$ та $n.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-06-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6527 10.37863/umzh.v73i6.6527 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 6 (2021); 799 - 810 Український математичний журнал; Том 73 № 6 (2021); 799 - 810 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6527/9027 Copyright (c) 2021 Sergey Zagorodnyuk |
| spellingShingle | Zagorodnyuk, S. M. Zagorodnyuk, Sergey Загороднюк , С. М. On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title_alt | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials Про ряди за ортогональними многочленами та системи многочленів класичного типу |
| title_full | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title_fullStr | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title_full_unstemmed | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title_short | On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| title_sort | on series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials |
| topic_facet | соболевські ортогональні многочлени поліноміальне ядро дифференціальні рівняння Sobolev orthogonal polynomials polynomial kernel differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6527 |
| work_keys_str_mv | AT zagorodnyuksm onseriesoforthogonalpolynomialsandsystemsofclassicaltypepolynomials AT zagorodnyuksergey onseriesoforthogonalpolynomialsandsystemsofclassicaltypepolynomials AT zagorodnûksm onseriesoforthogonalpolynomialsandsystemsofclassicaltypepolynomials AT zagorodnyuksm prorâdizaortogonalʹnimimnogočlenamitasistemimnogočlenívklasičnogotipu AT zagorodnyuksergey prorâdizaortogonalʹnimimnogočlenamitasistemimnogočlenívklasičnogotipu AT zagorodnûksm prorâdizaortogonalʹnimimnogočlenamitasistemimnogočlenívklasičnogotipu |